Na lekcjach algebry w szkole spotykamy się z różnego rodzaju wyrażeniami. Gdy uczysz się nowego materiału, wyrażenia stają się bardziej zróżnicowane i bardziej złożone. Na przykład poznaliśmy stopnie - stopnie pojawiły się w składzie wyrażeń, studiowaliśmy ułamki - pojawiły się wyrażenia ułamkowe itp.

Dla ułatwienia opisu materiału wyrażeniom składającym się z podobnych elementów nadano określone nazwy w celu odróżnienia ich od całej różnorodności wyrażeń. W tym artykule zapoznamy się z nimi, czyli przedstawimy przegląd podstawowych wyrażeń, których uczymy się na lekcjach algebry w szkole.

Nawigacja po stronie.

Jednomiany i wielomiany

Zacznijmy od wyrażeń tzw jednomiany i wielomiany. W chwili pisania tego tekstu rozmowa o jednomianach i wielomianach zaczyna się na lekcjach algebry w klasie 7. Podane są tam następujące definicje.

Definicja.

jednomiany zwane liczbami, zmiennymi, ich stopniami ze wskaźnikiem naturalnym, a także wszelkimi tworami z nich złożonymi.

Definicja.

Wielomiany jest sumą jednomianów.

Na przykład liczba 5 , zmienna x , stopień z 7 , iloczyny 5 x i 7 x 2 7 z 7 są jednomianami. Jeśli weźmiemy sumę jednomianów, na przykład 5+x lub z 7 +7+7 x 2 7 z 7 , to otrzymamy wielomian.

Praca z jednomianami i wielomianami często oznacza robienie z nimi różnych rzeczy. Tak więc na zbiorze jednomianów zdefiniowane jest mnożenie jednomianów i podnoszenie jednomianu do potęgi w tym sensie, że w wyniku ich wykonania otrzymuje się jednomian.

Na zbiorze wielomianów definiuje się dodawanie, odejmowanie, mnożenie, potęgowanie. Jak definiuje się te działania i według jakich zasad są one wykonywane, omówimy w artykule działania z wielomianami.

Jeśli mówimy o wielomianach z pojedynczą zmienną, to podczas pracy z nimi dzielenie wielomianu przez wielomian ma duże znaczenie praktyczne i często takie wielomiany muszą być reprezentowane jako iloczyn, działanie to nazywa się faktoryzacją wielomianu .

Ułamki wymierne (algebraiczne).

W klasie 8 rozpoczyna się nauka wyrażeń zawierających dzielenie przez wyrażenie ze zmiennymi. I są to pierwsze takie wyrażenia ułamki wymierne, którą niektórzy autorzy nazywają ułamki algebraiczne.

Definicja.

Ułamek wymierny (algebraiczny). jest to ułamek, którego licznikiem i mianownikiem są wielomiany, w szczególności jednomiany i liczby.

Oto kilka przykładów ułamków wymiernych: i . Nawiasem mówiąc, każdy zwykły ułamek jest ułamkiem wymiernym (algebraicznym).

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i potęgowanie są wprowadzane na zbiorze ułamków algebraicznych. Jak to się robi, wyjaśniono w artykule Operacje na ułamkach algebraicznych.

Często trzeba wykonać przekształcenia ułamków algebraicznych, z których najczęstsze to redukcja i redukcja do nowego mianownika.

Wyrażenia racjonalne

Definicja.

Wyrażenia mocy (wyrażenia mocy) są wyrażeniami zawierającymi stopnie w swoim zapisie.

Oto kilka przykładów wyrażeń z potęgami. Nie mogą zawierać zmiennych, takich jak 2 3 , . Istnieją również wyrażenia potęgowe ze zmiennymi: i tak dalej.

Nie zaszkodzi zapoznać się z tym, jak to zrobić przekształcanie wyrażeń potęgami.

Wyrażenia niewymierne, wyrażenia z pierwiastkami

Definicja.

Nazywane są wyrażenia zawierające logarytmy wyrażenia logarytmiczne.

Przykładami wyrażeń logarytmicznych są log 3 9+lne , log 2 (4 a b) , .

Bardzo często w wyrażeniach występują jednocześnie stopnie i logarytmy, co jest zrozumiałe, skoro logarytm z definicji jest wykładnikiem. W rezultacie wyrażenia tego rodzaju wyglądają naturalnie: .

Kontynuując temat, zapoznaj się z materiałem transformacja wyrażeń logarytmicznych.

Ułamki

W tym akapicie rozważymy wyrażenia szczególnego rodzaju - ułamki.

Ułamek rozszerza pojęcie. Ułamki mają również licznik i mianownik umieszczone odpowiednio powyżej i poniżej poziomej kreski ułamkowej (po lewej i prawej stronie ukośnika). Tylko w przeciwieństwie do zwykłych ułamków licznik i mianownik mogą zawierać nie tylko liczby naturalne, ale także dowolne inne liczby, a także dowolne wyrażenia.

Zdefiniujmy więc ułamek.

Definicja.

Frakcja jest wyrażeniem składającym się z licznika i mianownika oddzielonych kreską ułamkową, które reprezentują pewne wyrażenie lub liczbę numeryczną lub alfabetyczną.

Ta definicja pozwala nam podać przykłady ułamków.

Zacznijmy od przykładów ułamków, których licznikami i mianownikami są liczby: 1/4, , (-15)/(-2) . Licznik i mianownik ułamka mogą zawierać wyrażenia zarówno liczbowe, jak i alfabetyczne. Oto przykłady takich ułamków: (a+1)/3 , (a+b+c)/(a 2 +b 2) , .

Ale wyrażenia 2/5−3/7 nie są ułamkami, chociaż zawierają ułamki w swoich zapisach.

Wyrażenia ogólne

W szkole średniej, zwłaszcza w zadaniach o podwyższonym stopniu trudności i zadaniach grupy C z USE w matematyce, napotkasz wyrażenia o złożonej postaci, zawierające w swoim zapisie zarówno pierwiastki, potęgi, logarytmy, jak i funkcje trygonometryczne itp. Na przykład, Lub . Wydają się pasować do kilku rodzajów wyrażeń wymienionych powyżej. Ale zwykle nie są one klasyfikowane jako jeden z nich. Są brane pod uwagę wyrażenia ogólne, a opisując, po prostu wypowiadają wyrażenie, bez dodawania dodatkowych wyjaśnień.

Kończąc artykuł, chciałbym powiedzieć, że jeśli to wyrażenie jest kłopotliwe i jeśli nie jesteś do końca pewien, do jakiego rodzaju należy, to lepiej nazwać je po prostu wyrażeniem, niż takim wyrażeniem, jakim nie jest .

Bibliografia.

• Matematyka: studia. na 5 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / N. Ya. Vilenkin, VI Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - wyd. 21, wymazane. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: chory. ISBN 5-346-00699-0 .
• Matematyka. Klasa 6: podręcznik. dla edukacji ogólnej instytucje / [N. Ya Vilenkin i inni]. - wyd. 22, ks. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chory. ISBN 978-5-346-00897-2 .
• Algebra: podręcznik na 7 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makarychev, NG Mindyuk, KI Neshkov, SB Suvorova]; wyd. SA Telyakovsky. - 17 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: podręcznik na 8 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makarychev, NG Mindyuk, KI Neshkov, SB Suvorova]; wyd. SA Telyakovsky. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: Klasa 9: podręcznik. dla edukacji ogólnej instytucje / [Yu. N. Makarychev, NG Mindyuk, KI Neshkov, SB Suvorova]; wyd. SA Telyakovsky. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2009. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra i początek analizy: Proc. na 10-11 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kołmogorow, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; wyd. AN Kolmogorova.- 14th ed.- M .: Enlightenment, 2004.- 384 s .: ill.- ISBN 5-09-013651-3 .
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do techników): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., zd.

Artykuły z nauk przyrodniczych i matematyki

Co to jest wyrażenie liczbowe i algebraiczne?

Wyrażenie liczbowe- jest to dowolny zapis złożony z liczb i znaków operacji arytmetycznych i zapisany zgodnie ze znanymi regułami, w wyniku czego ma określone znaczenie. Na przykład następujące wpisy są wyrażeniami numerycznymi: 4 + 5; -1,05 × 22,5 - 34. Z drugiej strony zapis × 16 - × 0,5 nie jest numeryczny, ponieważ chociaż składa się z liczb i znaków operacji arytmetycznych, nie jest zapisywany zgodnie z zasadami kompilacji wyrażeń liczbowych.

Jeśli wyrażenie numeryczne zawiera litery zamiast cyfr (wszystkie lub tylko niektóre), to wyrażenie to już istnieje algebraiczny.

Znaczenie używania liter jest w przybliżeniu następujące. Zamiast liter można zastąpić różne cyfry, co oznacza, że ​​wyrażenie może mieć różne znaczenia. Algebra jako nauka zajmuje się badaniem zasad upraszczania wyrażeń, poszukiwaniem i stosowaniem różnych reguł, praw, wzorów. Algebra bada najbardziej racjonalne sposoby wykonywania obliczeń i właśnie do tego potrzebne są uogólnienia, to znaczy użycie zmiennych (liter) zamiast konkretnych liczb.

Fakty algebraiczne obejmują prawa dodawania i mnożenia, pojęcia liczby ujemnej, ułamki zwykłe i dziesiętne oraz zasady wykonywania na nich operacji arytmetycznych, własności ułamków zwykłych. Algebra jest powołana do zrozumienia całej tej różnorodności faktów, nauczenia ich, jak z nich korzystać, dostrzeżenia zastosowania praw w określonych wyrażeniach liczbowych i algebraicznych.

Gdy oceniane jest wyrażenie numeryczne, wynikiem jest jego wartość. Wartość wyrażenia algebraicznego można obliczyć tylko wtedy, gdy litery zostaną zastąpione pewnymi wartościami liczbowymi. Na przykład wyrażenie a ÷ b z a = 3 i b = 5 ma wartość 3 ÷ 5 lub 0,6. Jednak wyrażenie algebraiczne może być takie, że dla niektórych wartości zmiennych (liter) może w ogóle nie mieć sensu. W tym samym przykładzie (a ÷ b) wyrażenie nie ma sensu dla b = 0, ponieważ nie można dzielić przez zero.

Dlatego mówi się o dopuszczalnych i niedopuszczalnych wartościach zmiennych dla jednego lub drugiego wyrażenia algebraicznego.

naukaland.info

Wyrażenia algebraiczne

1. Definicja pojęcia
2. Wartość wyrażenia
3. Wyrażenia tożsamości
4. Rozwiązywanie problemów
5. Czego się nauczyliśmy?

Definicja pojęcia

Jakie wyrażenia nazywamy algebraicznymi? Jest to notacja matematyczna złożona z cyfr, liter i znaków operacji arytmetycznych. Obecność liter jest główną różnicą między wyrażeniami numerycznymi i algebraicznymi. Przykłady:

Litera w wyrażeniach algebraicznych reprezentuje liczbę. Dlatego nazywa się to zmienną - w pierwszym przykładzie jest to litera a, w drugim - b, aw trzecim - c. Samo wyrażenie algebraiczne jest również nazywane wyrażenie zmienne.

Wartość wyrażenia

Znaczenie wyrażenia algebraicznego to liczba uzyskana w wyniku wykonania wszystkich operacji arytmetycznych określonych w tym wyrażeniu. Ale aby go zdobyć, litery należy zastąpić cyframi. Dlatego przykłady zawsze wskazują, która liczba odpowiada literze. Zastanów się, jak znaleźć wartość wyrażenia 8a-14*(5-a), jeśli a=3.

W miejsce litery a wstawmy cyfrę 3. Otrzymamy następujący wpis: 8*3-14*(5-3).

Podobnie jak w wyrażeniach liczbowych, rozwiązanie wyrażenia algebraicznego odbywa się zgodnie z zasadami wykonywania operacji arytmetycznych. Rozwiążmy wszystko po kolei.

Zatem wartość wyrażenia 8a-14*(5-a) z a=3 wynosi -4.

Wartość zmiennej nazywamy prawidłową, jeśli wyrażenie ma dla niej sens, to znaczy, że możliwe jest znalezienie jej rozwiązania.

Przykładem prawidłowej zmiennej dla wyrażenia 5:2a jest liczba 1. Podstawiając ją do wyrażenia, otrzymujemy 5:2*1=2,5. Nieprawidłową zmienną dla tego wyrażenia jest 0. Jeśli podstawimy zero do wyrażenia, otrzymamy 5:2*0, czyli 5:0. Nie można dzielić przez zero, więc wyrażenie nie ma sensu.

Wyrażenia tożsamości

Jeśli dwa wyrażenia są równe dla dowolnych wartości ich zmiennych składowych, są one nazywane identyczny.
Przykład identycznych wyrażeń :
4(a+c) i 4a+4c.
Jakiekolwiek wartości przyjmą litery a i c, wyrażenia zawsze będą równe. Każde wyrażenie można zastąpić innym, identycznym z nim. Ten proces nazywa się transformacją tożsamości.

Przykład identycznej transformacji .
4 * (5a + 14c) - to wyrażenie można zastąpić identycznym, stosując matematyczne prawo mnożenia. Aby pomnożyć liczbę przez sumę dwóch liczb, musisz pomnożyć tę liczbę przez każdy wyraz i dodać wyniki.

Zatem wyrażenie 4*(5a+14c) jest identyczne z wyrażeniem 20a+64c.

Liczba poprzedzająca zmienną literalną w wyrażeniu algebraicznym nazywana jest współczynnikiem. Współczynnik i zmienna to mnożniki.

Rozwiązywanie problemów

Wyrażenia algebraiczne służą do rozwiązywania problemów i równań.
Rozważmy problem. Petya wymyślił numer. Aby kolega z klasy, Sasha, zgadł, Petya powiedział mu: najpierw dodałem 7 do liczby, potem odjąłem od niej 5 i pomnożyłem przez 2. W rezultacie otrzymałem liczbę 28. Jaką liczbę zgadłem?

Aby rozwiązać problem, musisz oznaczyć ukryty numer literą a, a następnie wykonać z nim wszystkie wskazane czynności.

Rozwiążmy teraz otrzymane równanie.

Petya odgadł liczbę 12.

Czego się nauczyliśmy?

Wyrażenie algebraiczne to zapis złożony z liter, cyfr i znaków działań arytmetycznych. Każde wyrażenie ma wartość, którą można znaleźć, wykonując wszystkie działania arytmetyczne w wyrażeniu. Litera w wyrażeniu algebraicznym nazywana jest zmienną, a liczba przed nią nazywana jest współczynnikiem. Wyrażenia algebraiczne służą do rozwiązywania problemów.

6.4.1. Wyrażenie algebraiczne

I. Wyrażenia, w których razem z literami można używać liczb, znaków działań arytmetycznych i nawiasów, nazywane są wyrażeniami algebraicznymi.

Przykłady wyrażeń algebraicznych:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Ponieważ literę w wyrażeniu algebraicznym można zastąpić różnymi liczbami, literę nazywamy zmienną, a samo wyrażenie algebraiczne nazywamy wyrażeniem ze zmienną.

II. Jeśli w wyrażeniu algebraicznym litery (zmienne) zostaną zastąpione ich wartościami i zostaną wykonane określone działania, wówczas wynikowa liczba nazywana jest wartością wyrażenia algebraicznego.

Przykłady. Znajdź wartość wyrażenia:

1) a + 2b -c dla a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| przy x = -8; y=-5; z = 6.

1) a + 2b -c dla a = -2; b = 10; c = -3,5. Zamiast zmiennych podstawiamy ich wartości. Otrzymujemy:

2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| przy x = -8; y=-5; z = 6. Podstawiamy podane wartości. Pamiętaj, że moduł liczby ujemnej jest równy jej liczbie przeciwnej, a moduł liczby dodatniej jest równy samej tej liczbie. Otrzymujemy:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Wartości litery (zmiennej), dla których wyrażenie algebraiczne ma sens, nazywane są prawidłowymi wartościami litery (zmiennej).

Przykłady. Przy jakich wartościach zmiennej wyrażenie nie ma sensu?

Rozwiązanie. Wiemy, że dzielenie przez zero jest niemożliwe, dlatego każde z tych wyrażeń nie będzie miało sensu przy wartości litery (zmiennej), która zamienia mianownik ułamka na zero!

W przykładzie 1) jest to wartość a = 0. Rzeczywiście, jeśli zamiast a zastąpimy 0, to liczbę 6 trzeba będzie podzielić przez 0, ale nie można tego zrobić. Odpowiedź: wyrażenie 1) nie ma sensu, gdy a = 0.

W przykładzie 2) mianownik x - 4 = 0 przy x = 4, dlatego ta wartość x = 4 i nie można jej przyjąć. Odpowiedź: wyrażenie 2) nie ma sensu dla x = 4.

W przykładzie 3) mianownik to x + 2 = 0 dla x = -2. Odpowiedź: wyrażenie 3) nie ma sensu przy x = -2.

W przykładzie 4) mianownik to 5 -|x| = 0 dla |x| = 5. A ponieważ |5| = 5 i |-5| \u003d 5, to nie możesz wziąć x \u003d 5 i x \u003d -5. Odpowiedź: wyrażenie 4) nie ma sensu dla x = -5 i dla x = 5.
IV. Mówi się, że dwa wyrażenia są identycznie równe, jeśli dla dowolnych dopuszczalnych wartości zmiennych odpowiadające im wartości tych wyrażeń są równe.

Przykład: 5 (a - b) i 5a - 5b są identyczne, ponieważ równość 5 (a - b) = 5a - 5b będzie prawdziwa dla dowolnych wartości aib. Równość 5 (a - b) = 5a - 5b jest tożsamością.

Tożsamość jest równością obowiązującą dla wszystkich dopuszczalnych wartości zawartych w niej zmiennych. Przykładami tożsamości już Ci znanych są na przykład właściwości dodawania i mnożenia, właściwość dystrybucji.

Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie mu równym, nazywa się identycznym przekształceniem lub po prostu przekształceniem wyrażenia. Identyczne przekształcenia wyrażeń ze zmiennymi są wykonywane na podstawie właściwości operacji na liczbach.

A) zamień wyrażenie na identycznie równe, korzystając z właściwości rozdzielczej mnożenia:

1) 10 (1,2x + 2,3y); 2) 1,5 (a-2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Rozwiązanie. Przypomnij sobie właściwość rozdzielności (prawo) mnożenia:

(a+b) c=a c+b do(prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania: aby pomnożyć sumę dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć każdy wyraz przez tę liczbę i dodać wyniki).
(a-b) c=a c-b do(prawo rozdzielności mnożenia w odniesieniu do odejmowania: aby pomnożyć różnicę dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć przez tę liczbę zmniejszoną i odjąć osobno i odjąć drugą od pierwszego wyniku).

1) 10 (1,2x + 2,3y) \u003d 10 1,2x + 10 2,3y \u003d 12x + 23y.

2) 1,5 (a-2b + 4c) = 1,5a-3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

B) przekształć wyrażenie na identycznie równe, korzystając z przemiennych i asocjacyjnych właściwości (praw) dodawania:

4) x + 4,5 + 2 x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Rozwiązanie. Stosujemy prawa (właściwości) dodawania:

a+b=b+a(przemieszczenie: suma nie zmienia się od przegrupowania terminów).
(a+b)+c=a+(b+c)(łącznie: aby dodać trzecią liczbę do sumy dwóch wyrazów, możesz dodać sumę drugiej i trzeciej do pierwszej liczby).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

V) przekształć wyrażenie na identycznie równe, korzystając z przemiennych i asocjacyjnych właściwości (praw) mnożenia:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 lata · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Rozwiązanie. Zastosujmy prawa (właściwości) mnożenia:

b=b a(przemieszczenie: permutacja czynników nie zmienia produktu).
(ab b) c=a (b c)(kombinacja: aby pomnożyć iloczyn dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć pierwszą liczbę przez iloczyn drugiej i trzeciej).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2 lata · (-1) = 7 lat.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Jeśli wyrażenie algebraiczne jest podane jako ułamek redukowalny, to stosując regułę redukcji ułamków, można je uprościć, tj. zastąpić identycznie równe mu prostszym wyrażeniem.

Przykłady. Uprość, stosując redukcję ułamków.

Rozwiązanie. Zmniejszenie ułamka polega na podzieleniu jego licznika i mianownika przez tę samą liczbę (wyrażenie) różną od zera. Ułamek 10) zostanie zmniejszony o 3b; ułamek 11) zmniejszyć o A i ułamek 12) zmniejszyć o 7n. Otrzymujemy:

Wyrażenia algebraiczne służą do formułowania formuł.

Formuła to wyrażenie algebraiczne zapisane jako równość, które wyraża związek między dwiema lub więcej zmiennymi. Przykład: formuła ścieżki, którą znasz s=v t(s - przebyta droga, v - prędkość, t - czas). Pamiętaj, jakie znasz inne formuły.

www.mathematics-repetition.com

Wartość reguły wyrażenia algebraicznego

Wyrażenia liczbowe i algebraiczne

W szkole podstawowej nauczyłeś się liczyć liczby całkowite i ułamkowe, rozwiązywał równania, zapoznawał się z figurami geometrycznymi, z układem współrzędnych. Wszystko to było treścią jednego przedmiot szkolny „Matematyka”. W rzeczywistości tak ważna dziedzina nauki, jak matematyka, jest podzielona na ogromną liczbę niezależnych dyscyplin: algebra, geometria, teoria prawdopodobieństwa, analiza matematyczna, logika matematyczna, statystyka matematyczna, teoria gier itp. Każda dyscyplina ma swoje własne przedmioty badań, własne metody poznania rzeczywistości.

Algebra, którą będziemy studiować, daje człowiekowi możliwość nie tylko wykonywania różnych czynności obliczenia ale też uczy go robić to jak najszybciej i racjonalnie. Osoba, która zna metody algebraiczne, ma przewagę nad tymi, którzy nie znają tych metod: szybciej oblicza, lepiej radzi sobie w sytuacjach życiowych, jaśniej podejmuje decyzje i lepiej myśli. Naszym zadaniem jest pomóc Ci opanować metody algebraiczne, Twoim zadaniem jest nie opierać się nauce, być gotowym do pójścia za nami, pokonywania trudności.

W rzeczywistości już w szkole podstawowej otworzyłeś okno do magicznego świata algebry, ponieważ algebra zajmuje się przede wszystkim wyrażeniami numerycznymi i algebraicznymi.

Przypomnijmy, że wyrażenie numeryczne to dowolny zapis złożony z liczb i znaków działań arytmetycznych (składający się oczywiście ze znaczenia: na przykład 3 + 57 jest wyrażeniem liczbowym, podczas gdy 3 + : nie jest wyrażeniem liczbowym, ale nic nieznaczącym zestaw znaków). Z jakiegoś powodu (porozmawiamy o nich później) często zamiast określonych cyfr (głównie z alfabetu łacińskiego) używane są litery; wówczas otrzymuje się wyrażenie algebraiczne. Te wyrażenia mogą być bardzo kłopotliwe. Algebra uczy upraszczania ich za pomocą różnych reguł, praw, własności, algorytmów, wzorów, twierdzeń.

Przykład 1. Uprość wyrażenie liczbowe:

Rozwiązanie. Teraz razem z Tobą coś przypomnimy, a Ty zobaczysz, ile faktów algebraicznych już znasz. Przede wszystkim musisz opracować plan wykonania obliczeń. Aby to zrobić, będziesz musiał zastosować przyjęte w matematyce konwencje dotyczące kolejności działań. Procedura dla tego przykładu byłaby następująca:

1) znajdź wartość A wyrażenia w pierwszych nawiasach:
A \u003d 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81;

2) znajdź wartość wyrażenia w drugim nawiasie:

3) dzielimy A przez B - wtedy będziemy wiedzieć jaka liczba C jest zawarta w liczniku (czyli nad kreską poziomą);

4) znajdź wartość D mianownika (tj. wyrażenia zawartego pod poziomą kreską):
D \u003d 25 - 37-0,4;

5) dzielimy C przez D - to będzie pożądany wynik. Jest więc plan obliczeń (a obecność planu to połowa
sukces!), zacznijmy jego realizację.

1) Znajdź A \u003d 2,73 + 4,81 + 3,27 - 2,81. Oczywiście możesz liczyć z rzędu lub, jak mówią, „na czole”: 2,73 + 4,81, a następnie dodać do tej liczby
3,27, a następnie odejmij 2,81. Ale kulturalny człowiek nie będzie tak kalkulował. Zapamięta przemienne i asocjacyjne prawa dodawania (jednak nie musi ich pamiętać, zawsze mają je w głowie) i obliczy następująco:

(2,73 + 3,27) + 4,81 — 2,81) = 6 + 2 = 8.

A teraz jeszcze raz wspólnie przeanalizujemy, jakie fakty matematyczne musieliśmy zapamiętać w procesie rozwiązywania przykładu (i nie tylko pamiętać, ale także z niego korzystać).

1. Kolejność działań arytmetycznych.

2. Przemienne prawo dodawania: a + b = b + a.

4. Łączne prawo dodawania:
za + b + do = (za + b) + do = za + (b + do).

5. Łączne prawo mnożenia: abc = (ab)c = a(bc).

6. Pojęcia ułamka zwykłego, Ułamek dziesiętny, liczba ujemna.

7. Operacje arytmetyczne na ułamkach dziesiętnych.

8. Operacje arytmetyczne na ułamkach zwykłych.

10. Reguły akcji z dodatnimi i ujemnymi liczby. Wiesz to wszystko, ale to wszystko są fakty algebraiczne. Tak więc miałeś już pewną znajomość algebry w niższych klasach. Główna trudność, jak widać już z przykładu 1, polega na tym, że takich faktów jest całkiem sporo i trzeba je nie tylko znać, ale także umieć wykorzystać, jak mówią, „we właściwym czasie i we właściwym czasie”. dobre miejsce." Tego się nauczymy.

Ponieważ literom składającym się na wyrażenie algebraiczne można nadać różne wartości liczbowe (tj. Można zmieniać wartości liter), litery te nazywane są zmiennymi.

b) Podobnie, przestrzegając kolejności działań, znajdujemy kolejno:

Nie można dzielić przez zero! Co to oznacza w tym przypadku (i innych podobnych przypadkach)? Oznacza to, że kiedy : dane wyrażenie algebraiczne nie ma sensu.

Stosowana jest następująca terminologia: jeżeli dla określonych wartości liter (zmiennych) wyrażenie algebraiczne ma wartość liczbową, wówczas określone wartości zmiennych nazywane są dopuszczalnymi; jeśli dla określonych wartości liter (zmiennych) wyrażenie algebraiczne nie ma sensu, wówczas wskazane wartości zmiennych nazywane są nieważnymi.

Tak więc w przykładzie 2 wartości a = 1 i b = 2, a = 3,7 i b = -1,7 są prawidłowe, natomiast wartości
nieważne (dokładniej: dwie pierwsze pary wartości są prawidłowe, a trzecia para wartości jest nieważna).

Ogólnie rzecz biorąc, w przykładzie 2 takie wartości zmiennych a, b będą nieważne, dla których albo a + b = 0, albo a - b = 0. Na przykład a = 7, b = - 7 lub a = 28,3, b = 28 ,3 - niepoprawne pary wartości; w pierwszym przypadku a + b = 0, aw drugim a - b = 0. W obu przypadkach mianownik wyrażenia podanego w tym przykładzie znika i powtarzamy, że nie można dzielić przez zero . Teraz prawdopodobnie sam będziesz w stanie wymyślić zarówno prawidłowe pary wartości dla zmiennych a, b, jak i nieprawidłowe pary wartości dla tych zmiennych w przykładzie 2. Spróbuj!

Materiały do ​​matematyki online, zadania i odpowiedzi według klas, plany lekcji matematyki do pobrania

A. V. Pogorelov, Geometria dla klas 7-11, Podręcznik dla instytucji edukacyjnych

Jeśli masz poprawki lub sugestie do tej lekcji, napisz do nas.

Jeśli chcesz zobaczyć inne poprawki i propozycje lekcji, zajrzyj tutaj - Forum Edukacji.

Wyrażenia liczbowe i algebraiczne. Konwersja wyrażeń.

Co to jest wyrażenie w matematyce? Dlaczego konieczne są konwersje wyrażeń?

Pytanie, jak mówią, jest interesujące... Faktem jest, że te pojęcia są podstawą całej matematyki. Cała matematyka składa się z wyrażeń i ich przekształceń. Niezbyt jasne? Pozwól mi wyjaśnić.

Powiedzmy, że masz zły przykład. Bardzo duży i bardzo złożony. Powiedzmy, że jesteś dobry z matematyki i niczego się nie boisz! Możesz odpowiedzieć od razu?

Będziesz musiał decydować ten przykład. Kolejno, krok po kroku, ten przykład uproszczać. Oczywiście według pewnych zasad. Te. Do konwersja wyrażeń. Jak skutecznie przeprowadzasz te przekształcenia, więc jesteś silny w matematyce. Jeśli nie wiesz, jak wykonać właściwe przekształcenia, w matematyce nie możesz tego zrobić Nic...

Aby uniknąć tak niewygodnej przyszłości (lub teraźniejszości…), nie zaszkodzi zrozumieć ten temat.)

Na początek dowiedzmy się co to jest wyrażenie w matematyce. Co się stało wyrażenie liczbowe i co jest wyrażenie algebraiczne.

Co to jest wyrażenie w matematyce?

Wyrażenie w matematyce to bardzo szerokie pojęcie. Niemal wszystko, z czym mamy do czynienia w matematyce, jest zbiorem wyrażeń matematycznych. Wszelkie przykłady, wzory, ułamki, równania i tak dalej - to wszystko składa się wyrażenia matematyczne.

3+2 to wyrażenie matematyczne. do 2 - re 2 jest również wyrażeniem matematycznym. I zdrowy ułamek, a nawet jedna liczba - to wszystko są wyrażenia matematyczne. Równanie to na przykład:

5x + 2 = 12

składa się z dwóch wyrażeń matematycznych połączonych znakiem równości. Jedno wyrażenie jest po lewej stronie, drugie po prawej.

Ogólnie rzecz biorąc, termin wyrażenie matematyczne” używa się najczęściej, żeby nie bełkotać. Zapytają cię, na przykład, co to jest ułamek zwykły? I jak odpowiedzieć?!

Odpowiedź 1: „To… m-m-m-m... coś takiego… w którym… Czy mogę napisać ułamek lepiej? Który chcesz?"

Druga opcja odpowiedzi: „Zwykły ułamek to (wesoło i radośnie!) wyrażenie matematyczne , który składa się z licznika i mianownika!”

Druga opcja jest jakoś bardziej imponująca, prawda?)

W tym celu sformułowanie „ wyrażenie matematyczne "bardzo dobrze. Zarówno poprawne, jak i solidne. Ale do praktycznego zastosowania trzeba być dobrze zorientowanym określone rodzaje wyrażeń w matematyce .

Konkretny typ to inna sprawa. Ten zupełnie inna sprawa! Każdy typ wyrażenia matematycznego ma kopalnia zestaw zasad i technik, które muszą być użyte przy podejmowaniu decyzji. Do pracy z ułamkami - jeden zestaw. Do pracy z wyrażeniami trygonometrycznymi - drugi. Do pracy z logarytmami - trzeci. I tak dalej. Gdzieś te zasady się pokrywają, gdzie indziej ostro się różnią. Ale nie bójcie się tych strasznych słów. Logarytmy, trygonometria i inne tajemnicze rzeczy opanujemy w odpowiednich sekcjach.

Tutaj opanujemy (lub - powtórzmy, jak kto woli...) dwa główne typy wyrażeń matematycznych. Wyrażenia liczbowe i wyrażenia algebraiczne.

Wyrażenia liczbowe.

Co się stało wyrażenie liczbowe? To bardzo prosta koncepcja. Sama nazwa wskazuje, że jest to wyrażenie z liczbami. Tak to jest. Wyrażenie matematyczne składające się z liczb, nawiasów i znaków działań arytmetycznych nazywane jest wyrażeniem numerycznym.

7-3 to wyrażenie liczbowe.

(8+3,2) 5,4 jest również wyrażeniem liczbowym.

I ten potwór:

również wyrażenie liczbowe, tak...

Zwykła liczba, ułamek zwykły, dowolny przykład obliczeń bez x i innych liter - wszystko to są wyrażenia liczbowe.

główna cecha liczbowy w nim wyrażenia żadnych liter. Nic. Tylko liczby i ikony matematyczne (w razie potrzeby). To proste, prawda?

A co można zrobić z wyrażeniami liczbowymi? Wyrażenia numeryczne można zwykle policzyć. Aby to zrobić, czasami trzeba otworzyć nawiasy, zmienić znaki, skrócić, zamienić terminy - tj. Do konwersje wyrażeń. Ale o tym poniżej.

Tutaj zajmiemy się takim zabawnym przypadkiem, gdy mamy do czynienia z wyrażeniem numerycznym nie musisz nic robić. Cóż, zupełnie nic! Ta miła operacja Nic nie robić)- jest wykonywany, gdy wyrażenie nie ma sensu.

Kiedy wyrażenie liczbowe nie ma sensu?

Oczywiście, jeśli widzimy przed sobą jakąś abrakadabrę, np

wtedy nic nie zrobimy Ponieważ nie jest jasne, co z tym zrobić. Jakieś bzdury. Chyba że, żeby policzyć liczbę plusów...

Ale są na zewnątrz całkiem przyzwoite wyrażenia. Na przykład to:

(2+3) : (16 - 2 8)

Jednak to wyrażenie jest również nie ma sensu! Z tego prostego powodu, że w drugim nawiasie - jeśli policzysz - otrzymasz zero. Nie można dzielić przez zero! Jest to operacja zabroniona w matematyce. Dlatego też z tym wyrażeniem nie trzeba nic robić. W przypadku każdego zadania z takim wyrażeniem odpowiedź zawsze będzie taka sama: „Wyrażenie nie ma sensu!”

Aby udzielić takiej odpowiedzi, oczywiście musiałem obliczyć, co będzie w nawiasach. A czasem w nawiasie taki zwrot akcji... Cóż, nic na to nie poradzę.

Nie ma tak wielu zabronionych operacji w matematyce. W tym wątku jest tylko jeden. Dzielenie przez zero. Dodatkowe zakazy wynikające z pierwiastków i logarytmów omówiono w odpowiednich tematach.

Więc pomysł na to, co jest wyrażenie liczbowe- dostał. pojęcie wyrażenie liczbowe nie ma sensu- zrealizowany. Idźmy dalej.

Wyrażenia algebraiczne.

Jeśli w wyrażeniu numerycznym występują litery, to wyrażenie staje się... Wyrażenie staje się... Tak! Staje się wyrażenie algebraiczne. Na przykład:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Takie wyrażenia są również nazywane wyrażenia dosłowne. Lub wyrażenia ze zmiennymi. To praktycznie to samo. Wyrażenie 5a +c, na przykład - zarówno dosłowne, jak i algebraiczne oraz wyrażenia ze zmiennymi.

pojęcie wyrażenie algebraiczne - szerszy niż numeryczny. To obejmuje i wszystkie wyrażenia liczbowe. Te. wyrażenie numeryczne jest również wyrażeniem algebraicznym, tylko bez liter. Każdy śledź jest rybą, ale nie każda ryba jest śledziem...)

Dlaczego dosłowny- Jest jasne. Cóż, skoro są litery… Fraza wyrażenie ze zmiennymi też niezbyt uciążliwe. Jeśli rozumiesz, że cyfry są ukryte pod literami. Pod literami można ukryć wszelkiego rodzaju liczby ... I 5, i -18, i co tylko chcesz. To znaczy list może zastępować dla różnych numerów. Dlatego nazywa się litery zmienne.

w wyrażeniu y+5, Na przykład, Na- zmienny. Albo po prostu powiedz " zmienny", bez słowa „wartość”. W przeciwieństwie do piątki, która jest wartością stałą. Lub po prostu - stały.

Termin wyrażenie algebraiczne oznacza, że ​​aby pracować z tym wyrażeniem, musisz korzystać z praw i zasad algebra. Jeśli arytmetyka działa wtedy z określonymi liczbami algebra- ze wszystkimi numerami na raz. Prosty przykład dla wyjaśnienia.

W arytmetyce można to zapisać

Ale jeśli napiszemy podobną równość za pomocą wyrażeń algebraicznych:

za + b = b + za

natychmiast zdecydujemy Wszystko pytania. Dla wszystkie numery udar mózgu. Dla nieskończonej ilości rzeczy. Bo pod literami A I B ukryty Wszystko liczby. I nie tylko liczby, ale nawet inne wyrażenia matematyczne. Tak działa algebra.

Kiedy wyrażenie algebraiczne nie ma sensu?

Wszystko jest jasne, jeśli chodzi o wyrażenie liczbowe. Nie możesz dzielić przez zero. A czy za pomocą liter można dowiedzieć się, przez co dzielimy?!

Weźmy jako przykład następujące wyrażenie zmienne:

2: (A - 5)

Czy jest sens? Ale kto go zna? A- Jakikolwiek numer...

Dowolne, dowolne... Ale jest jedno znaczenie A, dla których to wyrażenie Dokładnie nie ma sensu! A co to za numer? Tak! jest 5! Jeśli zmienna A zastąp (mówią - „zastąp”) liczbą 5, w nawiasach wyjdzie zero. których nie można podzielić. Okazuje się więc, że nasze wyrażenie nie ma sensu, Jeśli za = 5. Ale dla innych wartości A Czy jest sens? Czy możesz zastąpić inne numery?

Z pewnością. W takich przypadkach mówi się po prostu, że wyrażenie

2: (A - 5)

ma sens dla każdej wartości A, z wyjątkiem a = 5 .

Cały zestaw numerów Móc zamiana w podane wyrażenie jest wywoływana Prawidłowy zakres to wyrażenie.

Jak widać, nie ma nic trudnego. Patrzymy na wyrażenie ze zmiennymi i zastanawiamy się: przy jakiej wartości zmiennej uzyskuje się operację zabronioną (dzielenie przez zero)?

A potem koniecznie spójrz na pytanie o zadanie. O co oni pytają?

nie ma sensu, nasza zakazana wartość będzie odpowiedzią.

Jeśli zapytają, przy jakiej wartości zmiennej wyrażenie ma znaczenie(poczuć różnicę!), odpowiedź będzie wszystkie inne numery z wyjątkiem zakazanych.

Dlaczego potrzebujemy znaczenia wyrażenia? Jest tam, nie ma go... Co za różnica?! Faktem jest, że ta koncepcja staje się bardzo ważna w szkole średniej. Bardzo ważny! Na tym opierają się takie solidne koncepcje jak zakres obowiązujących wartości czy zakres funkcji. Bez tego w ogóle nie będziesz w stanie rozwiązać poważnych równań lub nierówności. Lubię to.

Konwersja wyrażeń. Transformacje tożsamościowe.

Zapoznaliśmy się z wyrażeniami liczbowymi i algebraicznymi. Zrozumieć, co oznacza zwrot „wyrażenie nie ma sensu”. Teraz musimy ustalić, co konwersja wyrażeń. Odpowiedź jest prosta, oburzająca.) To jest dowolna akcja z ekspresją. I to wszystko. Robisz te przemiany od pierwszych zajęć.

Weź fajne wyrażenie liczbowe 3+5. Jak można to przekonwertować? Tak, bardzo łatwo! Oblicz:

To obliczenie będzie transformacją wyrażenia. To samo wyrażenie można zapisać w inny sposób:

Tu nic nie liczyliśmy. Po prostu zapisz wyrażenie w innej formie. Będzie to również przekształcenie wyrażenia. Można to zapisać tak:

I to też jest przekształceniem wyrażenia. Możesz wykonać dowolną liczbę tych przekształceń.

Każdy działanie na wyrażeniu każdy zapisanie go w innej formie nazywa się transformacją wyrażenia. I wszystkie rzeczy. Wszystko jest bardzo proste. Ale jest tu jedna rzecz bardzo ważna zasada. Tak ważny, że można go bezpiecznie nazwać główna zasada cała matematyka. Łamanie tej zasady nieuchronnie prowadzi do błędów. rozumiemy?)

Powiedzmy, że dowolnie przekształciliśmy nasze wyrażenie, tak jak poniżej:

Transformacja? Z pewnością. Napisaliśmy wyrażenie w innej formie, co tu jest nie tak?

To nie tak.) Faktem jest, że transformacje "cokolwiek" matematyka w ogóle nie jest zainteresowana.) Cała matematyka jest zbudowana na przekształceniach, w których zmienia się wygląd, ale istota wyrażenia się nie zmienia. Trzy plus pięć można zapisać w dowolnej formie, ale musi to być osiem.

transformacje, wyrażenia, które nie zmieniają istoty zwany identyczny.

Dokładnie identyczne przekształcenia i pozwól nam krok po kroku przekształcić złożony przykład w proste wyrażenie, zachowując istota przykładu. Jeśli popełnimy błąd w łańcuchu przekształceń, dokonamy NIE identycznej transformacji, wtedy zadecydujemy inny przykład. Z innymi odpowiedziami, które nie są związane z poprawnymi.)

Tutaj jest to główna zasada rozwiązywania dowolnych zadań: zgodność z tożsamością przekształceń.

Dla jasności podałem przykład z wyrażeniem numerycznym 3 + 5. W wyrażeniach algebraicznych identyczne przekształcenia dają wzory i reguły. Powiedzmy, że w algebrze istnieje wzór:

a(b+c) = ab + ac

Tak więc w każdym przykładzie możemy zamiast wyrażenia a(b+c) nie krępuj się napisać wyrażenie ab+ac. I wzajemnie. Ten identyczna przemiana. Matematyka daje nam do wyboru te dwa wyrażenia. A który napisać zależy od konkretnego przykładu.

Inny przykład. Jednym z najważniejszych i niezbędnych przekształceń jest podstawowa własność ułamka. Więcej szczegółów znajdziecie pod linkiem, ale tutaj tylko przypominam zasadę: jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone (podzielone) przez tę samą liczbę lub wyrażenie, które nie jest równe zeru, ułamek się nie zmieni. Oto przykład identycznych przekształceń dla tej właściwości:

Jak zapewne się domyślacie, ten łańcuch można kontynuować w nieskończoność...) Bardzo ważna właściwość. To ona pozwala zamienić wszelkiego rodzaju przykładowe potwory w białe i puszyste.)

Istnieje wiele formuł definiujących identyczne przekształcenia. Ale najważniejsze - całkiem rozsądna kwota. Jedną z podstawowych transformacji jest faktoryzacja. Jest używany w całej matematyce - od podstawowej do zaawansowanej. Zacznijmy od niego. na następnej lekcji).

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla ciebie jeszcze kilka interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Na tej lekcji przypomnimy sobie, czym jest wyrażenie algebraiczne, jak znaleźć jego wartość dla danych wartości zmiennych. Dowiedzmy się, jakie wartości zmiennych mogą być nieprawidłowe dla danego wyrażenia. Nauczymy się również wykonywać różne działania z wyrażeniami numerycznymi i algebraicznymi.

Definicja: Wyrażenie algebraiczne to dowolny znaczący zapis, który może zawierać tylko cyfry, litery, znaki akcji i nawiasy. Na przykład, .

Możliwe jest obliczenie wartości wyrażenia algebraicznego na podstawie wartości zmiennych, w tym celu wystarczy podstawić wartość do wyrażenia i wykonać obliczenia. Na przykład, gdy wartością wyrażenia jest : .

Zadanie 1 . Znajdź wartość wyrażenia dla .

Rozwiązanie . Zastąp wartość w wyrażeniu i wykonaj obliczenia:

Odpowiedź: .

W problemie 1 okazało się dzielenie przez 0. Możesz spróbować podzielić 3 przez 0, na przykład na kalkulatorze. Przekonaj się, że kalkulator nie znalazł wartości tego wyrażenia. U nas też to nie przejdzie. Dzielenie przez 0 jest bez znaczenia, niezdefiniowane.

Dlaczego dzielenie przez zero nie jest zdefiniowane?

0 został wprowadzony jako część większego mechanizmu zwanego liczbami całkowitymi, mającego oznaczać brak czegoś. 0 ułatwia liczenie i zapisywanie liczb, ale nie ma liczby zerowej, nie można na nią wskazać palcem, więc nie można powiedzieć, ile zer zawiera inna liczba.

Dzielenie 3 przez 0 oznacza stwierdzenie, ile razy 3 to nic. Aby odpowiedzieć na pytanie, ile metrów kwadratowych w garażu jest możliwe, ale odpowiedzieć na pytanie, ile jest w nim pustki - nie.

Gdyby wymyślono jakiś sens dla wyrażenia, byłoby to sprzeczne z niektórymi znanymi właściwościami i definicjami, na przykład właściwościami mnożenia, więc dzielenie przez 0 nie jest zdefiniowane.

Nadal możesz spróbować podzielić 3 przez 0. Dzielenie jest odwrotnością mnożenia, tj. jeśli .

Ale mnożenie przez 0 zawsze daje 0, tj. po prostu nie istnieje.

Rozważmy przypadek dzielenia 0 przez 0, aby nie było wrażenia, że ​​jest to coś specjalnego i innego niż dzielenie 3 przez 0.

Równość będzie obowiązywała dla każdego, bo Ale wynikiem dzielenia musi być określona liczba. Znowu otrzymujemy sprzeczność.

Dlatego dzielenie przez 0 nie jest zdefiniowane w matematyce.

Możesz wstawić dowolną liczbę do wyrażenia algebraicznego, ale nie zawsze jest możliwe obliczenie jej wartości.

Definicja: wywoływane są takie wartości zmiennej, dla których wyrażenie nie jest zdefiniowane (nie można obliczyć jego wartości). nieprawidłowe wartości.

Na razie znamy tylko jeden taki przypadek. Na przykład, jeśli wyrażenie zawiera ułamek lub dzielenie, to nie zastąpimy w wyrażeniu takich wartości zmiennej, przy których mianownik staje się 0: .

Istnieją inne przypadki nieprawidłowych wartości zmiennych, ale dowiemy się o nich później, badając różne funkcje.

Rozważmy przykłady określania nieprawidłowych wartości zmiennych w wyrażeniach.

Przykład 1

Rozwiązanie . Wyrażenie jest ułamkiem, więc jego mianownik nie może być równy 0: .

Zatem nieprawidłowa wartość zmiennej wynosi 0, tj. wyrażenie jest zdefiniowane dla dowolnego .

Odpowiedź: 0.

Przykład 2 . Zdefiniuj nieprawidłowe wartości dla zmiennej w wyrażeniu.

Rozwiązanie . Wyrażenie jest ułamkiem, więc jego mianownik nie może być równy 0: .

Zatem niepoprawna wartość zmiennej to 5, tj. wyrażenie jest zdefiniowane dla dowolnego .

Odpowiedź: 5.

Gdzie jeszcze można znaleźć dzielenie przez zero?

Udowodnijmy to. Wprowadźmy zmienne , niech .

Otrzymujemy równość:

Zmieniamy warunki i otrzymujemy:

Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów w każdej części równości:

Dzielimy obie strony równania przez i otrzymujemy:

Zrozumiałeś. Jaki jest haczyk? Faktem jest, że do naszego „dowodu” wkradł się błąd: dzielenie przez 0 zostało wykonane podczas dzielenia obu części równości przez wyrażenie (z założenia liczby te są równe:).

To jest przykład sofistyka matematyczna- oświadczenia z dowodem, w których ukryte są błędy. Sofizmaty są nie tylko matematyczne, na przykład zdanie „Nie straciłeś tego, co masz. Nie straciłeś rogów i ogona. Masz więc rogi i ogon” zawiera błąd logiczny: z pierwszego zdania nie wynika, że ​​masz wszystko, czego nie straciłeś.

Najbardziej znane sofizmaty to aporie Zenona. Możesz dowiedzieć się o nich więcej na Ten połączyć.

Spotkaliśmy się już z wyrażeniami równoważnymi, gdy sprowadzaliśmy ułamki do wspólnego mianownika. Spisaliśmy łańcuchy równoważnych ułamków i wybraliśmy z nich te, które mają ten sam mianownik:

I

Na przykład w tym przypadku będą to ułamki: .

Równoważne wyrażenia można zamieniać między sobą, nie zmieni to znaczenia i znaczenia wpisu.

Załóżmy na przykład, że istnieje wyrażenie . Możesz wykonać mnożenie i uzyskać wyrażenie. Oba te wyrażenia liczbowe są równe, równoważne.

Jeśli wykonasz wszystkie akcje w jakimś wyrażeniu numerycznym, otrzymasz jego wartość: , tj. - wartość wyrażenia numerycznego . Po wykonaniu wszystkich kroków uprościliśmy wyrażenie liczbowe.

Wyrażenia algebraiczne można zapisać na różne sposoby, ale znaczą to samo, na przykład: i .

Czy możemy powiedzieć, że wyrażenie jest uproszczone? Zwykle uproszczenie oznacza zapis równoważny w taki sposób, aby obliczenie wartości wyrażenia wymagało wykonania jak najmniejszej liczby czynności.

Na przykład, aby obliczyć wartość wyrażenia dla danej wartości zmiennej, należy wykonać 3 akcje, a dla wyrażenia - jedną akcję. Oczywiście różnica w 2 akcjach jest niewielka, ale gdyby taką operację trzeba było wykonać 50 razy, to różnica wyniosłaby już aż 100 akcji.

Zadanie 2 . Udowodnij, że wyrażenie jest równoważne z wyrażeniem .

Dowód

Prawo rozdzielności stosujemy dwukrotnie:

Zadanie 3 . Uprość wyrażenie: .

Rozwiązanie . Skorzystajmy ze wzoru na różnicę kwadratów:

Odpowiedź: .

Porównajmy liczbę kroków, które należy wykonać, aby ocenić pierwsze wyrażenie i drugie. W pierwszym przypadku trzeba było wykonać 5 czynności, a w drugim tylko 1. W takich przypadkach mówimy, że uprościł wyrażenie algebraiczne.

Nieprawidłowe wartości zmiennych

Znajdźmy nieprawidłowe wartości zmiennych dla wyrażenia: .

Mianownik ułamka zawiera zmienne, określamy, kiedy zmienia się na 0:

Te. nieprawidłowe wartości zmiennych będą wartościami przeciwnymi. Na przykład, jeśli , to .

Równoważność wyrażeń

Wyrażenia i nie są równoważne dla any i , ponieważ pierwsze wyrażenie jest niezdefiniowane, gdy , a drugie wyrażenie jest zdefiniowane dla dowolnych wartości zmiennych i .

Te. te wyrażenia będą równoważne tylko dla tych i które nie są liczbami przeciwnymi.

Zadanie 4 . Uprość wyrażenie: .

Wyrażenia algebraiczne składają się z liczb i zmiennych przy użyciu znaków dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, podnoszenia do potęgi wymiernej i wyciągania pierwiastka oraz przy użyciu nawiasów.

Rozważ kilka przykładów wyrażeń algebraicznych:

2a 2 b – 3ab 2 (a + b)

(1/a + 1/b – c/3) 3 .

Istnieje kilka rodzajów wyrażeń algebraicznych.

Liczba całkowita to takie wyrażenie algebraiczne, które nie zawiera dzielenia na zmienne i wyciągania pierwiastka ze zmiennych (w tym potęgowania wykładnikiem ułamkowym).

2a 2 b – 3ab 2 (a + b) jest całkowitym wyrażeniem algebraicznym.

(1/a + 1/b – c/3) 3 nie jest całkowitym wyrażeniem algebraicznym, ponieważ zawiera dzielenie przez zmienną.

Wyrażenie ułamkowe to wyrażenie algebraiczne, które składa się z liczb i zmiennych przy użyciu operacji dodawania, odejmowania, mnożenia, potęgowania z wykładnikiem naturalnym i dzielenia.

(1/a + 1/b – c/3) 3 jest ułamkowym wyrażeniem algebraicznym.

Wymiernymi wyrażeniami algebraicznymi są wyrażenia całkowite i ułamkowe.

Zatem zarówno 2a 2 b – 3ab 2 (a + b) jak i (1/a + 1/b – c/3) 3 są wymiernymi wyrażeniami algebraicznymi.

Irracjonalne wyrażenie algebraiczne to wyrażenie algebraiczne, które wykorzystuje pierwiastek ze zmiennych (lub podniesienie zmiennych do potęgi ułamkowej).

a 2/3 – b 2/3 jest niewymiernym wyrażeniem algebraicznym.

Innymi słowy, wszystkie wyrażenia algebraiczne są podzielone na dwie duże grupy: wyrażenia algebraiczne wymierne i niewymierne. Z kolei wyrażenia wymierne dzielą się na całkowite i ułamkowe.

Dopuszczalna wartość zmiennych to taka wartość zmiennych, dla której wyrażenie algebraiczne ma sens. Zbiór wszystkich możliwych wartości zmiennej jest dziedziną wyrażenia algebraicznego.

Wyrażenia całkowite mają sens dla dowolnych wartości jego zmiennych. Na przykład 2a 2 b – 3ab 2 (a + b) ma sens zarówno dla a = 0, b = 1, jak i dla a = 3, b = 6 itd.

Załóżmy, że a = 0, b = 1 i spróbuj znaleźć rozwiązanie wyrażenia

2a 2 b – 3ab 2 (a + b).

Jeśli a = 0, b = 1, to 2 ∙ 0 2 ∙ 1 – 3 ∙ 0 ∙ 1 2 ∙ (0 + 1) = 0 ∙ 0 = 0.

Stąd dla a = 0, b = 1 wyrażenie jest równe 0.

Wyrażenia ułamkowe mają sens tylko wtedy, gdy wartości nie ustawiają zmiennych na zero: pamiętaj o naszej „złotej zasadzie” - nie możesz dzielić przez zero.

Wyrażenie (1/a + 1/b – c/3) 3 ma sens, gdy aib nie są równe zeru (a ≠ 0, b ≠ 0). W przeciwnym razie otrzymamy dzielenie przez zero.

Wyrażenie irracjonalne nie będzie miało sensu dla wartości zmiennych, które zamieniają na liczbę ujemną wyrażenie zawarte pod znakiem pierwiastka stopnia parzystego lub pod znakiem podniesienia do potęgi ułamkowej.

Wyrażenie a 2/3 - b 2/3 ma sens, gdy a ≥ 0 i b ≥ 0. W przeciwnym razie będziemy musieli podnieść liczbę ujemną do potęgi ułamkowej.

Wartość wyrażenia algebraicznego jest wyrażeniem liczbowym wynikającym z nadania zmiennym poprawnych wartości.

Znajdźmy wartość wyrażenia algebraicznego

a + b + c/5 dla a = 6, b = 3, do = 5.

1. Wyrażenie a + b + c/5 jest całkowitym wyrażeniem algebraicznym → wszystkie wartości są poprawne.

2. Zastąp wartości liczbowe zmiennych i uzyskaj:

6 + 3 + 5/5 = 9 + 1 = 10.

Więc odpowiedź brzmi: 10.

Tożsamość to równość, która jest prawdziwa dla wszystkich dopuszczalnych wartości jej zmiennych składowych.

Mówimy, że wyrażenia są identycznie równe, jeśli odpowiadające im wartości pokrywają się dla wszystkich dopuszczalnych wartości zmiennych. Zatem wyrażenia x 5 i x 2 ∙ x 3, a + b + c i b + c + a są sobie identyczne.

Pojęcie identycznie równych wyrażeń prowadzi nas do innego ważnego pojęcia - transformacji tożsamości wyrażeń.

Transformacja tożsamościowa wyrażenia polega na zastąpieniu jednego wyrażenia innym, identycznie mu równym.

Oznacza to, że wyrażenie x 5 można identycznie przekształcić w wyrażenie x 2 ∙ x 3 .

strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.