Ход в игреэто выбор и осуществление одним игроком одного из предусмотренных правилами игры действий. Результат одного хода как правило еще не результат игры а лишь изменение ситуации. Стратегияэто последовательность всех ходов до окончания игры. Обозначим выигрыш игрока Pj через vj.

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

Преподаватель: Платонова Татьяна Евгеньевна

Лекция 15. Игровые модели конфликтных ситуаций

Теория игр

Основные понятия теории игр

Игра -это математическая модель конфликтной ситуации. В отличие от реальных конфликтных ситуаций, в математической модели игра ведется по заранее зафиксированным правилам и условиям.

Ход в игре -это выбор и осуществление одним игроком одного из предусмотренных правилами игры действий. В игре двух лиц ходы строго чередуются. Результат одного хода, как правило, еще не результат игры, а лишь изменение ситуации.

Стратегия -это последовательность всех ходов до окончания игры. Термин партия связан с частичной возможной реализацией правил.

Пусть в игре участвуют n партнеров. Обозначим выигрыш игрока Pj через v j . При этом положительное значение v j означает выигрыш, отрицательное-проигрыш, а нулевое значение-ничья.

Цель игры-максимизация выигрыша за счет другого.

Рассмотрим вкратце классификацию игр.

• По количеству игроков игры бывают парные (n =2) и множественные (n > 2).
• В зависимости от числа стратегий игры делятся на конечные , если у игроков имеется конечное число стратегий, и бесконечные , в противном случае.
• Игры бывают с нулевой суммой , если одни выигрывают за счет других.
• Парные игры с нулевой суммой называются антагонистическими .
• Конечные антагонистические игры называются матричными .
• В зависимости от взаимоотношений игроков игры делятся на кооперативные (в которых заранее определены коалиции), коалиционные (игроки могут вступать в соглашения) и бескоалиционные (игрокам нельзя вступать в соглашения).

Ходы игроков делятся на личные , если ход выбирается сознательно, и случайные , если ход выбирается по механизму случайного выбора.

Стратегии бывают оптимальные , которые обеспечивают игроку наибольший успех-выигрыш, и неоптимальные .

Матричные игры

В общем случае матричная игра задается прямоугольной матрицей размерности mxn :

Один игрок имеет m возможных стратегий (A 1 , A 2 ,…, A m ), а другой игрок- n возможных стратегий (B 1 , B 2 ,…, B n ). Элемент-выигрыш, который платит второй игрок первому, если первый выбирает стратегию A i , а второй игрок- стратегию B j . При этом значение выигрыша может быть меньше нуля.

Представим матричную игру в табличной форме, называемой платежной матрицей :

Сформулируем основной принцип матричной игры : первый игрок стремится как можно больше выиграть, а второй – как можно меньше проиграть . Исходя из этого принципа, оба игрока являются сознательными, а матрица игры составлена с точки зрения выигрыша первого игрока; таким образом, выигрыш первого игрока является одновременно проигрышем второго.

Рассмотрим игру с позиции первого игрока. Пусть первый игрок рассматривает возможность применения своей первой стратегии (первой строки матрицы). Тогда его выигрыш в самом худшем случае не будет меньше, чем минимальный элемент первой строки, т.е. . Аналогично, его выигрыш при применении произвольной стратегии А i составит величину, не меньшую, чем. Таким образом, он может среди всех своих стратегий выбрать стратегию, наилучшую в смысле наибольшего из возможных минимальных выигрышей. Это значение гарантированного выигрыша в наихудших условиях противодействия второго игрока называется нижней чистой ценой игры максимину ):

Теперь рассмотрим точку зрения второго игрока. При использовании им своей первой стратегии, которая представлена первым столбцом платежной матрицы, его максимальный проигрыш составит величину при самых неблагоприятный действиях первого игрока. Аналогично, его проигрыш при применении произвольной стратегии В j составит величину, не большую, чем. Это значение гарантированного проигрыша в наихудших условиях противодействия первого игрока называется верхней чистой ценой игры , и оно равно следующему выражению (минимаксу ):

Поэтому стратегии первого игрока называются максиминными , а второго – минимаксными .

Пример 1 . Найти нижнюю и верхнюю чистые цены матричной игры с матрицей:

Нижняя чистая цена игры равна, верхняя чистая цена игры равна. Таким образом, в данном случае. Элемент называется седловым элементом матрицы игры (он является одновременно минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце), а сама игра – игрой с седловой точкой. При этом нижняя и верхняя чистые цены матричной игры совпадают, и они равны чистой цене игры. Опримальными стратегиями игроков являются, и отступать от них невыгодно ни одному из игроков.

Пример 2 . Решим аналогичную задачу для игры с матрицей:

Здесь имеем. Чистая цена игры. Таким образом, и в игре отсутствует седловая точка. Решение такой игры затруднено. Поясним эту мысль. Стратегия гарантирует первому игроку выигрыш не менее 4 единиц в худшем случае, когда второй игрок выбирает стратегию. Аналогично стратегия гарантирует второму игроку проигрыш не более 7 единиц в худшем случае, когда первый игрок выбирает стратегию. Первому игроку можно избрать стратегию, чтобы выиграть 9 единиц, но второй игрок выберет стратегию.

Создается ситуация, когда партнеры заметались по стратегиям. Значит, в данном случае сам подход к игре необходимо менять.

Чистые и смешанные стратегии игроков

Чистая стратегия игрока – это возможный ход игрока, выбранный им с вероятностью, равной 1.

Представим чистые стратегии игроков из примера 1 в виде единичных векторов: стратегия первого игрока, стратегия второго игрока. В общем виде для пары стратегий чистые стратегии можно записать в виде, причем в первом векторе единица стоит на i - й позиции, а во втором векторе – на j - й позиции.

Смешанной стратегией первого (второго) игрока называется вектор:

Здесь величины вероятности применения соответствующих стратегий первого и второго игроков.

Игра называется активной , если.

Исходя из рассмотренных определений, можно сделать следующие выводы:

1. Игра приобретает случайный характер.
2. Случайной становится величина выигрыша (проигрыша).
3. Средняя величина выигрыша (математическое ожидание выигрыша) является функцией от смешанных стратегий: и называется платежной функцией игры .

Стратегии называются оптимальными , если для произвольных стратегий выполняется условие.

Значение платежной функции при оптимальных стратегиях игроков определяет цену игры , т.е. .

Решением игры называется совокупность оптимальных статегий и цены игры.

Теорема (основная теорема матричных теории игр - теорема фон Неймана). Любая матричная игра имеет по крайней мере одно решение в смешанных стратегиях – две оптимальные стратегии и соответствующую им цену: .

Методы решения матричных игр

Все методы решения матричных игр, рассматриваемые в нашем курсе, опираются на теорему об активных стратегиях.

Теорема (об активных стратегиях). Если один игрок придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры, если другой игрок не выходит за пределы своих активных стратегий (т.е. пользуется любой из них в чистом виде или смешивает их в любых пропорциях).

Теперь рассмотрим некоторые частные случаи решаемых матричных игр.

1. Игра, имеющая седловой элемент в платежной матрице (игра с седловой точкой)

В этом случае первый игрок реализует свою максиминную стратегию, а второй игрок – свою минимаксную стратегию, нижняя чистая цена игры равна верхней чистой цене игры. Тогда говорят, что игра решается в чистых стратегиях, отклоняться от которых невыгодно никому (см. пример 1).

1. Игра с платежной матрицей 2 на 2, не имеющей седлового элемента.

Здесь нет оптимального решения в чистых стратегиях, поэтому решение отыскивается в смешанных стратегиях. Чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных статегиях. Если первый игрок придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то его средний выигрыш будет равен цене игры, какой бы активной стратегией ни пользовался второй игрок.

Пусть дана платежная матрица

(вокруг матрицы записаны смешанные стратегии игроков). Запишем для первого игрока два уравнения: первое – для случая прменения вторым игроком только его первой стратегии, и тогда используются только элементы первого столбца матрицы, второе – для случая применения вторым игроком только своей второй стратегии, и тогда используются только элементы второго столбца матрицы. Левые части этих уравнений вычисляют математическое ожидание выигрыша первого игрока, которое равно цене игры. Эти два уравнения содержат сразу три неизвестные - , и сами уравнения при этом являются однородными, поэтому для однозначной разрешимости системы необходимо третье уравнение со свободным членом. Этим добавочным и очень важным уравнением является условие нормировки, согласно которому сумма вероятностей всех событий должна равняться единице. Таким образом, окончательно система уравнений для первого игрока выглядит так:

Эта система решается очень просто по той причине, что в ней можно из третьего уравнения выразить одну неизвестную величину через другую. Решение данной системы дает значения оптимальной смешанной стратегии первого игрока и соответствующую ей цену игры.

Для полного решения игры осталось найти оптимальную смешанную стратегию второго игрока. Здесь игроки как бы меняются местами. Построение системы уравнений аналогично предыдущему случаю. Отличие в том, что в качестве коэффициентов системы берутся не столбцы матрицы, а строки, поскольку именно строки отвечают чистым стратегиям первого игрока. Таким образом, система выглядит так:

Пример 3. Найти смешанные стратегии игроков для матрицы.

Составим системы уравнений для первого игрока и для второго:

Решение которых даёт

Таким образом, запишем решение игры в виде:

1. Графическое решение игры два на два.

Снова рассмотрим пример 3. Отложим на оси абсцисс отрезок единичной длины. На концах этого отрезка нарисуем вертикальные оси I - I и II - II . Отложим на оси I - I значения выигрышей первого игрока при использовании им первой стратегии. На оси II - II отложим выигрыши первого игрока при использовании им второй стратегии. Соединим точки отрезками прямых. Ломаная B 1 KB 2 - нижняя граница выигрыша . На этой границе лежит минимальный выигрыш игрока А при любой его смешанной стратегии. Точка К , в которой этот выигрыш достигает максимума, определяет решение и цену игры. Для смешанной стратегии второго игрока можем также записать:

Стратегию второго игрока можно найти и непосредственно, если на графике поменять игроков местами, а вместо максимума нижней границы выигрыша рассмотреть минимум верхней границы проигрыша. В любом случае точка К является одновременно точкой максимина и минимакса.

1. Графическое решение игры .

Построение аналогично случаю два на два. Здесь n стратегий противника изобразятся отрезками n прямых. Далее рассматривается нижняя граница, которая представляет собой ломаную. Максимум ломаной достигается в одной из вершин, где пересекаются две стратегии противника, которые являются активными .

В теории игр доказывается, что у любой конечной игры существует решение, в котором число активных стратегий каждой стороны не превосходит наименьшего из чисел или. Следовательно, игра имеет решение, в котором с каждой стороны участвует не более двух активных стратегий. (Так же может быть решена и игра). Стоит только найти эти стратегии – и игра превращается в игру.

Пример 4 . Решить игру со следующей платежной матрицей:

Эта игра имеет 2 стратегии со стороны первого игрока и три стратегии со стороны второго. Поэтому графическим способом определим одну из стратегий второго игрока, которая является неактивной. Построим график относительно стратегий первого игрока.

Из графика видно, что для второго игрока явно невыгодной является первая стратегия, которая является неактивной. Таким образом, из матрицы игры исключаем первый столбец, соответствующий первой стратегии второго игрока, и приходим к матрице размерности два на два следующего вида:

Для этой матрицы запишем систему уравнений - для первого игрока, и систему: - для второго игрока. Решение этих систем дает следующий результат:

1. Игра с платежной матрицей mx2

Как уже отмечалось выше, игра предварительно решается графически с точки зрения второго игрока. При этом определяются активные стратегии второго игрока. На графике применяется минимаксная стратегия, и рассматривается минимум верхней границы проигрыша. Рассмотрим пример.

Пример . Решить матричную игру со следующей матрицей:

Построим график, где слева отложим значения проигрышей второго игрока при использовании им первой стратегии, а справа – значения проигрышей второго игрока при использовании им второй стратегии.

Из графика видно, что вторая стратегия для первого игрока является невыгодной, поскольку при её применении выигрыш первого игрока (и, соответственно, проигрыш второго) будет меньше. Таким образом, активными стратегиями первого игрока будут первая и третья. Соответственно запишем системы уравнений для смешанных стратегий игроков:

Решение системы: Для первого игрока система имеет вид (стратегию А 2 не учитываем как неперспективную):

Решением системы будут значения Таким образом, решение игры выглядит так: .

1. Игры с доминирующими и дублирующими стратегиями.

Рассмотрим две стратегии первого игрока – i – ю и k – ю. При этом пусть для всех элементов соответствующих строк матрицы выполняются условия: . В этом случае говорят, что i – я стратегия первого игрока доминирует над его j – й стратегией. Если каждое неравенство выполняется как строгое, то говорят, что одна стратегия строго доминирует над другой. В любом случае из двух стратегий первый игрок предпочтет доминирующую, поскольку при использовании доминируемой стратегии его выигрыш по меньшей мере не увеличится. В этом случае можно принять.

Аналогично рассмотрим две стратегии второго игрока - j - ю и l – ю, и при этом для элементов соответствующих столбцов матрицы выполняются условия: . Для второго игрока, как известно, более выгодной является стратегия, дающая меньший проигрыш, поэтому говорят, что j - я стратегия доминирует над l - й. Если попарные неравенства являются строгими, то говорят, что одна стратегия строго доминирует над другой. При этом, естественно, .

В случае, если у какого – либо из игроков две стратегии имеют в матрице только совпадающие элементы, то эти стратегии называются дублирующими . При этом неважно, какую из них игрок предпочтет для решения игры.

В результате при наличии доминирующих и дублирующих стратегий часть стратегий можно не рассматривать, что приведет в ряде случаев к значительному упрощению платежной матрицы.

1. Эквивалентное преобразование платежной матрицы.

Это преобразование применяется для облегчения расчетов, и при этом оптимальные смешанные стратегии игроков не изменяются.

Теорема . Оптимальные смешанные стратегии соответственно 1 – го и 2 – го игроков в матричной игре с ценой v будут оптимальными и в матричной игре с ценой, где.

Пример . В матричной игре с платежной матрицей примем b =10, C =-6 . Применим преобразование bA + c , тогда получим игру с теми же оптимальными стратегиями, но с другой эквивалентной матрицей: .

Эквивалентность матричной игры паре двойственных ЗЛП.

Рассмотрим матричную игру размером. Сведем её к задаче линейного программирования в общем виде. Имеем:

Будем считать, что. Это всегда можно сделать по теореме об эквивалентном преобразовании платежной матрицы, следовательно, можно считать цену игры положительным числом, v >0 .

Для первого игрока имеем систему неравенств (с учетом того, что первый игрок стремится как можно больше выиграть, цена игры для него будет превышать v ):

Введем новые переменные делением на цену игры: , тогда получим ЗЛП:

При построении целевой функции учитываем, что цена игры для первого игрока максимизируется.

Аналогично имеем для второго игрока систему неравенств:

Разделив на цену игры и введя новые переменные, получим ЗЛП для второго игрока:

Здесь целевая функция задана на максимум, т.к. цена игры для второго игрока минимизируется.

В результате получили пару симметричных двойственных ЗЛП. Согласно первой теореме двойственности, следовательно, цена игры v имеет одно и тоже значение для обоих игроков.

Понятие об игре с природой (статистические игры)

Здесь один из участников – человек или группа лиц с общей целью – т.н. статистик (игрок А), другой участник – природа (игрок П), или весь комплекс внешних условий, при которых статистику приходится принимать решение. Природа безразлична к выигрышу и не стремится обратить в свою пользу промахи статистика.

Статистик имеет m стратегий; природа может реализовать n различных состояний. При этом могут быть известны вероятности реализации состояний природы. Если статистик может оценить применение каждой своей стратегии при любом состоянии природы, то игру можно задать платежной матрицей:

При упрощении платежной матрицы нельзя отбрасывать те или иные состояния природы, т.к. природа может реализовать любое из своих состояний независимо от того, выгодно это статистику или нет. Природа может даже помогать игроку А .

При выборе оптимальной стратегии статистика пользуются различными критериями. При этом опираются как на платежную матрицу, так и на матрицу рисков.

Риск статистика. Матрица рисков имеет ту же размерность, что и платежная матрица:

Пересчет из платежной матрицы в матрицу рисков производится по столбцам: в каждом столбце платежной матрицы выбирается наибольший элемент, который в матрице рисков заменяют нулем, а остальные элементы столбца матрицы рисков получают вычитанием соответствующих элементов из этого наибольшего элемента.

Если вероятности состояний природы известны, используется критерий Байеса : выбирается та стратегия, которая обеспечивает максимальную величину среднего выигрыша статистика:

При неизвестных вероятностях состояний природы применяется принцип недостаточного основания Лапласа, когда все состояния считаются равновероятными:

Тогда средний выигрыш по каждой стратегии рассчитывается как среднее арифметическое выигрышей по всем возможным состояниям природы:

Эквивалентный подход заключатся в подборе стратегии, обеспечивающей наименьший средний риск статистика:

при известных вероятностях состояний природы и

в случае, если эти вероятности неизвестны. При таком подходе результат будет точно таким же, что и при анализе наибольшего среднего выигрыша.

Если вероятности состояний природы неизвестны, то более широко используются критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

Оптимальной по критерию Вальда считается стратегия А i , которая обеспечивает из всех наименьших выигрышей наибольшее значение. В этом случае из матрицы выигрышей (т.е. платежной матрицы) в каждой строке выбирается наименьший элемент, а затем среди этих элементов выбирается наибольший:

По критерию Сэвиджа оптимальной считается стратегия, которая минимизирует величину максимального риска, т.е. из каждой строки матрицы рисков выбирается максимальный элемент, а затем среди этих элементов выбирается строка, в которой находится минимальный элемент:

Оптимально по критерию Гурвица считается стратегия, найденная из условия:

где - «коэффициент пессимизма». При χ=1 имеем критерий Вальда, или критерий крайнего пессимизма, при χ=0 – критерий «крайнего оптимизма». Рекомендуется выбирать χ между нулем и единицей, из субъективных соображений.

В результате применения нескольких критериев они сравниваются между собой, и в качестве наилучшей выбирается та стратегия статистика, которая чаще других фигурирует в качестве наилучшей.

5.7. Краткие замечания к вопросу о выборочном контроле над вооружением
Мы уже говорили, что главная цель контроля состоит в том, чтобы проверять, соблюдает ли другая сторона соглашение о контроле над вооружением. Контроль может осуществляться путем наблюдения за производством и хранением военных материалов, движением транспорта с военными материалами, количеством оружия в определенных стратегических районах или наличием или отсутствием скрытых военных установок. При ядерных или каких-либо других испытаниях, запрещенных договором, наблюдатель должен искать определенные доказательства, которые могут ему помочь при интерпретации подозрительных сигналов .
Абсурдно и невозможно изучать все подозрительные события, чтобы выяснить, соблюдается ли соглашение. В промышленности давно установлено, что для контроля качества продукции вовсе не обязательно контролировать все изделия, достаточно проверять наудачу выбранные образцы. Стоимость выборочного, контроля может быть достаточно высока, даже если используются достоверные методы контроля качества.
Выборочные методы, применяемые к проблемам контроля над вооружением, могут различаться по сложности. В целом идеи и методы, столь полезные при изучении характеристик совокупности, применимы и полезны для исследования.
Нам нет необходимости вникать в детали различных типов выборочных методов, таких, как случайные, послойные, групповые, последовательные и др. Нам не надо также говорить о различных методах получения статистических выводов, которые используют корреляцию и регрессию, оценки и гипотезы о проведении испытаний. Об основных понятиях и применении упомянутых методов можно прочитать в широко распространенных книгах по статистике и ее приложениям. Здесь мы попытаемся обрисовать типичную ситуацию, в которой можно эффективно использовать выборочные методы для проверки соблюдения противником договора о контроле за вооружением.
Проблема выборочного контроля состоит из двух больших вопросов. Первый - определение размера выборки и типа выборочной процедуры, наиболее подходящей в конкретной оитуации. Второй- получение статистических выводов о всей совокупности на основании данных выборочного контроля, Оба эти вопроса должны быть решены так, чтобы выполнялись условия, накладываемые
Договором о разоружений, a также, чтобы они были согласованы с другими условиями, не зависящими от группы наблюдателей. Результаты выборочного контроля затем должны быть изложены в форме, удобной для лиц, принимающих решения. Областью, в которой выборочные методы могут быть полезны для контроля над вооружением, например, является анализ системы записей, в которых содержится информация о перевозках и производстве стратегических материалов. Однако использование таких записей для контроля требует больших затрат. Кроме того, может оказаться, что получить доступ к этим записям путем переговоров невозможно. Тем не менее, если такие записи поступят в распоряжение сторон в результате соглашения, надо предусмотреть возможность их использования. Контроль по отчетности имеет своей целью создание и функционирование системы отчетов и докладов, регистрации поступления и убытия, чтобы предотвратить рассеяние и потерю материалов из-за небрежности или, если утеря имела место, обеспечить отыскание утерянного и предотвращение подобных случаев в будущем.
При выборочном контроле таких нематериальных вещей, как записи, возникает множество необычных задач. Одна из них - это соответствие записей действительному положению вещей. Другая - состоятельность записей.
Если существующий уровень активности в сферах деятельности, охваченных договором, указан в документах заинтересованных сторон, то группа наблюдателей имеет основу для отыскания видов деятельности, уровень активности в которых не указан, С другой стороны, гораздо труднее выяснить, не превышает ли уровень активности в некоторой сфере деятельности установленный догово-
ром, так как поток материалов нельзя разДелйтЬ на черное и белое, он включает в себя и все оттенки серого. Поэтому от группы наблюдателей требуется внимательность и умение распутывать сложные вопросы. Естественно, небольшие нарушения не могут дать больших преимуществ нарушителю, я пооизводство вооружений для подготовки крупных военных операций предполагает широкий план нарушений.
Мы верим, что примерно такими должны быть методы, применимые на последних стадиях разоружения. Они будут служить инструментом, используемым в повседневной деятельности по проведению в жизнь договора о контроле над вооружением. Но задолго до этой стадии идеи, изложенные в первых пяти главах настоящей книги, будут играть важную роль в создании мер по действительному сокращению вооружений.
Краткое описание проблем, возникающих при выборочном контроле над вооружением, будет дано ниже. Выборочные процедуры мало используются при оценках свойств, сравнительно редко встречающихся у элементов совокупности. Если лишь немногие элементы обладают этим свойством, например, 1 из 10 тыс., то оценка будет очень приближенной при условии, что выборка не будет чрезвычайно велика (большие расходы). Например, если в маленькой выборке обнаружено искомое свойство, то оценка для всей совокупности будет сильно завышена. Никакое изменение выборочной процедуры не помогает избежать этого недостатка, и следует проявлять осторожность при отборе элементов выборки. То же самое можно сказать и о поисках нарушений при производстве изделий для небольшого количества оружия. Это все равно, что искать иголку в стоге сена.
Предположим, что мы должны проверить завбД, производящий детали к сельскохозяйственным машинам, но на котором можно изготовлять и некоторое количество деталей для военного оборудования. Допустим также, что количество машин, используемых в мирных целях, неизвестно и, следовательно, нельзя сказать, какое количество деталей данного типа предназначено для этой цели, Как можно установить, что производится избыточное количество деталей?
Мы можем установить нормы срока службы этих деталей и срока службы машин, в которых используются эти детали. Необходимо также определить количество выпускаемых машин на основе осмотра заводов, на которых они производятся. Используя случайные выборки из совокупности машин, мы можем оценить объем совокупности и потребность в данных деталях. Теперь мы имеем оценку числа деталей, необходимых для создания новой машины и для замены изношенных деталей в старых машинах. Наблюдая скорость изготовления данных деталей и оценивая максимальный объем продукции, мы можем подтвердить или опровергнуть подозрения, что эти детали тайно используются в военной продукции.
Статистика служит инструментом для измерения эффективности действий, предпринимаемых в процессе проведения политики. Эти меры или индексы служат критериями для оценки того, насколько точно выполняются соглашения. Например, средние уровни часто используются для того, чтобы показать, сколько операций закончено. Иногда мы можем использовать визуальный контроль для оценки степени выполнения требований. Однако, если надо проводить большое число проверок для обследования многих областей, необходимы статиСТические методы для получения единого критерия выполнения требований. Об эффективности действия можно судить по тому, насколько оно соответствует целям, которые преследует данная политика. Поэтому, кроме разработки состоятельных целей и стабильных линий поведения, должны быть предприняты действия (как выражение политики), которые обеспечивают эффективное выполнение этих требований.
Иногда бывает так, что не существует эффективных действий, которые можно было бы использовать для проведения некоторой политики. Таков, например, случай, когда две страны блокируют действия друг друга. Если государство не может действовать в соответствии со своими целями, то в стране возникают беспорядки. В гл. 6 будут рассмотрены общие понятия беспорядка, агрессии и факторы, влияющие на разрешение конфликтов.

Часть IV
ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ И ДОЛГОСРОЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ КОНТРОЛЯ НАД ВООРУЖЕНИЕМ -АНАЛИЗ РАЗРАСТАНИЯ КОНФЛИКТОВ, ИДЕИ И ПЕРСПЕКТИВЫ

ГЛАВА 6
ИССЛЕДОВАНИЕ КОНФЛИКТОВ

6.1. Введение
В этой, главе будут изложены некоторые вопросы, касающиеся причин возникновения конфликтов. Сначала мы опишем некоторые исследования эска-
лации на примерах конфликтов лабораторного типа и выясним, какие факторы определяют разрастание конфликтов. Затем будут приведены некоторые качественные рассуждения относительно войны и мира в истории человечества.
«Конфликт возникает в результате недовольства, а недовольство - в результате недостаточного удовлетворения потребностей» утверждают сторонники одной из идеологических школ . Война и мир кратко описываются как цепь расстройств и выздоровлений.
Другие школы (некоторые из них кратко упоминаются) считают, что войны порождаются агрессивными инстинктами, ненавистью, скукой, взаимным непониманием, различиями в уровне культуры, желанием объединить разделенную страну на основе ненависти к общему врагу, новыми научными открытиями, стремлением стимулировать рост экономики путем создания «искусственного» спроса, желанием захватить новые рынки, борьбой за выживание, расширением динамической цивилизации, стремлением к господству элиты военно-промышленного комплекса и т. п. Однако, как бы то ни было, теория, изложенная в разд. 2.4, дает возможность рационально решить вопрос о втягивании в конфликт.
Существующее положение выглядит не очень надежным. Поэтому делается попытка нарисовать картину будущего и показать реальные возможности установления прочного мира при условии, что нам удастся пережить настоящий момент. В последнем разделе описаны некоторые области исследования и действия, рекомендуемые в данный период (и в ближайшем будущем), которые могут помочь мирному разрешению конфликтов.

6.2. Опыты с эскалацией конфликтов
Мы иногда ошибочно полагаем, что если народы понимают всю опасность ядерного оружия, то они стремятся разумно решать возникающие конфликты, в худшем случае используя обычное оружие. Однако, что вполне естественно, проигрывающая сторона может прибегнуть к угрозе использовать ядерное оружие, чтобы избежать поражения и даже восстановить утраченные позиции. Это может окончиться катастрофой. Кроме того, у некоторых народов понятие разумности отличается от нашего, особенно, если им нечего терять материально. До тех пор, пока процессы эскалации и методы управления ими не изучены полностью, маловероятно, что удастся удержать под контролем войну, ведущуюся обычными средствами. Осознание процессов эскалации и методов управления ими значительно увеличит надежды на ограничение ущерба в случае возникновения конфликта. Эта теория должна найти свое применение и к войне, которая ведется обычными средствами, если существуют указания, в каком направлении будет развиваться конфликт в случае тех или иных действий. Такие действия иногда направлены на деэскалацию путем подавления врага, но в действительности они только усиливают конфликт.
В течение последних нескольких лет Агенство по разоружению и контролю над вооружением совместно с Центром по исследованию операций в Пенсильванском университете проводило исследование условий, при которых происходит эскалация или деэскалация конфликтов, чтобы выяснить возможность воздействия на скорость эскалации или деэскалации путем управления условиями, определяющими взаимодействие сторон - участниц конфликта. Исследование включало в себя: а) анализ некоторых исторических конфликтов и изучение соответствующей литературы, б) проведение экспериментов с целью определения эффекта взаимодействия между различными переменными и в) разработку теории на базе экспериментальных данных и обобщение ее на реальные проблемы.
В результате анализа литературы было предложено несколько гипотез об эскалации и деэскалации, а затем в экспериментальных ситуациях были проверены: а) их общность и б) идентификация критических переменных. Примеры гипотез: а) при отсутствии коммуникаций вероятность эскалации возрастает, б) чем большую роль играют идеологические вопросы, тем вероятнее эскалация, в) эскалация зависит от экономического развития, г) эскалация более возможна, если конфликт развивается постепенно, д) эскалация более вероятна в присутствии многостороннего командования .
Была построена относительно сложная экспериментальная ситуация, так называемая «искусственная реальность» (или «богатая игра»), которая тем не менее была самой простой игрой, отвечающей следующим условиям:
1. Она достаточно «богата», чтобы можно было проверить многие гипотезы, высказанные об изучаемых явлениях, в данном случае речь идет о динамике крупных социальных конфликтов. (Очевидно, что такие эксперименты не могут подтвердить гипотезу о том или ином реальном явлении, но они могут определить пределы действия гипотезы или показать, в каком направлении ее можно или нужно обобщать.) Цель условий - создать экспериментальную ситуацию, достаточно реалистическую для того, чтобы большинство свойств реального конфликта было применимо к ней.
2. Должны существовать точные описания переменных и единицы для их измерения, кроме того, должны быть указаны упрощения (например, некоторая переменная полагается равной постоянной). Это дает нам возможность последовательно конструировать все более богатые экспериментальные ситуации путем введения усложнений.
3. Соответствующее поведение в экспериментальной ситуации должно быть выражено количественно.
4. Ситуация должна разлагаться на ряд более простых экспериментальных ситуаций и, если возможно, эти простые ситуации должны быть уже изучены или близки к уже изученным.
Экспериментальная ситуация, удовлетворяющая этим условиям, не является моделью реальности, а, скорее, может считаться первым шагом на пути создания количественных моделей реальной ситуации; поэтому мы называем ее «искусственной реальностью». Она используется для того, чтобы накопить опытные данные, для истолкования которых строится первая теория. Опыт накапливается при помощи богатой игры в процессе эксперимента, который поставлен с целью систематической проверки гипотезы о реальных конфликтах, которые описаны в оперативных и количественных терминах так, чтобы их можно было использовать в теоретических построениях.

Замечания о построении искусственной реальности
Искусственная реальность состоит из двух симметричных игр, в которых ходы делаются одновременно. Одна из них - это игра с положительной суммой - «дилемма заключенного», которая в какой-то степени изображает международную (две страны) экономику. Другая - игра с отрицательной суммой под названием «петухи», которая напоминает противостояние двух стран, когда они держат курс на столкновение в надежде, что противник пойдет на уступки.
KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ

Обобщение. Состоит в исследовании свойств, связей и отношений конфликта, которые характеризуют не отдельно взятый конфликт, а целый класс однородных в данном отношении конфликтов. При обобщении важно уметь выделять единичное, то, что свойственно только этой конфликтной ситуации, и общее, что присуще целому ряду конфликтов. Данный метод применяется в большинстве научных дисциплин, изучающих конфликт.

Сравнительный метод. Предполагает сопоставление ряда аспектов конфликта и выяснение сходства или различия их проявлений в раз­личных конфликтах. В результате сравнения устанавливаются раз­личия в параметрах конфликта, что позволяет дифференцированно управлять конфликтными процессами.

Математическое моделирование конфликтов

В последнее время для исследования межгрупповых и межгосудар­ственных конфликтов все чаще применяется метод математического моделирования. Его значимость связана с тем, что экспериментальные исследования таких конфликтов достаточно трудоемки и сложны. Наличие модельных описаний позволяет изучить возможное разви­тие ситуации с целью выбора оптимального варианта их регулирова­ния.

Математическое моделирование с привлечением современных средств вычислительной техники дает возможность перейти от простого на­копления и анализа фактов к прогнозированию и оценке событий в реальном масштабе времени их развития. Если методы наблюдения и анализа межгруппового конфликта позволяют получать единичное решение конфликтного события, то математическое моделирование конфликтных явлений с использованием ЭВМ позволяет просчитывать различные варианты их развития с прогнозированием вероятно­го исхода и влияния на результат.

Математическое моделирование межгрушювых конфликтов позволяет заменить непосредственный анализ конфликтов анализом свойств и характеристик их математических моделей.

Математическая модель конфликта представляет собой систему формализованных соотношений между характеристиками конфликта, разделяемыми на параметры и переменные. Параметры модели отража­ют внешние условия и слабо меняющиеся характеристики конфликта, переменные составляющие - основные для данного исследования характеристики.

Изменение этих значений конфликта представляет главную цель моделирования. Содержательная и операциональная объясняемость используемых переменных и параметров - необходимое условие эффективности моделирования.

Использование математического моделирования конфликтов на­чалось в середине XX в., чему способствовало появление электрон­но-вычислительной техники и большое количество прикладных ис­следований конфликта. Пока трудно дать четкую классификацию математических моделей, используемых в конфликтологии. В осно­вание классификации моделей можно положить применяемый мате­матический аппарат (дифференциальные уравнения, вероятностные распределения, математическое программирование и т. п.) и объектымоделирования (межличностные конфликты, межгосударственные конфликты, конфликты в животном мире и т. д.). Можно выделить типичные математические модели, используемые в конфликтоло­гии:

вероятностные распределения представляют собой простейший способ описания переменных через указание доли элементов со­вокупности с данным значением переменной;

статистические исследования зависимостей - класс моделей, ши­роко применяемый для изучения социальных явлений. Это преж­де всего регрессионные модели, представляющие связь зависимых и независимых переменных в виде функциональных отношений;

марковские цепи описывают такие механизмы динамики распре­делений, где будущее состояние определяется не всей предысто­рией конфликта, а только «настоящим». Основным параметром конечной цепи Маркова является вероятность перехода стати­стического индивида (в нашем случае оппонента) из одного состояния в другое за фиксированный промежуток времени. Каж­дое действие приносит частный выигрыш (проигрыш); из них складывается результирующий выигрыш (проигрыш);

модели целенаправленного поведения представляют собой исполь­зование целевых функций для анализа, прогнозирования и плани­рования социальных процессов. Эти модели обычно имеют вид задачи математического программирования с заданными целевой функцией и ограничениями. В настоящее время это направление ориентировано на моделирование процессов взаимодействия це­ленаправленных социальных объектов, в том числе и определение вероятности возникновения конфликта между ними;

теоретические модели предназначены для логического анализа тех или иных содержательных концепций, когда затруднена воз­можность измерения основных параметров и переменных (воз­можные межгосударственные конфликты и др.);

имитационные модели представляют собой класс моделей, реали­зованных в виде алгоритмов и программ для ЭВМ и отражающих сложные зависимости, не поддающиеся содержательному анали­зу. Имитационные модели - это средство машинного экспери­мента. Оно может использоваться как для теоретических, так и для практических целей. Этот способ моделирования применя­ется для исследования развития уже идущих конфликтов.

Тема 10. Предупреждение конфликтов

1. Особенности профилактики и прогнозирования конфликтов. Объективные и организационно-управленческие условия, способствующие профилактике деструктивных конфликтов.

2. Технология предупреждения конфликта. Изменение своего отношения к ситуации и поведения в ней. Способы и приемы воздействия на поведение оппонента. Психология конструктивной критики.

3. Факторы препятствующие возникновению конфликтов.

4. Методы психокоррекции конфликтного поведения: социально-психологический тренинг; индивидуально-психологическое консультирование; аутогенную тренировку; посредническую деятельность психолога (социального работника); самоанализ конфликтного поведения.

1. Особенности профилактики и прогнозирования конфликтов. Объективные и организационно-управленческие условия, способствующие профилактике деструктивных конфликтов.

Прогнозирование возникновения конфликтов является главной предпосылкой эффективной деятельности по их предупреждению. Прогнозирование и профилактика конфликтов выступают направлениями управленческой деятельности по регулированию социальных противоречий.

Особенности управления конфликтами во многом определяется их спецификой как сложного социального явления.

Важным принципом управления конфликтом является принцип компетентности.

Вмешательство в естественное развитие конфликтной ситуации должно осуществляться компетентными людьми.

Во-первых, - люди, вмешивающиеся в развитие конфликтной ситуации, должны обладать общими знаниями о характере возникновения, развития и завершения конфликтов вообще.

Во-вторых, - необходимо собрать максимально разностороннюю, подробную содержательную информацию о конкретной ситуации.

Еще один принцип .

Регулирование конфликтов требует, не блокировать, а стремиться разрешить его неконфликтными способами.

Лучше все же дать возможность людям защищать свои интересы, но добиться, что бы они делали это путем сотрудничества, компромисса, избегания конфронтации.

Рассмотрим содержание такого понятия как управление конфликтом.

Управление конфликтом – это сознательная деятельность по отношению к нему, осуществляемая на всех этапах его возникновения, развития и завершения участниками конфликта или третьей стороной.

Управление конфликтом включает: диагностику, прогнозирование, профилактику, предупреждение, ослабление, урегулирование, разрешение.

Управление конфликтами более эффективно, если оно осуществляется на ранних этапах возникновения социальных противоречий. Заблаговременное обнаружение социальных противоречий, развитие которых может привести к конфликтам, обеспечивается прогнозированием.

Прогнозирование конфликтов – заключается в обоснованном предположении об их возможном будущем возникновении или развитии.

Прежде чем прогнозировать конфликты, наука должна пройти два этапа в их познании.

Во-первых, - необходима разработка описательных моделей различных видов конфликтов. Необходимо определить сущность конфликтов, дать их классификацию, вскрыть структуру, функции, описать эволюцию и динамику.

Во-вторых, - должны быть разработаны объяснительные модели конфликтов.

Признаки социальной напряженности могут быть выявлены методом обычного наблюдения. Возможны следующие способы прогнозирования " зреющего" конфликта:

1. стихийные мини-собрания (беседы нескольких человек);

2. увеличение числа неявок на работу;

3. увеличение числа локальных конфликтов;

4. снижение производительности труда;

5. повышенный эмоционально-психологический фон;

6. массовое увольнение по собственному желанию;

7. распространению слухов;

8. стихийные митинги и забастовки;

9. рост эмоциональной напряженности.

Выявление источников социальной напряженности и прогнозирование конфликта на ранней стадии его развития значительно снижает затраты и уменьшает возможность негативных последствий. Важным способом управления конфликтами является их профилактика.

Профилактика конфликтов - заключается в такой организации жизнедеятельности субъектов социального взаимодействия, которая исключает или сводит к минимуму вероятность возникновения конфликтов между ними. Профилактика конфликтов – это их предупреждение в широком смысле слова. Предупредить конфликты гораздо легче, чем конструктивно разрешить их. Профилактика конфликтов не менее важна, чем умение конструктивно их разрешить. Она требует меньше затрат сил, средств и времени.

Группа ученых под руководством сотрудника Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского Александра Петухова выявила параметры, которые нужны для управления системой, описывающей социальные конфликты. В случае полного контроля над этими характеристиками ученые смогут создавать условия для возникновения или предотвращения такого конфликта. Результаты изложены в журнале Simulation.

При математическом моделировании социальных и политических процессов нужно учитывать то, что они не могут быть строго заданными, поскольку подвержены постоянным изменениям. Часто социальный процесс сравнивают с броуновской частицей. Такие частицы двигаются по траектории, которая с одной стороны вполне определенна, но при близком рассмотрении оказывается очень извилистой, с множеством мелких изломов. Эти мелкие изменения (флуктуации) объясняются хаотическим движением других молекул. В социальных процессах флуктуации можно трактовать как проявления свободной воли его отдельных участников, а также случайными проявлениями внешней среды.

В физике такие процессы, как правило, описываются стохастическим диффузионным уравнением Ланжевена, которое относительно часто используется и для моделирования некоторых социальных процессов. Подход, основанный на подобных уравнениях, позволяет учесть проявления свободной воли его отдельных участников и случайные проявления внешней среды для социальной системы. Кроме того, благодаря этому подходу можно рассчитать поведение социальной системы как для единого целого, так и для отдельных индивидов-частиц; также он позволяет выявить характерные устойчивые режимы функционирования систем в зависимости от различных начальных условий. Наконец, с точки зрения численного моделирования диффузионные уравнения в достаточной степени апробированы и изучены.

В основе новой модели лежит идея о том, что индивиды взаимодействуют в обществе через поле коммуникации. Его создает каждый индивид в обществе, моделируя информационное взаимодействие между индивидами. Однако следует иметь в виду, что здесь речь идет о социуме, который отличается от объектов классической физики. По словам руководителя исследований Александра Петухова, с точки зрения переноса информации от индивида к индивиду, пространство в обществе сочетает как классические пространственные координаты, так и дополнительные специфические особенности. Это связанно с тем, что в современном мире для передачи информации не нужно находиться рядом с объектом воздействия.

«Таким образом, социум - это многомерное, социально-физическое пространство, отражающее возможность одного индивида "дотянуться" своим коммуникационным полем до другого, то есть повлиять на него, на его параметры и возможность перемещаться в данном пространстве», - отмечает Александр Петухов. Близкое расположение индивидов в данной модели говорит о том, что они регулярно обмениваются информацией. Для такой постановки проблемы конфликтом следует считать вариант взаимодействия индивидов или групп индивидов, в результате которого расстояние в этом многомерном пространстве между ними резко растет.

На основе такого подхода и разработанной модели ученые нашли следующие закономерности: они смогли установить конкретные граничные условия для возникновения социального конфликта и его усугубления; обнаружили характерную область устойчивости для социальной системы, в которой между объектами сохраняется достаточно малая социальная дистанция; определили зависимости, которые соответствуют некоторым современным этносоциальным конфликтам, что дает возможность использовать эту модель как инструмент при прогнозировании их динамики и формировании сценариев урегулирования.

Также в рамках данных исследований ученые доказали, что переход из устойчивого состояния в неустойчивое для многокомпонентной когнитивной системы распределенного типа представляет собой пороговый эффект. По словам Александра Петухова, выполненные эксперименты выявили конкретные параметры, необходимые для управления подобной системой: они определяют переход из устойчивого состояния в неустойчивое, что дает возможность, при полном их контроле, создавать условия для возникновения социального конфликта, или, напротив, - предотвращать. «Развивая данный подход в дальнейшем, мы получим возможность создать на его основе инструмент для полноценного прогнозирования социальных конфликтов», - подводит итог Александр Петухов.

Понравился материал? в «Мои источники» Яндекс.Новостей и читайте нас чаще.

Пресс-релизы о научных исследованиях, информацию о последних вышедших научных статьях и анонсы конференций, а также данные о выигранных грантах и премиях присылайте на адрес science@сайт.

Функ Максим

Актуальность данной работы заключается в возможности расширить собственные представления о применении математики, показать ее возможности в сфере общественных наук, которые по своей природе описывают поведение, как отдельных личностей, так и групп. Математическое изучение конфликтов дает возможность не только рассмотреть действия человека в сложившейся ситуации, но и определить их последствия, особенно, когда они зависят от сочетания стратегий, используемых участниками данной ситуации.В работе показано как математика и шахматы приходят на помощь друг другу в разных ситуациях.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Математические модели конфликтных ситуаций с использованием шахмат Выполнил: Функ Максим, ученик 5 класса А МБОУ «СОШ №71» Руководитель: Сенаторова Л.Г., учитель математики. г. Новокузнецк, 2017 г.

В том-то и состоят шахматы. Сегодня ты даешь сопернику урок, а завтра он тебе. Роберт Фишер, 11-й чемпион мира по шахматам

Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов

Актуальность данного исследования: * расширить собственные представления о применении математики и шахматных знаний; * рассмотреть путем математического изучения конфликтов не только возможные действия человека, но и определить их последствия.

О бъект исследования – математические модели конфликтных ситуаций. Цель исследования – рассмотреть основные понятия теории игр и их применение в конкретных ситуациях. Гипотеза – математические модели с применением шахмат помогают разрешать конфликтные ситуации.

Игра Сенет Игра Урских царей

Формирование теории игр началось в 17 веке и продолжалось до середины 20 века

Джон фон Нейман (1903 –1957) венгеро-американский математик еврейского происхождения, сделавший важный вклад в квантовую физику, квантовую логику, функциональный анализ, теорию множеств, информатику, экономику и другие отрасли науки

Легенда о четырех алмазах

Координаты. От широты и долготы к абсциссе и ординате

Просыпаясь утром, спроси себя: «Что я должен сделать?» Вечером, прежде чем заснуть: «Что я сделал?» Пифагор

Выигрыш и проигрыш на шахматной доске Выигрыш белых. Мат Проигрыш белых. Мат

Давайте играть!

Никто не пожалеет о времени, отданном шахматам, ибо они помогут в любой профессии... Тигран Петросян, 9-й чемпион мира по шахматам Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает на­стойчивость и упорство в достижении цели. А. Маркушевич, математик

Интернет-ресурсы: https:// ru.wikipedia.org http:// chessmaestro.ru http:// life-prog.ru http:// www.magichess.uz http:// stuki-druki.com http:// home.onego.ru https://www.google.ru

Предварительный просмотр:

Введение 3

1. История возникновения и развития теории игр 5

2. Основные понятия теории игр 7

3. Шахматы и математика 8

4. Система координат 11

5. Теорема Пифагора на шахматной доске 13

6. Заключение 15

7. Список литературы 16

Введение

Я выбрал эту тему потому, что с четырех лет занимаюсь шахматами, а математика один из самых моих любимых школьных предметов. Тем более, что у математики и шахмат много общего. Выдающийся математик Годфри Харди, проводя параллель между двумя этими видами человеческой деятельности, заметил как-то, что «решение проблем шахматной игры есть не что иное, как математическое упражнение, а сами шахматы – насвистывание математических мелодий». Существует даже понятие шахматная математика.

Немного поразмыслив, я понял, что данная связь может помочь в овладении и шахматными, и математическими знаниями. В математике есть задачи, которые можно решить, создав математическую модель, и при игре в шахматы постоянно возникают конфликтные ситуации, которые можно разрешить, создав модель.

Я работал по такому плану:

1. Изучить теорию игр.

2. Разобраться, как с помощью шахматных знаний можно разрешить сложные ситуации в математике.

3. Рассмотреть примеры.

4. Сделать вывод.

Теория игр - раздел математики, который изучает главным образом принятие решений. Теория игр применима во многих ситуациях, в которых присутствует конфликт, когда стороны должны принять оптимальное решение, исходя из своих интересов, ничего не зная о решении оппонентов. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу - в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учетом представлений о других участниках, их ресурсах и возможных поступках.

Актуальность данного исследования заключается в возможности расширить собственные представления о применении математики, показать ее возможности в сфере общественных наук, которые по своей природе описывают поведение, как отдельных личностей, так и групп. Математическое изучение конфликтов дает возможность не только рассмотреть действия человека в сложившейся ситуации, но и определить их последствия, особенно, когда они зависят от сочетания стратегий, используемых участниками данной ситуации.

Таким образом, объект данного исследования – математические модели конфликтных ситуаций.

Цель исследования – рассмотреть основные понятия теории игр и их применение в конкретных ситуациях.

Для достижения цели решались следующие задачи:

• изучить теорию игры и ее основные понятия;
• изучить алгоритм построения математической модели конфликтных ситуаций на примере шахматной игры;
• рассмотреть методику построения шахматной игры.

Гипотеза – математические модели с применением шахмат помогают разрешать конфликтные ситуации.

При выполнение работы использовались следующие методы :

поисковый метод; моделирование; метод анализа.

1. История возникновения и развития теории игр

С древнейших времен история математики полна упоминаний об играх и занимательных задачах. С момента появления игр и вплоть до 19 века серьезную и занимательную математику нельзя отделить друг от друга, так как они тесно переплетались. Уже в двух великих цивилизациях древности, вавилонской и египетской, где математика носила только практический характер, встречаются настольные игры и занимательные задачи: игра «Сенет», настольная игра Урских царей.

Серьезная и занимательная математика сосуществовали бок о бок с древнейших времен, но в начале 17 века появляется особое направление, посвященное анализу игр. В 1612 году опубликована первая книга, посвященная только занимательной математике. Ее автор – Клод Гаспар Баше де Мезириак. В этой книге даны описания задач о волке, козе и капусте, магических квадратах, задачи о взвешиваниях.

Начиная с этого момента появляется множество похожих книг. А в 17 веке Христиан Г. Юйгенс (1629-1695) и Готфрид В. Лейбниц (1646–1716) предложили создать дисциплину, в которой бы использовались научные методы для изучения человеческих конфликтов и взаимодействий при помощи игр. На протяжении всего 18 века не было написано практически ни одной работы по анализу игр, которая бы имела подобную цель. В 19 веке многие экономисты создавали простые математические модели для анализа простейших конкурентных ситуаций. Среди них выделяется работа французского экономиста Антуана Огюста Курно «Исследование математических принципов теории богатства» (1838). Тем не менее теория игр как фундаментальная математическая теория появилась лишь в первой половине 20 века.

В начале 20 века начала складываться теоретическая основа современной теории игр, окончательно оформившаяся в середине столетия. Авторство первой теоремы принадлежит логику Эрнсту Цермело (1871– 1956). Он сформулировал и доказал ее в 1912 году. Эта теорема подтверждает, что любая конечная игра с полной информацией (например, шашки или шахматы) имеет оптимальное решение в чистых стратегиях, то есть в отсутствие элемента неопределенности. Но эта теорема не описывает, как можно найти подобные стратегии.

Примерно в 1920 году великий математик Эмиль Борель заинтересовался бурно развивающейся теорией и представил идею о смешанной стратегии (в которой фигурирует элемент случайности). Вскоре над этой темой начал работать Джон фон Нейман.

Джон фон Нейман, известный по работам во множестве областей, является одним из наиболее выдающихся математиков 20 века. Он внес существенный вклад во многие сферы науки. Одно из важнейших его достижений, относящее к прикладной математике в экономике, - создание первой книги с системным изложением теории игр и подхода к анализу экономических проблем под названием «Теория игр и экономическое поведение». В 1943 г. Нейман написал её вместе с Оскаром Моргенштерном. Этот труд считается фундаментальным в теории игр. Он ознаменовал создание теории игр, которая уже через несколько лет, начиная с 1950-х годов, стала находить применение в анализе множества реальных ситуаций.

Основные вопросы, которыми занимались специалисты по теории игр в 1950-60-е, были связаны в том числе и с внешней политикой, в частности ядерными сдерживанием и гонкой вооружений.

В России теорией игр занимаются в основном математики – Ольга Бондарева, Елена Яновская, Сергей Печерский, Виктория Крепс, Виктор Доманский, Левон Петросян в Петербурге, Виктор Васильев в Новосибирске, Николай Кукушкин и Владимир Данилов в Москве.

2. Основные понятия теории игр

Ситуации, в которых сталкиваются интересы двух сторон и результат любой операции, осуществляемой одной из сторон, зависит от действий другой стороны, называются конфликтными .

Конфликтная ситуация, взятая из реальной жизни, как правило, довольно сложна. К тому же ее изучение затруднено наличием разных обстоятельств, часть из которых не оказывает существенного влияния ни на развитие конфликта, ни на его исход. Поэтому для того чтобы анализ конфликтной ситуации оказался возможным, мне обходимо отвлечение от этих второстепенных факторов. Я буду говорить о конфликтной ситуации с общепринятой точки зрения, где формализованная модель конфликта называется игрой (шашки, шахматы, карты и т.д.). От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что в игре противники действуют по строго определенным правилам.

Отсюда терминология теории игр: конфликтующие стороны называются игроками , одно осуществление игры - партией , исход игры - выигрышем или проигрышем.

Типичный конфликт характеризуется тремя основными составляющими:

1. заинтересованными сторонами,
2. возможными действиями этих сторон,
3. интересами сторон.

Действия, которые выполняют игроки называются стратегиями . Когда оптимальная стратегия содержит элемент неопределенности и должна держаться в секрете, такую стратегию называют смешанной . Если оптимальная стратегия не содержит элемент случайности, то ее называют чистой.

Игры можно классифицировать различными способами в зависимости от выбранного критерия: место для игры, число участников, длительность партии, уровень сложности и т.д. Применительно к математике игры можно разделить на две большие группы в зависимости от того, присутствуют в них случайные события или нет. Случайные события могут фигурировать как в начальных условиях игры, так и при совершении ходов. Например, в большинстве карточных игр карты раздаются игроками случайном образом. Так же происходит и в домино.

Стратегическими называются игры, в которых никогда не происходит случайных событий. Все определяет только решение игроков. Благодаря отсутствию случайности, игры этого типа можно проанализировать и найти способ победить (шахматы).

3. Шахматы и математика

Шахматы – это игра, которая тесным образом связана с математикой и разрешением конфликтных ситуаций. Поэтому предлагаю вам рассмотреть шахматную доску.

Рис.1

Шахматная доска – это не просто 64 клетки. На ней есть и координаты, и симметрия, и геометрия (рис.1). В математических задачах и головоломках на шахматной доске дело, как правило, не обходится без участия фигур. Однако доска сама по себе также представляет достаточно интересный математический объект. Четкость и правильность линий напоминает, что разрешение конфликта должно вестись корректно, разумно, с соблюдением правил, которые не навредят оппонентам. Рассмотрим ситуации, которые можно разрешить с помощью шахмат.

Мне хотелось бы напомнить вам одну старинную легенду о происхождении шахмат, связанную с арифметическим расчетом на доске.

Когда индийский царь впервые познакомился с шахматами, он был восхищен их своеобразием и обилием красивых комбинаций. Узнав, что мудрец, который изобрел игру, является его подданным, царь позвал его, чтобы лично наградить за гениальную выдумку. Властелин пообещал выполнить любую просьбу мудреца, и был удивлен его скромностью, когда тот пожелал получить в награду пшеничные зерна. На первое поле шахматной доски - одно зерно, на второе - два, и так далее, на каждое последующее вдвое больше зерен, чем на предыдущее. Царь приказал побыстрее выдать изобретателю шахмат его ничтожную награду. Однако на следующий день придворные математики сообщили своему повелителю, что не в состоянии исполнить желание хитроумного мудреца. Оказалось, что для этого не хватит пшеницы, хранящейся не только в амбарах всего царства, но и во всех амбарах мира. Мудрец скромно потребовал

зерен. Это число записывается двадцатью цифрами и является фантастически большим. Подсчет показывает, что амбар для хранения необходимого зерна с площадью основания 80 м 2 должен простираться от Земли до Солнца.

Это количество зерна примерно в 1800 раз превышает мировой урожай пшеницы за год, то есть превышает весь урожай пшеницы, собранный за всю историю человечества.

S = 18 446 744 073 709 551 615

Восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать.

Конечно, связь с математикой здесь несколько условна, однако неожиданная развязка истории наглядно иллюстрирует грандиозные математические возможности, скрывающиеся в шахматной игре.

Уместно привести одну гипотезу, использующую некоторые математические свойства доски. Согласно этой гипотезе шахматы произошли из так называемых магических квадратов.

Магический квадрат порядка n представляет собой квадратную таблицу n × n, заполненную целыми числами от 1 до n 2 и обладающую следующим свойством: сумма чисел каждой строки, каждого столбца, а также двух главных диагоналей одна и та же. Для магических квадратов порядка 8 она равна 260 (рис. 2).

Рис. 2. Альмуджаннах 1 и магический квадрат

Закономерность расположения чисел в магических квадратах придает им волшебную силу искусства. Недаром выдающийся немецкий художник А. Дюрер был настолько очарован этими математическими объектами, что воспроизвел магический квадрат в своей знаменитой гравюре “Меланхолия”.

Подобные примеры (число их можно увеличить) и позволяют высказать гипотезу о связи магических квадратов с шахматами. А исчезновение следов этой связи можно объяснить тем, что в далекую эпоху суеверий и мистики древние индусы и арабы приписывали числовым сочетаниям магических квадратов таинственные свойства, и эти квадраты тщательно скрывались. Может быть, поэтому и была выдумана легенда о мудреце, который изобрел шахматы.

Среди математических задач и головоломок о шахматной доске наиболее популярны задачи на разрезание доски. Первая из них также связана с легендой.

Альмуджаннах 1 - старинная дебютная табия (начальное расположение фигур)

Рис. 3. Легенда о четырех алмазах

Один восточный властелин был таким искусным игроком, что за всю жизнь потерпел всего четыре поражения. В честь своих победителей, четырех мудрецов, он приказал вставить в его шахматную доску четыре алмаза - на те поля, на которых был заматован его король (см. рис. 3, где вместо алмазов изображены кони).

После смерти властелина его сын, слабый игрок и жестокий деспот, решил отомстить мудрецам, обыгравшим его отца. Он велел разделить им шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые по форме части так, чтобы каждая заключала в себе по одному алмазу. Хотя мудрецы выполнили требование нового властелина, он все равно лишил их жизни, причем, как гласит легенда, для казни каждого мудреца использовал его часть доски с алмазом.

Эта задача о разрезании доски часто встречается в занимательной литературе.

Разрезать доску на четыре одинаковые части (совпадающие при наложении) так, чтобы на каждой из них оказалось по одному коню. Предполагается, что разрезы проходят только по границам между вертикалями и горизонталями доски.

Одно из решений задачи представлено на рис. 3. Располагая четырех коней на различных полях доски, мы получаем множество задач о разрезании. Интерес в них представляет не только нахождение одного необходимого разреза, но и подсчет числа всех способов разрезать доску на четыре одинаковые части, содержащие по одному коню. Установлено, что наибольшее число решений - 800 - при расположении коней в углах доски.

Как мы можем с вами видеть, достойно из данных шахматных ситуаций выходят мудрецы, т.е. люди, обладающие знанием и верящие в него. В общении друг с другом возникают ситуации, требующие согласованности действий и проявления доброжелательного отношения к соперникам, умения отказаться от личных желаний ради достижения общих целей, а порой истины. К сожалению, не все и не всегда, даже за шахматной доской, способны достойно выйти из сложившейся ситуации. Это нелегкий, каждодневный труд. И шахматы этому учат.

В нашей школе в параллели 5-х классов обучаются 78 учеников, 25 из них (21%) занимаются шахматами и учатся на «4» и «5».

Нетрудно сделать вывод. Шахматы не просто игра, а вид спорта, тренирующий и развивающий мыслительные процессы. Связь между обучением и игрой неоспорима.

4. Система координат

Более чем за 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо теперь известные географические координаты: широту и долготу – и обозначить их числами.

В ХIVв. французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.

Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Р. Декарту.

Декартовая система координат на плоскости задается взаимно перпендикулярными координатными прямыми с общим началом в точке О и одинаковым масштабом . Точка О называется началом координат. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс или осью х , вертикальная – осью ординат или осью у. Координатную плоскость обозначают хОу.

Пусть точка Р лежит на плоскости хОу. Опустим из этой точки перпендикуляры на координатные оси; основание перпендикуляров обозначим Р х и Р у . Абсциссой точки Р называется координата х точки Р х на оси Ох , ординатой – координата у точки Р у на оси Оу .

Рис.4

Расстояние между двумя точками Р 1 (х 1 ;у 1 ) и Р 2 (х 2 ;у 2 ) на плоскости определяется с помощью теоремы Пифагора. Об этом я буду говорить далее.

Рис. 5

На рисунках мы видим билеты в цирк и театр. На каждом из них дано описание того, где находится место владельца данного билета: номер ряда и номер места в этом ряду.

Описание того, где расположен тот или иной объект (предмет, место), называют его координатами . Так на билете в цирк номер ряда и номер места в ряду - координаты этого места.

На шахматной доске тоже есть координаты. При профессиональной игре, обычно, ведут записи (обозначение фигур и координаты этих фигур).

На рисунке 6 мы видим, некий алгоритм определения координат чёрного короля.

(Кр. c2)

Рис.6

Система координат используется не только в шахматах, но и в других играх (Морской бой, настольные игры, Биатлон, рисование по точкам, графические диктанты и т.д.)

Я думаю, что если бы большинство людей играло в подобные игры (в семье, с друзьями), то огромного количества бытовых конфликтов можно было бы избежать. Потому что игра – это один из способов победить разногласия. А умение решать маленькие конфликты путем компромисса будет совершенствоваться, значит и более серьезные проблемы тоже можно решить.

5. Теорема Пифагора на шахматной доске.

Все мы знаем известную теорему Пифагора «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» .

Рис.7

Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С . Проведем высоту СD из вершины прямого угла С . АС 2 + ВС 2 = АВ 2 .

Эту теорему уже несколько сотен лет изучают школьники. С её помощью решают задачи, ею пользуются инженеры, архитекторы, проектировщики, модельеры. Теорема Пифагора широко используется и в повседневной жизни.

Рассмотрим доказательство этой теоремы на шахматной доске.

Рис.8 Рис.9

Разобьем доску на квадрат и четыре одинаковых прямоугольных треугольника (Рис.8). На рис.9 изображены те же четыре треугольника и два квадрата. Треугольники в обоих случаях занимают одну и ту же площадь, и, следовательно, одну и ту же площадь занимают оставшиеся части доски без треугольников (на рис.8-один квадрат, а на рис.9-два). Поскольку большой квадрат построен на гипотенузе прямоугольного треугольника, а маленькие – на его катетах, то знаменитая теорема Пифагора доказана!

Можно доказать теорему следующим образом:

Рис.10

В центре шахматной доски нарисовать треугольник АВС (рис.10). На катетах и гипотенузе этого треугольника построить квадраты, причем квадрат, построенный на гипотенузе, состоит из квадратов, входящих в разбиения квадратов, построенных на катетах.

Квадраты 1 и 2 состоят из восьми маленьких квадратиков, в сумме получаем количество квадратиков, из которых состоит квадрат 3 построенный на гипотенузе.

Если вы внимательно посмотрите на данный рисунок, то увидите красивый дом. Такие обычно рисуем мы – дети. В таком доме точно нет конфликтов, потому что все просчитано и построено с помощью древнейшей игры – шахматы и одной из древнейших наук – математики. В таком доме уютно и комфортно.

6. Заключение

В самом начале своей работы я ставил цель - рассмотреть разрешение конфликтных ситуаций в математике с помощью шахмат, и считаю, что выполнил поставленную задачу. На примерах я разобрал применение шахмат для решения и математических задач.

Вывод: математика помогает шахматистам играть и выигрывать. А шахматы в свою очередь помогают нам решать как простейшие, так и самые сложные математические задачи, помогают развивать логику, внимание и отлично знать математику, строить логические цепочки, даже разрешать конфликты.

Дух соперничества в игре, в решении задач помогает развиваться, думать, находить правильные решения, а в случае проигрыша не сдаваться, а искать и побеждать.

Мой тренер, подарив мне книгу о шахматах, написал: «Цель в жизни не главное. Главное, как ты её достиг!»

Я уверен, что научившись игре в шахматы и освоив математику, смогу находить правильные решения в конфликтных ситуациях. В дальнейшем, я планирую продолжать играть в шахматы и постараюсь разобраться в том, что осталось для меня загадкой.

7. Список литературы

1. Гарднер, М. Математические чудеса и тайны / М. Гарднер. – Москва: Наука, 1978. – 127 с.
2. Гик, Е. Я. Математика на шахматной доске / Е. Я. Гик. – Москва: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2009. – 317с; ил. – (Библиотека Аванты+).
3. Гик, Е. Я. Шахматы и математика / Е. Я. Гик. - Москва: Наука, 1983. - 173 с.
4. Гик, Е. Я. Занимательные математические игры / Е. Я. Гик. – Москва: Знание, 1982. – 143 с.
5. Гусев, В. А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах: методическое пособие / В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь. – Москва: Просвещение, 1984.
6. Гусев, В.А. Математика – справочные материалы / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. – Москва: Просвещение, 1986.- 271с.
7. Игнатьев, Е. И. В царстве смекалки / Е. И. Игнатьев. - Москва: Наука, 1984. – 189 с.
8. Лойд, С. Математическая мозаика / С. Лойд. – Москва: Мир, 1984. – 311 с.
9. Саати, Т. Л. Математические модели конфликтных ситуаций / Т. Л. Саати. - Москва: Советское радио, 1977. - 300 с.
10. Савин, А. П. Энциклопедический словарь юного математика / А. П. Савин. – Москва: Педагогика, 1989.- 349 с.
11. Сейраван, Я. Партии-бриллианты: шахматный учебник / Яссер Сейраван; пер. с англ А. Н. Елькова. - Москва: Астрель, 2007. - 259 с.: ил. – (Беспроигрышные шахматы).