Простые и составные числа
Определение 1 . Общим делителем нескольких натуральных чисел называют число, которое является делителем каждого из этих чисел.
Определение 2 . Самый большой из общих делителей называют наибольшим общим делителем (НОД) .
Пример 1 . Общими делителями чисел 30 , 45 и 60 будут числа 3 , 5 , 15 . Наибольшим общим делителем этих чисел будет
НОД (30 , 45 , 10) = 15 .
Определение 3 . Если наибольший общий делитель нескольких чисел равен 1 , то эти числа называют взаимно простыми .
Пример 2 . Числа 40 и 3 будут взаимно простыми числами, а числа 56 и 21 не являются взаимно простыми, поскольку у чисел 56 и 21 есть общий делитель 7 , который больше, чем 1.
Замечание . Если числитель дроби и знаменатель дроби являются взаимно простыми числами, то такая дробь несократима .
Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя
Рассмотрим алгоритм нахождения наибольшего общего делителя нескольких чисел на следующем примере.
Пример 3 . Найти наибольший общий делитель чисел 100, 750 и 800 .
Решение . Разложим эти числа на простые множители :
Простой множитель 2 в первое разложение на множители входит в степени 2 , во второе разложение – в степени 1 , в третье разложение – в степени 5 . Обозначим наименьшую из этих степеней буквой a . Очевидно, что a = 1 .
Простой множитель 3 в первое разложение на множители входит в степени 0 (другими словами, множитель 3 в первое разложение на множители вообще не входит), во второе разложение входит в степени 1 , в третье разложение – в степени 0 . Обозначим наименьшую из этих степеней буквой b . Очевидно, что b = 0 .
Простой множитель 5 в первое разложение на множители входит в степени 2 , во второе разложение – в степени 3 , в третье разложение – в степени 2 . Обозначим наименьшую из этих степеней буквой c . Очевидно, что c = 2 .
Одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «Ласточка» и 36 конфет «Чебурашка», если надо использовать все конфеты?
Решение. Каждое из чисел 48 и 36 должно делиться на число подарков. Поэтому сначала выпишем все делители числа 48.
Получим: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Затем выпишем все делители числа 36.
Получим: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Общими делителями чисел 48 и 36 будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Видим, что наибольшим из этих чисел является 12. Его называют наибольший общим делителем чисел 48 и 36.
Значит, можно составить 12 подарков. В каждом подарке будет 4 конфеты «Ласточка» (48:12=4) и 3 конфеты «Чебурашка» (36:12=3).
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиУрок математики в 5 А классе по теме:
(по учебнику Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон)
Учитель математики: Данилова С.И.
Тема урока: Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа.
Тип урока: Урок изучения нового материала.
Цель урока: Получить универсальный способ нахождения наибольшего общего делителя чисел. Научиться находить НОД чисел методом разложения на множители.
Формируемые результаты :
Предметные: составить и освоить алгоритм нахождения НОД, тренировать способность к его практическому применению.
Личностные: формировать умение контролировать процесс и результат учебной и математической деятельности.
Метапредметные: формировать умение находить НОД чисел, применять признаки делимости, строить логическое рассуждение, умозаключение и делать выводы.
Планируемые результаты:
Учащийся научится находить НОД чисел с помощью разложения чисел на простые множители.
Основные понятия: НОД чисел. Взаимно простые числа.
Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная.
Необходимое техническое оборудование: компьютер учителя, проектор, интерактивная доска.
Структура урока.
Организационный момент.
Устная работа. Гимнастика для ума.
Сообщение темы урока. Изучение нового материала.
Физкультминутка.
Первичное закрепление нового материала.
Самостоятельная работа.
Домашнее задание. Рефлексия деятельности.
Ход урока
Организационный момент. (1 мин.)
Задачи этапа: обеспечить обстановку для работы обучающихся класса и психологически подготовить их к общению на предстоящем уроке
Приветствие:
Здравствуйте, ребята!
Друг на друга поглядели,
И тихонечко все сели.
Прозвенел уже звонок.
Начинаем наш урок.
Устная работа. Гимнастика ума. (5 мин.)
Задачи этапа: вспомнить и закрепить алгоритмы ускоренных вычислений, повторить признаки делимости чисел.
В старину на Руси говорили, что умножение- мучение, а с делением беда.
Тот, кто умел быстро и безошибочно делить, считался великим математиком.
Давайте проверим можно ли вас назвать великими математиками.
Проведем гимнастику ума.
1) Выберите из множества
А={716, 9012, 11211, 123400, 405405, 23025, 11175}
числа, кратные 2, кратные 5, кратные 3.
2) Вычислите устно:
5 . 37 . 2 = 3. 50 . 12 . 3 . 2 =
2. 25 . 51 . 3 . 4 = 4. 8 . 125 . 7 =
Мотивация к учебной деятельности. Постановка цели и задач урока. (4 мин.)
Цель:
1) включение учащихся в учебную деятельность;
2) организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок: новые способы нахождения НОД чисел;
3) создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность.
– Ребята, над какой темой вы работали на прошлых уроках? (Над разложением чисел на простые множители) Какие знания нам при этом понадобились? (Признаки делимости)
Открыли тетради, проверим домашний номер № 638.
В домашней работе вы определяли с помощью разложения на множители делится ли число а на число b и находили частное. Давайте проверим, что у вас получилось. Проверяем № 638. В каком случае а делится на b ? Если а делится нацело на b , то чем является b для а? Чем является b для а и b ? А как вы думаете, как найти НОД чисел, если одно из них не делится на другое? Какие у вас предположения?
А теперь давайте рассмотрим задачу: «Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «белочка» и 36 шоколадок «вдохновение», если надо использовать все конфеты и шоколадки?»
На доске и в тетрадях запись:
36=2*2*3*3
48=2*2*2*2*3
НОД(36,48)=2*2*3=12
Как мы можем применить разложение на множители для решения этой задачи? Что мы фактически находим? НОД чисел. Какова цель нашего урока? Научиться находить НОД чисел новым способом.
4. Сообщение темы урока. Изучение нового материала. (3.5 мин.)
Запишите число и тему урока: «Наибольший общий делитель».
(наибольший общий делитель – это наибольшее число, на которое делится каждое из данных натуральных чисел). Все натуральные числа имеют хотя бы один общий делитель – число 1.
Однако многие числа имеют несколько общих делителей. Универсальным способом поиска НОД является разложение данных чисел на простые множители.
Запишем алгоритм нахождения НОД нескольких чисел.
Разложить данные числа на простые множители.
Найти одинаковые множители и подчеркнуть их.
Найти произведение общих множителей.
Физкультминутка (встали из-за парт)- флэш ролик. (1.5 мин.)
(Запасной вариант:
Вверх мы дружно потянулись,
И друг другу улыбнулись.
Раз – хлопок и два – хлопок.
Ногой левой – топ, и правой - топ.
Покачали головой –
Разминаем шею.
Топ ногой, теперь – другой
Вместе все успеем.)
Первичное закрепление нового материала. (15 мин.)
Реализация построенного проекта
Цель:
1) организовать реализацию построенного проекта в соответствии с планом;
2) организовать фиксацию нового способа действия в речи;
3) организовать фиксацию нового способа действия в знаках (с помощью эталона);
4) организовать фиксацию преодоления затруднения;
5) организовать уточнение общего характера нового знания (возможность применения нового способа действий для решения всех заданий данного типа).
Организация учебного процесса: № 650(1-3), 651(1-3)
№ 650 (1-3).
№ 650 (2) разобрать подробно, т.к. общих простых делителей нет.
Первый пункт выполнен.
2. D (а ; b ) = нет
3. НОД (а ; b ) = 1
Что интересного вы заметили? (Числа не имеют общих простых делителей.)
В математике такие числа называются взаимно простыми числами. Запись в тетрадях:
Числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называются взаимно простыми.
а и b взаимно простые НОД (a ; b ) = 1
Что вы можете сказать о наибольшем общем делители взаимно простых чисел?
(Наибольший общий делитель взаимно простых чисел равен 1.)
№ 651 (1-3)
Задание выполняется у доски с комментарием.
Разложим числа на простые множители, используя известный алгоритм:
75 3 135 3
25 5 45 3
5 5 15 3
1 5 5
НОД (75; 135) =3*5= 15.
180 2*5 210 2*5
18 2 21 3
9 3 7 7
3 3 1
НОД (180, 210)=2*5*3=30
125 5 462 2
25 5 231 3
5 5 77 7
1 11 11
НОД (125, 462)=1
7. Самостоятельная работа.
(10 мин.)
Как доказать, что вы научились находить наибольший общий делитель чисел новым способом? (Надо выполнить самостоятельную работу.)
Самостоятельная работа.
Найдите наибольший общий делитель чисел с помощью разложения на простые множители.
Вариант 1 Вариант 2
a=2 × 3 × 3 × 7 × 11 1) a=2 × 3 × 5 × 7 × 7
b=2 × 5× 7 × 7 × 13 b=3 × 3 × 7 × 13 × 19
60 и 165 2) 75 и 135
81 и 125 3) 49 и 125
4) 180, 210 и 240 (дополнительный)
Ребята, попробуйте применить свои знания при выполнении самостоятельной работы.
Ученики сначала выполняют самостоятельную работу, затем взаимопроверка и проверка с образцом на слайде.
Проверка самостоятельной работы:
Вариант 1 Вариант 2
НОД(a,b)=2 × 7=14 1) НОД(a,b)=3 × 7=21
НОД(60, 165 )=3 × 5 =15 2) НОД(75, 135)=3 × 5 =15
НОД(81, 125)=1 3) НОД(49, 125)=1
8. Рефлексия деятельности. (5 мин.)
Что нового вы узнали на уроке? (Новый способ нахождения НОД, используя разложения на простые множители, какие числа называются взаимно простые, как найти НОД чисел, если большее число делится на меньшее число.)
Какую цель вы ставили перед собой?
Вы достигли цели?
Что вам помогло в достижении цели?
– Определите истинность для себя одного из следующих утверждений (Р-1).
Что вам необходимо сделать дома, чтобы лучше разобраться в данной теме? (Прочитать пункт, и потренироваться в нахождении НОД новым методом).
Домашнее задание:
п.2, №№ 672 (1,2); 673 (1-3), 674.
Определите истинность для себя одного из следующих утверждений:
«Я понял, как находить НОД чисел», 
«Я знаю, как находить НОД чисел, но еще допускаю ошибки», 
«У меня остались нерешенные вопросы».
Отобразите свои ответы в виде смайликов на листочке.
Запомните!
Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.
Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.
Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.
Простых чисел много, и первое среди них — число 2 . Однако нет последнего простого числа. В разделе «Для учёбы» вы можете скачать таблицу простых чисел до 997 .
Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.
Например:
- число 12 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 ;
- число 36 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 , на 18 , на 36 .
Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12 ) называются делителями числа.
Запомните!
Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число «a » без остатка.
Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.
Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Наибольший из делителей этих чисел — 12 .
Общий делитель двух данных чисел «a » и «b » — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа «a » и «b ».
Запомните!
Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел «a » и «b » — это наибольшее число, на которое оба числа «a » и «b » делятся без остатка.
Кратко наибольший общий делитель чисел «a » и «b » записывают так :
НОД (a; b) .
Пример: НОД (12; 36) = 12 .
Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».
Д (7) = {1, 7}
Д (9) = {1, 9}
НОД (7; 9) = 1
Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1 . Такие числа называют взаимно простыми числами .
Запомните!
Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1 . Их НОД равен 1 .
Как найти наибольший общий делитель
Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:
- разложить делители чисел на простые множители;
Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.
Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64 .
- Подчёркиваем одинаковые
простые множители в обоих числах.
28 = 2 · 2 · 764 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
- Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ;
НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4Ответ: НОД (28; 64) = 4
Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».
