Математические формулы в экономике. Экономика как объект математического моделирования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

__________________________________________________________________

Кафедра «Информационные системы»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА

Конспект лекций

Для студентов третьего курса специальности

«Прикладная информатика (в экономике)»

Тверь 2009

1. Методы оценки инвестиционных проектов

В настоящее время в странах с развитой рыночной экономикой при анализе инвестиционных проектов стали широко использовать технику дисконтирования, основанную на логике сложных процентов. Поэтому в данном разделе приводится сущность и преимущества использования этих методов.

^ 1.1 Метод расчета чистой сегодняшней ценности

Чистая сегодняшняя ценность рассчитывается как разность
дисконтированных к одному моменту времени потоков доходов и расходов
по проекту:

где CF INt - денежный приток за период t;

CF OFt - денежный отток за период t;

R - ставка дисконтирования;

N - жизненный цикл проекта.

В тех случаях, когда инвестиции представляют собой разовые вложения в начальный период, формула расчета NPV будет выглядеть следующим образом:

где С 0 – капиталовложения в нулевой период.

Пользоваться данным критерием при принятии решений достаточно просто. Положительное значение NPV показывает ту величину дохода, которую инвестор получит сверх требуемого уровня. В том случае, когда NPV равна нулю, инвестор не только возвращает свой капитал, но и приращивает его на величину, задаваемую ставкой дисконтирования. Полученное отрицательное значение NPV говорит о том, что проект следует отвергнуть.

Следует отметить, что показатель NPV аддитивен во времени. Данное свойство позволяет суммировать чистые сегодняшние ценности различных проектов, что является очень важным при анализе оптимальности инвестиционного портфеля.

^ 1.2 Метод расчета индекса рентабельности инвестиции

Индекс рентабельности представляет собой отношение дисконтированных величин прибыли и затрат по проекту. То есть применительно, например, к разовым вложениям расчет производится по формуле:

В том случае, когда значение РI>1, проект прибыльный. Если РI<1, то от инвестирования следует отказаться. Значение индекса рентабельности, равное единице, говорит о том, что проект и ни прибыльный, и ни убыточный.

Преимущество данного показателя от показателя NPV состоит в том, что он относительный. Поэтому им легко пользоваться, когда необходимо выбрать один проект из ряда альтернативных, имеющих примерно одинаковые значения NPV, а также при формировании портфеля инвестиций с максимальным суммарным значением NPV.

Такая задача возникает в том случае, когда на выбор имеется несколько привлекательных инвестиционных проектов, но из-за ограниченности в финансовых ресурсах инвестор не может участвовать во всех проектах одновременно. Тогда для каждого проекта рассчитывается PI и проекты ранжируются по убыванию PI. В инвестиционный портфель включаются первые m-проектов, которые в сумме могут быть профинансированы в полном объеме.

В случае если очередной проект поддается дроблению, то он также включается в портфель в той его части, которая может быть профинансирована.

^ 1.3 Метод расчета нормы рентабельности инвестиции

Норма рентабельности (internal rate of return) представляет собой такое значение процентной ставки, при котором чистая сегодняшняя ценность проекта равняется нулю:

где IRR - норма рентабельности (внутренняя норма доходности).

Значение IRR показывает максимально допустимый относительный уровень расходов, которые тем или иным образом могут быть связаны с рассматриваемым проектом. Так например, если проект полностью финансируется за счет ссуды, то значение IRR покажет верхний предел банковской ставки процента, превышение которого сделает проект убыточным.

Для определения IRR используют либо расчетный, либо расчетно-графический способы. В первом случае, ежегодные денежные потоки (с учетом необходимых вложений капитала) дисконтируются различными пробными ставками нормы дисконта с шагом в один процент. При этом будет получен ряд соответствующих чистых сегодняшних ценностей, наименьшая положительная величина из которых будет указывать на точную норму доходности, которую следует принять к расчету.

Применение расчетно-графического способа сводится к тому, что на системе координат по вертикальной оси откладываются нормы доходности, а по горизонтальной - чистые сегодняшние ценности. Затем рассчитываются два значения NPV, соответствующие двум любым ставкам нормы доходности. Между этими двумя точками проводится прямая, точка пересечения которой с вертикальной осью и является предполагаемой внутренней нормой доходности. Однако необходимо отметить, что полученное значение обязательно следует проверить на ноль, и сделать при необходимости корректировку.

^ 1.4 Метод определения дисконтированного срока окупаемости

Под дисконтированным сроком окупаемости понимается период времени, в течение которого инвестор полностью возвращает свои первоначальные затраты, обеспечивая при этом требуемый уровень доходности:

где Т - дисконтированный срок окупаемости;

PV - сегодняшняя ценность инвестиции.

Данный метод является одним из самых простых и широко распространенных, но, как правило, используется для получения дополнительной информации о проекте в тех случаях, когда главное, чтобы инвестиции окупились как можно скорее. Кроме того, метод удобен и при анализе проектов с высокой степенью риска, так как чем короче срок окупаемости, тем менее рискованным является проект.

^ 2. Особенности применения методов оценки инвестиционных проектов

Описанные выше методы справедливы по своей совокупности при анализе независимых инвестиционных проектов. То есть, критерии этих методов только тогда не будут вступать в противоречие друг с другом.

При анализе конкурирующих проектов возникает иная ситуация, важность рассмотрения которой обусловлена стремлением усилить конкуренцию между предприятиями в целях удешевления проектов за счет использования внутренних резервов компаний. Кроме того, подобная ситуация может возникать при жестких финансовых ограничениях.

Рассмотрим два проекта, конкурирующие между собой. Рассчитаем чистую сегодняшнюю ценность проектов, а также их внутреннюю норму доходности при условии, что ставка дисконтирования равна 11%.

Таблица 1

Как видно из табл.1 NPV проекта X1 составит 33,5 млн. руб., что явно предпочтительнее NPV проекта Х2 - 22,4 млн. руб. Однако если мы будем ориентироваться на внутреннюю норму доходности, то предпочтение следует отдать проекту Х2 с IRR=35% против 26,7% у проекта X1. Таким образом, критерии NPV и IRR вступают в противоречие друг с другом, несмотря на то, что в основе обоих методов лежит одна формула.

Возникшая проблема легко решается, если рассмотреть подробнее суть критерия IRR, при расчете которого предусматривается возможность реинвестирования промежуточных доходов проекта, обеспечивая доходность, равную IRR. Но реально ли обеспечить такую доходность, если доходность реинвестирования будет меньше IRR? Как покажет дальнейшее рассмотрение примера - нет.

Рассчитаем абсолютную величину дохода инвестора в конце четвертого года, или, другими словами, будущую ценность проектов (future value) при условии, что ставка реинвестирования составит 11%:

FV(X1) = 110+ 15* (1 + 0,11) = 126,65 млн.руб.,

FV(X2) = 20 + 15*(1 + 0,11) + 15*(1 + 0,11) 2 +40*(1 + 0,11) 3 = 109,84 млн.руб.

Определим доходность этой операции, исходя из следующей зависимости:

Ряд исследователей, учитывая недостатки критерия IRR, предложили вместо него использовать другой критерий - MIRR (modified IRR). MIRR - это ожидаемая доходность при условии реинвестирования всех промежуточных доходов проекта под заданную норму доходности.

Таблица 2

Как видно из таблицы 2 использование критерия MIRR снимает противоречие между абсолютными и относительными показателями результата реализации проекта. Теперь вопрос снят: предпочтение следует отдать проекту X1. Кроме того, в будущем при сравнении двух конкурирующих проектов лучшим критерием следует считать NPV.

Приведенные примеры опирались на противоречие критериев NPV и IRR при анализе проектов с одинаковым объемом капиталовложений. Поэтому, необходимо рассмотреть также и пример анализа конкурирующих проектов с разным объемом инвестирования.

Таблица 3

Анализ данных, представленных в таблице 3, показывает, что критерии IRR и MIRR указывают на проект ХЗ, тогда как критерий NPV, берущийся за основной в предыдущем примере, явно стоит на стороне проекта Х2. То есть в данной ситуации возникла проблема несоразмерности проектов (проблема масштаба). Поэтому, окончательное решение здесь может быть принято только после анализа возможного вложения разности CFo (ХЗ) и CFo (X2). В нашем примере эта разность составляет 45 млн. руб.

Предположим, что у нас есть возможность вложить эти средства следующим образом:

Таблица 4

Теперь необходимо выяснить, что предпочтительнее - проекты ХЗ и Х4 или проект Х2?

Таблица 5

Таблица 6

Однако могут иметь место ситуации, когда кроме проектов ХЗ и Х4 больше нет проектов с положительной NPV. В этом случае необходимо ориентироваться не на норму доходности, а на NPV.

Необходимо отметить, что проблема масштаба может возникать и в случае связки NPV – PI. При этом методика решения будет аналогичной.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: желательно анализировать инвестиционные проекты сразу несколькими методами, что позволит получить о них дополнительную важную информацию.

^ 3. Учет инфляции при анализе проектов

Влияние инфляции можно учитывать, корректируя на ее индекс либо будущие поступления, либо ставку дисконтирования. При этом целесообразно использовать следующую зависимость:

Где r nom - номинальная ставка процента;

R real - реальная ставка процента;

λ - общий уровень инфляции.

При небольших значениях r и λ формулу (7) можно записать следующим образом:

R nom ≈ r eal + λ (8)

В качестве ставки дисконтирования может использоваться как номинальная, так и реальная ставки процента. Выбор зависит от того, как измеряется денежный поток проекта. Если денежный поток представлен в реальном измерении (в постоянных ценах), то для дисконтирования следует использовать реальную ставку процента.

Однако использование реальных ставок процента и расчет денежного потока в постоянных ценах не позволяет учесть структурную инфляцию. В таких случаях расчет необходимо осуществлять в текущих ценах:

В последнем случае, правда, требуется умение прогнозировать рост цен.

^ 4. Учет риска при анализе единичного проекта

Анализ с учетом риска единичного проекта проводится только в том случае, если инвестиционный проект является независимым. При этом вполне достаточно использовать два показателя: ожидаемую доходность и среднеквадратическое отклонение (СКО) доходности, которые полностью определяют нормальное распределение.

Расчет ожидаемой доходности производится следующим образом:

(11)

где R i - доходность по i-му варианту развития событий;

P i - вероятность развития событий по i-му варианту;

N - количество рассматриваемых вариантов.

Таким образом понятно, что ожидаемая доходность - это наиболее вероятная доходность по проекту, тогда как СКО, измеряющее дисперсию ожидаемой доходности, представляет собой показатель риска проекта:

При сравнении рисков по активам с различными ожидаемыми доходностями целесообразно пользоваться коэффициентом вариации (то есть мерой относительной дисперсии):

(13)

Очевидно, что чем выше СКО и CV, тем выше риск. В качестве примера рассмотрим данные произвольной выборки, представленные в таблице 7:

Таблица 7

Проект	R		CV
X1	12,5%	3,12	0,25
Х2	11,0%	3,32	0,30
Х3	12,2%	2,68	0,22

В данном примере проект Х2 является наименее доходным и одновременно наиболее рискованным, поэтому, его следует сразу отклонить, а дальнейший выбор будет зависеть от отношения инвестора к риску. Если оно отрицательное, будет реализован проект ХЗ. Если инвестор склонен к риску, предпочтение будет отдано проекту XI.

Практика показывает, что инвесторы уровня чиновников муниципалитетов стараются выбирать минимальный риск. Таким образом, в нашем случае к инвестированию будет принят проект ХЗ.

^ 5. Учет риска при анализе портфеля проектов

Обычно для того, чтобы снизить несистематическую часть риска, применяется диверсификация, в основе которой лежит создание эффективного портфеля посредством анализа корреляции его активов. При этом следует отметить, что каждое новое инвестирование здесь должно рассматриваться с учетом текущего портфеля.

Рассмотрим методику расчета риска портфеля, состоящего из трех проектов, на примере данных, представленных в таблице 7, а также при условии, что каждому проекту достанется по трети инвестируемой суммы.

Доходность портфеля будет определена следующим образом:

(14)

Где R k - ожидаемая доходность k-гo проекта;

X k - доля средств, инвестированных в k-й проект;

M - количество проектов в портфеле.

В нашем примере:

R портфеля = 12,5 1 / 3 + 11 1 / 3 + 12,2 1 / 3 = 11,9%.

В нашем примере:

Cov 12 = 7,34 и Cov 13 = – 8,12.

Таким образом очевидно, что доходности проектов X1 и Х2 изменяются в одном направлении, а доходности проектов X1 и Х3, а также Х2 и Х3 - в противоположных. Однако, так как абсолютную величину ковариации трудно интерпретировать, с помощью коэффициента корреляции рассчитывают степень взаимозависимости между показателями:

При r = +1 показатели изменяются во времени абсолютно одинаково, при r = –1 происходит совершенно отрицательная корреляция, ноль указывает на отсутствие взаимосвязи.

В рассматриваемом примере:

r 12 = 0,71, r 13 = –0,96 и r 23 = –0,6.

Очевидно, что в целях снижения риска целесообразнее всего была бы комбинация портфеля из проектов X1 и Х3. При этом, однако, необходимо рассчитать и сам риск портфеля с учетом корреляции между проектами:

Рассчитаем риск портфеля (X1, Х3) при условии равно долевого инвестирования:

.

Таким образом, риск нашего портфеля существенно ниже рисков составляющих его проектов, и при r < 0 диверсификация всегда будет приводить к подобным результатам. Однако при 0 < r < 1 также можно сократить риск, причем при определенных значениях r риск портфеля может оказаться ниже самого рискованного его актива.

Методика составления портфеля из множества проектов такая же, как и при составлении двухактивного портфеля.

Из всей совокупности портфелей, указанной областью на рис.1, необходимо выбрать те портфели, которые находятся на линии АВ - именно они дают минимальный риск при наивысшей ожидаемой доходности. При этом конкретный выбор среди них зависит от нашего отношения к риску. Графически выбор между риском и доходностью выражается кривыми безразличия, уникальный набор которых существует для каждого индивида с точки зрения предпочтений этого лица к риску и доходности.

Рис.1 Задача выбора оптимального портфеля.

Прямая линия, идущая из точки доходности по свободному от риска активу через точку касания кривой возможных портфелей АВ, называется линией рынка капитала (Capital Market Line - CML) и отражает выбор в системе «риск-доходность». Точка С на рис. 1, таким образом, отражает риск и доходность рыночного портфеля. Наибольший уровень полезности достигается инвестором в точке касания его кривой безразличия к риску и доходности с линией рынка капитала. Если инвестор предпочитает определенность, то эта точка будет расположена слева от рыночного портфеля (слева от С); инвестор вкладывает средства и в свободные от риска, и в рискованные активы, а его портфель, вследствие этого, имеет низкий риск и низкую доходность. Если инвестор более склонен к риску, точка касания будет находиться справа от рыночного портфеля (справа от С); средства инвестируются в более рискованные активы и портфель имеет больший риск и большую доходность.

Проблема поиска оптимального портфеля, состоящего из множества активов в принципе может быть решена процедурой подбора - ищем портфель с наивысшей ожидаемой доходностью при заданном нами уровне риска. Однако на практике проблему размещения капитала целесообразно решать с помощью квадратического варианта линейного программирования.

Определим удельный вес i-го актива в портфеле по затратам:

где CF OFt max - максимально допустимый размер инвестиционной программы на период t.

Рассмотрим сводный показатель риска:

Целевая функция (20), минимизирующая риск итогового портфеля, где в качестве критерия участия в портфеле выступает бинарная переменная X i , единичное значение которой указывает на вхождение i-гo проекта в портфель, а нулевое - на отказ i-му проекту в инвестировании, выглядит следующим образом:

при ограничениях:

где NPV min - размер минимально приемлемой чистой сегодняшней ценности портфеля;

Т н - начальный период инвестиционной программы;

Т к - заключительный период инвестиционной программы;

V k - вектор конкурирующих проектов;

V - множество векторов конкурирующих проектов;

N l - количество проектов предыдущего портфеля, Т к которых превышает Т н составляющегося портфеля.

Очевидно, что при расчете целевой функции (20) используется только та часть дисперсионно-ковариационной матрицы (19), которая расположена на и ниже главной диагонали, что вызвано применением ограничительного условия во вложенном цикле но столбцам, при этом, так как существуют две ковариации для каждой возможной пары проектов, для значений вложенного цикла введен удваивающий коэффициент.

Таким образом, задача оптимизации заключается в том, чтобы определить, какие проекты следует принять к инвестированию так, чтобы величина ожидаемого дохода и уровень риска оптимально соответствовали целям инвестора, которые определены направлением целевой функции и набором ограничений:

1. Риск, измеряющийся дисперсией (СКО) портфеля, минимизируется.

2. Доход от портфеля, равный аддитивному показателю ожидаемых чистых сегодняшних ценностей принятых проектов, не должен быть ниже требуемой суммы, задаваемой дисконтированной к начальному периоду инвестирования величиной.

3. Суммарные объемы ежегодных инвестиций не могут превышать установленные на данный период времени лимиты имеющихся (выделенных) средств отдельно по каждому году инвестиционной программы.

4. В портфель может быть включено только по одному из проектов, представляющих одну и ту же группу конкурирующих проектов.

5. Составление нового портфеля осуществляется с учетом обязательного включения в его состав тех проектов предшествующего портфеля, период завершения инвестиционной программы по которым превышает период начала инвестиционной программы нового портфеля.

6. Рассматриваемые проекты не подлежат дроблению.

Описываемая задача включает ряд ограничений в виде неравенств, в основном устанавливающих пределы для инвестирования в тех или иных направлениях. Иначе нельзя гарантировать, что полученное решение окажется на границе эффективности. При этом мы можем получить более рискованный портфель, однако нам не нужно будет использовать все свои деньги, и (или) мы сможем получить больший доход.

Расчет и выдача результирующих характеристик портфеля:

Множество отобранных проектов:

Ожидаемая чистая сегодняшняя ценность портфеля:

Ожидаемая доходность портфеля:

Риск портфеля проектов:

Экономия финансовых ресурсов:

Существуют различные определения понятия «риск», поэтому, обобщая вышеизложенное, под риском будем понимать ситуацию, когда имеются несколько возможных результатов тех или иных действий, а также существуют необходимые данные прошлых периодов, которые дают возможность рассчитать некоторые зависимости для предвидения возможных будущих результатов.

Широко применяемая для составления портфелей модель САРМ (модель ценообразования на капитальные активы), разработанная У. Шарпом, исходит из того, что важно учитывать только систематический риск каждого отдельного актива. Однако в работах Г. Марковица доказана важность учета общего риска в целом. Поэтому, предыдущие рассуждения были основаны именно на данной предпосылке.

Систематический риск вызывается такими факторами, как инфляция. экономический кризис, другие общерыночные факторы.

Наличие несистематического риска связано со случайными событиями, влияющими на конкретные активы или компании.

Библиографический список

1. 
   Бард В.С. Финансово-инвестиционный комплекс:теория и практика в условиях реформирования российской экономики. - М: Финансы и статистика, 1998. - 304с.
2. 
   Богатин Ю.В., Швандар В.А. Инвестиционный анализ: Учеб.пособие для студ.вузов,обуч.по эконом.спец.; Богатин Ю.В.,Швандар В.А.. - М.: ЮНИТИ, 2000. - 286с.
3. 
   Богатин Ю.В., Швандар В.А. Оценка эффективности бизнеса и инвестиций: Учеб.пособие для студ.вузов,обуч.по эконом.спец.. - М: Финансы,ЮНИТИ-ДАНА, 1999. - 256с.
4. 
   Бочаров В.В. Инвестиционный менеджмент: Учеб.пособие. - СПб.и др.: Питер, 2000. - 152с. - Краткий курс.
5. 
   Бродский М.Н., Бродский Г.М. Право и экономика:инвестиционное консультирование; С.-Петерб.гос.ун-т экономики и финансов.Междунар.акад.нац.безопасности объединен.Европы. - СПб., 1999. - 488с.
6. 
   Вахрин П.И. Организация и финансирование инвестиций: (Сб.практ.задач и конкрет.ситуаций):Учеб.пособие. - М.: Информ.-внедренч.центр"Маркетинг", 1999. - 149с.
7. 
   Игошин Н.В. Инвестиции.Организация управления и финансирование: Учеб.для студ.вузов,обуч.по эконом.спец.. - М: Финансы,ЮНИТИ, 1999. - 414с.
8. 
   Ковалев В.В. Финансовый анализ.Управление капиталом.Выбор инвестиций.Анализ отчетности. - 2-е изд.перераб.и доп.. - М.: Финансы и статистика, 1997. - 511с.
9. 
   Колемаев В.А. Математическая экономика. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 206с.
10. 
    Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции.Неоклассические основы теории финансов: Учеб.для вузов: Пер.с нем.. - СПб. и др.: Питер, 2000. - 381с. - Базовый курс.
11. 
    Лимитовский М.А. Основы оценки инвестиционных и финансовых решений. - 3-е изд.,доп.и перераб.. - М.: ДеКА, 1998. - 231с.
12. 
    Оценка эффективности инвестиций предприятия: Метод.рекомендации для написания орг.-экон. части дипломного проекта студентами техн. спец.; Твер.гос.техн.ун-т.Каф.экономики и упр. пр-вом;Сост.В.А Никольская, А.Г.Бокичева. - Тверь, 2000. - 12с.
13. 
    Салманов О.Н. Математическая экономика с применением Mathcad и Excel. БХВ-Петербург, 2003. – 464с.
14. 
    Сергеев И.В., Веретенникова И.И. Организация и финансирование инвестиций: Учеб.пособие для студентов вузов,обучающихся по экон.спец.и направлениям; Сергеев И.В.,Веретенникова И.И.. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 271с.
15. 
    Холт Р.Н., Барнес С.Б. Планирование инвестиций: [Учеб.пособие]:Пер.с англ.. - М.: Акад.нар.хоз-ва:Дело, 1994. - 118с.
16. 
    Четыркин Е.М. Финансовый анализ производственных инвестиций; Акад.нар.хоз-ва при Правительстве РФ. - М.: Дело, 1998. - 255с.
17. 
    Шарп У.Ф., Александер Г.Д. Инвестиции: Пер.с англ.; Подготовлено при фин.содействии Нац.фонда подгот.фин.и управлен.кадров в рамках его программы"Банк.дело". - М.: ИНФРА-М, 1997. - 1024с.

Программно-информационное обеспечение

1. 
   Microsoft Office 2000: Microsoft Excel.
2. 
   Монахов А.В. Математические методы анализа экономики. // www . My - shop . ru .
3. 
   Колемаев В.А. Математическая экономика.Учебник. // www . Hugahuga . ru .

Математические методы в экономике являются важным инструментом проведения анализа. Их используют в построении теоретических моделей, которые позволяют отобразить имеющиеся связи в повседневной жизни. Также с помощью данных методов достаточно точно прогнозируется поведение субъектов хозяйствования и динамика экономических показателей в стране.

Более подробно хотелось бы остановиться на прогнозировании показателей экономических объектов, которое является инструментом теории принятия решений. Прогнозы социально-экономического развития любой страны основываются на определенных показателей (динамика инфляции, валовый внутренний продукт и т.д.). Формирование ожидаемых показателей осуществляется с применением таких методов прикладной статистики и эконометрики, как регрессионный и корреляционный анализ.

Отрасль исследования «Экономика и математические методы» всегда являлась достаточно интересной для ученых этой сферы. Так, академиком Немчиновым было выделено пять математических при планировании и прогнозировании:

Метод математического моделирования;

Векторно-матричный метод;

Метод последовательного приближения;

Метод оптимальных общественных оценок.

Другой же академик, Канторович, математические методы распределил на четыре группы:

Модели взаимодействия экономических подразделений;

Макроэкономические модели, включающие модели спроса и балансовый метод;

Модели оптимизации;

Линейное моделирование.

Систем применяется с целью принятия эффективного и правильного решения в экономической сфере. При этом в основном используется современная вычислительная техника.

Сам процесс моделирования должен осуществляться в таком порядке:

1. Постановка задачи. Необходимо четко сформулировать задачу, определить объекты, относящиеся к решаемой задаче, и ситуацию, реализуемую в результате ее решения. Именно на этом этапе производится количественный и субъектов, объектов и имеющих отношение к ним ситуаций.

2. Системный анализ задачи. Все объекты необходимо разбить на элементы с определением связи между ними. Именно на этом этапе лучше всего использовать математические методы в экономике, с помощью которых проводится количественный и качественный анализ свойств вновь образованных элементов и в результате которых выводятся определенные неравенства и уравнения. Другими словами, получается система показателей.

3. Системный синтез представляет собой математическую постановку задачи, во время организации которой формируется математическая модель объекта и определяются алгоритмы решения задачи. На этом этапе существует вероятность того, что принятые модели предыдущих этапов могут оказаться неверными, и для получения верного результата придется вернуться на один, а то и два шага назад.

Как только математическая модель сформирована, можно переходить к разработке программы для решения поставленной задачи на ЭВМ. При наличии достаточно сложного объекта, который состоит из большого количества элементов, потребуется создание базы данных и подручных средств для работы с ней.

Если же задача принимает стандартный вид, то используются любые подходящие математические методы в экономике и готовый программный продукт.

Заключительным этапом является непосредственная эксплуатация сформированной модели и получение правильных результатов.

Математические методы в экономике должны использоваться именно в определенной последовательности и с применением современных информационно-вычислительных технологий. Только в таком порядке появляется возможность исключить субъективные волевые решения, основанные на личной заинтересованности и эмоциях.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Владимирский государственный университет

А.А. ГАЛКИН

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

ЭКОНОМИКА

Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебника

для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Прикладная информатика (в экономике)»

Владимир 2006

УДК 330.45: 519.85 ББК 65 В 631

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор зав. кафедрой автоматизированных информационных и управляющих систем Тульского государственного университета

В.А. Фатуев

Доктор технических наук, профессор зав. кафедрой информационных систем

Тверского государственного технического университета

Б.В. Палюх

Доктор экономических наук, профессор зав. кафедрой экономики и управления на предприятиях

Владимирского государственного университета

В.Ф. Архипова

Доктор физико-математических наук, профессор зав. кафедрой алгебры и геометрии Владимирского государственного университета

Н.И. Дубровин

Печатается по решению редакционно-издательского совета Владимирского государственного университета

Галкин, А. А.

Г16 Математическая экономика: учебник / А. А. Галкин; Владим. гос. ун-т. – Владимир: Изд-во Владим. гос. ун-та, 2006. – 304 с. – ISBN 5-89368-624-1.

Рассматривается широкий круг типовых оптимизационных задач, возникающих в экономике, и алгоритмов, позволяющих решать эти задачи. Даны методика формализации указанных задач и их классификация. Представлены методы решения детерминированных задач статической и динамической оптимизации. По каждому типу задач и алгоритмов приведены примеры, демонстрирующие технику практического использования этих алгоритмов, а также набор задач для самостоятельного решения.

Предназначен для студентов вузов, обучающихся по специальности 080801 – прикладная информатика (в экономике), а также студентов, магистрантов и аспирантов смежных специальностей очного, заочного обучения, лиц, получающих второе высшее образование, а также специалистов-практиков.

Табл. 80. Ил. 60. Библиогр.: 39 назв.

§ 6.8. Задача об оптимальном поэтапном распределении выделенных средств между предприятиями в течение

§ 8.6. Задача об управлении линейной динамической системой

с минимизацией обобщенного квадратичного интегрального

§ 9.2. Управление линейной дискретной системой произвольного порядка с оптимизацией суммарного обобщенного

Список принятых сокращений

ЦФ – целевая функция ОДР – область допустимых решений

ЛП – линейное программирование ЗЛП – задача ЛП КЗЛП – каноническая ЗЛП

ТЗ – транспортная задача ПО – пункты отправления, ПН – пункты назначения в ТЗ

МСЗУ – метод северо-западного угла МЗС – метод золотого сечения ДП – динамическое программирование ВИ – вариационное исчисление ПМ – принцип максимума; ДУ – дифференциальное уравнение

ПРЕДИСЛОВИЕ

В подготовке студентов различных технических и экономических специальностей и направлений значительное место занимает изучение типичных для соответствующей предметной области математических моделей и методов, позволяющих, оперируя этими моделями, объяснять поведение рассматриваемых систем, оценивать их характеристики, обоснованно принимать конструктивные, технологические, экономические, организационные и другие решения.

Освоение этих моделей и методов основывается на фундаменте, заложенном в довольно универсальной классической дисциплине, обычно называемой «Высшая математика». Математический аппарат, позволяющий решать типовые и наиболее важные для соответствующей сферы приложений задачи, изучается в специальных дисциплинах.

Для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная информатика (в экономике)», одной из таких дисциплин является «Математическая экономика». В соответствии с действующим государственным образовательным стандартом (ГОС) в программу этой дисциплины включен большой объем учебного материала, связанного с проведением математических расчетов в сфере экономики. Этот материал делится на две части.

В первой части изучаются задачи финансового анализа, которые в ГОС предшествующего поколения рассматривались в специальной дисциплине – «Финансовая математика».

Вторая часть программы содержит с точки зрения математики более сложные задачи и методы, связанные с отысканием наилучших, т.е. оптимальных, решений различных задач, встречающихся в области прикладной экономики. Ранее студенты осваивали этот материал при изучении дисциплины «Теория оптимального управления в экономических системах».

Учебная программа дисциплины «Математическая экономика» содержит широкий спектр довольно сложных для изучения вопросов. Поскольку объем времени, выделенного для аудиторных занятий по этой дисциплине, довольно небольшой, особое значение приобретает самостоятельная работа студентов с учебной литературой.

Следует отметить, что за последние 30 лет в нашей стране было издано много различных монографий, учебников и учебных пособий по математическим методам, применяемым в экономике. Однако при работе с ними у студентов возникают серьезные затруднения. Во-первых, многие из этих книг сейчас практически недоступны для студентов, так как либо отсутствуют в библиотеках вузов, либо имеются в единичных экземплярах. Во-вторых, для изучения всего предусмотренного программой материала одного учебника недостаточно, а в разных книгах, как правило, используются разный стиль изложения, разные обозначения. Нередко уровень изложения материала недоступен «реальному» студенту. В-третьих, при организации учебного процесса по дисциплинам математического характера принципиально важное значение имеет приобретение студентами практических навыков в использовании изучаемых методов, а для этого необходимы задачи для самостоятельного решения. Большинство учебных пособий по рассматриваемой тематике содержит примеры и задачи для иллюстрации техники применения излагаемых методов, но их недостаточно для того, чтобы выдать всем студентам обычной учебной группы индивидуальные задания.

Предлагаемый учебник предназначен для изучения второй, более сложной части дисциплины «Математическая экономика», в которой рассматриваются оптимизационные задачи, возникающие в экономике, и алгоритмы их решения. Он подготовлен с учетом изложенных выше обстоятельств.

В книге приведены формулировки типовых оптимизационных задач, возникающих в экономической сфере, осуществлена их формализация, изложена сущность методов и алгоритмов, позволяющих выполнять решение с иллюстрацией техники этих алгоритмов на конкретных примерах. Кроме того, по каждой теме представлен достаточно большой набор задач для самостоятельного решения, позволяющий каждому студенту дать свое индивидуальное задание.

Из огромного разнообразия возможных оптимизационных задач и предлагаемых современной наукой методов для включения в этот учебник выбраны детерминированные задачи и алгоритмы статической и динамической оптимизации. Из-за ограниченного объема книги задачи оптимизации с неопределенностями, в том числе вероятностно-статистические, интервальные, нечеткие и другие задачи и модели, а также задачи векторной оптимизации, не рассматриваются.

Книга включает девять глав. В первой даны примеры оптимизационных задач экономического характера, на которых продемонстрирована методика формализации, т.е. получения математической модели решаемой задачи, приведена классификация оптимизационных задач.

Главы вторая, третья и четвертая посвящены линейным задачам статической оптимизации. В второй главе изложены задачи и методы линейного программирования, отдельно в третьей – рассмотрены транспортные задачи, а в четвертой – оптимизационные задачи, которые интерпретируются на графах. Для каждой задачи представлен наиболее эффективный метод (алгоритм) решения и дан пример, демонстрирующий технику практического использования этого алгоритма. В пятой главе изложены аналитические и численные методы решения нелинейных задач статической оптимизации при отсутствии и наличии ограничений.

Динамические задачи оптимизации, обычно называемые задачами оптимального управления, рассмотрены в главах с шестой по девятую. В шестой главе дано общее представление о динамических системах непрерывного и дискретного типа, сформулирована классическая задача об оптимальном управлении и динамическом программировании (ДП), изложена сущность ДП и на различных примерах экономического характера показана техника его практического применения. В седьмой главе изложены основы вариационного исчисления, в восьмой – принцип максимума для непрерывных систем, а в девятой – для дискретных систем. В каждой из этих глав большое внимание уделено анализу различных частных задач и примеров, иллюстрирующих методику практического использования расчетных соотношений.

В конце каждой из глав с первой по шестую приведены задачи для самостоятельного решения. В конце девятой главы даны задачи для самостоятельного решения, посвященные методам оптимального динамического управления.

Особой проблемой, для решения которой автору в процессе работы над книгой потребовались значительные усилия, явилось то, что некоторые методы и алгоритмы в оригинальной литературе изложены так, что студентам нематематического, а информационно-экономического профиля разобраться в них довольно трудно. Поэтому необходимо было найти возможности для адаптации соответствующего теоретического материала к реальному уровню подготовки студентов, на которых ориентирована книга.

Кроме того, автор стремился при изложении большого количества существенно отличающихся задач и методов в максимальной степени выдержать единый стиль, характер, систему изложения материала. Хотелось бы надеяться, что это в определенной мере удалось осуществить.

При подготовке учебника был использован материал лекций и практических занятий по дисциплинам «Методы оптимизации», «Теория управления», «Теория оптимального управления в экономических системах» и «Математическая экономика», которые автор преподавал в течение 25 лет во Владимирском государственном университете (ВлГУ). На этих занятиях большая часть теоретического материала и задач для самостоятельного решения прошла апробацию. Электронная версия учебника включена в информационные ресурсы электронной библиотеки ВлГУ.

Несмотря на то что учебник подготовлен для студентов специальности «Прикладная информатика (в экономике)», несомненно, он может оказаться полезен студентам, магистрантам, аспирантам и специалистам других профилей, поскольку оптимизационные задачи возникают всюду. Не случайно говорят, что «в природе нет ничего, в чем нельзя было бы усмотреть смысл какого-либо максимума или минимума».

Он будет благодарен всем тем, кто воспользуется книгой и сообщит свое мнение о ее содержании, возможно, о недостатках или неточностях. Для этого можно воспользоваться e_mail: [email protected] .

Работа над книгой с некоторыми перерывами велась около 10 лет, но она могла затянуться на неопределенный срок, если бы не оперативная и высококвалифицированная помощь в работе над рукописью, которую оказала аспирант И.В. Лагерь. За это автор выражает ей особую благодарность.

Предмет и методы экономической теории

Хозяйственные отношения пронизывают все сферы жизни человека. Изучение их закономерностей занимало умы философов еще в древности. Постепенное развитие сельского хозяйства, появление частной собственности способствовали усложнению экономических отношений и построению первых хозяйственных систем. Научно – технический прогресс, определивший переход от ручного труда к машинному, дал сильный толчок для укрупнения производства, а значит, для расширения экономических связей и структур. В современном мире экономика все чаще рассматривается в совокупности с другими смежными общественными науками. Именно, на стыке двух направлений находятся различные решения, которые можно применить на практике.

Само фундаментальное направление к экономике сложилось лишь к середине девятнадцатого века, хотя ученые многих стран на протяжении столетий создавали специальные школы, изучавшие закономерности хозяйственной жизни людей. Только в это время помимо качественной оценки происходящего, ученые стали исследовать и сопоставлять фактические события в экономике. Развитие классической экономики способствовало формированию прикладных дисциплин, которые изучают более узкие области систем хозяйствования.

Основным предметом изучения экономической теории является поиск оптимальных решений для экономик различных уровней организации в части удовлетворения возрастающего спроса при условии ограниченности ресурсов. Экономисты используют различные методы в своих исследованиях. Среди них, наиболее часто, применяются следующие:

1. Методы, позволяющие оценивать элементы общего, либо обобщать отдельные структуры. Их называют методами анализа и синтеза.
2. Индукция и дедукция дают возможность рассматривать динамику процессов от частного к общему и наоборот.
3. Системный подход помогает увидеть отдельный элемент экономики, как структуру, и проанализировать ее.
4. На практике широко используется метод абстракции. Он позволяет отделить изучаемый объект или явление от его взаимосвязей и внешних факторов.
5. Как и в других науках, в экономике достаточно часто используется язык математики, помогающий наглядно отобразить исследуемые элементы экономики, а также провести анализ или сформировать необходимый прогноз тенденций.

Сущность математической экономики

Современную экономику отличает сложность изучаемых ею систем. Как правило, один экономический агент вступает сразу во множество отношений, причем ежедневно. Если речь идет о предприятии, то количество его внутренних и внешних взаимодействий увеличивается в тысячи раз. Для облегчения исследовательских и аналитических задач, встающих перед экономистами и учеными, используется язык математики. Развитость математического инструментария позволяет решать такие проблемы, которые не под силу другим методам, применяемым в экономической теории.

Математическая экономика является прикладным направлением экономической теории. Ее основная сущность заключается в применении математических методов, средств и инструментов для описания, изучения и анализа хозяйственных систем. Однако, данная дисциплина обладает своей спецификой. Она не изучает экономические явления как таковые, а занимается расчетами, связанными с математическими моделями.

Замечание 1

Целью математической экономики, как и большинства прикладных направлений, можно назвать формирование объективной информации и поиск решений для практических задач. Она изучает, прежде всего, количественные, качественные показатели, а также поведение экономических агентов в динамике.

Задачи, стоящие перед математической экономикой, заключаются в следующем:

• Построение математических моделей, описывающих процессы и явления в экономических системах.
• Исследование поведения различных субъектов хозяйственных отношений.
• Осуществление помощи в построении и оценке планов, прогнозов, различного рода событий в динамике.
• Проведение анализа математических и статистических величин.

Прикладная математика в экономике

Математическая экономика по своему социальному значению находится достаточно близко к математике. Если рассматривать данную дисциплину со стороны математической науки, то для нее она и является прикладным направлением. Прикладная математика дает возможность рассматривать и анализировать отдельные элементы сложнейших экономических систем, так как она обладает широким функционалом, опирающимся на фундаментальное математическое знание. Такие возможности математики способствовали появлению математической экологии, социологии, лингвистики, финансовой математики.

Рассмотрим наиболее важные математические методы, используемые в рамках изучения хозяйственных систем:

1. Операционное исследование занимается изучением процессов и явлений в системах. Сюда относят аналитическую работу и оптимизацию применения на практике полученных результатов.
2. Математическое моделирование включает в себя широкий спектр методов и инструментов, дающих возможность решать стоящие перед учеными и экономистами задачи. Наиболее часто используется теория игр, теория обслуживания, теория расписания и теория запасов.
3. Оптимизация в математике занимается вопросами поиска экстремальных величин, как максимальных, так и минимальных. Для этих целей обычно используются графики функций.

Перечисленные выше методы математики позволяют изучать статистические ситуации в экономике, либо процессы в краткосрочных периодах. Как известно, в настоящее время основная цель экономических субъектов заключается в поиске долгосрочного равновесия. Важным в данных исследованиях является фактор времени, который можно учесть, применяя для расчетов теорию вероятностей, теорию оптимального решения.

Замечание 2

Таким образом, математика и экономика крепко связаны друг с другом. Динамику экономических структур принято облачать в математические модели, которые далее можно разбить на отдельные подзадачи и применить все возможные методы экономического анализа, а также математических расчетов. Принятие решений в экономической сфере является достаточно сложным действием, так как оно связано с несовершенством и неполнотой доступной информации. Использование математического моделирования позволяет снизить рискованность принимаемых управленческих решений.

Жанр: Экономика

Издательство: «ЮНИТИ-ДАНА»

Формат: DjVu

Качество: Отсканированные страницы

Количество страниц: 399

Описание: В основу книги положен многолетний опыт кафедры прикладной математики Государственного университета управлении по чтению курсов лекций, посвященных применению математических методов и моделей для исследования экономики: «Математическая экономика» (Менеджмент - 061100), «Математические методы и модели анализа экономики» (Информационные системы в управлении - 071900), «Математические методы исследования экономики» (Национальная экономика - 060700), «Динамика экономических систем» (Национальная экономика - 060700) и др.
Учебник подготовлен в соответствии с программами указанных дисциплин, он может быть использован как математическая поддержка курсов «Макроэкономика», «Микроэкономика», будет также полезен аспирантам, слушателям факультетов магистерской подготовки и послевузовского экономического образования.
Книга подготовлена с использованием отечественной и зарубежной литературы по математической экономике. По сравнению с первым изданием учебник существенно дополнен и переработан: в нем гораздо подробнее отражена экономическая динамика, представлены модели прогнозирования валютных кризисов и финансовых рисков, а также приведены новые результаты, полученные автором с помощью трехсекторной модели экономики.
Цмь книги - дать возможность читателю взглянуть на экономику глазами исследователя, пытающегося понять и формализовать мотивы поведения потребителей, производителей, финансистов и государства как организации, представляющей все общество и потому пытающейся примирить, направить в созидательное русло различные интересы субъектов экономики.
«Математическая экономика» ориентирована на системное изучение экономики с помощью математических моделей макро- и микроуровней, а также в разрезе важнейших функциональных подсистем экономики (производственной и финансово-кредитной).
Книга состоит из двенадцати глав, сгруппированных в три част и: «Математические модели макроэкономики», «Математические модели микроэкономики», «Математические модели анализа, прогнозирования и регулирования экономики». Каждая глава снабжена примерами, вопросами и задачами. Параграфы, примеры, таблицы и рисунки имеют двухступенчатую нумерацию (номер главы и номер параграфа (примера, таблицы, рисунка) в главе, а формулы - трехступенчатую (добавляется номер формулы в параграфе).
Для удобства читателей начало и конец выводов, доказательств и рассуждений, приводящих к определенным результатам, отмечены пустым (не зачерненным) и залитым квадратиками (□ и ■), а начало и конец примеров - пустым и залитым кружками (О и ) соответственно.
Обозначения максимального приближены к сложившимся в математический экономике и описываются в тексте. Как правило, большими буквами обозначаются абсолютные показатели и матрицы, малыми буквами - относительные показатели, векторы, элементы векторов и матриц с соответствующими индексами.
Автор выражает искреннюю признательность рецензентам - зав. кафедрой экономики производственных предприятий Российской экономической академии им. Г. В. Плеханова, д-ру экон. наук, проф. О.И. Волкову, зав. кафедрой исследования операций Московского государственного института электроники и математики (Технический университет), д-ру физмат, наук, проф. В А. Каштанову, а также сотрудникам кафедры прикладной математики и студентам ГУУ, принявшим участие в компьютерном наборе рукописи, - Л.В. Сынковой, Н Балайкиной, О. Садовниковой. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАКРОЭКОНОМИКИ
Глава 1. Статические модели макроэкономики
1.1. Макроэкономические производственные функции
1.2. Модель Леонтьева
Глава 2. Линейные динамические модели макроэкономики с дискретным временем
2.1. Экономика как динамическая система
Динамическая модель Кейнса
Модель Самуэльсона - Хикса
2.2. Динамическая модель Леонтьева
2.3. Модель Неймана
Глава 3. Линейные динамические модели макроэкономики с непрерывным временем
3.1. Математические методы исследования экономических динамических систем
3.1.1. Линейный динамический элемент
3.1.2. Мультипликатор
3.1.3. Акселератор
3.1.4. Инерционное звено
3.1.5. Экономика в форме динамической модели Кейнса как инерционное звено
3.1.6. Передаточная функция
3.1. 7. Колебательное звено
3.1.8. Экономика в форме модели Самуэльсона-Хикса как линейное динамическое звено второго порядка
3.1.9. Характеристики динамического звена
3.2. Анализ и синтез динамических систем, переходные процессы в них
3.2.1. Передаточная функция последовательного соединения
3.2.2. Передаточная функция параллельного соединения
3.2.3. Передаточная функция замкнутого контура с обратной связью
3.2.4. Введение мультипликатора в контур обратной связи с динамической моделью Кейнса
3.2.5. Введение акселератора в контур положительной обратной связи с динамической моделью Кейнса
3.2.5. Устойчивость линейных динамических систем
3.2. 7. Условия устойчивости экономики в форме модели Самуэльсона-Хикса
3.3. Линейные многосвязные динамические системы
Экономика в форме динамического межотраслевого баланса как многосвязная линейная динамическая система
3.4. Нелинейные динамические системы. Конъюнктурные циклы в экономике
3.4.1. Нелинейная динамическая модель Кейнса
3.4.2. Конъюнктурные циклы в экономике
3.5. Оптимальное управление динамическими системами
3.5.1. Принцип максимума Понтрягина
3.5.2. Необходимые условия оптимальности (принцип максимума)
Глава 4. Малосекторные нелинейные динамические модели макроэкономики
4.1. Модель Солоу
4.1.1. Переходный режим в модели Солоу
4.1.2. Золотое правило накопления
4.1.3. Выигрыш, в текущем потреблении - проигрыш, в ближайшей перспективе
4.2. Учет запаздывания при вводе фондов
4.3. Односекторная модель оптимального экономического роста
4.4. Трехсекторная модель экономики
4.5. Производственные функции секторов экономики РФ
4.6. Моделирование стагнации и сбалансированного экономического роста
4.6.1. Стагнация
4.6.2. Сбалансированный экономический рост
4.7. Исследование сбалансированных стационарных состояний
4.7.1. Золотое правило распределения труда и инвестиций между секторами
4.7.3. Альтернативный способ определения технологического оптимума
ЧАСТЬ II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МИКРОЭКОНОМИКИ
Глава 5. Модели поведения потребителей
5.1. Предпочтения потребителя и его функция полезности
Модель поведения потребителя
5.2. Уравнение Слуцкого
5.2.1. Изменение спроса при увеличении цены с компенсацией
5.2.2. Изменение спроса при изменении дохода
Глава 6. Модели поведения производителей
6.1. Модель фирмы
6.1. 1 Реакция производителя на изменение цены выпуска
61.2. Реакция производителя на изменение цен ресурсов
6.2. Поведение фирм на конкурентных рынках
6.2.1. Равновесие Курно
Глава 7. Модели взаимодействия потребителей и производителей
7.1. Модели установления равновесной цены
7.1.1. Паутинообразная модель
7.1. 2. Модель Эванса
7.2. Модель Вальраса
ЧАСТЬ III. МОДЕЛИ АНАЛИЗА, ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ
Глава 8. Математические модели рыночной экономики
8.1. Классическая модель рыночной экономики
8.1.1. Рынок рабочей силы
8.1.2. Рынок денег
8.2. Модель Кейнса
8.3. Математические модели финансового рынка
8.3.1. Финансовые операции
8.3.2. Финансовый риск
8.3.3. Равновесие на рынке ценных бумаг
8.4. Прогнозирование валютных кризисов и финансовых рисков
8.4.1. Модель прогнозирования финансовых рисков
8.4.2. Прогнозирование валютных кризисов
Глава 9. Моделирование инфляции
9.1. Сущность инфляции
9.2. Исследование инфляции с помощью трехсекторной модели экономики
9.2.1. Первый полувиток инфляции
9.2.2. Второй полувиток инфляции
9.3. Условия возникновения и самоподдержания инфляции
9.4. Влияние инфляции на производство
Глава 10. Математические модели государственного регулирования экономики
10.1. Роль и функции налогов в обществе
10.2. Налоги в трехсекторной экономике
10.3. Влияние повышения налогов на производство и потребление
Глава 11. Моделирование внешней торговли
11.1. Модель открытой трехсекторной экономики
11.2. Условия возможности и целесообразности вхождения национальной экономики в мировой рынок
11.2.1. Вхождение в мировой рынок при фиксации долей ресурсов, поступающих в фондосоздающий сектор
11.3. Золотое правило внешней торговли
11.3.1. Золотое правило распределения ресурсов
11.4. Влияние внешней торговли на национальную экономику
11.4.1. Перераспределение ресурсов между материальным и потребительским секторами
11.4.2. Перераспределение ресурсов между материальным и фондосоздающим секторами
Глава 12. Моделирование цели общественного развития
12.1. Математическая теория общественного выбора
12.2. Модели сотрудничества и конкуренции
12.2.1. Кооперативные игры
12.2.2. Сотрудничество и конкуренция в трехсекторной экономике
12.3. Моделирование научно-технического прогресса
12.3.1. Эволюторные модели научно-технического прогресса
12.3.2. Модель смены технологического уклада
12.3.3. Модель перевооружения трехсекторной экономики
Приложение 1. Свойства неразложимой матрицы прямых затрат
Приложение 2. Линейные дифференциальные уравнения и системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Приложение 3. Исследование выражений, определяющих поведение трехсекторной экономики в стационарном состоянии
Приложение 4. Оптимальный сбалансированный рост в трехсекторной экономике
Приложение 5. Условия Куна-Таккера
Литература