Rozkłady Pearsona (chi-kwadrat), Studenta i Fishera

Korzystając z rozkładu normalnego, zdefiniowano trzy rozkłady, które są obecnie często stosowane w przetwarzaniu danych statystycznych. Rozkłady te pojawiają się wielokrotnie w późniejszych partiach książki.

Rozkład Pearsona (chi – kwadrat) – rozkład zmiennej losowej

gdzie są zmienne losowe X 1 , X 2 ,…, Xn niezależne i mają ten sam rozkład N(0,1). W tym przypadku liczba terminów, tj. N, nazywana jest „liczbą stopni swobody” rozkładu chi-kwadrat.

Rozkład chi-kwadrat stosowany jest przy szacowaniu wariancji (za pomocą przedziału ufności), przy testowaniu hipotez zgodności, jednorodności, niezależności, przede wszystkim dla zmiennych jakościowych (skategoryzowanych), które przyjmują skończoną liczbę wartości oraz w wielu innych zadaniach danych statystycznych analiza.

Dystrybucja T T Studenta jest rozkładem zmiennej losowej

gdzie są zmienne losowe U I X niezależny, U ma standardowy rozkład normalny N(0,1) i X– rozkład chi – kwadrat c N stopnie swobody. W której N nazywana jest „liczbą stopni swobody” rozkładu Studenta.

Dystrybucję studencką wprowadził w 1908 roku angielski statystyk W. Gosset, który pracował w fabryce piwa. W tej fabryce przy podejmowaniu decyzji ekonomicznych i technicznych stosowano metody probabilistyczne i statystyczne, dlatego jej kierownictwo zabroniło V. Gossetowi publikowania artykułów naukowych pod własnym nazwiskiem. W ten sposób chroniono tajemnice przedsiębiorstwa oraz „know-how” w postaci metod probabilistycznych i statystycznych opracowanych przez V. Gosseta. Miał jednak okazję publikować pod pseudonimem „Student”. Historia Gosset-Student pokazuje, że już sto lat temu menedżerowie w Wielkiej Brytanii zdawali sobie sprawę z większej efektywności ekonomicznej metod probabilistyczno-statystycznych.

Obecnie rozkład Studenta jest jednym z najbardziej znanych rozkładów stosowanych w analizie danych rzeczywistych. Stosuje się go przy szacowaniu oczekiwań matematycznych, wartości prognozy i innych cech za pomocą przedziałów ufności, testowaniu hipotez o wartości oczekiwań matematycznych, współczynnikach regresji, hipotezach o jednorodności próbki itp. .

Rozkład Fishera to rozkład zmiennej losowej

gdzie są zmienne losowe X 1 I X2 są niezależne i mają rozkład chi-kwadrat z liczbą stopni swobody k 1 I k 2 odpowiednio. W tym samym czasie para (k 1 , k 2 ) – parę „stopni swobody” rozkładu Fishera, czyli: k 1 jest liczbą stopni swobody licznika, oraz k 2 – liczba stopni swobody mianownika. Rozkład zmiennej losowej F nazwany na cześć wielkiego angielskiego statystyka R. Fishera (1890-1962), który aktywnie wykorzystywał go w swoich pracach.

Rozkład Fishera wykorzystuje się przy testowaniu hipotez o adekwatności modelu w analizie regresji, równości wariancji i innych zagadnieniach statystyki stosowanej.

Wyrażenia dla funkcji rozkładu chi-kwadrat, Studenta i Fishera, ich gęstości i charakterystyki, a także tabele niezbędne do ich praktycznego zastosowania można znaleźć w literaturze specjalistycznej (patrz na przykład).

Niech U 1, U 2, ..,U k będą niezależnymi standardowymi wartościami normalnymi. Rozkład zmiennej losowej K = U 1 2 +U 2 2 + .. + U k 2 nazywany jest rozkładem chi-kwadrat z k stopnie swobody (zapisz K~χ 2 (k)). Jest to rozkład jednomodalny o dodatniej skośności i charakteryzujący się: modą M=k-2 oczekiwaniem matematycznym m=k wariancją D=2k (rys.). Przy wystarczająco dużej wartości parametru k rozkład χ 2 (k) ma w przybliżeniu rozkład normalny z parametrami

Przy rozwiązywaniu problemów statystyki matematycznej wykorzystuje się punkty krytyczne χ 2 (k) w zależności od zadanego prawdopodobieństwa α i liczby stopni swobody k(Załącznik 2). Punkt krytyczny Χ 2 kr = Χ 2 (k; α) jest granicą obszaru, na prawo od którego leży 100- α % powierzchni pod krzywą gęstości rozkładu. Prawdopodobieństwo, że wartość zmiennej losowej K~χ 2 (k) podczas badania spadnie na prawo od punktu χ 2 (k) nie przekracza α P(K≥χ 2 kp)≤ α). Przykładowo dla zmiennej losowej K~χ 2 (20) ustalamy prawdopodobieństwo α=0,05. Korzystając z tabeli punktów krytycznych rozkładu chi-kwadrat (tablice), znajdujemy χ 2 kp = χ 2 (20;0,05) = 31,4. Oznacza to, że prawdopodobieństwo tej zmiennej losowej K przyjąć wartość większą niż 31,4, mniejszą niż 0,05 (ryc.).

Ryż. Wykres gęstości rozkładu χ 2 (k) dla różnych wartości liczby stopni swobody k

Punkty krytyczne χ 2 (k) wykorzystywane są w następujących kalkulatorach:

1. Sprawdzanie obecności wielowspółliniowości (o wielowspółliniowości).

Testowanie hipotezy za pomocą Chi-kwadrat da jedynie odpowiedź na pytanie „czy istnieje związek?”, potrzebne są dalsze badania, aby sprawdzić kierunek zależności. Co więcej, test Chi-kwadrat ma pewien błąd podczas pracy z danymi o niskiej częstotliwości.

Dlatego do sprawdzenia kierunku powiązania wybiera się analizę korelacji, w szczególności weryfikację hipotezy z wykorzystaniem współczynnika korelacji Pearsona z dalszym badaniem istotności za pomocą testu t.

Dla dowolnej wartości poziomu istotności α Χ 2 można znaleźć za pomocą funkcji MS Excel: =HI2OBR(α;stopnie swobody)

n-1	.995	.990	.975	.950	.900	.750	.500	.250	.100	.050	.025	.010	.005
1	0.00004	0.00016	0.00098	0.00393	0.01579	0.10153	0.45494	1.32330	2.70554	3.84146	5.02389	6.63490	7.87944
2	0.01003	0.02010	0.05064	0.10259	0.21072	0.57536	1.38629	2.77259	4.60517	5.99146	7.37776	9.21034	10.59663
3	0.07172	0.11483	0.21580	0.35185	0.58437	1.21253	2.36597	4.10834	6.25139	7.81473	9.34840	11.34487	12.83816
4	0.20699	0.29711	0.48442	0.71072	1.06362	1.92256	3.35669	5.38527	7.77944	9.48773	11.14329	13.27670	14.86026
5	0.41174	0.55430	0.83121	1.14548	1.61031	2.67460	4.35146	6.62568	9.23636	11.07050	12.83250	15.08627	16.74960
6	0.67573	0.87209	1.23734	1.63538	2.20413	3.45460	5.34812	7.84080	10.64464	12.59159	14.44938	16.81189	18.54758
7	0.98926	1.23904	1.68987	2.16735	2.83311	4.25485	6.34581	9.03715	12.01704	14.06714	16.01276	18.47531	20.27774
8	1.34441	1.64650	2.17973	2.73264	3.48954	5.07064	7.34412	10.21885	13.36157	15.50731	17.53455	20.09024	21.95495
9	1.73493	2.08790	2.70039	3.32511	4.16816	5.89883	8.34283	11.38875	14.68366	16.91898	19.02277	21.66599	23.58935
10	2.15586	2.55821	3.24697	3.94030	4.86518	6.73720	9.34182	12.54886	15.98718	18.30704	20.48318	23.20925	25.18818
11	2.60322	3.05348	3.81575	4.57481	5.57778	7.58414	10.34100	13.70069	17.27501	19.67514	21.92005	24.72497	26.75685
12	3.07382	3.57057	4.40379	5.22603	6.30380	8.43842	11.34032	14.84540	18.54935	21.02607	23.33666	26.21697	28.29952
13	3.56503	4.10692	5.00875	5.89186	7.04150	9.29907	12.33976	15.98391	19.81193	22.36203	24.73560	27.68825	29.81947
14	4.07467	4.66043	5.62873	6.57063	7.78953	10.16531	13.33927	17.11693	21.06414	23.68479	26.11895	29.14124	31.31935
15	4.60092	5.22935	6.26214	7.26094	8.54676	11.03654	14.33886	18.24509	22.30713	24.99579	27.48839	30.57791	32.80132
16	5.14221	5.81221	6.90766	7.96165	9.31224	11.91222	15.33850	19.36886	23.54183	26.29623	28.84535	31.99993	34.26719
17	5.69722	6.40776	7.56419	8.67176	10.08519	12.79193	16.33818	20.48868	24.76904	27.58711	30.19101	33.40866	35.71847
18	6.26480	7.01491	8.23075	9.39046	10.86494	13.67529	17.33790	21.60489	25.98942	28.86930	31.52638	34.80531	37.15645
19	6.84397	7.63273	8.90652	10.11701	11.65091	14.56200	18.33765	22.71781	27.20357	30.14353	32.85233	36.19087	38.58226
20	7.43384	8.26040	9.59078	10.85081	12.44261	15.45177	19.33743	23.82769	28.41198	31.41043	34.16961	37.56623	39.99685
21	8.03365	8.89720	10.28290	11.59131	13.23960	16.34438	20.33723	24.93478	29.61509	32.67057	35.47888	38.93217	41.40106
22	8.64272	9.54249	10.98232	12.33801	14.04149	17.23962	21.33704	26.03927	30.81328	33.92444	36.78071	40.28936	42.79565
23	9.26042	10.19572	11.68855	13.09051	14.84796	18.13730	22.33688	27.14134	32.00690	35.17246	38.07563	41.63840	44.18128
24	9.88623	10.85636	12.40115	13.84843	15.65868	19.03725	23.33673	28.24115	33.19624	36.41503	39.36408	42.97982	45.55851
25	10.51965	11.52398	13.11972	14.61141	16.47341	19.93934	24.33659	29.33885	34.38159	37.65248	40.64647	44.31410	46.92789
26	11.16024	12.19815	13.84390	15.37916	17.29188	20.84343	25.33646	30.43457	35.56317	38.88514	41.92317	45.64168	48.28988
27	11.80759	12.87850	14.57338	16.15140	18.11390	21.74940	26.33634	31.52841	36.74122	40.11327	43.19451	46.96294	49.64492
28	12.46134	13.56471	15.30786	16.92788	18.93924	22.65716	27.33623	32.62049	37.91592	41.33714	44.46079	48.27824	50.99338
29	13.12115	14.25645	16.04707	17.70837	19.76774	23.56659	28.33613	33.71091	39.08747	42.55697	45.72229	49.58788	52.33562
30	13.78672	14.95346	16.79077	18.49266	20.59923	24.47761	29.33603	34.79974	40.25602	43.77297	46.97924	50.89218	53.67196

Liczba stopni swobody k	Poziom istotności a
	0,01	0,025	0.05	0,95	0,975	0.99
1	6.6	5.0	3.8	0.0039	0.00098	0.00016
2	9.2	7.4	6.0	0.103	0.051	0.020
3	11.3	9.4	7.8	0.352	0.216	0.115
4	13.3	11.1	9.5	0.711	0.484	0.297
5	15.1	12.8	11.1	1.15	0.831	0.554
6	16.8	14.4	12.6	1.64	1.24	0.872
7	18.5	16.0	14.1	2.17	1.69	1.24
8	20.1	17.5	15.5	2.73	2.18	1.65
9	21.7	19.0	16.9	3.33	2.70	2.09
10	23.2	20.5	18.3	3.94	3.25	2.56
11	24.7	21.9	19.7	4.57	3.82	3.05
12	26.2	23.3	21 .0	5.23	4.40	3.57
13	27.7	24.7	22.4	5.89	5.01	4.11
14	29.1	26.1	23.7	6.57	5.63	4.66
15	30.6	27.5	25.0	7.26	6.26	5.23
16	32.0	28.8	26.3	7.96	6.91	5.81
17	33.4	30.2	27.6	8.67	7.56	6.41
18	34.8	31.5	28.9	9.39	8.23	7.01
19	36.2	32.9	30.1	10.1	8.91	7.63
20	37.6	34.2	31.4	10.9	9.59	8.26
21	38.9	35.5	32.7	11.6	10.3	8.90
22	40.3	36.8	33.9	12.3	11.0	9.54
23	41.6	38.1	35.2	13.1	11.7	10.2
24	43.0	39.4	36.4	13.8	12.4	10.9
25	44.3	40.6	37.7	14.6	13.1	11.5
26	45.6	41.9	38.9	15.4	13.8	12.2
27	47.0	43.2	40.1	16.2	14.6	12.9
28	48.3	44.5	41.3	16.9	15.3	13.6
29	49.6	45.7	42.6	17.7	16.0	14.3
30	50.9	47.0	43.8	18.5	16.8	15.0

Test chi-kwadrat jest uniwersalną metodą sprawdzania zgodności wyników eksperymentu z zastosowanym modelem statystycznym.

Odległość Pearsona X 2

Piatnicki A.M.

Rosyjski Państwowy Uniwersytet Medyczny

W 1900 roku Karl Pearson zaproponował prosty, uniwersalny i skuteczny sposób sprawdzenia zgodności przewidywań modelu z danymi eksperymentalnymi. Zaproponowany przez niego „test chi-kwadrat” jest najważniejszym i najczęściej stosowanym testem statystycznym. Za jego pomocą można rozwiązać większość problemów związanych z estymacją nieznanych parametrów modelu i sprawdzeniem zgodności modelu z danymi eksperymentalnymi.

Niech istnieje aprioryczny („przedeksperymentalny”) model badanego obiektu lub procesu (w statystyce mówi się o „hipotezie zerowej” H 0) oraz wyniki eksperymentu z tym obiektem. Należy ocenić, czy model jest adekwatny (czy odpowiada rzeczywistości)? Czy wyniki eksperymentów zaprzeczają naszym wyobrażeniom o tym, jak działa rzeczywistość, czy innymi słowy, czy H0 należy odrzucić? Często zadanie to można sprowadzić do porównania zaobserwowanej (O i = Observed) i oczekiwanej zgodnie z modelem (E i = oczekiwana) średniej częstotliwości występowania określonych zdarzeń. Uważa się, że zaobserwowane częstotliwości uzyskano w serii N niezależnych (!) obserwacji przeprowadzonych w stałych (!) warunkach. W wyniku każdej obserwacji rejestrowane jest jedno z M zdarzeń. Zdarzenia te nie mogą wystąpić jednocześnie (są niekompatybilne parami) i jedno z nich koniecznie zachodzi (ich kombinacja tworzy zdarzenie wiarygodne). Całość obserwacji sprowadza się do tabeli (wektora) częstości (O i )=(O 1 ,… O M ), która w pełni opisuje wyniki eksperymentu. Wartość O 2 = 4 oznacza, że ​​zdarzenie nr 2 wystąpiło 4 razy. Suma częstotliwości O 1 +… O M =N. Należy rozróżnić dwa przypadki: N – stały, nielosowy, N – zmienny losowy. Dla ustalonej całkowitej liczby eksperymentów N częstości mają rozkład wielomianowy. Zilustrujmy ten ogólny schemat prostym przykładem.

Stosowanie testu chi-kwadrat do testowania prostych hipotez.

Niech model (hipoteza zerowa H 0) będzie taki, że kostka jest sprawiedliwa - wszystkie ścianki pojawiają się jednakowo często z prawdopodobieństwem p i =1/6, i =, M=6. Przeprowadzono doświadczenie, w którym rzucono 60 razy kostką (przeprowadzono N = 60 niezależnych prób). Zgodnie z modelem oczekujemy, że wszystkie zaobserwowane częstotliwości O i występowania 1,2,... 6 punktów powinny być zbliżone do ich wartości średnich E i =Np i =60∙(1/6)=10. Według H 0 wektor częstotliwości średnich (E i )=(Np i )=(10, 10, 10, 10, 10, 10). (Hipotezy, w których średnie częstości są całkowicie znane przed rozpoczęciem eksperymentu, nazywane są prostymi.) Jeśli obserwowany wektor (O i ) był równy (34,0,0,0,0,26), to natychmiast jasne, że model jest błędny - kość nie może być poprawna, ponieważ 60 razy wyrzucono tylko 1 i 6. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia dla prawidłowych kostek jest znikome: P = (2/6) 60 =2,4*10 -29. Jednak pojawienie się tak oczywistych rozbieżności pomiędzy modelem a doświadczeniem jest wyjątkiem. Niech wektor obserwowanych częstotliwości (O i ) będzie równy (5, 15, 6, 14, 4, 16). Czy jest to zgodne z H0? Musimy więc porównać dwa wektory częstotliwości (E i) i (O i). W tym przypadku wektor częstości oczekiwanych (Ei) nie jest losowy, ale wektor częstości obserwowanych (Oi) jest losowy – w kolejnym eksperymencie (w nowej serii 60 rzutów) okaże się inny. Warto wprowadzić interpretację geometryczną problemu i założyć, że w przestrzeni częstotliwości (w tym przypadku 6-wymiarowej) dane są dwa punkty o współrzędnych (5, 15, 6, 14, 4, 16) i (10, 10, 10, 10, 10, 10). Czy są one wystarczająco daleko od siebie, aby uznać to za niezgodne z H 0? Innymi słowy potrzebujemy:

1. nauczyć się mierzyć odległości pomiędzy częstotliwościami (punktami w przestrzeni częstotliwości),
2. mają kryterium określające, jaką odległość należy uznać za zbyt („nieprawdopodobnie”) dużą, czyli niezgodną z H 0 .

Kwadrat zwykłej odległości euklidesowej będzie równy:

X 2 Euklides = S(O i -E ja) 2 = (5-10) 2 +(15-10) 2 + (6-10) 2 +(14-10) 2 +(4-10) 2 +(16-10) 2

W tym przypadku powierzchnie X 2 Euclid = const są zawsze kulami, jeśli ustalimy wartości E i zmienimy O i . Karl Pearson zauważył, że nie należy stosować odległości euklidesowej w przestrzeni częstotliwości. Błędem jest zatem założenie, że punkty (O = 1030 i E = 1000) oraz (O = 40 i E = 10) znajdują się w równych odległościach od siebie, chociaż w obu przypadkach różnica wynosi O -E = 30. Przecież im wyższa jest oczekiwana częstotliwość, tym większe odchylenia od niej należy uznać za możliwe. Zatem punkty (O =1030 i E =1000) należy uznać za „bliskie”, a punkty (O =40 i E =10) za „dalekie” od siebie. Można wykazać, że jeśli hipoteza H 0 jest prawdziwa, to fluktuacje częstotliwości O i względem E i są rzędu pierwiastka kwadratowego (!) z E i . Dlatego Pearson zaproponował przy obliczaniu odległości kwadraturę nie różnic (O i -E i), ale znormalizowanych różnic (O i -E i)/E i 1/2. Oto wzór na obliczenie odległości Pearsona (w rzeczywistości jest to kwadrat odległości):

X2 Pearsona = S((O i -E ja )/E ja 1/2) 2 = S(O i -E i ) 2 /E i

W naszym przykładzie:

X 2 Pearson = (5-10) 2 /10+(15-10) 2 /10 +(6-10) 2 /10+(14-10) 2 /10+(4-10) 2 /10+( 16-10) 2 /10=15,4

Dla zwykłej kostki wszystkie oczekiwane częstotliwości E i są takie same, ale zazwyczaj są różne, więc powierzchnie, na których odległość Pearsona jest stała (X 2 Pearson = const) okazują się elipsoidami, a nie kulami.

Teraz, gdy wzór na obliczanie odległości został już wybrany, należy dowiedzieć się, które odległości należy uznać za „nie za duże” (zgodne z H 0), a co możemy powiedzieć np. o obliczonej przez nas odległości 15,4 ? W jakim procencie przypadków (lub z jakim prawdopodobieństwem) uzyskalibyśmy odległość większą niż 15,4, przeprowadzając eksperymenty ze zwykłą kostką? Jeżeli ten odsetek jest niewielki (np.<0.05), то H 0 надо отвергнуть. Иными словами требуется найти распределение длярасстояния Пирсона. Если все ожидаемые частоты E i не слишком малы (≥5), и верна H 0 , то нормированные разности (O i - E i )/E i 1/2 приближенно эквивалентны стандартным гауссовским случайным величинам: (O i - E i )/E i 1/2 ≈N (0,1). Это, например, означает, что в 95% случаев| (O i - E i )/E i 1/2 | < 1.96 ≈ 2 (правило “двух сигм”).

Wyjaśnienie. Liczba pomiarów O i wpadająca do komórki tabeli o numerze i ma rozkład dwumianowy o parametrach: m =Np i =E i,σ =(Np i (1-p i)) 1/2, gdzie N jest liczbą pomiarów (N” 1), pi to prawdopodobieństwo, że jeden pomiar wpadnie do danej komórki (przypomnijmy, że pomiary są niezależne i przeprowadzane w stałych warunkach). Jeżeli p i jest małe, to: σ≈(Np i ) 1/2 =E i i rozkład dwumianowy jest bliski Poissona, w którym średnia liczba obserwacji E i =λ, a odchylenie standardowe σ=λ 1/2 = mi 1/2. Dla λ≥5 rozkład Poissona jest zbliżony do normalnego N (m =E i =λ, σ=E i 1/2 =λ 1/2) i wartości znormalizowanej (O i - E i )/E i 1 /2 ≈ N (0,1).

Pearson zdefiniował zmienną losową χ 2 n – „chi-kwadrat z n stopniami swobody”, jako sumę kwadratów n niezależnych standardowych normalnych zmiennych losowych:

χ 2 n = T 1 2 + T 2 2 + …+ T n 2 , gdzie są wszyscy T ja = N(0,1) - N. O. R. Z. V.

Spróbujmy jasno zrozumieć znaczenie tej najważniejszej zmiennej losowej w statystyce. W tym celu na płaszczyźnie (przy n = 2) lub w przestrzeni (przy n = 3) prezentujemy chmurę punktów, których współrzędne są niezależne i mają standardowy rozkład normalnyf T (x) ~exp (-x 2 /2 ). Na płaszczyźnie, zgodnie z zasadą „dwóch sigma”, którą stosuje się niezależnie do obu współrzędnych, 90% (0,95*0,95≈0,90) punktów mieści się w kwadracie (-2

f χ 2 2 (a) = Сexp(-a/2) = 0,5exp(-a/2).

Przy dostatecznie dużej liczbie stopni swobody n (n > 30) rozkład chi-kwadrat zbliża się do normalnego: N (m = n; σ = (2n) ½). Jest to konsekwencja „centralnego twierdzenia granicznego”: suma wielkości o jednakowym rozkładzie i skończonej wariancji zbliża się do prawa normalnego w miarę wzrostu liczby wyrazów.

W praktyce trzeba pamiętać, że średni kwadrat odległości wynosi m (χ 2 n) = n, a jej wariancja wynosi σ 2 (χ 2 n) = 2n. Stąd łatwo wywnioskować, które wartości chi-kwadrat należy uznać za zbyt małe, a które za duże: większość rozkładu mieści się w przedziale od n -2∙(2n) ½ do n +2∙(2n) ½.

Zatem odległości Pearsona znacznie przekraczające n +2∙ (2n) ½ należy uznać za nieprawdopodobnie duże (niezgodne z H 0). Jeśli wynik jest bliski n +2∙(2n) ½, to należy skorzystać z tabel, w których można dokładnie dowiedzieć się, w jakiej proporcji przypadków mogą pojawić się takie duże wartości chi-kwadrat.

Ważne jest, aby wiedzieć, jak wybrać odpowiednią wartość liczby stopni swobody (w skrócie n.d.f.). Naturalne wydawało się założenie, że n jest po prostu równe liczbie cyfr: n = M. W swoim artykule Pearson to zasugerował. W przykładzie z kostką oznaczałoby to, że n = 6. Jednak kilka lat później okazało się, że Pearson się mylił. Liczba stopni swobody jest zawsze mniejsza od liczby cyfr, jeśli pomiędzy zmiennymi losowymi O i istnieją powiązania. W przykładzie z kostką suma O i wynosi 60, a tylko 5 częstotliwości można zmienić niezależnie, więc poprawna wartość to n = 6-1 = 5. Dla tej wartości n otrzymujemy n +2∙(2n) ½ =5+2∙(10) ½ =11,3. Ponieważ 15,4>11,3, to hipotezę H 0 – kostka jest prawidłowa, należy odrzucić.

Po wyjaśnieniu błędu należało uzupełnić istniejące tablice χ 2, gdyż początkowo nie było w nich przypadku n = 1, gdyż najmniejsza liczba cyfr = 2. Teraz okazuje się, że mogą zaistnieć przypadki, gdy odległość Pearsona ma rozkład χ 2 n =1.

Przykład. Przy 100 rzutach monetą liczba orłów wynosi O 1 = 65, a reszek O 2 = 35. Liczba cyfr wynosi M = 2. Jeżeli moneta jest symetryczna, to oczekiwane częstotliwości wynoszą E 1 =50, E 2 =50.

X2 Pearsona = S(O i -E i) 2 /E i = (65-50) 2 /50 + (35-50) 2 /50 = 2*225/50 = 9.

Otrzymaną wartość należy porównać z tymi, które może przyjąć zmienna losowa χ 2 n =1, zdefiniowanymi jako kwadrat standardowej wartości normalnej χ 2 n =1 =T 1 2 ≥ 9 ó T 1 ≥3 lub T 1 ≤-3. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest bardzo niskie P (χ 2 n =1 ≥9) = 0,006. Dlatego monety nie można uznać za symetryczną: H 0 należy odrzucić. O tym, że liczba stopni swobody nie może być równa liczbie cyfr, świadczy fakt, że suma obserwowanych częstotliwości jest zawsze równa sumie oczekiwanych, np. O 1 +O 2 =65+ 35 = mi 1 + mi 2 =50+50=100. Zatem losowe punkty o współrzędnych O 1 i O 2 leżą na linii prostej: O 1 + O 2 =E 1 +E 2 =100 i odległość do środka okazuje się mniejsza niż gdyby tego ograniczenia nie było i znajdowały się na całej płaszczyźnie. Rzeczywiście, dla dwóch niezależnych zmiennych losowych z oczekiwaniami matematycznymi E 1 =50, E 2 =50, suma ich realizacji nie zawsze powinna być równa 100 - przykładowo wartości O 1 =60, O 2 =55 być akceptowalnym.

Wyjaśnienie. Porównajmy wynik kryterium Pearsona przy M = 2 z tym, co daje wzór Moivre'a-Laplace'a przy szacowaniu losowych wahań częstotliwości występowania zdarzenia ν =K /N z prawdopodobieństwem p w szeregu N niezależnych testów Bernoulliego ( K to liczba sukcesów):

χ 2 n = 1 = S(O i -E i) 2 /E ja = (O 1 -E 1) 2 /E 1 + (O 2 -E 2) 2 /E 2 = (Nν -Np) 2 /(Np) + (N ( 1-ν )-N (1-p )) 2 /(N (1-p ))=

=(Nν-Np) 2 (1/p + 1/(1-p))/N=(Nν-Np) 2 /(Np(1-p))=((K-Np)/(Npq) ½ ) 2 = T 2

Wartość T =(K -Np)/(Npq) ½ = (K -m (K))/σ(K) ≈N (0,1) przy σ(K)=(Npq) ½ ≥3. Widzimy, że w tym przypadku wynik Pearsona dokładnie pokrywa się z tym, co daje przybliżenie normalne dla rozkładu dwumianowego.

Do tej pory rozważaliśmy proste hipotezy, dla których oczekiwane średnie częstotliwości E i są z góry znane. Informacje na temat wyboru właściwej liczby stopni swobody dla złożonych hipotez znajdują się poniżej.

Stosowanie testu chi-kwadrat do testowania złożonych hipotez

W przykładach ze zwykłą kostką i monetą oczekiwane częstotliwości można było wyznaczyć przed (!) eksperymentem. Hipotezy takie nazywane są „prostymi”. W praktyce częściej spotykane są „hipotezy złożone”. Ponadto, aby znaleźć oczekiwane częstotliwości E i, należy najpierw oszacować jedną lub kilka wielkości (parametrów modelu), a można tego dokonać jedynie na podstawie danych eksperymentalnych. W rezultacie dla „hipotez złożonych” częstości oczekiwane E i okazują się zależeć od obserwowanych częstości O i, a zatem same stają się zmiennymi losowymi zmieniającymi się w zależności od wyników eksperymentu. W procesie doboru parametrów odległość Pearsona maleje – parametry dobiera się tak, aby poprawić zgodność modelu z eksperymentem. Dlatego liczba stopni swobody powinna się zmniejszać.

Jak oszacować parametry modelu? Istnieje wiele różnych metod estymacji – „metoda największej wiarygodności”, „metoda momentów”, „metoda podstawienia”. Nie można jednak wykorzystać żadnych dodatkowych środków i znaleźć oszacowań parametrów poprzez minimalizację odległości Pearsona. W erze przedkomputerowej podejście to było rzadko stosowane: jest niewygodne w przypadku obliczeń ręcznych i z reguły nie można go rozwiązać analitycznie. Przy obliczeniach na komputerze minimalizacja numeryczna jest zazwyczaj łatwa do przeprowadzenia, a zaletą tej metody jest jej uniwersalność. Zatem zgodnie z „metodą minimalizacji chi-kwadrat” dobieramy wartości nieznanych parametrów tak, aby odległość Pearsona stała się najmniejsza. (Nawiasem mówiąc, badając zmiany tej odległości przy małych przemieszczeniach w stosunku do znalezionego minimum, możesz oszacować miarę dokładności oszacowania: skonstruować przedziały ufności.) Po znalezieniu parametrów i samej odległości minimalnej jest to ponownie trzeba odpowiedzieć na pytanie, czy jest on wystarczająco mały.

Ogólna sekwencja działań jest następująca:

1. Wybór modelu (hipoteza H 0).
2. Dobór cyfr i wyznaczenie wektora obserwowanych częstotliwości O i .
3. Estymacja nieznanych parametrów modelu i konstrukcja dla nich przedziałów ufności (np. poprzez poszukiwanie minimalnej odległości Pearsona).
4. Obliczanie oczekiwanych częstotliwości E i .
5. Porównanie znalezionej wartości odległości Pearsona X 2 z wartością krytyczną chi-kwadrat χ 2 crit - największą, która nadal jest uważana za wiarygodną, ​​zgodną z H 0. Wartość χ 2 crit znajdujemy z tabel, rozwiązując równanie

P (χ 2 n > χ 2 kryt)=1-α,

gdzie α oznacza „poziom istotności” lub „wielkość kryterium” lub „wielkość błędu pierwszego rodzaju” (typowa wartość α = 0,05).

Zwykle liczbę stopni swobody n oblicza się ze wzoru

n = (liczba cyfr) – 1 – (liczba parametrów do oszacowania)

Jeżeli X 2 > χ 2 kryty, to hipoteza H 0 zostaje odrzucona, w przeciwnym razie zostaje przyjęta. W α∙100% przypadków (czyli dość rzadko) taki sposób sprawdzania H 0 doprowadzi do „błędu pierwszego rodzaju”: hipoteza H 0 zostanie błędnie odrzucona.

Przykład. Badając 10 serii po 100 nasion, policzono liczbę zarażonych muchówek zielonookich. Otrzymane dane: O i =(16, 18, 11, 18, 21, 10, 20, 18, 17, 21);

Tutaj wektor oczekiwanych częstotliwości jest z góry nieznany. Jeśli dane są jednorodne i uzyskane dla rozkładu dwumianowego, wówczas nieznany jest jeden parametr: proporcja p zakażonych nasion. Należy zauważyć, że w oryginalnej tabeli tak naprawdę nie jest 10, ale 20 częstotliwości, które spełniają 10 połączeń: 16+84=100, ... 21+79=100.

X 2 = (16-100p) 2 /100p +(84-100(1-p)) 2 /(100(1-p))+…+

(21-100p) 2 /100p +(79-100(1-p)) 2 /(100(1-p))

Łącząc terminy w pary (jak w przykładzie z monetą) otrzymujemy postać zapisu kryterium Pearsona, które zwykle zapisuje się natychmiast:

X 2 = (16-100p) 2 /(100p(1-p))+…+ (21-100p) 2 /(100p(1-p)).

Jeśli teraz jako metodę estymacji p zastosujemy minimalną odległość Pearsona, to konieczne jest znalezienie p, dla którego X 2 = min. (Model stara się, jeśli to możliwe, „dopasować” do danych eksperymentalnych.)

Kryterium Pearsona jest najbardziej uniwersalnym ze wszystkich stosowanych w statystyce. Można go zastosować do danych jednowymiarowych i wielowymiarowych, cech ilościowych i jakościowych. Jednak właśnie ze względu na jego uniwersalność należy uważać, aby nie popełnić błędu.

Ważne punkty

1.Wybór kategorii.

• Jeśli rozkład jest dyskretny, wówczas zwykle nie ma arbitralności w wyborze cyfr.
• Jeśli dystrybucja jest ciągła, arbitralność jest nieunikniona. Można zastosować statystycznie równoważne bloki (wszystkie O są takie same, na przykład =10). Różnią się jednak długością odstępów. Wykonując obliczenia ręczne, starali się, aby odstępy były takie same. Czy odstępy przy badaniu rozkładu cechy jednowymiarowej powinny być równe? NIE.
• Cyfry należy tak połączyć, aby oczekiwane (a nie zaobserwowane!) częstotliwości nie były zbyt małe (≥5). Przypomnijmy, że to one (E i) są w mianownikach przy obliczaniu X 2! Analizując cechy jednowymiarowe, można złamać tę zasadę w dwóch skrajnych cyfrach E 1 =E max =1. Jeśli liczba cyfr jest duża, a oczekiwane częstotliwości są bliskie, wówczas X 2 jest dobrym przybliżeniem χ 2 nawet dla E i =2.

Oszacowanie parametrów. Stosowanie „domowych”, nieefektywnych metod estymacji może prowadzić do zawyżonych wartości odległości Pearsona.

Wybór odpowiedniej liczby stopni swobody. Jeśli estymacji parametrów dokonuje się nie na podstawie częstotliwości, ale bezpośrednio na podstawie danych (na przykład za estymację średniej przyjmuje się średnią arytmetyczną), to dokładna liczba stopni swobody n jest nieznana. Wiemy tylko, że spełnia nierówność:

(liczba cyfr – 1 – liczba ocenianych parametrów)< n < (число разрядов – 1)

Dlatego konieczne jest porównanie X 2 z wartościami krytycznymi χ 2 crit obliczonymi w tym zakresie n.

Jak interpretować nieprawdopodobnie małe wartości chi-kwadrat? Czy monetę należy uznać za symetryczną, jeśli po 10 000 rzutów wyląduje na herbie 5000 razy? Wcześniej wielu statystyków uważało, że H 0 również należy odrzucić. Teraz proponowane jest inne podejście: przyjąć H 0, ale poddać dane i metodologię ich analizy dodatkowej weryfikacji. Możliwości są dwie: albo zbyt mała odległość Pearsona oznacza, że ​​zwiększeniu liczby parametrów modelu nie towarzyszyło odpowiednie zmniejszenie liczby stopni swobody, albo same dane zostały sfałszowane (być może niezamierzenie dostosowane do oczekiwanego wyniku).

Przykład. Dwóch badaczy A i B obliczyło proporcję recesywnych homozygot aa w drugiej generacji krzyżówki monohybrydowej AA*aa. Zgodnie z prawami Mendla ułamek ten wynosi 0,25. Każdy badacz przeprowadził 5 eksperymentów, w każdym eksperymencie badano 100 organizmów.

Wyniki A: 25, 24, 26, 25, 24. Wniosek badacza: Prawo Mendla jest prawdziwe(?).

Wyniki B: 29, 21, 23, 30, 19. Konkluzja badacza: Prawo Mendla nie jest sprawiedliwe(?).

Prawo Mendla ma jednak charakter statystyczny i analiza ilościowa wyników odwraca wnioski! Łącząc pięć eksperymentów w jeden, otrzymujemy rozkład chi-kwadrat z 5 stopniami swobody (testowana jest prosta hipoteza):

X 2 A = ((25-25) 2 +(24-25) 2 +(26-25) 2 +(25-25) 2 +(24-25) 2)/(100∙0,25∙0,75)=0,16

X 2 B = ((29-25) 2 +(21-25) 2 +(23-25) 2 +(30-25) 2 +(19-25) 2)/(100∙0,25∙0,75)=5,17

Wartość średnia m [χ 2 n =5 ]=5, odchylenie standardowe σ[χ 2 n =5 ]=(2∙5) 1/2 =3,2.

Zatem bez odwoływania się do tabel jasne jest, że wartość X 2 B jest typowa, a wartość X 2 A jest nieprawdopodobnie mała. Według tablic P (χ 2 n =5<0.16)<0.0001.

Przykład ten jest adaptacją prawdziwego przypadku, który miał miejsce w latach trzydziestych XX wieku (patrz praca Kołmogorowa „O kolejnym dowodzie praw Mendla”). Co ciekawe, Badacz A był zwolennikiem genetyki, podczas gdy Badacz B był jej przeciwny.

Zamieszanie w zapisie. Należy odróżnić odległość Pearsona, która wymaga dodatkowych konwencji w jej obliczaniu, od matematycznego pojęcia zmiennej losowej chi-kwadrat. Odległość Pearsona w pewnych warunkach ma rozkład zbliżony do chi-kwadrat z n stopniami swobody. Dlatego wskazane jest, aby NIE oznaczać odległości Pearsona symbolem χ 2 n, ale zastosować podobny, ale inny zapis X 2. .

Kryterium Pearsona nie jest wszechmocne. Istnieje nieskończona liczba alternatyw dla H 0, których nie jest on w stanie wziąć pod uwagę. Załóżmy, że testujesz hipotezę, że cecha ma rozkład równomierny, masz 10 cyfr, a wektor obserwowanych częstotliwości jest równy (130 125 121 118 116 115 114 113 111 110). Kryterium Pearsona nie może „zauważyć”, że częstotliwości maleją monotonicznie i H 0 nie zostanie odrzucone. Gdyby dodać do tego kryterium serii, to tak!

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej

Federalna Agencja Edukacji Miasta Irkuck

Bajkał Państwowy Uniwersytet Ekonomii i Prawa

Katedra Informatyki i Cybernetyki

Rozkład chi-kwadrat i jego zastosowania

Kołmykowa Anna Andreevna

Studentka drugiego roku

grupa IS-09-1

Do przetwarzania uzyskanych danych używamy testu chi-kwadrat.

W tym celu zbudujemy tabelę rozkładu częstotliwości empirycznych, tj. te częstotliwości, które obserwujemy:

Teoretycznie oczekujemy, że częstotliwości będą równomiernie rozłożone, tj. częstotliwość zostanie rozdzielona proporcjonalnie pomiędzy chłopców i dziewczęta. Zbudujmy tabelę częstości teoretycznych. Aby to zrobić, pomnóż sumę wiersza przez sumę kolumny i podziel wynikową liczbę przez całkowitą sumę (sumy).

Ostateczna tabela do obliczeń będzie wyglądać następująco:

χ2 = ∑(E - T)² / T

n = (R - 1), gdzie R jest liczbą wierszy w tabeli.

W naszym przypadku chi-kwadrat = 4,21; n = 2.

Korzystając z tabeli wartości krytycznych kryterium, znajdujemy: przy n = 2 i poziomie błędu 0,05 wartość krytyczna wynosi χ2 = 5,99.

Otrzymana wartość jest mniejsza od wartości krytycznej, co oznacza przyjęcie hipotezy zerowej.

Wniosek: nauczyciele nie przywiązują wagi do płci dziecka, pisząc dla niego cechy.

Aplikacja

Punkty krytyczne rozkładu χ2

Tabela 1

Wniosek

Studenci niemal wszystkich specjalności studiują sekcję „Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna” na zakończenie kursu matematyki wyższej, w rzeczywistości zapoznają się jedynie z niektórymi podstawowymi pojęciami i wynikami, które wyraźnie nie wystarczą do praktycznej pracy. Studenci zapoznają się z niektórymi matematycznymi metodami badań na kursach specjalnych (np. „Prognozowanie i planowanie techniczno-ekonomiczne”, „Analiza techniczno-ekonomiczna”, „Kontrola jakości produktu”, „Marketing”, „Controlling”, „Matematyczne metody prognozowania ”)”, „Statystyka” itp. – w przypadku studentów kierunków ekonomicznych), jednak prezentacja w większości przypadków ma charakter bardzo skrótowy i schematyczny. W efekcie wiedza specjalistów statystyki stosowanej jest niewystarczająca.

Dlatego też duże znaczenie ma kierunek „Statystyka stosowana” na uczelniach technicznych, a na uczelniach ekonomicznych kierunek „Ekonometria”, gdyż ekonometria to, jak wiadomo, analiza statystyczna określonych danych ekonomicznych.

Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna dostarczają podstawowej wiedzy z zakresu statystyki stosowanej i ekonometrii.

Są niezbędne specjalistom do pracy praktycznej.

Przyjrzałem się ciągłemu modelowi probabilistycznemu i próbowałem pokazać jego zastosowanie na przykładach.

Bibliografia

1. Orłow A.I. Statystyka stosowana. M.: Wydawnictwo „Egzamin”, 2004.

2. Gmurman V.E. Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. M.: Szkoła wyższa, 1999. – 479 s.

3. Ayvozyan S.A. Teoria prawdopodobieństwa i statystyka stosowana, tom 1. M.: Jedność, 2001. – 656 s.

4. Khamitov G.P., Vedernikova T.I. Prawdopodobieństwa i statystyka. Irkuck: BGUEP, 2006 – 272 s.

5. Ezhova L.N. Ekonometria. Irkuck: BGUEP, 2002. – 314 s.

6. Mosteller F. Pięćdziesiąt zabawnych problemów probabilistycznych z rozwiązaniami. M.: Nauka, 1975. – 111 s.

7. Mosteller F. Prawdopodobieństwo. M.: Mir, 1969. – 428 s.

8. Yaglom A.M. Prawdopodobieństwo i informacja. M.: Nauka, 1973. – 511 s.

9. Chistyakov V.P. Kurs teorii prawdopodobieństwa. M.: Nauka, 1982. – 256 s.

10. Kremer N.Sh. Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. M.: JEDNOŚĆ, 2000. – 543 s.

11. Encyklopedia matematyczna, tom 1. M.: Encyklopedia Radziecka, 1976. – 655 s.

12. http://psystat.at.ua/ - Statystyka w psychologii i pedagogice. Artykuł Test chi-kwadrat.

Test \(\chi^2\) („chi-kwadrat”, zwany także „testem dopasowania Pearsona”) ma niezwykle szerokie zastosowanie w statystyce. Ogólnie można powiedzieć, że służy do testowania hipotezy zerowej, że obserwowana zmienna losowa podlega pewnemu teoretycznemu prawu rozkładu (więcej szczegółów można znaleźć np.). Konkretne sformułowanie testowanej hipotezy będzie się różnić w zależności od przypadku.

W tym poście opiszę jak działa kryterium \(\chi^2\) na (hipotetycznym) przykładzie z immunologii. Wyobraźmy sobie, że przeprowadziliśmy eksperyment mający na celu określenie skuteczności hamowania rozwoju choroby drobnoustrojowej po wprowadzeniu do organizmu odpowiednich przeciwciał. W sumie w eksperymencie wzięło udział 111 myszy, które podzieliliśmy na dwie grupy, obejmujące odpowiednio 57 i 54 zwierzęta. Pierwsza grupa myszy otrzymała zastrzyki z bakterii chorobotwórczych, a następnie podano im surowicę krwi zawierającą przeciwciała przeciwko tym bakteriom. Zwierzęta z drugiej grupy służyły jako kontrola – otrzymywały jedynie zastrzyki bakteryjne. Po pewnym czasie inkubacji okazało się, że 38 myszy zmarło, a 73 przeżyły. Spośród zmarłych 13 należało do pierwszej grupy, a 25 do drugiej (kontrola). Hipotezę zerową testowaną w tym eksperymencie można sformułować następująco: podanie surowicy z przeciwciałami nie ma wpływu na przeżycie myszy. Innymi słowy, twierdzimy, że zaobserwowane różnice w przeżyciu myszy (77,2% w pierwszej grupie w porównaniu z 53,7% w drugiej grupie) są całkowicie losowe i nie są związane z działaniem przeciwciał.

Dane uzyskane w eksperymencie można przedstawić w formie tabeli:

			Całkowity
Bakterie + surowica
Tylko bakterie
Całkowity

Tabele takie jak pokazana nazywane są tabelami kontyngencji. W rozpatrywanym przykładzie tabela ma wymiar 2x2: istnieją dwie klasy obiektów („Bakterie + surowica” i „Tylko bakterie”), które bada się według dwóch kryteriów („Martwe” i „Przeżyte”). Jest to najprostszy przypadek tabeli kontyngencji: oczywiście zarówno liczba badanych klas, jak i liczba cech może być większa.

Aby przetestować hipotezę zerową podaną powyżej, musimy wiedzieć, jaka byłaby sytuacja, gdyby przeciwciała faktycznie nie miały wpływu na przeżycie myszy. Innymi słowy, musisz obliczyć oczekiwane częstotliwości dla odpowiednich komórek tabeli kontyngencji. Jak to zrobić? W eksperymencie zginęło ogółem 38 myszy, co stanowi 34,2% całkowitej liczby zwierząt objętych eksperymentem. Jeżeli podanie przeciwciał nie wpływa na przeżycie myszy, to w obu grupach doświadczalnych należy zaobserwować taki sam procent śmiertelności, wynoszący 34,2%. Obliczając, ile wynosi 34,2% z 57 i 54, otrzymujemy 19,5 i 18,5. Są to oczekiwane współczynniki śmiertelności w naszych grupach eksperymentalnych. Oczekiwane wskaźniki przeżycia oblicza się w podobny sposób: ponieważ przeżyły łącznie 73 myszy, czyli 65,8% całkowitej liczby, oczekiwane wskaźniki przeżycia będą wynosić 37,5 i 35,5. Utwórzmy nową tabelę kontyngencji, teraz z oczekiwanymi częstotliwościami:

	Martwy	Ocalali	Całkowity
Bakterie + surowica
Tylko bakterie
Całkowity

Jak widać, oczekiwane częstotliwości znacznie różnią się od obserwowanych, tj. wydaje się, że podawanie przeciwciał ma wpływ na przeżycie myszy zakażonych patogenem. Możemy określić ilościowo to wrażenie za pomocą testu dobroci dopasowania Pearsona \(\chi^2\):

\[\chi^2 = \sum_()\frac((f_o - f_e)^2)(f_e),\]

gdzie \(f_o\) i \(f_e\) to odpowiednio obserwowane i oczekiwane częstotliwości. Sumowanie odbywa się po wszystkich komórkach tabeli. Tak więc dla rozważanego przykładu mamy

\[\chi^2 = (13 – 19,5)^2/19,5 + (44 – 37,5)^2/37,5 + (25 – 18,5)^2/18,5 + (29 – 35,5)^2/35,5 = \]

Czy wynikowa wartość \(\chi^2\) jest wystarczająco duża, aby odrzucić hipotezę zerową? Aby odpowiedzieć na to pytanie, należy znaleźć odpowiednią wartość krytyczną kryterium. Liczbę stopni swobody dla \(\chi^2\) oblicza się jako \(df = (R - 1)(C - 1)\), gdzie \(R\) i \(C\) są liczbą wierszy i kolumn w koniugacji tabeli. W naszym przypadku \(df = (2 -1)(2 - 1) = 1\). Znając liczbę stopni swobody, możemy teraz łatwo znaleźć wartość krytyczną \(\chi^2\) za pomocą standardowej funkcji R qchisq() :

Zatem przy jednym stopniu swobody tylko w 5% przypadków wartość kryterium \(\chi^2\) przekracza 3,841. Uzyskana przez nas wartość 6,79 znacznie przekracza tę wartość krytyczną, co daje nam prawo do odrzucenia hipotezy zerowej mówiącej, że nie ma związku pomiędzy podaniem przeciwciał a przeżyciem zakażonych myszy. Odrzucając tę ​​hipotezę, ryzykujemy, że się mylimy z prawdopodobieństwem mniejszym niż 5%.

Należy zauważyć, że powyższy wzór na kryterium \(\chi^2\) daje nieco zawyżone wartości podczas pracy z tabelami kontyngencji o rozmiarze 2x2. Powodem jest to, że rozkład samego kryterium \(\chi^2\) jest ciągły, natomiast częstotliwości cech binarnych („umarły” / „przeżyły”) są z definicji dyskretne. W związku z tym przy obliczaniu kryterium zwyczajowo wprowadza się tzw korekta ciągłości, Lub Poprawka Yatesa :

\[\chi^2_Y = \sum_()\frac((|f_o - f_e| - 0,5)^2)(f_e).\]

osoba „Test chi-kwadrat z Yatesem” dane dotyczące korekty ciągłości: myszy X-kwadrat = 5,7923, df = 1, wartość p = 0,0161

Jak widzimy, R automatycznie stosuje korekcję ciągłości Yatesa ( Test Chi-kwadrat Pearsona z korektą ciągłości Yatesa). Obliczona przez program wartość \(\chi^2\) wyniosła 5,79213. Możemy odrzucić hipotezę zerową o braku efektu przeciwciał, ryzykując, że będzie błędna, z prawdopodobieństwem nieco ponad 1% (wartość p = 0,0161).