Często wybierają liczbę dziesięć. Nazywa się logarytmy liczb opartych na podstawie dziesięciu dziesiętny. Podczas wykonywania obliczeń za pomocą logarytmu dziesiętnego często operuje się znakiem lg, ale nie dziennik; w tym przypadku nie jest wskazana liczba dziesięć, która określa podstawę. Tak, wymieńmy log 10 105 do uproszczonego lg105; A log 10 2 NA lg2.
Dla logarytmy dziesiętne typowe są te same cechy, które mają logarytmy o podstawie większej niż jeden. Mianowicie logarytmy dziesiętne charakteryzują się wyłącznie liczbami dodatnimi. Logarytmy dziesiętne liczb większych niż jeden są dodatnie, a logarytmy liczb mniejszych niż jeden są ujemne; z dwóch liczb nieujemnych większa jest równoważna większemu logarytmowi dziesiętnemu itp. Ponadto logarytmy dziesiętne mają charakterystyczne cechy i osobliwe cechy, które wyjaśniają, dlaczego wygodnie jest preferować liczbę dziesięć jako podstawę logarytmów.
Przed zbadaniem tych właściwości zapoznajmy się z następującymi sformułowaniami.
Całkowita część logarytmu dziesiętnego liczby A jest nazywany Charakterystyka, a ułamkowy to mantysa ten logarytm.
Charakterystyka logarytmu dziesiętnego liczby A jest oznaczone jako , a mantysa jako (lg A}.
Weźmy, powiedzmy, log 2 ≈ 0,3010. Odpowiednio = 0, (log 2) ≈ 0,3010.
Podobnie dla log 543,1 ≈2,7349. Odpowiednio = 2, (log 543,1) ≈ 0,7349.
Powszechnie stosuje się obliczanie logarytmów dziesiętnych liczb dodatnich z tabel.
Cechy charakterystyczne logarytmów dziesiętnych.
Pierwszy znak logarytmu dziesiętnego. nieujemna liczba całkowita reprezentowana przez jedynkę i zera jest dodatnią liczbą całkowitą równą liczbie zer w zapisie wybranej liczby .
Weźmy log 100 = 2, log 1 00000 = 5.
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli
To A= 10N , z którego otrzymujemy
lg a = lg 10 n = n lg 10 =P.
Drugi znak. Dziesięć logarytmów dodatniego ułamka dziesiętnego, pokazanego jako jedynka z zerami na początku, to - P, Gdzie P- liczba zer w reprezentacji tej liczby, z uwzględnieniem zerowych liczb całkowitych.
Rozważmy , log 0,001 = - 3, log 0,000001 = -6.
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli
,
To A= 10-N i okazuje się
lga=lg 10N =-n log 10 =-n
Trzeci znak. Charakterystyka logarytmu dziesiętnego liczby nieujemnej większej od jedności jest równa liczbie cyfr części całkowitej tej liczby z wyłączeniem jedynki.
Przeanalizujmy tę cechę: 1) Charakterystyka logarytmu lg 75,631 jest równa 1.
Rzeczywiście, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод
LG 10< lg 75,631 < lg 100,
1 < lg 75,631 < 2.
Oznacza to,
log 75,631 = 1 + b,
Przesunięcie przecinka w ułamku dziesiętnym w prawo lub w lewo jest równoważne operacji pomnożenia tego ułamka przez potęgę dziesięciu z wykładnikiem całkowitym P(pozytywny lub negatywny). I dlatego, gdy przecinek dziesiętny w dodatnim ułamku dziesiętnym zostanie przesunięty w lewo lub w prawo, mantysa logarytmu dziesiętnego tego ułamka nie zmienia się.
Zatem (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).
DEFINICJA
Logarytm dziesiętny zwany logarytmem dziesiętnym:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Ten logarytm jest rozwiązaniem równania wykładniczego. Czasami (szczególnie w literaturze zagranicznej) logarytm dziesiętny jest również oznaczony jako , chociaż pierwsze dwa oznaczenia są również nieodłącznie związane z logarytmem naturalnym.
Pierwsze tablice logarytmów dziesiętnych opublikował angielski matematyk Henry Briggs (1561-1630) w 1617 r. (dlatego zagraniczni naukowcy często nazywają logarytmy dziesiętne również Briggsem), ale tablice te zawierały błędy. Na podstawie tablic (1783) słoweńskiego i austriackiego matematyka Georga Barthalomewa Vegi (Juri Veha lub Vehovec, 1754-1802) w 1857 roku niemiecki astronom i geodeta Karl Bremiker (1804-1877) opublikował pierwsze bezbłędne wydanie. Przy udziale rosyjskiego matematyka i nauczyciela Leonty'ego Filippowicza Magnickiego (Telyatin lub Telyashin, 1669-1739) pierwsze tablice logarytmów opublikowano w Rosji w 1703 roku. Do obliczeń szeroko stosowano logarytmy dziesiętne.
Właściwości logarytmów dziesiętnych
Logarytm ten ma wszystkie właściwości właściwe logarytmowi o dowolnej podstawie:
1. Podstawowa tożsamość logarytmiczna:
5. 
.
7. Przejście do nowej bazy:
Funkcja logarytmu dziesiętnego jest funkcją. Wykres tej krzywej jest często nazywany logarytmiczny.
Własności funkcji y=lg x
1) Zakres definicji: .
2) Wiele znaczeń: .
3) Funkcja ogólna.
4) Funkcja jest nieokresowa.
5) Wykres funkcji przecina oś x w punkcie .
6) Przedziały stałości znaku: title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com" height="16" width="44" style="vertical-align: -4px;"> для !} 
to za .
Mamy więc potęgę dwójki. Jeśli weźmiesz liczbę z dolnej linii, możesz łatwo znaleźć potęgę, do której będziesz musiał podnieść dwa, aby otrzymać tę liczbę. Na przykład, aby uzyskać 16, musisz podnieść dwa do potęgi czwartej. Aby otrzymać 64, musisz podnieść dwa do potęgi szóstej. Można to zobaczyć z tabeli.
A teraz właściwie definicja logarytmu:
Podstawą logarytmu x jest potęga, do której należy podnieść a, aby otrzymać x.
Notacja: log a x = b, gdzie a to podstawa, x to argument, b to faktyczna wartość logarytmu.
Na przykład 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logarytm o podstawie 2 z 8 to trzy, ponieważ 2 3 = 8). Z tym samym sukcesem log 2 64 = 6, ponieważ 2 6 = 64.
Operację znajdowania logarytmu liczby o podanej podstawie nazywa się logarytmizacją. Dodajmy więc nową linię do naszej tabeli:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Niestety, nie wszystkie logarytmy można obliczyć tak łatwo. Na przykład spróbuj znaleźć log 2 5. Numeru 5 nie ma w tabeli, ale logika podpowiada, że logarytm będzie leżał gdzieś w przedziale. Ponieważ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Liczby takie nazywane są niewymiernymi: liczby po przecinku można zapisywać w nieskończoność i nigdy się nie powtarzają. Jeśli logarytm okaże się irracjonalny, lepiej go tak zostawić: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Ważne jest, aby zrozumieć, że logarytm jest wyrażeniem zawierającym dwie zmienne (podstawę i argument). Wiele osób na początku myli, gdzie jest podstawa, a gdzie argument. Aby uniknąć irytujących nieporozumień, wystarczy spojrzeć na zdjęcie:
[Podpis do zdjęcia]
Przed nami nic więcej niż definicja logarytmu. Pamiętać: logarytm jest potęgą, w który należy wbudować bazę, aby otrzymać argument. Jest to podstawa podniesiona do potęgi - na zdjęciu jest ona zaznaczona na czerwono. Okazuje się, że podstawa jest zawsze na dole! Tę cudowną zasadę powtarzam moim uczniom już na pierwszej lekcji – i nie pojawia się żadne zamieszanie.
Mamy już definicję – pozostaje tylko nauczyć się liczyć logarytmy, czyli: pozbądź się znaku „log”. Na początek zauważmy, że z definicji wynikają dwa ważne fakty:
- Argument i podstawa muszą być zawsze większe od zera. Wynika to z definicji stopnia przez wykładnik wymierny, do którego sprowadza się definicja logarytmu.
- Podstawa musi być różna od jednej, ponieważ jeden w jakimkolwiek stopniu nadal pozostaje jednym. Z tego powodu pytanie „do jakiej potęgi trzeba podnieść jedną, aby otrzymać dwie” jest pozbawione sensu. Nie ma takiego stopnia!
Takie ograniczenia nazywane są zakres akceptowalnych wartości(ODZ). Okazuje się, że ODZ logarytmu wygląda następująco: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Należy pamiętać, że nie ma ograniczeń co do liczby b (wartości logarytmu). Na przykład logarytm może być ujemny: log 2 · 0,5 = −1, ponieważ 0,5 = 2-1.
Jednak teraz rozważamy tylko wyrażenia liczbowe, w przypadku których nie jest wymagana znajomość VA logarytmu. Wszystkie ograniczenia zostały już uwzględnione przez autorów problemów. Kiedy jednak w grę wchodzą równania logarytmiczne i nierówności, wymagania DL staną się obowiązkowe. Przecież podstawa i argumentacja mogą zawierać bardzo mocne konstrukcje, które niekoniecznie odpowiadają powyższym ograniczeniom.
Przyjrzyjmy się teraz ogólnemu schematowi obliczania logarytmów. Składa się z trzech kroków:
- Wyraź podstawę a i argument x jako potęgę o minimalnej możliwej podstawie większej niż jeden. Po drodze lepiej pozbyć się ułamków dziesiętnych;
- Rozwiąż równanie dla zmiennej b: x = a b ;
- Wynikowa liczba b będzie odpowiedzią.
To wszystko! Jeśli logarytm okaże się niewymierny, będzie to widoczne już w pierwszym kroku. Wymóg, aby podstawa była większa niż jedność, jest bardzo ważny: zmniejsza to prawdopodobieństwo błędu i znacznie upraszcza obliczenia. Podobnie jest z ułamkami dziesiętnymi: jeśli od razu zamienisz je na zwykłe, błędów będzie znacznie mniej.
Zobaczmy, jak działa ten schemat na konkretnych przykładach:
Zadanie. Oblicz logarytm: log 5 25
- Wyobraźmy sobie podstawę i argument jako potęgę piątki: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- Utwórzmy i rozwiążmy równanie:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2; - Otrzymaliśmy odpowiedź: 2.
Zadanie. Oblicz logarytm:
[Podpis do zdjęcia]
Zadanie. Oblicz logarytm: log 4 64
- Wyobraźmy sobie podstawę i argument jako potęgę dwójki: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Utwórzmy i rozwiążmy równanie:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3; - Otrzymaliśmy odpowiedź: 3.
Zadanie. Oblicz logarytm: log 16 1
- Wyobraźmy sobie podstawę i argument jako potęgę dwójki: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Utwórzmy i rozwiążmy równanie:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0; - Otrzymaliśmy odpowiedź: 0.
Zadanie. Oblicz logarytm: log 7 14
- Wyobraźmy sobie podstawę i argument jako potęgę siódemki: 7 = 7 1 ; 14 nie można przedstawić w postaci potęgi siódemki, ponieważ 7 1< 14 < 7 2 ;
- Z poprzedniego akapitu wynika, że logarytm się nie liczy;
- Odpowiedź brzmi bez zmian: log 7 14.
Mała uwaga do ostatniego przykładu. Jak możesz mieć pewność, że liczba nie jest dokładną potęgą innej liczby? To bardzo proste – wystarczy rozłożyć to na czynniki pierwsze. A jeśli takich czynników nie można zebrać w potęgi o tych samych wykładnikach, to pierwotna liczba nie jest potęgą dokładną.
Zadanie. Dowiedz się, czy liczby są dokładnymi potęgami: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - dokładny stopień, ponieważ jest tylko jeden mnożnik;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nie jest dokładną potęgą, ponieważ istnieją dwa czynniki: 3 i 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - dokładny stopień;
35 = 7 · 5 – znowu nie jest to dokładna potęga;
14 = 7 · 2 – znowu nie jest to dokładny stopień;
Należy również zauważyć, że same liczby pierwsze są zawsze dokładnymi potęgami samych siebie.
Logarytm dziesiętny
Niektóre logarytmy są tak powszechne, że mają specjalną nazwę i symbol.
Logarytm dziesiętny x to logarytm o podstawie 10, tj. Potęga, do której należy podnieść liczbę 10, aby otrzymać liczbę x. Oznaczenie: lg x.
Na przykład log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.
Od teraz, gdy w podręczniku pojawi się sformułowanie typu „Znajdź lg 0,01”, wiedz, że nie jest to literówka. To jest logarytm dziesiętny. Jeśli jednak nie znasz tego zapisu, zawsze możesz go przepisać:
log x = log 10 x
Wszystko, co jest prawdziwe w przypadku logarytmów zwykłych, jest również prawdziwe w przypadku logarytmów dziesiętnych.
Naturalny logarytm
Istnieje inny logarytm, który ma swoje własne oznaczenie. W pewnym sensie jest to nawet ważniejsze niż liczba dziesiętna. Mówimy o logarytmie naturalnym.
Logarytm naturalny x jest logarytmem o podstawie e, tj. potęga, do której należy podnieść liczbę e, aby otrzymać liczbę x. Oznaczenie: ln x .
Wielu zapyta: jaka jest liczba e? Jest to liczba niewymierna, której dokładnej wartości nie można znaleźć i zapisać. Podam tylko pierwsze liczby:
e = 2,718281828459...
Nie będziemy szczegółowo omawiać, czym jest ta liczba i dlaczego jest potrzebna. Pamiętaj tylko, że e jest podstawą logarytmu naturalnego:
ln x = log e x
Zatem ln e = 1; ln mi 2 = 2; ln mi 16 = 16 - itd. Z drugiej strony ln 2 jest liczbą niewymierną. Ogólnie logarytm naturalny dowolnej liczby wymiernej jest niewymierny. Z wyjątkiem oczywiście jednego: ln 1 = 0.
W przypadku logarytmów naturalnych obowiązują wszystkie zasady obowiązujące dla logarytmów zwykłych.
