, Konkurs „Prezentacja na lekcję”
Klasa: 11
Prezentacja na lekcję
Tył do przodu
Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie celom informacyjnym i może nie odzwierciedlać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.
Cele:
- uogólnianie i systematyzacja wiedzy i umiejętności uczniów;
- rozwój umiejętności analizowania, porównywania, wyciągania wniosków.
Sprzęt:
- projektor multimedialny;
- komputer;
- karty zadań
PROCES STUDIÓW
I. Moment organizacyjny
II. Etap aktualizacji wiedzy(slajd 2)
Powtarzamy, jak określa się odległość od punktu do płaszczyzny
III. Wykład(slajdy 3-15)
Podczas lekcji przyjrzymy się różnym sposobom znajdowania odległości od punktu do płaszczyzny.
Pierwsza metoda: obliczenia krok po kroku
Odległość od punktu M do płaszczyzny α:
jest równa odległości do płaszczyzny α od dowolnego punktu P leżącego na prostej a przechodzącej przez punkt M i równoległej do płaszczyzny α;
– jest równa odległości do płaszczyzny α od dowolnego punktu P leżącego na płaszczyźnie β, która przechodzi przez punkt M i jest równoległa do płaszczyzny α.
Rozwiążemy następujące zadania:
№1. W sześcianie A ... D 1 znajdź odległość od punktu C 1 do płaszczyzny AB 1 C.
Pozostaje obliczyć wartość długości odcinka O 1 N.
№2. W regularnym sześciokątnym pryzmacie A ... F 1, którego wszystkie krawędzie są równe 1, znajdź odległość od punktu A do płaszczyzny DEA 1.
Następna metoda: metoda objętościowa.
Jeżeli objętość ostrosłupa ABCM wynosi V, to odległość punktu M od płaszczyzny α zawierającej ∆ABC oblicza się ze wzoru ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Rozwiązując problemy, używamy równości objętości jednej figury, wyrażonej na dwa różne sposoby.
Rozwiążmy następujący problem:
№3. Krawędź AD ostrosłupa DABC jest prostopadła do płaszczyzny podstawy ABC. Znajdź odległość od A do płaszczyzny przechodzącej przez środki krawędzi AB, AC i AD, jeśli.
Podczas rozwiązywania problemów metoda współrzędnych odległość od punktu M do płaszczyzny α można obliczyć ze wzoru ρ(M; α) = 
, gdzie M(x 0; y 0; z 0), a płaszczyzna jest dana równaniem ax + przez + cz + d = 0
Rozwiążmy następujący problem:
№4. W sześcianie jednostkowym A…D 1 znajdź odległość od punktu A 1 do płaszczyzny BDC 1 .
Wprowadźmy układ współrzędnych z początkiem w punkcie A, oś y będzie przebiegać wzdłuż krawędzi AB, oś x - wzdłuż krawędzi AD, oś z - wzdłuż krawędzi AA 1. Następnie współrzędne punktów B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Ułóżmy równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty B, D, C 1 .
Wtedy – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Zatem ρ = 
Poniższa metoda, którą można zastosować w rozwiązywaniu tego typu problemów - metoda zadań referencyjnych.
Zastosowanie tej metody polega na zastosowaniu dobrze znanych problemów odniesienia, które sformułowane są w postaci twierdzeń.
Rozwiążmy następujący problem:
№5. W sześcianie jednostkowym A ... D 1 znajdź odległość od punktu D 1 do płaszczyzny AB 1 C.
Rozważ zastosowanie metoda wektorowa.
№6. W sześcianie jednostkowym A ... D 1 znajdź odległość od punktu A 1 do płaszczyzny BDC 1.
Rozważaliśmy więc różne metody, które można zastosować w rozwiązaniu tego typu problemu. Wybór jednej lub drugiej metody zależy od konkretnego zadania i twoich preferencji.
IV. Praca grupowa
Spróbuj rozwiązać problem na różne sposoby.
№1. Krawędź sześcianu A…D 1 jest równa . Znajdź odległość od wierzchołka C do płaszczyzny BDC 1 .
№2. W czworościanie foremnym ABCD z krawędzią znajdź odległość od punktu A do płaszczyzny BDC
№3. W regularnym graniastosłupie trójkątnym ABCA 1 B 1 C 1, którego wszystkie krawędzie są równe 1, znajdź odległość od A do płaszczyzny BCA 1.
№4. W regularnej czworokątnej piramidzie SABCD, której wszystkie krawędzie są równe 1, znajdź odległość od A do płaszczyzny SCD.
V. Podsumowanie lekcji, praca domowa, refleksja
Rozważmy pewną płaszczyznę π i dowolny punkt M 0 w przestrzeni. Wybierzmy się do samolotu jednostkowy wektor normalny n s początek w pewnym punkcie M 1 ∈ π i niech p(M 0 ,π) będzie odległością od punktu M 0 do płaszczyzny π. Następnie (ryc. 5.5)
p(M 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)
od |n| = 1.
Jeżeli płaszczyzna π jest dana w prostokątny układ współrzędnych z jego równaniem ogólnym Ax + By + Cz + D = 0, to jego wektorem normalnym jest wektor o współrzędnych (A; B; C) i jako jednostkowy wektor normalny możemy wybrać
Niech (x 0 ; y 0 ; z 0) i (x 1 ; y 1 ; z 1) będą współrzędnymi punktów M 0 i M 1 . Wtedy równość Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 jest spełniona, ponieważ punkt M 1 należy do płaszczyzny i można znaleźć współrzędne wektora M 1 M 0 : M 1 M 0 = (x 0 -x 1; y 0 -y 1; z 0 - z 1). notowanie iloczyn skalarny nM 1 M 0 w postaci współrzędnych i przekształcając (5.8), otrzymujemy
ponieważ Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Aby więc obliczyć odległość od punktu do płaszczyzny, należy podstawić współrzędne punktu do ogólnego równania płaszczyzny, a następnie podzielić wartość bezwzględną wynik przez współczynnik normalizujący równy długości odpowiedniego wektora normalnego.
ZADANIA C2 JEDNOLITEGO EGZAMINU PAŃSTWOWEGO Z MATEMATYKI NA ZNALEZANIE ODLEGŁOŚCI OD PUNKTU DO PŁASZCZYZNY
Kulikova Anastazja Juriewna
Studentka V roku Wydziału Matematyki. Analiza, algebra i geometria EI KFU, Federacja Rosyjska, Republika Tatarstanu, Elabuga
Ganeeva Aigul Rifovna
opiekun naukowy, dr hab. ped. Sciences, profesor nadzwyczajny, EI KFU, Federacja Rosyjska, Republika Tatarstanu, Elabuga
W ostatnich latach w zadaniach USE z matematyki pojawiły się zadania obliczania odległości od punktu do płaszczyzny. W tym artykule, na przykładzie jednego problemu, rozważono różne metody znajdowania odległości od punktu do płaszczyzny. Aby rozwiązać różne problemy, możesz użyć najbardziej odpowiedniej metody. Po rozwiązaniu problemu jedną metodą inna metoda może sprawdzić poprawność wyniku.
Definicja. Odległość od punktu do płaszczyzny, która nie zawiera tego punktu, to długość odcinka prostopadłej opadającej z tego punktu na daną płaszczyznę.
Zadanie. Biorąc pod uwagę prostokątny równoległościan ABZDA 1 B 1 C 1 D 1 z bokami AB=2, pne=4, AA 1=6. Znajdź odległość od punktu D aż do samolotu ACD 1 .
1 sposób. Za pomocą definicja. Znajdź odległość r( D, ACD 1) z punktu D aż do samolotu ACD 1 (ryc. 1).
Rysunek 1. Pierwszy sposób
spędźmy D.H.⊥AC, zatem przez twierdzenie o trzech prostopadłych D 1 H⊥AC I (DD 1 H)⊥AC. spędźmy bezpośredni DT prostopadły D 1 H. Prosty DT leży w samolocie DD 1 H, stąd DT⊥AC. Stąd, DT⊥ACD 1.
ADC znajdź przeciwprostokątną AC i wysokość D.H.
Z trójkąta prostokątnego D 1 D.H. znajdź przeciwprostokątną D 1 H i wysokość DT
Odpowiedź: .
2 sposoby.Metoda objętościowa (użycie piramidy pomocniczej). Problem tego typu można sprowadzić do problemu obliczania wysokości ostrosłupa, gdzie wysokość ostrosłupa jest pożądaną odległością od punktu do płaszczyzny. Udowodnij, że ta wysokość jest pożądaną odległością; znajdź objętość tej piramidy na dwa sposoby i wyraź tę wysokość.
Zauważ, że przy tej metodzie nie ma potrzeby konstruowania prostopadłej z danego punktu do danej płaszczyzny.
Prostopadłościan to prostopadłościan, którego wszystkie ściany są prostokątami.
AB=płyta CD=2, pne=OGŁOSZENIE=4, AA 1 =6.
Pożądana odległość będzie wysokością H piramidy ACD 1 D, spadł z góry D na ziemi ACD 1 (ryc. 2).
Oblicz objętość piramidy ACD 1 D dwie drogi.
Obliczając, w pierwszym przypadku przyjmujemy jako podstawę ∆ ACD 1, w takim razie
Obliczając w drugi sposób za podstawę przyjmujemy ∆ ACD, Następnie
Zrównaj prawe strony ostatnich dwóch równości, otrzymamy
Rysunek 2. Drugi sposób
Z trójkątów prostokątnych ACD, DODAĆ 1 , CDD 1 znajdź przeciwprostokątne korzystając z twierdzenia Pitagorasa
ACD
Oblicz pole trójkąta ACD 1 korzystając ze wzoru Herona
Odpowiedź: .
3 sposoby. metoda współrzędnych.
Dajmy punkt M(X 0 ,y 0 ,z 0) i samolot α , dane przez równanie topór+przez+cz+D=0 w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych. Odległość od punktu M do płaszczyzny α można obliczyć ze wzoru:
Wprowadźmy układ współrzędnych (rys. 3). Początek w punkcie W;
Prosty AB- oś X, prosty słońce- oś y, prosty nocleg ze śniadaniem 1 - oś z.
Rysunek 3. Trzeci sposób
B(0,0,0), A(2,0,0), Z(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).
Pozwalać Ax+przez+ cz+ D=0 – równanie płaszczyzny ACD 1. Podstawiając do niego współrzędne punktów A, C, D 1 otrzymujemy:
Równanie płaszczyzny ACD 1 przyjmie formę
Odpowiedź: .
4 sposoby. metoda wektorowa.
Wprowadzamy podstawę (ryc. 4) , .
Rysunek 4. Czwarty sposób
Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje informacje. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe odnoszą się do danych, które mogą być wykorzystane do zidentyfikowania lub skontaktowania się z konkretną osobą.
W każdym momencie kontaktu z nami możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych.
Poniżej przedstawiono kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić, oraz sposobów ich wykorzystania.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy gromadzić różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach oraz innych wydarzeniach i nadchodzących wydarzeniach.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i wiadomości.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.
Ujawnienie osobom trzecim
Nie ujawniamy otrzymanych od Ciebie informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, postępowaniem sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub żądań organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub właściwe ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych względów związanych z interesem publicznym.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniemu następcy zewnętrznemu.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności — w tym administracyjne, techniczne i fizyczne — w celu ochrony danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Zachowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach w zakresie prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki w zakresie prywatności.
