Podsumowanie lekcji na temat rozwiązywania nierówności trygonometrycznych. Opracowanie lekcji „nierówności trygonometryczne”

Nierówności trygonometryczne. Rozwiązanie najprostszych nierówności trygonometrycznych

Sprzęt: Komputer, projektor, ekran, tablica.

Typ lekcji: Nauka nowego materiału.

Temat lekcji: Nierówności trygonometryczne. Rozwiązanie najprostszych nierówności trygonometrycznych.

Cele:

cel edukacyjny :

wykształcić umiejętność rozwiązywania najprostszych nierówności trygonometrycznych z wykorzystaniem graficznej metody rozwiązywania nierówności;

zapoznanie studentów z twórcami trygonometrii i historią jej rozwoju.

Cel rozwoju:

zapewnić warunki do rozwoju umiejętności analizowania, podkreślania najważniejszych rzeczy, ustalania wspólnych wspólnych cech i właściwości;

zastosować wiedzę w praktyce;

Naucz się krytycznie oceniać swoją wiedzę.

cel edukacyjny:

kształtować pozytywne nastawienie do wiedzy;

kultywowanie dyscypliny i sumienności w wykonywaniu zadań;

kształcić umiejętność pracy w parach (poczuć indywidualną odpowiedzialność za osiąganie wyników).

Zadania:

powtarzać następujące zagadnienia z matematyki: graficzne rozwiązywanie nierówności kwadratowych, przeliczanie wykresów funkcji trygonometrycznych, pojęcie liczb arcsin, arccos, arctg i arcctg, rozwiązywanie równań trygonometrycznych;

uczyć stosowania metody graficznej do rozwiązywania najprostszych nierówności trygonometrycznych;

rozwinąć umiejętność kreślenia funkcji trygonometrycznych;

poszerzyć horyzonty studentów na temat historii rozwoju trygonometrii;

w celu zwiększenia aktywności poznawczej uczniów, stosowania różnych form i metod pracy w klasie: frontalnych, indywidualnych i grupowych (praca w parach) form pracy, wykorzystania technologii gier.

Struktura lekcji:

Chwila organizacyjna, sprawdzenie pracy domowej (5 min.);

Aktualizacja podstawowej wiedzy i utrwalenie trudności w działaniach (10 min.);

Wyjaśnienie nowego materiału (15 min.);

Praca ekspercka (10 min.);

Samodzielna praca w parach (15 min.);

Praca domowa (5 min.);

Zabawa „Pole Cudów” (15 min.);

Refleksja nad aktywnością (rezultat lekcji) (5 min.).

Wyjaśnienie do lekcji: Podczas lekcji uczniowie umieszczają punkty na Karcie Pracy lekcji zgodnie z zasadami opisanymi na tej karcie. Na koniec lekcji praca ucznia jest podsumowywana liczbą zdobytych punktów.

Postęp lekcji:

Chwila organizacyjna, sprawdzenie pracy domowej (5 min.).

Francuski pisarz Anatole France zauważył kiedyś: „Nauka może być tylko zabawą… Aby strawić wiedzę, musisz ją chłonąć z apetytem”.

Kierujmy się dziś na lekcji tą radą pisarza, bądźmy aktywni, uważni, chłońmy wiedzę z wielkim zapałem.

Zanim zaczniemy uczyć się nowego materiału, sprawdźmy naszą pracę domową na dzisiaj.

Sprawdzanie pracy domowej:

№ 151 (2, 4), № 153 (2), № 155 (2), № 157 (2)

Za każde poprawnie wykonane zadanie - 1 punkt w karcie pracy lekcji w kolumnie „Zadania domowe”.

Aktualizacja podstawowej wiedzy i utrwalenie trudności w czynnościach (10 min.).

Tematem naszej lekcji są nierówności trygonometryczne. Rozwiązanie najprostszych nierówności trygonometrycznych.

Zapiszmy w zeszycie datę i temat lekcji.

Twoim dzisiejszym zadaniem jest nauczenie się, jak zastosować swoją wiedzę i umiejętności do rozwiązywania nierówności trygonometrycznych.

Najpierw pracujmy ustnie, aby zapamiętać koncepcje i techniki, które będą nam potrzebne do studiowania nowego tematu.

Praca ustna:

Wyjaśnienie nowego materiału (10 min.).

Jeśli przypomnimy sobie definicję równania trygonometrycznego - jest to równanie zawierające zmienną pod znakiem funkcji trygonometrycznej, to łatwo podać definicję nierówności trygonometrycznej - jest nierównością zawierającą zmienną pod znakiem funkcji trygonometrycznej.

Do rozwiązania nierówności trygonometrycznych posłużymy się metodą graficzną.

Rozważ rozwiązanie nierówności

Zbudujmy wykresy funkcji:
,
.

Zdefiniujmy punkty przecięcia tych wykresów:

Zacieńmy obszar, w którym znajdują się wartości funkcji
więcej

, Jeśli

Ponieważ funkcja
okresowy (T=
), Oznacza,
,

Rozwiązanie nierówności

Odpowiedź:
,

Praca ekspercka (10 min.).

Do tablicy zapraszani są dobrze zorientowani w materiale studenci, którzy chcą odpowiedzieć na tablicy, oni będą pełnić rolę ekspertów, reszta uczniów będzie mogła na miejscu poprawić swoje rozwiązanie w razie potrzeby.

Rozwiąż nierówności:

1.
Odpowiedź:
,

2.
Odpowiedź:
,

Za pracę przy tablicy uczniowie otrzymują 1-3 punkty, za pracę z miejsca 1 punkt.

Samodzielna praca w parach (15 min.).

Uczniowie realizują zadanie, wymieniają się zeszytami i sprawdzają pracę kolegi z ławki, wyznaczając odpowiednie punkty, odpowiedzi zapisują na tablicy.

Aby graficznie rozwiązać nierówności trygonometryczne, możesz użyć Wniosek nr 1 do tej lekcji.

Opcja nr 1

Rozwiąż nierówności:

Opcja nr 2

Rozwiąż nierówności:

1.

Odpowiedź:

Odpowiedź:

Odpowiedź:

Odpowiedź:

Odpowiedź: nie ma rozwiązań, ponieważ

Odpowiedź: nie ma rozwiązań, ponieważ

Odpowiedź:

Odpowiedź:

Za każde poprawne zadanie nr 1 – nr 3 – 1 punkt, nr 4 – 2 punkty.

Podsumowanie nauki nowego tematu. Uczniowie muszą odpowiedzieć na pytania nauczyciela.

Jakiej metody użyliśmy do rozwiązania nierówności trygonometrycznych?

Co należy zrobić, aby graficznie rozwiązać nierówność trygonometryczną?

Jak okresowość funkcji trygonometrycznych wpływa na odpowiedź przy rozwiązywaniu nierówności trygonometrycznych?

Za każdą poprawną odpowiedź uczniowie otrzymują 1 punkt w karcie pracy lekcji w kolumnie „Praca ustna”.

Praca domowa (5 min.).

Zbiór problemów matematycznych N.V. Bogomołow

Zadanie dodatkowe:

Zabawa „Pole Cudów” (20 min.).

Gra zbudowana jest na zasadzie gry telewizyjnej o tym samym tytule. Nauczyciel czyta zadanie, uczniowie mogą otworzyć dowolny list, jeśli wykonają zadanie ukryte w tej komórce.

Za każdą odgadniętą literę (rozwiązane zadanie) uczniowie otrzymują 1 punkt, za odgadnięte słowo – 5 punktów.

Zadanie numer 1

Odpowiedź:Trygonometria

Refleksja nad aktywnością (rezultat lekcji) (5 min.).

Karta pracy z lekcji

Uczeń ________________________________ grupy „”

o/t – ocena kolegi, o/y – ocena nauczyciela, s/o – samoocena, o/g – ocena grupy

Praca domowa

współ

Łączna liczba punktów, 1 za każde poprawnie wykonane zadanie.

Wynik: _____

praca ustna

współ

Łączna liczba punktów, 1 za każdą poprawną odpowiedź i dodatkowy punkt za odpowiedź teoretyczną.

Wynik: _____

Ekspert

pracować (pracować przy tablicy)

o/g

1-3 punkty za pracę przy tablicy,

Za pracę na miejscu 1 punkt.

Wynik: _____

Niezależny

pracować w parach

z

Za każde poprawne zadanie

#1-#3-1 punkt,

Nr 4 - 2 punkty.

Wynik: _____

Gra „Pole cudów”

współ

Łączna liczba punktów, 1 za każdą poprawną odpowiedź i dodatkowy punkt za odgadnięcie słowa.

Temat lekcji: Rozwiązywanie nierówności trygonometrycznych

Lekcja odbyła się w klasie 11a szkoły nr 11. Gorkiego miasta Briańsk (2007).

Zajęcia prowadzone są według podręcznika

https://pandia.ru/text/80/202/images/image002_105.jpg" szerokość="142 wysokość=189" wysokość="189">

Nauczyciel: nauczyciel najwyższej kategorii, honorowy nauczyciel Federacji Rosyjskiej Nina Władimirowna Kusaczowa.

Cele lekcja:

1) Wymienić metody redukcji nierówności trygonometrycznych do najprostszych: rozpatrywanie złożonego argumentu jako prostego; zastosowanie przekształceń równoważnych; zastosowanie wzorów trygonometrycznych.

2) Identyfikować sposoby rozwiązywania nierówności trygonometrycznych: redukcja do najprostszej; wprowadzenie nowej zmiennej.

3) Naucz się rozpoznawać sposoby rozwiązywania nierówności trygonometrycznych.

4) Naucz się zapisywać odpowiedź, jeśli nie stosuje się wartości tabelarycznych funkcji trygonometrycznych.

5) Doskonalenie umiejętności rozwiązywania nierówności trygonometrycznych.

6) Sprawdź umiejętność rozwiązywania najprostszych nierówności trygonometrycznych.

Typ lekcji: lekcja doskonalenia umiejętności.

Plan lekcji:

1. Identyfikacja technik i metod rozwiązywania nierówności trygonometrycznych, trudności w odrabianiu zadań domowych poprzez analizę rozwiązań najbardziej złożonych nierówności.

2. Doskonalenie umiejętności rozwiązywania nierówności trygonometrycznych:

a) poznanie metod rozwiązywania i powtórzenie algorytmu rozwiązywania najprostszych nierówności trygonometrycznych;

b) pracować z najprostszą nierównością, gdzie do zapisania odpowiedzi nie używa się wartości tabelarycznych;

c) doskonalenie umiejętności rozwiązywania nierówności sprowadzanych do najprostszych nierówności trygonometrycznych za pomocą przekształceń równoważnych poprzez porównanie nierówności;

d) doskonalenie umiejętności rozwiązywania nierówności, które można sprowadzić do najprostszych nierówności trygonometrycznych za pomocą wzorów redukcyjnych;

e) doskonalenie umiejętności rozwiązywania nierówności trygonometrycznych poprzez zastosowanie kilku metod rozwiązywania.

3. Samodzielna praca nad rozwiązywaniem nierówności trygonometrycznych.

4. Zestawienie zadań domowych.

Podczas zajęć:

1. Identyfikacja technik i metod rozwiązywania nierówności trygonometrycznych, trudności w odrabianiu zadań domowych poprzez analizę rozwiązań najbardziej złożonych nierówności.

Nauczyciel:(Na tablicy zapisano rozwiązania nierówności nr 7, 8, 10 z karty domowej).

Spójrz na rozwiązanie nierówności nr 7. Jakie masz pytania dotyczące któregokolwiek z kroków rozwiązania?

№7 grzech x ≤ - bo x;

grzech x + bo x ≤0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image004_95.gif" szerokość="24" wysokość="41 src="> grzech x + bo x) ≤ 0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image005_84.gif" szerokość="17" wysokość="41">) ≤ 0;

grzech(X + ) ≤ 0;

X+ О [ - π +2π N, 2π N], NО Z

XО [ -5π/4 + 2π N,- π/4+ 2π N], NО Z

Odpowiedź: XО [ -5π/4 +2π N,- π/4+ 2π N], NО Z

Nauczyciel: W takim razie mam kilka pytań. Jak uzyskano trzeci rząd?

Studenci: Pomnożyliśmy i podzieliliśmy każdy wyraz przez .

Nauczyciel: Czy jest możliwe dokonanie takiego przekształcenia nierówności?

Studenci: Tak, ta transformacja jest równoważna.

Nauczyciel: W jakim celu to zrobiliśmy?

Studenci: Abyś mógł zastosować wzór trygonometryczny do dodawania - sinus sumy dwóch kątów.

Nauczyciel: Jak inaczej można nazwać to podejście?

Studenci: Recepcja wprowadzenia kąta pomocniczego.

Nauczyciel: Jak doszedłeś do wniosku, że musisz dokładnie pomnożyć i podzielić każdy wyraz?

Studenci: jest pierwiastkiem kwadratowym z sumy kwadratów współczynników przekształcanej nierówności.

Nauczyciel: Wskaż nierówność, którą można uznać za najprostszą i uzasadnij swoją odpowiedź.

Studenci: Nierówność grzech(X+ ) ≤ 0 można uznać za najprostsze, jeśli weźmiemy pod uwagę złożony argument ( X+ ) tak proste jak np. T.

Nauczyciel: Tak więc główną ideą rozwiązania nierówności nr 7 jest redukcja do najprostszej nierówności trygonometrycznej. Powtórzmy, jakie metody zastosowano w tym przypadku?

Studenci: 1) przekształcenia równoważne (przeniesienie wyrazów, mnożenie i dzielenie każdego wyrazu przez tę samą liczbę, wprowadzenie kąta pomocniczego);

(Nauczyciel pomaga uczniom, wskazując jedną lub drugą linię rozwiązania).

Nauczyciel: Spójrz na rozwiązanie nierówności nr 8.

№ 8 grzech 2X+ https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" szerokość="21" wysokość="22">/2 sałata 2X) ≥ 1;

2 grzech (2X+ π/3) ≥ 1;

grzech (2X+ π/3) ≥ 1/2;

2X+ π/3 О [π/6 + 2π N, 5π/6 + 2π N], NОZ;

XО [-π/12 + π N, π/4 + π N], n O Z;

Odpowiedź: XО [-π/12 + π N, π/4 + π N], NО Z.

Jakie masz pytania dotyczące któregokolwiek z kroków rozwiązania? (pauza) Jakich technik użyłeś, aby rozwiązać tę nierówność?

Studenci: 1) przekształcenia równoważne (przeniesienie wyrazów, mnożenie i dzielenie każdego wyrazu przez tę samą liczbę, wprowadzenie kąta pomocniczego, dzielenie obu części nierówności przez liczbę dodatnią);

2) zastosowanie wzoru trygonometrycznego,

3) traktować złożony argument jako prosty.

Nauczyciel: Rozważ rozwiązanie nierówności nr 10:

№10 sałata 2 X – 2sałataX >0;

Pozwalać bo x= T;

T 2 – 2T >0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image003_118.gif" szerokość="22" wysokość="21">;

2. sałata(3π/2 + X) < -/2;

3. sałata(π + 2 X) – 1 ≥ 0;

4. grzech x > 2/3;

5. 5sałata(X– π/6) – 1 ≥ 0;

6. 4grzech 2 3X < 3.

Nauczyciel: Wskaż nierówności wymagające zastosowania przekształceń równoważnych przy redukcji nierówności trygonometrycznej do najprostszej?

Studenci: 1, 3, 5.

Nauczyciel: W jakich nierównościach argument złożony należy uważać za prosty?

Studenci: 1, 2, 3, 5, 6.

Nauczyciel: Do jakich nierówności można zastosować wzory trygonometryczne?

Studenci: 2, 3, 6.

Nauczyciel: W jakich nierównościach można zastosować metodę wprowadzania nowej zmiennej?

Studenci: 6.

Nauczyciel: Teraz zaczniemy rozwiązywać nierówności od najprostszych i nauczymy się zapisywać odpowiedź, jeśli nie korzystamy z wartości tabelarycznych. Ale najpierw odpowiedz, czy prawdą jest, że najprostsze nierówności trygonometryczne można rozwiązać według algorytmu zapisanego na tablicy:

Algorytm rozwiązywania najprostszych nierówności trygonometrycznych

1. Ustnie zastąp nierówność równaniem. Rysujemy okrąg jednostkowy i zaznaczamy na nim punkty odpowiadające równaniu.

2. Zaznaczamy punkty okręgu odpowiadające nierówności, czyli wybieramy odpowiedni łuk.

3. Określ kierunek liczenia.

4. Znajdź początek łuku i odpowiadający mu kąt.

5. Znajdź kąt odpowiadający końcowi łuku.

6. Odpowiedź zapisujemy w postaci przedziału, biorąc pod uwagę okresowość funkcji.

Nauczyciel: Czy rozwiązałeś najprostsze nierówności w tej kolejności?

Studenci: Tak.

Komentarz. Zadanie analizy listy nierówności pod kątem sposobów ich rozwiązania pozwala wypracować ich rozpoznanie. Podczas rozwijania umiejętności ważne jest wyodrębnienie etapów jej realizacji i sformułowanie ich w ogólnej formie, co przedstawiono w algorytmie rozwiązywania najprostszych nierówności trygonometrycznych.

b) Praca z najprostszą nierównością, gdzie do zapisania odpowiedzi nie używa się wartości tabelarycznych.

Nauczyciel: Zacznijmy od nierówności nr 4.

Organizacja dalszej pracy:

https://pandia.ru/text/80/202/images/image010_58.gif" szerokość="204" height="130">Jeden uczeń rozwiązuje nierówność przy tablicy, wypowiadając na głos każdy krok algorytmu

5sałata(X– π/6) – 1 ≥ 0;

sałata(X– π/6) ≥ 1/5;

X– π/6 О [- Arcos 1/5 + 2π N, Arcos 1/5 + 2π N], NОZ;

XО [π/6 – Arcos 1/5 + 2π N, π/6 + Arcos 1/5 + 2π N], NО Z.

Po zakończeniu rozwiązywania nauczyciel zadaje uczniowi, który rozwiązał nierówność przy tablicy, następujące pytania:

Nauczyciel: Jak zmieniłaby się odpowiedź, gdyby podano ścisłą nierówność?

Student: Następnie nawiasy kwadratowe zostaną zastąpione okrągłymi.

Nauczyciel: Jak byś napisał odpowiedź, gdyby została podana nierówność sałata (X– π/6) ≤ 1/5?

Student: XО [π/6 + Arcos 1/5 + 2π N, 13π/6 – Arcos 1/5 + 2π N], NО Z.

Nauczyciel: Jakie metody redukcji do najprostszej nierówności trygonometrycznej zastosowano?

Student: Zastosowano przekształcenia równoważne (przeniesienie wyrazów z jednej części równania do drugiej, podzielenie obu części nierówności przez liczbę dodatnią); traktował złożony argument jako prosty.

Nauczyciel:(odnosząc się do klasy); Czy są jakieś pytania lub uwagi do respondenta? (uczeń odpowiada na pytania uczniów i zgadza się lub nie z komentarzami, po czym siada).

Nauczyciel: Jak wygląda nierówność nr 1 i jak?

Studenci: O nierówności nr 5 poprzez sprowadzenie do najprostszej; do nierówności nr 4 przez położenie łuku.

Nauczyciel: Rozwiąż ustną nierówność nr 1: 2 grzech (X– π/4) ≥ .

Studenci: Odpowiedź: XО [ π/2 + 2π N, π + 2π N], NО Z.

Komentarz. Doskonalenie umiejętności rozwiązywania nierówności trygonometrycznych ułatwiają pytania: „Jak rozwiążemy grupę nierówności?”; „Czym różni się jedna nierówność od drugiej?”; „W jaki sposób jedna nierówność jest podobna do drugiej?”; Jak zmieniłaby się odpowiedź, gdyby podano ścisłą nierówność? Jak zmieniłaby się odpowiedź, gdyby zamiast znaku „>” pojawił się znak „>”?<»?»; «Какие способы сведения к простейшему тригонометрическому неравенству использовались при решении данного неравенства?»; «Есть ли вопросы или замечания к отвечающему?». Оправдана такая организация работы, когда один ученик у доски решает неравенство, проговаривая каждый шаг алгоритма вслух, поскольку предложенное неравенство № 5 содержит косинус, а не синус, как это было на предыдущем этапе. Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства способствует и устное решение с предварительным обсуждением некоторых опор: «На какое неравенство похоже данное и чем?».

d) Doskonalenie umiejętności rozwiązywania nierówności sprowadzanych do najprostszych nierówności trygonometrycznych za pomocą wzorów redukcyjnych.

Nauczyciel: Rozważmy nierówność nr 2 sałata(3π/2 + X)< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image011_55.gif" width="217" height="126 src=">Chętny uczeń rozwiązuje nierówność przy tablicy, nie wypowiadając rozwiązania:

sałata(3π/2 + X)< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" width="21" height="22 src=">/2;

Odpowiedź: XО (- 2π/3 + 2π N,-π/3 + 2π N), NО Z.

Po zakończeniu rozwiązania uczniowie sprawdzają projekt i w razie potrzeby zgłaszają uwagi. Następnie nauczyciel zadaje uczniowi następujące pytania:

Nauczyciel: Czym różni się ta nierówność od wcześniej rozwiązanych?

Student: Nierówność tę sprowadzono do najprostszej postaci za pomocą wzoru redukcyjnego.

Nauczyciel: Czy istnieje inna nierówność, którą można rozwiązać w ten sposób?

Student: № 3.

Nauczyciel: Rozwiąż ustnie nierówność, komentując rozwiązanie.

Studenci:(w celu skomentowania przebiegu rozwiązania nauczyciel wprowadza zmiany w nierówności)

№ 3 sałata(π + 2 X) – 1 ≥ 0;

sałata(π + 2 X) ≥ 1;

- sałata 2X ≥ 1;

sałata 2X ≤ -1

2X= -π + 2π N , NОZ;

X= -π/2 + π N , NО Z.

Nauczyciel: Jaka jest więc cecha rozwiązania tej nierówności?

Studenci: Jego rozwiązanie sprowadzało się do rozwiązania równania.

Nauczyciel: Jak więc postąpisz dalej, gdy zobaczysz, że argument funkcji trygonometrycznej jest złożony?

Studenci: Zobaczymy, czy można zastosować formuły redukcyjne do uproszczenia argumentu.

Dyscyplina akademicka: Matematyka.

Temat: „Rozwiązanie najprostszych nierówności trygonometrycznych”

Typ lekcji: lekcja opanowywania nowego materiału z elementami pierwotnej konsolidacji.

Cele Lekcji:

1) edukacyjne:

pokazać algorytm rozwiązywania nierówności trygonometrycznych za pomocą okręgu jednostkowego.

nauczysz się rozwiązywać proste nierówności trygonometryczne.

2) opracowanie:

rozwój umiejętności uogólniania zdobytej wiedzy;

rozwój logicznego myślenia;

rozwój uwagi;

rozwój umiejętności czytania i pisania w mowie matematycznej u uczniów.

3) edukacyjne:

nauczyć się wyrażać swoje pomysły i opinie;

kształtować umiejętność pomagania towarzyszom i wspierania ich;

ukształtować umiejętność określenia, w jaki sposób poglądy towarzyszy różnią się od ich własnych.

Cel metodologiczny: pokazać technologię opanowywania wiedzy na lekcji uczenia się nowej wiedzy.

Metody nauczania:

wizualnie - ilustracyjny;

Cel dydaktyczny lekcji: Tworzenie warunków:

łączyć nowe informacje z już przestudiowanym materiałem;

rozwinąć umiejętność analizowania i selekcji niezbędnych informacji;

rozwijać umiejętność dzielenia się swoimi pomysłami i opiniami.

dla rozwoju logiki, umiejętności refleksji.

Forma organizacji zajęć edukacyjnych: zbiorowy, indywidualny.

Sprzęt:

podręcznik Kołmogorow A. N. „Algebra i początek analizy”, klasy 10-11;

projektor, tablica;

Prezentacja MS PowerPoint.

Plan lekcji:

Organizowanie czasu (1 minuta);

Sprawdzanie pracy domowej (7 minut);

Nauka nowego materiału (31 minut);

Praca domowa (3 minuty);

Zreasumowanie (3 minuty)

Temat lekcji: Rozwiązanie najprostszych nierówności trygonometrycznych.

Ukończył: nauczyciel matematyki KGBOU NPO „PU nr 44” Moser O. S.

Etapy działalności