Rozwiązanie równania ciepła. Równanie ciepła Równanie ciepła Fouriera z jednorodnymi warunkami brzegowymi

Rozwiążmy pierwszy problem mieszany dla równania ciepła: znajdź rozwiązanie u(x, t) równania spełniające warunek początkowy i warunki brzegowe. Zacznijmy od najprostszego problemu: znajdź rozwiązanie u(x, t) równania jednorodnego spełniający warunek początkowy i zerowe (jednorodne) warunki brzegowe Metoda Równanie Fouriera dla równania przewodzenia ciepła Będziemy szukać nietrywialnych rozwiązań równania (4), które spełniają warunki brzegowe (6) w postaci Psdstaapya w postaci (7) do równania (4) otrzymujemy lub skąd mamy dwa równania różniczkowe zwyczajne. Aby otrzymać nietrywialne rozwiązania u(x, *) postaci (7), spełniające warunki brzegowe (6), należy znaleźć nietrywialne -trywialne rozwiązania równania (10), spełniające warunki brzegowe.W ten sposób, aby wyznaczyć funkcję X(x) dochodzimy do problemu wartości własnej: znajdź te wartości parametru A, dla których nietrywialne rozwiązania istnieje problem Problem ten był omawiany w poprzednim rozdziale. Tam pokazano, że tylko dla nietrywialnych rozwiązań istnieją.Gdy A = A„, ogólne rozwiązanie równania (9) ma postać spełniającą równanie (4) i warunki brzegowe (6). Stwórzmy szereg formalny Zakładając, że funkcja u(x) t), określona wzorem (12), spełnia warunek początkowy, otrzymujemy Szereg (13) przedstawia rozwinięcie danej funkcji w szereg Fouriera ze względu na sinusy w przedziale (O, I). Współczynniki rozszerzalności a„ wyznaczamy znanymi wzorami. Metoda Fouriera dla równania ciepła. Załóżmy, że szereg następnie (13) ze współczynnikami określonymi wzorami (14) będzie zbiegał się do funkcji bezwzględnie i jednostajnie. Od tego momentu szereg jest również zbieżny bezwzględnie i jednostajnie. Zatem funkcja u(x, t) - suma szeregu (12) - jest ciągła w obszarze i spełnia warunki początkowe i brzegowe. Pozostaje pokazać, że funkcja u(x, t) spełnia równanie (4) w obszarze 0. W tym celu wystarczy pokazać, że szereg otrzymany z (12) poprzez różniczkowanie wyrazowe ze względu na t raz i przez różniczkowanie między wyrazami w odniesieniu do x dwukrotnie są również bezwzględne i zbiegają się równomiernie przy. Ale wynika to z faktu, że dla dowolnego t > 0, jeśli n jest wystarczająco duże. Wyjątkowość rozwiązania problemu (4)-(6) oraz ciągłą zależność rozwiązania od funkcji początkowej ustalono już wcześniej. Zatem dla t > 0 zadanie (4)-(6) jest sformułowane poprawnie; wręcz przeciwnie, dla ujemnego t ten problem jest błędny. Komentarz. W przeciwieństwie do równania House'a, równanie to nie jest hommetryczne względem czasu t: jeśli zastąpimy t przez -t, otrzymamy równanie innego typu, które opisuje procesy nieodwracalne: Możemy przewidzieć, co stanie się dane po okresie w danym czasie t, ale nie możemy z całą pewnością powiedzieć, jak to się stało w chwili t przed omawianym momentem. Ta zależność między przewidywaniem a historią jest typowa dla równania parabolicznego i nie występuje np. w równaniu falowym; w przypadku tego ostatniego równie łatwo jest patrzeć w przeszłość, jak i w przyszłość. Przykład. Znajdź rozkład temperatury w jednorodnym pręcie o długości x, jeśli na końcach pręta zachowana jest temperatura początkowa pręta i temperatura zerowa. 4 Problem sprowadza się do rozwiązania równania z warunkiem początkowym i warunkami brzegowymi Stosując metodę Fouriera szukamy nietrywialnych rozwiązań równania (15), które spełniają warunki brzegowe (17) w postaci Podstawiając u(x, t) w postaci (18) w równanie (15) i rozdzielając zmienne, otrzymujemy Wartości własne problemu. funkcje własne Xn(x) = mp nx. Gdy A = A„, ogólne rozwiązanie równania (19) ma postać Tn(t) = ane a n\, więc rozwiązania problemu (15)-(17) szukamy w postaci szeregu. warunku początkowego (16), otrzymujemy z tego. Zatem rozwiązaniem pierwotnego problemu będzie funkcja 2. Rozważmy teraz następujący problem: znajdź rozwiązanie rx(x, t) niejednorodnego równania _ spełniającego warunek początkowy i jednorodne warunki brzegowe.Załóżmy, że funkcja / jest ciągły, ma ciągłą pochodną i dla wszystkich t > 0 warunek jest spełniony. Rozwiązanie problemu (1)-(3) będziemy szukać w postaci, w której definiujemy je jako rozwiązanie problemu, a funkcję - jako rozwiązanie problemu. Problem (8)-(10) rozważamy w paragrafie 1. Będziemy szukać rozwiązania v(x, t) problemu (5 )-(7) w postaci szeregu w funkcjach własnych (zagadnienia wartości brzegowych. Subgaaaya t) w postaci w równaniu (5), otrzymujemy Rozwiń funkcję /OM) w szereg Fouriera w sinusach, gdzie Porównując dwa rozwinięcia (12) i (13) funkcji /(x, t) w szeregu Fouriera, otrzymujemy! Korzystając z warunku początkowego dla v(x, t), metody Fouriera dla równania ciepła, stwierdzamy, że rozwiązania równań (15) w warunkach początkowych (16) mają postać: Podstawiając znalezione wyrażenia na Tn(t) szeregowo (11) otrzymujemy rozwiązanie Funkcja będzie rozwiązaniem pierwotnego problemu (1)-(3). 3. Rozważ problem: znajdź rozwiązanie równania w dziedzinie przy warunku początkowym i niejednorodnych warunkach brzegowych.Metoda Fouriera nie ma bezpośredniego zastosowania ze względu na niejednorodność warunków (20). Wprowadźmy nową nieznaną funkcję v(x, t), ustawiając gdzie Następnie rozwiązanie problemu (18)-(20) zostanie sprowadzone do rozwiązania problemu (1)-(3), rozważanego w paragrafie 2, dla funkcja v(x, J). Ćwiczenia 1. Dany jest nieskończony jednorodny pręt. Pokazać, że jeśli temperatura początkowa to natychmiast temperatura pręta 2. Końce pręta o długości w utrzymywane są w temperaturze równej zeru. Temperaturę początkową wyznacza się ze wzoru: Wyznacz temperaturę pręta w dowolnym czasie t > 0. 3. Końce pręta o długości I utrzymuje się w temperaturze równej zeru. Temperaturę początkową pręta wyznacza się ze wzoru. Wyznacz temperaturę pręta dla dowolnego czasu t > 0. 4. Końce pręta o długości I utrzymywane są w temperaturze równej zeru. Początkowy rozkład temperatury Wyznacz temperaturę pręta w dowolnym czasie t > 0. Odpowiedzi

Poniżej rozważymy kilka problemów wyznaczania pól temperatur dla stosunkowo prostych warunków geometrycznych i fizycznych, które pozwalają na rozwiązania analityczne proste w formie, a jednocześnie stanowią użyteczną ilustrację charakterystycznych procesów fizycznych związanych z przekazywaniem ciepła w ciele stałym.

Rozważmy pręt z izolowaną termicznie powierzchnią boczną (ryc. 38). W takim przypadku przenoszenie ciepła może nastąpić wzdłuż pręta. Jeżeli pręt jest ustawiony w jednej linii z osią kartezjańskiego układu współrzędnych, wówczas równanie ciepła stacjonarnego będzie miało postać

Przy stałych wartościach współczynnika przewodności cieplnej objętościowej mocy wydzielania ciepła ostatnie równanie można całkować dwukrotnie

(75)

Stałe całkowania można znaleźć na podstawie warunków brzegowych. Na przykład, jeśli temperatura na końcach pręta jest ustawiona na , . Zatem z (75) mamy

Stąd znajdziemy stałe całkowania i . Rozwiązanie przy określonych warunkach brzegowych przybierze postać

Z ostatniego wzoru jasno wynika, że przy braku źródeł ciepła. Temperatura w pręcie zmienia się liniowo od jednej wartości granicznej do drugiej

Rozważmy teraz inną kombinację warunków brzegowych. Niech zewnętrzne źródło wytworzy strumień ciepła na lewym końcu pręta. Na prawym końcu pręta zachowujemy poprzedni stan i tak mamy

Wyrażając te warunki za pomocą całki ogólnej (75), otrzymujemy układ ze względu na stałe całkowania

Po znalezieniu nieznanych stałych z powstałego układu otrzymujemy rozwiązanie w postaci

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, przy braku wewnętrznych źródeł ciepła rozkład temperatury wzdłuż pręta będzie liniowy

W takim przypadku temperatura na lewym końcu pręta, w którym znajduje się zewnętrzne źródło ciepła, będzie równa .

Jako następny przykład znajdźmy stacjonarny rozkład temperatury wzdłuż promienia w pełnym, długim okrągłym cylindrze (ryc. 39). W takim przypadku zastosowanie cylindrycznego układu współrzędnych znacznie uprości zadanie. W przypadku cylindra o dużym stosunku długości do promienia i stałym rozkładzie

Biorąc pod uwagę wewnętrzne źródło ciepła, temperaturę znajdującą się daleko od końców cylindra można uznać za niezależną od współrzędnych osiowych układu cylindrycznego. Wtedy stacjonarne równanie ciepła (71) przyjmie postać

Dwukrotne całkowanie ostatniego równania (przy stałej ) daje

Daje warunek symetrii rozkładu temperatury na osi cylindra ().

Skąd to mamy?

Ostatni warunek zostanie spełniony, gdy . Podajmy temperaturę na powierzchni cylindra (). Następnie możemy znaleźć drugą stałą całkowania z równania

Stąd znajdujemy i zapisujemy rozwiązanie w jego ostatecznej formie

Jako numeryczny przykład zastosowania otrzymanego wyniku rozważmy rozkład temperatury w plazmie cylindrycznego wyładowania łukowego o promieniu mm. Granica kanału wyładowczego kształtuje się jako obszar, w którym zatrzymują się procesy jonizacji. Widzieliśmy powyżej, że zauważalna jonizacja gazu podczas ogrzewania zatrzymuje się w K. Dlatego podaną wartość można przyjąć jako granicę K. Objętościową gęstość mocy wydzielania ciepła w plazmie wyładowczej wyznaczamy z prawa Joule’a – Lenza, gdzie σ - przewodność elektryczna plazmy, mi- natężenie pola elektrycznego w kanale wyładowczym. Wartości charakterystyczne dla wyładowania łukowego to 1/Ohm·m, V/m. Przewodność cieplna plazmy łukowej jest wyższa niż w gazie obojętnym, w temperaturach rzędu 10 000 K można przyjąć jej wartość równą . Zatem parametr . Rozkład temperatury wzdłuż promienia pokazano na rys. 39. W tym przypadku temperatura na osi rozładowania () wyniesie 8000 K.

W następnym przykładzie rozważymy pole termiczne o symetrii kulistej. Takie warunki powstają w szczególności, jeśli w dużym układzie znajduje się małe źródło ciepła, na przykład zwarcie łuku międzyzwojowego w uzwojeniu dużej maszyny elektrycznej. W tym przypadku łącząc środek sferycznego układu współrzędnych ze źródłem ciepła, możemy sprowadzić równanie ciepła stacjonarnego (64) do postaci:

Całkując to równanie dwukrotnie, znajdujemy

Wracając do naszego przykładu, załóżmy, że zwarcie łukowe występuje wewnątrz kulistej wnęki o promieniu (rys. 40). Przyjmijmy, że rezystancja wyładowania łukowego będzie wynosić Ohm, a prąd rozładowania A. Wtedy moc uwolniona we wnęce będzie wynosić 0,00. Rozważmy rozwiązanie znajdujące się poza obszarem działania źródła ciepła.

Wtedy całka z równania ciepła zostanie uproszczona

Aby obliczyć stałe całkowania, najpierw używamy warunku w punktach nieskończenie odległych od miejsca wyładowania, gdzie C jest temperaturą otoczenia. Z ostatniego wyrażenia, które znajdziemy . Aby wyznaczyć stałą, zakładamy, że energia cieplna uwolniona w wyładowaniu jest równomiernie rozłożona na powierzchni kulistej wnęki o promieniu . Dlatego strumień ciepła na granicy wnęki będzie wynosił

Ponieważ , to z dwóch ostatnich równań mamy

i ostateczna decyzja

W tym przypadku temperatura na granicy wnęki (mm) przy W/mK będzie wynosić K (ryc. 40).

Jako pierwszy przykład z tej grupy rozważmy pole cieplne w przekroju drutu okrągłego z kanałem chłodzącym (rys. 41, A). Druty z kanałami chłodzącymi są stosowane w uzwojeniach maszyn elektrycznych o dużej mocy i cewkach w celu wytworzenia silnych pól magnetycznych. Urządzenia te charakteryzują się długotrwałym przepływem prądów o amplitudzie setek, a nawet tysięcy amperów. Pompowana jest na przykład ciecz, np. woda, lub gaz (wodór, powietrze), co zapewnia wydobycie energii cieplnej z wewnętrznej powierzchni kanału i ochłodzenie drutu jako całości. W tym przypadku mamy do czynienia z wymuszonym chłodzeniem konwekcyjnym powierzchni kanału, dla którego możemy wykorzystać uzasadniony powyżej warunek brzegowy trzeciego rodzaju (67). Jeżeli oś cylindrycznego układu współrzędnych pokrywa się z osią drutu, wówczas temperatura będzie zależeć tylko od współrzędnej promieniowej. Całkę ogólną równania ciepła stacjonarnego otrzymaliśmy dla tego przypadku wcześniej

Objętościową gęstość mocy wydzielania ciepła oblicza się z prawa Joule'a-Lenza: , J- gęstość prądu, σ - przewodnictwo elektryczne,

Gdzie R- promień przekroju drutu, A- promień kanału chłodzącego. Drut otoczony jest od zewnątrz warstwami izolacji, która w porównaniu do przewodnika ma stosunkowo niską przewodność cieplną. Dlatego w pierwszym przybliżeniu przyjmujemy, że zewnętrzna powierzchnia drutu jest izolowana termicznie, czyli przepływ po niej ciepła

Na powierzchni kanału chłodzącego o przepływie ciepła decyduje warunek trzeciego rodzaju

gdzie jest współczynnikiem przenikania ciepła, jest temperaturą przepływu chłodzącego. Znak minus po prawej stronie jest brany ze względu na fakt, że normalna do wewnętrznej powierzchni kanału jest skierowana w kierunku przeciwnym do osi.

Podstawiając wyrażenie na temperaturę (76) do pierwszego z zapisanych warunków brzegowych otrzymujemy

Gdzie . Daje drugi warunek brzegowy

skąd to znajdziemy?

Jednocześnie od (76)

Porównując dwa ostatnie wyrażenia, znajdujemy

Po podstawieniu znalezionych stałych do rozwiązania ogólnego (76) i przekształceniach otrzymujemy

Temperaturę na granicach przekroju drutu z powstałego roztworu oblicza się za pomocą wzorów

Rozkład temperatur na promieniu przekroju drutu z kanałem chłodzącym o parametrach: A, W/mK, 1/Ohm m, o C, mm, cm pokazano na ryc. 41, B.

Z ryc. 41, B wynika z tego, że w przekroju drutu zmiana temperatury jest stosunkowo niewielka w porównaniu do jej wartości średniej, co tłumaczy się dużą przewodnością cieplną λ i stosunkowo małe wymiary przekroju poprzecznego drutu.

Odmienna sytuacja ma miejsce w przypadku rozkładu temperatury wzdłuż drutu składającego się z oddzielnych, stykających się ze sobą odcinków. Pogorszenie jakości styków między połączonymi przewodami prowadzi do wzrostu wytwarzania ciepła na styku dwóch drutów w porównaniu z samym drutem. Zdalny pomiar temperatury drutu za pomocą kamer termowizyjnych lub pirometrów pozwala zdiagnozować jakość połączeń stykowych.

Obliczmy rozkład temperatury wzdłuż drutu w obecności wadliwego styku. Poprzedni przykład pokazał, że nawet w najcięższych warunkach zmiana temperatury w przekroju drutu jest bardzo mała. Dlatego do naszych obliczeń możemy w pierwszym przybliżeniu przyjąć, że rozkład temperatury w przekroju poprzecznym drutu jest równomierny. Rozkład wytwarzania ciepła wzdłuż drutu zależy od rozkładu oporu elektrycznego wzdłuż drutu, który jest równomierny w dużej odległości od styku i wzrasta w miarę zbliżania się do niego. Wyrównajmy oś kartezjańskiego układu współrzędnych z osią drutu, a początek współrzędnych ze środkiem powierzchni styku (ryc. 42). Jako model rozkładu rezystancji wzdłuż drutu przyjmujemy następujący rozkład rezystancji liniowej

gdzie , jest parametrem charakteryzującym wielkość liniową powierzchni styku. Moc wytwarzania ciepła na jednostkę długości drutu wynosi . W przeliczeniu na jednostkę objętości moc wydzielania ciepła jest równa

Gdzie S- przekrój drutu. Drut jest chłodzony poprzez naturalną konwekcję z jego powierzchni. Konwekcyjny strumień ciepła na jednostkę długości drutu wynosi

Gdzie α - współczynnik przenikania ciepła, - temperatura otoczenia, P- obwód przekroju drutu. Przenikanie ciepła do otoczenia na jednostkę objętości przewodnika będzie wynosić

Stacjonarny rozkład temperatury wzdłuż drutu będzie zgodny z równaniem przewodności cieplnej

W celu dalszych przekształceń otrzymanego równania przyjmijmy stały współczynnik przewodzenia ciepła wzdłuż drutu, podstaw otrzymane powyżej wyrażenia za i , a także jako żądaną funkcję zamiast T Weźmy:

dochodzimy do liniowego niejednorodnego równania różniczkowego

Rozwiązanie powstałego równania będziemy szukać w postaci sumy rozwiązania ogólnego równania jednorodnego

i szczególne rozwiązanie w postaci prawej strony

z warunkami początkowymi

i warunki brzegowe

Rozwiązanie tego problemu będziemy szukać w postaci szeregu Fouriera korzystając z układu funkcji własnych (94)

te. w postaci rozkładu

rozważając jednocześnie T parametr.

Niech funkcje F(X, T) jest ciągła i ma odcinkowo ciągłą pochodną pierwszego rzędu względem X i na oczach wszystkich T> 0 warunków jest spełnionych

Załóżmy teraz, że funkcje F(X, T) I
można rozszerzyć do szeregu Fouriera w postaci sinusów

, (117)

(118)

, (119)

. (120)

Podstawmy (116) do równania (113) i po uwzględnieniu (117) otrzymamy

Równość ta jest spełniona, gdy

, (121)

albo jeśli
, to równanie (121) można zapisać w postaci

. (122)

Korzystając z warunku początkowego (114) uwzględniając (116), (117) i (119) otrzymujemy, że

. (123)

Zatem, aby znaleźć wymaganą funkcję
dochodzimy do problemu Cauchy’ego (122), (123) dla zwykłego niejednorodnego równania różniczkowego pierwszego rzędu. Korzystając ze wzoru Eulera możemy zapisać ogólne rozwiązanie równania (122)

i biorąc pod uwagę (123), rozwiązanie problemu Cauchy'ego

Dlatego też, podstawiając wartość tej funkcji do wyrażenia (116), ostatecznie otrzymamy rozwiązanie pierwotnego problemu

(124)

gdzie są funkcje F(X, T) I
są określone wzorami (118) i (120).

Przykład 14. Znajdź rozwiązanie niejednorodnego równania typu parabolicznego

w stanie początkowym

(14.2)

i warunki brzegowe

. (14.3)

▲ Wybierzmy najpierw następującą funkcję  , tak aby spełniał warunki brzegowe (14.3). Niech np.  = xt 2. Następnie

Dlatego funkcja zdefiniowana jako

spełnia równanie

(14.5)

jednorodne warunki brzegowe

i zerowe warunki początkowe

. (14.7)

Zastosowanie metody Fouriera do rozwiązania równania jednorodnego

zgodnie z warunkami (14.6), (14.7) ustalamy

Dochodzimy do następującego problemu Sturma-Liouville’a:

,
.

Rozwiązując ten problem, znajdujemy wartości własne

i odpowiadające im funkcje własne

. (14.8)

Szukamy rozwiązania problemu (14.5)-(14.7) w postaci szeregu

, (14.9)

(14.10)

Zastępowanie
z (14.9) do (14.5) otrzymujemy

. (14.11)

Aby znaleźć funkcję T N (T) rozwińmy funkcję (1- X) na szereg Fouriera korzystając z układu funkcji (14.8) na przedziale (0,1):

. (14.12)

a z (14.11) i (14.12) otrzymujemy równanie

, (14.13)

które jest zwykłym niejednorodnym liniowym równaniem różniczkowym pierwszego rzędu. Rozwiązanie ogólne znajdujemy korzystając ze wzoru Eulera

i biorąc pod uwagę warunek (14.10), znajdujemy rozwiązanie problemu Cauchy'ego

. (14.14)

Z (14.4), (14.9) i (14.14) znajdujemy rozwiązanie pierwotnego problemu (14.1)-(14.3)

Zadania do samodzielnej pracy

Rozwiązuj problemy z wartością początkowej granicy

3.4. Problem Cauchy'ego dla równania ciepła

Przede wszystkim spójrzmy Problem Cauchy’ego dla jednorodne równanie ciepła.

dogadzający

Zacznijmy od zamiany zmiennych X I T NA
i uwzględnić funkcję
. Następnie funkcje
spełni równania

Gdzie
- Funkcja Greena określona wzorem

, (127)

i posiadające właściwości

; (130)

. (131)

Mnożąc pierwsze równanie przez G* , a drugi dalej I a następnie dodając otrzymane wyniki otrzymujemy równość

. (132)

Po całkowaniu przez części równości (132) wg w zakresie od -∞ do +∞ i wg od 0 do T, otrzymujemy

Jeśli założymy, że funkcja
i jego pochodna ograniczone, kiedy
, wówczas, ze względu na właściwości (131), całka po prawej stronie (133) jest równa zeru. Dlatego możemy pisać

Zastępując tę równość przez
, A
NA
, otrzymujemy zależność

Stąd, korzystając ze wzoru (127), ostatecznie otrzymujemy

. (135)

Wywoływana jest formuła (135). Wzór Poissona i wyznacza rozwiązanie problemu Cauchy'ego (125), (126) dla jednorodnego równania ciepła z niejednorodnym warunkiem początkowym.

Rozwiązanie Problem Cauchy'ego dla niejednorodnego równania ciepła

dogadzający niejednorodny warunek początkowy

reprezentuje sumę rozwiązań:

gdzie jest rozwiązanie problemu Cauchy'ego dla jednorodnego równania ciepła . , spełniający niejednorodny warunek początkowy, jest rozwiązaniem spełniającym jednorodny warunek początkowy. Zatem rozwiązanie problemu Cauchy'ego (136), (137) określa wzór

Przykład 15. Znajdź rozwiązanie równania

(15.1)

dla następującego rozkładu temperatury pręta:

▲ Pręt jest nieskończony, więc rozwiązanie można zapisać korzystając ze wzoru (135)

Ponieważ
w przerwie
równa stałej temperaturze , a poza tym przedziałem temperatura wynosi zero, wówczas rozwiązanie przyjmuje postać

. (15.3)

Zakładając w (15.3)
, otrzymujemy

Ponieważ

jest całką prawdopodobieństw, wówczas ostateczne rozwiązanie pierwotnego problemu (13.1), (13.2) można wyrazić wzorem

.▲

Równanie przewodzenia ciepła dla przypadku nieustalonego

niestacjonarne, jeśli temperatura ciała zależy zarówno od położenia punktu, jak i od czasu.

Oznaczmy przez I = I(M, T) temperatura w danym punkcie M jednorodne ciało ograniczone powierzchnią S, w danym momencie T. Wiadomo, że ilość ciepła dQ, wchłaniany z czasem dt, wyraża się przez równość

Gdzie dS− element powierzchniowy, k− współczynnik wewnętrznego przewodnictwa cieplnego, − pochodna funkcji I w kierunku zewnętrznej normalnej do powierzchni S. Ponieważ rozprzestrzenia się w kierunku spadku temperatury dQ> 0, jeśli > 0, oraz dQ < 0, если < 0.

Z równości (1) wynika

Teraz znajdźmy Q Inny sposób. Wybierz element dV tom V, ograniczona powierzchnią S. Ilość ciepła dQ, odebrany przez element dV podczas dt, jest proporcjonalna do wzrostu temperatury tego elementu i masy samego elementu, tj.

gdzie jest gęstość substancji, współczynnik proporcjonalności zwany pojemnością cieplną substancji.

Z równości (2) wynika

Zatem,

Gdzie . Biorąc pod uwagę, że = , , otrzymujemy

Zastępując prawą stronę równości wzorem Ostrogradskiego-Greena, otrzymujemy

dla dowolnej objętości V. Stąd otrzymujemy równanie różniczkowe

który jest nazywany równanie ciepła dla przypadku nieustalonego.

Jeśli ciało jest prętem skierowanym wzdłuż osi Oh, wówczas równanie ciepła ma postać

Rozważ problem Cauchy'ego dla następujących przypadków.

1. Przypadek pręta nieograniczonego. Znajdź rozwiązanie równania (3) ( T> 0, ), spełniający warunek początkowy . Stosując metodę Fouriera otrzymujemy rozwiązanie w postaci

− Całka Poissona.

2. Pokrowiec na pręt, ograniczone z jednej strony. Rozwiązanie równania (3), spełniające warunek początkowy i warunek brzegowy, wyraża wzór

3. Pokrowiec na pręt, ograniczone po obu stronach. Problem Cauchy'ego polega na tym, kiedy X= 0 i X = l znaleźć rozwiązanie równania (3), które spełnia np. warunek początkowy i dwa warunki brzegowe, lub .

W tym przypadku poszukuje się konkretnego rozwiązania w postaci szeregu

dla warunków brzegowych,

i w formie serii

dla warunków brzegowych.

Przykład. Znajdź rozwiązanie równania

spełniające warunki początkowe

i warunki brzegowe.

□ Rozwiązanie problemu Cauchy'ego będziemy szukać w postaci

Zatem,

Równanie ciepła dla przypadku stacjonarnego

Nazywa się rozkładem ciepła w organizmie stacjonarny, jeśli temperatura ciała I zależy od położenia punktu M(X, Na, z), ale nie jest to zależne od czasu T, tj.

I = I(M) = I(X, Na, z).

W tym przypadku 0 i równanie przewodzenia ciepła dla przypadku stacjonarnego staje się Równanie Laplace'a

co jest często zapisywane jako .

Do temperatury I w organizmie została określona jednoznacznie na podstawie tego równania, należy znać temperaturę na powierzchni S ciała. Zatem dla równania (1) problem wartości brzegowych jest sformułowany w następujący sposób.

Znajdź funkcję I, spełniający równanie (1) wewnątrz objętości V i odbiór w każdym punkcie M powierzchnie S ustawić wartości

To zadanie nazywa się Problem Dirichleta Lub pierwszy problem wartości brzegowych dla równania (1).

Jeżeli nie jest znana temperatura na powierzchni ciała i znany jest strumień ciepła w każdym punkcie powierzchni, który jest proporcjonalny do , to na powierzchni S zamiast warunku brzegowego (2) będziemy mieli warunek

Nazywa się problem znalezienia rozwiązania równania (1), które spełnia warunek brzegowy (3). Problem Neumanna Lub drugi problem wartości brzegowych.

W przypadku figur płaskich równanie Laplace'a zapisuje się jako

Równanie Laplace'a ma tę samą postać dla przestrzeni, jeśli I nie zależy od współrzędnych z, tj. I(M) utrzymuje stałą wartość w miarę przesuwania się punktu M w linii prostej równoległej do osi Oz.

Podstawiając równanie (4) można przekształcić na współrzędne biegunowe

Pojęcie funkcji harmonicznej jest powiązane z równaniem Laplace'a. Funkcja nazywa się harmoniczny w pobliżu D, jeśli w tym obszarze jest ciągła wraz ze swoimi pochodnymi aż do drugiego rzędu włącznie i spełnia równanie Laplace'a.

Przykład. Znaleźć stacjonarny rozkład temperatury w cienkim pręcie z izolowaną termicznie powierzchnią boczną, jeśli znajduje się on na końcach pręta , .

□ Mamy przypadek jednowymiarowy. Trzeba znaleźć funkcję I, spełniający równanie i warunki brzegowe , . Ogólne równanie tego równania to . Uwzględniając warunki brzegowe, otrzymujemy

Zatem rozkład temperatury w cienkim pręcie z izolowaną termicznie powierzchnią boczną jest liniowy. ■

Problem Dirichleta dla okręgu

Niech będzie dany okrąg o promieniu R wyśrodkowany na biegunie O biegunowy układ współrzędnych. Należy znaleźć funkcję, która jest harmoniczna w okręgu i spełnia warunek na swoim okręgu, gdzie dana funkcja jest ciągła na okręgu. Wymagana funkcja musi spełniać równanie Laplace'a w okręgu

Stosując metodę Fouriera można otrzymać

− Całka Poissona.

Przykład. Znajdź stacjonarny rozkład temperatury na jednolitej, cienkiej okrągłej płycie o promieniu R górną połowę utrzymuje się w temperaturze, a dolną połowę w temperaturze.

□ Jeśli, to i jeśli, to. Rozkład temperatury wyraża się całką

Niech punkt będzie znajdował się w górnym półkolu, tj. ; wówczas zmienia się od do , a ten przedział długości nie zawiera punktów. Dlatego wprowadzamy podstawienie , skąd , . Wtedy otrzymamy

Zatem prawa strona jest ujemna I w spełnia nierówności . W tym przypadku otrzymujemy rozwiązanie

Jeżeli punkt znajduje się w dolnym półkolu, tj. , to przedział zmian zawiera punkt , ale nie zawiera 0 i możemy dokonać podstawienia , skąd , , Następnie dla tych wartości mamy

Przeprowadzając podobne przekształcenia, znajdujemy

Zatem prawa strona jest teraz dodatnia. ■

Metoda różnic skończonych rozwiązywania równania ciepła

Załóżmy, że musimy znaleźć rozwiązanie równania

dogadzający:

stan początkowy

i warunki brzegowe

Należy zatem znaleźć rozwiązanie równania (1), które spełnia warunki (2), (3), (4), czyli: należy znaleźć rozwiązanie w prostokącie ograniczonym liniami , , , , jeśli wartości wymaganej funkcji podane są na jego trzech bokach , , .

Skonstruujmy prostokątną siatkę utworzoną z linii prostych

− krok wzdłuż osi Oh;

− krok wzdłuż osi Z.

Wprowadźmy następującą notację:

Z koncepcji różnic skończonych możemy pisać

podobnie

Uwzględniając wzory (6), (7) i wprowadzoną notację, zapisujemy równanie (1) w postaci

Stąd otrzymujemy wzór obliczeniowy

Z (8) wynika, że jeśli trzy wartości k k warstwa siatki: , , , wówczas możesz określić wartość w ( k+ 1) warstwa.

Warunek początkowy (2) pozwala znaleźć wszystkie wartości na linii prostej; warunki brzegowe (3), (4) pozwalają nam znaleźć wartości na liniach i . Korzystając ze wzoru (8) znajdujemy wartości we wszystkich punktach wewnętrznych kolejnej warstwy, tj. Dla k= 1. Wartości pożądanej funkcji w skrajnych punktach są znane z warunków brzegowych (3), (4). Przechodząc z jednej warstwy siatki do drugiej, wyznaczamy wartości pożądanego rozwiązania we wszystkich węzłach siatki. ;

Mechanika kontinuum

Medium ciągłe

Zobacz też: Portal:Fizyka

Równanie dyfuzji jest specjalną formą równania różniczkowego cząstkowego. Może być niestacjonarny i stacjonarny.

W sensie interpretacji przy podejmowaniu decyzji równania dyfuzji mówimy o znalezieniu zależności stężenia substancji (lub innych obiektów) od współrzędnych przestrzennych i czasu oraz określa się współczynnik (w ogólnym przypadku zależny także od współrzędnych przestrzennych i czasu) charakteryzujący przepuszczalność ośrodka dyfuzji . Decydując równania ciepła mówimy o znalezieniu zależności temperatury ośrodka od współrzędnych przestrzennych i czasu, a podana jest pojemność cieplna i przewodność cieplna ośrodka (także w ogólnym przypadku niejednorodnego).

Fizycznie w obu przypadkach zakłada się brak lub zaniedbanie makroskopowych przepływów materii. Są to fizyczne granice stosowalności tych równań. Ponadto, reprezentując ciągłą granicę tych problemów (to znaczy nie więcej niż pewne przybliżenie), równania dyfuzji i ciepła w ogóle nie opisują statystycznych fluktuacji i procesów zbliżonych w skali do długości i czasu swobodnej ścieżki, również bardzo mocno odbiegających od oczekiwane dokładne rozwiązanie problemu w zakresie korelacji na odległościach porównywalnych (i większych) z odległościami, jakie pokonuje dźwięk (lub cząstki wolne od oporu ośrodka przy ich charakterystycznych prędkościach) w danym ośrodku w rozpatrywanym czasie.

W przeważającej większości przypadków oznacza to od razu, że równania dyfuzji i przewodności cieplnej, jeśli chodzi o zakres ich stosowalności, są dalekie od obszarów, w których istotne stają się efekty kwantowe lub skończoność prędkości światła, czyli w przeważająca większość przypadków, nie tylko w ich wyprowadzeniu, ale także w zasadzie ogranicza się do dziedziny klasycznej fizyki Newtona.

W zagadnieniach dyfuzji lub przewodności cieplnej w płynach i gazach w ruchu zamiast równania dyfuzji stosuje się równanie transportu, które rozszerza równanie dyfuzji do przypadku, gdy niedopuszczalne jest pominięcie ruchu makroskopowego.

Najbliższym formalnym i pod wieloma względami merytorycznym analogiem równania dyfuzji jest równanie Schrödingera, które różni się od równania dyfuzji urojoną jednostką czynnika stojącą przed pochodną czasu. Wiele twierdzeń o rozwiązywaniu równania Schrödingera, a nawet niektóre rodzaje formalnej reprezentacji jego rozwiązań są bezpośrednio podobne do odpowiednich twierdzeń o równaniu dyfuzji i jego rozwiązaniach, ale ich rozwiązania różnią się bardzo jakościowo.

Formularz ogólny

Równanie zwykle zapisuje się w następujący sposób:

∂ φ (r, t) ∂ t = ∇ ⋅ [ re (φ, r) ∇ φ (r, t) ] , (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe \ varphi (\ mathbf (r), t)) ( \partial t))=\nabla \cdot (\big [)D(\varphi ,\mathbf (r))\ \nabla \varphi (\mathbf (r) ,t)(\big ]),)

gdzie φ( R, T) jest gęstością substancji rozpraszającej w punkcie R i podczas T I D(φ, R) - uogólniony współczynnik dyfuzji dla gęstości φ w punkcie R; ∇ - operator obserwowalny. Jeżeli współczynnik dyfuzji zależy od gęstości, równanie jest nieliniowe, w przeciwnym razie jest liniowe.

Jeśli D- symetryczny dodatni operator określony, równanie opisuje dyfuzję anizotropową:

∂ φ (r , t) ∂ t = ∑ ja = 1 3 ∑ jot = 1 3 ∂ ∂ x ja [ re ja jot (φ , r) ∂ φ (r , t) ∂ x jot ] . (\ Displaystyle (\ frac (\ częściowe \ varphi (\ mathbf (r), t)) (\ częściowe t)) = \ suma _ (i = 1) ^ (3) \ suma _ (j = 1) ^ ( 3)(\frac (\częściowy )(\częściowy x_(i)))\lewy.)

Jeśli D stała, wówczas równanie sprowadza się do liniowego równania różniczkowego:

∂ ϕ (r, t) ∂ t = re ∇ 2 ϕ (r, t) , (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe \ phi (\ mathbf (r), t)) (\ częściowe t)) = D \ nabla ^(2)\phi (\mathbf (r) ,t),)

Historia pochodzenia

Niestabilne równanie

Niepewny równanie dyfuzji jest klasyfikowane jako paraboliczny równanie różniczkowe. Opisuje rozkład substancji rozpuszczonej w wyniku dyfuzji lub redystrybucji temperatury ciała w wyniku przewodności cieplnej.

Sprawa jednowymiarowa

W przypadku jednowymiarowego procesu dyfuzji ze współczynnikiem dyfuzji (przewodność cieplna) re (\ displaystyle D) równanie jest następujące:

∂ ∂ t do (x , t) = ∂ ∂ x re ∂ ∂ x do (x , t) + fa (x , t) . (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe) (\ częściowe t)) c (x, \; t) = (\ Frac (\ częściowe) (\ częściowe x)) D (\ Frac (\ częściowe) (\ częściowe x ))(c(x,\;t))+f(x,\;t).)

Na stałym re (\ displaystyle D) przyjmuje postać:

∂ ∂ t do (x, t) = re ∂ 2 ∂ x 2 do (x, t) + fa (x, t) , (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe) (\ częściowe t)) c (x, \ ;t)=D(\frac (\częściowy ^(2))(\częściowy x^(2)))(c(x,\;t))+f(x,\;t),)

Gdzie do (x, t) (\ displaystyle c (x, \; t)) jest stężeniem substancji dyfundującej, a fa (x, t) (\ displaystyle f (x, \; t))- funkcja opisująca źródła materii (ciepła).

Trójwymiarowa obudowa

W przypadku trójwymiarowym równanie przyjmuje postać:

∂ ∂ t do (r →, t) = (∇, re ∇ do (r →, t)) + fa (r → , t) , (\ Displaystyle (\ frac (\ częściowe) (\ częściowe t)) c ( (\vec (r)),\;t)=(\nabla ,\;D\nabla c((\vec (r)),\;t))+f((\vec (r)),\; T),)

Gdzie ∇ = (∂ x, ∂ y, ∂ z) (\ Displaystyle \ nabla = (\ częściowe _ (x), \; \ częściowe _ (y), \; \ częściowe _ (z)})- operator nabla i (,) (\ displaystyle (\;, \;))- iloczyn skalarny. Można to również zapisać jako

∂ t do = re ja v (re sol r za re do) + fa , (\ Displaystyle \ częściowe _ (t) c = \ mathbf (div) \, (D \, \ mathbf (grad) \, c) + f,)

i na stałym poziomie re (\ displaystyle D) przyjmuje postać:

∂ ∂ t do (r → , t) = re Δ do (r → , t) + fa (r → , t) , (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe) (\ częściowe t)) c ({\ vec ( r)),\;t)=D\Delta c((\vec (r)),\;t)+f((\vec (r)),\;t),)

Gdzie Δ = ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 (\ Displaystyle \ Delta = \ nabla ^ (2) = (\ Frac (\ częściowe ^ (2)) (\ częściowe x ^(2)))+(\frac (\częściowy ^(2))(\częściowy y^(2)))+(\frac (\częściowy ^(2))(\częściowy z^(2))) )- Operator Laplace'a.

N-przypadek wymiarowy

N (\ displaystyle n) przypadek -wymiarowy - bezpośrednie uogólnienie powyższego, tylko przez operator nabla, gradient i dywergencję, a także przez operator Laplace'a musimy zrozumieć n (\ displaystyle n)-wymiarowe wersje odpowiednich operatorów:

∇ = (∂ 1 , ∂ 2 , … , ∂ n) , (\ Displaystyle \ nabla = (\ częściowe _ (1), \; \ częściowe _ (2), \; \ ldots, \; \ częściowe _ (n ))) Δ = ∇ 2 = ∂ 1 2 + ∂ 2 2 + … + ∂ n 2 . (\ Displaystyle \ Delta = \ nabla ^ (2) = \ częściowe _ (1) ^ (2) + \ częściowe _ (2) ^ (2) + \ ldots + \ częściowe _ (n) ^ (2).)

Dotyczy to również przypadku dwuwymiarowego n = 2 (\ displaystyle n = 2).

Motywacja

A.

Zwykle równanie dyfuzji wynika z równania empirycznego (lub w jakiś sposób wyprowadzonego teoretycznie), które stwierdza proporcjonalność przepływu materii (lub energii cieplnej) do różnicy stężeń (temperatur) obszarów oddzielonych cienką warstwą materii danego przepuszczalność, charakteryzująca się współczynnikiem dyfuzji (lub przewodności cieplnej):

Φ = - ϰ ∂ do ∂ x (\ Displaystyle \ Phi = - \ varkappa (\ Frac (\ częściowe c) (\ częściowe x)})(przypadek jednowymiarowy), jot = - ϰ ∇ do (\ Displaystyle \ mathbf (j) = - \ varkappa \ nabla c)(na dowolny rozmiar),

w połączeniu z równaniem ciągłości wyrażającym zachowanie materii (lub energii):

∂ do ∂ t + ∂ Φ ∂ x = 0 (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe c) (\ częściowe t)) + (\ Frac (\ częściowe \ Phi) (\ częściowe x)) = 0)(przypadek jednowymiarowy), ∂ do ∂ t + re ja v jot = 0 (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe c) (\ częściowe t)) + \ operatorname (div) \, \ mathbf (j) = 0)(na dowolny rozmiar),

biorąc pod uwagę w przypadku równania przewodności cieplnej także pojemność cieplną (temperatura = gęstość energii / ciepło właściwe).

Pomija się tutaj źródło materii (energii) po prawej stronie, ale oczywiście można je tam łatwo umieścić, jeśli w zadaniu występuje dopływ (odpływ) materii (energii).
Zakłada się także, że na przepływ substancji dyfundującej (zanieczyszczenia) nie mają wpływu żadne siły zewnętrzne, w tym grawitacja (zanieczyszczenie bierne).

B.

Ponadto w naturalny sposób powstaje jako ciągła granica podobnego równania różnicowego, co z kolei powstaje przy rozważaniu problemu losowego błądzenia po sieci dyskretnej (jednowymiarowej lub n (\ displaystyle n)-wymiarowy). (Jest to najprostszy model; w bardziej złożonych modelach błądzenia losowego równanie dyfuzji pojawia się również w granicy ciągłej.) Najprostsza interpretacja funkcji do (\ displaystyle c) w tym przypadku służy liczba (lub koncentracja) cząstek w danym punkcie (lub w jego pobliżu), przy czym każda cząstka porusza się niezależnie od pozostałych, bez pamięci (bezwładności) swojej przeszłości (w nieco bardziej złożonym przypadku - z czasem- ograniczona pamięć).

Rozwiązanie

do (x , t) = ∫ - ∞ + ∞ do (x ′ , 0) do fa (x - x ′ , t) re x ′ = ∫ - ∞ + ∞ do (x ′ , 0) 1 4 π re t exp ⁡ (− (x - x ′) 2 4 re t) re x ′ . (\ Displaystyle c (x, \; t) = \ int \ limity _ (- \ infty) ^ (+ \ infty) c (x ”, \; 0) c_ (f) (xx”, \; t) \ ,dx"=\int \limits _(-\infty )^(+\infty )c(x",\;0)(\frac (1)(\sqrt (4\pi Dt)))\exp \left (-(\frac ((x-x")^(2))(4Dt))\right)\,dx".)

Notatki fizyczne

Ponieważ przybliżenie realizowane za pomocą równań dyfuzji i przewodności cieplnej zasadniczo ogranicza się do obszaru małych prędkości i skal makroskopowych (patrz wyżej), nie jest zaskakujące, że ich podstawowe rozwiązanie nie zachowuje się zbyt realistycznie na dużych odległościach, formalnie pozwalając na nieskończone rozprzestrzenianie się wpływu w przestrzeni w skończonym czasie; Należy zaznaczyć, że wielkość tego efektu maleje wraz z odległością tak szybko, że efekt ten jest zwykle w zasadzie nieobserwowalny (mówimy np. o stężeniach znacznie mniejszych od jedności).

Jeśli jednak mówimy o sytuacjach, w których tak małe stężenia można zmierzyć eksperymentalnie, a to jest dla nas istotne, konieczne jest zastosowanie przynajmniej nie różniczkowego, ale różnicowego równania dyfuzji, a jeszcze lepiej bardziej szczegółowego mikroskopowego równania fizycznego i modeli statystycznych w celu uzyskania bardziej adekwatnego zrozumienia rzeczywistości w tych przypadkach.

Równanie stacjonarne

W przypadku, gdy zadaniem jest znalezienie ustalonego rozkładu gęstości lub temperatury (np. w przypadku, gdy rozkład źródeł nie jest zależny od czasu), człony równania związane z czasem usuwa się z nie -równanie stacjonarne. Potem się okazuje stacjonarne równanie ciepła, należące do klasy równań eliptycznych. Jego ogólny wygląd:

− (∇ , re ∇ do (r →)) = fa (r →) . (\ Displaystyle - (\ nabla, \; D \ nabla c ({\ vec (r)))) = f ({\ vec (r)}).) Δ do (r →) = - fa (r →) re , (\ Displaystyle \ Delta c ({\ vec (r)}) = - (\ Frac (f ({\ vec (r)}} (D) )) Δ do (r →) = 0. (\ Displaystyle \ Delta c ({\ vec (r))) = 0.)

Zestawienie problemów wartości brzegowych

Problem z warunkami początkowymi (problem Cauchy'ego) na rozkład temperatury na nieskończonej linii prostej

Jeśli weźmiemy pod uwagę proces przewodzenia ciepła w bardzo długim pręcie, to przez krótki czas praktycznie nie ma wpływu temperatur na granicach, a temperatura w rozpatrywanym obszarze zależy jedynie od początkowego rozkładu temperatur.

i , spełniający warunek u (x , t 0) = φ (x) (− ∞< x < + ∞) {\displaystyle u(x,\;t_{0})=\varphi (x)\quad (-\infty , gdzie jest podana funkcja.

Pierwsze zadanie brzegowe dla pręta półnieskończonego

Jeżeli interesujący nas odcinek pręta znajduje się blisko jednego końca i znacznie oddalony od drugiego, wówczas dochodzimy do problemu wartości brzegowej, w którym uwzględniany jest wpływ tylko jednego z warunków brzegowych.

Znajdź rozwiązanie równania ciepła w regionie - ∞ ⩽ x ⩽ + ∞ (\ Displaystyle - \ infty \ leqslant x \ leqslant + \ infty) I t ⩾ t 0 (\ displaystyle t \ geqslant t_ (0)), spełniający warunki

( u (x , t 0) = φ (x) , (0< x < ∞) u (0 , t) = μ (t) , (t ⩾ t 0) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u(x,\;t_{0})=\varphi (x),\quad (0

Gdzie φ (x) (\ Displaystyle \ Varphi (x)) I μ (t) (\ displaystyle \ mu (t))- określone funkcje.

Problem wartości brzegowych bez warunków początkowych

Jeśli interesujący nas moment czasu jest wystarczająco odległy od początkowego, wówczas warto zaniedbać warunki początkowe, ponieważ z czasem ich wpływ na proces słabnie. Dochodzimy zatem do problemu, w którym określone są warunki brzegowe, a nie ma warunków początkowych.

Znajdź rozwiązanie równania ciepła w regionie 0 ⩽ x ⩽ l (\ Displaystyle 0 \ leqslant x \ leqslant l) I − ∞ < t {\displaystyle -\infty , spełniający warunki

( u (0, t) = μ 1 (t) , u (l, t) = μ 2 (t) , (\ Displaystyle \ lewo \ ({\ początek (tablica) (l) u (0, \; t )=\mu _(1)(t),\\u(l,\;t)=\mu _(2)(t),\end(array))\right.)

gdzie i są dane funkcje.

Zagadnienia wartości brzegowych dla ograniczonego pręta

Rozważmy następujący problem wartości brzegowych:

u t = za 2 u x x + fa (x, t) , 0< x < l , 0 < t ⩽ T {\displaystyle u_{t}=a^{2}u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0- równanie przewodzenia ciepła.

Jeśli fa (x, t) = 0 (\ displaystyle f (x, \; t) = 0), to takie równanie nazywa się jednorodny, W przeciwnym razie - heterogeniczny.

u (x, 0) = φ (x) , 0 ⩽ x ⩽ l (\ Displaystyle u (x, \; 0) = \ varphi (x), \ quad 0 \ leqslant x \ leqslant l)- stan początkowy w czasie t = 0 (\ displaystyle t = 0), temperatura w punkcie x (\ displaystyle x) jest dana przez funkcję φ (x) (\ Displaystyle \ Varphi (x)). u (0, t) = μ 1 (t) , u (l, t) = μ 2 (t) , ) 0 ⩽ t ⩽ T (\ Displaystyle \ lewo. (\ początek (tablica) (l) u (0 ,\;t)=\mu _(1)(t),\\u(l,\;t)=\mu _(2)(t),\end(array))\right\)\quad 0 \leqslant t\leqslant T)- warunki brzegowe. Funkcje μ 1 (t) (\ Displaystyle \ mu _ (1) (t)) I μ 2 (t) (\ Displaystyle \ mu _ (2) (t)) ustawić wartość temperatury w punktach granicznych 0 i l (\ displaystyle l) kiedykolwiek t (\ displaystyle t).

W zależności od rodzaju warunków brzegowych problemy równania ciepła można podzielić na trzy typy. Rozważmy przypadek ogólny ( α ja 2 + β ja 2 ≠ 0 , (ja = 1, 2) (\ Displaystyle \ alfa _ (i) ^ (2) + \ beta _ (i) ^ (2) \ neq 0, \; (i = 1,\;2))).

α 1 u x (0, t) + β 1 u (0, t) = μ 1 (t), α 2 u x (l, t) + β 2 u (l, t) = μ 2 (t). (\ Displaystyle (\ początek (tablica) (l) \ alfa _ (1) u _ (x) (0, \; t) + \ beta _ (1) u (0, \; t) = \ mu _ (1 )(t),\\\alpha _(2)u_(x)(l,\;t)+\beta _(2)u(l,\;t)=\mu _(2)(t). \end(tablica)))

Jeśli α ja = 0 , (i = 1, 2) (\ Displaystyle \ alfa _ (i) = 0, \; (i = 1, \; 2)}, wówczas taki warunek nazywa się stan pierwszego rodzaju, Jeśli β ja = 0 , (ja = 1, 2) (\ Displaystyle \ beta _ (i) = 0, \; (i = 1, \; 2)} - drugi rodzaj, i jeśli α ja (\ displaystyle \ alfa _ (i)) I β ja (\ displaystyle \ beta _ (i)) są różne od zera, wówczas warunek trzeci rodzaj. Stąd otrzymujemy problemy dla równania przewodzenia ciepła - problemy pierwszej, drugiej i trzeciej granicy.

Zasada maksimum

Niech funkcja będzie w przestrzeni re × [ 0 , T ] , re ∈ R n (\ Displaystyle D \ razy, \; D \ in \ mathbb (R) ^ (n)), spełnia jednorodne równanie ciepła ∂ u ∂ t - za 2 Δ u = 0 (\ Displaystyle (\ Frac (\ częściowe u) (\ częściowe t)) -a ^ (2) \ Delta u = 0), I re (\ displaystyle D)- ograniczony obszar. Zasada maksimum stwierdza, że funkcja u (x, t) (\ displaystyle u (x, \; t)) może przyjmować wartości ekstremalne albo w początkowym momencie, albo na granicy regionu re (\ displaystyle D).