Производная функции Преподаватель ГАПОУ РО «РКТМ» Колыхалина К.А. Приращение аргумента, приращение функции Пусть х – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х0. Разность х-х0 называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х0 и обозначается ∆х. ∆х = х – х0 – приращение независимой переменной. Приращением функции f в точке x0 называется разность между значениями функции в произвольной точке и значением функции в фиксированной точке. f(х) – f(х0)=f(х0+∆х) – f(х0) – приращение функции f ∆f=f(х0+∆х) – f(х0) Определение производной Производной функции y=f(x) в точке x =x0 называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к приращению аргумента ∆x, при стремлении приращения аргумента к нулю. Алгоритм вычисления производной Производная функции y= f(x) может быть найдена по следующей схеме: 1. Дадим аргументу x приращение ∆x≠0 и найдем наращенное значение функции y+∆y= f(x+∆x). 2. Находим приращение функции ∆y= f(x+∆x) - f(x). 3. Составляем отношение 4. Находим предел этого отношения при ∆x⇾0, т.е. (если этот предел существует). Определение производной от функции в данной точке. Ее геометрический смысл
k – угловой коэффициент прямой(секущей)
Касательная
Геометрический смысл производной
Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Физический смысл производной 1. Задача об определении скорости движения материальной частицы Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону s= s(t), где s- пройденный путь, t- время, и необходимо найти скорость точки в момент t0 . К моменту времени t0 пройденный путь равен s0 = s(t0), а к моменту (t0 +∆t) – путь s0 + ∆s=s(t0 +∆t). Тогда за промежуток ∆t средняя скорость будет Чем меньше ∆t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t0. Поэтому под скоростью точки в момент t0 следует понимать предел средней скорости за промежуток от t0 до t0 +∆t, когда ∆t⇾0 , т.е. 2. ЗАДАЧА О СКОРОСТИ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества Q изменяется в течение реакции в зависимости от времени t и является функцией от времени. Пусть за время ∆t количество вещества изменяется на ∆Q , тогда отношение будет выражать среднюю скорость химической реакции за время ∆t, а предел этого отношения - скорость химической реакции в данный момент времени t.3. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА
Если m- масса радиоактивного вещества и t- время, то явление радиоактивного распада в момент времени t при условии, что масса радиоактивного вещества с течением времени уменьшается, характеризуется функцией m= m(t).
Средняя скорость распада за время ∆t выражается отношением
а мгновенная скорость распада в момент времени t
Физический смысл производной функции в данной точке
Производные основных элементарных функций Основные правила дифференцирования Пусть u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции в точке x. 1) (u v) = u v 2) (uv) = uv +uv (cu) = cu 3) , если v 0
Министерство образования Саратовской области
Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Саратовской области «Энгельсский политехникум»
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В РАЗНИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ НАУКИ
Выполнила: Вербицкая Елена Вячеславовна
преподаватель математики ГАПОУ СО
«Энгельсский политехникум»
Введение
Роль математики в различных областях естествознания очень велика. Недаром говорят «Математика – царица наук, физика ее правая рука, химия – левая».
Предмет исследования – производная.
Ведущая цель - показать значимость производной не только в математике, но и в других науках, её важность в современной жизни.
Дифференциальное исчисление – это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники.
Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д.
Ключевой и тематический вопросы данного реферата:
1. История возникновения производной.
2. Зачем изучать производные функций?
3. Где используются производные?
4. Применение производных в физике, химии, биологии и других науках.
Я решила написать работу на тему «Применение производной в различных областях науки», потому что считаю эту тему очень интересной, полезной и актуальной.
В своей работе я расскажу о применении дифференцирования в различных областях науки, таких как химия, физика, биология, география и т. д. Ведь все науки неразрывно связаны между собой, что очень хорошо видно на примере рассматриваемой мною темы.
Применение производной в различных областях науки
Из курса алгебры старших классов мы уже знаем, чтопроизводная - это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.
Действие нахождения производной называется её дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х, называют дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.
Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому физику и математику Исааку Ньютону и немецкому математику, физику, философу Лейбницу.
Ньютон ввел понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл.
Физический смысл производной: производная функции y =f (x ) в точке x 0 – это скорость изменения функции f (x ) в точке x 0 .
Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к производной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.
Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функция в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .
Термин производная и современные обозначения y " , f " ввёл Ж.Лагранж в 1797г.
Российский математик 19 века Панфутий Львович Чебышев говорил, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека, например, как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды».
С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей:
Инженеры технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции;
Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей;
Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными.
При изучении любой темы у учеников возникает вопрос: «Зачем нам это надо?» Если ответ удовлетворит любопытство, то можно говорить о заинтересованности учеников. Ответ для темы «Производная» можно получить, зная, где используются производные функций.
Чтобы ответить на этот вопрос, можно перечислить некоторые дисциплины и их разделы, в которых применяются производные.
Производная в алгебре:
1. Касательная к графику функции 
Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке x о, - это прямая, проходящая через точку (x о; f (x о)) и имеющая угловой коэффициент f ′(x о).
y = f (x о) + f ′(x о) (x – x о)
2. Поиск промежутков возрастания и убывания функции
Функция y=f(x)
возрастает на интервале X
, если для любых и 
выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функция y=f(x)
убывает на интервале X
, если для любых и выполняется неравенство 
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
3. Поиск точек экстремума функции
Точку называют точкой максимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .
Точку называют точкой минимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .
Под окрестностью точки понимают интервал 
, где - достаточно малое положительное число.
Точки минимума и максимума называют точками экстремума , а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции .
4. Поиск промежутков выпуклости и вогнутости функции
выпуклым , если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной (рис. 1).
График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым , если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной (рис. 2).
Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.
5. Поиск точек изгиба функции
Производная в физике:
1. Скорость как производная пути 
2. Ускорение как производная скорости a
= 
3. Скорость распада радиоактивных элементов 
= -
λN
А так же в физике производную применяют для вычисления:
Скорости материальной точки 
Мгновенной скорости как физический смысл производной
Мгновенное значение силы переменного тока
Мгновенное значение ЭДС электромагнитной индукции
Максимальную мощность
Производная в химии:
И в химии нашло широкое применение дифференциальное исчисление для построения математических моделей химических реакций и последующего описания их свойств.
Производную в химии используют для определения очень важной вещи – скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности. V (t) = p ‘(t)
Производная в биологии:
Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.
Производная в географии:
1. Некоторые значения в сейсмографии
2. Особенности электромагнитного поля земли
3. Радиоактивность ядерно- геоифзичексих показателей
4.Многие значения в экономической географии
5.Вывести формулу для вычисления численности населения на территории в момент времени t.
у’= к у
Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционально числу населения в данный момент времени t через N(t) .Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует
Производная в электротехнике:
В наших домах, на транспорте, на заводах: всюду работает электрический ток. Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.
Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.
В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.
В электротехнике в основном используется работа переменного тока.
Электрический ток, изменяющийся со временем, называют переменным. Цепь переменного тока может содержать различные элементы: нагревательные приборы, катушки, конденсаторы.
Получение переменного электрического тока основано на законе электромагнитной индукции, формулировка которого содержит производную магнитного потока.
Производная в экономике:
Экономика – основа жизни, а в ней важное место занимает дифференциальное исчисление – аппарат для экономического анализа. Базовая задача экономического анализа – изучение связей экономических величин в виде функций.
Производная в экономике решает важные вопросы:
1. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин?
2. Увеличится или уменьшится выручка фирмы при увеличение цены на её продукцию?
Для решения этих вопросов нужно построить функции связи входящих переменных, которые затем изучаются методами дифференциального исчисления.
Также с помощью экстремума функции (производной) в экономике можно найти наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск и минимальные издержки.
ВЫВОД: производная успешно применяется при решении различных прикладных задач в науке, технике и жизни
Как видно из вышеперечисленного применение производной функции весьма многообразно и не только при изучении математики, но и других дисциплин. Поэтому можно сделать вывод, что изучение темы: «Производная функции» будет иметь своё применение в других темах и предметах.
Мы убедились в важности изучения темы "Производная", ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать важные задачи.
“Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А математика способна достичь всех этих целей”.
Так сказал американский математик Морис Клайн.
Список используемой литературы:
1. Богомолов Н.В., Самойленко И.И. Математика. - М.: Юрайт, 2015.
2. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А, Элементы высшей математики. - М.: Академия, 2014.
3. Баврин И.И. Основы высшей математики. - М.: Высшая школа, 2013.
4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2013.
5. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. - М.: Дрофа, 2013.
6. Рыбников К.А. История математики, «Издательство Московского университета», М, 1960.
7. Виноградов Ю.Н., Гомола А.И., Потапов В.И., Соколова Е.В. – М.: Издательский центр «Академия», 2010
8. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. – М.: Издательский центр «Академия», 2016
Периодические источники:
Газеты и журналы: «Математика», «Открытый урок»
Использование ресурсов сети Интернет, электронных библиотек.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
История производной
«Был этот мир глубокой тьмой окутан. Да будет свет! И вот явился Ньютон.» Эпитафия поэта А.Поупа:
История появления производной В конце 12 века великий английский учёный Исаак Ньютон доказал что путь и скорость связаны между собой формулой: V (t)= S ’(t) и такая связь существует между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых: физикой, химией, биологией, и техническими науками. Это открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания.
Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу. История появления производной К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т.е. сформулировал геометрический смысл производной, что значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной или tg угла наклона касательной с положительным направлением оси О X .
Термин производная и современные обозначения y ’ , f ’ ввёл Ж.Лагранж в 1797г. История появления производной
Нужна ли производная в будущей профессии? С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей: Инженеры технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции; Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей; Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными.
Работу сделали: Лысенко Анастасия Посохова Марика Шальнов Денис Струченков Никита Руководящий учитель: Новикова Любовь Анатольевна Использованые материалы: FileLand.RU
Спасибо за внимание!
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Презентация "Исторические сведения о квадратных уравнениях"
В презентации представлены интересные исторические сведения о квадратных уравнениях, а также нестандартные способы решения квадратных уравнений....
«Исторические сведения об искусстве витражей, их виды. Применение витражей в дизайне интерьера»
В настоящее время витраж обрел новую жизнь: он украшает общественные здания (окна, двери, интерьерные перегородки), изменяя их облик. Витражи в России все больше входят в моду. Декоративные возм...
Данное внеклассное мероприятие способствует развитию кругозора учащихся, привитию интереса к математике....
История «Производной». Слайд №3. И. Историческая справка. Давид Гильберт. Общее понятие производной было сделано независимо друг от друга почти одновременно. Конец XVI – середина XVII веков ознаменовались огромным интересом ученых к объяснению движения и нахождению законов, которым оно подчиняется. Как никогда остро встали вопросы об определении и вычислении скорости движения и его ускорения. Решение этих вопросов привело к установлению связи между задачей о вычислении скорости движения тела и задачей проведения касательной к кривой, описывающей зависимость пройденного расстояния от времени. английским физиком и математиком И.Ньютоном. немецким философом и математиком Г.Лейбницем.
Слайд 10 из презентации «Вычисление производных» к урокам алгебры на тему «Вычисление производной»Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке алгебры, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как...». Скачать всю презентацию «Вычисление производных.ppt» можно в zip-архиве размером 220 КБ.
Скачать презентациюВычисление производной
«Производная функции в точке» - Программированный контроль. Вопросы теории. 0. Найдите значение производной в точке хо. 1) Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x)=Cosх в точке х= ?/4. А. В точке. Х.
«Первообразная функция» - Повторение. Повторительно-обобщающий урок (алгебра 11 класс). Выполните задание. Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на множестве R. Основное свойство первообразной. Найдите общий вид первообразной для функции. Сформулируйте: Определение первообразной. Правила нахождения первообразной.
«Производная показательной функции» - www.thmemgallery.com. 11 класс. Правила дифференцирования. Теорема 1. Функция дифференцируема в каждой точке области определения, и. Производная показательной функции. Применение производной при исследовании функции. Теорема 2. Уравнение касательной. Производные элементарных функций. Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е:
«Вычисление производных» - Устная разминка, повторение правил вычисления производных (слайд №1) 3. Практическая часть. Сегодняшний урок пройдет с использованием презентаций. 2. Активизация знаний. Операция нахождения производной называется дифференцированием. Слайд №1. Самооценка учащихся. Основные этапы урока Организационный момент.
«Геометрический смысл производной» - B. Геометрический смысл приращения функции. С. Итак, Геометрический смысл отношения при. A. Слайд 10. K – угловой коэффициент прямой(секущей). Определение производной от функции (К учебнику Колмогорова А.Н. «Алгебра и начала анализа 10-11»). Цель презентации – обеспечить максимальную наглядность изучения темы.
Производная функции в точке является основным понятием дифференциального исчисления. Она характеризует скорость изменения функции в указанной точке. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости различного рода процессов.
Основные определения
Производная равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента , при условии, что последний стремится к нулю:
$y^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$
Определение
Функция, которая имеет конечную производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в данной точке . Процесс вычисления производной называется дифференцированием функции .
Историческая справка
Русский термин "производная функции" впервые употребил русский математик В.И. Висковатов (1780 - 1812).
Обозначение приращения (аргумента/функции) греческой буквой $\Delta$ (дельта) впервые употребил швейцарский математик и механик Иоганн Бернулли (1667 - 1748). Обозначение дифференциала , производной $d x$ принадлежит немецкому математику Г.В. Лейбницу (1646 - 1716). Манера обозначать производную по времени точкой над буквой - $\dot{x}$ - идёт от английского математика, механика и физика Исаака Ньютона (1642 - 1727). Краткое обозначение производной штрихом - $f^{\prime}(x)$ - принадлежит французскому математику, астроному и механику Ж.Л. Лагранжу (1736 - 1813), которое он ввел в 1797 году. Символ частной производной $\frac{\partial}{\partial x}$ активно применял в своих работах немецкий математик Карл Г.Я. Якоби (1805 - 1051), а затем выдающийся немецкий математик Карл Т.В. Вейерштрасс (1815 - 1897), хотя это обозначение уже встречалось ранее в одной из работ французского математика А.М. Лежандра (1752 - 1833). Символ дифференциального оператора $\nabla$ придумал выдающийся ирландский математик, механик и физик У.Р. Гамильтон (1805 - 1865) в 1853 году, а название "набла" предложил английский ученый-самоучка, инженер, математик и физик Оливер Хевисайд (1850 - 1925) в 1892 году.
