Гипотеза сплошной среды. Гипотеза сплошности среды

В гидромеханике рассматриваются макроскопические движения жидкостей и газов, а также силовое взаимодействие этих сред с твердыми телами. При этом, как правило, размеры рассматриваемых объемов жидкостей, газов и твердых тел оказываются несопоставимо большими по сравнению с размерами молекул и межмолекулярными расстояниями. Это естественно, поскольку межмолекулярные расстояния в жидкостях составляют всего см.

Указанные обстоятельства позволяют ввести гипотезу сплошности изучаемой среды и заменить реальные дискретные объекты упрощенными моделями, представляющими собой материальный континуум, т. е. материальную среду, масса которой непрерывно распределена по объему. Такая идеализация упрощает реальную дискретную систему и позволяет использовать для ее описания хорошо разработанный математический аппарат исчисления бесконечно малых и теорию непрерывных функций.

Параметры, характеризующие термодинамическое состояние, покой или. движение среды, считаются при этом непрерывно изменяющимися по всему объему, занятому средой, кроме, быть может, отдельных точек, линий или поверхностей, где могут существовать разрывы.

Теоретические результаты, подученные для гипотетической сплошной среды, тем лучше совпадут с результатами наблюдений, чем полнее и точнее учтены в ней свойства реальных жидкостей и газов. К сожалению, идеализацию среды во многих случаях не удается ограничить только допущением ее сплошности. Сложность изучаемых явлений заставляет отказываться от учета и некоторых других свойств реальных сред. В зависимости от тех свойств, которые приписываются гипотетической сплошной среде, получают различные ее модели.

Гипотеза сплошности среды означает, что всякий малый элемент объема жидкости считается все-таки настолько большим, что содержит еще очень большое число молекул. Соответственно этому, когда мы будем говорить о бесконечно малых элементах объема, то всегда при этом будем подразумевать «физически» бесконечно малый объем, т. е. объем достаточно малый по сравнению с объемом жидкости, но большой по сравнению с молекулярными расстояниями.

Согласно гипотезе сплошности масса среды распределена в объеме непрерывно и в общем неравномерно. Основной динамической характеристикой среды является плотность распределения массы по объему или просто плотность среды.

Плотность среды в произвольной точке А определяется соотношением

где – масса, заключенная в малом объеме , включающем точку А ; предел берется при стягивании объема к этой точке.

Наряду с плотностью в рассмотрение вводится понятие удельного объема , который представляет собой объем, содержащий единицу массы:

Плотность среды может изменятся от точки к точке и в данной точке со временем, т. е.

(11)

Аналогично для давления имеем . Как известно, по двум термодинамическим величинам с помощью уравнения состояния вещества могут быть определены все термодинамические величины. Таким образом, задание пяти величин: трех компонентов скорости , давления и плотности полностью определяет состояние движущейся жидкости. Подчеркнем, что есть скорость жидкости в каждой данной точке х, у, z пространства в момент времени t .

Однако эта функциональная связь не является непосредственной, так как плотность жидкостей и газов определяется фактически значениями термодинамических параметров состояния (р и Т), которые при движении среды зависят от координат (х, у, z) и времени (t ).

Математическое описание движения жидкой среды общими дифференциальными уравнениями, учитывающими все физические свойства, присущие этой среде, оказывается весьма сложной задачей. Если даже ограничится учетом только текучести, вязкости и сжимаемости, то и тогда уравнения движения, выражающие основные законы механики, оказываются настолько сложными, что пока не удалось разработать общих аналитических методов их решения. Применение численных методов интегрирования таких уравнений на базе современных ЭВМ также связано со значительными трудностями. В гидромеханике поэтому широко используют различные упрощенные модели среды и отдельных явлений.

Под моделью реальной среды понимают такую гипотетическую среду, в которой учтены только некоторые из физических свойств, существенные для определенного круга явлений и технических задач. Другие малосущественные свойства среды в модели игнорируются.

Одной из основных в гидромеханике является модель несжимаемой идеальной (или невязкой) жидкости. Так называется гипотетическая сплошная среда, обладающая текучестью, лишенная вязкости и полностью несжимаемая. Эта модель является объектом исследования в разделе гидромеханики «Теория идеальной несжимаемой жидкости». Игнорирование свойств вязкости и сжимаемости сильно упрощает математическое описание движения жидкости и позволяет получить многие решения в конечном замкнутом виде. Несмотря на значительную степень идеализации среды, теория несжимаемой невязкой жидкости дает ряд не только качественно, но и количественно подтверждаемых опытом результатов, полезных для практических приложений. Но не менее существенное значение этой теории состоит в том, что она является базой для других моделей, более полно учитывающих свойства реальных сред. Следует, однако, подчеркнуть, что пренебрежение вязкостью является весьма сильной степенью идеализации, поэтому теория идеальной несжимаемой жидкости может приводит к результатам, резко расходящимся с опытом.

Более полно свойства реальной жидкости учитываются в модели вязкой несжимаемой жидкости, которая представляет собой среду, обладающую текучестью и вязкостью, но абсолютно несжимаемую. Теория вязкой несжимаемой жидкости лишь в ограниченном числе случаев с простейшими граничными условиями позволяет получить точные решения полных уравнений движения. Наибольшее значение в этой теории имеют приближенные уравнения и их решения. Такие уравнения получают путем отбрасывания в полных уравнениях движения тех членов, которые мало влияют на соответствие теоретических решений опыту. Решения приближенных уравнений могут быть как точными, так и приближенными.

Для того чтобы стало возможным теоретическое исследование направленного движения жидкости с использованием математического аппарата исчисления бесконечно малых (дифференциального исчисления) и теории непрерывных функций (интегрального исчисления), необходимо выполнить определенную идеализацию жидкости и абстрагироваться от её дискретного молекулярного строения.

Все тела (в том числе и газообразные и капельной жидкости) состоят из отдельных элементарных частиц. Причём объёмы, занимаемые телами, значительно больше объёмов, в которых сосредоточено само вещество. По существу, все тела «состоят из пустоты», но в то же время в любом существенном для практических задач малом объёме пространства, занятого телом, заключено достаточно большое число частиц. Как правило, размеры рассматриваемых объёмов жидкости и твердых тел, обтекаемых этой жидкостью, оказываются несопоставимо бόльшими по сравнению с размерами молекул и межмолекулярными расстояниями. Указанные обстоятельства дают основание приближенно рассматривать жидкость как материальную среду, заполняющую пространство непрерывно – сплошным образом , и ввести гипотезу сплошной среды , на основании которой реальные дискретные объекты заменяются упрощенными моделями материального континуума . Эти умозрительные выводы сформулированы в постулате Даламбера – Эйлера , утверждающем, что при изучении направленного движения жидкостей и сил взаимодействия их с твердыми телами, жидкости можно рассматривать как сплошную среду - континуум, лишенную молекул и межмолекулярных пространств .

Принимая гипотезу сплошности мы тем самым предполагаем макроскопическое поведение жидкостей одинаковым, как если бы их структура была идеально непрерывной, а физические величины, например масса и количество движения, связанные с тем веществом, которое содержится внутри рассматриваемого объёма, считаем равномерно распределённым по этому объёму, отвлекаясь от того, что в действительности они концентрируются в его малых частях.

Гипотеза сплошной среды (или гипотеза сплошности) – первый шаг на пути формирования моделей жидкости, рассматриваемых в различных разделах механики жидкости и газа и, в том числе, в газовой динамике. Такая идеализация существенно упрощает реальную дискретную среду и позволяет, в частности, при исследовании движения жидкости использовать хорошо разработанный математический аппарат исчисления бесконечно малых (дифференциального и интегрального исчислений) и теорию непрерывных функций.

Гипотеза сплошной среды даёт возможность придать определенный смысл понятию «значение в точке» , применяемому к различным параметрам жидкости, например плотности, скорости, температуре, и вообще считать эти величины непрерывными функциями координат и времени. На этом основании можно составить уравнения, описывающие движение жидкости (уравнения движения), форма которых не зависит от микроскопической структуры частиц этой жидкости. В этом смысле движения жидкостей и газов изучаются одинаково – уравнения не зависят от того, существует ли какая-либо структура частиц . Аналогичная гипотеза вводится в механике деформируемых твердых тел, и потому эти два предмета вместе часто называют механикой сплошных сред .

Несмотря на естественность гипотезы сплошной среды, определение свойств этой гипотетически непрерывной среды , которая движется таким же образом, как и реальная жидкость с данной структурой частиц, оказывается трудным делом. Используя методы кинетической теории газов, с помощью упрощающих предположений о столкновении молекул можно показать, что уравнения, определяющие локальную скорость газа, имеют такой же вид, как и в случае движения некоторой непрерывной жидкости (хотя значения коэффициентов молекулярного переноса определяются не строго). Математическое обоснование рассмотрения движения газов как движения сплошной среды обычно выходит за рамки традиционных курсов механики жидкости и газа и, тем более, прикладной гидро- или газодинамики. Более того, это обоснование неполно для капельных жидкостей и поэтому принято ограничиваться введением такой гипотезы.

Критерием приемлемости всякой физической гипотезы является степень совпадения результатов, полученных на её основе, с результатами наблюдений и измерений. Для капельных жидкостей и газов правомерность использования гипотезы сплошной среды в широком диапазоне изменения параметров полностью подтверждается. Обширные экспериментальные данные свидетельствуют о том, что обычные реальные жидкости в нормальных условиях, а зачастую и при значительных отклонениях от них, движутся так, как если бы они были непрерывны.

Количественные пределы применимости законов газовой динамики, основанной на модели сплошной среды, определяются величиной критерия Кнудсена .

«В гидродинамике и в задачах обычной газодинамики жидкость представляют как сплошную среду. Это тоже своеобразная модель жидкости. Это представление допускает, что объем жидкости можно дробить на какие угодно мелкие части, вплоть до бесконечно малых, но ее свойства при этом остаются теми же самыми. Иначе говоря, здесь не принимается во внимание молекулярная структура вещества. Представление о жидкости, как о сплошной среде, было вызвано необходимостью использовать для расчетов методы математического анализа, в которых приходится оперировать бесконечно малыми массами и объемами. Модель сплошной среды применима для несжимаемых жидкостей, а также для газов не очень низких плотностей. Если же плотность газа становится очень низкой, как, например, на больших высотах, то расстояние между молекулами (длина свободного пробега) становятся соизмеримыми с размерами обтекаемых тел, и модель сплошной среды уже никак не соответствует реальной картине обтекания».

& (Виноградов) с.11

Строение атмосферы

Атмосфера является средой полета различных летательных аппаратов. Она имеет сложное строение, однако условно ее делят на слои с указанием их особенностей. Наиболее характерными и интересными для авиастроителей имеют слои тропосфера, стратосфера, ионосфера и экзосфера .

Тропосфера – часть атмосферы, граничащая с Землей (H = 10 – 17 км), где заметно тепловое излучение земной поверхности, где температура заметно уменьшается с удалением от Земли. В тропосфере образуются облака, дуют ветры, тут находится вся испаренная влага, меняется влажность, температура, направление ветра.

На верхней границе тропосферы температура остается постоянной. Далее по высоте располагается стратосфера. В стратосфере температура почти постоянна (~ до 30 км). Ветры там имеют постоянные направления и направлены против вращения Земли (происходит расслоение нижних и верхних слоев воздуха вследствие малого сцепления частиц воздуха).

Ионосфера характеризуется наличием свободных ионов и электронов и непрерывным повышением температуры. Границы ионосферы непостоянны (H ≈ до 200 км).

Экзосфера не имеет вообще границ. Это переходная зона от земной атмосферы к межпланетному пространству (H = от ~ 500 до 1000 км). Известно что:

50 % массы атмосферы расположено на высотах 0 – 5,5 км;

75 % массы атмосферы расположено на высотах 0 – 10 км;

94 % массы атмосферы расположено на высотах 0 – 20 км над уровнем моря.

Масса атмосферы составляет 1/1000000 массы Земли.

Свойства земной атмосферы и происходящие в ней явления изучает наука, называемая метеорологией. Свойства атмосферы используются нами для измерения высоты и скорости полета. От них зависят условия работы пилотов самолетов, тяга двигателя, подъемная сила самолета. Для устранения усложнений в полете (а то и катастроф) необходимо изучение аномальных явлений в атмосфере.

К аномальным явлениям относятся грозы, горизонтальные и вертикальные порывы ветра, турбулентные движения воздуха. Струйные течения воздуха могут быть со скоростью от 100 до 700 км/ч.

Воздух атмосферы является смесью газов: 78 % азота (N 2), 21 % кислорода (O 2), 0,94 % аргона (A 2), 0,03 углекислого газа (CO 2), 0,01 % водорода (H 2) 0,01 % неона (Ne 2) 0,01 % гелия (He 2), 1,2 % пара. На высотах 30 – 50 км имеется озон (O 3). Максимальное его количество находится на высоте ~ 35 км и составляет 0,00075 %, тогда как у Земли его только 0,00001 %. Фактически воздух состоит из отдельных молекул газов и не является сплошной средой (особенно на больших высотах).

Для практических целей авиационные науки нуждаются в установлении закона изменения с высотой основных параметров: как плотность, давление, температура воздуха, скорость звука, вязкость. Но эти параметры зависят еще и от времени года и суток, от случайных явлений в природе. При испытаниях приборов, систем и самолетов требуется проводить сравнение результатов в одинаковых условиях. Так возникла необходимость создания условной стандартной атмосферы (СА), являющейся схемой действительной атмосферы, в которой отсутствуют колебания, вызванные метеорологическими или астрономическими факторами.

На параметры стандартной атмосферы действуют государственные стандарты: ГОСТ 4401-81 (Атмосфера стандартная. Параметры), ГОСТ 3295-73 (Таблицы гипсометрические для геопотенциальных высот до 50000 м. Параметры), ГОСТ 5212-74 (Таблица аэродинамическая. Динамические давления и температуры торможения воздуха для скорости полета от 10 до 4000 км/ч. Параметры) и др. . В отличие от стандартной атмосферы существуют атмосферы справочные, учитывающие широту местности и время года.

В стандартной атмосфере принимаются стандартными исходные параметры: ускорение свободного падения g с = 9,80665 м/с 2 ; скорость звука a с = 340,294 м/с; средняя длина свободного пробега частиц воздуха l с = 66,328∙10 -9 м; давление P с = 101325,0 Па (760 мм рт. ст.), температура Кельвина T с = 288,15 К; кинематическая вязкость ν с = 14,607∙10 -6 м 2 /с; динамическая вязкость μ с = 17,894∙10 -6 Па∙с; плотность весовая γ с = 1,2250 кг/м 3 ; плотность массовая

Закон изменения температуры воздуха на высотах от нуля до 11000 метров над уровнем моря следующий:

где T н – абсолютная температура воздуха на высоте Н ; а – температурный градиент, равный 0,0065 °С/м; Н – высота над уровнем моря; Т 0 = 288 °К. Для Н > 11000 м T н = 216,5 °К = const. Изменение барометрического давления для высот Н < 11000 м:

, (2.2)

где P н – давление на высоте Н ; P о = 760 мм рт. ст.; ν о – весовая плотность (1,2255 кг/м 3); а – температурный градиент (0,0065 °С/м).

Важнейшей характеристикой воздуха является его влажность. Относительная влажность может быть определена по формуле

где R – относительная влажность; q – абсолютная влажность – количество пара в граммах, содержащееся в 1 м 3 ; Q – количество насыщающих паров при данной температуре в г/м 3 .

Предел насыщения воздуха водяными парами в зависимости от температуры приведен в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Важно обратить внимание на то, что при понижении температуры воздуха наступает перенасыщение, пар превращается в капли воды . Самолетостроители и разработчики приборов и систем должны это учитывать в своей практике. В связи с этим явлением внутри самолета накапливается большое количество воды, которая пагубно влияет на работоспособность техники.

Гипотеза сплошности газовой среды

Теория была введена в практику исследования Даламбером в 1744 году, а затем Эйлером в 1753 году в противовес корпускулярной теории Ньютона.

Воздух атмосферы представляет собой смесь различных газов. До принятия гипотезы сплошности исходили при экспериментах из того, что существует как бы смесь несвязанных между собой молекул газов, между которыми существуют дыры (сито).

Гипотеза сплошности в аэродинамике основана на том, что расстояние между молекулами воздуха и свободный пробег молекул малы по сравнению с обтекаемым воздухом телом. В связи с этим принимается, что воздух (и вода) однородная, сплошная, без разрывов масса .

Длина свободного пробега молекул зависит от числа молекул в единице объема, т.е. от плотности среды. Мы уже знаем, что вся масса воздуха находится в пределах тропосферы (высота Н ≤ 10…17 км) и что плотность сильно уменьшается с ростом высоты над уровнем моря. У Земли (Н = 0) в одном кубическом миллиметре содержится 2,7∙10 +16 молекул воздуха при массовой плотности ρ о ≈ 0,125 кг∙с 2 /м 4 . На высоте Н = 160 км в том же объеме содер-

жится 1 молекула воздуха. А плотность воздуха, например, на высоте Н = 20 км, ρ 20 = 0,008965 кг∙с 2 /м 4 .

Длина свободного пробега по высотам в среднем распределяется следующим образом (таблица 2.2).

Таблица 2.2

Н , км
L св, см	8,6∙10 -6	2,1∙10 -5	4,8∙10 -5	4,9∙10 -2	0,5		1,3∙10 2	2,0∙10 3	5,5∙10 4

Некоторые ученые считают границей применимости гипотезы сплошности отношение длины свободного пробега молекулы воздуха к хорде крыла, равное 1/10 +5 .

Кроме плотности воздуха длина свободного пробега зависит от температуры (т.е. от скорости хаотического движения) и от размеров молекул. Средняя длина пробега молекул воздуха рассчитывается по формуле

, (2.4)

где К – отношение теплоемкости воздуха при постоянном давлении с р к его теплоемкости при постоянном объеме с v , т.е.

;

ν – кинематический коэффициент вязкости, м 2 /с; a – скорость звука в воздушной среде в м/с.

Так как параметры ν и a зависят от высоты над уровнем моря, то и параметр L св зависит от той же высоты (см. таблицу 2.2).

Критерием применимости гипотезы сплошности является число Кнудсена

Или , (2.5)

где b – хорда крыла, δ – толщина пограничного слоя.

Окончательно, или другое значение коэффициента Кнудсена таково:

, (2.6)

где М – число Маха, Re – коэффициент Рейнольдса, равный

где v – скорость движения в м/с, b – средняя хорда крыла в метрах, ν – коэффициент кинематической вязкости в м 2 /с (рис. 2.1).

Практический смысл гипотезы сплошности для специалистов в области приборостроения и самолетостроения состоит с возможности определения границ применения способов измерения воздушных параметров, например, манометрического метода при определении скорости, числа М , подъемной силы.

Рис. 2.1. Обтекание крыла потоком воздуха

По Ньютону получалось в его корпускулярной теории, что сопротивление движению есть результат ударов частиц о тело и равно:

где ρ ∞ – плотность воздуха; v – скорость движения; S – площадь крыла.

Теперь мы уже будем знать, что формула неверна, она завышает силу сопротивления в два раза.

Область аэродинамики, рассматривающая движение твердых тел в сильно разреженном газе, называется супераэродинамикой .

Выводы из гипотезы сплошности:

Гипотеза упрощает исследование процессов движения.

Она позволяет рассматривать все механические характеристики жидкой среды – скорости, плотности, давления, числа М и т.д., как функции координат точки и времени. Эти функции предполагаются непрерывными и дифференцируемыми.

Из гипотезы сплошности следуют ограничения применимости методов измерения скоростных параметров. Например, манометрический метод может быть достоверно использован при Н ≈ 30000 метров над уровнем моря, при скоростях, соответствующих числу Re = 10 2 …10 7 .

При большом разряжении воздуха и при несоблюдении критерия Кнудсена воздушную среду нельзя считать сплошной. В этих условиях нельзя считать применяемым и принцип непрерывности течения потока воздуха. В этих условиях иными становятся законы образования силы сопротивления движению и подъемной силы. В свободномолекулярном потоке газа единственными силами воздействия газовой среды на движущееся тело являются силы ударов молекул газа о поверхность тела. Величину аэродинамических сил можно оценить по ударной теории Ньютона.

1. Гипотеза сплошности среды.

Плотность среды в произвольной точке А определяется соотношением

Плотность среды может изменятся от точки к точке и в данной точке со временем, т. е.

(11)

Как известно, капельные жидкости являются малосжимаемыми средами, поэтому для широкого круга теоретических и прикладных задач пренебрежение сжимаемостью является вполне допустимой идеализацией и мало влияет на вид получаемых решений и степень совпадения теоретических результатов с данными измерений. Но все же существуют случаи движения жидкостей, которые нельзя достаточно достоверно описать, если не учесть сжимаемость.