Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии . Поскольку , то или .
Учитывая, что , получим . Следовательно, момент силы,
действующей на тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение. Если ось вращения совпадает со свободной осью (см. 7.7), то имеет место векторное равенство
Это равенство представляет собой основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.
Пример 4.5.1. Тонкий стержень длиной и массой вращается вокруг неподвижной оси с угловым ускорением . Ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его середину. Определить момент силы, действующий на стержень.
| |
Согласно основному уравнению динамики вращательного движения вращающий момент связан с угловым ускорением следующим соотношением: ; где момент инерции стержня относительно оси вращения. Т.к. ось вращения проходит через центр масс стержня, то .
Следовательно, момент силы, действующий на стержень, .
Ответ: .
Пример 4.5.2. Вал в виде сплошного цилиндра массой насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан нерастяжимый шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой . С каким ускорением будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?
| |
Сделаем чертеж (рис. 4.5.1). Груз опускается с ускорением . На него действуют силы тяжести и натяжения шнура . Вал вращается против часовой стрелки с угловым ускорением . На вал действуют силы тяжести , сила реакции со стороны оси, на которую вал опирается, и сила реакции со стороны шнура . Вращающий момент создает только сила , т.к. линия действия сил и проходит через ось вращения (плечо этих сил равно 0).
Основное уравнение динамики поступательного движения груза имеет вид:
. В проекции на ось Oy: .
Основное уравнение динамики вращательного движения вала имеет вид: .
Если сила, действующая на тело, создает момент, способствующий вращению в заданном направлении, то ее момент считаем положительным (направление вектора момента силы совпадает с направлением углового ускорения ), если препятствует – момент считаем отрицательным (направления и противоположны). Следовательно, в скалярной форме (в проекции на направление углового ускорения) основное уравнение динамики вращательного движения будет иметь вид: .
Учитывая, что ось вращения проходит через центр масс цилиндрического вала перпендикулярно плоскости его основания , где радиус основания цилиндра, а вращающий момент (плечо силы равно радиусу основания цилиндра), то.
По третьему закону Ньютона (шнур нерастяжим), поэтому . Тангенциальное ускорение точек, лежащих на ободе вала, связано с его угловым ускорением соотношением: . С таким же ускорением движется любая точка шнура, на котором подвешен груз. Следовательно, , откуда . Подставив в уравнение (1), получим:и .
Ответ: .
Пример 4.5.3. Через блок в виде диска, имеющего массу , перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами и . С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь.
Решение:
Сделаем чертеж (рис. 4.5.2). Первый груз будет двигаться поступательно вверх с ускорением , второй – опускаться с таким же ускорением. Уравнения поступательного движения грузов в векторной форме имеют вид .
В проекции на направление оси :
, откуда .
Согласно основному уравнению динамики вращательного движения . При движении грузов диск ускоренно вращается по часовой стрелке, следовательно, сила способствует вращению , а сила тормозит вращение . Поэтому в скалярной форме (в проекции на направление углового ускорения), т.к. плечо сил равно радиусу диска .
Учитывая, что момент инерции диска , а линейное ускорение грузов равно
тангенциальному ускорению точек обода диска, связанного с угловым ускорением соот-
ношением , то , откуда . . В скалярной форме (в проекции на направление углового ускорения)
Ответ: .
«Физика - 10 класс»
Угловое ускорение.
Ранее мы получили формулу, связывающую линейную скорость υ, угловую скорость ω и радиус R окружности, по которой движется выбранный элемент (материальная точка) абсолютно твёрдого тела, которое, вращается относительно неподвижной оси:
Мы знаем, что линейные скорости и ускорения точек твёрдого тела различны. В то же время угловая скорость всех точек твёрдого тела одинакова.
Угловая скорость - векторная величина. Направление угловой скорости определяется по правилу буравчика. Если направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением вращения тела, то поступательное движение буравчика указывает направление вектора угловой скорости (рис. 6.1).
Однако равномерное вращательное движение встречается довольно редко. Гораздо чаще мы имеем дело с движением, при котором угловая скорость изменяется, очевидно, это происходит в начале и конце движения.
Причиной изменения угловой скорости вращения является действие на тело сил. Изменение угловой скорости со временем определяет угловое ускорение .
Bектор угловой скорости - это скользящий вектор. Независимо от точки приложения его направление указывает направление вращения тела, а модуль определяет быстроту вращения,
Среднее угловое ускорение равно отношению изменения угловой скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло:
При равноускоренном движении угловое ускорение постоянно и при неподвижной оси вращения характеризует изменение угловой скорости по модулю. При увеличении угловой скорости вращения тела угловое ускорение направлено в ту же сторону, что и угловая скорость (рис. 6.2, а), а при уменьшении - в противоположную (рис. 6.2, б).
Так как угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением υ = ωR, то изменение линейной скорости за некоторый промежуток времени Δt равно Δυ =ΔωR. Разделив левую и правую части уравнения на Δt, имеем или а = εR, где а - касательное (линейное) ускорение , направленное по касательной к траектории движения (окружности).
Если время измерено в секундах, а угловая скорость - в радианах в секунду, то одна единица углового ускорения равна 1 рад/с 2 , т. е. угловое ускорение выражается в радианах на секунду в квадрате.
Неравномерно движутся при запуске и остановке любые вращающиеся тела, например ротор в электродвигателе, диск токарного станка, колесо автомобиля при разгоне и др.
Момент силы.
Для создания вращательного движения важно не только значение силы, но также и точка её приложения. Отворить дверь, оказывая давление около петель, очень трудно, в то же время вы легко её откроете, надавливая на дверь как можно дальше от оси вращения, например на ручку. Следовательно, для вращательного движения существенно не только значение силы, но и расстояние от оси вращения до точки приложения силы. Кроме этого, важно и направление приложенной силы. Можно тянуть колесо с очень большой силой, но так и не вызвать его вращения.
Момент силы - это физическая величина, равная произведению силы на плечо:
M = Fd,
где d - плечо силы, равное кратчайшему расстоянию от оси вращения до линии действия силы (рис. 6.3).
Очевидно, что момент силы максимален, если сила перпендикулярна радиус-вектору, проведённому от оси вращения до точки приложения этой силы.
Если на тело действует несколько сил, то суммарный момент равен алгебраической сумме моментов каждой из сил относительно данной оси вращения.
При этом моменты сил, вызывающих вращение тела против часовой стрелки, будем считать положительными (сила 2), а моменты сил, вызывающих вращение по часовой стрелке, - отрицательными (силы 1 и 3) (рис. 6.4).
Основное уравнение динамики вращательного движения. Подобно тому как опытным путём было показано, что ускорение тела прямо пропорционально действующей на него силе, было установлено, что угловое ускорение прямо пропорционально моменту силы:
Пусть на материальною точку, движующуюся по окружности, действует сила (рис. 6.5). Согласно второму закону Ньютона в проекции на касательное направление имеем mа к = F к. Умножив левую и правую части уравнения на r, получим ma к r = F к r, или
mr 2 ε = М. (6.1)
Заметим, что в данном случае r - кратчайшее расстояние от оси вращения до материальной точки и соответственно точки приложения силы.
Произведение массы материальной точки на квадрат расстояния до оси вращения называют моментом инерции материальной точки и обозначают буквой I.
Таким образом, уравнение (6.1) можно записать в виде I ε = М, откуда
Уравнение (6.2) называют основным уравнением динамики вращательного движения .
Уравнение (6.2) справедливо и для вращательного движения твёрдого тела , имеющего неподвижную ось вращения, где I - момент инерции твёрдого тела, а М - суммарный момент сил, действующих на тело. В этой главе при расчёте суммарного момента сил мы рассматриваем только силы или их проекции, принадлежащие плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Угловое ускорение, с которым вращается тело, прямо пропорционально сумме моментов сил, действующих на него, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно данной оси вращения.
Если система состоит из набора материальных точек (рис. 6.6), то момент инерции этой системы относительно данной оси вращения ОО" равен сумме моментов инерции каждой материальной точки относительно этой оси вращения: I = m 1 r 2 1 + m 2 r 2 2 + ... .
Момент инерции твёрдого тела можно вычислить разделив тело на малые объёмы, которые можно считать материальными точками, и просуммировать их моменты инерции относительно оси вращения. Очевидно, что момент инерции зависит от положения оси вращения.
Из определения момента инерции следует, что момент инерции характеризует распределение массы относительно оси вращения.
Приведём значения моментов инерции для некоторых абсолютно твёрдых однородных тел массой m.
1. Момент инерции тонкого прямого стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину (рис. 6.7), равен:
2. Момент инерции прямого цилиндра (рис. 6.8), или диска относительно оси ОО", совпадающей с геометрической осью цилиндра или диска:
3. Момент инерции шара
4. Момент инерции тонкого обруча радиусом R относительно оси, проходящей через его центр:
Момент инерции по физическому смыслу во вращательном движении играет роль массы, т. е. он характеризует инертность тела по отношению к вращательному движению. Чем больше момент инерции, тем сложнее тело заставить вращаться или, наоборот, остановить вращающееся тело.
При наблюдении сложных движений, например движения тела человека (ходьба, бег, прыжки и т.д.), кажется трудным или даже невозможным описать перемещение всех его точек. Однако, анализируя такие движения, можно заметить, что они состоят из более простых - поступательных и вращательных перемещений.
Механика поступательного движения известна читателю, поэтому раздел начинается с рассмотрения вращательного движения. Наиболее простым является вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Этот случай позволяет ознакомиться со спецификой, терминологией и законами вращательного движения.
5.1. КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
Абсолютно твердым телом называют такое, расстояние между любыми двумя точками которого неизменно.
Размеры и форма абсолютно твердого тела не изменяются при его движении.
Понятие «абсолютно твердое тело» - физическая абстракция, так как любое тело способно к деформациям. Однако во многих случаях деформацией можно пренебречь.
Наиболее простой случай вращательного движения абсолютно твердого тела - вращение относительно неподвижной оси. Это такое движение, при котором точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения.
Известно, что в некоторых случаях для характеристики движения тела необязательно указывать движение всех его точек; так, например, при поступательном движении достаточно указать движение любой одной точки тела.
При вращательном движении вокруг оси точки тела перемещаются по разным траекториям, но за одно и то же время все точки и само тело поворачивается на одинаковый угол. Для характеристики вращения
проведем в плоскости, перпендикулярной оси, радиус-вектор к некоторой точке i (рис. 5.1). Временная зависимость угла α поворота радиуса-вектора относительно некоторого выделенного направления ОХ является уравнением вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:
Быстрота вращения тела характеризуется угловой скоростью, равной первой производной от угла поворота радиуса-вектора по времени:
Угловая скорость есть вектор, который направлен по оси вращения и связан с направлением вращения правилом правого винта (рис. 5.2). Вектор угловой скорости в отличие от векторов скорости и силы является скользящим: у него нет определенной точки приложения, и он может быть расположен в любом месте на оси вращения. Таким образом, задание вектора ω указывает положение оси вращения, направление вращения и модуль угловой скорости.
Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением, равным первой производной от угловой скорости по времени:
или в векторной форме:
Из (5.4) видно, что вектор углового ускорения совпадает по направлению с элементарным, достаточно малым изменением вектора угловой скорости dω : при ускоренном вращении угловое ускорение направлено так же, как и угловая скорость, при замедленном вращении - противоположно ей.
Так как угловое перемещение всех точек абсолютно твердого тела одинаково, то, согласно (5.2) и (5.3), одновременно все точки тела имеют одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение. Линейные характеристики - перемещение, скорость, ускорение - различны для разных точек. Укажем в скалярном виде связь, которая может быть выведена самостоятельно, между линейными и угловыми характеристиками для i-й точки, движущейся по окружности радиусом r i:
Рис. 5.3
В заключение приведем полученные путем интегрирования соответствующих выражений формулы кинематики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:
уравнение равномерного вращательного движения [см. (5.2)]:
зависимость угловой скорости от времени в равнопеременном вращательном движении [см. (5.3)]:
уравнение равнопеременного вращательного движения [см. (5.1) и (5.6)]:
Полезно сопоставить эти формулы с аналогичными зависимостями для поступательного движения.
5.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Момент силы _
Пусть к некоторой точке i твердого тела приложена сила F^, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси вращения (рис. 5.4).
Моментом силы относительно оси вращения называют векторное произведение радиуса-вектора точки i на силу:
Раскрывая его, можно записать:
где β - угол между векторами r i и F i . Так как плечо силы h i = r i sinβ (см. рис. 5.4), то
Если сила действует под некоторым углом α к плоскости вращения (рис. 5.5), то ее можно разложить на две составляющие. Одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а другая параллельна этой этой оси и не оказывает влияния на вращение тела (в реальном случае она действует лишь на подшипники). Далее будут рассматриваться только силы, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Рис. 5.4
Рис. 5.5
Работа во вращательном движении
Пусть при действии силы F i (см. рис. 5.4) тело поворачивается на достаточно малый угол dα. Найдем работу этой силы.
Известное из средней школы выражение для работы силы в данном случае следует записать так:
Итак,
элементарная работа силы во вращательном движении равна произведению момента силы на элементарный угол поворота тела.
Если на тело действует несколько сил, то элементарная работа, совершенная всеми ими, определяется аналогично (5.12):
где М - суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело.
Если при повороте тела положение радиуса-вектора изменилось от α 1 до α 2 , то работа внешних сил может быть найдена интегрированием выражения (5.13):
Момент инерции
Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от распределения ее в пространстве относительно оси. Мера инертности тела при вращении характеризуется моментом инерции тела относительно оси вращения. Укажем сначала, что
моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называют величину, равную произведению массы точки на квадрат расстояния ее от оси:
Моментом инерции тела относительно оси называют сумму моментов инерции всех материальных точек, из которых состоит тело:
В качестве примера выведем формулу момента инерции тонкого однородного стержня длиной l и массой т относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину (рис. 5.6). Выберем достаточно малый участок стержня длиной dx и массой dm, удаленный от оси 00" на расстояние х. Ввиду малости этого участка он может быть принят за материальную точку, его момент инерции [см. (5.15)] равен:
Масса элементарного участка равна произведению линейной плотности т/l, умноженной на длину элементарного участка: dm = (m/l) dx Подставив это выражение в (5.18), получим
Чтобы найти момент инерции всего стержня, проинтегрируем выражение (5.19) по всему стержню, т.е. в пределах от -1/2 до +1/2:
Приведем выражения для моментов инерции разных симметричных тел массой т:
полого однородного цилиндра (обруча) с внутренним радиусом r и внешним R относительно оси ОО", совпадающей с геометрической осью цилиндра (рис. 5.7):
сплошного однородного цилиндра (r = 0) или диска [см. (5.21)]:
однородного шара относительно оси, проходящей через его центр:
прямоугольною параллелепипеда относительно оси ОО", проходящей через его центр перпендикулярно плоскости основания (рис. 5.8):
Во всех перечисленных примерах ось вращения проходит через центр масс тела. При решении задач для определения момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс, можно воспользоваться теоремой Гюйгенса. Согласно этой теореме, момент инерции тела относительно некоторой оси OO":
где J 0 - момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела OO"; т - масса тела; d - расстояние между двумя параллельными осями (рис. 5.9). Единицей момента инерции является килограмм-метр в квадрате (кг-м 2).
Момент импульса
Моментом импульса (момент количества движения) материальной точки, вращающейся относительно некоторой оси, называется величина, равная произведению импульса точки на расстоянии ее до оси вращения:
Момент импульса тела, вращающегося относительно некоторой оси, равен сумме моментов импульсов точек, из которых состоит данное тело:
Так как угловая скорость всех точек твердого тела одинакова, выне-ся ω за знак суммы [см. (5.29)], получим:
(/ - момент инерции тела относительно оси), или в векторной форме:
Итак, момент импульса равен произведению момента инерции точки на угловую скорость. Отсюда следует, что направления векторов момента импульса и угловой скорости совпадают. Единицей момента импульса является килограмм-метр в квадрате в секунду (кг? м 2 ? с -1).
Формулу (5.31) полезно сравнить с аналогичной формулой для импульса в поступательном движении.
Кинетическая энергия вращающегося тела
При вращении тела его кинетическая энергия складывается из кинетических энергий отдельных точек тела. Для твердого тела:
Полезно сопоставить выражение (5.32) с аналогичным выражением для поступательного движения.
Продифференцировав (5.32), получим элементарное изменение кинетической энергии во вращательном движении:
Основное уравнение динамики вращательного движения
Пусть твердое тело, на которое действовали внешние силы, повернулось на достаточно малый угол da. Приравняем элементарную работу всех внешних сил при таком повороте [см. (5.13)] элементарному изменению кинетической энергии [см. (5.33)]: M dα = J ω dω , откуда:
Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения. Из (5.35) видно, что момент инерции характеризует инерционные свойства тела во вращательном движении: при действии внешних сил угловое ускорение тела тем больше, чем меньше момент инерции тела.
Основное уравнение для вращательного движения играет ту же роль, что и второй закон Ньютона для поступательного. Физические величины, входящие в это уравнение, аналогичны соответственно силе, массе и ускорению.
Из (5.34) следует, что:
Производная от момента импульса тела по времени равна равнодействующему моменту всех внешних сил.
Зависимость углового ускорения от момента силы и момента инерции можно продемонстрировать с по-
мощью прибора, изображенного на рис. 5.10. Под действием груза 1, подвешенного на нити, перекинутой через блок, крестовина ускоренно вращается. Перемещая грузики 2 на разные расстояния от оси вращения, можно изменять момент инерции крестовины. Меняя грузы, т.е. моменты сил, и момент инерции, можно убедиться, что угловое ускорение возрастает при увеличении момента силы или уменьшении момента инерции.
5.3. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
Рассмотрим частный случай вращательного движения, когда суммарный момент внешних сил равен нулю. Как видно из (5.37), dL/dt = 0 при М = 0, откуда
Это положение известно под названием закона сохранения момента импульса: если суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса этою тела остается постоянным.
Опуская доказательство, отметим, что закон сохранения момента импульса справедлив не только для абсолютно твердого тела.
Наиболее интересные применения этого закона связаны с вращением системы тел вокруг общей оси. При этом необходимо учитывать векторный характер момента импульса и угловых скоростей. Так, для системы, состоящей из N тел, вращающихся вокруг общей оси, закон сохранения момента импульса можно записать в форме:
Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие этот закон.
Гимнаст, выполняющий сальто (рис. 5.11), в начальной фазе сгибает колени и прижимает их к груди, уменьшая тем самым момент инерции и увеличивая угловую скорость вращения вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр масс. В конце прыжка тело выпрямляется, момент инерции возрастает, угловая скорость уменьшается. Фигурист, совершающий вращение вокруг вертикальной оси (рис. 5.12), в начале вращения приближает руки к корпусу, тем самым уменьшая момент инерции и увеличивая угловую скорость. В конце вращения происходит обратный процесс: при разведении рук увеличивается момент инерции и уменьшается угловая скорость, что позволяет легко остановиться.
Такое же явление может быть продемонстрировано на скамье Жуковского, которая представляет собой легкую горизонтальную платформу, вращающуюся с малым трением вокруг вертикальной оси. При изменении положения рук изменяются момент инерции и угловая скорость (рис. 5.13), момент импульса остается постоянным. Для усиления демонстрационного эффекта в руках человека гантели. На скамье Жуковского можно продемонстрировать векторный характер закона сохранения момента импульса.
Экспериментатор, стоящий на неподвижной скамье, получает от помощника велосипедное колесо, вращающееся вокруг вертикальной оси (рис. 5.14, слева). В этом случае момент импульса системы человек и платформа-колесо определяется только моментом импульса колеса:
здесь J ч - момент инерции человека и платформы; J K и ω κ - момент инерции и угловая скорость колеса. Так как момент внешних сил относительно вертикальной оси равен нулю, то L сохраняется (L = const).
Если экспериментатор повернет ось вращения колеса на 180° (рис. 5.14, справа), то момент импульса колеса будет направлен противоположно первоначальному и равен J K ω K . Так как вектор момента импульса колеса изменяется, а момент импульса системы сохраняется, то неизбежно должен измениться и момент импульса, человека и платформы, он уже не будет равен нулю 1 . Момент импульса системы в этом случае
1 Небольшим несовпадением оси колеса с осью вращения платформы можно пренебречь.
По формуле (5.42) можно приближенно оценить момент инерции тела человека вместе с платформой, для чего необходимо измерить ω κ , ω 4 и найти J k . Способ измерения угловых скоростей равномерного вращения известен читателю. Зная массу колеса и предполагая, что в основном масса распределена по ободу, по формуле (5.22) можно определить J k . Для уменьшения ошибки можно утяжелить обод велосипедного колеса, проложив по нему специальные шины. Человек должен располагаться симметрично оси вращения.
Более простой вариант рассмотренной демонстрации состоит в том, что человек, стоящий на скамье Жуковского, сам приводит во вращение колесо, которое он держит на вертикальной оси. При этом человек и платформа начинают вращаться в противоположные стороны (рис. 5.15).
5.4. ПОНЯТИЕ О СВОБОДНЫХ ОСЯХ ВРАЩЕНИЯ
Тело, вращающееся вокруг фиксированной оси, в общем случае действует на подшипники или другие устройства, которые сохраняют неизменным положение этой оси. При больших угловых скоростях и моментах инерции эти воздействия могут быть значительными. Однако в любом теле можно выбрать такие оси, направление которых при вращении будет сохраняться без каких-либо специальных устройств. Чтобы понять, какому условию должен удовлетворять выбор таких осей, рассмотрим следующий пример.
Сопоставляя (5.43) с координатами центра масс, замечаем, что силы, действующие на ось, уравновешиваются, если ось вращения проходит через центр масс.
Таким образом, если ось вращения проходит перпендикулярно стержню через центр масс, то воздействия на эту ось со стороны вращающегося тела не будет. Если при этом убрать подшипники, то ось вращения начнет перемещаться, сохраняя неизменным положение в пространстве, а тело будет продолжать вращение вокруг этой оси.
Оси вращения, которые без специального закрепления сохраняют свое направление в пространстве, называют свободными. Примерами таких осей являются оси вращения Земли и волчка, ось всякого брошенного и свободно вращающегося тела и т.п.
У тела произвольной формы всегда имеется по крайней мере три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс, которые могут быть свободными осями вращения. Эти оси называют главными осями инерции. Хотя все три главные оси инерции являются свободными, наиболее устойчивым будет вращение вокруг оси с наибольшим моментом инерции. Дело в том, что в результате неизбежного действия внешних сил, например трения, а также в связи с тем, что трудно задать вращение точно вокруг определенной оси, вращение вокруг остальных свободных осей неустойчиво.
В некоторых случаях, когда тело вращается около свободной оси с малым моментом инерции, оно само изменяет эту ось на ось с наибольшим моментом.
Это явление демонстрируют следующим опытом. К электродвигателю подвешена на нити цилиндрическая палочка, которая может вращаться вокруг своей геометрической оси (рис. 5.17, а). Момент инерции относительно этой оси J 1 = тR 2 /2. При достаточно большой угловой скорости палочка изменит свое положение (рис. 5.17, б). Момент инерции относительно новой оси равен J 2 = ml 2 /12. Если l 2 >6R 2 , то и J 2 > J 1 . Вращение вокруг новой оси будет устойчивым.
Читатель может самостоятельно на опыте убедиться, что вращение брошенной спичечной коробки устойчиво относительно оси, проходящей перпендикулярно большей грани, и неустойчиво или менее устойчиво относительно осей, проходящих перпендикулярно другим граням (см. рис. 5.8).
Вращение животных и человека в свободном полете и при различных прыжках происходит вокруг свободных осей с наибольшим или наименьшим моментом инерции. Так как положение центра масс зависит от позы тела, то при разных позах будут и различные свободные оси.
5.5. ПОНЯТИЕ О СТЕПЕНЯХ СВОБОДЫ
Положение свободной материальной точки в пространстве задается тремя независимыми координатами: х, у, z. Если точка не свободна, а перемещается, например, по некоторой поверхности, то не все три координаты будут независимыми.
Независимые переменные, характеризующие положение механической системы, называют степенями свободы.
У свободной материальной точки три степени свободы, в рассмотренном примере - две степени свободы. Так как молекулу одноатомного газа можно рассматривать как материальную точку, следовательно, такая свободная молекула тоже имеет три степени свободы.
Еще некоторые примеры.
Две материальные точки 1 и 2 жестко связаны друг с другом. Положение обеих точек задано шестью координатами x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 , на которые наложены одно ограничение и одна связь, математически выражаемая в форме уравнения:
Физически это означает, что расстояние между материальными точками всегда l. В этом случае число степеней свободы равно 5. Рассмотренный пример является моделью двухатомной молекулы.
Три материальные точки 1, 2 и 3 жестко связаны друг с. другом. Девять координат характеризуют положение такой системы: x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 , x 3 , y 3 , z 3 . Однако три связи между точками обусловливают независимость только шести координат. Система имеет шесть степеней свободы. Так как положение трех точек, не лежащих на одной прямой, однозначно определяет положение твердого тела, то и твердое тело имеет шесть степеней свободы.
Такое же число степеней свободы (шесть) имеют трехатомные и многоатомные молекулы, если эти молекулы рассматривать как жесткие образования.
1 Если для зависимой координаты из (5.44) получают мнимую величину, это означает, что выбранные независимые координаты не соответствуют каким-либо точкам, расположенным на сфере заданного радиуса.
В реальных многоатомных молекулах атомы находятся в колебательных движениях, поэтому число степеней свободы таких молекул более шести.
Число степеней свободы определяет не только число независимых переменных, характеризующих положение механической системы, но и, что очень важно, число независимых перемещений системы. Так, три степени свободы свободной материальной точки означают, что любое перемещение точки можно разложить на независимые перемещения по трем осям координат. Так как точка не имеет размеров, то говорить о ее вращении не имеет смысла. Итак, материальная точка имеет три степени свободы поступательного движения. Материальная точка на плоскости, сфере или иной поверхности имеет две степени свободы поступательного движения. Перемещение материальной точки вдоль кривой (условный пример - движение поезда по рельсам) соответствует одной степени свободы поступательного движения.
Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы вращательного движения. Колесо поезда имеет две степени свободы: одна - вращательного движения, а другая - поступательного (перемещение оси колеса вдоль рельса). Шесть степеней свободы твердого тела означают, что любое перемещение этого тела можно разложить на составляющие: перемещение центра масс раскладывается на три поступательных движения по осям координат, а вращение состоит из трех более простых поворотов относительно осей координат, проходящих через центр масс.
На рис. 5.18-5.20 показаны шарнирные соединения, соответствующие одной, двум и трем степеням свободы.
Рис. 5.18
Рис. 5.19
Рис. 5.20
5.6. ЦЕНТРИФУГИРОВАНИЕ
Центрифугированием называется процесс разделения (сепарации) неоднородных систем, например частиц от жидкостей, в которых они находятся, обусловленный их вращением.
Рассмотрим разделение неоднородных систем в поле силы тяжести. Предположим, что имеется водная суспензия частиц различной плотности. Со временем благодаря действию силы тяжести и выталкивающей силы F A происходит расслаивание частиц: частицы с большей, чем у воды, плотностью тонут, частицы с меньшей, чем у воды, плотностью всплывают. Результирующая сила, действующая, например, на более плотную отдельную частицу, равна:
где ρ 1 - плотность вещества частицы; ρ - плотность воды; V - объем частицы.
Если значения ρ 1 и ρ мало отличаются друг от друга, то сила F p мала и расслоение (осаждение) происходит достаточно медленно. В центрифуге (сепараторе) такое разделение производят принудительно, вращая разделяемую среду.
Рассмотрим физику этого явления.
Пусть рабочий объем центрифуги (рис. 5.21: а - внешний вид; б - схема рабочего объема) полностью занят какой-либо однородной жидкостью. Выделим мысленно небольшой объем V этой жидкости, находящийся на расстоянии r от оси вращения OO". При равномерном вращении центрифуги на выделенный объем кроме силы тяжести и выталкивающей силы, которые уравновешивают друг друга, действует центростремительная сила. Это сила со стороны окружающей объем жидкости. Она, естественно, направлена к оси вращения и равна:
где ρ - плотность жидкости.
Предположим теперь, что выделенный объем V - это сепарируемая частица, плотность вещества которой ρ 1 (ρ 1 Φ ρ). Сила, действующая на частицу со стороны окружающей жидкости, не изменится, как это видно из формулы (5.45).
Для того чтобы частица вращалась вместе с жидкостью, на нее должна действовать центростремительная сила, равная:
где m 1 - масса частицы, а ρ 1 - соответствующая ей плотность.
Рис. 5.21
Если F > F 1 , то частица перемещается к оси вращения. Если F < F 1 , то воздействия на частицу со стороны жидкости будет недостаточно, чтобы удержать ее на круговой траектории, и частица по инерции начнет перемещаться к периферии. Эффект сепарации определяется превышением силы F, действующей со стороны жидкости на выделенную частицу, над тем значением центростремительной силы F 1 , которое обусловливает движение по окружности:
Это выражение показывает, что эффект центрифугирования тем больше, чем больше различие плотностей сепарируемых частиц и жидкости, а также существенно зависит от угловой скорости вращения 1 .
Сравним разделение центрифугированием с разделением с помощью силы тяжести:
1 Сила тяжести и выталкивающая сила при выводе формулы (5.47) не учитываются, так как они направлены вдоль оси вращения и не оказывают принципиального влияния на центрифугирование.
Ультрацентрифуги способны разделить частицы размером менее 100 нм, взвешенные или растворенные в жидкости. Они нашли широкое применение в медико-биологических исследованиях для разделения биополимеров, вирусов и субклеточных частиц.
Быстрота сепарации особенно важна в биологических и биофизических исследованиях, так как со временем может существенно измениться состояние изучаемых объектов.
Основное уравнение динамики вращательного движения - раздел Механика, Недоказанная и неопровергнутая гипотеза называется открытой проблемой Согласно Уравнению (5.8) Второй Закон Ньютона Для Вращательного Движения...
Это выражение носит название основного уравнения динамики вращательного движения и формулируется следующим образом: изменение момента количества движения твердого тела , равно импульсу момента всех внешних сил, действующих на это тело.
Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.
Замечание: момент импульса относительно точки - это псевдовектор, а момент импульса относительно оси - скалярная величина.
Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки оно также обладает моментом импульса. Наибольшую роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения.
Момент импульса замкнутой системы сохраняется.
Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) - векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной в случае равновесия системы. В соответствии с этим, момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется со временем.
Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства.
Где применяется закон сохранения момента импульса? Кто из нас не восхищается красотой движений фигуристов на льду, их стремительными вращениями и столь же стремительными переходами к медленному скольжению, сложнейшими сальто гимнастов пли прыгунов на батуте! В основе этого удивительного мастерства лежит тот же эффект, являющийся следствием закона сохранения момента импульса. Раскинув руки в стороны и заводя свободную ногу, фигурист сообщает себе медленное вращение вокруг вертикальной оси (см.рис.1). Резко «сгруппировавшись», он уменьшает момент инерции и получает приращение угловой скорости.
Если ось вращения тела является свободной (например, если тело свободно падает), то сохранение момента импульса не означает, что в инерциальнои системе отсчета сохраняется направление угловой скорости. За редким исключением мгновенная ось вращения, как говорят, прецессирует вокруг направления момента импульса тела. Это проявляется в кувыркании тела при падении. Однако у тел существуют так называемые главные оси инерции, совпадающие с осями симметрии этих тел. Вращение вокруг них является устойчивым, векторы угловой скорости и момента импульса совпадают по направлению, и никакого кувыркания пе происходит.
Если внимательно наблюдать за работой жонглера, то можно заметить, что, подбрасывая предметы, он придает им вращение. Только в этом случае булавы, тарелки, шляпы возвращаются ему в руки в том же положении, которое им было придано. Нарезное оружие дает лучшую прицельность и большую дальность, чем гладкоствольное. Выпущенный из орудия артиллерийский снаряд вращается вокруг своей продольной оси, и поэтому его полет является устойчивым.
Рис.2. рис.3.
Так же ведет себя хорошо известный всем волчок, или гироскоп (рис.2). В механике гироскопом называют любое массивное однородное тело, вращающееся вокруг оси симметрии с большой угловой скоростью. Обычно ось вращения выбирают так, чтобы момент инерции относительно этой оси был максимальным. Тогда вращение наиболее устойчиво.
Для создания свободного гироскопа в технике используют карданов подвес (рис.3). Он представляет собой две кольцевые обоймы, которые входят одна в другую и могут вращаться относительно друг друга. Точка пересечения всех трех осей 00, О"О" и О"0" совпадает с положением центра масс гироскопа С. В таком подвесе гироскоп может вращаться вокруг любой из трех взаимно перпендикулярных осей, при этом центр масс относительно подвеса будет покоиться.
Пока гироскоп неподвижен, его без особых усилии можно повернуть вокруг любой оси. Если же гироскоп привести в быстрое вращение относительно оси 00 и после этого пытаться повернуть подвес, то ось гироскопа стремится сохранить свое направление неизменным. Причина такой устойчивости вращения связана с законом сохранения момента импульса. Так как момент внешних сил мал, то он не в состоянии заметно изменить момент импульса гироскопа. Ось вращения гироскопа, с направлением которой вектор момента импульса почти совпадает, не отклоняется далеко от своего положения, а лишь дрожит, оставаясь на месте.
Это свойство гироскопа находит широкое практическое применение. Летчику, например, необходимо всегда знать положение истинной земной вертикали по отношению к положению самолета в данный момент. Обыкновенный отвес для этой цели не годится: при ускоренном движения он отклоняется от вертикали. Применяют быстро вращающиеся гироскопы на кардановом подвесе. Если ось вращения гироскопа установить так, чтобы она совпадала с земной вертикалью, то, как бы самолет ни изменял свое положение в пространстве, ось сохранит направление вертикали. Такое устройство носит название гирогоризонта.
Если гироскоп находится во вращающейся системе, то его ось устанавливается параллельно оси вращения системы. В земных условиях это проявляется в том, что ось гироскопа в конце концов устанавливается параллельно оси вращения Земли, указывая направление север - юг. В морской навигации такой гироскопический компас является совершенно незаменимым прибором.
Подобное, на первый взгляд странное поведение гироскопа тоже находится в полном согласии с уравнением моментов и законом сохранения момента импульса.
Закон сохранения момента импульса является наряду с законами сохранения энергии и импульса одним важнейших фундаментальных законов природы и, вообще говоря, не выводится из законов Ньютона. Лишь в частном случае, когда рассматривается движение но окружностям частиц или материальных точек, совокупность которых образует твердое тело, такой подход является возможным. Как и другие законы сохранения, он, согласно теореме Нётер, связан с определенным видом симметрии.
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Недоказанная и неопровергнутая гипотеза называется открытой проблемой
Физика тесно связана с математикой математика предоставляет аппарат с помощью которого физические законы могут быть точно сформулированы.. тео рия греч рассмотрение.. стандартный метод проверки теорий прямая экспериментальная проверка эксперимент критерий истины однако часто..
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Пусть к некоторому телу, которое может вращаться около неподвижной оси О и имеет момент инерции приложена сила с плечом (рис. 62). Определим угловое ускорение приобретаемое телом под действием указанной силы.
Допустим, что за время тело поворачивается с угловой скоростью ( на угол причем точка приложения силы описывает дугу Работа, совершаемая силой за время будет равна или, иначе, Эта работа идет на увеличение кинетической энергии вращения тела, т. е.
Но при неизменности момента инерции тела
Стало быть (произведя сокращение на и введя момент силы получаем:
Мы видим, что это основное уравнение динамики вращательного движения по своему начертанию аналогично основному уравнению динамики поступательного движения
Однако, как и следовало ожидать, в уравнении (13) вместо силы фигурирует момент силы, вместо массы - момент инерции и вместо линейного ускорения - угловое ускорение.
Приняв во внимание возможность изменения момента инерции тела во время вращения, мы вместо уравнения (13) получили бы уравнение
аналогичное уравнению
В уравнение (14) входит величина Выясним ее физический смысл. При вращательном движении тела каждая его частица с массой описывает окружность некоторого радиуса имея при этом некоторую скорость (рис. 63). Произведение есть количество движения данной частицы. Произведение количества движения частицы на кратчайшее расстояние частицы от какой-либо оси, т. е. величина есть момент количества движения относительно оси. Момент количества движения относительно оси рассматривают как вектор, направленный по оси в ту сторону, куда нужно смотреть, чтобы видеть вращение происходящим по часовой стрелке.
Взяв сумму моментов количества движения всех частиц, составляющих вращающееся тело, получим момент количества движения
всего данного тела:
или, вынося за знак суммы общий для всех точек множитель со и замечая, что есть момент инерции находим:
Таким образом, момент количества движения тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции на угловую скорость.
Заметим, что момент количества движения вращающегося тела часто называют импульсом вращения.
Свободные оси. Основное уравнение динамики вращательного движения справедливо для вращения относительно любой возможной оси. Следует, однако, отметить, что в отношении характера и интенсивности взаимодействия вращающегося тела с опорами оси вращения не все оси равноценны.
Рис. 64 Врашение тела вокруг произвольной (а) и свободной (б) осей.
Рис. 65 Свободные оси палочки (а) и диска (б)
Возможны два случая: ось вращения такова, что центробежные силы инерции, развиваемые отдельными материальными точками тела, не уравновешиваются относительно этой оси (рис. 64, а); тогда тело при вращении оказывает Соковое давление на подшипники. Но может случиться, что все центробежные силы инерции уравновешиваются относительно оси вращения (рис. 64, б); такую ось называют свободной осью.
Если тело имеет ось полной симметрии, то, очевидно, эта ось симметрии и будет свободной осью.
Можно доказать, что во всяком теле существуют три взаимно перпендикулярные свободные оси.
В отношении устойчивости вращения небезразлично, какая именно из свободных осей служит осью вращения Опыт и теория показывают, что вращение около осей с наибольшим и наименьшим
моментом инерции отзывается устойчивым, а вращение около оси со средним моментом, инерции - неустойчивым. Так, если палочку подвесить за конец на нити и другой конец нити привести в быстрое вращение при помощи центробежной машины (рис. 65, а), то палочка будет вращаться в горизонтальной плоскости около вертикальной оси, перпендикулярной к длине палочки и проходящей через ее середину. Это и есть свободная ось вращения, причем момент инерции палочки при таком положении оси - максимальный.
Точно так же будет вращаться в горизонтальной плоскости тяжелое кольцо или диск (рис. 65, б).
Понятие о свободной оси вращения имеет большое значение для техники. Именно, надо заставлять вращающиеся части машины вращаться около их свободных осей, или, как говорят, надо хорошо их центрировать, иначе давление на ось, особенно при больших скоростях, может иметь вредные последствия вплоть до поломки машины.
