Сложение поступательного и вращательного движений. Винтовое движение

ВИНТОВОЕ ДВИЖЕНИЕ . Если движение неизменяемой системы (например, твердого тела) слагается из вращения около оси и поступательного движения вдоль этой оси, то такое движение тела называется винтовым движением; указанная ось называется винтовой осью, или осью вращения - скольжения. Если даны два произвольных положения движущегося в пространстве тела, то переход из положения I во II можно выполнить одним винтовым движением около определенно расположенной винтовой оси (теорема Шаля); при этом вращательное и поступательное движения могут выполняться или одновременно, или последовательно в любом порядке. Рассматривая все данное перемещение тела в пространстве как состоящее из бесконечно малых элементарных перемещений и применяя к каждому из них теорему Шаля, получаем следующее положение: всякое движение тела в пространстве представляет собой ряд бесконечно малых винтовых перемещений около мгновенных винтовых осей, в каждый момент меняющих свое положение и направление в пространстве.

Винтовые элементарные перемещения тела около каждой мгновенной оси являются движениями, эквивалентными бесконечно малым действительным перемещениям тела, и представляют их с точностью до бесконечно малых величии высших порядков. Законы винтового перемещения, эквивалентного какому-либо перемещению твердого тела, были установлены Моцци (Giulio Mozzi, 1768 г.). Сложение двух винтовых перемещений дает в результате также винтовое перемещение.

движение твердого тела, как и движение точки, может быть сложным.

Пусть тело совершает некоторое движение относительно системы координат 0x 1 y 1 z 1 , которая, в свою очередь, движется относительно неподвижных осей 0xyz .Относительным движением тела называют его движение по отношению к подвижной системе координат 0x 1 y 1 z 1 . Для выяснения переносного движения тела в каждый момент времени следует считать тело жестко скрепленным с подвижной системой отсчета, и движение, которое будет совершать тело с подвижной системой отсчета относительно неподвижной системы, и будет переносным движением. Движение тела относительно неподвижной системы координат называетсяабсолютным .

Основной задачей кинематики сложного движения твердого тела является установление соотношений между кинематическими характеристиками абсолютного, относительного и переносного движений. Сложное движение твердого тела может состоять из поступательных и вращательных движений или может быть получено в результате сложения поступательного и вращательного движений. В некоторых задачах кинематики заданное сложное движение твердого тела раскладывают на составляющие движения (анализ); в других - требуется определить сложное движение как результат сложения более простых (синтез). Как при анализе, так и при синтезе движений речь идет о разложении и сложении движений, рассматриваемых в данный момент (мгновенных движений).

Сложение поступательных движений твердого тела

Пусть твердое тело одновременно участвует в двух мгновенно поступательных движениях, из которых одно является поступательным со скоростью v 1 , второе - переносным со скоростью v 2 (рис 2.73). Выделим какую-либо точку М тела. Найдем абсолютную скорость точки М

v a = v r + v e = v 1 + v 2 . (2.113)

Так как и относительное, и переносное движение твердого тела являются мгновенно поступательными, то относительные, переносные и, следовательно, согласно формуле (2.113), абсолютные скорости всех точек тела будут равны между собой в каждый момент времени (равны по величине и параллельны по направлению), т.е. абсолютное движение тела также является мгновенно поступательным.

Очевидно, что данный вывод применим к сложному движению твердого тела, состоящему из трех и более мгновенно поступательных движений, тогда в общем случае

Итак, в результате сложения мгновенных поступательных движений твердого тела результирующее движение получается мгновенно поступательным.

Замечание . Мгновенно поступательное движение твердого тела отличается от поступательного тем, что при поступательном движении в каждый момент времени равны между собой скорости и ускорения всех точек тела, а при мгновенно поступательном движении в данный момент времени равны между собой только скорости всех точек тела.

66, 67 Сложение вращений вокруг параллельных осей

Рассмотрим случай, когда относительное движение тела является вращением

с угловой скоростью вокруг оси , закрепленной на кривошипе (рис.1а), а переносное – вращением кривошипа вокруг оси , параллельной , с угловой скоростью . Тогда движение тела будет плоскопараллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной к осям.

Примем, что вращения направлены в одну сторону. Изобразим сечение тела плоскостью, перпендикулярной осям (рис. 1 б). Следы осей в сечении обозначим буквами и . Тогда и . При этом векторы и параллельны друг другу, перпендикулярны и направлены в разные стороны. Тогда точка является мгновенным центром скоростей , а следовательно, ось , параллельная осям и , является мгновенной осью вращения. Для определения угловой скорости абсолютного вращения тела вокруг оси и положения самой оси, т.е. точки , воспользуемся свойством мгновенного центра скоростей

.

Подставив в эти равенства значения и , окончательно получим

Итак, при сложении двух направленных в одну сторону вращений вокруг параллельных осей результирующее движение тела будет мгновенным вращением с абсолютной скоростью вокруг мгновенной оси, параллельной данным, положение которой определяется пропорциями (2).

С течением времени мгновенная ось вращения меняет свое положение, описывая цилиндрическую поверхность.

Рассмотрим теперь случай, когда вращения направлены в разные стороны (рис.2).

Допустим, что . Тогда, рассуждая, как в предыдущем случае, для угловой скорости абсолютного движения тела вокруг оси и положения самой оси, получим

Таким образом, при сложении двух направленных в разные стороны вращений вокруг параллельных осей, результирующее движение тела будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг мгновенной оси, положение которой определяется пропорциями (4).

Заметим, что в этом случае точка делит расстояние между параллельными осями внешним образом.

Рассмотрим частный случай, когда вращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны, но по модулю (рис.3).

Такая совокупность вращений называется парой вращений, а векторы и образуют пару угловых скоростей. В этом случае получим и , то есть = . Тогда мгновенный центр скоростей находится в бесконечности и все точки тела в данный момент времени имеют одинаковые скорости .

Следовательно, результирующее движение тела будет поступательным (или мгновенно поступательным) движением со скоростью, численно равной и направленной перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы и . Таким образом, пара вращений эквивалентна мгновенно поступательному движению со скоростью , равной моменту пары угловых скоростей этих вращений.

Примером пары угловых скоростей является движение велосипедной педали относительно рамы велосипеда (рис.4).

Это движение представляет собой совокупность переносного вращения вместе с кривошипом вокруг оси и относительного вращения педали по отношению к кривошипу вокруг оси . Педаль за все время движения остается параллельной своему первоначальному положению, т.е. совершает поступательное движение.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Кривошип вращается вокруг оси по часовой стрелке с угловой скоростью , а диск радиуса вращается вокруг оси по часовой стрелке с той же угловой скоростью относительно кривошипа. Найти величину и направление абсолютных скоростей точек и (рис.5).

Решение. Так как угловые скорости переносного и относительного вращений равны по модулю и направлены в одну сторону, то мгновенный центр вращений диска лежит посредине между и , т.е. . Модуль абсолютной угловой скорости вращения диска вокруг точки равен . Отсюда находим:

, ,

, .

Пример 2. Кривошип вращается вокруг оси с угловой скоростью . На палец кривошипа свободно насажена шестерня радиуса , сцепленная с неподвижным зубчатым колесом радиуса . Найти абсолютную угловую скорость шестерни и ее угловую скорость относительно кривошипа (рис.6).

Решение. Так как шестерня сцеплена с неподвижным колесом, то абсолютная скорость точки зацепления шестерни с этим колесом равна нулю, т.е. точка является для шестерни мгновенным центром вращения. Отсюда или ,

Заметим, что направление вращения шестерни совпадает с направлением вращения кривошипа.

Тогда абсолютную угловую скорость шестерни находим из равенства

Рассмотрим сложное движение твердого тела, слагающееся из поступательного и вращательного движений. Соответствующий пример показан на рис. 207. Здесь относительным движением тела 1 является вращение с угловой скоростью со вокруг оси укрепленной на платформе 2, а переносным - поступательное движение платформы со скоростью v. Одновременно в двух таких движениях участвует и колесо 3, для которого относительным движением является вращение вокруг его оси, а переносным - движение той же платформы. В зависимости от значения угла а между векторами и v (для колеса этот угол равен 90°) здесь возможны три случая.

1. Скорость поступательного движения перпендикулярна оси вращения Пусть сложное движение тела слагается из вращательного движения вокруг оси с угловой скоростью со и поступательного движения со скоростью v, перпендикулярной (рис. 208).

Легко видеть, что это движение представляет собой (по отношению к плоскости П, перпендикулярной оси ) плоскопараллельное движение, подробно изученное в гл. XI. Если считать точку А полюсом, то рассматриваемое движение, как и всякое плоскопараллельное, будет действительно слагаться из поступательного со скоростью т. е. со скоростью полюса, и из вращательного вокруг оси проходящей через полюс.

Вектор v можно заменить парой угловых скоростей (см. § 69), беря . При этом расстояние АР определится из равенства откуда (учитывая, что )

Векторы дают при сложении нуль, и мы получаем, что движение тела в этом случае можно рассматривать как мгновенное вращение вокруг оси с угловой скоростью . Этот результат был раньше получен другим путем (см. § 56). Сравнивая равенства (55) и (107), видим, что точка Р для сечения S тела является мгновенным центром скоростей Здесь еще раз убеждаемся, что поворот тела вокруг осей происходит с одной и той же угловой скоростью , т. е. что вращательная часть движения не зависит от выбора полюса (см. § 52).

2. Винтовое движение (). Если сложное движение тела слагается из вращательного вокруг оси с угловой скоростью со и поступательного со скоростью v, направленной параллельно оси (рис. 209), то такое движение тела называется винтовым. Ось называют осью винта.

Когда векторы направлены в одну сторону, то при принятом нами правиле изображения о винт будет правым; если в разные стороны, - левым.

Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величины и и со постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обозначая время одного оборота через Т, получаем в этом случае , откуда

При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М, находящейся от оси винта на расстоянии , слагается из поступательной скорости v и перпендикулярной ей скорости, получаемой во вращательном движении, которая численно равна Следовательно,

Направлена скорость по касательной к винтовой линии. Если цилиндрическую поверхность, по которой движется точка М, разрезать вдоль образующей и развернуть, то винтовые линии обратятся в прямые, наклоненные к основанию цилиндра под углом

3. Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения. Сложное движение, совершаемое телом в этом случае (рис. 210, а), представляет собой движение, рассмотренное в § 63 (общий случай движения свободного твердого тела).

Разложим вектор v (рис. 210, б) на составляющие: направленную вдоль со перпендикулярную Скорость можно заменить парой угловых скоростей (как на рис. 208), после чего векторы можно отбросить. Расстояние АС найдем по формуле (107).

Винтовое движение

Винтово"е движе"ние, движение твёрдого тела, слагающееся из прямолинейного поступательного движения со скоростью v и вращательного движения с угловой скоростью w вокруг оси aa 1 , параллельной направлению скорости v (см. рис. ). Когда направление оси aa 1 остаётся неизменным, тело, совершающее В. д., в механике называется винтом, а ось aa 1 - осью винта. Винт называется правым, когда v и w направлены так, как показано на рис., и левым, если направление v или w изменить на прямо противоположное. Расстояние, проходимое за один оборот любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта, а величина р = v/ w - параметром винта.

Скорость v м и ускорение w м любой точки М винта, отстоящей от оси на расстоянии r , численно равны

где w - ускорение поступательного движения тела вдоль оси aa 1 , e - угловое ускорение вращения вокруг этой оси.

Если параметр р постоянен, шаг винта h = 2pv /w = 2pр также постоянен. Любая точка винта, не лежащая на его оси, описывает в этом случае винтовую линию, касательная к которой в каждой точке образует с плоскостью, перпендикулярной оси винта, угол

a = arctg h /2pr .

Любое сложное движение твёрдого тела слагается в общем случае из серии элементарных или мгновенных В. д. При этом ось В. д., называемая мгновенной винтовой осью, непрерывно изменяет своё направление в пространстве и в самом движущемся теле.

Рассмотрим сложное движение твердого тела, слагающееся из поступательного и вращательного движений. Соответствующий пример показан на рис. 78. Здесь относительным движением тела 1 является вращение с угловой скоростью вокруг оси Аа ,укреп­ленной на платформе 2, а переносным – поступательное движение платформы со скоростью . Одновременно в двух таких движениях участвует и колесо 3, для которого относительным движением яв­ляется вращение вокруг его оси, а переносным – движение той же платформы. В зависимости от значения угла α между векторами и (для колеса этот угол равен 90°) здесь возможны три случая.

1. Скорость поступательного движения перпендикулярна оси вращения ( ). Пусть сложное движение тела слагается из вращательного движения во­круг оси Аа с угловой скоростью ω и поступательного движения со скоростью , перпендикулярной (рис. 79). Очевидно, что это движение представляет собой (по отношению к плоскости П , пер­пендикулярной оси Аа )плоскопараллельное движение.

Если считать точку А полюсом, то рассматри­ваемое движение, как и всякое плоскопараллельное будет действительно слагаться из поступательного со скоростью , т. е. со скоростью полюса, и из вращательного вокруг оси Аа , проходя­щей через полюс.

Вектор , согласно разделу 6.2, можно заменить парой угловых скоростей и , принимая , а . При этом расстояние АР опре­делится из равенства , откуда .

Векторы и дают при сложении ноль и, следовательно, движение тела в этом случае можно рассматривать как мгновенное вращение вокруг оси Рр с угловой скоростью . Таким образом, поворот тела вокруг осей Аа и Рр происходит с одной и той же угло­вой скоростью , т. е. вращательная часть движения не зависит от выбора полюса.

2. Винтовое движение ( ). Если сложное движение тела слагается из вращательного вокруг оси Аа с угловой скоро­стью и поступательного со скоростью , направленной параллель­но оси Аа (рис. 80), то такое движение тела называется винтовым. Ось Аа называют осью винта. Когда векторы и направлены в одну сторону, то при принятом нами правиле изображения винт будет правым ; если в разные стороны – левым. Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величины и постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обозначая время одного оборота через Т , получаем в этом случае и , откуда .

При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М , находящей­ся от оси винта на расстоянии r ,слагается из поступательной ско­рости и перпендикулярной ей скорости, получаемой во враща­тельном движении, которая численно равна ωr. Следовательно .

Направлена скорость по касательной к винтовой линии. Если цилиндрическую поверхность, по которой движется точка М, разрезать вдоль образующей и развернуть, то винтовые линии обратятся в прямые, наклоненные к основанию цилиндра под углом , где .

3. Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения. Сложное движение, совершаемое телом в этом случае (рис. 81, а), можно рассматривать, как общий случай движения свободного твердого тела.

Разложим вектор (рис. 81, б) на составляющие: , направ­ленную вдоль (), и , перпендикулярную (). Скорость можно заменить парой угловых скоростей и , после чего векторы и можно отбросить. Расстояние АС найдем по формуле .

Тогда у тела остается вращение с угловой скоростью и поступательное движение со скоростью . Следовательно, распределение скоростей точек тела в данный момент времени будет таким же, как при винтовом движении вокруг оси Сс с угловой скоростью и поступательной скоростью .

Выполнив преобразования (рис. 81, б), мы перешли от полюса А к полюсу С . Результат подтверждает, что в общем случае движения твердого тела угловая скорость при перемене полюса не изменяется (), а меняется только поступательная скорость ().

Так как при движении свободного твердого тела величины , α будут все время изменяться, то будет непрерывно меняться и положение оси Сс , которую поэтому называют мгновенной винтовой осью. Таким образом, движение свободного твердого тела можно еще рассматривать как слагающееся из серии мгновенных винтовых движений вокруг непрерывно изменяющихся винтовых осей .

Заключение

Роль и место теоретической механики в инженерном образовании определяется тем, что она является научной базой очень многих областей современной техники. Усвоение теоретической механики усложняется тем, что в этой науке существенную роль играет моделирование и математическое представление исследуемых явлений природы. Поэтому при решении инженерных задач студенты зачастую испытывают значительные трудности. Проблему формирования у студентов исследовательского подхода к поставленным задачам (из раздела «Кинематика» курса теоретической механики) позволяет решить предлагаемое учебное пособие. В пособии доступно освещены основные темы раздела «Кинематика» с приведением всех необходимых доказательств. Даны методические рекомендации к решению задач и приведены примеры их решения. Освоению и закреплению изложенного материала помогут задания для самостоятельной работы, приведенные в конце глав пособия.