Statystyczna i klasyczna definicja prawdopodobieństwa, właściwość prawdopodobieństwa. Statystyczna definicja prawdopodobieństwa

Podstawowe koncepcje. Twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu.

Wzory na prawdopodobieństwo całkowite, Bayes, Bernoulli. Twierdzenia Laplace'a.

pytania

1. Przedmiot teorii prawdopodobieństwa.
2. Rodzaje wydarzeń.
3. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
4. Statystyczna definicja prawdopodobieństwa.
5. Geometryczna definicja prawdopodobieństwa.
6. Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych.
7. Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych.
8. Warunkowe prawdopodobieństwo.
9. Mnożenie zdarzeń zależnych.
10. Dodanie wspólnych wydarzeń.
11. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite.
12. Formuła Bayesa.

13. Dwumianowe, wielomianowe prawo rozkładu.

1. Przedmiot teorii prawdopodobieństwa. Podstawowe koncepcje.

Zdarzeniem w teorii prawdopodobieństwa jest każdy fakt, który może wystąpić w wyniku pewnego doświadczenia (testu).

Na przykład: Strzelec strzela do celu. Strzał to sprawdzian, trafienie w cel to wydarzenie. Wydarzenia są zwykle wyznaczane

Pojedyncze zdarzenie losowe jest następstwem wielu przyczyn losowych, których bardzo często nie można uwzględnić. Jeśli jednak weźmiemy pod uwagę zdarzenia masowe jednorodne (zaobserwowane wielokrotnie podczas eksperymentu w tych samych warunkach), to okazuje się, że podlegają one pewnym wzorcom: jeśli rzucisz monetą w tych samych warunkach dużą liczbę razy, możesz przewidzieć z małym błędem, że liczba wystąpień herbu będzie równa połowie liczby rzutów.

Przedmiotem teorii prawdopodobieństwa jest badanie probabilistycznych wzorców masowych jednorodnych zdarzeń losowych. Metody teorii prawdopodobieństwa są szeroko stosowane w teoriach niezawodności, strzelania, automatycznego sterowania itp. Teoria prawdopodobieństwa stanowi podstawę statystyki matematycznej i stosowanej, która z kolei wykorzystywana jest w planowaniu i organizacji produkcji, w analizie procesów technologicznych itp.

Definicje.

1. Jeżeli w wyniku przeżycia doszło do zdarzenia

a) zawsze będzie się zdarzać, to jest to zdarzenie wiarygodne,

b) nigdy zatem nie nastąpi – zdarzenie niemożliwe,

c) może się zdarzyć, może się nie wydarzyć, wtedy jest to zdarzenie losowe (możliwe).

2. Zdarzenia nazywamy równie prawdopodobnymi, jeśli istnieją podstawy, aby sądzić, że żadne z tych zdarzeń nie ma większej szansy zajścia w wyniku doświadczenia niż inne.

3. Zdarzenia i są wspólne (niezłączne), jeżeli zajście jednego z nich nie wyklucza (wyklucza) zaistnienia drugiego.

4. Grupa zdarzeń jest zgodna, jeżeli co najmniej dwa zdarzenia z tej grupy są kompatybilne, w przeciwnym razie jest ona niezgodna.

5. Zbiór zdarzeń nazywamy zakończonym, jeśli jedno z nich na pewno nastąpi w wyniku przeżycia.

Przykład 1. Do tarczy oddawane są trzy strzały: Let - trafienie (chybienie) przy pierwszym strzale - przy drugim strzale - przy trzecim strzale. Następnie

a) - wspólna grupa równie możliwych zdarzeń.

b) - kompletna grupa zdarzeń niezgodnych. - wydarzenie odwrotne.

c) - kompletna grupa zdarzeń.

Prawdopodobieństwo klasyczne i statystyczne

Klasyczną metodę wyznaczania prawdopodobieństwa stosuje się dla pełnej grupy równie możliwych, niezgodnych zdarzeń.

Każde zdarzenie w tej grupie będzie nazywane przypadkiem lub wynikiem elementarnym. Ze względu na każde zdarzenie sprawy dzielimy na korzystne i niekorzystne.

Definicja 2. Prawdopodobieństwo zdarzenia to ilość

gdzie jest liczbą przypadków sprzyjających zaistnieniu zdarzenia, jest całkowitą liczbą równie możliwych przypadków w danym eksperymencie.

Przykład 2. Rzucamy dwiema kostkami. Niech w zdarzeniu suma utraconych punktów będzie równa . Znajdować .

a) Zła decyzja. Istnieją tylko 2 możliwe przypadki: i - pełna grupa niezgodnych zdarzeń. Tylko jeden przypadek jest korzystny, tj.

Jest to błąd, ponieważ nie są one jednakowo możliwe.

b) Łącznie jednakowo możliwe przypadki. Korzystne przypadki: wypadanie

Słabości klasycznej definicji to:

1. - liczba przypadków jest skończona.

2. Bardzo często wyniku eksperymentu nie da się przedstawić w postaci zbioru elementarnych zdarzeń (przypadków).

3. Trudno wskazać przesłanki uznawania przypadków za jednakowo możliwe.

Przeprowadźmy serię testów.

Definicja 3. Względna częstotliwość zdarzenia to ilość

gdzie jest liczbą prób, w których wystąpiły zdarzenia, a jest całkowitą liczbą prób.

Długoterminowe obserwacje wykazały, że w różnych eksperymentach na wystarczająco dużych

Zmienia się niewiele, oscylując wokół pewnej stałej liczby, którą nazywamy prawdopodobieństwem statystycznym.

Prawdopodobieństwo ma następujące właściwości:

Algebra zdarzeń

7.3.1 Definicje.

8. Sumą lub sumą kilku zdarzeń jest zdarzenie składające się z co najmniej jednego z nich.

9. Skutkiem kilku zdarzeń jest zdarzenie polegające na łącznym wystąpieniu wszystkich tych zdarzeń.

Z przykładu 1. - co najmniej jedno trafienie trzema strzałami, - trafienie pierwszym i drugim strzałem oraz chybienie trzecim.

Dokładnie jedno trafienie.

Co najmniej dwa trafienia.

10. Dwa zdarzenia nazywamy niezależnymi (zależnymi), jeśli prawdopodobieństwo jednego z nich nie zależy (zależy) od wystąpienia lub niezaistnienia drugiego.

11. Kilka zdarzeń nazywa się zbiorowo niezależnymi, jeśli każde z nich i dowolna kombinacja liniowa pozostałych zdarzeń są zdarzeniami niezależnymi.

12. Prawdopodobieństwo warunkowe to prawdopodobieństwo zdarzenia obliczone przy założeniu, że zdarzenie miało miejsce.

7.3.2 Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia (wytworzenia) kilku zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa jednego z nich przez prawdopodobieństwa warunkowe pozostałych zdarzeń, obliczone przy założeniu, że miały miejsce wszystkie poprzednie zdarzenia

Wniosek 1. Jeśli - są wspólnie niezależne, to

Rzeczywiście: od .

Przykład 3. W urnie jest 5 kul białych, 4 czarne i 3 niebieskie. Każdy test polega na losowaniu jednej kuli z urny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszej próbie pojawi się kula biała, w drugiej – czarna, a w trzeciej – niebieska, jeżeli

a) za każdym razem, gdy kula wraca do urny.

- w urnie po pierwszym badaniu kulek 4 są białe. . Stąd

b) kula nie wraca do urny. Następnie - niezależnie w sumie i

7.3.3 Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo zajścia przynajmniej jednego ze zdarzeń jest równe

Konsekwencja 2. Jeśli zdarzenia są niezgodne parami, to

Rzeczywiście w tym przypadku

Przykład 4. Do jednego celu oddawane są trzy strzały. Prawdopodobieństwo trafienia przy pierwszym strzale jest, przy drugim, przy trzecim. Znajdź prawdopodobieństwo co najmniej jednego trafienia.

Rozwiązanie. Niech będzie trafienie przy pierwszym strzale, przy drugim, przy trzecim i przynajmniej jedno trafienie przy trzech strzałach. Następnie , gdzie znajdują się wspólne niezależne w agregacie. Następnie

Konsekwencja 3. Jeśli zdarzenia niezgodne parami tworzą kompletną grupę, to

Konsekwencja 4. Dla przeciwnych wydarzeń

Czasami przy rozwiązywaniu problemów łatwiej jest znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia odwrotnego zdarzenia. Na przykład w przykładzie 4 - chybienie trzema strzałami. Ponieważ niezależne łącznie, a następnie

Losowość wystąpienia zdarzeń wiąże się z niemożnością przewidzenia z góry wyniku konkretnego testu. Jeśli jednak weźmiemy pod uwagę np. test: wielokrotny rzut monetą, ω 1, ω 2, ..., ω n, to okaże się, że w przybliżeniu w połowie wyników ( N / 2) odkryto pewien wzór odpowiadający pojęciu prawdopodobieństwa.

Pod prawdopodobieństwo wydarzenia A rozumiana jest jako pewna liczbowa charakterystyka możliwości wystąpienia zdarzenia A. Oznaczmy tę charakterystykę liczbową R(A). Istnieje kilka podejść do określania prawdopodobieństwa. Najważniejsze są statystyczne, klasyczne i geometryczne.

Niech się wyprodukuje N testy i zarazem jakieś wydarzenie A dotarło N razy. Numer N Nazywa się A częstotliwość bezwzględna(lub po prostu częstotliwość) zdarzenia A, a relacja nazywa się względna częstotliwość występowania zdarzenia A. Względna częstotliwość dowolnego zdarzenia charakteryzuje się następującymi właściwościami:

Podstawą zastosowania metod teorii prawdopodobieństwa do badania procesów rzeczywistych jest obiektywne istnienie zdarzeń losowych, które mają właściwość stabilności częstotliwości. Wiele prób badanego zdarzenia A pokaż to ogólnie N częstotliwość względna ( A) pozostaje w przybliżeniu stała.

Statystyczna definicja prawdopodobieństwa polega na tym, że prawdopodobieństwo zdarzenia A przyjmuje się jako stałą wartość p(A), wokół której oscylują wartości częstotliwości względnych (A) z nieograniczonym wzrostem liczby testówN.

Notatka 1. Należy zauważyć, że granice zmiany prawdopodobieństwa zdarzenia losowego od zera do jednego zostały wybrane przez B. Pascala dla wygody jego obliczania i stosowania. W korespondencji z P. Fermatem Pascal wskazał, że jako wskazany przedział można wybrać dowolny przedział, na przykład od zera do stu i innych przedziałów. W przypadku problemów przedstawionych poniżej w tym podręczniku prawdopodobieństwa są czasami wyrażane w procentach, tj. od zera do stu. W takim przypadku podane w zadaniach procenty należy przeliczyć na udziały, tj. podzielić przez 100.

Przykład 1. Przeprowadzono 10 serii rzutów monetą, każdy po 1000 rzutów. Ogrom ( A) w każdym szeregu wynosi 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Częstotliwości te są zgrupowane wokół R(A) = 0,5.

Ten przykład potwierdza, że ​​częstotliwość względna ( A) jest w przybliżeniu równe R(A), tj.

Pojęcie prawdopodobieństwa zdarzenia nawiązuje do podstawowych pojęć teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo jest ilościową miarą możliwości wystąpienia zdarzenia losowego A. Jest oznaczane przez P(A) i ma następujące właściwości.

Prawdopodobieństwo to liczba dodatnia z zakresu od zera do jeden:

Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero

Prawdopodobieństwo wiarygodnego zdarzenia jest równe jeden

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Niech = (1, 2,…, n) będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych, która opisuje wszystkie możliwe wyniki elementarne i tworzy kompletną grupę zdarzeń niezgodnych i równie możliwych. Niech zdarzenie A odpowiada podzbiorowi m wyników elementarnych

wyniki te nazywane są korzystnymi dla zdarzenia A. W klasycznej definicji prawdopodobieństwa uważa się, że prawdopodobieństwo dowolnego elementarnego wyniku

a prawdopodobieństwo zdarzenia A preferowanego przez m wyników jest równe

Stąd definicja:

Prawdopodobieństwo zdarzenia A to stosunek liczby wyników sprzyjających temu zdarzeniu do całkowitej liczby wszystkich równie możliwych, niezgodnych wyników elementarnych, które tworzą pełną grupę. Prawdopodobieństwo jest określone wzorem

gdzie m jest liczbą elementarnych wyników sprzyjających zdarzeniu A i jest liczbą wszystkich możliwych elementarnych wyników testu.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa umożliwia w przypadku niektórych problemów analityczne obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia.

Niech zostanie przeprowadzony eksperyment, w wyniku którego mogą nastąpić określone zdarzenia. Jeśli te zdarzenia tworzą kompletną grupę parami niezgodnych i równie możliwych zdarzeń, wówczas mówi się, że doświadczenie ma symetrię możliwych wyników i sprowadza się do „schematu przypadków”. W przypadku eksperymentów zredukowanych do schematu przypadku stosuje się klasyczny wzór na prawdopodobieństwo.

Przykład 1.13. W loterii losowanych jest 1000 losów, w tym 5 zwycięskich. Określ prawdopodobieństwo, że kupując jeden los na loterię otrzymasz wygraną

Podstawowym wydarzeniem tego przeżycia jest zakup biletu. Każdy los na loterię jest unikalny, ponieważ ma swój własny numer, a zakupiony los nie podlega zwrotowi. Zdarzenie A polega na zakupie zwycięskiego losu. Kupując jeden z 1000 biletów, wszystkie możliwe wyniki tego doświadczenia wyniosą = 1000, a wyniki utworzą kompletną grupę niekompatybilnych wydarzeń. Liczba wyników sprzyjających zdarzeniu A będzie równa =5. Wtedy prawdopodobieństwo wygranej kupując jeden los jest równe

P(A) = = 0,005

Aby bezpośrednio obliczyć prawdopodobieństwa, wygodnie jest użyć wzorów kombinatoryki. Zademonstrujmy to na przykładzie problemu kontroli próbkowania.

Przykład 1.14 Niech będzie partia produktów, z których część jest wadliwa. Do kontroli wybierana jest część produktów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wybranych produktów znajdą się dokładnie te wadliwe?

Elementarnym wydarzeniem w tym eksperymencie jest wybór podzbioru elementarnego z pierwotnego zbioru elementarnego. Wybór dowolnej części produktów z partii produktów można uznać za zdarzenia równie możliwe, więc to doświadczenie sprowadza się do schematu przypadków. Aby obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A = (wśród produktów wadliwych, jeżeli zostały one wybrane z partii produktów wadliwych), można zastosować klasyczny wzór na prawdopodobieństwo. Liczba wszystkich możliwych wyników eksperymentu to liczba sposobów wyboru produktów z partii, równa liczbie kombinacji elementów przez: . Zdarzenie sprzyjające zdarzeniu A składa się z iloczynu dwóch zdarzeń elementarnych: (z wadliwych produktów _ wybiera się (z _ standardowych produktów _ wybiera się). Liczba takich zdarzeń, zgodnie z zasadą mnożenia kombinatoryki, będzie wynosić

Następnie pożądane prawdopodobieństwo

Na przykład niech =100, =10, =10, =1. Wówczas prawdopodobieństwo, że wśród wybranych 10 produktów znajdzie się dokładnie jeden produkt wadliwy, jest równe

Statystyczna definicja prawdopodobieństwa. Aby zastosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa w warunkach danego eksperymentu, konieczne jest, aby eksperyment odpowiadał schematowi przypadków, a dla większości rzeczywistych problemów wymagania te są praktycznie niemożliwe do spełnienia. Jednak prawdopodobieństwo zdarzenia jest obiektywną rzeczywistością, która istnieje niezależnie od tego, czy klasyczna definicja ma zastosowanie, czy nie. Istnieje potrzeba innej definicji prawdopodobieństwa, mającej zastosowanie, gdy doświadczenie nie odpowiada wzorowi przypadków.

Niech eksperyment będzie polegał na przeprowadzeniu serii testów powtarzających ten sam eksperyment i niech zdarzenie A wystąpi raz w serii eksperymentów. Względna częstotliwość zdarzenia W(A) to stosunek liczby eksperymentów, w których wystąpiło zdarzenie A, do liczby wszystkich przeprowadzonych eksperymentów

Eksperymentalnie udowodniono, że częstotliwość ma właściwość stabilności: jeśli liczba eksperymentów w serii jest wystarczająco duża, wówczas względne częstotliwości zdarzenia A w różnych seriach tego samego eksperymentu niewiele się od siebie różnią.

Statystyczne prawdopodobieństwo zdarzenia to liczba, do której zmierzają względne częstotliwości, jeśli liczba eksperymentów rośnie bez ograniczeń.

W przeciwieństwie do prawdopodobieństwa klasycznego apriorycznego (obliczonego przed eksperymentem), prawdopodobieństwo statystyczne jest a posteriori (otrzymane po eksperymencie).

Przykład 1.15 Obserwacje meteorologiczne na przestrzeni 10 lat na pewnym obszarze wykazały, że liczba dni deszczowych w lipcu w różnych latach wynosiła: 2; 4; 3; 2; 4; 3; 2; 3; 5; 3. Określ prawdopodobieństwo, że dowolny dzień lipca będzie deszczowy

Zdarzenie A polega na tym, że pewnego dnia w lipcu, na przykład 10 lipca, będzie padał deszcz. Podane statystyki nie zawierają informacji o tym, w które konkretnie dni w lipcu padało, można więc założyć, że wszystkie dni są jednakowo możliwe w przypadku tego wydarzenia. Niech jeden rok będzie jedną serią testów trwającą 31 dni. W sumie jest 10 serii. Względne częstotliwości serii to:

Częstotliwości są różne, ale obserwuje się, że grupują się wokół liczby 0,1. Liczbę tę można przyjąć jako prawdopodobieństwo zdarzenia A. Jeśli wszystkie dni lipca przez dziesięć lat potraktujemy jako jedną serię testów, to statystyczne prawdopodobieństwo zdarzenia A będzie równe

Geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Ta definicja prawdopodobieństwa uogólnia klasyczną definicję na przypadek, gdy przestrzeń elementarnych wyników obejmuje nieprzeliczony zbiór zdarzeń elementarnych, a wystąpienie każdego ze zdarzeń jest jednakowo możliwe. Prawdopodobieństwo geometryczne zdarzenia A jest stosunkiem miary (A) obszaru sprzyjającego zaistnieniu zdarzenia do miary () całego obszaru

Jeżeli pola reprezentują a) długości odcinków, b) pola figur, c) objętości figur przestrzennych, to prawdopodobieństwa geometryczne są odpowiednio równe

Przykład 1.16. Reklamy wywieszane są w odstępach co 10 metrów wzdłuż ciągu handlowego. Niektórzy klienci mają szerokość widzenia 3 metry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie zauważy reklamy, jeśli porusza się prostopadle do rzędu zakupów, a może go przekroczyć w dowolnym miejscu?

Odcinek ciągu zakupowego znajdujący się pomiędzy dwiema reklamami można przedstawić jako prosty odcinek AB (ryc. 1.6). Następnie, aby kupujący zauważył reklamy, musi przejść przez proste odcinki AC lub DV równe 3 m. Jeśli przekroczy ciąg zakupowy w jednym z punktów odcinka SD o długości 4 m, to nie zauważy reklamy. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia będzie

Teoria prawdopodobieństwa – nauka matematyczna badająca wzorce zjawisk losowych. Zjawiska losowe są rozumiane jako zjawiska o niepewnym wyniku, które występują, gdy pewien zestaw warunków jest wielokrotnie odtwarzany.

Na przykład rzucając monetą nie można przewidzieć, po której stronie wyląduje. Wynik rzutu monetą jest losowy. Ale przy wystarczająco dużej liczbie rzutów monetą istnieje pewien wzór (herb i znak skrótu wypadną mniej więcej tyle samo razy).

Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa

Test (doświadczenie, eksperyment) - wdrożenie określonego zestawu warunków, w których obserwuje się to lub inne zjawisko i rejestruje ten lub inny wynik.

Na przykład: rzut kostką i zdobycie określonej liczby punktów; różnica temperatur powietrza; sposób leczenia choroby; jakiś okres życia człowieka.

Zdarzenie losowe (lub po prostu wydarzenie) – wynik testu.

Przykłady zdarzeń losowych:

zdobycie jednego punktu podczas rzucania kostką;

zaostrzenie choroby niedokrwiennej serca z gwałtownym wzrostem temperatury powietrza w lecie;

rozwój powikłań choroby z powodu złego wyboru metody leczenia;

przyjęcie na uniwersytet po pomyślnych studiach w szkole.

Wydarzenia oznaczane są wielkimi literami alfabetu łacińskiego: A , B , C , …

Wydarzenie nazywa się niezawodny , jeżeli w wyniku badania musi to koniecznie nastąpić.

Wydarzenie nazywa się niemożliwe , jeżeli w wyniku badania w ogóle nie może nastąpić.

Przykładowo, jeśli wszystkie produkty w partii są standardowe, to wydobycie z niej produktu standardowego jest zdarzeniem pewnym, natomiast wydobycie produktu wadliwego na tych samych warunkach jest zdarzeniem niemożliwym.

KLASYCZNA DEFINICJA PRAWIDŁOWOŚCI

Prawdopodobieństwo jest jednym z podstawowych pojęć teorii prawdopodobieństwa.

Klasyczne prawdopodobieństwo zdarzenia nazywa się stosunkiem liczby przypadków sprzyjających zdarzeniu , do łącznej liczby przypadków, tj.

, (5.1)

Gdzie
- prawdopodobieństwo zdarzenia ,

- liczba przypadków sprzyjających zdarzeniu ,

- łączna liczba przypadków.

Własności prawdopodobieństwa zdarzenia

Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia mieści się w przedziale od zera do jednego, tj.

Prawdopodobieństwo wystąpienia wiarygodnego zdarzenia jest równe jedności, tj.

.

Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero, tj.

.

(Zaproponuj ustne rozwiązanie kilku prostych problemów).

STATYSTYCZNE OKREŚLANIE PRAWIDŁOWOŚCI

W praktyce szacowanie prawdopodobieństw zdarzeń często opiera się na tym, jak często dane zdarzenie będzie występowało w przeprowadzanych testach. W tym przypadku stosuje się statystyczną definicję prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo statystyczne zdarzenia zwany względną granicą częstotliwości (stosunek liczby przypadków M sprzyjające zaistnieniu zdarzenia , do całkowitej liczby wykonanych testów), gdy liczba testów dąży do nieskończoności, tj.

Gdzie
- prawdopodobieństwo statystyczne zdarzenia ,
- liczba prób, w których wystąpiło zdarzenie , - łączna liczba testów.

W przeciwieństwie do prawdopodobieństwa klasycznego, prawdopodobieństwo statystyczne jest cechą prawdopodobieństwa eksperymentalnego. Prawdopodobieństwo klasyczne służy do teoretycznego obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia w danych warunkach i nie wymaga przeprowadzania testów w rzeczywistości. Wzór na prawdopodobieństwo statystyczne służy do eksperymentalnego określenia prawdopodobieństwa zdarzenia, tj. zakłada się, że badania zostały faktycznie przeprowadzone.

Prawdopodobieństwo statystyczne jest w przybliżeniu równe względnej częstotliwości zdarzenia losowego, dlatego w praktyce za prawdopodobieństwo statystyczne przyjmuje się częstotliwość względną, ponieważ prawdopodobieństwo statystyczne jest praktycznie niemożliwe do znalezienia.

Statystyczna definicja prawdopodobieństwa ma zastosowanie do zdarzeń losowych, które mają następujące właściwości:

Twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństwa

Podstawowe koncepcje

a) Jedyne możliwe zdarzenia

Wydarzenia
Nazywa się je jedynymi możliwymi, jeśli w wyniku każdego testu przynajmniej jeden z nich na pewno wystąpi.

Wydarzenia te tworzą kompletną grupę wydarzeń.

Na przykład podczas rzucania kostką jedynymi możliwymi zdarzeniami są strony z jednym, dwoma, trzema, czterema, pięcioma i sześcioma punktami. Tworzą kompletną grupę wydarzeń.

b) Zdarzenia nazywane są niezgodnymi, jeżeli wystąpienie jednego z nich wyklucza wystąpienie innych zdarzeń w tym samym badaniu. W przeciwnym razie nazywa się je stawami.

c) Przeciwnie wymień dwa jednoznacznie możliwe zdarzenia, które tworzą kompletną grupę. Wyznaczyć I .

G) Zdarzenia nazywane są niezależnymi, jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z nich nie jest uzależnione od zlecenia lub niezrealizowania pozostałych.

Działania na zdarzeniach

Sumą kilku zdarzeń jest zdarzenie składające się z wystąpienia co najmniej jednego z tych zdarzeń.

Jeśli I – wspólne zdarzenia, następnie ich suma
Lub
oznacza wystąpienie zdarzenia A, zdarzenia B lub obu zdarzeń razem.

Jeśli I – zdarzenia niezgodne, następnie ich suma
oznacza wystąpienie lub zdarzenia lub wydarzenia .

Kwota wydarzenia oznaczają:

Iloczynem (przecięciem) kilku zdarzeń jest zdarzenie polegające na łącznym wystąpieniu wszystkich tych zdarzeń.

Iloczyn dwóch zdarzeń jest oznaczony przez
Lub
.

Praca wydarzenia reprezentują

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych

Prawdopodobieństwo sumy dwóch lub więcej niezgodnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Na dwa wydarzenia;

- Dla wydarzenia.

Konsekwencje:

a) Suma prawdopodobieństw przeciwnych zdarzeń I równy jeden:

Prawdopodobieństwo zdarzenia odwrotnego jest oznaczone przez :
.

b) Suma prawdopodobieństw liczby zdarzeń tworzących kompletną grupę zdarzeń jest równa jeden: lub
.

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw wspólnych zdarzeń

Prawdopodobieństwo sumy dwóch wspólnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń bez prawdopodobieństw ich przecięcia, tj.

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa

a) Dla dwóch niezależnych zdarzeń:

b) Dla dwóch zależnych zdarzeń

Gdzie
– prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia , tj. prawdopodobieństwo zdarzenia , obliczane pod warunkiem, że zdarzenie stało się.

c) Za niezależne wydarzenia:

.

d) Prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej jednego ze zdarzeń , tworząc kompletną grupę niezależnych wydarzeń:

Warunkowe prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo zdarzenia , obliczone przy założeniu, że zdarzenie miało miejsce , nazywa się prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia i jest wyznaczony
Lub
.

Przy obliczaniu prawdopodobieństwa warunkowego przy użyciu klasycznego wzoru na prawdopodobieństwo liczba wyników I
oblicza się biorąc pod uwagę fakt, że przed wystąpieniem zdarzenia miało miejsce wydarzenie .

Aby ilościowo porównać zdarzenia ze sobą według stopnia ich możliwości, należy oczywiście każdemu zdarzeniu przypisać pewną liczbę, która jest tym większa, im bardziej jest ono możliwe. Nazwiemy tę liczbę prawdopodobieństwem zdarzenia. Zatem, prawdopodobieństwo zdarzenia jest liczbową miarą stopnia obiektywnej możliwości wystąpienia tego zdarzenia.

Pierwszą definicję prawdopodobieństwa należy uznać za klasyczną, która wyrosła z analizy gier hazardowych i początkowo była stosowana intuicyjnie.

Klasyczna metoda wyznaczania prawdopodobieństwa opiera się na koncepcji zdarzeń równie możliwych i niezgodnych, które są wynikiem danego doświadczenia i tworzą kompletną grupę zdarzeń niezgodnych.

Najprostszym przykładem równie możliwych i niezgodnych zdarzeń tworzących kompletną grupę jest pojawienie się tej lub drugiej kuli z urny zawierającej kilka kul o tej samej wielkości, wadze i innych namacalnych cechach, różniących się jedynie kolorem, dokładnie wymieszanych przed wyjęciem.

Dlatego mówi się, że test, którego wyniki tworzą kompletną grupę niezgodnych i równie możliwych zdarzeń, można sprowadzić do układu urn lub układu przypadków lub wpasowuje się w klasyczny wzór.

Równie możliwe i niezgodne zdarzenia, które tworzą kompletną grupę, będą nazywane po prostu przypadkami lub szansami. Co więcej, w każdym eksperymencie wraz z przypadkami mogą wystąpić bardziej złożone zdarzenia.

Przykład: Przy rzucie kostką oprócz przypadków A i – utrata i-punktów na górnej krawędzi, możemy uwzględnić takie zdarzenia jak B – utrata parzystej liczby punktów, C – utrata pewnej liczby punktów punkty będące wielokrotnością trzech...

Ze względu na każde zdarzenie, które może wystąpić podczas eksperymentu, przypadki dzieli się na korzystny, w którym zdarzenie to zachodzi, i niekorzystne, w którym zdarzenie to nie zachodzi. W poprzednim przykładzie zdarzeniu B sprzyjają przypadki A 2, A 4, A 6; zdarzenie C - przypadki A 3, A 6.

Prawdopodobieństwo klasyczne wystąpienie określonego zdarzenia nazywa się stosunkiem liczby przypadków sprzyjających zaistnieniu tego zdarzenia do całkowitej liczby równie możliwych, niezgodnych przypadków, które tworzą kompletną grupę w danym eksperymencie:

Gdzie ROCZNIE)- prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A; M- liczba przypadków sprzyjających zdarzeniu A; N- łączna liczba przypadków.

Przykłady:

1) (patrz przykład powyżej) P(B)= , P(C) =.

2) W urnie znajduje się 9 kul czerwonych i 6 niebieskich. Znajdź prawdopodobieństwo, że jedna lub dwie losowo wylosowane kule okażą się czerwone.

A- losowo wylosowana kula czerwona:

M= 9, N= 9 + 6 = 15, ROCZNIE)=

B- dwie losowo wylosowane kule czerwone:

Z klasycznej definicji prawdopodobieństwa wynikają następujące własności (pokaż się):

1) Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0;

2) Prawdopodobieństwo wiarygodnego zdarzenia wynosi 1;

3) Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia mieści się w przedziale od 0 do 1;

4) Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A,

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa zakłada, że ​​liczba wyników próby jest skończona. W praktyce bardzo często zdarzają się testy, których liczba możliwych przypadków jest nieskończona. Ponadto słabością klasycznej definicji jest to, że bardzo często nie można przedstawić wyniku testu w postaci zestawu zdarzeń elementarnych. Jeszcze trudniej jest wskazać powody, dla których elementarne wyniki testu można uznać za jednakowo możliwe. Zwykle o równoważności wyników elementarnych testów wnioskuje się na podstawie rozważań o symetrii. Zadania takie są jednak w praktyce bardzo rzadkie. Z tych powodów obok klasycznej definicji prawdopodobieństwa stosuje się także inne definicje prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo statystyczne zdarzenie A to względna częstotliwość występowania tego zdarzenia w przeprowadzonych badaniach:

gdzie jest prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A;

Względna częstotliwość występowania zdarzenia A;

Liczba prób, w których pojawiło się zdarzenie A;

Całkowita liczba prób.

W przeciwieństwie do prawdopodobieństwa klasycznego, prawdopodobieństwo statystyczne jest cechą prawdopodobieństwa eksperymentalnego.

Przykład: Do kontroli jakości produktów z partii wybrano losowo 100 produktów, spośród których 3 okazały się wadliwe. Określ prawdopodobieństwo zawarcia małżeństwa.

Statystyczna metoda określania prawdopodobieństwa ma zastosowanie tylko do tych zdarzeń, które mają następujące właściwości:

Rozważane zdarzenia powinny być wynikami wyłącznie tych testów, które można odtworzyć nieograniczoną liczbę razy w tych samych warunkach.

Zdarzenia muszą mieć stabilność statystyczną (lub stabilność względnych częstotliwości). Oznacza to, że w różnych seriach testów względna częstotliwość zdarzenia niewiele się zmienia.

Liczba prób skutkujących zdarzeniem A musi być dość duża.

Łatwo sprawdzić, że własności prawdopodobieństwa wynikające z definicji klasycznej są zachowane także w statystycznej definicji prawdopodobieństwa.