Jak wygląda hiperbola? Zrozumienie magii hiperboli

Hiperbola jest geometrycznym miejscem punktów na płaszczyźnie, moduł różnicy odległości od każdego z nich do dwóch danych punktów jest stałą wartością mniejszą niż odległość między tymi danymi punktami (ryc. 3.40, a). Ta geometryczna definicja wyraża ogniskowa właściwość hiperboli.

Ogniskowa właściwość hiperboli

Punkty nazywane są ogniskami hiperboli, odległość między nimi to ogniskowa, środek odcinka to środek hiperboli, liczba to długość rzeczywistej osi hiperboli (odpowiednio rzeczywistego pół- oś hiperboli). Odcinki łączące dowolny punkt hiperboli z jej ogniskami nazywane są promieniami ogniskowymi punktu. Odcinek łączący dwa punkty hiperboli nazywa się cięciwą hiperboli.

Relacja gdzie , zwany ekscentryczność hiperboli. Z definicji wynika, że.

Geometryczna definicja hiperboli , wyrażający jego właściwość ogniskową, jest równoznaczny z jego definicją analityczną - linią zadaną przez kanoniczne równanie hiperboli:

Rzeczywiście, wprowadźmy prostokątny układ współrzędnych (ryc. 3.40, b). Za początek układu współrzędnych przyjmujemy środek hiperboli; Linię prostą przechodzącą przez ogniska (oś ogniskową) przyjmujemy jako oś odciętych (dodatni kierunek na niej od punktu do punktu); Weźmy prostą prostopadłą do osi odciętych i przechodzącą przez środek hiperboli jako oś rzędnych (kierunek na osi rzędnych dobiera się tak, aby prostokątny układ współrzędnych wydawał się prawidłowy).

Utwórzmy równanie hiperboli, korzystając z definicji geometrycznej wyrażającej właściwość ogniskową. W wybranym układzie współrzędnych wyznaczamy współrzędne ognisk i. Dla dowolnego punktu należącego do hiperboli mamy:

Zapisując to równanie w postaci współrzędnych, otrzymujemy:

Wykonując przekształcenia podobne do tych stosowanych przy wyprowadzaniu równania elipsy (czyli pozbywając się irracjonalności), dochodzimy do kanonicznego równania hiperboli:

Gdzie , tj. wybrany układ współrzędnych jest kanoniczny.

Prowadząc rozumowanie w odwrotnej kolejności można wykazać, że wszystkie punkty, których współrzędne spełniają równanie (3.50), i tylko one, należą do zbioru punktów zwanego hiperbolą. Zatem analityczna definicja hiperboli jest równoważna jej definicji geometrycznej.

Kierunkowa właściwość hiperboli

Kierownice hiperboli to dwie linie proste biegnące równolegle do osi rzędnych kanonicznego układu współrzędnych w tej samej odległości od niej (ryc. 3.41a). Kiedy hiperbola degeneruje się w parę przecinających się linii, kierownice pokrywają się.

Hiperbolę z mimośrodem można zdefiniować jako zbiór punktów na płaszczyźnie, dla każdego z nich stosunek odległości do danego punktu (ogniska) do odległości do danej prostej (kierownicy) nieprzechodzącej przez dany punkt wynosi stała i równa mimośrodowi ( właściwość reżyserska hiperboli). Tutaj u jest jednym z ognisk hiperboli i jedną z jej kierownic, umieszczonymi po jednej stronie osi rzędnych kanonicznego układu współrzędnych.

W rzeczywistości na przykład dla ogniska i kierownicy (ryc. 3.41, a) warunek można zapisać w postaci współrzędnych:

Pozbycie się irracjonalności i zastąpienie , dochodzimy do kanonicznego równania hiperboli (3.50). Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla ogniska i kierownicy:

Równanie hiperboli w biegunowym układzie współrzędnych

Równanie prawej gałęzi hiperboli w biegunowym układzie współrzędnych (ryc. 3.41, b) ma postać

, Gdzie - ogniskowy parametr hiperboli.

W istocie wybierzmy właściwe ognisko hiperboli jako biegun biegunowego układu współrzędnych, a półprostą mającą początek w punkcie należącym do prostej, ale niezawierającym punktu, jako oś biegunową (rys. 3.41). , B). Następnie dla dowolnego punktu należącego do prawej gałęzi hiperboli, zgodnie z definicją geometryczną (właściwością ogniskową) hiperboli, mamy. Wyrażamy odległość między punktami (patrz akapit 2 komentarzy 2.8):

Dlatego w formie współrzędnych równanie hiperboli ma

Izolujemy pierwiastek, podnosimy obie strony równania, dzielimy przez 4 i przedstawiamy podobne wyrażenia:

Wyrażanie promienia biegunowego i dokonywanie podstawień :

co było do okazania Zauważ, że we współrzędnych biegunowych równania hiperboli i elipsy pokrywają się, ale opisują różne linie, ponieważ różnią się mimośrodami (dla hiperboli, dla elipsy).

Znaczenie geometryczne współczynników w równaniu hiperboli

Znajdźmy punkty przecięcia hiperboli (ryc. 3.42,a) z osią odciętych (wierzchołki hiperboli). Podstawiając do równania, znajdujemy odciętą punktów przecięcia:. Dlatego wierzchołki mają współrzędne . Długość odcinka łączącego wierzchołki jest równa. Ten odcinek nazywany jest rzeczywistą osią hiperboli, a liczba nazywana jest rzeczywistą półosią hiperboli. Podstawiając, otrzymujemy. Długość odcinka osi Y łączącego punkty , jest równy. Odcinek ten nazywany jest wyimaginowaną osią hiperboli, a liczba nazywana jest wyimaginowaną półosią hiperboli. Hiperbola przecina linię zawierającą rzeczywistą oś, ale nie przecina linii zawierającej urojoną oś.

Uwagi 3.10.

1. Linie proste ograniczają główny prostokąt w płaszczyźnie współrzędnych, poza którym znajduje się hiperbola (ryc. 3.42, a).

2. Proste linie zawierające przekątne głównego prostokąta nazywane są asymptotami hiperboli (ryc. 3.42, a).

Dla hiperbola równoboczna opisany równaniem (tj. kiedy), głównym prostokątem jest kwadrat, którego przekątne są prostopadłe. Dlatego asymptoty hiperboli równobocznej są również prostopadłe i można je przyjąć jako osie współrzędnych prostokątnego układu współrzędnych (ryc. 3.42, b). W tym układzie współrzędnych równanie hiperboli ma postać (hiperbola pokrywa się z wykresem funkcji elementarnej wyrażającej zależność odwrotnie proporcjonalną).

W rzeczywistości obróćmy kanoniczny układ współrzędnych o kąt (ryc. 3.42, b). W tym przypadku współrzędne punktu w starym i nowym układzie współrzędnych są powiązane równościami

Podstawiając te wyrażenia do równania hiperboli równobocznej i sprowadzając podobne wyrazy, otrzymujemy

3. Osie współrzędnych (kanonicznego układu współrzędnych) są osiami symetrii hiperboli (zwanymi głównymi osiami hiperboli), a jej środek jest środkiem symetrii. Rzeczywiście, jeśli punkt należy do hiperboli. wówczas punkty symetryczne względem punktu względem osi współrzędnych również należą do tej samej hiperboli.

Oś symetrii, na której znajdują się ogniska hiperboli, jest osią ogniskową.

4. Z równania hiperboli we współrzędnych biegunowych (patrz ryc. 3.41, b) wyjaśniono geometryczne znaczenie parametru ogniskowego - jest to połowa długości cięciwy hiperboli przechodzącej przez jej ognisko prostopadle do osi ogniskowej (at).

5. Ekscentryczność charakteryzuje kształt hiperboli. Im więcej, im szersze gałęzie hiperboli i im bliżej jedności, tym węższe gałęzie hiperboli (ryc. 3.43, a).

Rzeczywiście, wielkość kąta między asymptotami hiperboli zawierającej jej gałąź jest określona przez stosunek boków głównego prostokąta:. Biorąc to pod uwagę i otrzymujemy

Im większa liczba, tym większy kąt. Dla hiperboli równobocznej mamy. Dla kąta jest rozwarty, a dla kąta jest ostry (ryc. 3.43, a).

6 . Dwie hiperbole zdefiniowane w tym samym układzie współrzędnych za pomocą równań i są nazywane powiązane ze sobą. Hiperbole sprzężone mają te same asymptoty (ryc. 3.43b). Równanie hiperboli sprzężonej zostaje zredukowany do kanonicznego poprzez zmianę nazwy osi współrzędnych (3.38). 7. Równanie definiuje hiperbolę ze środkiem w punkcie, którego osie są równoległe do osi współrzędnych (ryc. 3.43, c). Równanie to sprowadza się do równania kanonicznego za pomocą translacji równoległej (3.36). Równanie definiuje hiperbolę sprzężoną wyśrodkowaną w punkcie.

Równanie parametryczne hiperboli

Równanie parametryczne hiperboli w kanonicznym układzie współrzędnych ma postać

Gdzie - cosinus hiperboliczny, a sinus hiperboliczny.

Rzeczywiście, podstawiając wyrażenia współrzędnych do równania (3.50), dochodzimy do głównej tożsamości hiperbolicznej.

Przykład 3.21. Narysuj hiperbolę w kanonicznym układzie współrzędnych. Znajdź półosie, ogniskową, mimośrodowość, parametr ogniskowy, równania asymptot i kierownic.

Rozwiązanie. Porównując podane równanie z kanonicznym wyznaczamy półosie: - półoś rzeczywistą, - półoś urojoną hiperboli. Budujemy podstawowy prostokąt z bokami i środkiem w początku (ryc. 3.44). Asymptoty rysujemy poprzez przedłużenie przekątnych głównego prostokąta. Konstruujemy hiperbolę, biorąc pod uwagę jej symetrię względem osi współrzędnych. Jeśli to konieczne, określ współrzędne niektórych punktów hiperboli. Na przykład, podstawiając hiperbole do równania, otrzymujemy

W związku z tym punkty posiadające współrzędne i należą do hiperboli. Obliczanie ogniskowej

ekscentryczność ; parametr ogniskowy . Układamy równania asymptot, czyli równania kierownic: .

Parabola i jej równanie kanoniczne

Definicja. Parabola to zbiór punktów, dla których odległość do pewnego stałego punktu na płaszczyźnie, zwanego ogniskiem, jest równa odległości do pewnej ustalonej linii prostej, która nie przechodzi przez ognisko i zwanej kierownicą.

Definicja. Odległość od ogniska paraboli do jej kierownicy nazywa się parametrem paraboli. Przyjmuje się, że mimośród paraboli jest równy jedności.

Opuśćmy prostopadłą z ogniska na kierownicę i oznaczmy literą punkt przecięcia tej prostopadłej z kierownicą paraboli. Wprowadźmy DPSC na płaszczyźnie, umieszczając początek współrzędnych w środku odcinka, przyjmując za oś linię prostą z dodatnim kierunkiem od siebie (patrz rys. 176).

Odległość od ogniska do kierownicy oznaczamy literą (jest to parametr paraboli). W wybranym układzie współrzędnych fokus ma współrzędne . Równanie Directrixa.

Pozwalać - dowolny punkt płaszczyzny. Oznaczmy przez odległość od punktu do ogniska paraboli i przez odległość od punktu do kierownicy tej paraboli.

Kropka leży na danej paraboli wtedy i

tylko kiedy . Ponieważ ,

A , wówczas równanie paraboli ma postać:

. Równanie to jest równoważne następującemu równaniu: .

Lub: (1)

Definicja. Równanie (1) nazywane jest równaniem paraboli kanonicznej.

Definicja 1

Hiperbola w matematyce to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, dla któregokolwiek z nich bezwzględna różnica odległości między dwoma punktami $F_1$ i $F_2$, zwana ogniskami, jest zawsze równa tej samej wartości i wynosi $2a $.

Rysunek 1. Jak wygląda hiperbola: przykład hiperboli

Właściwości hiperboli

Jeżeli punkty $F_1$ i $F_2$ są ogniskami hiperboli, to styczna poprowadzona przez dowolny punkt $A$ należący do krzywej jest dwusieczną kąta $F_1AF_2$;
Stosunek odległości od punktu na hiperboli do ogniska i od tego samego punktu do kierownicy jest stałą zwaną mimośrodem $ε$;
Hiperbola charakteryzuje się lustrzaną symetrią względem osi rzeczywistej i urojonej oraz symetrią obrotową w kierunku środka przy obrocie o 180°;
Odcinek styczny poprowadzony przez punkt $M$, ograniczony osiami rzeczywistymi, jest podzielony na pół przez punkt $M$;
Każda hiperbola ma hiperbolę sprzężoną, która znajduje się w niezajętych ćwiartkach wykresu.

Podstawowe definicje

Gałęzie hiperboli to dwie nieprzecinające się krzywe;
Wierzchołki hiperboli to dwa najbliższe punkty różnych gałęzi hiperboli;
Wzór na określenie odległości między wierzchołkami hiperboli wygląda następująco $2\cdot a$;
Główną osią rzeczywistą jest linia prosta poprowadzona przez dwa najbliższe punkty hiperboli. W połowie tej odległości znajduje się środek hiperboli;
Półosie hiperboli stanowią połowę odległości między wierzchołkami hiperboli, wzór na jej określenie to $2\cdot a/2 = a$;
Wyimaginowana oś to linia prosta przebiegająca przez środek hiperboli i prostopadła do osi rzeczywistej;
Konstrukcję geometryczną hiperboli przeprowadza się na podstawie zadanych wierzchołków i ognisk za pomocą kompasu.

Równanie hiperboli

Ogólny wzór hiperboli i funkcji hiperboli opisuje następujące równanie: $\frac(x^2)(a^2) - \frac(y^2)(b^2) = 1$, gdzie $a , b$ są dodatnimi liczbami rzeczywistymi.

Równanie zdegenerowanej hiperboli wygląda jak równanie dwóch asymptot hiperboli: $\frac(x)(a) - \frac(y)(b) = 0$

Równanie hiperboli z przesuniętym środkiem $\frac((x - x_0)^2)(a^2) - \frac((y - y_0)^2)(b^2) = 1$, gdzie $x_0, y_0$ - współrzędne środka hiperboli.

Aby znaleźć na wykresie równanie przesuniętej hiperboli, należy najpierw określić przemieszczenie środka względem osi współrzędnych; jest ono równe współrzędnym środka. Następnie z asymptot wyznaczane są wartości $a$ i $b$.

Witam, drodzy czytelnicy bloga. Każdy z nas przynajmniej raz w życiu powiedział lub usłyszał podobne wyrażenia (a niektórzy więcej niż raz): ZAWSZE SIĘ SPÓŹNIŁEŚ lub NIE WIDZIAŁEŚ OD 100 LAT.

I niewiele osób uważało, że te zwroty są pozbawione zdrowego rozsądku. Zatem po prostu nie można „zawsze się spóźniać”. I nie jest możliwe, żeby ktoś nie widział się przez „sto lat”, choćby dlatego, że ludzie rzadko żyją tak długo.

Takie przesady w języku rosyjskim nazywane są hiperbolami i zostaną omówione w tej publikacji.

Hiperbola to piękna przesada

Samo to słowo jest greckie – „hiperbola” i oznacza „nadmiar, nadmiar, przesadę”.

Hiperbola jest jednym ze sposobów wzmocnienie oceny emocjonalnej, które polega na nadmiernym wyolbrzymianiu jakichkolwiek zjawisk, cech, właściwości lub procesów. Stwarza to bardziej imponujący obraz.

Co więcej, przesada często sięga pojęć zupełnie niezrozumiałych, a czasem wręcz. Każdy cudzoziemiec, jeśli przetłumaczony dosłownie, będzie wyraźnie zdziwiony. Już dawno się do nich przyzwyczailiśmy i postrzegamy je jako coś zupełnie normalnego.

Oto przykłady najczęściej używanych hiperboli w życiu codziennym:

STRACH NA ŚMIERĆ
TYSIĄCE PRZEPRASZAŃ
PRZYNAJMNIEJ LATAJ
RZEKI KRWI
GÓRY TRUPÓW
CZEKAŁEM WIECZNOŚĆ
PRZEJDŹ PONAD TYSIĄC KILOMETRÓW
STAŁA CAŁY DZIEŃ
DUŻO PIENIĘDZY
Święto DLA CAŁEGO ŚWIATA
MORZE ŁEZ
NIE WIDZIAŁEM OD 100 LAT
OCEAN PASJI
WAŻY STO FUNTÓW
Udusić się w twoich ramionach
ŚMIERTELNIE PRZERAŻONY

Wszystkie wymienione wyrażenia stale używamy w mowie potocznej. A na potrzeby eksperymentu spróbuj po prostu przeanalizować je dosłownie i zobaczyć, jak zabawne, a czasem absurdalne są niektóre z nich.

Cóż, na przykład „przynajmniej się napełnij” - powinna to być taka ilość płynu, aby wystarczyła na cały basen, w którym można by się zanurzyć. Chociaż tak naprawdę tym wyrażeniem chcemy po prostu powiedzieć, że mamy dużo napojów - nawet więcej, niż potrzebujemy.

Albo wyrażenie „dużo pieniędzy” tak naprawdę oznacza po prostu dobrą sytuację finansową, a nie to, że ktoś zebrał wszystkie swoje oszczędności i włożył je na jeden stos.

I nie używamy wyrażenia „przejechać tysiąc kilometrów”, gdy mówimy o rzeczywistej odległości, na przykład z Moskwy do Wołgogradu lub Rostowa nad Donem. Ale po prostu w sensie „daleko”, chociaż w liczbach rzeczywistych odległość może wynosić zaledwie kilka kilometrów.

I w ten sposób można „obalić” absolutnie każdą hiperbolę. Ale nie powinieneś tego robić. Nie muszą oznaczać prawdy absolutnej, ich zadaniem jest scharakteryzowanie konkretnej sytuacji lub myśli w jak najbardziej obrazowy sposób, wzmacniając jej emocjonalną kolorystykę.

Przykłady hiperboli w fikcji

W rzeczywistości takie przesady są bardzo starym chwytem literackim. Używano go, a było to prawie tysiąc lat temu. Za pomocą hiperboli wielokrotnie wzmacniano siłę bohaterów i ich przeciwników.

Heroiczny sen trwał 12 DNI (no cóż, człowiek nie może spać prawie dwa tygodnie)
Na drodze bohatera stanęły niezliczone siły - WILK NIE PRZEGONI ICH W JEDEN DZIEŃ, W JEDEN DZIEŃ NIE WYJDZIE Z NICH RAVE (Ilu powinno być wrogów - milion?)
Bohater macha ręką - ULICA JEST WŚRÓD WROGÓW, macha inną - ALEJĄ (czyli jednym ciosem bohater zabija kilkudziesięciu na raz)
Ilya Muromets wziął maczugę WAŻĄCĄ STO POUDÓW (tutaj musisz zrozumieć, że sto funtów to półtorej tony)
Słowik Zbójca gwiżdże - Las zatrzymuje się na ziemi, a ludzie padają martwi (no cóż, to coś jak z bajki)

Występują dokładnie te same hiperbole w „Opowieści o kampanii Igora”. Na przykład:

„Rosjanie blokowali szerokie pola szkarłatnymi tarczami, szukając honoru dla siebie i chwały dla księcia” lub „Armia jest taka, że można wiosłami spryskać Wołgę i zgarnąć Dona hełmami”.

Wśród pisarzy najwięcej hiperboli ma Nikołaj Wasiljewicz Gogola. Prawie w każdym jego słynnym dziele są przesady. Tak opisuje na przykład rzekę Dniepr:

Rzadki ptak poleci na środek Dniepru.
Dniepr jest jak droga bez końca i bez miary szerokości.

Albo używa przesady w swoich słowach, wkładając je w usta bohaterów:

Zniszczyłbym was wszystkich na mąkę! (Gubernator)
Tylko trzydzieści pięć tysięcy kurierów... Sama Rada Państwa się mnie boi. (Chlestakow)

A w „Dead Souls” są takie słowa: „Ludzkie namiętności są niezliczone jak piasek morski”.

Prawie każdy pisarz i poeta używa hiperboli. Za ich pomocą np. barwniej opisują charaktery bohaterów dzieł czy ukazują stosunek ich autora do nich.

Co więcej, pisarze często nie używają już ustalonych wyrażeń, ale próbują wymyślić coś własnego.

Oto kolejny przykłady hiperboli w literaturze:

A góra krwawych ciał uniemożliwiła latanie kulom armatnim (Lermontow)
Zachód słońca świecił sto czterdzieści słońc (Majakowski)
Milion męk (Gribojedow)
Przyzwoity człowiek jest gotowy dla ciebie uciec w odległe krainy (Dostojewski)
A sosna sięga gwiazd (Mandelshtam)
We śnie woźny stał się ciężki jak komoda (Ilf i Petrov)

Przykłady hiperboli w reklamie

Oczywiście bez tak interesującej techniki, która na to pozwala wzmocnić prawdziwe znaczenie słów, reklamodawcy też nie mogli się przedostać. Wiele sloganów opiera się na tej zasadzie. Przecież zadaniem jest przyciągnięcie uwagi klienta, przy jednoczesnym obiecywaniu „gór złota” i podkreśleniu w każdy możliwy sposób wyjątkowości produktu:

Smak na granicy możliwości (guma do żucia „Stimorol”)
Kontrola nad żywiołami (trampki Adidas)
Król sałatek (majonez Oliviez)

Zasada hiperboli jest również często stosowana przy tworzeniu filmów reklamowych. Na przykład seria słynnych filmów o batonach Snickers z hasłem „Nie jesteś sobą, kiedy jesteś głodny”. Gdzie różne postacie zamieniają się w zupełnie innych ludzi i zaczynają robić najróżniejsze głupoty, a tylko batonik może przywrócić ich do normalności.

Te reklamy wyraźnie wyolbrzymiają (mocno wyolbrzymiają) uczucie głodu i „cudowną” moc samego Snickersa.

Dobrze najprostszy przykład Hiperbolą używaną w reklamie są wyrażenia takie jak „najlepszy”, „najbardziej stylowy”, „najwygodniejszy” i tak dalej, ale o cenach wręcz przeciwnie, mówi się „najniższe”.

Zamiast wniosków

Każdej wypowiedzi możesz nadać większą wyrazistość i emocjonalne zabarwienie nie tylko za pomocą hiperboli. W języku rosyjskim istnieje technika, która jest jego całkowitym przeciwieństwem. Nie przesadza, a wręcz przeciwnie, zmniejsza znaczenie.

Zanim zdążysz mrugnąć okiem, lata już minęły.

Ta technika nazywa się „”. Zostanie to szczegółowo omówione w naszym następnym artykule.

Powodzenia! Do zobaczenia wkrótce na stronach bloga

Możesz być zainteresowany

Co to jest insynuacja: znaczenie słowa, cechy, przykłady Słowa polisemantyczne są przykładami różnych aspektów języka rosyjskiego Synekdocha jest przykładem metonimii w języku rosyjskim Znajomość: znaczenie słowa, przykłady Wulgaryzmy to ignorancja laików, którzy uważają, że mogą obrazić coś, co jest dla nich niedostępne. Co to jest pytanie retoryczne i do czego służy? Eufemizm to liść figowy języka rosyjskiego Aluzje to coś nowego z nutą starego. Asonans to jedność samogłosek Dialektyzmy to słowa o lokalnym zabarwieniu Litotes to niedopowiedzenie i zmiękczenie, aby stworzyć obraz

Hiperbola jest krzywą płaską, dla każdego punktu którego moduł różnicy odległości do dwóch danych punktów ( sztuczki hiperboliczne ) jest stała. Nazywa się odległość między ogniskami hiperboli długość ogniskowa i jest oznaczony przez $2c$. Nazywa się środek odcinka łączącego ogniska Centrum. Hiperbola ma dwie osie symetrii: oś ogniskową lub rzeczywistą przechodzącą przez ogniska i wyimaginowaną oś prostopadłą do niej, przechodzącą przez środek. Rzeczywista oś przecina gałęzie hiperboli w punktach tzw szczyty. Nazywa się odcinek łączący środek hiperboli z wierzchołkiem prawdziwa półoś i jest oznaczony przez $a$. Wyimaginowana półoś oznaczony symbolem $b$. Równanie kanoniczne hiperboli napisane w formularzu
$\large\frac(((x^2)))(((a^2)))\normalsize - \large\frac(((y^2)))(((b^2)))\ normalny rozmiar = 1$.

Moduł różnicy odległości od dowolnego punktu hiperboli do jej ognisk jest wartością stałą:
$\lewo| ((r_1) - (r_2)) \prawo| = 2a$,
gdzie $(r_1)$, $(r_2)$ to odległości od dowolnego punktu $P\left((x,y) \right)$ hiperboli do ognisk $(F_1) $ i $ (F_2)$, $a$ to rzeczywista półoś hiperboli.

Równania asymptot hiperboli
$y = \pm \large\frac(b)(a)\normalsize x$

Zależność półosi hiperboli od ogniskowej
$(c^2) = (a^2) + (b^2)$,
gdzie $c$ to połowa ogniskowej, $a$ to rzeczywista półoś hiperboli, $b$ to urojona półoś.

Ekscentryczność hiperbole
$e = \large\frac(c)(a)\normalsize > 1$

Równania kierownic hiperboli
Kierownica hiperboli to linia prosta prostopadła do jej rzeczywistej osi i przecinająca ją w odległości $\large\frac(a)(e)\normalsize$ od środka. Hiperbola ma dwie kierownice, umieszczone po przeciwnych stronach środka. Równania kierownicy mają postać
$x = \pm \large\frac(a)(e)\normalsize = \pm \large\frac(((a^2)))(c)\normalsize$.

Równanie prawej gałęzi hiperboli w postaci parametrycznej
$\left\( \begin(aligned) x &= a \cosh t \\ y &= b \sinh t \end(aligned) \right., \;\;0 \le t \le 2\pi\ ),
gdzie \(a$, $b$ to półosie hiperboli, $t$ to parametr.

Ogólne równanie hiperboli
gdzie $B^2 - 4AC > 0$.

Ogólne równanie hiperboli, której półosie są równoległe do osi współrzędnych
$A(x^2) + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0$,
gdzie \(AC

Hiperbola równoboczna
Hiperbola nazywa się równoboczny , jeśli jego półosie są takie same: $a = b$. W przypadku takiej hiperboli asymptoty są wzajemnie prostopadłe. Jeżeli asymptotami są pozioma i pionowa oś współrzędnych (odpowiednio $y = 0$ i $x = 0$), to równanie hiperboli równobocznej ma postać
$xy = \large\frac(((e^2)))(4)\normalsize$ lub $y = \large\frac(k)(x)\normalsize$, gdzie $k = \ duży\frac(e^2)(4)\normalsize.$

Parabola nazywa się krzywą płaską, w której każdym punkcie obowiązuje: odległość do danego punktu ( ognisko paraboli ) jest równa odległości do danej linii prostej ( kierownice paraboli ). Nazywa się odległość od ogniska do kierownicy parametr paraboli i jest oznaczony przez $p$. Parabola ma jedną oś symetrii, która przecina parabolę w jej punkcie szczyt . Równanie kanoniczne paraboli wygląda jak
$y = 2px$.

Równanie Directrixa
$x = - \duży\frac(p)(2)\normalsize$,

Współrzędne ostrości
$F \left((\large\frac(p)(2)\normalsize, 0) \right)$

Współrzędne wierzchołków
$M \lewo((0,0)\prawo)$

Ogólne równanie paraboli
$A(x^2) + Bxy + C(y^2) + Dx + Ey + F = 0$,
gdzie $B^2 - 4AC = 0$.

Równanie paraboli, której oś symetrii jest równoległa do osi $Oy$.
$A(x^2) + Dx + Ey + F = 0\;\left((A \ne 0, E \ne 0) \right) $,
lub w równoważnej formie
$y = a(x^2) + bx + c,\;\;p = \large\frac(1)(2a)\normalsize$

Równanie Directrixa
$y = (y_0) - \large\frac(p)(2)\normalsize$,
gdzie $p$ jest parametrem paraboli.

Współrzędne ostrości
$F\lewo(((x_0),(y_0) + \large\frac(p)(2)\normalsize) \right)$

Współrzędne wierzchołków
$(x_0) = - \large\frac(b)((2a))\normalsize,\;\;(y_0) = ax_0^2 + b(x_0) + c = \large\frac((4ac - ( b^2)))((4a))\normalny rozmiar$

Równanie paraboli z wierzchołkiem w początku układu współrzędnych i osią symetrii równoległą do osi $Oy$
$y = a(x^2),\;\;p = \large\frac(1)((2a))\normalsize$

Równanie Directrixa
$y = - \large\frac(p)(2)\normalsize$,
gdzie $p$ jest parametrem paraboli.

Współrzędne ostrości
$F \left((0, \large\frac(p)(2)\normalsize) \right)$

Współrzędne wierzchołków
$M \lewo((0,0)\prawo)$

Badając hiperbolę za pomocą konstrukcji podobnych do tych, które przeprowadzono przy badaniu elipsy, odkryjemy, że hiperbola ma właściwości podobne do elipsy.

Rozcinamy prosty stożek kołowy z płaszczyzną b przecinającą obie jego płaszczyzny, tj. równolegle do dwóch generatorów. Przekrój poprzeczny spowoduje powstanie hiperboli. Narysujmy płaszczyznę ASB przez oś ST stożka, prostopadłą do płaszczyzny b.

Wpiszmy w stożek dwie kule - jedną w jedno wgłębienie, drugą w drugie tak, aby każda z nich dotykała powierzchni stożkowej i siecznej. Niech pierwsza kula dotknie płaszczyzny b w punkcie F 1 i dotknie stożkowej powierzchni wzdłuż okręgu Uthough. Niech druga kula dotknie płaszczyzny b w punkcie F 2 i dotknie stożkowej powierzchni wzdłuż okręgu UV.

Wybierzmy dowolny punkt hiperboli M. Narysuj przez niego tworzącą stożka MS i zaznacz punkty d i D, w których styka się on z pierwszą i drugą kulą. Połączmy punkt M z punktami F 1, F 2, które nazwiemy ogniskami hiperboli. Wtedy MF 1 = Md, ponieważ oba odcinki są styczne do pierwszej kuli, wylosowanej z punktu M. Podobnie MF 2 = MD. Odejmując drugi wyraz równości od pierwszego, znajdujemy

MF 1 -MF 2 =Md-MD=dD,

gdzie dD jest wartością stałą (jako generator stożka o podstawach Uthough i UV), niezależną od wyboru punktu M na hiperboli. Oznaczmy przez P i Q punkty, w których prosta F 1 F 2 przecina hiperbolę. Te punkty P i Q nazywane są wierzchołkami hiperboli. Odcinek PQ nazywany jest osią rzeczywistą hiperboli. W toku geometrii elementarnej udowadnia się, że dD=PQ. Zatem MF 1 -MF 2 =PQ.

Jeżeli punkt M znajduje się na gałęzi hiperboli, w pobliżu której znajduje się ognisko F 1, to MF 2 -MF 1 = PQ. Wtedy w końcu otrzymujemy MF 1 -MF 2 = PQ.

Moduł różnicy między odległościami dowolnego punktu M hiperboli od jego ognisk F 1 i F 2 jest stałą wartością równą długości rzeczywistej osi hiperboli.

Równanie hiperboli

Jako definicję przyjmijmy główną właściwość hiperboli: Hiperbola to zbiór punktów na płaszczyźnie, dla którego moduł różnicy odległości do dwóch stałych punktów F 1 i F 2 tej płaszczyzny, zwanych ogniskami, wynosi stałą wartość równą długości jego rzeczywistej osi.

Niech długość odcinka F 1 F 2 = 2c, a długość osi rzeczywistej będzie równa 2a. Aby wyprowadzić równanie kanoniczne hiperboli, wybieramy początek O kartezjańskiego układu współrzędnych w środku odcinka F 1 F 2 i kierujemy osie Ox i Oy zgodnie z rysunkiem 5. Następnie w wybranym układzie współrzędnych punkty F 1 (c, 0) i F 2 (-s, 0). Oczywiście 2a<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 =2a (5) jest warunkiem koniecznym i wystarczającym położenia punktu M (x, y) na danej hiperboli. Korzystając ze wzoru na odległość między dwoma punktami, otrzymujemy

r 1 =, r 2 =. Wróćmy do równości (5):

Podnieśmy obie strony równości do kwadratu

(x+c) 2 +y 2 =4a 2 ±4a+(x-c) 2 +y 2

Redukując otrzymujemy:

2 xc=4a 2 ±4a-2 xc

±4a=4a 2 -4 xc

za 2 x 2 -2a 2 xc+a 2 do 2 +za 2 y 2 =za 4 -2a 2 xc+x 2 do 2

x 2 (c 2 -a 2) - za 2 y 2 = za 2 (c 2 -a 2) (6)

Zauważ, że dla 2 -a 2 >0. Oznaczmy c 2 -a 2 = b 2 . Równanie (6) będzie wyglądać następująco: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2. Dokonajmy transformacji doprowadzającej równanie hiperboli do postaci kanonicznej, czyli dzielimy obie strony równania przez a 2 b 2: (7) - równanie kanoniczne hiperboli, wielkości a i b są odpowiednio rzeczywistymi i urojonymi półosiami hiperboli.

Musimy się upewnić, że równanie (7), otrzymane poprzez algebraiczne przekształcenia równania (5*), nie uzyskało nowych pierwiastków. Aby to zrobić, wystarczy udowodnić, że dla każdego punktu M, którego współrzędne x i y spełniają równanie (7), wartości r 1 i r 2 spełniają zależność (5). Wykonując argumenty podobne do tych wyprowadzanych przy wyprowadzaniu wzoru na elipsę, znajdujemy następujące wyrażenia dla r 1 i r 2: