Статистическое и классическое определение вероятности свойства вероятности. Статистическое определение вероятности

Основные понятия. Теоремы сложения и умножения.

Формулы полной вероятности, Бейеса, Бернулли. Теоремы Лапласа.

Вопросы

1. Предмет теории вероятности.
2. Виды событий.
3. Классическое определение вероятности.
4. Статистическое определение вероятности.
5. Геометрическое определение вероятности.
6. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
7. Теорема умножения вероятностей независимых событий.
8. Условная вероятность.
9. Умножение зависимых событий.
10. Сложение совместных событий.
11. Формула полной вероятности.
12. Формула Бейеса.

13. Биноминальный, полиномиальный закон распределения .

1. Предмет теории вероятностей. Основные понятия.

Событием в теории вероятностей называют всякий факт, который может произойти в результате некоторого опыта (испытания).

Например: Стрелок стреляет по мишени. Выстрел – испытание, попадание в мишень – событие. События принято обозначать

Единичное случайное событие – следствие очень многих случайных причин, которые очень часто невозможно учесть. Однако, если рассматривать массовые однородные события (многократно наблюдающиеся при осуществлении опыта в одних и тех же условиях), то они оказываются подчиняются определенным закономерностям: если бросать монету в одних и тех же условиях большое число раз, можно с небольшой погрешностью предсказать, что число появлений герба будет равно половине числа бросков.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. Методы теории вероятностей широко применяются в теориях надежности, стрельбы, автоматического управления и т.д. Теория вероятности служит обоснованием математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов и т.д.

Определения.

1. Если в результате опыта событие

а) всегда произойдет, то - достоверное событие,

б) никогда не наступит, то - невозможные событие,

в) может произойти, то может и не произойти, то - случайное (возможное) событие.

2. События называются равновозможным, если есть основания считать, что ни одно из этих событий не имеет больше шансов появиться в результате опыта, чем другие.

3. События и - совместные (несовместные), если появление одного из них не исключает (исключает) появление другого.

4. Группа событий совместна, если совместны хотя бы два события из это й группы, иначе – несовместна.

5. Группа событий называется полной, если в результате опыта обязательно наступит одно из них.

Пример 1. По мишени производят три выстрела: Пусть - попадание (промах) при первом выстреле - при втором выстреле, - при третьем выстреле. Тогда

а) - совместная группа равновозможных событий.

б) - полная группа несовместных событий. - событие, противоположное .

в) - полная группа событий.

Классическая и статистическая вероятность

Классический способ определения вероятности применяется для полной группы равновозможных несовместных событий.

Каждое событие этой группы назовем случаем или элементарным исходом. По отношению к каждому событию случаи делятся на благоприятные и неблагоприятные.

Определение 2. Вероятностью события называют величину

где - число случаев, благоприятных появлению события , - общее число равно-возможных в данном опыте случаев.

Пример 2. Брошены две игральные кости. Пусть событие - сумма выпавших очков равна . Найти .

а) Ошибочное решение. Всего возможно 2 случая: и - полная группа несовместных событий. Благоприятен одни случай, т.е.

Это ошибка, так как и не равновозможные.

б) Всего равновозможных случаев . Благоприятные случаи: выпадение

Слабыми сторонами классического определения являются:

1. - количество случаев конечно.

2. Результат опыта очень часто невозможно представить в виде совокупности элементарных событий (случаев).

3. Трудно указать основания, позволяющие считать случаи равновозможными.

Пусть произведено серия из испытаний.

Определение 3. Относительной частотой события называют величину

где - число испытаний, в которых появилось события , - общее число испытаний.

Длительные наблюдения показали, что в различных опытах при достаточно больших

Изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа, которое назовем статистической вероятностью.

Вероятность обладает следующими свойствами:

Алгебра событий

7.3.1Определения.

8. Суммой или объединением нескольких событий называется событие, состоящее хотя бы одного из них.

9. Произведением нескольких событий, называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Из примера 1. - хотя бы одно попадание при трех выстрелах, - попадание при первым и вторым выстрелах и промах при третьем.

Ровно одно попадание.

Не менее двух попаданий.

10. Два события называется независимыми (зависимыми), если вероятность одного из них не зависит (зависит) от появления или не появления другого.

11. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая линейная комбинация из остальных событий, есть события независимые.

12. Условной вероятностью называют вероятность события , вычисленного в предположении, что событие произошло.

7.3.2 Теорема умножения вероятностей.

Вероятность совместного появления (произведе-ния) нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных событий, вычисленных в предположении, что все предыдущие события имели место

Следствие 1. Если - независимы в совокупности, то

Действительно: так как .

Пример 3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что из урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что при первом испытании появится белый шар , при втором – черный шар , при третьем – синий шар , если

а) каждый раз шар возвращается в урну.

- в урне после первого испытания шаров из них 4 белых. . Отсюда

б) шар не возвращается в урну. Тогда - независимые в совокупности и

7.3.3 Теорема сложения вероятностей.

Вероятность появления хотя бы одного из событий равна

Следствие 2. Если события попарно несовместные, то

Действительно в этом случае

Пример 4. Производится три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при первом выстреле - , при втором - , при третьем - . Найти вероятность хотя бы одного попадания.

Решение. Пусть - попадание при первом выстреле, - при втором, - при третьем, - хотя бы одно попадании при трех встрелах. Тогда , где - совместные независимые в совокупности. Тогда

Следствие 3. Если попарно несовместные события образуют полную группу, то

Следствие 4. Для противоположных событий

Иногда при решении задач легче найти вероятность противоположного события. Например в примере 4 - промах при трех выстрелах. Так как независимые в совокупности, и то

Случайность наступления событий связана с невозможностью предсказать заранее исход того или иного испытания. Однако, если рассматривать, например, испытание: многократное бросание монеты, ω 1 , ω 2 , … , ω n , то получается, что приблизительно в половине исходов (n / 2) обнаруживается определённая закономерность, которая соответствует понятию вероятности.

Под вероятностью события А понимается некоторая числовая характеристика возможности наступления события А . Обозначим эту числовую характеристику р (А ). Существуют несколько подходов к определению вероятности. Основными из них являются статистический, классический и геометрический.

Пусть произведено n испытаний и при этом некоторое событие А наступило n A раз. Число n A называется абсолютной частотой (или просто частотой) события А , а отношение называется относительной частотой наступления события А. Относительная частота любого события характеризуется следующими свойствами:

Основанием для применения методов теории вероятностей к изучению реальных процессов является объективное существование случайных событий, обладающих свойством устойчивости частот. Многочисленные испытания изучаемого события А показывают, что при больших n относительная частота (А ) остаётся примерно постоянной.

Статистическое определение вероятности заключается в том, что за вероятность события А принимается постоянная величина р(А), вокруг которой колеблются значения относительных частот (А ) при неограниченном возрастании числа испытаний n .

Замечание 1 . Отметим, что пределы изменения вероятности случайного события от нуля до единицы выбраны Б. Паскалем для удобства ее вычисления и применения. В переписке с П. Ферма Паскаль указывал, что в качестве указанного промежутка можно было выбрать любой промежуток, например от нуля до ста и другие промежутки. В приведенных ниже задачах в данном пособии вероятности иногда указываются в процентах, т.е. от нуля до ста. В этом случае приведенные в задачах проценты необходимо переводить в доли, т.е. делить на 100.

Пример 1. Проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Величина (А ) в каждой из серий равна 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Эти частоты группируются около р (А ) = 0,5.

Этот пример подтверждает, что относительная частота (А ) примерно равна р (А ), т.е.

Понятие вероятности события относится к фундаментальным понятиям теории вероятностей. Вероятность - это количественная мера возможности появления случайного события А. Обозначается она Р(А) и имеет следующие свойства.

Вероятность есть положительное число, заключенное в интервале от нуля до единицы:

Вероятность невозможного события равна нулю

Вероятность достоверного события равна единице

Классическое определение вероятности. Пусть = { 1 , 2 ,…, n } - пространство элементарных событий, которые описывают все возможные элементарные исходы и образуют полную группу несовместных и равновозможных событий. Пусть событию А соответствует подмножество m элементарных исходов

эти исходы называют благоприятствующими событию А. В классическом определении вероятности полагают, что вероятность любого элементарного исхода

а вероятность события А, которому благоприятствуют m исходов, равна

Отсюда определение:

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Вероятность определяется формулой

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, а _ число всех возможных элементарных исходов испытания.

Классическое определение вероятности дает возможность в некоторых задачах аналитически вычислить вероятность события.

Пусть проводится опыт, в результате которого могут наступить те или иные события. Если эти события образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, то говорят, что опыт обладает симметрией возможных исходов и сводится к "схеме случаев". Для опытов, которые сводятся к схеме случаев, применима классическая формула вероятности.

Пример 1.13. В лотерее разыгрывается 1000 билетов, среди которых 5 выигрышных. Определить вероятность того, что при покупке одного билета лотереи будет получен выигрыш

Элементарным событием этого опыта является покупка билета. Каждый билет лотереи неповторим, так как имеет свой номер, и купленный билет не возвращается обратно. Событие А заключается в том, что куплен выигрышный билет. При покупке одного из 1000 билетов всевозможных исходов этого опыта будет =1000, исходы образуют полную группу несовместных событий. Число исходов, благоприятных событию А, будет равно =5. Тогда вероятность получить выигрыш, купив один билет, равна

Р(А) = = 0.005

Для непосредственного подсчета вероятностей удобно применять формулы комбинаторики. Покажем это на примере задачи выборочного контроля.

Пример 1.14 Пусть имеется партия из изделий, среди них есть бракованных. Для контроля отбирается часть из изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных изделий будет ровно бракованных

Элементарным событием в этом опыте является выбор элементного подмножества из исходного элементного множества. Выбор любой части изделий из партии в изделий можно считать равновозможными событиями, поэтому данный опыт сводится к схеме случаев. Для вычисления вероятности события А={среди изделий бракованных, если они отбирались из партии в изделий с бракованными} можно применить классическую формулу вероятности. Число всех возможных исходов опыта - это число способов, которыми можно отобрать изделий из партии в, оно равно числу сочетаний из элементов по: . Событие, благоприятное событию А, состоит из произведения двух элементарных событий: {из бракованных изделий выбраны }{из _ стандартных изделий выбраны _}. Число таких событий, в соответствии с правилом умножения комбинаторики, будет

Тогда искомая вероятность

Например, пусть =100, =10, =10, =1. Тогда вероятность того, что среди отобранных 10 изделий будет ровно одно бракованное, равна

Статистическое определение вероятности. Для того, чтобы применить в условиях данного опыта классическое определение вероятности, необходимо, чтобы опыт соответствовал схеме случаев и для большинства реальных задач эти требования практически невыполнимы. Однако вероятность события - это объективная реальность, которая существует независимо от того, применимо или нет классическое определение. Возникает необходимость в другом определении вероятности, применимом тогда, когда опыт не отвечает схеме случаев.

Пусть эксперимент заключается в проведении серии испытаний, повторяющих один и тот же опыт, и пусть событие А наступило раз в серии из опытов. Относительной частотой события W(A) называют отношение числа опытов, в которых наступило событие А, к числу всех проведенных опытов

Экспериментально доказано, что частота обладает свойством устойчивости: если число опытов в серии достаточно велико, то относительные частоты события А в различных сериях одного и того же эксперимента мало отличаются друг от друга.

Статистической вероятностью события называют число, к которому стремятся относительные частоты, если число опытов неограниченно возрастает

В отличие от априорной (вычисленной до опыта) классической вероятности статистическая вероятность является апостериорной (полученной после опыта).

Пример 1.15 Метеорологические наблюдения в течении 10 лет в некоторой местности показали, что число дождливых дней в июле было в разные года равно: 2; 4; 3; 2; 4; 3; 2; 3; 5; 3. Определить вероятность того, что какой-либо определенный день июля будет дождливым

Событие А заключается в том, что определенный день июля, например, 10 июля, пойдет дождь. Выданная статистика не содержит информации о том, в какие конкретно дни июля шел дождь, поэтому можно считать, что все дни равновозможные для этого события. Пусть один год - это одна серия испытаний из 31 одного дня. Всего серий 10. Относительные частоты серий равны:

Частоты различны, но наблюдается их группировка возле числа 0.1. Это число и можно принять за вероятность события А. Если за одну серию испытаний принять все дни июля за десять лет, то статистическая вероятность события А будет равна

Геометрическое определение вероятности. Это определение вероятности обобщает классическое определение на случай, когда пространство элементарных исходов включает несчетное множество элементарных событий, и появления каждого из событий одинаково возможно. Геометрической вероятностью события А называется отношение меры (А) области, благоприятствующей появлению события, к мере () всей области

Если области представляют собой а) длины отрезков, б) площади фигур, в) объемы пространственных фигур, то геометрические вероятности соответственно равны

Пример 1.16. Рекламные объявления развешены с интервалом в 10 метров вдоль торгового ряда. Широта обзора у некоторого покупателя составляет 3 метра. Какова вероятность того, что он не заметит рекламу, если он движется перпендикулярно торговому ряду и пересечь ряд может в любой точке?

Участок торгового ряда, расположенный между двумя объявлениями, можно представить как отрезок прямой АВ (рис. 1.6). Тогда для того, чтобы покупатель заметил объявления, он должен пройти через отрезки прямых АС или ДВ, равные 3м. Если же он пересечет торговый ряд в одной из точек отрезка СД, длина которого 4м, то он не заметит рекламы. Вероятность этого события будет

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Под случайными явлениями пони-маются явления с неопределенным исходом, происходящие при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий.

Например, при бросании монеты нельзя предсказать, какой стороной она упадет. Результат бросания монеты случаен. Но при дос-таточно большом числе бросаний монеты существует определенная закономерность (герб и решетка выпадут примерно одинаковое число раз).

Основные понятия теории вероятностей

Испытание (опыт, эксперимент) - осуществление некоторого определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.

Например: подбрасывание игральной кости с выпадением числа очков; перепад температуры воздуха; метод лечения заболевания; некоторый период жизни человека.

Случайное событие (или просто событие) – исход испытания.

Примеры случайных событий:

выпадение одного очка при подбрасывании игральной кости;

обострение ишемической болезни сердца при резком повышении температуры воздуха летом;

развитие осложнений заболевания при неправильном выборе метода лечения;

поступление в вуз при успешной учебе в школе.

События обозначают прописными буквами латинского алфа-вита: A , B , C , …

Событие называется достоверным , если в результате испытания оно обязательно должно произойти.

Событие называется невозможным , если в результате испы-тания оно вообще не может произойти.

Например,если в партии все изделия стандартные, то извлечение из неё стандартного изделия - событие достоверное, а извлечение при тех же условиях бракованного изделия – событие невозможное.

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Вероятность является одним из основных понятий теории вероятностей.

Классической вероятностью события называется отношение числа случаев, благоприятствующих событию , к общему числу случаев, т.е.

, (5.1)

где
- вероятность события ,

- число случаев, благоприятствующих событию ,

- общее число случаев.

Свойства вероятности события

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.

Вероятность достоверного события равна единице, т.е.

.

Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.

.

(Предложить решить несколько простых задач устно).

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

На практике часто при оценке вероятностей событий основываются на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определение вероятности.

Статистической вероятностью события называется предел относительной частоты (отношение числа случаев m , благоприятствующих появлению события , к общему числу произведенных испытаний), когда число испытаний стремится к бесконечности, т.е.

где
- статистическая вероятность события ,
- число испытаний, в которых появилось событие , - общее число испытаний.

В отличие от классической вероятности, статистическая вероятность является характеристикой опытной. Классическая вероятность служит для теоретического вычисления вероятности события по заданным условиям и не требует, чтобы испытания проводились в действительности. Формула статистической вероятности служит для экспериментального определения вероятности события, т.е. предполагается, что испытания были проведены фактически.

Статистическая вероятность приблизительно равна относительной частоте случайного события, поэтому на практике за статистическую вероятность берут относительную частоту, т.к. статистическую вероятность практически найти нельзя.

Статистическое определение вероятности применимо к случайным событиям, которые обладают следующими свойствами:

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Основные понятия

а) Единственно возможные события

События
называют единственно возможными, если в результате каждого испытания хотя бы одно из них наверняка наступит.

Эти события образуют полную группу событий.

Например, при подбрасывании игрального кубика, единственно возможными являются события выпадения граней с одним, двумя, тремя, четырьмя, пятью и шестью очками. Они образуют полную группу событий.

б) События называют несовместными , если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае их называют совместными.

в) Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Обозначают и .

г ) События называют независимыми , если вероятность наступления одного из них не зависит от совершения или несовершения других.

Действия над событиями

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если и – совместные события, то их сумма
или
обозначает наступление или события A, или события B, или обоих событий вместе.

Если и – несовместные события, то их сумма
означает наступление или события , или события .

Сумму событий обозначают:

Произведением (пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.

Произведение двух событий обозначают
или
.

Произведение событий обозначают

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность суммы двух или нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Для двух событий;

- для событий.

Следствия:

а) Сумма вероятностей противоположных событий и равна единице:

Вероятность противоположного события обозначают :
.

б) Сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий, равна единице: или
.

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятностей их пересечения, т.е.

Теорема умножения вероятностей

а) Для двух независимых событий:

б) Для двух зависимых событий

где
– условная вероятность события , т.е. вероятность события , вычисленная при условии, что событие произошло.

в) Для независимых событий:

.

г) Вероятность наступления хотя бы одного из событий ,образующих полную группу независимых событий:

Условная вероятность

Вероятность события , вычисленная при условии, что произошло событие , называется условной вероятностью события и обозначается
или
.

При вычислении условной вероятности по формуле клас-сической вероятности число исходов и
подсчитывается с учетом того, что до совершения события произошло событие .

Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определённое число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы назовём вероятностью события. Таким образом, вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события.

Первым по времени определением вероятности следует считать классическое, которое возникло из анализа азартных игр и применялось вначале интуитивно.

Классический способ определения вероятности основан на понятии равновозможных и несовместных событий, которые являются исходами данного опыта и образуют полную группу несовместных событий.

Наиболее простым примером равновозможных и несовместных событий, образующих полную группу, является появление того или иного шара из урны, содержащей несколько одинаковых по размеру, весу и другим осязаемым признакам шаров, отличающихся лишь цветом, тщательно перемешанных перед выниманием.

Поэтому об испытании, исходы которого образуют полную группу несовместных и равновозможных событий, говорят, что оно сводится к схеме урн, или схеме случаев , или укладывается в классическую схему.

Равновозможные и несовместные события, составляющие полную группу, будем называть просто случаями или шансами. При этом в каждом опыте наряду со случаями могут происходить и более сложные события.

Пример : При подбрасывании игральной кости наряду со случаями А i - выпадение i- очков на верхней грани можно рассматривать такие события, как В - выпадение чётного числа очков, С - выпадение числа очков, кратных трём …

По отношению к каждому событию, которое может произойти при осуществлении эксперимента, случаи делятся на благоприятствующие , при которых это событие происходит, и неблагоприятствующие, при которых событие не происходит. В предыдущем примере, событию В благоприятствуют случаи А 2 , А 4 , А 6 ; событию С - случаи А 3 , А 6 .

Классической вероятностью появления некоторого события называется отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу случаев равновозможных, несовместных, составляющих полную группу в данном опыте:

где Р(А) - вероятность появления события А; m - число случаев, благоприятствующих событию А; n - общее число случаев.

Примеры:

1) (смотри пример выше) Р(В) = , Р(С) = .

2) В урне находятся 9 красных и 6 синих шаров. Найти вероятность того, что вынутые наугад один, два шара окажутся красными.

А - вынутый наугад шар красный:

m = 9, n = 9 + 6 = 15, P(A) =

B - вынутые наугад два шара красные:

Из классического определения вероятности вытекают следующие свойства (показать самостоятельно):

1) Вероятность невозможного события равна 0;

2) Вероятность достоверного события равна 1;

3) Вероятность любого события заключена между 0 и 1;

4) Вероятность события, противоположного событию А,

Классическое определение вероятности предполагает, что число исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных случаев которых бесконечно. Кроме того, слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Ещё труднее указать основания, позволяющие считать элементарные исходы испытания равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания заключают из соображений симметрии. Однако такие задачи на практике встречаются весьма редко. По этим причинам наряду с классическим определением вероятности пользуются и другими определениями вероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях:

где - вероятность появления события А;

Относительная частота появления события А;

Число испытаний, в которых появилось событие А;

Общее число испытаний.

В отличие от классической вероятности статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной.

Пример : Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди которых 3 изделия оказались бракованными. Определить вероятность брака.

Статистический способ определения вероятности применим лишь к тем событиям, которые обладают следующими свойствами:

Рассматриваемые события должны быть исходами только тех испытаний, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

События должны обладать статистической устойчивостью (или устойчи- востью относительных частот). Это означает, что в различных сериях испытаний относительная частота события изменяется незначительно.

Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико.

Легко проверить, что свойства вероятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности.