Подробно о степени и возведение в степень. Степень числа: определения, обозначение, примеры Возведение в степень отрицательного числа

третья степень числа

Геометрическое тело

Геометрическая фигура

Сосуд для перегонки и кипячения жидкостей

Математическое трио

Объемный квадрат

Правильный многогранник

Растение, из которого добывалась кубовая краска

Третья степень (математическое)

Шестигранник

Частный случай призмы

Мера объема

Форма сруба

Гексаэдр

Правильный шестигранник

В форме этой геометрической фигуры кристаллизуется поваренная соль и сернистый цинк

Этот правильный многогранник имеет 6 граней

У этого правильного многогранника 8 вершин

Форму какой геометрической фигуры имеет древнее святилище Кааба?

Тело, квадратное со всех сторон

Геометрическое тело, у которого все три проекции - квадраты

Число, перемноженное трижды

Единица, в которой измеряют спиленный лес

Одна из форм покрытия срубов

Третья степень (матем.)

Гексаэдр по-простому

Трехмерный квадрат

Правильный гексаэдр

Делает двойку восьмеркой

Правельный шестигранник

Многогранник

Мера спиленного леса

Форма святилища Каабы

Третья степень для математика

Многогранник с 8 вершинами

Форма кристалла соли

Все его проекцииквадраты

Мера объема для бревен

Объединение 6 квадратов

Обладатель шести ребер

Третья степень в математике

Обладатель двенадцати ребер

Перегонный...

Правильный шестигранник

Геометрическое тело, правильный многогранник

Сосуд для перегонки и кипячения жидкостей

Правильный многогранник, имеющий шесть граней

М. перегонный сосуд, алембик, снаряд для перегонки жидкостей, особ. винных. Куб бывает стекляный, глиняный, медный и пр., разной величины и вида; он наглухо кроется колпаком, и перегонная жидкость идет парами в горло, шейку, а оттуда в холодильник, и стекает в приемник. геометр. прямоугольное, равностороннее тело, ограниченное шестью равными квадратами: игральная кость, или сундук, у которого четыре бока, крышка и дно одной меры, представляют куб. арифметич. произведение, от умножения любого числа дважды на себя: куб 4-х. Кровососный куб, лекарский снаряд, для насечек кожи; банки. Куб жиру, камч. нерпячья шкура, налитая жиром морских зверей и кругом зашитая; кутырь. Растен. куб, Indigо, из которого добывается кубовая краска. Кубик умалит. вообще единица кубической меры; у землекопов, кубическая сажень. Вынуть земли кубиков. Растен. Рicris hieracioides, лесная горлюха. Кубовый, к кубу прнадлежщ., относящ. Кубовое железо, котельное, толстое листовое. Кубовая краска, синяя растительная краска из растен. куб, индиго. Кубовик новг. холщевый синий сарафан, крашеный иначе или дубленый рабочий сарафан называется верхник, дубеник, сандальник. Кубический, -бичный, образующий собою куб, в геометр. и арифметич. знач. Кубический ящик, число; корень, число, от умножения которого дважды на себя произошел куб; будет кубический корень 8-ми. Кубическая мера, толстая, мера толщи: протяжение от точки до точки измеряется мерою линейною, погонною; плоскость, поверхность мерою от линии до линии, от грани до грани, мерою плоскою, квадратною; а всякое течо или вместимость меж двух плоскостей мерою толщи, кубическою, толстою. Кубоватый, кубастый, кубовидный, -образный, почти кубичный, близкий к кубу по виду, сундуковатый. Кубить что, делить, разбивать на кубы, кубики. Кубить сахар, отливать кубиками. Кубить землю, разбивать чертежем на кубы; делать кубический разссчет. Горная соль кубится, делится, распадается кубами. Кубатура ж. куб, равный толщей данному телу, напр. шару

Форму какой геометрической фигуры имеет древнее святилище Кааба

можно найти с помощью умножения. Например: 5+5+5+5+5+5=5х6. О таком выражении говорят, что сумму равных слагаемых свернули в произведение. И наоборот, если читать это равенство справа налево, получаем, что мы развернули сумму равных слагаемых. Аналогично можно сворачивать произведение нескольких равных множителей 5х5х5х5х5х5=5 6 .

То есть вместо умножения шести одинаковых множителей 5х5х5х5х5х5 пишут 5 6 и говорят «пять в шестой степени».

Выражение 5 6 - это степенью числа, где:

5 - основание степени;

6 - показатель степени.

Действия, с помощью которых произведение равных множителей сворачивают в степень, называют возведением в степень.

В общем виде степень с основанием "a" и показателем "n" записывается так

Возвести число a в степень n - значит найти произведение n множителей, каждый из которых равен а

Если основание степени «а» равно 1, то значение степени при любом натуральном n будет равно 1. Например, 1 5 =1, 1 256 =1

Если возвести число «а» возвести в первую степень , то получим само число a: a 1 = a

Если возвести любое число в нулевой степень , то в результате вычислений получим один. a 0 = 1

Особыми считают вторую и третью степень числа. Для них придумали названия: вторую степень называют квадратом числа , третью - кубом этого числа.

В степень можно возводить любое число - положительное, отрицательное или нуль. При этом не пользуются следующими правилами:

При нахождении степени положительного числа получается положительное число .

При вычислениях нуля в натуральной степени получаем ноль.

х m · х n = х m + n

например: 7 1.7 · 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями основание не меняем, а показатели степеней вычитаем :

х m / х n = х m — n , где, m > n,

например: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

При расчетах возведения степени в степень основание не меняем, а показатели степеней умножаем друг на друга.

(у m ) n = у m · n

например: (2 3) 2 = 2 3·2 = 2 6

(х · у) n = х n · у m ,

например:(2·3) 3 = 2 n · 3 m ,

При выполнении расчетов по возведению в степень дроби мы в данную степень возводим числитель и знаменатель дроби

(х / у) n = х n / у n

например: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 2 3 / 5 3 .

Последовательность выполнения расчетов при работе с выражениями содержащими степень.

При выполнении расчетов выражений без скобок, но содержащих степени, в первую очередь производят возведение в степень, потом действия умножение и деление, и лишь потом операции сложения и вычитания.

Если необходимо вычислить выражение содержащие скобки, то сначала в указанном выше порядке делаем вычисления в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Очень широко в практических вычислениях для упрощения расчетов используют готовые таблицы степеней.

Степень числа

Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение. Так, вместо произведения шести одинаковых множителей 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 пишут 4 6 и произносят «четыре в шестой степени».
4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4 6

Выражение 4 6 называют степенью числа, где:
. 4 - основание степени;
. 6 - показатель степени.

В общем виде степень с основанием "a" и показателем "n" записывается с помощью выражения:

• Степенью числа "a" с натуральным показателем "n", бóльшим 1, называется произведение "n" одинаковых множителей, каждый из которых равен числу "a".

Запись a n читается так: «а в степени n» или «n-ая степень числа a».

Исключение составляют записи:
. a 2 - её можно произносить как «а в квадрате»;
. a 3 - её можно произносить как «а в кубе».

• Степенью числа «а» с показателем n = 1 является само это число:
• a 1 = a
• Любое число в нулевой степени равно единице.
• a 0 = 1
• Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
• 0 n = 0
• Единица в любой степени равна 1.
• 1 n = 1

Выражение 0 0 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смыслом.
. (-32) 0 = 1
. 0 234 = 0
. 1 4 = 1
При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение значения степени.

Пример. Возвести в степень.
. 5 3 = 5 . 5 . 5 = 125
. 2.5 2 = 2.5 . 2.5 = 6.25
. (3 ) 4 = 3. 3. 3. 3 = 81
4 4 4 4 4 256

Возведение в степень отрицательного числа
Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом - положительным, отрицательным или нулём.

• При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.


Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное.

• Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, - число отрицательное.
• Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:
• a 2 ≥ 0 при любом a.

2 . (- 3) 2 = 2 . (- 3) . (- 3) = 2 . 9 = 18
. - 5 . (- 2) 3 = - 5 . (- 8) = 40

Обратите внимание!
При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (- 5) 4 и -5 4 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (- 5) 4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.
(- 5) 4 = (- 5) . (- 5) . (- 5) . (- 5) = 625

В то время как найти -5 4 означает, что пример нужно решать в 2 действия:
1. Возвести в четвёртую степень положительное число 5.
5 4 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625
2. Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание).
-5 4 = - 625
Пример. Вычислить: - 6 2 - (- 1) 4
- 6 2 - (- 1) 4 = - 37

1. 6 2 = 6 . 6 = 36
2. -6 2 = - 36
3. (- 1) 4 = (- 1) . (- 1) . (- 1) . (- 1) = 1
4. - (- 1) 4 = - 1
5. - 36 - 1 = - 37

Порядок действий в примерах со степенями
Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

• В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление, а в конце сложение и вычитание.
• Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Пример. Вычислить:

Cвойства степени

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.
Свойство № 1
Произведение степеней

• При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.
• a m . a n = a m+n , где a - любое число, а m, n - любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.
Примеры.
. Упростить выражение.
b . b 2 . b 3 . b 4 . b 5 = b 1+2+3+4+5 = b 15

6 15 . 36 = 6 15 . 6 2 = 6 15+2 = 6 17

Представить в виде степени.
(0,8) 3 . (0,8) 12 = (0,8) 3+12 = (0,8) 15

• Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями. Оно не относится к их сложению.
• Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 3 . Это понятно, если посчитать 3 3 = 27 и 3 2 = 9; 27 + 9 = 36, а 3 5 = 243

Свойство № 2
Частное степеней

• При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
• a m . a n = a m-n , где a - любое число, не равное нулю, а m, n - любые натуральные числа такие, что m > n.

Примеры.
. Записать частное в виде степени
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5-3 = (2b) 2

Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3 8: t = 3 4

t = 3 8: 3 4

t = 3 8-4

t = 3 4

Ответ: t = 3 4 = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.
. Пример. Упростить выражение.
4 5m+6 . 4 m+2: 4 4m+3 = 4 5m+6+m+2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.
Нельзя заменять разность (4 3 - 4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать 4 3 = 64 и 4 2 = 16; 64 - 16 = 48, а 4 1 = 4
Будьте внимательны!

Свойство № 3
Возведение степени в степень

• При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.
• (a n) m = a n . m , где a - любое число, а m, n - любые натуральные числа.

Пример.
(a 4) 6 = a 4 . 6 = a 24
. Пример. Представить 3 20 в виде степени с основанием 32.
По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

Свойства 4
Степень произведения

• При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются.
• (a . b) n = a n . b n , где a, b - любые рациональные числа; n - любое натуральное число.

Пример 1.

(6 . a 2 . b 3 . c) 2 = 6 2 . a 2 . 2 . b 3 . 2 . с 1 . 2 = 36 a 4 . b 6 . с 2

Пример 2.

(- x 2 . y) 6 = ((- 1) 6 . x 2 . 6 . y 1 . 6) = x 12 . y 6

Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.
(a n . b n)= (a . b) n

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
. Пример. Вычислить.

2 4 . 5 4 = (2 . 5) 4 = 10 4 = 10 000

Пример. Вычислить.

0,5 16 . 2 16 = (0,5 . 2) 16 = 1

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.
Например, 4 5 . 3 2 = 4 3 . 4 2 . 3 2 = 4 3 . (4 . 3) 2 = 64 . 12 2 = 64 . 144 = 9216

Пример возведения в степень десятичной дроби.
4 21 . (-0,25) 20 = 4 . 4 20 . (-0,25) 20 = 4 . (4 . (-0,25)) 20 = 4 . (- 1) 20 = 4 . 1 = 4

Свойства 5
Степень частного (дроби)

• Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
• (a: b) n = a n: b n , где a, b - любые рациональные числа, b ≠ 0, n - любое натуральное число.

Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Возведение в степень дроби

• При возведении в степень дроби нужно возвести в степень и числитель, и знаменатель.

Примеры возведения в степень дроби.

Как возвести в степень смешанное число
Чтобы возвести в степень смешанное число, сначала избавляемся от целой части, превращая смешанное число в неправильную дробь. После этого возводим в степень и числитель, и знаменатель.
Пример.

Формулу возведения в степень дроби применяют как слева направо, так и справа налево, то есть, чтобы разделить друг на друга степени одинаковыми показателями, можно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.

Пример. Найти значение выражения рациональным способом.

Свойства степеней

Степень обобщается также на случай произвольного (рационального или иррационального, а также комплексного) показателя.

Большой Энциклопедический словарь . 2000 .

Смотреть что такое "СТЕПЕНЬ" в других словарях:

Степени, мн. степени, степеней, жен. 1. Сравнительная величина, сравнительное количество, сравнительный размер, сравнительное качество чего н. Степень культурности. Высокая степень мастерства. Степень родства (количество рождений, связывающих… … Толковый словарь Ушакова

Жен. ступень, ряд, разряд, порядок, от дел по качеству, достоинству; место и самое собранье однородного, равного во всем, где полагается лествичный порядок, восходящий и нисходящий. Царство ископаемых, растений и животных, это три степени… … Толковый словарь Даля

Ступень, разряд, ряд, стадия, фазис, высота, точка, градус, уровень, ординар, достоинство, ранг, чин. Последовательность степеней лестница, иерархия. Образовательный, имущественный ценз. Дело вступило в новый фазис. Чахотка в последнем градусе … Словарь синонимов

СТЕПЕНЬ, и, мн. и, ей, жен. 1. Мера, сравнительная величина чего н. С. подготовленности. С. загрязнения. 2. То же, что звание (в 1 знач.), а также (устар.) ранг, чин. Учёная с. доктора наук. Достичь высоких степеней. 3. обычно с поряд. числ.… … Толковый словарь Ожегова

степень - степень диссоциации степень окисления степень поглощения … Химические термины

- (power) Показатель, указывающий определенное количество умножений числа самого на себя, n я степень х означает х; умноженное само на себя n раз; n является показателем степени. Степени могут быть положительными и отрицательными: х n означает, что … Экономический словарь

СТЕПЕНЬ, в математике, результат умножения числа или ПЕРЕМЕННОЙ на себя определенное число раз. Так, а2 (= а 3 а) является второй степенью а; а3 третьей степенью; а4 четвертой и т.д. Умножаемое число (в данном примере а) называется основанием… … Научно-технический энциклопедический словарь

степень - степень, мн. степени, род. степеней (неправильно степеня) … Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке

СТЕПЕНЬ - (1) диссоциации величина, характеризующая состояние равновесия реакции (см.) в однородных (газообразных и жидких) системах; выражается отношением числа молекул, распавшихся (диссоциировавших) на своп составные части (атомы, молекулы, ноны), к… … Большая политехническая энциклопедия

Термин «степень» может означать: В математике Возведение в степень Декартова степень Корень n й степени Степень множества Степень многочлена Степень дифференциального уравнения Степень отображения Степень точки в геометрии Степени тысячи… … Википедия

Книги

• Степень доверия , Владимир Войнович , "Степень доверия" - первая историческая повесть В. Войновича. Она посвящена замечательной революционерке-народоволке Вере Николаевне Фигнер. Автор сосредоточиваетвнимание на узловых моментах… Серия: Пламенные революционеры Издатель: Издательство политической литературы ,
• Степень готовности системы управления бизнес-процессами к внедрению информационных технологий (методика оценки) , А. В. Костров , В статье поставлена задача оценки степени готовности системы управления бизнес-процессами к информатизации. Предложено отображать вербальные описания стадий зрелости множеством частных… Серия: Прикладная информатика. Научные статьи Издатель: