Два числовых математических выражения, соединенные знаком «=» называют равенством.
Например: 3 + 7 = 10 - равенство.
Равенство может быть верным и неверным.
Смысл решения любого примера состоит в том, чтобы найти такое значение выражения, которое превращает его в верное равенство.
Для формирования представлений о верных и неверных равенствах в учебнике 1 класса используются примеры с окошком.
Например:
Методом подбора ребенок находит подходящие числа и проверяет верность равенства вычислением.
Процесс сравнения чисел и обозначение отношений между ними с помощью знаков сравнения приводит к получению неравенств.
Например: 5 < 7; б > 4 - числовые неравенства
Неравенства также могут быть верными и неверными.
Например:
Методом подбора ребенок находит подходящие числа и проверяет верность неравенства.
Числовые неравенства получаются при сравнении числовых выражений и числа.
Например:
При выборе знака сравнения ребенок вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом, что отражается в выборе соответствующего знака:
10-2>7 5+К7 7 + 3>9 6-3 = 3
Возможен другой способ выбора знака сравнения - без ссылки на вычисления значения выражения.
Наппимеп:
Сумма чисел 7 и 2 будет заведомо больше, чем число 7, значит, 7 + 2 > 7.
Разность чисел 10 и 3 будет заведомо меньше, чем число 10, значит, 10 - 3 < 10.
Числовые неравенства получаются при сравнении двух числовых выражений.
Сравнить два выражения - значит сравнить их значения. Например:
При выборе знака сравнения ребенок вычисляет значения выражений и сравнивает их, что отражается в выборе соответствующего знака:
Возможен другой способ выбора знака сравнения - без ссылки на вычисления значения выражения. Например:
Для постановки знаков сравнения можно провести такие рассуждения:
Сумма чисел 6 и 4 больше суммы чисел 6 и 3, поскольку 4 > 3, значит, 6 + 4 > 6 + 3.
Разность чисел 7 и 5 меньше, чем разность чисел 7 и 3, поскольку 5 > 3, значит, 7 - 5 < 7 - 3.
Частное чисел 90 и 5 больше, чем частное чисел 90 и 10, поскольку при делении одного и того же числа на число большее, частное получается меньшее, значит, 90: 5 > 90:10.
Для формирования представлений о верных и неверных равенствах и неравенствах в новой редакции учебника (2001) используются задания вида:
Для проверки используется метод вычисления значения выражений и сравнения полученных чисел.
Неравенства с переменной практически не используются в последних редакциях стабильного учебника математики, хотя в более ранних изданиях они присутствовали. Неравенства с переменными активно используются в альтернативных учебниках математики. Это неравенства вида:
+ 7 < 10; 5 - > 2; > 0; > О
После введения буквы для обозначения неизвестного числа такие неравенства приобретают привычный вид неравенства с переменной:
а + 7>10; 12-d<7.
Значения неизвестных чисел в таких неравенствах находятся методом подбора, а затем подстановкой проверяется каждое подобранное число. Особенность данных неравенств состоит в том, что могут быть подобраны несколько чисел, подходящих к ним (дающих верное неравенство).
Например: а + 7 > 10; а = 4, а = 5 , а = 6 и т. д. - количество значений для буквы а бесконечно, для данного неравенства подходит любое число а > 3; 12 - d < 7; d = 6, d = 7, d = 8, d = 9, d = 10, d = 11, d = 12 - количество значений для буквы d конечно, все значения могут быть перечислены. Ребенок подставляет каждое найденное значение переменной в выражение, вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом. Выбираются те значения переменной, при которых неравенство является верным.
В случае бесконечного множества решений или большого количества решений неравенства ребенок ограничивается подбором нескольких значений переменной, при которых неравенство является верным.
Обратной стороной равенства выступает неравенство . В этой статье мы введем понятие неравенства, и дадим начальную информацию о них в контексте математики.
Сначала разберем, что такое неравенство, введем понятия не равно, больше, меньше. Дальше поговорим о записи неравенств с помощью знаков не равно, меньше, больше, меньше или равно, больше или равно. После этого затронем основные типы неравенств, дадим определения строгих и нестрогих, верных и неверных неравенств. Дальше мимоходом перечислим основные свойства неравенств. Наконец, остановимся на двойных, тройных и т.д. неравенствах, и разберем, какой смысл они несут в себе.
Навигация по странице.
Что такое неравенство?
Понятие неравенства , как и , связано со сравнением двух объектов. И если равенство характеризуется словом «одинаковые», то неравенство, напротив, говорит о различии сравниваемых объектов. Например, объекты и - одинаковые, про них можно сказать, что они равные. А вот два объекта и отличаются, то есть, они не равны или неравные .
Неравенство сравниваемых объектов познается вместе со смыслом таких слов, как выше, ниже (неравенство по высоте), толще, тоньше (неравенство по толщине), дальше, ближе (неравенство по удаленности от чего-либо), длиннее, короче (неравенство по длине), тяжелее, легче (неравенство по весу), ярче, тусклее (неравенство по яркости), теплее, холоднее и т.п.
Как мы уже отмечали при знакомстве с равенствами, можно говорить как о равенстве двух объектов в целом, так и о равенстве их некоторых характеристик. Это же относится и к неравенствам. В качестве примера приведем два объекта и . Очевидно, они не одинаковые, то есть, в целом они неравные. Они не равны по размеру, также они не равны по цвету, однако, можно говорить о равенстве их форм – они оба являются кругами.
В математике общий смысл неравенства сохраняется. Но в ее контексте речь идет о неравенстве математических объектов: чисел, значений выражений, значений каких-либо величин (длин, весов, площадей, температур и т.п.), фигур, векторов и т.п.
Не равно, больше, меньше
Иногда ценность представляет именно сам факт неравенства двух объектов. А когда сравниваются значения каких-либо величин, то, выяснив их неравенство, обычно идут дальше, и выясняют, какая величина больше , а какая – меньше .
Смысл слов «больше» и «меньше» мы познаем практически с первых дней нашей жизни. На интуитивном уровне мы воспринимаем понятие больше и меньше в плане размера, количества и т.п. А дальше постепенно начинаем осознавать, что при этом фактически речь идет о сравнении чисел , отвечающим количеству некоторых предметов или значениям некоторых величин. То есть, в этих случаях мы выясняем, какое из чисел больше, а какое – меньше.
Приведем пример. Рассмотрим два отрезка AB
и CD
, и сравним их длины 
. Очевидно, они не равны, также очевидно, что отрезок AB
длиннее отрезка CD
. Таким образом, согласно смыслу слова «длиннее», длина отрезка AB
больше длины отрезка CD
, и в то же время длина отрезка CD
меньше длины отрезка AB
.
Еще пример. С утра была зафиксирована температура воздуха 11 градусов Цельсия, а в обед – 24 градуса. Согласно , 11 меньше 24 , следовательно, значение температуры с утра было меньше, чем ее значение в обед (температура в обед стала больше, чем была температура с утра).
Запись неравенств с помощью знаков
На письме приняты несколько знаков для записи неравенств. Первый из них – знак не равно , он представляет собой перечеркнутый знак равно: ≠. Знак не равно ставится между неравными объектами. Например, запись |AB|≠|CD| обозначает, что длина отрезка AB не равна длине отрезка CD . Аналогично, 3≠5 – три не равно пяти.
Аналогично используются знак больше > и знак меньше ≤. Знак больше записывается между большим и меньшим объектами, а знак меньше – между меньшим и большим. Приведем примеры использования этих знаков. Запись 7>1 читается как семь больше одного, а записать, что площадь треугольника ABC меньше площади треугольника DEF с использованием знака ≤ можно как SABC≤SDEF .
Также широко в ходу знак больше или равно вида ≥, а также знак меньше или равно ≤. Подробнее об их смысле и назначении поговорим в следующем пункте.
Еще заметим, что алгебраические записи со знаками не равно, меньше, больше, меньше или равно, больше или равно, аналогичные рассмотренным выше, называют неравенствами. Более того, имеет место определение неравенств в смысле вида их записи:
Определение.
Неравенства – это имеющие смысл алгебраические выражения, составленные с использованием знаков ≠, <, >, ≤, ≥.
Строгие и нестрогие неравенства
Определение.
Знаки меньше называют знаками строгих неравенств , а записанные с их помощью неравенства – строгими неравенствами .
В свою очередь
Определение.
Знаки меньше или равно ≤ и больше или равно ≥ называют знаками нестрогих неравенств , а составленные с их использованием неравенства – нестрогими неравенствами .
Сфера применения строгих неравенств понятна из вышеприведенной информации. А для чего нужны нестрогие неравенства? На практике с их помощью удобно моделировать ситуации, которые можно описать фразами «не больше» и «не меньше». Фраза «не больше» по сути означает меньше или столько же, ей отвечает знак меньше или равно вида ≤. Аналогично, «не меньше» значит столько же или больше, ей соответствует знак больше или равно ≥.
Отсюда становится понятно, почему знаки < и > получили название знаков строгих неравенств, а ≤ и ≥ - нестрогих. Первые исключают возможность равенства объектов, а вторые – допускают ее.
В заключение этого пункта покажем пару примеров использования нестрогих неравенств. Например, с помощью знака больше или равно можно записать тот факт, что a
является неотрицательным числом, как |a|≥0
. Еще пример: известно, что среднее геометрическое двух положительных чисел a
и b
меньше или равно их среднему арифметическому, то есть, 
.
Верные и неверные неравенства
Неравенства могут быть верными или неверными.
Определение.
Неравенство является верным , если оно соответствует введенному выше смыслу неравенства, в противном случае оно является неверным .
Приведем примеры верных и неверных неравенств. Например, 3≠3 – это неверное неравенство, так как числи 3 и 3 равные. Другой пример: пусть S – это площадь некоторой фигуры, тогда S<−7 – неверное неравенство, так как известно, что площадь фигуры по определению выражается неотрицательным числом. И еще пример неверного неравенства: |AB|>|AB| . А вот неравенства −3<12 , |AB|≤|AC|+|BC| и |−4|≥0 – верные. Первое из них отвечает , второе – выражает неравенство треугольника , а третье – согласуется с определением модуля числа.
Отметим, что наряду со словосочетанием «верное неравенство» используются такие словосочетания: «справедливое неравенство», «имеет место неравенство» и т.п., означающие одно и то же.
Свойства неравенств
Согласно тому, как мы ввели понятие неравенства, можно описать основные свойства неравенств . Понятно, что объект не может быть не равен самому себе. В этом состоит первое свойство неравенств. Второе свойство не менее очевидно: если первый объект не равен второму, то второй не равен первому.
Введенные на некотором множестве понятия «меньше» и «больше» задают на исходном множестве так называемые отношения «меньше» и «больше». Это же относится и к отношениям «меньше или равно» и «больше или равно». Они также обладают характерными свойствами.
Начнем со свойств отношений, которым соответствуют знаки < и >. Перечислим их, после чего дадим необходимые комментарии для пояснения:
- антирефлексивность;
- антисимметричность;
- транзитивность.
Свойство антирефлексивности с помощью букв можно записать так: для любого объекта a неравенства a>a и ab , то ba . Наконец, свойство транзитивности состоит в том, что из ab и b>c следует, что a>c . Это свойство также воспринимается достаточно естественно: если первый объект меньше (больше) второго, а второй меньше (больше) третьего, то понятно, что первый объект подавно меньше (больше) третьего.
В свою очередь отношениям «меньше или равно» и «больше или равно» присущи следующие свойства:
- рефлексивности: имеют место неравенства a≤a и a≥a (так как они включают в себя случай a=a );
- антисимметричности: если a≤b , то b≥a , и если a≥b , то b≤a ;
- транзитивности: из a≤b и b≤c следует, что a≤c , а из a≥b и b≥c следует, что a≥c .
Двойные, тройные неравенства и т.д.
Свойство транзитивности, которое мы затронули в предыдущем пункте, позволяет составлять так называемые двойные, тройные и т.д. неравенства, представляющие собой цепочки неравенств. Для примера приведем двойное неравенство a Теперь разберем, как понимать такие записи. Их следует трактовать в согласии со смыслом содержащихся в них знаков. Например, двойное неравенство a В заключение заметим, что иногда удобно использовать записи в виде цепочек, содержащих одновременно как знаки равно, не равно, так и знаки строгих и нестрогих неравенств. Например, x=2 Список литературы.
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение города Иркутска средняя общеобразовательная школа № 23 Урок разработала: .
Тип урока
: урок открытия нового знания. Технология построения урока
: технология развития критического мышления. Системно-деятельностный подход, здоровьесберегающие технологии. Тема урока:
Верные и неверные равенства и неравенства.
Цели урока
: учить находить (распознавать) верные и неверные равенства и неравенства. Основные термины, понятия
:
равенства, неравенства, верные, неверные, сравнение., знаки «больше», «меньше», «равно». Планируемые результаты:
Личностные УУД:
Регулятивные УУД:
Познавательные УУД:
Коммуникативные УУД:
Организация пространства ХОД УРОКА
Организационный момент.
Придумано кем-то Просто и мудро При встрече здороваться: «Доброе утро!» Доброе утро, дорогие мои ученики! Доброе утро всем присутствующим! Мы рады, что на нашем уроке присутствую гости. Ведь недаром народная мудрость гласит: «Гости в доме – хозяевам радость!» Давайте повернемся к уважаемым учителям, поздороваемся с ними, кивнем головкой. Молодцы, вы показали себя вежливыми , воспитанными учениками. Ученица:
Мы гостей сегодня ждали И с волнением встречали: Хорошо ли мы умеем И писать и отвечать? Не судите очень строго, Ведь учились мы немного. Учитель
: Мы начинаем урок математики, а это значит, нас ждут важные открытия. Какие качества пригодятся вам на уроке математики? (Наблюдательность, находчивость, внимательность, точность, аккуратность и т. д.).
1 стадия. «Вызов».
Учитель: А начнем с зарядки для ума. (Один отвечает, а дети сигналят). 2. Сумма чисел 3 и 3 ? 3. Уменьшаемое 7, вычитаемое 4, значение разности? 4. 1 слагаемое 1, второе слагаемое 6, значение суммы? 5. Разность чисел 6 и 4? 6. 5 увеличить на 1? 7. 6 уменьшить на 6? 8. 4, это 2 и? 9. Число предыдущее числа 7? 10. Число последующее числа 9? 11. Горело 7 свечей, 2 свечи погасили. Сколько свечей осталось? (Две свечи.) 12. Портфель Коли помещается в портфеле Васи, а портфель Васи можно спрятать в портфель Севы. Какой из этих портфелей самый большой? 13. (Схема на доске). В Китае людей живет больше, чем в Индии, а в Индии людей живет больше, чем в России. В какой из этих стран самая большая численность населения? 2 УЗ. Внимательно посмотрите на доску. 5…9 8 … 8 7-1 … 4 8 – 4 … 3 + 1 На какие группы можно разбить все, что изображено, записано на доске? Ответы детей: - Предметы живой природы, математические записи, геометрические фигуры; - Равенства и неравенства и др. Дети формулируют тему урока: Равенства и неравенства. Равенства Неравенства (На доске) В рабочей тетради запишите в 1 столбик равенства. (1 ребенок у доски). Во второй столбик запишите неравенства. (1 ребенок у доски, дети запись не видят). Проверка. Вывод. Физминутка для глаз.
Методический прием: плюс - минус – вопрос.
Учитель: - ребята, у каждого на парте лежит таблица №1. Как вы думаете, какое задание я могу вам предложить? (Варианты детей). В 3 столбце вам нужно на каждое утверждение отметить значком: «+» вы ставите, если утверждение правильно, «-» - если неправильно, и «?» - если затрудняетесь ответить. Значки всегда ставим карандашом. Кому все понятно, вы можете приступить к работе. (Пауза). А с ребятами, которые сомневаются, я предлагаю начать работу вместе. Таблица № 1. *Равенство?
*Неравенство?
3 + 4 = 7
**Равенство?
6 = 4 + 2
**Равенство?
6 < 7
Равенство?
Равенство?
2 + 3 + 1 = 2 + 4
Неравенство?
9
>
7
Неравенство?
6
<3
Равенство?
Равенство?
Неравенство?
2 - 1
<
8
Неравенство?
8
> 4 + 4
Равенство?
5 – 3 = 2
Равенство?
8 – 3 = 2 + 3
Неравенство?
9
>
9
Легко было справиться с заданием? С какими трудностями столкнулись? Физминутка
1. Сколько точек в этом круге, столько раз поднимем руки. 2. Сколько елочек зеленых, столько сделаем наклонов 3. Сколько здесь кружков, столько сделаем прыжков. 4. Дружно звездочки считаем, столько вместе приседаем. Прием: З-Х-У.
Итак, что я знаю?! Заполните 1 столбец таблицы. Таблица № 2. -
Что бы вам хотелось узнать сегодня на уроке? (Ответы детей). Заполните 2 столбец таблицы. (Дети самостоятельно формулируют тему урока). 2 стадия. Осмысление.
Прием. Инсерт
(система маркировки текста (матем. записей)). Ребята, как вы думаете, как нам узнать, правильно ли мы рассуждали или нет? (Возможные ответы детей: Найти ответ в глобальной сети интернет, спросить у взрослых, спросить у учителя, в учебнике). Откройте, пожалуйста, учебник на стр. 38 (3, 8), № 96 (9, 6). И найдите мальчика и девочку, которые также как и вы справлялись с заданием. «Катя и Саша выполняли одинаковые задания. Посмотрите, что у них получилось». С помощью каких значков мы можем прокомментировать ответ. В учебнике ставим «+», если правильно, «-», если неправильно. Работаем в паре. Молодцы! Поднимите руки те, кто узнал новое на уроке математике (Ответы детей: равенства и неравенства бывают верными (правильная запись) и неверными (запись с ошибками). Можем ли мы заполнить 3 столбец таблицы? (Дети заполняют). Метод «тонких вопросов».
(1 ученик у доски, остальные дети работают в парах). Раздаточный материал
: «равенства», «неравенства», «верные», «верные», «неверные», «неверные», «9>3», «5 + 1 < 8», «6 < 4», «7 > 5 + 4», «5 – 1 = 4», «9 = 4 + 2», «6 = 6», «3 = 8». Равенства = Неравенства >, < Неверные Неверные 3 стадия. Рефлексия.
Ребята, продолжите фразу: «Сегодня на уроке математике я узнал….»; «Мне было интересно…»; «Теперь я умею…». Спасибо за урок! На уроке старались думать, отвечать правильно, доказывая свое мнение, значит, добьетесь больших успехов в математике! Молодцы! Сначала разберем, что такое неравенство, введем понятия не равно, больше, меньше. Дальше поговорим о записи неравенств с помощью знаков не равно, меньше, больше, меньше или равно, больше или равно. После этого затронем основные типы неравенств, дадим определения строгих и нестрогих, верных и неверных неравенств. Дальше мимоходом перечислим основные свойства неравенств. Наконец, остановимся на двойных, тройных и т.д. неравенствах, и разберем, какой смысл они несут в себе. Понятие неравенства
, как и понятие равенства, связано со сравнением двух объектов. И если равенство характеризуется словом «одинаковые», то неравенство, напротив, говорит о различии сравниваемых объектов. Например, объекты и — одинаковые, про них можно сказать, что они равные. А вот два объекта и отличаются, то есть, они не равны
или неравные
. В математике общий смысл неравенства сохраняется. Но в ее контексте речь идет о неравенстве математических объектов: чисел, значений выражений, значений каких-либо величин (длин, весов, площадей, температур и т.п.), фигур, векторов и т.п. Еще заметим, что алгебраические записи со знаками не равно, меньше, больше, меньше или равно, больше или равно, аналогичные рассмотренным выше, называют неравенствами. Более того, имеет место определение неравенств в смысле вида их записи: Неравенства
– это имеющие смысл алгебраические выражения, составленные с использованием знаков ≠, ≤, ≥. www.cleverstudents.ru Обратной стороной равенства выступает неравенство
. В этой статье мы введем понятие неравенства, и дадим начальную информацию о них в контексте математики. Навигация по странице. Смысл слов «больше» и «меньше» мы познаем практически с первых дней нашей жизни. На интуитивном уровне мы воспринимаем понятие больше и меньше в плане размера, количества и т.п. А дальше постепенно начинаем осознавать, что при этом фактически речь идет о сравнении чисел
, отвечающим количеству некоторых предметов или значениям некоторых величин. То есть, в этих случаях мы выясняем, какое из чисел больше, а какое – меньше. Приведем пример. Рассмотрим два отрезка AB и CD , и сравним их длины Еще пример. С утра была зафиксирована температура воздуха 11 градусов Цельсия, а в обед – 24 градуса. Согласно правилам сравнения натуральных чисел, 11 меньше 24 , следовательно, значение температуры с утра было меньше, чем ее значение в обед (температура в обед стала больше, чем была температура с утра). На письме приняты несколько знаков для записи неравенств. Первый из них – знак не равно
, он представляет собой перечеркнутый знак равно: ≠. Знак не равно ставится между неравными объектами. Например, запись |AB|≠|CD| обозначает, что длина отрезка AB не равна длине отрезка CD . Аналогично, 3≠5 – три не равно пяти. Аналогично используются знак больше > и знак меньше ≤. Знак больше записывается между большим и меньшим объектами, а знак меньше – между меньшим и большим. Приведем примеры использования этих знаков. Запись 7>1 читается как семь больше одного, а записать, что площадь треугольника ABC меньше площади треугольника DEF с использованием знака ≤ можно как SABC≤SDEF . Неравенство сравниваемых объектов познается вместе со смыслом таких слов, как выше, ниже (неравенство по высоте), толще, тоньше (неравенство по толщине), дальше, ближе (неравенство по удаленности от чего-либо), длиннее, короче (неравенство по длине), тяжелее, легче (неравенство по весу), ярче, тусклее (неравенство по яркости), теплее, холоднее и т.п. Как мы уже отмечали при знакомстве с равенствами, можно говорить как о равенстве двух объектов в целом, так и о равенстве их некоторых характеристик. Это же относится и к неравенствам. В качестве примера приведем два объекта и . Очевидно, они не одинаковые, то есть, в целом они неравные. Они не равны по размеру, также они не равны по цвету, однако, можно говорить о равенстве их форм – они оба являются кругами. Иногда ценность представляет именно сам факт неравенства двух объектов. А когда сравниваются значения каких-либо величин, то, выяснив их неравенство, обычно идут дальше, и выясняют, какая величина больше
, а какая – меньше
. Также широко в ходу знак больше или равно вида ≥, а также знак меньше или равно ≤. Подробнее об их смысле и назначении поговорим в следующем пункте. Цели:
Устный счет.
Работа с веером.
–
В домике живет цифра 5. Нужно узнать какой цифры не хватает на каждом этаже, чтобы результат был равен 5. (Дети показывают ответ с помощью математического веера.
) Счет «цепочкой» от 1 до 10 прямой и обратный от 10 до (мячом).
–
По очереди посчитайте от 1 до 10. – Теперь в обратном порядке от 10 до 1. Работа с математическим набором.
– Откройте математические наборы. – Положите 4 красных кружка, рядом 1 кружок другого цвета. – Сколько кружков стало? (5) – Составьте пример пользуясь цифрами из математического набора. (4+1=5) – Как записать? (Запись на доске) – Оставьте цифры 4 и 5. – Какое число меньше? (4) – Какую запись записать? (4 4) – Прочитайте запись. (Пять больше четырех.) – Уберите математический набор. Физминутка.
Поднимаем плечики, прыгаем кузнечики. Работа на доске.
– Поставьте 3 морковки сверху. – Поставьте 3 репки снизу. – Что можно сказать о количестве морковок и репок? (Их поровну. Столько же.) – Какой знак поставим между цифрами? (Равно.) Учитель записывает на доске 3=3.
–
Это равенство
–
тема урока. – Кто любит грызть морковку? (Зайчик.) Учитель ставит зайчика к морковкам.
–
Какую сказку узнали по картинкам? («Репка») Предлагается драматизация сказки «Репка», раздаются сказочные персонажи
: – Встаньте по порядку, как стояли сказочные герои в сказке. Дети проговаривают последовательность персонажей сказки (кто за кем стоит).
–
Сколько репок вытащили герои сказки? (1) – Что нужно сделать с репками, которые расположены на доске? (Убрать 1.) – Сколько репок? (2) На доске запись 3 2
–
Какой знак поставим между цифрами? (>) – Сколько морковок? (3) – Какой знак поставим между цифрами? ( Еле-еле, еле-еле Работа в учебнике.
– Прочитайте название темы в учебнике. (Равенство. Неравенство.) – Посмотрите, с какой стороны написаны равенства? (Слева.) Прочитайте. – С какой стороны в учебнике написаны неравенства? (Справа.) Прочитайте. – С какой темой урока вы сегодня познакомились? – Какой математический знак используется при записи равенства? xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai Чтобы получить запись, называемую числовым равенством, надо два числовых выражения соединить знаком равенства (=). Представленный пример является верным числовым равенством, но числовое равенство может быть неверным: Давайте разберем свойства числовых равенств. (12 + 3) = (9 + 6)
12 + 3 = 15 и 9 + 6 = 15
Равенство верно, теперь проверим свойство (12 + 3) + (5 – 2) = (9 + 6) + (5 – 2)
15 + (5 – 2) = 15 + (5 – 2)
В обоих случаях равенства верны То же самое произойдет, если мы вычтем
одно и то же числовое выражение из обеих частей верного числового равенства
. Проверим это свойство на предыдущем примере заменив действие сложение на вычитание: (12 + 3) – (5 – 2) = (9 + 6) – (5 – 2)
Как мы видим равенство верно. Проверим и это свойство: (75 – 3) = (15 + 57)
75 – 3 = 72 и 15 + 57 = 72 это равенство верно
(75 – 3) · (10 – 2) = (15 + 57) · (10 – 2)
72 · (10 – 2) = 72 · 8 = 576
На данном уроке вы вместе с лягушкой познакомитесь с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство», а также со знаками сравнения. На веселых и интересных примерах научитесь сравнивать группы фигур с помощью составления пар и сравнивать числа с помощью числового луча. Тема:
Знакомство с основными понятиями в математике
Урок: Равенство и неравенство
На данном уроке мы познакомимся с математическими понятиями: «равенство»
и «неравенство»
. Попробуйте ответить на вопрос: У стены стоят кадушки, В каждой ровно по лягушке. Если б было пять кадушек, Сколько б было в них лягушек? (рис. 1) Рис. 1
В стихотворении говорится, что кадушек было 5, в каждой кадушке по 1 лягушке, никто не остался без пары, значит число лягушек равно числу кадушек. Обозначим кадушки буквой К, а лягушек - буквой Л. Запишем равенство: К = Л. (рис. 2) Рис. 2
Сравните по количеству две группы фигур. Фигур много, они разного размера, расположены без порядка. (рис. 3) Рис. 3
Составим из этих фигур пары. Каждый квадрат соединим с треугольником. (рис. 4) Рис. 4
Два квадрата остались без пары. Значит, количество квадратов не равно количеству треугольников. Обозначим квадраты буквой К, а треугольники - буквой Т. Запишем неравенство: К ≠ Т. (рис. 5) Рис. 5
Вывод
: сравнивать количество элементов в двух группах можно, составляя пары. Если всем элементам хватает пары, то соответствующие числа равны
, в этом случае ставим между цифрами или буквами знак равно
. Эта запись называется равенством
. (рис. 6) Рис. 6
Если не хватает пары, то есть остаются лишние предметы, то эти числа неравны
. Ставим между числами или буквами знак неравно
. Эта запись называется неравенством.
(рис. 7) Рис. 7
Оставшиеся без пары элементы показывают, какое из двух чисел больше и на сколько. (рис. 8) Рис. 8
Способ сравнения групп фигур с помощью составления пар не всегда удобен и занимает много времени. Можно сравнивать числа с помощью числового луча. (рис. 9) Рис. 9
Сравните данные числа с помощью числового луча и поставьте знак сравнения. Нужно сравнить числа 2 и 5. Посмотрим на числовой луч. Число 2 находится ближе к 0, чем число 5, или говорят, число 2 на числовом луче левее, чем число 5. Значит, 2 не равно 5. Это неравенство. Знак «≠» (не равно) лишь фиксирует неравенство чисел, но не указывает, какое из них больше, а какое - меньше. Из двух чисел на числовом луче меньшее расположено левее, а большее - правее. (рис. 10) Рис. 10
Можно данное неравенство записать по-другому, используя знак меньше « < »
или знак больше « > »
: На числовом луче число 7 находится правее, чем число 4, следовательно: 7 ≠ 4 и 7 > 4 Числа 9 и 9 равны, поэтому ставим знак =, это равенство: Сравните количество точек и число и поставьте соответствующий знак. (рис. 11) Рис. 11
На первом рисунке нам необходимо поставить знак = или ≠ . Сравниваем две точки и число 2, ставим между ними знак =. Это равенство. Сравниваем одну точку и число 3, на числовом луче число 1 находится левее, чем число 3, ставим знак ≠. Сравниваем четыре точки и 4. Между ними ставим знак =. Это равенство. Сравниваем три точки и число 4. Три точки - это число 3. На числовом луче оно левее, ставим знак ≠. Это неравенство. (рис. 12) Рис. 12
На втором рисунке между точками и числами надо поставить знаки = , <, >. Сравним пять точек и число 5. Между ними ставим знак =. Это равенство. Сравним три точки и число 3. Здесь тоже можно поставить знак =. Сравним пять точек и число 6. На числовом луче число 5 левее, чем число 6. Ставим знак <. Это неравенство. Сравним две точки и единицу, число 2 правее на числовом луче, чем число 1. Ставим знак >. Это неравенство. (рис. 13) Рис. 13
Вставьте в окошко число, чтобы полученное равенство и неравенство стали верными. Это неравенство. Посмотрим на числовой луч. Раз мы ищем число меньше, чем число 7, значит оно должно быть левее числа 7 на числовом луче. (рис. 14) Рис. 14
В окошко можно вставить несколько чисел. Сюда подходят числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Любое из них можно подставить в окошко и получить несколько верных неравенства. Например, 5 < 7 или 2 < 7 На числовом луче найдём числа, которые будут меньше 5. (рис. 15) Рис. 15
Это числа 4, 3, 2, 1, 0. Следовательно, любое из этих чисел можно подставить в окошко, мы получим несколько верных неравенств. Например, 5 >4, 5 >3 В можно подставить только одно число 8. На данном уроке мы познакомились с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство», научились правильно расставлять знаки сравнения, потренировались сравнивать группы фигур с помощью составления пар и сравнивать числа с помощью числового луча, что поможет в дальнейшем изучении математики. Список литературы
Домашнее задание
1. Какие знаки сравнения вы знаете, в каких случаях они используются? Запишите знаки сравнения чисел. 2. Сравните количество предметов на рисунке и поставьте знак «<», «>» или «=». 3. Сравни числа, поставив знак «<», «>» или «=».
Закрепить умение записывать равенства и неравенства с помощью символов. Формировать умение сравнивать, анализировать, обобщать по разным основаниям, моделировать выбор способов деятельности, группировать.
Развивать умение спрашивать, интересоваться чужим мнением и высказывать своё; вступать в диалог.
- учащиеся должны иметь представление о верных и неверных неравенствах;
- учащиеся должны иметь общее понятие о верных и неверных равенствах;
- учащиеся должны распознавать верные и неверные равенства и верные и неверные неравенства;
- учащиеся должны уметь провести анализ предложенной ситуации;
- учащиеся должны уметь воспроизводить полученные знания.
- определять общие для всех правила поведения;
- определять правила работы в парах;
- оценивать усваиваемое содержание учебного материала (исходя из личностных ценностей);
- устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом.
- определять и формулировать цель деятельности на уроке ;
- формулировать учебные задачи, делать выводы;
- работать по предложенному плану, инструкции;
- высказывать свое предположение на основе учебного материала;
- отличать верно выполненное задание от неверного.
- ориентироваться в учебнике, тетради;
- ориентироваться в своей системе знаний (определять границы знания/незнания);
- находить ответы на вопросы, используя свои знания;
- проводить анализ учебного материала;
- проводить сравнение, объясняя критерии сравнения.
- слушать и понимать речь других;
- учиться с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, доказывать свое мнение.
Формы работы
: фронтальная, работа в парах, индивидуальная.
- Тема урока: Равенства и неравенства. - Какие бывают равенства? (верные и неверные). - Какие бываю неравенства? (верные и неверные). - Какие равенства и неравенства называют верными, а какими – неверными? (примеры).
(На доске)
. Очевидно, они не равны, также очевидно, что отрезок AB длиннее отрезка CD . Таким образом, согласно смыслу слова «длиннее», длина отрезка AB больше длины отрезка CD , и в то же время длина отрезка CD меньше длины отрезка AB .Что такое неравенство?
Не равно, больше, меньше
Запись неравенств с помощью знаков
Урок математики в 1-м классе по теме «Равенство. Неравенство»
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Подготовительная работа.
Прыг-скок, прыг-скок.
Сели, покушаем, тишину послушаем.
Тише-тише, высоко прыгаем легко-легко.III. Основная часть.
Завертелись карусели.
А потом кругом, кругом
И бегом, бегом.
Тише-тише не спешите
Карусель остановите.
Раз-два, раз-два
Вот и кончилась игра.IV. Закрепление изученного материала.
V. Рефлексия.
интернет проект BeginnerSchool.ru
Сайт для детей и их родителей
Числовые равенства и неравенства
Числовые равенства
