W całej poprzedniej prezentacji z warunków ustaliliśmy wymiary poprzeczne prętów wytrzymałość. Jednak zniszczenie pręta może nastąpić nie tylko z powodu złamania wytrzymałości, ale także dlatego, że pręt nie zachowa kształtu, który nadał mu projektant; w tym przypadku zmieni się również charakter stanu naprężenia w pręcie.
Bardzo typowy przykład jest pracą pręta ściśniętego siłami R. Do tej pory, aby sprawdzić siłę, mieliśmy warunek
Warunek ten zakłada, że pręt cały czas, aż do zniszczenia, pracuje na ściskanie osiowe. Już najprostsze przeżycie pokazuje, że nie zawsze jest możliwe zniszczenie pręta poprzez doprowadzenie naprężeń ściskających do granicy plastyczności lub wytrzymałości na rozciąganie materiału.
Jeśli poddamy cienką drewnianą linijkę ściskaniu wzdłużnemu, może się ona złamać przy zginaniu; przed pęknięciem siły ściskające, przy których linijka pęknie, będą znacznie mniejsze niż te, które spowodowałyby naprężenie równe wytrzymałości materiału na rozciąganie przy prostym ściskaniu. Zniszczenie linijki nastąpi, ponieważ nie będzie ona w stanie zachować nadanego jej kształtu prostego, ściśniętego pręta, ale będzie się wyginać, co spowoduje pojawienie się momentów zginających od sił ściskających R a zatem dodatkowe naprężenia zginające; władca przegra zrównoważony rozwój.
Dlatego do niezawodnego działania konstrukcji nie wystarczy, aby była mocna; konieczne jest, aby wszystkie jego elementy były odporny: muszą odkształcać się pod działaniem obciążeń w takich granicach, aby charakter ich pracy pozostał niezmieniony. Dlatego w wielu przypadkach, w szczególności w przypadku prętów ściskanych, oprócz badania wytrzymałości konieczne jest również badanie stabilności. Do przeprowadzenia tej weryfikacji niezbędne jest zapoznanie się z warunkami, w jakich zostaje naruszona stabilność prostoliniowego kształtu ściskanego pręta.
Ryc.1. Schemat projektu
Weźmy pręt wystarczająco długi w stosunku do jego wymiarów poprzecznych, zamocowany zawiasowo do podpór (ryc. 1) i obciążymy go od góry siłą centralną R, stopniowo wzrastając. Zobaczymy, że podczas władzy R stosunkowo mały, wędka zachowa prostoliniowy kształt. Podczas próby odchylenia go na bok, na przykład przyłożeniem krótkotrwałej siły poziomej, powróci on do swojego pierwotnego prostoliniowego kształtu po serii oscylacji, gdy tylko usunie się dodatkowa siła, która spowodowała odchylenie.
Ze stopniowym wzrostem siły R pręt będzie wracał do swojej pierwotnej pozycji coraz wolniej podczas sprawdzania jego stabilności; Wreszcie możesz przynieść siłę R do takiej wartości, przy której pręt po lekkim odchyleniu w bok już się nie prostuje, lecz pozostaje zakrzywiony. Jeśli nie usuniemy siły R, wyprostujemy pręt, z reguły nie będzie już w stanie utrzymać prostoliniowego kształtu. Innymi słowy, dla tej wartości siły R zwany krytyczny, taki stan równowagi będziemy mieli, gdy wykluczone zostanie prawdopodobieństwo zachowania przez pręt nadanego mu kształtu prostoliniowego).
Przejście do wartości krytycznej siły R dziać się Nagle; gdy tylko zmniejszymy siłę ściskającą bardzo nieznacznie w porównaniu z jej wartością krytyczną, prostoliniowa postać równowagi znów staje się stabilna.
Z drugiej strony z bardzo małym nadmiarem siły ściskającej R jego wartość krytyczna, prostoliniowy kształt pręta jest wykonany niezwykle nietrwały; w tym przypadku wystarczy niewielka mimośród przyłożonej siły, niejednorodność materiału na przekroju, aby pręt wygiął się i nie tylko nie powrócił do poprzedniego kształtu, ale nadal wyginał się pod działaniem coraz większego zginania momenty podczas krzywizny; proces krzywizny kończy się albo osiągnięciem zupełnie nowej (stabilnej) formy równowagi, albo zniszczeniem.
Na tej podstawie powinniśmy praktycznie uznać wartość krytyczną siły ściskającej za równoważną obciążeniu, które „niszczy” ściśnięty pręt, usuwając go (i związaną z nim konstrukcję) z warunków normalnej eksploatacji. Oczywiście należy pamiętać, że „zniszczenie” pręta przez obciążenie przekraczające krytyczne może nastąpić pod warunkiem niezakłóconego wzrostu krzywizny pręta; dlatego też, jeśli podczas wyboczenia poprzecznego pręt napotka poprzeczną podporę, która ogranicza jego dalsze krzywizny, to zniszczenie może nie nastąpić.
Zwykle taka możliwość jest wyjątkiem; dlatego w praktyce za najniższą granicę siły „niszczącej” pręta należy uznać krytyczną siłę ściskającą.
Ryc.2. Analogia pojęcia stateczności z mechaniki ciało stałe
Zjawisko wyboczenia pod wpływem ściskania można zilustrować analogicznie do następującego przykładu z mechaniki ciała stałego (rys. 2). Przetoczymy cylinder na pochyłej płaszczyźnie Ab, który następnie zamienia się w krótki obszar poziomy bс i pochyła płaszczyzna odwrotny kierunek płyta CD. Podczas gdy podnosimy cylinder wzdłuż płaszczyzny Ab, wspierając go za pomocą ogranicznika prostopadłego do nachylonej płaszczyzny, będzie w stanie stabilnej równowagi; na miejscu bс jego równowaga staje się obojętna; gdy tylko umieścimy cylinder w punkcie c, jego równowaga stanie się niestabilna przy najmniejszym popchnięciu w prawo, cylinder zacznie się przesuwać w dół.
Opisany powyżej fizyczny obraz utraty stabilności ściśniętego pręta jest łatwy do zrealizowania w każdym laboratorium mechanicznym przy użyciu bardzo elementarnej konfiguracji. Opis ten nie jest jakimś teoretycznym, wyidealizowanym schematem, ale odzwierciedla zachowanie rzeczywistej wędki pod działaniem sił ściskających.
Wyboczenie prostoliniowego kształtu ściśniętego pręta jest czasami określane jako „zginanie wzdłużne”, ponieważ pociąga za sobą znaczne wygięcie pręta pod działaniem sił wzdłużnych. Dla sprawdzenia stateczności zachowano do dziś termin „próba wyboczenia”, co jest warunkowe, gdyż nie powinniśmy tu mówić o sprawdzeniu zginania, ale o sprawdzeniu stateczności prostoliniowego kształtu pręta.
Ustaliwszy pojęcie siły krytycznej jako obciążenia „niszczącego”, które wyłącza pręt z normalnej pracy, możemy łatwo sformułować warunek do sprawdzenia stabilności, podobny do warunku wytrzymałościowego.
Siła krytyczna wywołuje naprężenie w ściśniętym pręcie, zwane „naprężeniem krytycznym” i oznaczone literą . Naprężenia krytyczne to naprężenia niebezpieczne dla ściśniętego pręta. Dlatego, aby zapewnić stabilność prostoliniowego kształtu pręta, ściśnięty siłami R, do warunku wytrzymałościowego należy dodać jeszcze jeden warunek stateczności:
gdzie jest dopuszczalnym naprężeniem statecznościowym, równym naprężeniu krytycznemu podzielonemu przez współczynnik bezpieczeństwa stateczności, tj. .
Aby móc przeprowadzić badanie stabilności, musimy pokazać, jak wyznaczać i jak dobierać współczynnik bezpieczeństwa.
Wzór Eulera do wyznaczania siły krytycznej.
Aby znaleźć naprężenia krytyczne, konieczne jest obliczenie siły krytycznej, tj. najmniejszej osiowej siły ściskającej, która może utrzymać równowagę lekko zakrzywionego ściśniętego pręta.
Problem ten został po raz pierwszy rozwiązany przez akademika Petersburskiej Akademii Nauk L. Eulera w 1744 roku.
Zwróć uwagę, że samo sformułowanie problemu jest inne niż we wszystkich wcześniej rozważanych częściach kursu. Jeśli wcześniej określiliśmy odkształcenie pręta pod zadanymi obciążeniami zewnętrznymi, to tutaj ustalamy problem odwrotny: biorąc pod uwagę krzywiznę osi ściskanego pręta, należy określić, przy jakiej wartości osiowej siły ściskającej R takie zniekształcenie jest możliwe.
Rozważmy prosty pręt o stałym przekroju, z zawiasami na końcach; jedna z podpór umożliwia ruch wzdłużny odpowiedniego końca pręta (rys. 3). Pomijamy ciężar własny pręta.
Ryc.3. Schemat obliczeń w „problemie Eulera”
Obciążamy pręt centralnie przyłożonymi wzdłużnymi siłami ściskającymi i nadajemy mu bardzo niewielką krzywiznę w płaszczyźnie najmniejszej sztywności; pręt jest utrzymywany w stanie wygiętym, co jest możliwe, ponieważ .
Zakłada się, że odkształcenie pręta przy zginaniu jest bardzo małe, dlatego aby rozwiązać problem, możemy użyć przybliżonego równania różniczkowego dla osi wygięcia pręta. Wybór początku współrzędnych w punkcie A a kierunek osi współrzędnych, jak pokazano na ryc. 3, mamy:
|
Zrób sekcję na odległość X od pochodzenia; rzędna zakrzywionej osi w tej sekcji będzie wynosić Na, a moment zginający wynosi
Zgodnie z pierwotnym schematem moment zginający okazuje się ujemny, natomiast rzędne dla wybranego kierunku osi Na okazać się pozytywny. (Gdyby pręt był zakrzywiony z wybrzuszeniem w dół, wówczas moment byłby dodatni i Na negatywne i .)
Podane właśnie równanie różniczkowe ma postać:
dzieląc obie strony równania przez EJ i oznaczając ułamek przez, doprowadzamy go do postaci:
Całka ogólna tego równania ma postać.
Irkuck Uniwersytet stanowyśrodki transportu
Laboratorium nr 16
przez dyscyplinę "Wytrzymałość materiałów"
EKSPERYMENTALNE WYZNACZANIE SIŁ KRYTYCZNYCH
DO GIĘCIA WZDŁUŻNEGO
Departament PM
Laboratorium nr 16
Eksperymentalne wyznaczanie sił krytycznych w wyboczeniu
Cel pracy: badanie zjawiska wyboczenia ściskanego pręta stalowego w sprężystym
gradacja. Eksperymentalne wyznaczanie wartości obciążeń krytycznych sprężonych
pręty przy różne drogi ustalanie i porównywanie ich z teoretycznymi
wartości.
Sprasowane pręty nie wystarczą do sprawdzenia wytrzymałości zgodnie z dobrze znanym warunkiem:
,
gdzie [σ] jest dopuszczalnym naprężeniem dla materiału pręta, P - siła ściskająca F - powierzchnia przekroju.
W zajęcia praktyczne inżynierowie mają do czynienia z elastycznymi prętami poddawanymi ściskaniu, cienkimi sprasowanymi płytami, cienkościennymi konstrukcjami, których awaria spowodowana jest nie utratą nośności, ale utratą stabilności.
Utrata stateczności rozumiana jest jako utrata pierwotnej formy równowagi.
Wytrzymałość materiałów uwzględnia stabilność elementów konstrukcyjnych pracujących w ściskaniu.
Rozważmy długi, cienki pręt (ryc. 1) obciążony osiową siłą ściskającą P .
P< P kr P > P kr
Ryż. 1. Pręt obciążony osiową siłą ściskającą P .
Dla małych wartości siły F pręt jest ściśnięty, pozostając prostym. Co więcej, jeśli pręt zostanie odchylony z tego położenia przez niewielkie obciążenie poprzeczne, wówczas ugnie się, ale po usunięciu pręt wróci do stanu prostoliniowego. Oznacza to, że dla danej siły P prostoliniowa postać równowagi pręta jest stabilna.
Jeśli nadal będziemy zwiększać siłę ściskającą P , następnie przy pewnej jego wartości prostoliniowa postać równowagi staje się niestabilna i powstaje Nowa forma równowaga pręta - krzywoliniowa (ryc. 1, b) . W wyniku wygięcia pręta na jego odcinkach pojawi się moment zginający, który spowoduje dodatkowe naprężenia, a pręt może się nagle załamać.
Krzywizna długiego pręta ściśniętego przez siłę wzdłużną nazywa się wyboczenie .
Najwyższa wartość nazywamy siłę ściskającą, przy której prostoliniowa postać równowagi pręta jest stabilna krytyczny - P kr.
Po osiągnięciu obciążenia krytycznego następuje gwałtowna jakościowa zmiana pierwotnej postaci równowagi, co prowadzi do zniszczenia konstrukcji. Dlatego siła krytyczna jest uważana za obciążenie niszczące.
Formuły Eulera i Jasińskiego
Problem określenia siły krytycznej ściśniętego pręta został po raz pierwszy rozwiązany przez członka petersburskiej Akademii Nauk L. Eulera w 1744 r. Formuła Eulera ma postać
(1)
Gdzie mi – moduł sprężystości materiału pręta; J min- najmniejszy moment bezwładności przekroju pręta (ponieważ zginanie pręta podczas wyboczenia następuje w płaszczyźnie najmniejszej sztywności, tj. przekroje pręta obracają się wokół osi, względem której moment bezwładności jest minimalny, tj. albo wokół osi X lub wokół osi y );
(μ· l ) to skrócona długość pręta, jest to iloczyn długości pręta l przez współczynnik μ, który zależy od metod mocowania końców pręta.
Współczynnik μ zwany współczynnik redukcji długości ; jego wartość dla najczęstszych przypadków mocowania końców pręta pokazano na ryc. 2:
A- oba końce pręta są zawiasowe i mogą się do siebie zbliżać;
B- jeden koniec jest sztywno zaciśnięty, drugi jest wolny;
V- jeden koniec jest uchylny, drugi ma „uszczelkę pływającą krzyżowo”;
G - jeden koniec jest sztywno zaciśnięty, drugi ma „uszczelkę pływającą krzyżowo”;
D- jeden koniec jest sztywno zamocowany, na drugim znajduje się zawiasowo-ruchoma podpora;
mi- oba końce są sztywno zaciśnięte, ale mogą się do siebie zbliżać.
Z tych przykładów widać, że współczynnik μ jest odwrotnością liczby półfal linii sprężystej pręta podczas wyboczenia.
Ryż. 2. Współczynnik μ za najczęściej
występujących przypadków mocowania końców pręta.
Naprężenie normalne w przekroju ściśniętego pręta, odpowiadające wartości krytycznej siły ściskającej, jest również nazywane krytycznym.
Definiujemy ją na podstawie wzoru Eulera:
(2)
Charakterystyka geometryczna przekroju I min, określone wzorem
zwany promień bezwładności przekroju (w odniesieniu do osi c J min). Dla przekroju prostokątnego
Uwzględniając (3), wzór (2) przyjmie postać:
(4)
Stosunek skróconej długości pręta do minimalnego promienia bezwładności jego przekroju, zgodnie z sugestią profesora Instytutu Inżynierów Kolejnictwa w Petersburgu F.S. Nazywa się Yasinsky (1856-1899). elastyczność pręta i oznaczone literą λ :
Ta bezwymiarowa wartość odzwierciedla jednocześnie następujące parametry: długość pręta, sposób jego mocowania oraz charakterystykę przekroju.
Ostatecznie podstawiając (5) do wzoru (4) otrzymujemy
Wyprowadzając wzór Eulera przyjęto, że materiał pręta jest sprężysty i podlega prawu Hooke'a. Dlatego wzór Eulera można zastosować tylko przy naprężeniach mniejszych niż granica proporcjonalności σ hc, czyli kiedy
Ten warunek określa granicę stosowalności wzoru Eulera:
Wielkość po prawej stronie tej nierówności nazywa się najwyższa elastyczność :
jego wartość zależy od właściwości fizycznych i mechanicznych materiału pręta.
Do stali miękkiej St. 3, dla których σ hc= 200 MPa, mi = 2· 10 5 MPa:
Podobnie można obliczyć wartość ostatecznej elastyczności dla innych materiałów: dla żeliwa λ zanim= 80, dla sosny λ zanim = 110.
Zatem wzór Eulera ma zastosowanie do prętów, których elastyczność jest większa lub równa elastyczności ostatecznej, tj.
λ ≥ λ zanim
Należy to rozumieć w następujący sposób: jeżeli elastyczność pręta jest większa niż elastyczność graniczna, to siłę krytyczną należy wyznaczyć ze wzoru Eulera.
Na λ < λ zanim Wzór Eulera dla prętów nie ma zastosowania. W tych przypadkach, gdy elastyczność prętów jest mniejsza niż graniczna, empiryczna Formuła Jasińskiego :
σ kr = A – B λ , (7)
Gdzie A I B - zdefiniowane empirycznie współczynniki stałe dla danego materiału; mają wymiar stresu.
Dla pewnej wartości elastyczności λ O stres σ kr, obliczona ze wzoru (7), staje się równa ostatecznemu naprężeniu ściskającemu, tj. granicy plastyczności σ T dla materiałów ciągliwych lub wytrzymałości na ściskanie σ słońce- do materiałów kruchych. Pręty o małej elastyczności ( λ < λ O) nie licz na stabilność, ale na wytrzymałość przy prostej kompresji.
Tak więc, w zależności od elastyczności, obliczenia ściśniętych prętów pod kątem stabilności przeprowadza się inaczej.
W konstrukcjach i konstrukcjach bardzo przydatne są części, które są stosunkowo długimi i cienkimi prętami, w których jeden lub dwa wymiary przekroju poprzecznego są małe w porównaniu z długością pręta. Zachowanie się takich prętów pod działaniem osiowego obciążenia ściskającego okazuje się zasadniczo inne niż przy ściskaniu prętów krótkich: gdy siła ściskająca F osiąga pewną wartość krytyczną równą Fcr, prostoliniowa postać równowagi długiego pręta obraca się okazuje się niestabilny, a po przekroczeniu Fcr wędka zaczyna się intensywnie wyginać (wybrzuszać). Jednocześnie nowy (chwilowy) stan równowagi jakaś nowa już krzywoliniowa forma staje się elastyczna i długa. Zjawisko to nazywane jest utratą stabilności.
Ryż. 37. Utrata stabilności
Stabilność - zdolność ciała do utrzymania pozycji lub kształtu równowagi pod wpływem czynników zewnętrznych.
Siła krytyczna (Fcr) to obciążenie, którego przekroczenie powoduje utratę stabilności pierwotnego kształtu (położenia) ciała. Warunek stabilności:
Fmax ≤ Fcr, (25)
Stabilność ściśniętego pręta. problemu Eulera.
Przy wyznaczaniu siły krytycznej powodującej wyboczenie ściśniętego pręta przyjmuje się, że pręt jest idealnie prosty, a siła F jest przyłożona ściśle centralnie. Problem obciążenia krytycznego ściśniętego pręta, uwzględniający możliwość istnienia dwóch postaci równowagi przy tej samej wartości siły, rozwiązał L. Euler w 1744 r.
Ryż. 38. Sprasowany pręt
Rozważ pręt podparty obrotowo na końcach, ściśnięty siłą wzdłużną F. Załóżmy, że z jakiegoś powodu pręt otrzymał niewielką krzywiznę osiową, w wyniku czego pojawił się w nim moment zginający M:
gdzie y jest ugięciem pręta w dowolnym odcinku o współrzędnej x.
Aby określić siłę krytyczną, możesz użyć przybliżonego równania różniczkowego linii sprężystej:
(26)
Po przekształceniach widać, że siła krytyczna przyjmie minimalną wartość przy n = 1 (jedna półfala sinusoidy pasuje wzdłuż długości pręta) i J = Jmin (pręt jest wygięty wokół osi z najmniejszy moment bezwładności)
(27)
To wyrażenie jest formułą Eulera.
Zależność siły krytycznej od warunków mocowania pręta.
Wzór Eulera uzyskano dla tzw. przypadku podstawowego - zakładającego przegubowe podparcie pręta na końcach. W praktyce istnieją inne przypadki mocowania pręta. W takim przypadku wzór na wyznaczenie siły krytycznej dla każdego z tych przypadków można otrzymać rozwiązując, podobnie jak w poprzednim akapicie, równanie różniczkowe osi ugięcia belki z odpowiednimi warunkami brzegowymi. Ale możesz zastosować prostszą technikę, jeśli pamiętasz, że w przypadku utraty stabilności jedna półfala sinusoidy powinna zmieścić się na całej długości wędki.
Rozważmy kilka charakterystycznych przypadków mocowania pręta na końcach i uzyskajmy ogólny wzór na różne rodzaje mocowania.
Ryż. 39. Różne przypadki mocowania pręta
Ogólna formuła Eulera:
(28)
gdzie μ l \u003d l pr - zmniejszona długość pręta; l to rzeczywista długość pręta; μ jest współczynnikiem długości zredukowanej, pokazującym, ile razy należy zmienić długość pręta, aby siła krytyczna dla tego pręta zrównała się z siłą krytyczną dla belki przegubowej. (Inna interpretacja zredukowanego współczynnika długości: μ pokazuje, na jakiej części długości pręta dla danego typu mocowania mieści się jedna półfala sinusoidy w przypadku wyboczenia.)
W ten sposób ostateczny warunek stabilności przyjmuje formę
(29)
Rozważ dwa rodzaje obliczeń stabilności ściskanych prętów - weryfikację i projekt.
Sprawdź obliczenie
Procedura sprawdzania stabilności wygląda następująco:
- na podstawie znanych wymiarów i kształtu przekroju poprzecznego oraz warunków mocowania pręta obliczamy podatność;
- zgodnie z tabelą referencyjną znajdujemy współczynnik redukcji naprężenia dopuszczalnego, następnie określamy naprężenie dopuszczalne dla stateczności;
- porównać maksymalne naprężenie z dopuszczalnym naprężeniem statecznościowym.
Obliczenia projektowe
W obliczeniach projektowych (doboru przekroju dla danego obciążenia) we wzorze obliczeniowym występują dwie nieznane wielkości - żądane pole przekroju poprzecznego A oraz nieznany współczynnik φ (ponieważ φ zależy od podatności pręta, a więc na nieznanym obszarze A). Dlatego przy doborze przekroju zwykle konieczne jest zastosowanie metody kolejnych przybliżeń.
Wyznaczmy siłę krytyczną dla centralnie ściśniętego pręta z zawiasami na końcach (ryc. 13.4). Dla małych sił R oś pręta pozostaje prosta, aw jego odcinkach powstają centralne naprężenia ściskające o = P/F. Przy krytycznej wartości siły P = P, możliwa staje się zakrzywiona forma równowagi pręta.
Jest podłużne zagięcie. Moment zginający w dowolnym przekroju x pręta jest równy
Należy zauważyć, że moment zginający jest określany dla stanu odkształcenia pręta.
Jeżeli przyjmiemy, że naprężenia zginające powstające w przekrojach pręta od działania siły krytycznej nie przekraczają granicy proporcjonalności materiału o pc, a ugięcia pręta są małe, to możemy zastosować przybliżone równanie różniczkowe dla wygiętej osi pręta (patrz § 9.2)
Wprowadzając notację
zamiast (13.2) otrzymujemy równanie:
Ogólne rozwiązanie tego równania ma postać
Rozwiązanie to zawiera trzy niewiadome: stałe całkowania Cj, С2 oraz parametr Do, ponieważ wielkość siły krytycznej jest również nieznana. Aby określić te trzy wielkości, istnieją tylko dwa warunki brzegowe: u(0) = 0, v(l) = 0. Z pierwszego warunku brzegowego wynika, że C 2 = 0, az drugiego otrzymujemy
Z tej równości wynika, że albo C (= 0 lub grzech kl = 0. W przypadku C, = 0, ugięcia we wszystkich odcinkach pręta są równe zeru, co jest sprzeczne z początkowym założeniem problemu. W drugim przypadku kl = szt., Gdzie P - dowolna liczba całkowita. Mając to na uwadze, ze wzorów (13.3) i (13.5) otrzymujemy
Rozważany problem jest problemem wartości własnej. Znalezione numery Do = szt./1 zwany własne numery, a odpowiadające im funkcje to własne funkcje.
Jak widać z (13.7), w zależności od liczby P siła ściskająca P (i), przy której pręt jest wygięty, może teoretycznie przyjąć szereg wartości. W tym przypadku, zgodnie z (13.8), pręt jest wygięty wzdłuż P półfale sinusoidy (ryc. 13.5).
Najmniejsza wartość siły będzie wynosić P = 1:
Ta siła nazywa się pierwsza siła krytyczna. W której kl = do a zakrzywiona oś pręta to jedna półfala sinusoidy (ryc. 13.5, A):
Gdzie C(1)=/ - ugięcie w połowie długości pręta, które wynika z (13.8) kiedy P= 1 z nich = 1/2.
Wzór (13.9) został uzyskany przez Leonharda Eulera i nosi nazwę wzoru Eulera na siłę krytyczną.
Wszystkie formy równowagi (ryc. 13.5), z wyjątkiem pierwszej (P= 1), są niestabilne i dlatego nie mają praktycznego znaczenia. Odpowiednie formy równowagi P - 2, 3, ..., będzie stabilny, jeśli w punktach przegięcia linii sprężystej (punkty C i C "na ryc. 13.5, pne) wprowadzić dodatkowe podpory zawiasowe.
Otrzymane rozwiązanie ma dwie cechy. Po pierwsze, rozwiązanie (13.10) nie jest jednoznaczne, gdyż dowolna stała Cj(1) =/ pozostaje niezdefiniowana pomimo zastosowania wszystkich warunków brzegowych. W rezultacie ugięcia wyznaczono z dokładnością do stałego współczynnika. Po drugie, to rozwiązanie nie pozwala na opisanie stanu pręta w P > P kr. Z (13.6) wynika, że dla P = P kr pręt może mieć zakrzywiony kształt równowagi pod warunkiem, że kl = k. Jeśli R > R kr, To kl F p, a wtedy powinno być Cj(1) = 0. Oznacza to, że v= 0, czyli pręt po zgięciu o godz P = P kr powraca do linii prostej R > R. Jest oczywiste, że jest to sprzeczne z fizycznymi koncepcjami zginania prętów.
Cechy te wynikają z faktu, że dla stanu odkształconego pręta otrzymuje się wyrażenie (13.1) na moment zginający oraz równanie różniczkowe (13.2), natomiast przy ustalaniu warunku brzegowego na końcu X= / ruch osiowy i w ten koniec (ryc. 13.6) ze względu na wygięcie nie został uwzględniony. Rzeczywiście, jeśli zaniedbamy skrócenie pręta z powodu kompresji centralnej, to łatwo sobie wyobrazić, że ugięcia pręta będą miały całkiem określone wartości, jeśli ustawimy wartość i w.
Z tego rozumowania staje się oczywiste, że w celu określenia zależności ugięcia od wielkości siły ściskającej R konieczny zamiast warunku brzegowego v(l)= 0 użyj udoskonalonego warunku brzegowego v(l - i v) = 0. Stwierdzono, że jeśli siła przekroczy wartość krytyczną tylko o 1 + 2%, ugięcia stają się na tyle duże, że konieczne jest zastosowanie dokładne nieliniowe równanie wyboczenia różniczkowego
Równanie to różni się od przybliżonego równania (13.4) pierwszym członem, który jest dokładnym wyrażeniem krzywizny osi ugięcia pręta (patrz § 9.2).
Rozwiązanie równania (13.11) jest dość skomplikowane i wyraża się całką eliptyczną zupełną pierwszego rodzaju.
Rozważmy pręt o długości /, którego jeden koniec jest sztywno zamocowany, a na drugi wolny koniec działa centralna siła ściskająca F(ryc. 15.8).
Ryż. 15.8.
Ogólne rozwiązanie problemu, zapisane w postaci wzoru (15.15), pozostaje w tym przypadku aktualne. Jeśli chodzi o warunki brzegowe, zostaną one zapisane w następującej formie:
Pożądane rozwiązanie można znaleźć w inny sposób. Warunkowo kontynuujemy pręt na prawo od ściśniętej podpory o długość / symetrycznie do lewej strony, a następnie zamiast warunków brzegowych (15.21) otrzymujemy nowe warunki:
Tak więc nowy problem faktycznie zbiegł się z rozważanym powyżej problemem Eulera. Jedyna różnica polega na tym, że w wyniku końcowym (15,20) długość / należy zastąpić przez 21:
Wzór Eulera można również uogólnić na inne przypadki mocowania końców pręta. Do tego w wzór obliczeniowy Euler wprowadza współczynnik korygujący p, tzw współczynnik redukcji długości pręt:
Współczynnik jest liczbowo równy odwrotności liczby półfal sinusoidy, które pasują wzdłuż zakrzywionej osi pręta. na ryc. 15.9 pokazuje różne rodzaje mocowania końców pręta i odpowiadające im współczynniki redukcji długości.
Można wykazać, że dla pierwszych trzech prętów pokazanych na ryc. 15,9, A - c, wartość współczynnika skróconej długości jest dokładna. Jeśli chodzi o czwarty problem, wartość skróconej długości dla niego jest określana w przybliżeniu. Rozważ problem określenia p dla tego przypadku (ryc. 15.9, G).
Równanie zdeformowanej osi pręta ma postać
Tutaj R- wielkość poziomej siły reakcji górnej podpory.
Ryż. 15.9.
Po przekształceniu równania (15.25) uwzględniając wzór (15.13) otrzymujemy
Równanie (15.26), w przeciwieństwie do równania (15.14), jest niejednorodne. Jego ogólne rozwiązanie zostanie zapisane w taki sam sposób, jak ogólne rozwiązanie odpowiadającego mu równania jednorodnego (15.14). Konkretne rozwiązanie ma postać
Zatem rozwiązanie równania (15.25) zostanie zapisane w postaci
W tym rozwiązaniu wartość R pełni rolę trzeciej nieznanej stałej, dlatego też do rozwiązania tego problemu konieczne jest sformułowanie trzeciego warunku brzegowego:
Korzystając z warunków brzegowych, otrzymujemy układ trzech równań nieliniowych
Rozwijając wyznacznik, dochodzimy do następującego równania nieliniowego:
Rozwiązanie równania nieliniowego (15.29) można otrzymać zarówno numerycznie, jak i graficznie. Dla jasności wybieramy drugie rozwiązanie. Zbudujmy wykresy następujących funkcji: Na=tg kl, y = kl(Rys. 15.10).
Ryż. 15.10.Wykresy funkcjiNa=tgkl, y = kl
Punkt przecięcia wykresów Z odpowiada wartości pierwiastka kl~ 4,5, skąd
Wzór na siłę krytyczną zawiera główny centralny moment bezwładności względem osi Oz-/ Yu1 . = ponieważ z góry założyliśmy, że pręt traci stabilność i wygina się w kierunku prostopadłym do osi Oh. Jednak, jak już zauważono, jeżeli warunki zamocowania podpór pozwalają na odkształcenie pręta w dowolnym kierunku z równym prawdopodobieństwem, wówczas pręt straci stateczność w kierunku, w którym moment bezwładności jego przekroju ma wartość minimalną 7 min.
Jeśli warunki mocowania są bardziej złożone, wymagana jest dodatkowa analiza w celu oszacowania siły krytycznej. Weźmy na przykład pręt (ryc. 15.11), którego lewy wspornik jest sztywno osadzony. Jeśli chodzi o podporę prawą, to tutaj stawia się warunki dla ruchomego osadzenia, umożliwiającego przemieszczenia i obroty w płaszczyźnie hu i zabraniając im przebywania w samolocie zx. Przekrój poprzeczny pręta jest prostokątny o współczynniku kształtu H = 2W.
Ryż. 15.11.
Mocowanie pręta w samolocie hu odpowiada współczynnikowi redukcji długości p = 2 (patrz ryc. 15.8) oraz w płaszczyźnie xz- p \u003d 0,5 (patrz ryc. 15.9, A).
Obliczmy siły krytyczne przy założeniu, że utrata stateczności nastąpi: 1) w płaszczyźnie hu oraz 2) w samolocie xz:
Porównując wartości dochodzimy do wniosku, że w samolocie nastąpi utrata stateczności hu, ponieważ ta opcja odpowiada niższej wartości siły krytycznej.
