Rozwiązanie diagramu Venna online. Dyskretna matematyka

Ludzkie myślenie jest skonstruowane w taki sposób, że świat wydaje się składać z pojedynczych „obiektów”. Filozofowie od dawna wiedzą, że świat jest jedną, nierozerwalną całością, a dobór znajdujących się w nim przedmiotów jest niczym innym jak arbitralnym aktem naszego myślenia, pozwalającym na uformowanie obrazu dostępnego racjonalnej analizie. Tak czy inaczej, identyfikacja przedmiotów i ich zbiorów jest naturalnym sposobem organizowania naszego myślenia, nic więc dziwnego, że leży u podstaw głównego narzędzia opisu wiedzy dokładnej - matematyki.

Pojęcie zbioru jest jednym z podstawowych, niezdefiniowanych pojęć matematyki. O zbiorze wiadomo co najmniej tyle, że składa się on z elementów. Dla pewności przyjmujemy następujące sformułowania.

Definicja. Pod tłumem S będziemy rozumieć każdy zbiór zdefiniowanych i rozróżnialnych obiektów, pojmowanych jako jedna całość. Obiekty te nazywane są elementami zbioru S.

Definicja. Przez zbiór rozumie się połączenie w jedną całość pewnych całkowicie rozróżnialnych obiektów (obiektów), które następnie nazywane są elementami tworzącego je zbioru.

Zestawy są zwykle oznaczane wielkimi literami alfabetu łacińskiego: A, B, C, ...; a elementy zestawów pisane są małymi literami: A, B, C, … .

Jeśli obiekt X jest elementem zestawu M, wtedy tak mówią X należy M: Hm. Inaczej się tak mówi X nie należy M: Hm.

W tej intuicyjnej definicji, należącej do niemieckiego matematyka G. Cantora, zasadniczym faktem jest to, że zbiór przedmiotów sam w sobie jest uważany za jeden przedmiot, rozumiany jako pojedyncza całość. Jeśli chodzi o same przedmioty, które można włączyć do zestawu, istnieje co do nich duża dowolność.

Przykład 1

Może to być zbiór studentów studiujących na uniwersytecie, zbiór liczb pierwszych itp.

Definicja. Pęczek A nazywany podzbiorem zbioru W, jeśli każdy element z A jest elementem W(oznaczać). Jeśli A jest podzbiorem W I W nie jest podzbiorem A, wtedy tak mówią A jest podzbiorem ścisłym (właściwym). W(oznaczać).

Definicja. Zbiór niezawierający elementów nazywany jest pustym (oznaczany przez Æ); jest podzbiorem dowolnego zbioru. Pęczek U nazywa się uniwersalnym, to znaczy wszystkie rozważane zbiory są jego podzbiorem.

Rozważmy dwie definicje równości zbiorów.

Definicja. Zestawy A I W uważa się za równe, jeśli składają się z tych samych elementów, napisz A=B, W przeciwnym razie A¹ W.

Definicja. Zestawy A I W są uważane za równe, jeśli

Są następujące sposoby definiowania zbiorów :

1) wyszczególnienie elementów: M = (A 1 , A 2 , …, k} , czyli lista jego elementów;

2) orzeczenie charakterystyczne: M = (X | P(X)} (opis charakterystycznych właściwości, jakie muszą posiadać jego elementy);

procedura generowania: M = { X | X= F} , który opisuje sposób uzyskiwania elementów zbioru z już uzyskanych elementów lub innych obiektów. W tym przypadku elementami zbioru są wszystkie obiekty, jakie mogą być

1) są konstruowane przy użyciu tej procedury. Na przykład zbiór wszystkich liczb całkowitych będących potęgami dwójki.

Komentarz. Definiując zbiory przez wyliczenie, oznaczenia elementów ujęte są zwykle w nawiasy klamrowe i oddzielane przecinkami. Przez wyliczenie można określić tylko zbiory skończone (liczba elementów zbioru jest skończona, w przeciwnym razie zbiór nazywa się nieskończonym). Predykat charakterystyczny to pewien warunek wyrażony w postaci instrukcji logicznej lub procedury, która zwraca wartość logiczną. Jeśli warunek jest spełniony dla danego elementu, to należy on do określonego zbioru, w przeciwnym razie nie należy. Procedura generująca to procedura, która po uruchomieniu generuje obiekty będące elementami definiowanego zbioru. Zbiory nieskończone są definiowane przez charakterystyczny predykat lub procedurę generującą.

Przykład 2

1) M = (1, 2, 3, 4)– wymienia elementy zestawu.

2) jest orzeczeniem charakterystycznym.

Definicja. Liczność zbioru skończonego A jest liczbą jego elementów.

Liczność zbioru jest oznaczona wzorem: | A|.

Przykład 3

|| = 0; |{}| = 1.

Definicja. Mówi się, że zbiory mają równą liczebność, jeśli ich liczności są zbieżne.

Definicja. Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru A nazywa się wartością logiczną P(A).

Wiadomo, że jeśli zestaw A zawiera N elementy, a następnie zbiór P(A) zawiera 2 N elementy. W związku z tym stosuje się również oznaczenie stopnia ustawienia A Jak 2 A.

Przykład 4

ZA = (0, 1, 2),P(A) = { , {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} .

Zbiory można przedstawić geometrycznie za pomocą diagramów Eulera-Venna. Konstrukcja diagramu polega na narysowaniu dużego prostokąta reprezentującego zbiór uniwersalny U, a wewnątrz niego - koła (lub inne zamknięte figury) reprezentujące zbiory. Kształty muszą przecinać się w najbardziej ogólny sposób wymagany przez problem i muszą być odpowiednio oznaczone. Punkty leżące w różnych obszarach diagramu można uznać za elementy odpowiednich zbiorów. Po skonstruowaniu diagramu możesz zacieniować pewne obszary, aby wskazać nowo utworzone zbiory.

Operacje na zbiorach są rozważane w celu uzyskania nowych zbiorów z istniejących.

Definicja. Suma zbiorów A I W jest zbiorem składającym się ze wszystkich elementów, które należą do co najmniej jednego ze zbiorów A,W(ryc. 1.1):

Ryż. 1.1. Diagram Eulera-Venna dla unifikacji

Definicja. Przecięcie zbiorów A I W jest zbiorem składającym się ze wszystkich i tylko tych elementów, które jednocześnie do tego zbioru należą A, i wiele W(ryc. 1.2):

Ryż. 1.2. Diagram Eulera-Venna dla przecięcia

Definicja. Ustaw różnicę A I W nazywa się zbiorem tych wszystkich i tylko tych elementów A, które nie są zawarte w W(ryc. 1.3):

Ryż. 1.3. Diagram Eulera-Venna dla różnicy

Definicja. Symetryczna różnica zestawów A I W jest zbiorem elementów tych zbiorów, które albo należą tylko do zbioru A lub tylko do zestawu W(ryc. 1.4):

Ryż. 1.4. Diagram Eulera-Venna dla różnicy symetrycznej

Definicja. Absolutne uzupełnienie zestawu A jest zbiorem wszystkich elementów, które do zbioru nie należą A(ryc. 1.5):

Ryż. 1,5. Diagram Eulera-Venna dla absolutnego dopełnienia

Przykład 5

Korzystając z diagramów Eulera-Venna dowodzimy tożsamości:

Spójrzmy na lewą stronę relacji i wykonaj kroki w podanej kolejności:

1) znaleźć przecięcie zbiorów W I Z() (ryc. 1.6, a);

2) znajdź związek wynikowego zestawu ze zbiorem A() (ryc. 1.6, b).

Rozważmy prawą stronę relacji :

1) znajdź sumę zbiorów A I W(ryc. 1.6, c);

2) znaleźć sumę zbiorów A I Z(Ryż.

1.6, d);

3) znajdź przecięcie dwóch ostatnich zbiorów i ( ) (ryc. 6, d):

W obu przypadkach (ryc. 1.6, b) i (ryc. 1.6, e) otrzymujemy równe zbiory. Zatem pierwotna relacja jest ważna.

Ryż. 1.6. Dowód tożsamości za pomocą diagramów Eulera-Venna

Rozważmy podstawowe tożsamości algebry zbiorów. Dla dowolnych zestawów A,W, I Z obowiązują następujące zależności (tabela 1.11):

Tabela 1.11 Podstawowe tożsamości algebry zbiorów

Stowarzyszenie	Skrzyżowanie
1. Przemienność związku	1'. Przemienność przecięcia
2. Łączność asocjacyjna	2′. Łączność przecięcia
3. Rozdzielność związku względem przecięcia	3′. Rozdzielność przecięcia względem sumy
4. Prawa działania ze zbiorami pustymi i uniwersalnymi	4'. Prawa działania ze zbiorami pustymi i uniwersalnymi
5. Prawo idempotencji związku	5'. Prawo idempotencji przecięcia
6. Prawo De Morgana	6′. Prawo De Morgana
7. Prawo absorpcji	7′. Prawo absorpcji
8. Prawo klejenia	8'. Prawo wiązania
9. Prawo Poreckiego	9'. Prawo Poreckiego
10. Prawo podwójnego uzupełnienia

Fabuła

Definicja 1

Leonhardowi Eulerowi zadano pytanie: czy spacerując po Królewcu można ominąć wszystkie mosty miasta, nie przechodząc dwukrotnie przez żaden z nich? W załączeniu plan miasta z siedmioma mostami.

W liście do znanego mu włoskiego matematyka Euler podał krótkie i piękne rozwiązanie problemu mostów w Królewcu: przy takim układzie problem jest nierozwiązalny. Jednocześnie dał do zrozumienia, że pytanie wydało mu się interesujące, ponieważ... „Ani geometria, ani algebra nie wystarczą, aby go rozwiązać…”.

Rozwiązując wiele problemów, L. Euler przedstawiał zbiory za pomocą okręgów, dlatego otrzymali nazwę „Kręgi Eulera”. Metodę tę stosował już wcześniej niemiecki filozof i matematyk Gottfried Leibniz, który stosował ją do geometrycznego wyjaśniania logicznych powiązań między pojęciami, częściej jednak posługiwał się diagramami liniowymi. Euler opracował tę metodę dość dokładnie. Metody graficzne stały się szczególnie sławne dzięki angielskiemu logikowi i filozofowi Johnowi Vennowi, który wprowadził diagramy Venna, a podobne diagramy nazywane są często Diagramy Eulera-Venna. Wykorzystuje się je w wielu dziedzinach, na przykład w teorii mnogości, teorii prawdopodobieństwa, logice, statystyce i informatyce.

Zasada diagramowania

Do tej pory diagramy Eulera-Venna były szeroko stosowane do schematycznego przedstawiania wszystkich możliwych przecięć kilku zbiorów. Diagramy pokazują wszystkie $2^n$ kombinacje n właściwości. Na przykład, gdy $n=3$ diagram przedstawia trzy okręgi o środkach w wierzchołkach trójkąta równobocznego i o tym samym promieniu, który jest w przybliżeniu równy długości boku trójkąta.

Operacje logiczne definiują tablice prawdy. Diagram przedstawia okrąg z nazwą zbioru, który reprezentuje, na przykład $A$. Obszar w środku okręgu $A$ będzie reprezentował prawdziwość wyrażenia $A$, a obszar poza okręgiem będzie wskazywał fałsz. Aby wyświetlić operację logiczną, zacienione są tylko te obszary, w których wartości operacji logicznej dla zbiorów $A$ i $B$ są prawdziwe.

Na przykład koniunkcja dwóch zbiorów $A$ i $B$ jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zbiory są prawdziwe. W tym przypadku na diagramie wynikiem koniunkcji $A$ i $B$ będzie pole w środku okręgów, które jednocześnie należy do zbioru $A$ i zbioru $B$ (przecięcie z zestawów).

Rysunek 1. Koniunkcja zbiorów $A$ i $B$

Używanie diagramów Eulera-Venna do udowadniania równości logicznych

Przyjrzyjmy się, jak metoda konstruowania diagramów Eulera-Venna jest wykorzystywana do udowadniania równości logicznych.

Udowodnijmy prawo De Morgana, które opisuje równość:

Dowód:

Rysunek 4. Inwersja $A$

Rysunek 5. Inwersja $B$

Rysunek 6. Koniunkcja inwersji $A$ i $B$

Po porównaniu obszaru wyświetlania lewej i prawej części widzimy, że są one równe. Z tego wynika ważność równości logicznej. Prawo De Morgana można udowodnić za pomocą diagramów Eulera-Venna.

Rozwiązywanie problemu wyszukiwania informacji w Internecie za pomocą diagramów Eulera-Venna

Aby wyszukiwać informacje w Internecie, wygodnie jest używać zapytań z spójnikami logicznymi, podobnymi do spójników „i”, „lub” w języku rosyjskim. Znaczenie spójników logicznych staje się jaśniejsze, jeśli zilustruje się je za pomocą diagramów Eulera-Venna.

Przykład 1

W tabeli przedstawiono przykładowe zapytania do serwera wyszukiwania. Każde żądanie ma swój własny kod - literę od $A$ do $B$. Kody żądań należy uporządkować malejąco według liczby stron znalezionych dla każdego żądania.

Rysunek 7.

Rozwiązanie:

Zbudujmy diagram Eulera-Venna dla każdego żądania:

Cyfra 8.

Odpowiedź: BVA.

Rozwiązywanie logicznego, znaczącego problemu za pomocą diagramów Eulera-Venna

Przykład 2

W czasie ferii zimowych uczniowie klasy 2$ z 36$ nie poszli do kina, teatru ani do cyrku. Ludzie po 25 dolarów poszli do kina, po 11 dolarów do teatru, po 17 dolarów do cyrku; zarówno w kinie, jak iw teatrze – 6 dolarów; zarówno do kina, jak i do cyrku - 10 $; oraz do teatru i cyrku - 4 $.

Ile osób było w kinie, teatrze i cyrku?

Rozwiązanie:

Oznaczmy liczbę dzieci, które były w kinie, teatrze i cyrku jako $x$.

Zbudujmy diagram i znajdźmy liczbę facetów w każdym obszarze:

Rysunek 9.

Nie byłem w teatrze, kinie ani cyrku – 2 dolary za osobę.

Zatem 36–2 USD = 34 USD osób. uczestniczył w wydarzeniach.

Do kina i teatru poszli ludzie za 6 dolarów, czyli tylko do kina i teatru (6 dolarów – x)$.

Do kina i cyrku poszli ludzie za 10 dolarów, czyli tylko do kina i cyrku (10 dolarów - x$).

Ludzie za 4 dolary poszli do teatru i cyrku, co oznacza, że tylko 4 dolary – x $ osób poszło do teatru i cyrku.

Do kina poszło 25 dolarów, co oznacza, że 25 dolarów - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ poszło do samego kina.

Podobnie tylko (1$+x$) ludzie poszli do teatru.

Tylko (3$+x$) ludzie poszli do cyrku.

Poszliśmy więc do teatru, kina i cyrku:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34 $;

Te. tylko jedna osoba chodziła do teatru, kina i cyrku.

Niektóre problemy można wygodnie i przejrzyście rozwiązać za pomocą diagramów Eulera-Venna. Na przykład problemy dotyczące zbiorów. Jeśli nie wiesz, czym są diagramy Eulera-Venna i jak je zbudować, przeczytaj najpierw.

Przyjrzyjmy się teraz typowym problemom dotyczącym zbiorów.

Zadanie 1.

Badanie przeprowadzono wśród 100 uczniów szkoły z kształceniem pogłębionym języków obcych. Studentom zadano pytanie: „Jakich języków obcych się uczysz?” Okazało się, że 48 uczniów uczy się języka angielskiego, 26 – francuskiego, 28 – niemieckiego. 8 uczniów uczy się języka angielskiego i niemieckiego, 8 - angielskiego i francuskiego, 13 - francuskiego i niemieckiego. 24 uczniów nie uczy się języka angielskiego, francuskiego ani niemieckiego. Ilu uczniów, którzy wypełnili ankietę, uczy się jednocześnie trzech języków: angielskiego, francuskiego i niemieckiego?

Odpowiedź: 3.

Rozwiązanie:

wiele uczniów uczy się języka angielskiego („A”);
wiele dzieci w wieku szkolnym uczy się francuskiego („F”);
wiele uczniów uczy się języka niemieckiego („N”).

Przedstawmy za pomocą diagramu Eulera-Venna, co jest nam dane zgodnie z warunkiem.

Oznaczmy żądaną powierzchnię A=1, Ф=1, Н=1 jako „x” (w poniższej tabeli obszar nr 7). Wyraźmy pozostałe obszary za pomocą x.

0) Region A=0, Ф=0, Н=0: 24 uczniów – podano zgodnie z warunkami zadania.

1) Obszar A=0, F=0, H=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x uczniów.

2) Obszar A=0, F=1, H=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x uczniów.

3) Obszar A=0, F=1, N=1: 13 uczniów.

4) Obszar A=1, F=0, H=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x uczniów.

5) Obszar A=1, F=0, H=1: 8 uczniów.

6) Obszar A=1, F=1, H=0: 8 uczniów.

№ region	A	F	N	Ilość uczniowie
0	0	0	0	24
1	0	0	1	7+x
2	0	1	0	5+x
3	0	1	1	13
4	1	0	0	32+x
5	1	0	1	8-te
6	1	1	0	8-te
7	1	1	1	X

Zdefiniujmy x:

24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.

x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Ustaliliśmy, że 3 uczniów uczy się trzech języków jednocześnie: angielskiego, francuskiego i niemieckiego.

Tak będzie wyglądał diagram Eulera-Venna dla znanego x:

Zadanie 2.

Podczas Olimpiady Matematycznej uczniowie zostali poproszeni o rozwiązanie trzech problemów: jednego z algebry, jednego z geometrii i jednego z trygonometrii. W olimpiadzie wzięło udział 1000 uczniów. Wyniki Olimpiady były następujące: 800 uczestników rozwiązało zadanie z algebry, 700 z geometrii, 600 z trygonometrii, 600 uczniów rozwiązało zadania z algebry i geometrii, 500 z algebry i trygonometrii, 400 z geometrii i trygonometrii. 300 osób rozwiązało zadania z algebry, geometrii i trygonometrii. Ilu uczniów nie rozwiązało ani jednego problemu?

Odpowiedź: 100.

Rozwiązanie:

Najpierw definiujemy zbiory i wprowadzamy notację. Są trzy z nich:

wiele problemów z algebrą („A”);
wiele problemów z geometrii („G”);
wiele problemów z trygonometrii („T”).

Przedstawmy, co musimy znaleźć:

Określmy liczbę uczniów dla wszystkich możliwych obszarów.

Oznaczmy żądaną powierzchnię A=0, G=0, T=0 jako „x” (w poniższej tabeli obszar nr 0).

Znajdźmy pozostałe obszary:

1) Obszar A=0, G=0, T=1: brak uczniów.

2) Obszar A=0, G=1, T=0: brak uczniów.

3) Obszar A=0, G=1, T=1: 100 uczniów.

4) Obszar A=1, G=0, T=0: brak uczniów.

5) Region A=1, G=0, T=1: 200 uczniów.

6) Obszar A=1, D=1, T=0: 300 uczniów.

7) Region A=1, G=1, T=1: 300 uczniów.

Zapiszmy wartości obszarów w tabeli:

№ region	A	G	T	Ilość uczniowie
0	0	0	0	X
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	100
4	1	0	0	0
5	1	0	1	200
6	1	1	0	300
7	1	1	1	300

Wyświetlmy wartości dla wszystkich obszarów za pomocą diagramu:

Zdefiniujmy x:

x=U-(A V Г V Т), gdzie U jest wszechświatem.

A V G V T=0+0+0+300+300+200+100=900.

Ustaliliśmy, że 100 uczniów nie rozwiązało ani jednego problemu.

Zadanie 3.

Na Olimpiadzie Fizycznej uczniowie mieli rozwiązać trzy zadania: z kinematyki, termodynamiki i optyki. Wyniki Olimpiady były następujące: 400 uczestników rozwiązało zadanie z kinematyki, 350 z termodynamiki i 300 z optyki, 300 uczniów rozwiązało zadania z kinematyki i termodynamiki, 200 z kinematyki i optyki, 150 z termodynamiki i optyki. 100 osób rozwiązało problemy z kinematyki, termodynamiki i optyki. Ilu uczniów rozwiązało dwa problemy?

Odpowiedź: 350.

Rozwiązanie:

Najpierw definiujemy zbiory i wprowadzamy notację. Są trzy z nich:

wiele problemów z kinematyką („K”);
wiele problemów z termodynamiki („T”);
wiele problemów w optyce („O”).

Przedstawmy za pomocą diagramu Eulera-Venna, co jest nam dane zgodnie z warunkiem:

Przedstawmy, co musimy znaleźć:

Określmy liczbę uczniów dla wszystkich możliwych obszarów:

0) Region K=0, T=0, O=0: nie określono.

1) Region K=0, T=0, O=1: 50 uczniów.

2) Region K=0, T=1, O=0: brak uczniów.

3) Region K=0, T=1, O=1: 50 uczniów.

4) Obszar K=1, T=0, O=0: brak uczniów.

5) Region K=1, T=0, O=1: 100 uczniów.

6) Region K=1, T=1, O=0: 200 uczniów.

7) Region K=1, T=1, O=1: 100 uczniów.

Zapiszmy wartości obszarów w tabeli:

№ region	DO	T	O	Ilość uczniowie
0	0	0	0	-
1	0	0	1	50
2	0	1	0	0
3	0	1	1	50
4	1	0	0	0
5	1	0	1	100
6	1	1	0	200
7	1	1	1	100

Wyświetlmy wartości dla wszystkich obszarów za pomocą diagramu:

Zdefiniujmy x.

x=200+100+50=350.

Mamy to, 350 uczniów rozwiązało dwa problemy.

Zadanie 4.

Wśród przechodniów przeprowadzono ankietę. Zadano pytanie: „Jakie masz zwierzę?” Z wyników ankiety wynika, że 150 osób ma kota, 130 psa, a 50 ptaka. 60 osób ma kota i psa, 20 ma kota i ptaszka, 30 ma psa i ptaszka. 70 osób w ogóle nie ma zwierzęcia. 10 osób ma kota, psa i ptaka. Ilu przechodniów wzięło udział w ankiecie?

Odpowiedź: 300.

Rozwiązanie:

Najpierw definiujemy zbiory i wprowadzamy notację. Są trzy z nich:

wiele osób ma kota („K”);
wiele osób ma psa („C”);
wiele osób ma ptaka („P”).

Przedstawmy za pomocą diagramu Eulera-Venna, co jest nam dane zgodnie z warunkiem:

Przedstawmy, co musimy znaleźć:

Ustalmy liczbę osób dla wszystkich możliwych obszarów:

0) Region K=0, S=0, P=0: 70 osób.

1) Powierzchnia K=0, S=0, P=1: 10 osób.

2) Region K=0, S=1, P=0: 50 osób.

3) Powierzchnia K=0, S=1, P=1: 20 osób.

4) Region K=1, S=0, P=0: 80 osób.

5) Powierzchnia K=1, T=0, O=1: 10 osób.

6) Obszar K=1, T=1, O=0: 50 osób.

7) Powierzchnia K=1, T=1, O=1: 10 osób.

Zapiszmy wartości obszarów w tabeli:

№ region	DO	C	P	Ilość Człowiek
0	0	0	0	70
1	0	0	1	10
2	0	1	0	50
3	0	1	1	20
4	1	0	0	80
5	1	0	1	10
6	1	1	0	50
7	1	1	1	10

Wyświetlmy wartości dla wszystkich obszarów za pomocą diagramu:

Zdefiniujmy x:

x=U (wszechświat)

U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Ustaliliśmy, że w ankiecie wzięło udział 300 osób.

Zadanie 5.

Na jedną specjalizację na jednej z uczelni rozpoczęło się 120 osób. Kandydaci zdawali trzy egzaminy: z matematyki, informatyki i języka rosyjskiego. Matematykę i informatykę zdało 60 osób, 40 - informatykę, 30 kandydatów zdało matematykę i informatykę, 30 - matematykę i język rosyjski, 25 - informatykę i język rosyjski. Wszystkie trzy egzaminy zdało 20 osób, a oblało 50 osób. Ilu kandydatów zdało egzamin z języka rosyjskiego?

Fabuła

Definicja 1