Rodzaje modeli matematycznych. Pojęcie modelu matematycznego

Główne etapy

Omówienie i uzasadnienie głównych podejść do rozwiązywania problemów modelowanie matematyczne urządzeń technicznych i zachodzących w nich procesów, wydaje się wskazane w pierwszej kolejności rozważenie diagramu warunkowego (ryc. 1.1), który określa kolejność poszczególnych etapów ogólnej procedury Pozycją wyjściową tego schematu jest obiekt techniczny(TO), przez które rozumiemy określone urządzenie techniczne, jego jednostkę lub element składowy, zespół urządzeń, proces, zjawisko lub odrębną sytuację w dowolnym systemie lub urządzeniu.

Ryż. 1.1

W pierwszym etapie dokonuje się nieformalnego przejścia od rozważanego (rozwiniętego lub istniejącego) TO do jego schemat projektu(komputer). Jednocześnie, w zależności od kierunku eksperymentu obliczeniowego i jego ostatecznego celu, podkreśla się te właściwości, warunki pracy i cechy wyposażenia technicznego, które wraz z charakteryzującymi je parametrami powinny znaleźć odzwierciedlenie w komputerze PC, oraz odwrotnie, opowiadają się za założeniami i uproszczeniami, które pozwalają nie uwzględniać w PC TE tych cech, których wpływ w rozpatrywanej sprawie uznawany jest za nieistotny. Czasami zamiast słowa PC używa się tego terminu model treści* TO, a w niektórych przypadkach - model koncepcyjny. W uznanych dziedzinach inżynierii (na przykład w wytrzymałości materiałów, elektrotechnice i elektronice) oprócz informacji opisowych (werbalnych) opracowano specjalne techniki i symbole służące do wizualnej reprezentacji graficznej w celu scharakteryzowania komputerów osobistych. W wielu nowych obszarach rozwoju technologicznego taka symbolika jest na etapie formowania.

Przy opracowywaniu nowego sprzętu technicznego pomyślne zakończenie pierwszego etapu w dużej mierze zależy od poziomu zawodowego inżyniera, jego kreatywności i intuicji. Kompletność i poprawność uwzględnienia w PC właściwości TO, istotnych z punktu widzenia postawionego celu pracy, są głównym warunkiem uzyskania w przyszłości wiarygodnych wyników modelowania matematycznego. I odwrotnie, silna idealizacja TO na rzecz uzyskania prostego komputera PC może zdewaluować wszystkie kolejne etapy badania.

Trzeba powiedzieć, że w przypadku niektórych standardowych komputerów PC istnieją banki MM, co upraszcza drugi etap. Co więcej, ten sam MM może odpowiadać komputerom PC z różnych dziedzin. Jednak przy opracowywaniu nowych TO często nie można ograniczyć się do korzystania ze standardowych komputerów PC i odpowiadających im już zbudowanych MM. Tworzenie nowych MM lub modyfikacja istniejących powinna opierać się na odpowiednio głębokim treningu matematycznym i opanowaniu matematyki jako uniwersalnego języka nauki.

W trzecim etapie przeprowadzana jest jakościowa i ewaluacyjna analiza ilościowa skonstruowanego MM. W takim przypadku można zidentyfikować sprzeczności, których wyeliminowanie będzie wymagało wyjaśnienia lub rewizji komputera (linia przerywana na ryc. 1.1). Szacunki ilościowe mogą stanowić podstawę do uproszczenia modelu poprzez wyłączenie z rozważań niektórych parametrów, wskaźników lub ich poszczególnych składników, pomimo uwzględnienia w PC wpływu opisywanych przez nie czynników. W większości przypadków, przyjmując dodatkowe założenia w odniesieniu do PC, warto skonstruować uproszczoną wersję MM, która pozwoliłaby uzyskać lub zastosować znane dokładne rozwiązanie. Rozwiązanie to można następnie wykorzystać do porównania przy testowaniu wyników w kolejnych etapach. W niektórych przypadkach możliwe jest skonstruowanie kilku MM dla tego samego TO, różniących się różnymi poziomami uproszczenia. W tym przypadku o tym mówią Hierarchia MM(greckie słowo pochodzi od - sacrum i - power i w tym przypadku oznacza uporządkowanie MM w oparciu o ich złożoność i kompletność).

Konstrukcja hierarchii MM wiąże się z różnymi szczegółami właściwości badanego TO. Porównanie wyników badań różnych MM może znacząco poszerzyć i wzbogacić wiedzę na temat tego TO. Ponadto takie porównanie pozwala ocenić wiarygodność wyników kolejnego eksperymentu obliczeniowego: jeśli prostszy MM poprawnie odzwierciedla niektóre właściwości TO, to wyniki badania tych właściwości powinny być zbliżone do wyników uzyskanych przy użyciu pełniejszego i złożony MM.

Wynikiem analizy na rozpatrywanym etapie jest uzasadniony wybór roboczego MM TO, który podlega dalszej szczegółowej analizie ilościowej. Sukces w przeprowadzeniu trzeciego etapu zależy z reguły od głębokości zrozumienia powiązania pomiędzy poszczególnymi składnikami MM i właściwościami TO, odzwierciedlonymi w jego PC, co zakłada organiczne połączenie biegłości matematycznej i wiedzę inżynierską z określonej dziedziny.

Etap czwarty polega na rozsądnym wyborze metody analizy ilościowej MM, na opracowaniu efektywnego algorytmu dla eksperymentu obliczeniowego, natomiast etap piąty polega na stworzeniu działającego programu, który implementuje ten algorytm przy wykorzystaniu technologii komputerowej. Aby pomyślnie przeprowadzić etap czwarty, konieczne jest posiadanie arsenału nowoczesnych metod matematyki obliczeniowej, a w przypadku modelowania matematycznego dość skomplikowanych operacji technicznych realizacja etapu piątego wymaga profesjonalnego przeszkolenia z zakresu programowania komputerowego .

Wyniki obliczeń uzyskane na szóstym etapie (w wyniku programu) należy przede wszystkim przetestować poprzez porównanie z danymi analizy ilościowej uproszczonej wersji MM rozważanego TO. Testowanie może ujawnić niedociągnięcia zarówno w programie, jak i w algorytmie i wymagać modyfikacji programu lub modyfikacji zarówno algorytmu, jak i programu. Analiza wyników obliczeń i ich interpretacja inżynierska może wymagać dostosowania PC i odpowiedniego MM. Po wyeliminowaniu wszystkich zidentyfikowanych niedociągnięć triada „model – algorytm – program” może służyć jako narzędzie robocze do przeprowadzenia eksperymentu obliczeniowego i opracowania, na podstawie uzyskanych informacji ilościowych, praktycznych zaleceń mających na celu usprawnienie obsługi, co stanowi treść siódmy, kończący etap „cyklu technologicznego” modelowania matematycznego.

Przedstawiona kolejność etapów jest ogólna i uniwersalna, choć w niektórych szczególnych przypadkach może ulec niewielkim modyfikacjom. Jeśli przy opracowywaniu TO można wykorzystać standardowe komputery PC i MM, wówczas nie ma potrzeby wykonywania szeregu kroków, a jeśli dostępny jest odpowiedni pakiet oprogramowania, proces eksperymentu obliczeniowego staje się w dużej mierze zautomatyzowany. Jednak modelowanie matematyczne urządzeń technicznych, które nie mają bliskich prototypów, z reguły wiąże się z realizacją wszystkich etapów opisywanego „cyklu technologicznego”.

MODEL MATEMATYCZNY

Z sekwencji głównych etapów modelowanie matematyczne(patrz ryc. 1.1) wynika, że ​​odgrywa w tym decydującą rolę model matematyczny(MM) badanych obiekt techniczny. Dlatego przede wszystkim należy zwrócić uwagę na podstawowe właściwości MM i stawiane mu wymagania, a także klasyfikację MM.

2.1. Pojęcie modelu matematycznego

Pojęcie model matematyczny(MM), podobnie jak wiele innych pojęć używanych w modelowanie matematyczne, nie ma ścisłej formalnej definicji. Niemniej jednak koncepcja ta ma bardzo specyficzną treść, z którą w szczególności ściśle wiąże się zastosowanie matematyki w praktyce inżynierskiej. Co więcej, takie dyscypliny naukowe, jak mechanika, fizyka i ich liczne gałęzie, są w istocie uporządkowanymi zbiorami MM, których konstrukcji towarzyszy teoretyczne uzasadnienie odpowiedniego odzwierciedlenia przez te modele właściwości rozpatrywanych procesów i zjawisk . To poprzez MM dyscypliny naukowe wchodzą w interakcję z matematyką.

Etapy rozwoju wielu kierunków nauk przyrodniczych w zakresie poznania praw natury i doskonalenia technologii polegają na budowie ciągu coraz dokładniejszych i pełniejszych MM badanych procesów i zjawisk. Historia nauki zna jednak nie tylko przypadki konsekwentnego udoskonalania tego czy innego MM, ale także przypadki porzucania niektórych MM ze względu na rozbieżność przewidywanych przez nie wyników z rzeczywistością.

MM odpowiadający rzeczywistości (adekwatny) jest z reguły wielkim osiągnięciem naukowym. Pozwala przeprowadzić szczegółowe badanie badanego obiektu i wiarygodnie prognozować jego zachowanie w różnych warunkach. Jednak adekwatność MM często odbywa się kosztem jego złożoności, co powoduje trudności w jego stosowaniu. W tym przypadku z pomocą przychodzi nowoczesna technologia obliczeniowa, która znacznie rozszerzyła klasę MM, które umożliwiają wyczerpującą analizę ilościową.

Te same MM znajdują czasami zupełnie inne zastosowania. Wiadomo na przykład, że prawo przyciągania Newtona dwóch punktów materialnych i prawo oddziaływania dwóch punktowych ładunków elektrycznych, przy odpowiednim doborze jednostek miary wielkości fizycznych, można wyrazić tymi samymi wzorami. Używając tego samego MM zawierającego równanie Poissona

gdzie jest operatorem różniczkowym Laplace'a i jest poszukiwaną i określoną funkcją położenia punktu w pewnym obszarze V, można badać ustalone procesy przepływu płynu i dystrybucji ciepła, rozkładu potencjału elektrycznego, deformacji membrany , naprężenia mechaniczne podczas skręcania belki, filtracja oleju w warstwie roponośnej lub wilgoć w glebie, rozprzestrzenianie się wszelkich zanieczyszczeń w powietrzu lub epidemia w regionie. W każdym z wymienionych problemów funkcje nabierają własnego znaczenia, ale ich związek opisuje równanie (2.1) wspólne dla tych problemów.

Podane przykłady charakteryzują nieruchomość wszechstronność MM. Dzięki tej właściwości powstaje „pokrewieństwo” pomiędzy różnymi gałęziami wiedzy, co przyspiesza ich wspólny rozwój. Taką ogólność i uniwersalność MM można wytłumaczyć faktem, że w matematyce posługują się one abstrakcyjnymi pojęciami podstawowymi, niezbyt licznymi, ale bardzo pojemnymi. Treść pozwala na uznanie konkretnych faktów z najróżniejszych dziedzin wiedzy za przejaw tych pojęć i relacji między nimi, zbiór takich pojęć i relacji, wyrażony za pomocą systemu symboli i notacji matematycznych oraz odzwierciedlający pewne właściwości rzeczy. badany obiekt nazywa się. model matematyczny ten obiekt. W tym przypadku matematyka zasadniczo pełni rolę uniwersalnego języka nauki. Francuski matematyk Henri Poincaré (1854-1912) zdefiniował jej uniwersalność tylko w jednym zdaniu: „Matematyka to sztuka nazywania różnych rzeczy tą samą nazwą”.

2.2. Struktura modelu matematycznego

W dość ogólnym przypadku badano obiekt techniczny(TO) można ilościowo scharakteryzować za pomocą wektorów zewnętrzne wewnętrzne I parametry wyjściowe odpowiednio. Te same właściwości fizyczne, mechaniczne lub informacyjne wyposażenia technicznego w modelach o różnych poziomach i zawartości mogą służyć zarówno jako parametry zewnętrzne lub wewnętrzne, jak i parametry wyjściowe.

Na przykład w przypadku wzmacniacza elektronicznego parametrami wyjściowymi są wzmocnienie, pasmo częstotliwości przesyłanych sygnałów, rezystancja wejściowa, rozpraszanie mocy, parametrami zewnętrznymi są rezystancja obciążenia i pojemność, napięcia zasilania, temperatura otoczenia, a parametrami wewnętrznymi są rezystancja rezystora, pojemność kondensatora , charakterystyka tranzystora* 2 . Ale jeśli uznamy pojedynczy tranzystor za TO, to jego charakterystyki, takie jak napięcie odblokowania i prąd kolektora, należy już przypisać jego parametrom wyjściowym, a jako parametry zewnętrzne konieczne będzie uwzględnienie prądów i napięć określonych przez elementy wzmacniacza dojazdy z nim.

Tworząc TO, wartości parametrów wyjściowych lub zakresy ich możliwych zmian są określone w specyfikacjach technicznych rozwoju TO, natomiast parametry zewnętrzne charakteryzują warunki jego funkcjonowania.

W stosunkowo prostym przypadku model matematyczny(MM) TO może być stosunkiem

gdzie jest funkcją wektorową argumentu wektorowego. Model w postaci (2.2) pozwala w łatwy sposób obliczyć parametry wyjściowe z zadanych wartości parametrów zewnętrznych i wewnętrznych, tj. rozwiązać tzw bezpośrednie zadanie. W praktyce inżynierskiej rozwiązanie bezpośredniego problemu nazywa się często obliczeniami weryfikacyjnymi. Podczas tworzenia TO istnieje potrzeba rozwiązania bardziej złożonego tzw problem odwrotny: korzystając z wartości parametrów zewnętrznych i wyjściowych określonych w specyfikacjach technicznych dotyczących projektowania sprzętu konserwacyjnego, znajdź jego parametry wewnętrzne. W praktyce inżynierskiej rozwiązanie problemu odwrotnego odpowiada tzw. obliczeniom projektowym, często mającym na celu optymalizację parametrów wewnętrznych według niektórych kryterium optymalności. Jednak przy konstruowaniu MM TO funkcja z (2.2) zwykle nie jest znana z góry i należy ją ustalić. To najtrudniejszy tzw problem z identyfikacją MM (od łacińskiego słowa identifico – identyfikuję, któremu w tym przypadku nadano znaczenie „rozpoznaję”).

Problem identyfikacji można rozwiązać poprzez matematyczne przetwarzanie informacji o liczbie takich stanów TO, dla każdego z nich znane są wartości parametrów wyjściowych, wewnętrznych i zewnętrznych (na przykład zmierzone eksperymentalnie). Jedna z tych metod polega na wykorzystaniu analizy regresji. Jeśli nie ma informacji o parametrach wewnętrznych lub struktura wewnętrzna TO jest zbyt złożona, wówczas MM takiego TO budowane jest zgodnie z zasadą czarna skrzynka- ustalić związek pomiędzy parametrami zewnętrznymi i wyjściowymi poprzez badanie reakcji OT na wpływy zewnętrzne.

Teoretyczny sposób konstruowania MM polega na ustaleniu związku pomiędzy y, X i g w formie równanie operatora

L(u(z))=0,(2.3)

Gdzie L- jakiś operator (w ogólnym przypadku nieliniowy), O - element zerowy przestrzeni, w której ten operator operuje, z-wektor zmiennych niezależnych, obejmujący ogólnie współrzędne czasowe i przestrzenne, oraz I- wektor zmienne fazowe,łącznie z parametrami utrzymania charakteryzującymi jego stan. Ale nawet jeśli możliwe jest uzyskanie rozwiązania (2.3) i znalezienie zależności ty (z) z z, to nie zawsze jest możliwe jawne przedstawienie MM TO w odniesieniu do wektora Na formularz (2.2). Zatem to (2.3) określa strukturę MM TO w przypadku ogólnym, a (2.2) jest prostszym przypadkiem szczególnym takiego modelu.

2.3. Właściwości modeli matematycznych

Z tego, co zostało powiedziane wcześniej, wynika, że ​​badając coś naprawdę istniejącego lub możliwego do pomyślenia obiekt techniczny Stosuje się do tego (THE) metody matematyczne model matematyczny(MM). Zastosowanie to będzie skuteczne, jeśli właściwości MM spełnią określone wymagania. Rozważmy główne z tych właściwości.

Kompletność MM pozwala nam wystarczająco dokładnie odzwierciedlić te cechy i cechy konserwacji, które nas interesują z punktu widzenia deklarowanego celu przeprowadzenia eksperyment obliczeniowy. Przykładowo model może w miarę w pełni opisywać procesy zachodzące w obiekcie, ale nie odzwierciedlać jego wskaźników wymiarowych, masowych czy kosztowych. A więc rezystor MM w postaci dobrze znanego wzoru U = prawo IR Om ma właściwość kompletności tylko z punktu widzenia ustalenia połączenia między spadkiem napięcia elektrycznego U na rezystorze, to opór r i przepływającego przez niego prądu z siłą I, ale nie dostarcza żadnych informacji o wymiarach, masie, odporności cieplnej, koszcie i innych cechach rezystora, w stosunku do których jest on niekompletny. Zauważmy na marginesie, że w rozważanym MM opór R rezystor działa jak jego parametr wewnętrzny, natomiast jeśli jest podany Ty, To I będzie parametr wyjściowy, A U- parametr zewnętrzny, i wzajemnie.

DokładnośćMM pozwala zapewnić akceptowalną zbieżność wartości rzeczywistych i znalezionych przy użyciu wartości MM parametrów wyjściowych TO tworzących wektor

Niech będzie wartością i-tego parametru wyjściowego znalezioną za pomocą MM i wartością rzeczywistą. Wtedy błąd względny MM w odniesieniu do tego parametru będzie równy

Jako oszacowanie wektora skalarnego

można zaakceptować dowolną jej normę, np

Ponieważ parametry wyjściowe TO przy użyciu MM są powiązane z jego parametrami zewnętrznymi i wewnętrznymi, tj. Jako ilościowa charakterystyka dokładności modelu tego TO, będzie to zależeć od współrzędnych wektorów X i y .

Adekwatność MM- jest to zdolność MM do opisania parametrów wyjściowych TO z błędem względnym nie większym niż pewna określona wartość . Niech dla niektórych oczekiwanych wartości nominalnych parametrów zewnętrznych TO, stanowiących wektor x nom, Z warunku minimalnych ścieżek rozwiązania skończenie wymiarowego problemu optymalizacji znajdują się wartości parametrów wewnętrznych tworzących wektor g nom i zapewnienie minimalnej wartości e min błędu względnego MM. Następnie dla ustalonego wektora δ możemy skonstruować zbiór

zwany obszar adekwatności dany MM. Oczywiste jest, że dla , im większa jest podana wartość, tym szerszy jest zakres adekwatności MM, tj. ten MM ma zastosowanie w szerszym zakresie możliwych zmian zewnętrznych parametrów utrzymania.

W bardziej ogólnym sensie adekwatność MM rozumiana jest jako poprawny jakościowy i wystarczająco dokładny ilościowy opis dokładnie tych cech TO, które są istotne w tym konkretnym przypadku. Model, który jest adekwatny przy wyborze niektórych cech, może być nieodpowiedni przy wyborze innych cech tego samego TO. W wielu obszarach zastosowań, które nie są jeszcze wystarczająco przygotowane do stosowania ilościowych metod matematycznych, MM mają głównie charakter jakościowy. Sytuacja ta jest typowa na przykład dla sfery biologicznej i społecznej, w których wzorce ilościowe nie zawsze poddają się ścisłej formalizacji matematycznej. W takich przypadkach adekwatność MM jest naturalnie rozumiana jedynie jako prawidłowy, jakościowy opis zachowania badanych obiektów lub ich systemów. Opłacalność MM oszacować koszt zasobów obliczeniowych (czasu i pamięci komputera) potrzebnych do wdrożenia MM na komputerze. Koszty te zależą od liczby operacji arytmetycznych podczas korzystania z modelu, od wymiaru przestrzeni zmiennych fazowych, od cech używanego komputera i innych czynników. Jest oczywiste, że wymagania dotyczące wydajności, dużej dokładności i dość szerokiego zakresu adekwatności MM są sprzeczne i w praktyce można je spełnić jedynie na podstawie rozsądnego kompromisu. Ekonomiczna właściwość MM jest często kojarzona z jej prostotą. Ponadto analizę ilościową niektórych uproszczonych wersji MM można przeprowadzić bez angażowania nowoczesnej technologii komputerowej. Jednak jego wyniki mogą mieć jedynie ograniczoną wartość na etapie debugowania algorytmu lub programu komputerowego (patrz 1.2 i rys. 1.1), jeśli uproszczenie MM nie jest zgodne z schemat obliczeń TO.

Wytrzymałość MM(od angielskiego słowa solidny - mocny, stabilny) charakteryzuje się stabilnością względem błędów danych wyjściowych, zdolnością do wyrównywania tych błędów i zapobiegania ich nadmiernemu wpływowi na wynik eksperymentu obliczeniowego. Przyczyną małej odporności MM może być konieczność w jej analizie ilościowej odjęcia przybliżonych wartości wielkości bliskich sobie lub podzielenia przez wartość o małej wielkości, a także zastosowanie w MM funkcji zmieniających się szybko w przedziale, w którym wartość argumentu jest znana z małą dokładnością. Czasami chęć zwiększenia kompletności MM prowadzi do zmniejszenia jego odporności na skutek wprowadzenia dodatkowych parametrów, które są znane z małą dokładnością lub są zawarte w zbyt przybliżonych zależnościach.

Produktywność wiąże się z możliwością posiadania wystarczająco wiarygodnych danych wyjściowych. Jeżeli są one wynikiem pomiarów, to dokładność ich pomiaru powinna być większa niż w przypadku parametrów uzyskanych za pomocą MM. W przeciwnym razie MM będzie bezproduktywne, a jego wykorzystanie do analizy konkretnego TO stanie się bezsensowne. Można go wykorzystać jedynie do oceny właściwości określonej klasy sprzętu na podstawie hipotetycznych danych początkowych.

Widoczność MM jest jego pożądaną, ale opcjonalną właściwością. Niemniej jednak użycie MM i jego modyfikacja są uproszczone, jeśli jego składniki (na przykład poszczególne człony równań) mają jasne znaczenie. Pozwala to zazwyczaj z grubsza przewidzieć wyniki eksperymentu obliczeniowego i ułatwia kontrolę ich poprawności.

W przyszłości powyższe właściwości MM zostaną zilustrowane na konkretnych przykładach (patrz 3 i 6).

2.4. Strukturalne i funkcjonalne

Różne cechy i objawy modele matematyczne(MM) stanowią podstawę ich typizacji (lub klasyfikacji). Wśród takich cech wyróżnia się charakter wyświetlanych właściwości obiekt techniczny(TO), stopień ich szczegółowości, sposoby uzyskiwania i prezentacji MM.

Jedna z istotnych cech klasyfikacji związana jest z odzwierciedleniem w MM pewnych cech TO. Jeśli MM wyświetla urządzenie TO i połączenia między jego elementami składowymi, wówczas nazywa się to strukturalny model matematyczny. Jeżeli MM odzwierciedla procesy fizyczne, mechaniczne, chemiczne lub informacyjne zachodzące w TO, wówczas jest klasyfikowany jako funkcjonalne modele matematyczne. Oczywiste jest, że mogą istnieć również połączone MM, które opisują zarówno funkcjonowanie, jak i projekt CT. Nazywanie takich MM jest rzeczą naturalną strukturalne i funkcjonalne modele matematyczne.

Strukturalne MM dzielą się na topologiczne I geometryczny tworzących dwa poziomy Hierarchia MM ten typ. Pierwsze odzwierciedlają skład TO i powiązania pomiędzy jego elementami. Wskazane jest stosowanie topologicznego MM na początkowym etapie badania złożonego strukturalnie TO, składającego się z dużej liczby elementów, przede wszystkim w celu zrozumienia i wyjaśnienia ich relacji. Taki MM ma postać wykresy, tabele, macierze, listy itp., a jego budowę poprzedza się zwykle opracowaniem schematu struktury technicznej.

Geometryczny MM, oprócz informacji przedstawionych w topologicznym MM, zawiera informacje o kształcie i rozmiarze TO i jego elementów oraz ich względnym położeniu. Geometryczne MM zwykle obejmuje zbiór równań linii i powierzchni oraz zależności algebraologicznych, które określają przynależność obszarów przestrzeni do ciała TO lub jego elementów. Taki MM jest czasami wyznaczony przez współrzędne pewnego zbioru punktów, z których w drodze interpolacji można skonstruować linie lub powierzchnie ograniczające obszar. Granice obszaru wyznaczane są także w sposób kinematyczny: linia jako trajektoria ruchu punktu, a powierzchnia w wyniku ruchu linii. Kształt i wielkość obszaru można przedstawić za pomocą zestawu typowych fragmentów o dość prostej konfiguracji. Metoda ta jest typowa na przykład dla szeroko stosowanej metody elementów skończonych modelowanie matematyczne.

Geometryczne MM znajdują zastosowanie przy projektowaniu urządzeń technicznych, opracowywaniu dokumentacji technicznej i procesach technologicznych wytwarzania części (np. na maszynach sterowanych numerycznie).

Funkcjonalne MM składają się z relacji, które łączą zmienne fazowe, te. wewnętrzne, zewnętrzne I parametry wyjściowe TO. Funkcjonowanie złożonego OT można często opisać jedynie za pomocą zestawu jego reakcji na znane (lub dane) wpływy (sygnały) wejściowe. Ten typ funkcjonalnego MM jest klasyfikowany jako czarna skrzynka i zwykle jest tzw symulacyjny model matematyczny, mając na uwadze, że jedynie imituje zewnętrzne przejawy funkcjonowania OT, nie ujawniając ani nie opisując istoty procesów w nim zachodzących. Symulacyjne MM są szeroko stosowane w cybernetyce technicznej, dziedzinie nauki badającej systemy sterowania złożonym sprzętem technicznym.

Jeśli chodzi o formę prezentacji, przykładem jest symulacja MM algorytmiczny model matematyczny, ponieważ połączenie w nim parametrów zewnętrznych i wyjściowych TO można opisać jedynie w postaci algorytmu nadającego się do realizacji w postaci programu komputerowego. Na tej podstawie szerszą klasę funkcjonalnych i strukturalnych MM klasyfikuje się jako algorytmiczne. Jeśli powiązania między parametrami TO można wyrazić w formie analitycznej, wtedy mówimy analityczne modele matematyczne. Konstruując hierarchię MM dla tego samego CT, zwykle dążą do tego, aby uproszczona wersja MM (patrz 1.2) została przedstawiona w formie analitycznej, która pozwala na dokładne rozwiązanie, które można zastosować do porównania podczas testowania wyników uzyskanych przy użyciu większej liczby kompletne, a zatem bardziej złożone opcje MM.

Oczywiste jest, że MM konkretnego CT, pod względem formy prezentacji, może zawierać cechy zarówno MM analitycznego, jak i algorytmicznego. Co więcej, na etapie badań ilościowych dość skomplikowany analityczny MM i eksperyment obliczeniowy na jego podstawie opracowywany jest algorytm, który jest realizowany w postaci programu komputerowego, tj. w procesie modelowania matematycznego analityczny MM jest przekształcany w algorytmiczny MM.

2.5. Teoretyczne i empiryczne

Według sposobu odbioru modele matematyczne(MM) podzielone przez teoretyczny I empiryczny. Te pierwsze uzyskuje się w wyniku badania właściwości obiekt techniczny(TO) i procesy w nim zachodzące, a te ostatnie są wynikiem przetworzenia wyników obserwacji zewnętrznych przejawów tych właściwości i procesów. Jednym ze sposobów konstruowania empirycznych MM jest prowadzenie badań eksperymentalnych związanych z pomiarem zmienne fazowe TO i w późniejszym uogólnieniu wyników tych pomiarów w formie algorytmicznej lub w postaci zależności analitycznych. Dlatego empiryczny MM w formie reprezentacji może zawierać takie cechy jak algorytmiczny, tak i analityczny model matematyczny. Zatem konstrukcja empirycznego MM sprowadza się do rozwiązania problemy z identyfikacją.

Konstruując teoretyczne MM, starają się przede wszystkim wykorzystać znane podstawowe prawa zachowania takich substancji, jak masa, ładunek elektryczny, energia, pęd i moment pędu. Poza tym przyciągają relacje konstytutywne(nazywane również równania stanu), w które można grać tzw prawa fenomenologiczne(Na przykład, Równanie Clapeyrona- Mendelejew państwo gaz doskonały, prawo Ohma o związku pomiędzy natężeniem prądu w przewodniku a spadkiem napięcia elektrycznego, Prawo Hooke’a o związku pomiędzy odkształceniem i naprężeniami mechanicznymi w materiale liniowo sprężystym, prawo Fouriera dotyczące związku pomiędzy gradientem temperatury w ciele a gęstością strumienia ciepła, itp.).

Połączenie rozważań teoretycznych o charakterze jakościowym z przetwarzaniem wyników obserwacji zewnętrznych przejawów właściwości badanego TO prowadzi do mieszanego typu MM, zwanego półempiryczne. Przy konstruowaniu takich MM wykorzystuje się podstawowe zasady teorii wymiarów, w tym tzw. twierdzenie P (Twierdzenie Pi*): jeśli pomiędzy P parametrów charakteryzujących badany obiekt, istnieje zależność mająca znaczenie fizyczne, wówczas zależność tę można przedstawić w postaci zależności pomiędzy = P- Do ich bezwymiarowe kombinacje, gdzie Do- liczba niezależnych jednostek miary, za pomocą których można wyrazić wymiary tych parametrów. W której P określa liczbę niezależnych (nie dających się wyrazić przez siebie) kombinacji bezwymiarowych, zwykle nazywanych kryteria podobieństwa.

Obiekty, dla których wartości odpowiednich kryteriów podobieństwa są równe, uważa się za podobne. Na przykład każdy trójkąt jest jednoznacznie określony przez długości a, B i z jego boków, tj. n= 3, a k= 1. Zatem zgodnie z twierdzeniem - zbiór trójkątów podobnych można określić za pomocą wartości = p - k= 2 kryteria podobieństwa. Jako takie kryterium można wybrać bezwymiarowe stosunki długości boków: b /A I s/a lub dowolne dwie inne niezależne relacje. Ponieważ kąty trójkąta są jednoznacznie powiązane ze stosunkami boków i są wielkościami bezwymiarowymi, zbiór podobnych trójkątów można wyznaczyć przez równość dwóch odpowiednich kątów lub równość kąta i stosunku długości sąsiednich boki. Wszystkie wymienione opcje odpowiadają znanym cechom podobieństwa trójkątów.

Aby skutecznie zastosować twierdzenie P do konstrukcji modeli TO, konieczne jest posiadanie pełnego zestawu parametrów opisujących badany obiekt, a dobór tych parametrów powinien opierać się na uzasadnionej analizie jakościowej tych właściwości i cech TO, którego wpływ jest w tym konkretnym przypadku istotny. Zauważmy, że taka analiza jest konieczna w przypadku każdej metody konstruowania MM, a stanowisko to zilustrujemy przykładami.

Przykład 2.1. Rozważmy dobrze znane schemat projektu wahadło matematyczne (rys. 2.1) w postaci materialnego punktu masy zawieszonego na nieważkim pręcie o stałej długości, który może swobodnie obracać się wokół osi poziomej przechodzącej przez punkt O. Odchylenie wahadła o kąt od jego położenia pionowego

równowaga doprowadzi do wzrostu energii potencjalnej punktu materialnego o tę kwotę gdzie jest przyspieszenie swobodnego spadania. Jeżeli po wychyleniu wahadło zacznie się poruszać, to przy braku oporu, zgodnie z zasadą zachowania energii, będzie wykonywać nietłumione oscylacje względem położenia równowagi (punkt A na ryc. 2.1). Przy przejściu przez położenie równowagi prędkość w punkt materialny ma największą wartość bezwzględną, gdyż w tym położeniu energia kinetyczna tego punktu jest równa , tzw

Niech konieczne będzie zainstalowanie zależności okres T oscylacji wahadło (tj. najkrótszy okres czasu, po którym wahadło powraca do jakiegoś ustalonego położenia, które nie pokrywa się z położeniem równowagi) na parametry (parametr w należy wyłączyć z rozważań, ponieważ można to wyrazić za pomocą powyższych parametrów). Wymiary [.] czterech wskazanych parametrów i okres T drgań można wyrazić poprzez k = 3 niezależne jednostki standardowe: [T] = s, [t] = kg, [l]= ms, = 0 I [g] = m/s 2 . Dlatego na mocy twierdzenia P z P= 5 parametrów, można tworzyć bezwymiarowe kombinacje, a kąt, jako bezwymiarowy, jest jednym z nich. Druga bezwymiarowa kombinacja nie może zawierać masy M punkt materialny, ponieważ jednostka masy (kg) jest uwzględniana tylko w wymiarze masy. Dlatego wartość M nie jest argumentem na rzecz pożądanej zależności, którą można ustalić konstruując teoretyczne MM rozważanego wahadła (patrz przykład 5.12). Po wykluczeniu parametru M mamy n = 4 i k = 2, tj. Ponownie n = 2, więc wraz z parametrem bezwymiarowym reszta

Przykład 2.3. Niech strumień nieściśliwego płynu opływa nieruchome ciało stałe o zadanym kształcie, mające charakterystyczną wielkość i stałą temperaturę To (rys. 2.3). Prędkość w i temperatura Tf > temperatura cieczy na wysokim poziomie (w porównaniu do I) odległość od ciała pozostaje stała. Konieczne dla pewnego ustalonego położenia ciała względem kierunku wektora w prędkość, znajdź ilość ciepła Q przekazanego w jednostce czasu z cieczy do ciała i wywołaj Przepływ ciepła.

Proces wymiany ciepła zlokalizowany jest na powierzchni ciała i zależy nie tylko od wymienionych parametrów, ale także od objętościowej pojemności cieplnej Z oraz współczynnik przewodności cieplnej cieczy, ponieważ parametry te charakteryzują zdolność cieczy do dostarczania energii cieplnej i przenoszenia jej na powierzchnię ciała. Dopływ energii cieplnej do ciała zależy także od rozkładu prędkości płynu na jego powierzchni. W przypadku płynu idealnego (nielepkiego) jest on jednoznacznie określony przez ustalone położenie ciała względem wektora v, a dla płynu lepkiego zależy także od zależności pomiędzy siłami lepkości i bezwładności, charakteryzującymi się poprzez współczynnik lepkości , zwany kinematyczny i mierzone w m 2 /s.

Przy stosunkowo bliskich wartościach Tf i To naturalne jest założenie, że przepływ ciepła nie zależy od każdej z tych temperatur, ale od ich różnicy. Wtedy w przypadku płynu idealnego mamy n = 6 parametrów wymiarowych, za pomocą których można wyrazić wymiary k = 4 niezależne jednostki standardowe: [l] = m, [v] = SM,

K, [Q]=J/s=W=n m/s, [c]=J/(m 3 K)=kg/(m s 2 K), =W/(m K)=kg m/( przy 3 K), gdzie J (dżul) i W (wat) to odpowiednio jednostki energii (pracy) i mocy, a K (kelwiny) to jednostka temperatury w skali bezwzględnej. Na mocy twierdzenia P z tych parametrów można jedynie komponować p = p - k = 2 niezależne kombinacje bezwymiarowe, na przykład i . W rezultacie dochodzimy do zależności funkcjonalnej

założona w 1915 roku przez J.W. Strutt.

Postawa q = pytania i odpowiedzi nazywany uśrednionym obszarem S powierzchnia ciała gęstość strumienia ciepła i mierzone w W/m2. Ponieważ dla ciał podobnych geometrycznie , wówczas (2.7) można przedstawić w postaci

gdzie Ki jest kryterium termicznym Kirpicheva, a Pe jest kryterium Pecleta. Intensywność wymiany ciepła na powierzchni ciała charakteryzuje się zwykle średnią współczynnik przenikania ciepła - , mierzone w W/(m 2 K). Wtedy zamiast (2.8) otrzymujemy

gdzie Nu jest kryterium Nusselta (liczba). Postać funkcji z (2.7)-(2.9) nie może być ustalona w ramach teorii wymiarów i należy ją wyznaczyć na podstawie wyników eksperymentów, chociaż w niektórych prostych przypadkach możliwe jest skonstruowanie teoretycznych MM procesu wymiany ciepła.

W przypadku lepkiej cieczy mamy n = 7 parametry wymiarowe, za pomocą których można jeszcze wyrazić wymiary k = 4 niezależne jednostki miary tj. liczba niezależnych kombinacji bezwymiarowych jest równa . Do omówionych powyżej należy dodać dowolną bezwymiarową kombinację zawierającą nowy parametr I. Tę kombinację można wybrać na przykład jako lub . W pierwszym przypadku jest to tzw Kryterium Reynoldsa (liczba) i oznacz Re = , a w drugim - Kryterium Prandtla (liczba) i oznacz Pr = . Kryterium Prandtla charakteryzuje jedynie właściwości płynu, natomiast kryterium Reynoldsa charakteryzuje związek pomiędzy siłami bezwładności a siłami tarcia lepkiego. W rezultacie zamiast (2.9) otrzymujemy

Ponieważ Pe = RePr, w przypadku lepkiego płynu kryterium Nusselta można przedstawić jako funkcję dowolnych dwóch z trzech argumentów Pe, Re, Pr.

Oczywiste jest, że w obecności trzech lub więcej bezwymiarowych kombinacji parametrów konstrukcja półempirycznego MM staje się znacznie bardziej skomplikowana. W tym przypadku zazwyczaj wyodrębnia się tzw. kryterium zdefiniowane (w przykładzie 2.3 jest to Ki lub Nu), pozostałe kryteria zalicza się do kryteriów definiujących i przeprowadza się kilka serii pomiarów eksperymentalnych w celu ustalenia zależności funkcjonalnej zdefiniowanego kryterium na dwóch lub większej liczbie definiujących, uznawanych za argumenty żądanej funkcji (w (2.10) są to funkcje). W każdej serii pomiarów parametry wymiarowe są zmieniane w taki sposób, że zmienia się wartość tylko jednego z kryteriów definiujących. Następnie przetworzenie wyników takiej serii pomiarów pozwala zidentyfikować zależność funkcjonalną wyznaczanego kryterium od jednego z argumentów o ustalonych wartościach pozostałych. Dzięki temu w pewnym zakresie zmian wartości kryteriów definiujących możliwe jest skonstruowanie pożądanej funkcji z pewnym stopniem przybliżenia, tj. rozwiązać problem identyfikacji półempirycznego MM.

Należy zauważyć, że zastosowanie twierdzenia do analitycznego MM, przedstawionego w postaci równań, pozwala sprowadzić je do postaci bezwymiarowej i zmniejszyć liczbę parametrów charakteryzujących badaną TM. Upraszcza to analizę jakościową i pozwala ocenić wpływ poszczególnych czynników jeszcze przed przeprowadzeniem analizy ilościowej (patrz D.2.2). Ponadto bezwymiarowa postać MM umożliwia przedstawienie wyników jego analizy ilościowej w bardziej zwartej formie.

2.6. Cechy modeli funkcjonalnych

Jedna z charakterystycznych cech funkcjonalny model matematyczny(MM) to obecność lub brak zmiennych losowych wśród jego parametrów. W obecności takich ilości nazywa się MM stochastyczny, a pod ich nieobecność - deterministyczny.

Nie wszystkie parametry są rzeczywiste obiekty techniczne(TO) można scharakteryzować za pomocą dobrze określonych wartości. Dlatego MM takich TO, ściśle rzecz biorąc, należy klasyfikować jako stochastyczne. Na przykład, jeśli badany przedmiot jest produktem produkowanym masowo i jego parametry wewnętrzne może zatem przyjmować wartości losowe w granicach ustalonych tolerancji w stosunku do wartości nominalnych parametry wyjściowe WTEDY będą zmienne losowe. Wartości mogą być również losowe parametry zewnętrzne gdy TO jest narażony na działanie takich czynników jak podmuchy wiatru, turbulentne pulsacje, sygnały na tle hałasu itp.

Do analizy stochastycznych MM konieczne jest wykorzystanie metod teorii prawdopodobieństwa, procesów losowych i statystyki matematycznej. Jednak główna trudność w ich zastosowaniu wiąże się zwykle z faktem, że probabilistyczne charakterystyki zmiennych losowych (oczekiwania matematyczne, wariancje, prawa rozkładu) są często nieznane lub znane z małą dokładnością, tj. MM nie spełnia warunku dot Produktywność MM. W takich przypadkach skuteczniejsze jest zastosowanie MM bardziej szorstkiego niż stochastycznego, ale jednocześnie bardziej odpornego na zawodność danych wyjściowych, tj. bardziej spełniający wymagania krzepkość.

Istotną cechą klasyfikacji MM jest ich zdolność do opisu zmian parametrów TO w czasie. MM wymiany ciepła ciała z otoczeniem, rozważany w przykładzie 2.4, uwzględnia taką zmianę i jest klasyfikowany jako niestacjonarne(Lub ewolucyjne) modele matematyczne. Jeśli MM odzwierciedla wpływ właściwości inercyjnych TO, wówczas jest to zwykle nazywane dynamiczny. W przeciwieństwie do tego nazywa się MM, które nie uwzględnia zmiany parametrów utrzymania w czasie statyczny. MM omówione w przykładach 2.2 i 2.3 są statyczne. Pomimo ruchu strumienia powietrza i cieczy opływającej odpowiednio profil skrzydła i nagrzany korpus, wszystkie parametry charakteryzujące te procesy pozostają stałe w czasie.

Jeżeli zmiana parametrów TO następuje na tyle wolno, że w rozpatrywanym ustalonym momencie można tę zmianę pominąć, to mówimy o Quasi-statyczny model matematyczny. Przykładowo w wolno zachodzących procesach mechanicznych można pominąć siły bezwładności, przy małej szybkości zmian temperatury – bezwładność cieplną ciała, a przy wolno zmieniającym się natężeniu prądu w obwodzie elektrycznym – indukcyjność elementów tego obwodu . Stacjonarne modele matematyczne opisz czynności konserwacyjne w ramach których tzw ustalone procesy, te. procesy, w których interesujące nas parametry wyjściowe są stałe w czasie. Do ustalonych należą procesy okresowe, w którym niektóre parametry wyjściowe pozostają niezmienione, inne natomiast ulegają wahaniom. Na przykład MM wahadła matematycznego (patrz przykład 2.1) jest nieruchomy względem czasu niezależnego okres I połowa zakresu oscylacji, chociaż punkt materialny porusza się w czasie względem swojego położenia równowagi.

Jeżeli parametry wyjściowe interesującego nas TO zmieniają się powoli i w rozpatrywanym ustalonym momencie taką zmianę można pominąć, wówczas mówimy o Quasi-stacjonarny model matematyczny. Opisując niektóre procesy, niestacjonarny MM można przekształcić w quasi-stacjonarny poprzez odpowiedni dobór układu współrzędnych. Przykładowo przy spawaniu łukiem elektrycznym pole temperatury w spawanych blachach stalowych w sąsiedztwie elektrody poruszającej się ze stałą prędkością w stacjonarnym układzie współrzędnych opisuje się niestacjonarnym MM, a w ruchomym układzie współrzędnych powiązanym z elektrody za pomocą quasi-stacjonarnego MM.

Ważną właściwością MM z punktu widzenia późniejszej analizy jest jej liniowość. W Następnie jego parametry są powiązane zależnościami liniowymi. Oznacza to, że w przypadku zmiany dowolnego zewnętrznego (lub wewnętrznego) parametru TO liniowy MM przewiduje liniową zmianę zależnego od niego parametru wyjściowego, a gdy zmienią się dwa lub więcej parametrów, sumowanie ich wpływów, tj. taki MM ma tę właściwość superpozycje(od łacińskiego słowa superpositio - nałożenie). Jeśli MM nie ma właściwości superpozycji, wówczas nazywa się go nieliniowy.

Opracowano wiele metod matematycznych do analizy ilościowej liniowych MM, natomiast możliwości analizy nieliniowych MM kojarzone są głównie z metodami matematyki obliczeniowej. Aby można było zastosować metody analityczne do badania nieliniowego MM TO, zwykle jest ono linearyzowane, tj. nieliniowe zależności pomiędzy parametrami zastępowane są przybliżonymi zależnościami liniowymi i tzw zlinearyzowany model matematyczny rozważane TO. Ponieważ linearyzacja wiąże się z wprowadzeniem dodatkowych błędów, wyniki analizy zlinearyzowanego modelu należy traktować z pewną ostrożnością. Faktem jest, że linearyzacja MM może prowadzić do utraty lub znacznego zniekształcenia rzeczywistych właściwości TO. Uwzględnienie efektów nieliniowych w MM jest szczególnie ważne np. przy opisie zmian form ruchu czy położeń równowagi pojazdu, gdy niewielkie zmiany parametrów zewnętrznych mogą powodować jakościowe zmiany jego stanu.

Każdy parametr TO może być dwojakiego rodzaju - zmieniać się w sposób ciągły w pewnym zakresie jego wartości lub przyjmować tylko niektóre wartości dyskretne. Możliwa jest także sytuacja pośrednia, gdy w jednym obszarze parametr przyjmuje wszystkie możliwe wartości, a w innym tylko dyskretne. Pod tym względem podkreślają ciągły, dyskretny I mieszane modele matematyczne. W procesie analizy MM tego typu można przekształcać w siebie, przy czym w trakcie takiej transformacji należy monitorować spełnienie wymagania adekwatność MM danego TO.

2.7. Hierarchia modeli matematycznych i formy ich reprezentacji

Kiedy modelowanie matematyczne jest dość złożone obiekt techniczny(WTEDY) opisz jego zachowanie za pomocą jednego model matematyczny(MM) z reguły zawodzi, a gdyby taki MM został skonstruowany, okazałby się zbyt skomplikowany do analizy ilościowej. Dlatego zazwyczaj stosuje się takie TO zasada rozkładu. Polega na warunkowym podziale TO na osobne, prostsze bloki i elementy, które umożliwiają ich niezależne badanie z późniejszym uwzględnieniem wzajemnego wpływu bloków i elementów na siebie. Z kolei zasadę dekompozycji można zastosować do każdego wybranego bloku aż do poziomu dość prostych elementów. W tym przypadku powstaje Hierarchia MM połączone ze sobą bloki i elementy.

Dla poszczególnych typów MM wyróżnia się także poziomy hierarchiczne. Na przykład wśród strukturalne modele matematyczne TO jest klasyfikowane na wyższym poziomie hierarchii topologiczne modele matematyczne, i do poziomu niższego, charakteryzującego się większą szczegółowością obsługi, - geometryczne modele matematyczne.

Wśród funkcjonalne modele matematyczne poziomy hierarchiczne odzwierciedlają stopień szczegółowości opisu procesów zachodzących w wyposażeniu technicznym, jego blokach lub elementach. Z tego punktu widzenia zwykle wyróżnia się trzy główne poziomy: mikro, makro i meta.

Modele matematyczne na poziomie mikro opisywać procesy w układach o parametrach rozproszonych (w systemy kontinuum), A modele matematyczne na poziomie makro- w układach o parametrach skupionych (w systemy dyskretne). W pierwszym z nich zmienne fazowe może zależeć zarówno od czasu, jak i od współrzędnych przestrzennych, a po drugie - tylko od czasu.

Jeżeli w MM na poziomie makro liczba zmiennych fazowych jest rzędu 10 4 -10 5 , wówczas analiza ilościowa takiego MM staje się uciążliwa i wymaga znacznych zasobów obliczeniowych. Ponadto przy tak dużej liczbie zmiennych fazowych trudno jest zidentyfikować istotne cechy TO i cechy jego zachowania. W tym przypadku, łącząc i powiększając elementy złożonego utrzymania, dążą do zmniejszenia liczby zmiennych fazowych poprzez wyłączenie z uwzględnienia parametry wewnętrzne elementów, ograniczając się jedynie do opisu wzajemnych powiązań pomiędzy powiększonymi elementami. Takie podejście jest typowe dla modele matematyczne metapoziomu.

MM na poziomie meta określa się zwykle jako najwyższy poziom w hierarchii, MM na poziomie makro jako na poziomie środkowym, a MM na poziomie mikro jako najniższym. Najpopularniejsza forma prezentacji dynamiczny (ewolucyjny) model matematyczny poziomie mikro jest sformułowanie problemu wartości brzegowych dla równań różniczkowych fizyki matematycznej. To sformułowanie obejmuje cząstkowe równania różniczkowe i warunki brzegowe. Z kolei warunki brzegowe zawierają warunki początkowe – rozkład pożądanych zmiennych fazowych w pewnym momencie, przyjętym za początkowy, w obszarze przestrzennym, którego konfiguracja odpowiada rozważanemu TO lub jego elementowi – oraz warunki brzegowe na granicach tego regionu. Przy przedstawianiu MM wskazane jest stosowanie zmiennych bezwymiarowych (niezależnych i poszukiwanych) oraz współczynników równań, redukujących liczbę parametrów charakteryzujących rozpatrywany TO (patrz D.2.2).

Nazywa się MM poziomu mikro jednowymiarowy, dwuwymiarowy Lub trójwymiarowy, jeśli wymagane zmienne fazowe zależą odpowiednio od jednej, dwóch lub trzech współrzędnych przestrzennych. Dwa ostatnie typy MM są łączone w wielowymiarowe modele matematyczne na poziomie mikro. Jednowymiarowy mikropoziom MM, w którym zmienne fazowe nie zależą od czasu, jest reprezentowany jako układ ODE z zadanymi warunkami brzegowymi (w najprostszym przypadku jednej zmiennej fazowej taki MM zawiera tylko jedną ODE i granicę warunki).

Ponieważ problem wartości brzegowych zawierający cząstkowe równania różniczkowe i warunki brzegowe można powiązać ze sformułowaniem całkowym, MM na poziomie mikro można również przedstawić w postaci całkowej. Pod pewnymi warunkami całkową postać problemu wartości brzegowych można sprowadzić do wariacyjnego sformułowania w postaci funkcjonału, który można rozważyć na pewnym zbiorze funkcji zawierającym pożądaną funkcję. W tym przypadku o tym mówią wariacyjna postać modelu poziom mikro. Poszukiwana funkcja sprowadza zmienność funkcjonału do zera, tj. jest jego nieruchomy punkt.

Konstrukcja funkcjonalnej i odpowiadającej jej postaci wariacyjnej modelu mikropoziomu opiera się zwykle na jakiejś wariacyjnej zasadzie mechaniki lub elektrodynamiki ośrodka ciągłego, która ma znaczenie z fizycznego punktu widzenia (na przykład na zasadzie minimum energia potencjalna układu kontinuum w położeniu równowagi lub na zasadzie minimalnego czasu przejścia wiązki światła pomiędzy dwoma punktami środowiska optycznie niejednorodnego). W tym przypadku punkt stacjonarny funkcjonału odpowiada jego skrajnej (w szczególności minimalnej) wartości na dopuszczalnym zbiorze funkcji. Ta forma modelu mikropoziomu, tzw ekstremalne zróżnicowanie, pozwala, porównując wartości funkcjonału na dowolnych dwóch funkcjach ze zbioru dopuszczalnego, ocenić w sensie integralnym bliskość tych funkcji do pożądanej. Ta właściwość ekstremalnej postaci wariacyjnej modelu jest istotna w analizie jakościowej MM oraz przy porównywaniu różnych przybliżonych rozwiązań odpowiedniego problemu wartości brzegowych*.

Jeśli zostaną spełnione pewne ograniczenia, możliwa jest konstrukcja podwójna wariacyjna postać modelu mikropoziom, obejmujący parę funkcjonałów, które osiągają równe alternatywne wartości ekstremalne (minimum i maksimum) w tym samym punkcie stacjonarnym. Ta postać MM umożliwia, na podstawie różnicy wartości tych funkcjonałów, obliczonych na jakiejś funkcji ze zbioru dopuszczalnego, ilościowe określenie błędu powstającego przy wyborze tej funkcji jako pożądanej.

Główną formą dynamicznego (ewolucyjnego) MM poziomu makro są ODE lub ich układy wraz z zadanymi warunkami początkowymi. Zmiennymi niezależnymi w takich MM będzie czas, a poszukiwanymi zmienne fazowe charakteryzujące stan utrzymania (np. przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie elementów urządzeń mechanicznych oraz siły i momenty przyłożone do tych elementów; ciśnienie i natężenie przepływu cieczy lub gazu w rurociągu; naprężenia i natężenie prądu w obwodach elektrycznych itp.). W niektórych przypadkach MM na poziomie makro można przedstawić w formie całkowej za pomocą Zasada Hamiltona- Ostrogradski lub ekstremalne zróżnicowanie Zasada Hamiltona.

Jeśli ewolucja TO jest zdeterminowana jego stanem nie tylko w bieżącym momencie czasu t, ale także w jakimś wcześniejszym momencie t - τ, wówczas MM na poziomie makro zawiera ODE w formie

w stosunku do żądanej funkcji ty (t). Takie ODE nazywane są odpowiednio równaniami typu opóźnionego i neutralnego i są klasyfikowane jako różniczkowe równania funkcyjne*(DFU) (lub równania różniczkowe z odchylającym się argumentem). DFU i ich systemy są najszerzej reprezentowane w systemach automatycznego sterowania i regulacji MM. Ponadto DFU znajdują zastosowanie w modelach procesów biologicznych i ekonomicznych.

Opóźniona reakcja TO na zmianę jego stanu może być określona przez więcej niż jeden przedział czasu. Wtedy DFU będzie zawierać nie jedno, ale kilka dyskretnych opóźnień. W bardziej ogólnym przypadku opóźnienie może mieć charakter ciągły w czasie, co prowadzi np. do liniowy model matematyczny do równania całkowo-różniczkowego(IMU) typu

Określona funkcja K(t,r) nazywa się rdzeniem tego IMU, a rozważany TO ma pamięć, gdyż jej ewolucja zależy od całej historii zmian w stanach TO.

W statyczny model matematyczny poziom makro nie obejmuje czasu. Dlatego obejmuje jedynie skończone (na ogół nieliniowe) równanie lub układ takich równań (w szczególności układ liniowych równań algebraicznych - SLAE). Mają taki sam wygląd quasi-statyczny, stacjonarny I Quasi-stacjonarne modele matematyczne poziom makro.

Jeżeli dla danego TO możliwe jest zidentyfikowanie jakiejś ważnej właściwości lub kombinacji takich właściwości, które można określić ilościowo (niezawodność, trwałość, waga, koszt, którykolwiek z wyznaczników jakości TO) parametry wyjściowe) i ustalić ich powiązanie ze zmiennymi fazowymi za pomocą funkcji rzeczywistej, wówczas możemy mówić o optymalizacji TO według kryterium wyrażonego przez tę funkcję. Nazywa się to funkcją celu, ponieważ jej wartości charakteryzują miarę (lub stopień) osiągnięcia określonego celu, jakim jest poprawa utrzymania zgodnie z wybranym kryterium.

Ze względu na ograniczoną dostępność zasobów w sytuacji rzeczywistej sens mają tylko te skrajne wartości funkcji celu, które osiągane są w obszarze możliwych zmian zmiennych fazowych TO, zwykle ograniczonych układem nierówności. Nierówności te, wraz z funkcją celu oraz statycznym MM TO w postaci skończonego równania nieliniowego lub układów takich równań, uwzględniane są w matematycznym sformułowaniu problemu optymalizacji TO według wybranego kryterium, zwanego (w przypadek ogólny) problem programowania nieliniowego. W szczególnym przypadku liniowy model matematyczny TO w postaci SLAE, liniowych funkcji celu i nierówności mówią o problemie programowania liniowego. Do takich problemów podchodzi się zwykle, rozważając problemy o treści technicznej i ekonomicznej. Problem optymalizacji utrzymania opisywany przez dynamiczny (ewolucyjny) makropoziom MM zaliczany jest do klasy optymalnych problemów sterowania.

MM metapoziomu charakteryzują się tymi samymi typami równań, co MM poziomu makro, z tą różnicą, że równania te zawierają zmienne fazowe opisujące stan powiększonych elementów złożonych systemów technicznych. Jeśli zostanie określone prawo ciągłego przejścia TO z jednego stanu do drugiego, to do analizy MM metapoziomowych często wykorzystuje się aparat funkcji przenoszenia*, a przy rozpatrywaniu stanów TO w dyskretnych momentach czasu, ODE i ich układy zamieniają się w równania różnicowe w odniesieniu do wartości zmiennych fazowych w tych momentach. W przypadku dyskretnego zbioru stanów TO, aparat logiki matematycznej i maszyny o skończonych stanach.

Komputer na stałe wkroczył w nasze życie i praktycznie nie ma dziedziny ludzkiej działalności, w której komputer nie byłby używany. Komputery są obecnie szeroko stosowane w procesie tworzenia i badania nowych maszyn, nowych procesów technologicznych i poszukiwania ich optymalnych opcji; przy rozwiązywaniu problemów ekonomicznych, przy rozwiązywaniu problemów planowania i zarządzania produkcją na różnych poziomach. Tworzenie dużych obiektów w technologii rakietowej, produkcji samolotów, przemyśle stoczniowym, a także projektowanie tam, mostów itp. jest w zasadzie niemożliwe bez użycia komputerów.

Aby wykorzystać komputer do rozwiązywania problemów stosowanych, należy przede wszystkim zastosować problem „przetłumaczony” na formalny język matematyczny, tj. dla rzeczywistego obiektu, procesu lub systemu należy zbudować jego model matematyczny.

Słowo „model” pochodzi od łacińskiego modus (kopia, obraz, kontur). Modelowanie polega na zastąpieniu jakiegoś obiektu A innym obiektem B. Zastępowany obiekt A nazywany jest obiektem oryginalnym lub modelującym, a zamiennik B nazywany jest modelem. Innymi słowy, model jest obiektem zastępczym obiektu pierwotnego, który umożliwia badanie niektórych właściwości oryginału.

Celem modelowania jest pozyskanie, przetworzenie, przedstawienie i wykorzystanie informacji o obiektach wchodzących w interakcję ze sobą i środowiskiem zewnętrznym; a model służy tutaj do zrozumienia właściwości i wzorców zachowania obiektu.

Modelowanie matematyczne to sposób badania rzeczywistego obiektu, procesu lub systemu poprzez zastąpienie ich modelem matematycznym, który jest wygodniejszy w badaniach eksperymentalnych z wykorzystaniem komputera.

Modelowanie matematyczne to proces konstruowania i badania modeli matematycznych rzeczywistych procesów i zjawisk. Wszystkie nauki przyrodnicze i społeczne posługujące się aparatem matematycznym zajmują się zasadniczo modelowaniem matematycznym: zastępują rzeczywisty obiekt jego modelem, a następnie badają ten drugi. Jak w przypadku każdego modelowania, model matematyczny nie opisuje w pełni badanego zjawiska, a pytania o przydatność uzyskanych w ten sposób wyników są bardzo wymowne. Model matematyczny to uproszczony opis rzeczywistości za pomocą pojęć matematycznych.

Model matematyczny wyraża podstawowe cechy obiektu lub procesu w języku równań i innych narzędzi matematycznych. W istocie matematyka sama zawdzięcza swoje istnienie temu, co stara się odzwierciedlić, czyli: modeluj, w swoim własnym, specyficznym języku, wzorce otaczającego świata.

Na modelowanie matematyczne badanie obiektu odbywa się poprzez model sformułowany w języku matematyki przy użyciu określonych metod matematycznych.

Ścieżka modelowania matematycznego w naszych czasach jest znacznie bardziej wszechstronna niż modelowanie na pełną skalę. Ogromny impuls do rozwoju modelowania matematycznego dało pojawienie się komputerów, chociaż sama metoda powstała równolegle z matematyką tysiące lat temu.

Modelowanie matematyczne jako takie nie zawsze wymaga wsparcia komputerowego. Każdy specjalista zawodowo zajmujący się modelowaniem matematycznym robi wszystko, co w jego mocy, aby analitycznie zbadać model. Rozwiązania analityczne (tj. przedstawione za pomocą wzorów wyrażających wyniki badania na danych oryginalnych) są zwykle wygodniejsze i zawierają więcej informacji niż rozwiązania numeryczne. Możliwości metod analitycznych rozwiązywania złożonych problemów matematycznych są jednak bardzo ograniczone i z reguły są to metody znacznie bardziej złożone niż metody numeryczne.

Model matematyczny to przybliżone przedstawienie rzeczywistych obiektów, procesów lub systemów, wyrażone w kategoriach matematycznych i zachowujące istotne cechy oryginału. Modele matematyczne w formie ilościowej, wykorzystując konstrukcje logiczne i matematyczne, opisują podstawowe właściwości obiektu, procesu lub systemu, jego parametry, powiązania wewnętrzne i zewnętrzne

Wszystkie modele można podzielić na dwie klasy:

1. prawdziwy,
2. doskonały.

Z kolei modele rzeczywiste można podzielić na:

1. na pełną skalę,
2. fizyczny,
3. matematyczny.

Modele idealne można podzielić na:

1. wizualny,
2. ikonowy,
3. matematyczny.

Prawdziwe modele pełnowymiarowe to rzeczywiste obiekty, procesy i systemy, na których przeprowadzane są eksperymenty naukowe, techniczne i przemysłowe.

Prawdziwymi modelami fizycznymi są modele, manekiny odtwarzające właściwości fizyczne oryginałów (modele kinematyczne, dynamiczne, hydrauliczne, termiczne, elektryczne, świetlne).

Prawdziwymi modelami matematycznymi są modele analogowe, strukturalne, geometryczne, graficzne, cyfrowe i cybernetyczne.

Idealnymi modelami wizualnymi są diagramy, mapy, rysunki, wykresy, wykresy, analogie, modele strukturalne i geometryczne.

Idealnymi modelami znaków są symbole, alfabet, języki programowania, notacja uporządkowana, notacja topologiczna, reprezentacja sieciowa.

Idealne modele matematyczne to modele analityczne, funkcjonalne, symulacyjne i kombinowane.

W powyższej klasyfikacji niektóre modele mają podwójną interpretację (na przykład analogową). Wszystkie modele, z wyjątkiem pełnowymiarowych, można połączyć w jedną klasę modeli mentalnych, ponieważ są wytworem ludzkiego abstrakcyjnego myślenia.

Elementy teorii gier

W ogólnym przypadku rozwiązanie gry jest dość trudnym zadaniem, a złożoność problemu i ilość obliczeń wymaganych do jego rozwiązania gwałtownie wzrasta wraz ze wzrostem . Trudności te nie mają jednak charakteru zasadniczego i wiążą się jedynie z bardzo dużą ilością obliczeń, co w niektórych przypadkach może okazać się praktycznie niemożliwe. Podstawowy aspekt metody znajdowania rozwiązania pozostaje dla każdego ten sam.

Zilustrujmy to przykładem gry. Nadajmy mu interpretację geometryczną – już przestrzenną. Nasze trzy strategie będą reprezentowane przez trzy punkty na płaszczyźnie ; pierwszy leży w początku (ryc. 1). drugi i trzeci - na osiach Oh I Jednostka organizacyjna w odległości 1 od początku.

Przez punkty prostopadle do płaszczyzny poprowadzono osie I-I, II-II i III-III . Na osi I-I znajdują się wypłaty dla strategii, na osiach II-II i III-III są wypłaty dla strategii. Każda strategia wroga będzie reprezentowana przez płaszczyznę odcinającą na osiach I-I, II-II i III-III odcinki równe wygranej

z odpowiednią strategią i strategią . Konstruując w ten sposób wszystkie strategie wroga, otrzymujemy rodzinę płaszczyzn nad trójkątem (ryc. 2).

Dla tej rodziny można również wyznaczyć dolną granicę wypłaty, tak jak to zrobiliśmy w tym przypadku, i znaleźć na tej granicy punkt N o maksymalnej wysokości na płaszczyźnie . Ta wysokość będzie ceną gry.

Częstotliwości strategii w strategii optymalnej zostaną określone przez współrzędne (x, y) punkty N, a mianowicie:

Jednak taka geometryczna konstrukcja, nawet jak na obudowę, nie jest łatwa do wykonania i wymaga dużo czasu i wysiłku wyobraźni. W ogólnym przypadku gry zostaje ona przeniesiona do przestrzeni wymiarowej i traci wszelką przejrzystość, choć w wielu przypadkach przydatne może okazać się użycie terminologii geometrycznej. Przy rozwiązywaniu gier w praktyce wygodniej jest stosować nie analogie geometryczne, ale obliczone metody analityczne, zwłaszcza że tylko te metody nadają się do rozwiązania problemu na komputerach.

Wszystkie te metody sprowadzają się zasadniczo do rozwiązania problemu poprzez kolejne próby, jednak uporządkowanie sekwencji prób pozwala na zbudowanie algorytmu, który doprowadzi do rozwiązania w najbardziej ekonomiczny sposób.

Tutaj pokrótce przyjrzymy się jednej metodzie obliczeniowej rozwiązywania gier - stosując tzw. metodę programowania liniowego.

Aby to zrobić, najpierw podajemy ogólne sformułowanie problemu znalezienia rozwiązania gry. Niech gra będzie dana T strategie graczy A I N strategie graczy W i podana jest matryca płatności

Wymagane jest znalezienie rozwiązania gry, czyli dwóch optymalnych strategii mieszanych graczy A i B

gdzie (niektóre liczby i mogą być równe zero).

Nasza optymalna strategia S*A powinno zapewnić nam zysk nie mniejszy niż , dla dowolnego zachowania przeciwnika i zysk równy , dla jego optymalnego zachowania (strategia S*B).Podobna strategia S*B powinien zadać wrogowi stratę nie większą niż , za każde nasze zachowanie i równą dla naszego optymalnego zachowania (strategia S*A).

Wartość gry w tym przypadku nie jest nam znana; założymy, że jest ona równa jakiejś liczbie dodatniej. Wierząc w ten sposób, nie naruszamy ogólności rozumowania; Aby było > 0, wystarczy oczywiście, że wszystkie elementy macierzy są nieujemne. Zawsze można to osiągnąć dodając do elementów odpowiednio dużą wartość dodatnią L; w tym przypadku cena gry wzrośnie o L, ale rozwiązanie się nie zmieni.

Wybierzmy dla siebie optymalną strategię S*A. Wtedy nasza średnia wypłata w ramach strategii przeciwnika będzie równa:

Nasza optymalna strategia S*A ma tę właściwość, że przy każdym zachowaniu wroga zapewnia zysk nie mniejszy niż; dlatego żadna z liczb nie może być mniejsza niż . Otrzymujemy szereg warunków:

(1)

Podzielmy nierówności (1) przez wartość dodatnią i oznaczmy:

Wtedy warunek (1) zostanie zapisany jako

(2)

gdzie są liczbami nieujemnymi. Ponieważ ilości spełniają warunek

Chcemy, aby nasze gwarantowane wygrane były jak najwyższe; Oczywiście w tym przypadku prawa strona równości (3) przyjmuje wartość minimalną.

Zatem problem znalezienia rozwiązania gry sprowadza się do następującego problemu matematycznego: wyznaczać wielkości nieujemne , spełniające warunki (2), tak że ich suma

był minimalny.

Zwykle przy rozwiązywaniu problemów związanych ze znalezieniem wartości ekstremalnych (maksimów i minimów) funkcja jest różniczkowana, a pochodne ustawiane na zero. Ale taka technika jest w tym przypadku bezużyteczna, ponieważ funkcja Ф, która potrzebować minimalizuje, jest liniowa, a jej pochodne względem wszystkich argumentów są równe jeden, czyli nigdzie nie znikają. W rezultacie maksimum funkcji osiągane jest gdzieś na granicy zakresu zmian argumentów, co wyznacza wymóg nieujemności argumentów i warunków (2). Technika znajdowania wartości ekstremalnych za pomocą różniczkowania jest również nieodpowiednia w przypadkach, gdy dla rozwiązania gry ustala się maksimum dolnego (lub minimum górnego) limitu wygranych, tak jak to zrobiliśmy. robili to np. przy rozwiązywaniu gier Rzeczywiście dolna granica składa się z odcinków prostych, a maksimum osiąga się nie w punkcie, w którym pochodna jest równa zero (takiego punktu w ogóle nie ma). ale na granicy przedziału lub w punkcie przecięcia prostych odcinków.

Aby rozwiązać takie problemy, które dość często spotyka się w praktyce, w matematyce opracowano specjalny aparat Programowanie liniowe.

Problem programowania liniowego jest sformułowany w następujący sposób.

Biorąc pod uwagę układ równań liniowych:

(4)

Należy znaleźć nieujemne wartości wielkości, które spełniają warunki (4) i jednocześnie zminimalizować zadaną jednorodną funkcję liniową wielkości (postać liniowa):

Łatwo zauważyć, że postawiony powyżej problem teorii gier jest szczególnym przypadkiem problemu programowania liniowego

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że warunki (2) nie są równoważne warunkom (4), gdyż zamiast znaków równości zawierają znaki nierówności. Łatwo jednak pozbyć się znaków nierówności wprowadzając nowe fikcyjne zmienne nieujemne i zapisując warunki (2) w postaci:

(5)

Forma Φ, którą należy zminimalizować, jest równa

Aparat do programowania liniowego umożliwia dobór wartości przy użyciu stosunkowo małej liczby kolejnych próbek , spełniające podane wymagania. Dla większej przejrzystości zademonstrujemy tutaj użycie tego aparatu bezpośrednio na materiale rozwiązywania konkretnych gier.

Pojęcie modelu i symulacji.

Model w szerokim znaczeniu- jest to dowolny obraz, mentalny odpowiednik lub ustalony obraz, opis, diagram, rysunek, mapa itp. dowolnej objętości, procesu lub zjawiska, używany jako jego substytut lub przedstawiciel. Sam przedmiot, proces lub zjawisko nazywa się oryginałem tego modelu.

Modelowanie - jest to badanie dowolnego obiektu lub układu obiektów poprzez konstruowanie i badanie ich modeli. Polega to na wykorzystaniu modeli do określenia lub wyjaśnienia cech oraz racjonalizacji metod konstruowania nowo budowanych obiektów.

Każda metoda badań naukowych opiera się na idei modelowania, metody teoretyczne wykorzystują różnego rodzaju modele symboliczne, abstrakcyjne, a metody eksperymentalne wykorzystują modele przedmiotowe.

W trakcie badań złożone zjawisko rzeczywiste zostaje zastąpione jakąś uproszczoną kopią lub diagramem; czasami taka kopia służy jedynie zapamiętaniu i rozpoznaniu pożądanego zjawiska na kolejnym spotkaniu. Czasami skonstruowany diagram odzwierciedla pewne istotne cechy, pozwala zrozumieć mechanizm zjawiska i pozwala przewidzieć jego zmianę. Różne modele mogą odpowiadać temu samemu zjawisku.

Zadaniem badacza jest przewidzenie natury zjawiska i przebiegu procesu.

Czasem zdarza się, że obiekt jest dostępny, ale eksperymenty z nim są kosztowne lub prowadzą do poważnych konsekwencji dla środowiska. Wiedzę o takich procesach uzyskuje się za pomocą modeli.

Ważne jest to, że sama natura nauki polega na badaniu nie jednego konkretnego zjawiska, ale szerokiej klasy powiązanych ze sobą zjawisk. Zakłada potrzebę sformułowania pewnych ogólnych twierdzeń kategorycznych, które nazywane są prawami. Naturalnie przy takim sformułowaniu wiele szczegółów jest pomijanych. Aby wyraźniej zidentyfikować wzór, świadomie sięgają po szorstkość, idealizację i szkicowość, czyli badają nie samo zjawisko, ale jego mniej lub bardziej dokładną kopię lub model. Wszystkie prawa są prawami dotyczącymi modeli i dlatego nie jest zaskakujące, że z biegiem czasu niektóre teorie naukowe zostają uznane za nieodpowiednie. Nie prowadzi to jednak do upadku nauki, gdyż jeden model został zastąpiony innym bardziej nowoczesny.

Szczególną rolę w nauce odgrywają modele matematyczne, materiały budowlane i narzędzia tych modeli - koncepcje matematyczne. Gromadziły się i ulepszały przez tysiące lat. Współczesna matematyka zapewnia niezwykle potężne i uniwersalne środki badawcze. Prawie każde pojęcie w matematyce, każdy przedmiot matematyczny, począwszy od pojęcia liczby, jest modelem matematycznym. Konstruując model matematyczny badanego obiektu lub zjawiska, identyfikuje się te jego cechy, cechy i szczegóły, które z jednej strony zawierają mniej lub bardziej pełną informację o obiekcie, a z drugiej pozwalają na formację matematyczną. Formalizacja matematyczna oznacza, że ​​cechy i szczegóły obiektu można powiązać z odpowiednimi, adekwatnymi pojęciami matematycznymi: liczbami, funkcjami, macierzami i tak dalej. Następnie odkryte i przyjęte w badanym obiekcie powiązania i zależności pomiędzy jego poszczególnymi częściami i składnikami można zapisać za pomocą zależności matematycznych: równości, nierówności, równań. Rezultatem jest matematyczny opis badanego procesu lub zjawiska, czyli jego model matematyczny.

Badanie modelu matematycznego zawsze wiąże się z pewnymi zasadami działania na badane obiekty. Reguły te odzwierciedlają relacje pomiędzy przyczynami i skutkami.

Budowa modelu matematycznego jest centralnym etapem badań lub projektowania każdego systemu. Od jakości modelu zależy cała późniejsza analiza obiektu. Budowa modelu nie jest procedurą formalną. Zależy to w dużej mierze od badacza, jego doświadczenia i gustu i zawsze opiera się na pewnym materiale doświadczalnym. Model musi być wystarczająco dokładny, adekwatny i wygodny w użyciu.

Modelowanie matematyczne.

Klasyfikacja modeli matematycznych.

Modele matematyczne mogą byćdeterministyczny I stochastyczny .

Zdecydowany Model i są modelami, w których ustalana jest zgodność jeden do jednego pomiędzy zmiennymi opisującymi obiekt lub zjawisko.

Podejście to opiera się na wiedzy o mechanizmach funkcjonowania obiektów. Często modelowany obiekt jest złożony i rozszyfrowanie jego mechanizmu może być bardzo pracochłonne i czasochłonne. W tym przypadku postępują następująco: przeprowadzają eksperymenty na oryginale, przetwarzają uzyskane wyniki i bez zagłębiania się w mechanizm i teorię modelowanego obiektu, wykorzystując metody statystyki matematycznej i teorii prawdopodobieństwa, ustalają powiązania pomiędzy zmiennymi opisującymi obiekt. W tym przypadku otrzymaszstochastyczny Model . W stochastyczny modelu związek między zmiennymi jest losowy, czasami ma charakter fundamentalny. Wpływ ogromnej liczby czynników, ich kombinacja prowadzi do losowego zestawu zmiennych opisujących obiekt lub zjawisko. Zgodnie z charakterem modów model jeststatystyczny I dynamiczny.

StatystycznyModelzawiera opis zależności pomiędzy głównymi zmiennymi modelowanego obiektu w stanie ustalonym, bez uwzględnienia zmian parametrów w czasie.

W dynamicznymodeleopisano zależności pomiędzy głównymi zmiennymi modelowanego obiektu podczas przejścia z jednego trybu do drugiego.

Są modele oddzielny I ciągły, I mieszany typ. W ciągły zmienne przyjmują wartości z określonego przedziału, woddzielnyzmienne przyjmują izolowane wartości.

Modele liniowe- wszystkie funkcje i zależności opisujące model liniowo zależą od zmiennych inie liniowyW przeciwnym razie.

Modelowanie matematyczne.

Wymagania ,p przedstawione do modeli.

1. Wszechstronność- charakteryzuje kompletność reprezentacji modelowej badanych właściwości obiektu rzeczywistego.

1. Adekwatność to zdolność do odzwierciedlenia pożądanych właściwości obiektu z błędem nie większym niż zadany.
2. Dokładność ocenia się na podstawie stopnia zgodności wartości cech obiektu rzeczywistego z wartościami tych cech uzyskanymi za pomocą modeli.
3. Ekonomiczny - zdeterminowany zużyciem zasobów pamięci komputera oraz czasem jego realizacji i działania.

Modelowanie matematyczne.

Główne etapy modelowania.

1. Opis problemu.

Określenie celu analizy i sposobu jego osiągnięcia oraz opracowanie ogólnego podejścia do badanego problemu. Na tym etapie wymagane jest głębokie zrozumienie istoty zadania. Czasami prawidłowe ustawienie problemu jest nie mniej trudne niż jego rozwiązanie. Inscenizacja nie jest procesem formalnym; nie ma ogólnych zasad.

2. Zapoznanie się z podstawami teoretycznymi i zebranie informacji o obiekcie pierwotnym.

Na tym etapie wybierana lub rozwijana jest odpowiednia teoria. Jeżeli go nie ma, pomiędzy zmiennymi opisującymi przedmiot powstają związki przyczynowo-skutkowe. Określane są dane wejściowe i wyjściowe oraz przyjmowane są założenia upraszczające.

3. Formalizacja.

Polega na wyborze systemu symboli i za jego pomocą zapisania zależności pomiędzy elementami obiektu w postaci wyrażeń matematycznych. Ustala się klasę problemów, do której można zaklasyfikować powstały model matematyczny obiektu. Wartości niektórych parametrów mogą nie zostać jeszcze określone na tym etapie.

4. Wybór metody rozwiązania.

Na tym etapie ustalane są ostateczne parametry modeli z uwzględnieniem warunków pracy obiektu. Dla powstałego problemu matematycznego wybiera się metodę rozwiązania lub opracowuje się specjalną metodę. Przy wyborze metody bierze się pod uwagę wiedzę użytkownika, jego preferencje i preferencje programisty.

5. Implementacja modelu.

Po opracowaniu algorytmu pisany jest program, który jest debugowany, testowany i uzyskuje się rozwiązanie pożądanego problemu.

6. Analiza otrzymanych informacji.

Porównuje się otrzymane i oczekiwane rozwiązania oraz monitoruje błąd modelowania.

7. Sprawdzenie adekwatności obiektu rzeczywistego.

Porównuje się wyniki uzyskane z modelualbo z dostępnymi informacjami o obiekcie, albo przeprowadza się eksperyment, a jego wyniki porównuje się z wynikami obliczeń.

Proces modelowania jest iteracyjny. W przypadku niezadowalających wyników etapów 6. Lub 7. następuje powrót do jednego z wcześniejszych etapów, co mogło doprowadzić do powstania nieudanego modelu. Etap ten i wszystkie kolejne są udoskonalane i takie udoskonalanie modelu następuje do momentu uzyskania zadowalających wyników.

Model matematyczny to przybliżony opis dowolnej klasy zjawisk lub obiektów świata rzeczywistego w języku matematyki. Głównym celem modelowania jest eksploracja tych obiektów i przewidywanie wyników przyszłych obserwacji. Jednak modelowanie to także metoda rozumienia otaczającego nas świata, pozwalająca na jego kontrolę.

Modelowanie matematyczne i związany z nim eksperyment komputerowy są niezbędne w przypadkach, gdy eksperyment na pełną skalę jest z tego czy innego powodu niemożliwy lub trudny. Nie da się na przykład przeprowadzić w historii naturalnego eksperymentu, który sprawdzałby, „co by się stało, gdyby…”. Nie da się sprawdzić poprawności tej czy innej teorii kosmologicznej. Eksperymentowanie z rozprzestrzenianiem się choroby, takiej jak dżuma, lub przeprowadzenie eksplozji nuklearnej w celu zbadania jej konsekwencji jest możliwe, ale mało rozsądne. Wszystko to można jednak wykonać na komputerze, konstruując najpierw modele matematyczne badanych zjawisk.

1.1.2 2. Główne etapy modelowania matematycznego

1) Budowa modelu. Na tym etapie określa się jakiś obiekt „niematematyczny” - zjawisko naturalne, projekt, plan ekonomiczny, proces produkcyjny itp. W tym przypadku z reguły jasny opis sytuacji jest trudny. W pierwszej kolejności identyfikowane są główne cechy zjawiska oraz powiązania między nimi na poziomie jakościowym. Następnie znalezione zależności jakościowe formułuje się w języku matematyki, czyli budowany jest model matematyczny. To najtrudniejszy etap modelowania.

2) Rozwiązanie problemu matematycznego, do którego prowadzi model. Na tym etapie dużą wagę przywiązuje się do opracowania algorytmów i metod numerycznych rozwiązywania problemu na komputerze, za pomocą których można znaleźć wynik z wymaganą dokładnością i w akceptowalnym czasie.

3) Interpretacja uzyskanych konsekwencji z modelu matematycznego.Konsekwencje wyprowadzone z modelu w języku matematyki są interpretowane w języku przyjętym w tej dziedzinie.

4) Sprawdzenie adekwatności modelu.Na tym etapie określa się, czy wyniki eksperymentów zgadzają się z teoretycznymi konsekwencjami modelu w określonym zakresie dokładności.

5) Modyfikacja modelu.Na tym etapie albo model jest skomplikowany, aby był bardziej adekwatny do rzeczywistości, albo uproszczony, aby uzyskać rozwiązanie praktycznie akceptowalne.

1.1.3 3. Klasyfikacja modeli

Modele można klasyfikować według różnych kryteriów. Przykładowo, ze względu na charakter rozwiązywanych problemów, modele można podzielić na funkcjonalne i strukturalne. W pierwszym przypadku wszystkie wielkości charakteryzujące zjawisko lub obiekt wyrażane są ilościowo. W tym przypadku część z nich uważa się za zmienne niezależne, inne natomiast za funkcje tych wielkości. Model matematyczny to zwykle układ równań różnego typu (różniczkowych, algebraicznych itp.), które ustalają ilościowe zależności między rozważanymi wielkościami. W drugim przypadku model charakteryzuje strukturę złożonego obiektu składającego się z poszczególnych części, pomiędzy którymi zachodzą pewne powiązania. Zazwyczaj powiązań tych nie da się zmierzyć. Do konstruowania takich modeli wygodnie jest posłużyć się teorią grafów. Wykres to obiekt matematyczny reprezentujący zbiór punktów (wierzchołków) na płaszczyźnie lub w przestrzeni, z których część jest połączona liniami (krawędziami).

Ze względu na charakter danych wyjściowych i wyników modele predykcyjne można podzielić na deterministyczne i probabilistyczno-statystyczne. Modele pierwszego typu dokonują pewnych, jednoznacznych przewidywań. Modele drugiego typu opierają się na informacjach statystycznych, a uzyskane za ich pomocą przewidywania mają charakter probabilistyczny.

MODELOWANIE MATEMATYCZNE I OGÓLNE MODELE KOMPUTERYZACYJNE LUB SYMULACYJNE

Teraz, gdy w kraju następuje niemal powszechna informatyzacja, słyszymy wypowiedzi specjalistów różnych zawodów: „Jeśli wprowadzimy komputer, to wszystkie problemy zostaną natychmiast rozwiązane”. Ten punkt widzenia jest całkowicie błędny; same komputery, bez matematycznych modeli pewnych procesów, nie będą w stanie nic zrobić, a o powszechnej informatyzacji można tylko marzyć.

Na poparcie powyższego postaramy się uzasadnić potrzebę modelowania, w tym modelowania matematycznego, ujawnimy jego zalety w poznaniu człowieka i przetwarzaniu świata zewnętrznego, zidentyfikujemy istniejące braki i przejdziemy... do modelowania symulacyjnego, tj. modelowanie za pomocą komputera. Ale wszystko jest w porządku.

Na początek odpowiedzmy sobie na pytanie: czym jest model?

Model to przedmiot materialny lub mentalnie reprezentowany, który w procesie poznania (badania) zastępuje oryginał, zachowując pewne typowe właściwości, ważne dla tego badania.

Dobrze zbudowany model jest bardziej dostępny do badań niż rzeczywisty obiekt. Niedopuszczalne są na przykład eksperymenty z gospodarką kraju w celach edukacyjnych; model jest niezbędny.

Podsumowując to, co zostało powiedziane, możemy odpowiedzieć na pytanie: do czego służą modele? W celu

• zrozumieć, jak działa obiekt (jego struktura, właściwości, prawa rozwoju, interakcja ze światem zewnętrznym).
• nauczyć się zarządzać obiektem (procesem) i określić najlepsze strategie
• przewidzieć skutki uderzenia w obiekt.

Co jest pozytywnego w każdym modelu? Pozwala zdobyć nową wiedzę o przedmiocie, lecz niestety jest ona w takim czy innym stopniu niepełna.

Modelsformułowany w języku matematyki przy użyciu metod matematycznych nazywany jest modelem matematycznym.

Punktem wyjścia do jego budowy jest zwykle jakiś problem, np. ekonomiczny. Powszechne są zarówno matematyczne opisowe, jak i optymalizacyjne, charakteryzujące się różnorodnością procesy gospodarcze i zjawiska, na przykład:

• alokacja zasobów
• racjonalne cięcie
• transport
• konsolidacja przedsiębiorstw
• planowanie sieci.

Jak zbudowany jest model matematyczny?

• W pierwszej kolejności formułowany jest cel i przedmiot badania.
• Po drugie, podkreślono najważniejsze cechy odpowiadające temu celowi.
• Po trzecie, relacje pomiędzy elementami modelu opisywane są w sposób werbalny.
• Następnie następuje sformalizowanie związku.
• Obliczenia przeprowadza się przy użyciu modelu matematycznego, a powstałe rozwiązanie analizuje się.

Za pomocą tego algorytmu można rozwiązać dowolny problem optymalizacyjny, w tym wielokryterialny, tj. taki, w którym realizuje się nie jeden, ale kilka celów, w tym sprzecznych.

Podajmy przykład. Teoria kolejkowania - problem kolejkowania. Konieczne jest zrównoważenie dwóch czynników – kosztu utrzymania urządzeń serwisowych oraz kosztu utrzymania porządku. Po zbudowaniu formalnego opisu modelu dokonuje się obliczeń metodami analitycznymi i obliczeniowymi. Jeśli model jest dobry, to odpowiedzi znalezione za jego pomocą są adekwatne do systemu modelowania; jeśli jest zły, to należy go poprawić i wymienić. Kryterium adekwatności jest praktyka.

Modele optymalizacyjne, w tym wielokryterialne, mają wspólną cechę - znany jest cel (lub kilka celów), do osiągnięcia którego często trzeba mieć do czynienia ze złożonymi systemami, gdzie nie tyle chodzi o rozwiązywanie problemów optymalizacyjnych, ile o badanie i przewidywanie stanów w zależności od wybranych strategii zarządzania. I tu stajemy przed trudnościami w realizacji poprzedniego planu. Są one następujące:

• złożony system zawiera wiele połączeń pomiędzy elementami
• na system rzeczywisty wpływają czynniki losowe, których uwzględnienie analitycznie jest niemożliwe
• możliwość porównania oryginału z modelem istnieje dopiero na początku i po użyciu aparatu matematycznego, gdyż wyniki pośrednie mogą nie mieć odpowiedników w systemie rzeczywistym.

W związku z wymienionymi trudnościami, jakie pojawiają się podczas badania złożonych systemów, praktyka wymagała bardziej elastycznej metody i okazało się - „Modelowanie symulacyjne”.

Zazwyczaj przez model symulacyjny rozumie się zbiór programów komputerowych opisujących funkcjonowanie poszczególnych bloków systemu oraz zasady współdziałania pomiędzy nimi. Zastosowanie zmiennych losowych powoduje konieczność powtarzania eksperymentów z systemem symulacyjnym (na komputerze) i późniejszej analizy statystycznej uzyskanych wyników. Bardzo częstym przykładem wykorzystania modeli symulacyjnych jest rozwiązywanie problemu kolejek metodą MONTE CARLO.

Praca z systemem symulacyjnym jest zatem eksperymentem przeprowadzanym na komputerze. Jakie są zalety?

– Większa bliskość systemu rzeczywistego niż modele matematyczne;

–Zasada blokowa umożliwia weryfikację każdego bloku przed jego włączeniem do całego systemu;

–Stosowanie zależności o bardziej złożonym charakterze, których nie da się opisać prostymi zależnościami matematycznymi.

Wymienione zalety determinują wady

– zbudowanie modelu symulacyjnego trwa dłużej, jest trudniejsze i droższe;

– do pracy z systemem symulacyjnym niezbędne jest posiadanie odpowiedniego dla zajęć komputera;

– interakcja pomiędzy użytkownikiem a modelem symulacyjnym (interfejsem) nie powinna być zbyt skomplikowana, wygodna i dobrze znana;

-budowa modelu symulacyjnego wymaga głębszego zbadania rzeczywistego procesu niż modelowanie matematyczne.

Powstaje pytanie: czy modelowanie symulacyjne może zastąpić metody optymalizacyjne? Nie, ale wygodnie je uzupełnia. Model symulacyjny to program implementujący określony algorytm, w celu optymalizacji sterowania, przy którym najpierw rozwiązuje się problem optymalizacyjny.

Zatem ani komputer, ani model matematyczny, ani sam algorytm jego badania nie są w stanie rozwiązać wystarczająco złożonego problemu. Ale razem stanowią siłę, która pozwala nam rozumieć otaczający nas świat i zarządzać nim w interesie człowieka.

1.2 Klasyfikacja modeli

Ogólnie, Model jest odbiciem rzeczywistego obiektu. Takie odbicie obiektu można przedstawić za pomocą szkicu, diagramu, fotografii, wykresu, tabeli itp.

Rozważymy jedynie modele matematyczne różnych procesów gospodarczych, które są opisywane symbolami matematycznymi i rozwiązywane za pomocą odpowiednich metod matematycznych.

W ekonomii posługują się głównie modelami matematycznymi, które opisują badane zjawisko za pomocą aparatu matematycznego (funkcje, równania, nierówności i ich układy).

W teorii rozwiązań optymalnych główną rolę przypisuje się modelowaniu matematycznemu. Aby zbudować model matematyczny, konieczne jest ścisłe zrozumienie celu działania badanego układu oraz posiadanie informacji o ograniczeniach wyznaczających zakres dopuszczalnych wartości regulowanych zmiennych. Zarówno cel, jak i ograniczenia muszą być reprezentowane jako funkcje kontrolowanych zmiennych. Analiza modelu powinna prowadzić do określenia najlepszego działania sterującego na obiekcie regulacji przy spełnieniu wszystkich założonych ograniczeń.

Budowany jest model zarządzanego obiektu w celu wykorzystania pewnego rodzaju urządzenia obliczeniowego do optymalizacji funkcjonowania tego obiektu (maksymalne możliwe zwiększenie efektywności jego działania). Tworzenie modelu prawie zawsze wiąże się z próbą osiągnięcia dwóch sprzecznych celów: możliwie najdokładniejszego przedstawienia rzeczywistych procesów oraz uzyskania modelu tak prostego, jak to możliwe, aby łatwo było z nim pracować.

Aby zastosować metody ilościowe do badania procesów gospodarczych, konieczne jest zbudowanie modelu matematycznego obiektu optymalizacji. Konstruując model, obiekt z reguły jest upraszczany, schematyzowany, a diagram obiektu opisywany jest za pomocą tego lub innego aparatu matematycznego.

Model matematyczny- jest to przybliżony opis dowolnego obiektu lub klasy zjawisk świata zewnętrznego, wyrażony za pomocą aparatu matematycznego i symboliki matematycznej.

Modele matematyczne mają wiele zalet w porównaniu z innymi typami modeli. Do najważniejszych z nich zaliczają się:

· szeroki wachlarz zastosowań,

niski koszt stworzenia modelu w porównaniu do innych typów,

· szybkość uzyskiwania wyników badań przy wykorzystaniu elektronicznej techniki komputerowej,

· możliwość eksperymentowania z badanym procesem gospodarczym,

· możliwość sprawdzenia prawidłowości postawionych przesłanek i warunków postawionego zadania gospodarczego.

Model matematyczny dowolnego problemu ekonomicznego zawiera funkcję celu, system ograniczeń i kryterium optymalności.

Funkcja celu wiąże ze sobą różne wielkości modelu. Z reguły jako cel wybiera się wskaźnik ekonomiczny (zysk, koszt, rentowność itp.). Dlatego funkcję celu nazywa się czasami ekonomiczną, kryterium.

Funkcja celu– charakterystyka obiektu od warunku dalszego poszukiwania kryterium optymalności, matematycznie łączącego pewne czynniki obiektu badań.

Przy rozwiązywaniu problemów optymalizacyjnych konieczne jest określenie kryterium optymalności, tj. znak, za pomocą którego dokonuje się oceny porównawczej alternatyw i spośród nich wybiera się najlepszą z punktu widzenia założonego celu optymalizacji.

Kryterium optymalności– jest to wskaźnik, który z reguły ma znaczenie ekonomiczne, służy sformalizowaniu konkretnego celu zarządzania przedmiotem badań i wyraża się za pomocą funkcji celu.

Kryterium optymalności operacji pełni tak ważną funkcję, jak ocena porównawcza wybranych strategii (rozwiązań) przed rozpoczęciem ich wdrażania i na końcowym etapie operacji. Pozwala na analizę uzyskanych wyników i wyciągnięcie wniosków, która strategia będzie optymalna.

Wielkości, które zmieniają się podczas optymalizacji i są uwzględniane w modelu matematycznym obiektu optymalizacji, nazywane są parametry optymalizacyjne, oraz zależności wyznaczające granice możliwych zmian tych parametrów ograniczenia.

Ograniczenia– są to zależności zawężające obszar rozwiązań możliwych, akceptowalnych lub dopuszczalnych oraz ustalające podstawowe właściwości zewnętrzne i wewnętrzne obiektu. Ograniczenia te można wyrazić w formie równości lub nierówności (lub ich układów).

Decyzją model matematyczny problemu ekonomicznego, lub akceptowalnego planu to zbiór nieznanych wartości, który spełnia jego system ograniczeń. Model może mieć wiele rozwiązań, czyli wykonalnych planów, spośród których konieczne jest znalezienie tego jedynego, które spełnia układ ograniczeń i funkcję celu.

Plan wykonalny, który spełnia funkcję celu, nazywany jest planem wykonalnym optymalny .

Jeżeli model problemu ma wiele planów optymalnych, to dla każdego z nich wartość funkcji celu jest taka sama.

Zatem, aby znaleźć optymalne rozwiązanie dowolnego problemu ekonomicznego, konieczne jest zbudowanie jego modelu matematycznego, który w strukturze obejmuje układ ograniczeń, funkcję celu, kryterium optymalności i rozwiązanie.

Proces konstruowania modelu matematycznego nazywa się modelowanie matematyczne .

Stworzenie modelu obiektu wymaga zrozumienia istoty opisywanego zjawiska oraz znajomości aparatu matematycznego.

Modelowanie i konstruowanie modelu matematycznego obiektu gospodarczego pozwala sprowadzić analizę ekonomiczną procesów produkcyjnych do analizy matematycznej i podejmowania efektywnych (optymalnych) decyzji.

Konstruując model matematyczny należy unikać z jednej strony nadmiernego upraszczania zjawiska lub procesu gospodarczego (gdyż nadmierne uproszczenie nie odzwierciedla rzeczywistości), z drugiej zaś jego nadmiernej szczegółowości i złożoności (ponieważ prowadzi to do duża liczba zmiennych i utrudnia zbudowanie modelu).

Główne elementy modelu:

1) Dane wyjściowe:

· deterministyczny,

· losowy.

2) Wymagane zmienne:

· ciągły,

· dyskretny.

3) Zależności:

· liniowy (zmienne są uwzględniane w pierwszym stopniu i nie ma ich iloczynu),

· nieliniowy (zmienne są zawarte w potęgach wyższych od pierwszej lub są iloczynem zmiennych).

Połączenie różnych elementów modelu prowadzi do różnych klas problemów optymalizacyjnych (Temat 2), wymagających różnych metod rozwiązania.

Przy rozwiązywaniu konkretnego problemu gospodarczego zastosowanie metod optymalnego rozwiązania polega na:

· budowa modeli matematycznych problemów decyzyjnych w sytuacjach złożonych lub w warunkach niepewności,

· badanie zależności, które następnie determinują podejmowanie decyzji i ustalanie kryteriów optymalności, które pozwalają ocenić przewagę tej lub innej opcji działania.

Do głównych metod podejmowanie optymalnych decyzji obejmuje:

1) Metody programowania matematycznego:

· Programowanie liniowe,

programowanie nieliniowe,

programowanie całkowite

· Programowanie dynamiczne,

Programowanie wypukłe

programowanie geometryczne

Programowanie parametryczne

· programowanie stochastyczne,

· programowanie heurystyczne.

2) Metody teorii kolejkowania.

3) Metody teorii gier.

4) Klasyczne metody optymalizacji (metoda Lagrange'a, metoda gradientowa).

5) Sieciowe metody planowania i zarządzania.