Formuła segmentu kołowego. geometria okręgu

Definicja odcinka koła

Człon- Jest to figura geometryczna, którą uzyskuje się przez odcięcie części koła cięciwą.

Kalkulator online

Ta figura znajduje się między cięciwą a łukiem koła.

Jest to odcinek leżący wewnątrz okręgu i łączący na nim dwa dowolnie wybrane punkty.

Odcinając część koła cięciwą, można wziąć pod uwagę dwie figury: to jest nasz segment i trójkąt równoramienny, którego boki są promieniami koła.

Obszar segmentu można znaleźć jako różnicę między obszarami sektora koła i tym Trójkąt równoramienny.

Obszar segmentu można znaleźć na kilka sposobów. Rozważmy je bardziej szczegółowo.

Wzór na pole odcinka koła pod względem promienia i długości łuku koła, wysokości i podstawy trójkąta

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot aS=2 1 ​ ⋅ R⋅S-2 1 ​ ⋅ h ⋅A

R R R- promień okręgu;
SS S- długość łuku;
h h H- wysokość trójkąta równoramiennego;
a A jest długością podstawy tego trójkąta.

Podano okrąg, jego promień jest liczbowo równy 5 (patrz), wysokość narysowana do podstawy trójkąta równa 2 (patrz), długość łuku wynosi 10 (patrz). Znajdź obszar segmentu koła.

Rozwiązanie

R=5 R=5 R=5
godz=2 godz=2 h =2
s=10 s=10 s=1 0

Do obliczenia pola brakuje nam tylko podstawy trójkąta. Znajdźmy to według wzoru:

A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2) = 8 a=2\cdot\sqrt(h\cdot(2\cdot R-h))=2\cdot\ sqrt(2\cdot(2\cdot 5-2))=8=2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R-h)​ = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) ​ = 8

Teraz możesz obliczyć powierzchnię segmentu:

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ za = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac (1)(2)\cdot h\cdot a=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 10-\frac(1)(2)\cdot 2\cdot 8=17S=2 1 ​ ⋅ R⋅S-2 1 ​ ⋅ h ⋅=2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ​ ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (patrz kw.)

Odpowiedź: kwadrat 17 cm

Wzór na pole odcinka koła, biorąc pod uwagę promień koła i kąt środkowy

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha-\sin(\alpha))S=2 R 2 ​ ⋅ (α − grzech (α ) )

R R R- promień okręgu;
α\alfa α jest środkowym kątem między dwoma promieniami leżącymi naprzeciw cięciwy, mierzone w radianach.

Znajdź obszar odcinka koła, jeśli promień koła wynosi 7 (cm), a kąt środkowy wynosi 30 stopni.

Rozwiązanie

R=7 R=7 R=7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Najpierw zamieńmy kąt w stopniach na radiany. Ponieważ π\pi π radian równa się 180 stopni, to:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^(\circ)=30^(\circ)\cdot\frac(\pi)(180^(\circ))=\frac(\pi )(6)3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ 1 8 0 ∘ π ​ = 6 π ​ radian. Następnie obszar segmentu:

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin ⁡ (π 6)) ≈ 0,57 S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha- \sin(\alpha))=\frac(49)(2)\cdot\Big(\frac(\pi)(6)-\sin\Big(\frac(\pi)(6)\Duży)\Duży )\około 0,57S=2 R 2 ​ ⋅ (α − grzech (α ) ) =2 4 9 ​ ⋅ ( 6 π ​ − grzech ( 6 π ​ ) ) ≈ 0 . 5 7 (patrz kw.)

Odpowiedź: kwadrat 0,57 cm

Koło, jego części, ich rozmiary i proporcje to rzeczy, z którymi jubiler nieustannie się spotyka. Pierścionki, bransoletki, kasty, rurki, kulki, spirale - dużo okrągłych rzeczy trzeba zrobić. Jak możesz to wszystko obliczyć, zwłaszcza jeśli miałeś szczęście pominąć lekcje geometrii w szkole? ..

Najpierw przyjrzyjmy się, jakie części ma koło i jak się nazywają.

• Okrąg to linia, która zawiera okrąg.
• Łuk jest częścią koła.
• Promień to odcinek linii łączący środek okręgu z punktem na okręgu.
• Cięciwa to odcinek linii łączący dwa punkty na okręgu.
• Segment to część koła ograniczona cięciwą i łukiem.
• Sektor to część koła ograniczona dwoma promieniami i łukiem.

Interesujące nas wielkości i ich oznaczenia:

Zobaczmy teraz, jakie zadania związane z częściami koła muszą zostać rozwiązane.

• Znajdź długość rozwoju dowolnej części pierścienia (bransoletki). Biorąc pod uwagę średnicę i cięciwę (opcja: średnica i kąt środkowy), znajdź długość łuku.
• Na płaszczyźnie jest rysunek, musisz znaleźć jego rozmiar w rzucie po zgięciu w łuk. Znając długość łuku i średnicę, znajdź długość cięciwy.
• Znajdź wysokość części uzyskaną przez zgięcie płaskiego przedmiotu w łuk. Opcje danych początkowych: długość i średnica łuku, długość łuku i cięciwa; znajdź wysokość odcinka.

Życie podpowie inne przykłady, a te podałem tylko po to, aby pokazać, że trzeba ustawić dowolne dwa parametry, aby znaleźć wszystkie pozostałe. To właśnie zamierzamy zrobić. Mianowicie bierzemy pięć parametrów segmentu: D, L, X, φ i H. Następnie wybierając z nich wszystkie możliwe pary, będziemy je traktować jako dane początkowe i przez burza mózgów znajdź wszystkie inne.

Aby nie obciążać czytelnika na próżno, nie podam szczegółowych rozwiązań, a jedynie wyniki w postaci wzorów (omówię te przypadki, w których po drodze nie ma rozwiązania formalnego).

I jeszcze jedna uwaga: o jednostkach miary. Wszystkie wielkości, z wyjątkiem kąta środkowego, są mierzone w tych samych jednostkach abstrakcyjnych. Oznacza to, że jeśli na przykład podasz jedną wartość w milimetrach, to drugiej nie trzeba podawać w centymetrach, a wynikowe wartości zostaną zmierzone w tych samych milimetrach (i obszarach w milimetrach kwadratowych) . To samo można powiedzieć o calach, stopach i milach morskich.

I tylko kąt środkowy we wszystkich przypadkach jest mierzony w stopniach i nic więcej. Ponieważ, jak pokazuje praktyka, ludzie, którzy projektują coś okrągłego, nie są skłonni mierzyć kątów w radianach. Wyrażenie „kąt pi o cztery” dezorientuje wielu, podczas gdy „kąt czterdziestu pięciu stopni” jest zrozumiały dla wszystkich, ponieważ jest tylko pięć stopni powyżej normy. Jednak we wszystkich wzorach będzie jeszcze jeden kąt - α - jako wartość pośrednia. Pod względem znaczenia jest to połowa kąta środkowego, mierzona w radianach, ale nie można bezpiecznie zagłębiać się w to znaczenie.

1. Podana jest średnica D i długość łuku L

; długość akordu ;
wysokość segmentu ; centralny róg .

2. Podano średnicę D i długość cięciwy X

; długość łuku;
wysokość segmentu ; centralny róg .

Ponieważ cięciwa dzieli okrąg na dwa segmenty, problem ten ma nie jedno, ale dwa rozwiązania. Aby uzyskać drugi, musisz zastąpić kąt α kątem w powyższych wzorach.

3. Podano średnicę D i kąt środkowy φ

; długość łuku;
długość akordu ; wysokość segmentu .

4. Biorąc pod uwagę średnicę D i wysokość odcinka H

; długość łuku;
długość akordu ; centralny róg .

6. Biorąc pod uwagę długość łuku L i kąt środkowy φ

; średnica ;
długość akordu ; wysokość segmentu .

8. Mając długość cięciwy X i kąt środkowy φ

; długość łuku ;
średnica ; wysokość segmentu .

9. Mając długość cięciwy X i wysokość odcinka H

; długość łuku ;
średnica ; centralny róg .

10. Mając dany kąt środkowy φ i wysokość odcinka H

; średnica ;
długość łuku; długość akordu .

Uważny czytelnik nie mógł nie zauważyć, że pominąłem dwie opcje:

5. Biorąc pod uwagę długość łuku L i długość cięciwy X

7. Biorąc pod uwagę długość łuku L i wysokość odcinka H

To tylko te dwa nieprzyjemne przypadki, kiedy problem nie ma rozwiązania, które można by zapisać w postaci wzoru. A zadanie nie jest takie rzadkie. Na przykład masz płaski kawałek o długości L i chcesz go zgiąć tak, aby jego długość stała się X (lub jego wysokość stała się H). Jaką średnicę wziąć trzpień (poprzeczkę)?

To zadanie sprowadza się do rozwiązania równań:
; - w opcji 5
; - w opcji 7
i chociaż nie można ich rozwiązać analitycznie, można je łatwo rozwiązać programowo. I nawet wiem, skąd wziąć taki program: na tej stronie, pod nazwą . Wszystko, co tu obszernie opowiadam, ona robi w mikrosekundach.

Dla uzupełnienia obrazu dodajmy do wyników naszych obliczeń obwód i trzy wartości pól - koło, wycinek i odcinek. (Powierzchnie bardzo pomogą nam w obliczaniu masy dowolnych okrągłych i półkolistych części, ale o tym w osobnym artykule). Wszystkie te wielkości są obliczane przy użyciu tych samych wzorów:

obwód;
obszar koła ;
obszar sektora ;
obszar segmentu ;

A na zakończenie jeszcze raz przypomnę o istnieniu absolutnie darmowy program, który wykonuje wszystkie powyższe obliczenia, uwalniając Cię od konieczności pamiętania, czym jest arc tangens i gdzie go szukać.

Od tego czasu znana jest matematyczna wartość tego obszaru starożytna Grecja. Już w tych odległych czasach Grecy odkryli, że obszar jest ciągłą częścią powierzchni, która jest ograniczona ze wszystkich stron zamkniętym konturem. Ten wartość numeryczna, który jest mierzony w jednostkach kwadratowych. Powierzchnia jest charakterystyką liczbową obu mieszkań figury geometryczne(planimetryczny) i powierzchni ciał w przestrzeni (objętościowy).

Obecnie występuje nie tylko w ramach program nauczania na lekcjach geometrii i matematyki, ale także w astronomii, życiu codziennym, w budownictwie, w opracowywaniu projektów, w produkcji iw wielu innych ludziach. Bardzo często uciekamy się do obliczania powierzchni segmentów na osobistej działce podczas projektowania strefy krajobrazowej lub podczas naprawy ultranowoczesnego projektu pokoju. Dlatego znajomość metod obliczania powierzchni różnych przyda się zawsze i wszędzie.

Aby obliczyć powierzchnię odcinka kołowego i odcinka kuli, konieczne jest zrozumienie terminów geometrycznych, które będą potrzebne w procesie obliczeniowym.

Przede wszystkim wycinek koła to fragment płaskiej figury koła, który znajduje się pomiędzy łukiem koła a cięciwą, która go przecina. Pojęcia tego nie należy mylić z figurą sektora. To są zupełnie różne rzeczy.

Cięciwa to odcinek linii łączący dwa punkty na okręgu.

Kąt środkowy powstaje między dwoma segmentami - promieniami. Jest mierzony w stopniach przez łuk, na którym spoczywa.

Segment sfery powstaje, gdy część zostaje odcięta przez pewną płaszczyznę.W tym przypadku podstawą segmentu sferycznego jest okrąg, a wysokość to prostopadła wychodząca ze środka okręgu do punktu przecięcia z powierzchnią kuli. Ten punkt przecięcia nazywany jest wierzchołkiem segmentu kuli.

Aby wyznaczyć pole powierzchni segmentu kuli, należy znać odcięty okrąg oraz wysokość odcinka sferycznego. Iloczynem tych dwóch składowych będzie pole powierzchni odcinka kuli: S=2πRh, gdzie h to wysokość odcinka, 2πR to obwód, a R to promień koła wielkiego.

Aby obliczyć powierzchnię segmentu koła, możesz skorzystać z następujących wzorów:

1. Aby znaleźć pole odcinka w najprostszy sposób, należy obliczyć różnicę między polem sektora, w który ten odcinek jest wpisany, a którego podstawą jest cięciwa odcinka: S1=S2 -S3, gdzie S1 to powierzchnia segmentu, S2 to powierzchnia sektora, a S3 to powierzchnia trójkąta.

Możesz skorzystać z przybliżonego wzoru na obliczenie pola odcinka kołowego: S=2/3*(a*h), gdzie a to podstawa trójkąta lub h to wysokość odcinka, co jest wynikiem z różnicy między promieniem okręgu a

2. Pole odcinka innego niż półkole oblicza się w następujący sposób: S = (π R2:360)*α ± S3, gdzie π R2 - pole koła, α - miara stopnia kąt środkowy, który zawiera łuk segmentu koła, S3 to obszar trójkąta, który powstał między dwoma promieniami koła i cięciwą, która jest właścicielem kąta w środkowym punkcie koła i dwóch wierzchołków w punktach styku promieni z okręgiem.

Jeżeli kąt α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 stopni, zastosowano znak plus.

3. Możesz obliczyć powierzchnię segmentu za pomocą innych metod wykorzystujących trygonometrię. Z reguły za podstawę przyjmuje się trójkąt. Jeżeli kąt środkowy jest mierzony w stopniach, dopuszczalna jest następująca formuła: S \u003d R2 * (π * (α / 180) - sin α) / 2, gdzie R2 jest kwadratem promienia koła, α jest miara stopnia kąta środkowego.

4. Aby obliczyć powierzchnię segmentu za pomocą funkcje trygonometryczne, możesz użyć innego wzoru, pod warunkiem, że kąt środkowy jest mierzony w radianach: S \u003d R2 * (α - sin α) / 2, gdzie R2 jest kwadratem promienia koła, α jest miarą stopnia kąt środkowy.

• 01.10.2018

  W oparciu o moduł WiFi NodeMcu v3 z układem ESP8266 (ESP-12e) można wykonać (na przykład) termometr na czujniku cyfrowym 18B20, informacja o temperaturze za pomocą żądania GET zostanie przesłana do bazy MySQL. Poniższy szkic pozwala na wysyłanie żądań GET do wskazanej strony, w moim przypadku jest to test.php. #włączać #włączać …

• 22.09.2014

  Automatyczny ściemniacz stacjonarny, sterowany fotorezystorem R7, przeznaczony jest do pracy w trudnych warunkach klimatu zimnego i umiarkowanie zimnego w temp. środowisko od -25 do +45 °С, wilgotność względna powietrza do 85% przy +20 °С i ciśnienie atmosferyczne w granicach 200…900 mm Hg. Ściemniacz służy do regulacji oświetlenia pojedynczego...

• 25.09.2014

  Aby uniknąć uszkodzenia okablowania podczas prac naprawczych, konieczne jest użycie urządzenia do wykrywania ukrytych przewodów. Urządzenie wykrywa nie tylko miejsce ukrytego okablowania, ale także miejsce uszkodzenia ukrytego okablowania. Urządzenie jest wzmacniaczem częstotliwości audio, w pierwszym etapie zastosowano tranzystor polowy w celu zwiększenia rezystancji wejściowej. W drugim etapie systemu operacyjnego. Czujnik jest...

• 03.10.2014

  Proponowane urządzenie stabilizuje napięcie do 24V i prąd do 2A z zabezpieczeniem przeciwzwarciowym. W przypadku niestabilnego startu stabilizatora należy zastosować synchronizację z autonomicznego generatora impulsów (rys. 2. Obwód stabilizatora pokazano na ryc. 1. Wyzwalacz Schmitta jest montowany na VT1 VT2, który steruje potężnym tranzystorem regulacyjnym VT3. Szczegóły: VT3 jest wyposażony w radiator ...