Stopniowa miara kąta. Radianowa miara kąta. Konwersja stopni na radiany i odwrotnie.
Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy „bardzo…”)
Na poprzedniej lekcji opanowaliśmy liczenie kątów na okręgu trygonometrycznym. Nauczyłeś się liczyć kąty dodatnie i ujemne. Nauczyłem się rysować kąt większy niż 360 stopni. Czas zająć się pomiarem kątów. Zwłaszcza z liczbą „Pi”, która stara się nas zmylić w trudnych zadaniach, tak…
Standardowe zadania trygonometrii z liczbą „Pi” są rozwiązywane całkiem dobrze. Pomaga pamięć wzrokowa. Ale każde odstępstwo od szablonu - powala na miejscu! Aby nie upaść - zrozumieć niezbędny. Co teraz z powodzeniem zrobimy. W pewnym sensie – rozumiemy wszystko!
Więc, Co czy kąty się liczą? W kurs szkolny trygonometria wykorzystuje dwie miary: stopień miary kąta I radianowa miara kąta. Przyjrzyjmy się tym środkom. Bez tego w trygonometrii - nigdzie.
Stopniowa miara kąta.
Jesteśmy w jakiś sposób przyzwyczajeni do stopni. Geometria przynajmniej przeszła… Tak, a w życiu często spotykamy się na przykład ze zwrotem „obróciło się o 180 stopni”. Dyplom, krótko mówiąc, prosta rzecz...
Tak? Odpowiedz mi zatem co to jest stopień? Co nie działa od razu? Coś...
Stopnie wynaleziono w starożytnym Babilonie. To było dawno temu... 40 wieków temu... A oni po prostu na to wpadli. Wzięli i rozbili okrąg na 360 stopni równe części. 1 stopień to 1/360 koła. I to wszystko. Można go podzielić na 100 kawałków. Albo o 1000. Ale podzielili to na 360. Swoją drogą, dlaczego dokładnie o 360? Dlaczego 360 jest lepsze niż 100? 100 wydaje się być w jakiś sposób bardziej wyrównane... Spróbuj odpowiedzieć na to pytanie. Albo słaby w starciu ze starożytnym Babilonem?
Gdzieś w tym samym czasie Starożytny Egipt dręczony inną sprawą. Ile razy obwód koła jest większy od długości jego średnicy? I tak zmierzyli, i w ten sposób… Wszystko okazało się nieco więcej niż trzy. Ale jakoś okazało się kudłate, nierówne ... Ale oni, Egipcjanie, nie są winni. Po nich cierpieli przez kolejne 35 wieków. Aż w końcu udowodnili, że nieważne jak drobno pociąć okrąg na równe kawałki, z takich kawałków zrobić gładki długość średnicy jest niemożliwa... W zasadzie jest to niemożliwe. No cóż, ile razy obwód jest większy od średnicy, oczywiście. Około. 3,1415926... razy.
To jest liczba „Pi”. To jest kudłate, bardzo kudłate. Po przecinku - nieskończona liczba cyfr bez kolejności... Takie liczby nazywane są niewymiernymi. Nawiasem mówiąc, oznacza to, że z równych kawałków koła średnica gładki Nie składaj. Nigdy.
Dla praktyczne zastosowanie Zwyczajowo zapamiętuje się tylko dwie cyfry po przecinku. Pamiętać:
Ponieważ zrozumieliśmy, że obwód koła jest większy niż średnica razy „Pi”, warto zapamiętać wzór na obwód koła:
Gdzie Ł jest obwodem, oraz D jest jego średnica.
Przydatne w geometrii.
Dla ogólne wykształcenie Dodam, że liczba „Pi” występuje nie tylko w geometrii… W najróżniejszych działach matematyki, a zwłaszcza w teorii prawdopodobieństwa, liczba ta pojawia się stale! Samodzielnie. Poza naszymi pragnieniami. Lubię to.
Wróćmy jednak do stopni. Czy zastanawiałeś się, dlaczego w starożytnym Babilonie okrąg był podzielony na 360 równych części? Ale nie na przykład 100? NIE? OK. Podam ci wersję. Nie możesz zapytać starożytnych Babilończyków... W budownictwie lub, powiedzmy, w astronomii wygodnie jest podzielić okrąg na równe części. Teraz zastanów się, przez jakie liczby można podzielić całkowicie 100, a które - 360? I w jakiej wersji tych przegródek całkowicie- więcej? Podział ten jest bardzo wygodny dla ludzi. Ale...
Jak się okazało znacznie później niż w starożytnym Babilonie, nie każdemu podobają się stopnie naukowe. Matematyka wyższa ich nie lubi... Matematyka wyższa to poważna dama, ułożona według praw natury. A ta pani oświadcza: „Dziś rozbiliście okrąg na 360 części, jutro podzielicie go na 100 części, pojutrze na 245… I co mam zrobić? Nie, naprawdę…”. Musiałem być posłuszny. Natury nie oszukasz...
Musiałem wprowadzić miarę kąta niezależną od ludzkich wyobrażeń. Poznać - radian!
Radianowa miara kąta.
Co to jest radian? Definicja radiana i tak opiera się na okręgu. Kąt 1 radiana to kąt, który wycina łuk z okręgu o długości ( Ł) jest równa długości promienia ( R). Patrzymy na zdjęcia.
Taki mały kąt, że prawie go nie ma... Najeżdżamy kursorem na zdjęcie (lub dotykamy obrazka na tablecie) i widzimy około jednego radian. L=R
Poczuj różnicę?
Jeden radian to znacznie więcej niż jeden stopień. Ile razy?
Spójrzmy na następne zdjęcie. Na którym narysowałem półkole. Kąt rozszerzony ma oczywiście rozmiar 180°.
A teraz podzielę to półkole na radiany! Najeżdżamy na zdjęcie i widzimy, że 3 radiany z ogonem mieszczą się w 180 °.
Kto zgadnie, co to za kucyk!?
Tak! Ten ogon to 0,1415926.... Witaj Pi, jeszcze o Tobie nie zapomnieliśmy!
Rzeczywiście jest 3,1415926... radianów w 180 stopniach. Jak możesz sobie wyobrazić, pisanie cały czas 3.1415926... jest niewygodne. Więc zamiast nieskończona liczba zawsze pisz po prostu:
A oto numer w Internecie
pisanie jest niewygodne ... Dlatego w tekście piszę to po imieniu - „Pi”. Nie daj się zwieść...
Teraz całkiem sensowne jest napisanie przybliżonej równości:
Lub dokładna równość:
Określ, ile stopni mieści się w jednym radianie. Jak? Łatwo! Jeśli w 3,14 radianach jest 180 stopni, to 1 radian to 3,14 razy mniej! Oznacza to, że pierwsze równanie dzielimy (wzór jest również równaniem!) Przez 3,14:
Warto zapamiętać ten stosunek. Jeden radian ma około 60°. W trygonometrii często trzeba rozgryźć, ocenić sytuację. Tutaj wiedza bardzo pomaga.
Ale główną umiejętnością tego tematu jest zamiana stopni na radiany i odwrotnie.
Jeśli kąt jest podany w radianach z liczbą „pi”, wszystko jest bardzo proste. Wiemy, że radiany „pi” = 180°. Podstawiamy więc zamiast radianów „Pi” - 180°. Otrzymujemy kąt w stopniach. Redukujemy to, co jest redukowane i odpowiedź jest gotowa. Musimy na przykład dowiedzieć się, ile stopni w narożniku „Pi”/2 radian? Tutaj piszemy:
Lub bardziej egzotyczne wyrażenie:
Łatwe, prawda?
Tłumaczenie odwrotne jest nieco bardziej skomplikowane. Ale nie za dużo. Jeśli kąt jest podany w stopniach, musimy obliczyć, jaki jest jeden stopień w radianach i pomnożyć tę liczbę przez liczbę stopni. Ile wynosi 1° w radianach?
Patrzymy na wzór i zdajemy sobie sprawę, że jeśli 180° = radiany „Pi”, to 1° jest 180 razy mniejsze. Inaczej mówiąc, dzielimy równanie (wzór też jest równaniem!) przez 180. Nie ma potrzeby przedstawiania „Pi” jako 3,14, i tak zawsze jest ono pisane literą. Otrzymujemy, że jeden stopień jest równy:
To wszystko. Pomnóż liczbę stopni przez tę wartość, aby otrzymać kąt w radianach. Na przykład:
Lub podobnie:
Jak widać, w spokojnej rozmowie z dygresje Okazało się, że radiany są bardzo proste. Tak, a tłumaczenie przebiega bez problemów… A „Pi” jest rzeczą całkowicie znośną… Skąd więc zamieszanie!?
Zdradzę tajemnicę. Faktem jest, że w funkcjach trygonometrycznych zapisana jest ikona stopni. Zawsze. Na przykład sin35°. To jest sinus 35 stopni . I ikona radianów ( zadowolony) nie jest napisane! Jest on sugerowany. Albo ogarnęło lenistwo matematyków, albo coś innego… Ale postanowili nie pisać. Jeśli wewnątrz sinusa nie ma ikon - cotangens, to kąt - w radianach ! Na przykład cos3 jest cosinusem trzech radiany .
Prowadzi to do nieporozumień… Człowiek widzi „Pi” i wierzy, że jest to 180°. Kiedykolwiek i gdziekolwiek. Swoją drogą, to działa. Na razie przykłady są standardowe. Ale Pi jest liczbą! Liczba 3,14 to nie stopnie! To radiany „Pi” = 180°!
Jeszcze raz: „Pi” to liczba! 3.14. Nieracjonalne, ale liczba. Tak samo jak 5 lub 8. Możesz na przykład wykonać kroki w przybliżeniu „Pi”. Trzy kroki i trochę więcej. Lub kup „Pi” kilogramy słodyczy. Jeśli wykształcony sprzedawca zostanie złapany...
„Pi” to liczba! Co, złapałem cię tym zwrotem? Czy już wszystko zrozumiałeś? OK. Sprawdźmy. Czy możesz mi powiedzieć, która liczba jest większa?
Albo co jest mniejsze?
To z serii nieco niestandardowych pytań, które potrafią wprawić w osłupienie...
Jeśli i Ty wpadłeś w odrętwienie, pamiętaj o zaklęciu: „Pi” to liczba! 3.14. Już w pierwszym sinusie wyraźnie wskazano, że kąt - w stopniach! Dlatego nie da się zastąpić „Pi” o 180°! Stopień „Pi” wynosi około 3,14°. Dlatego możemy napisać:
W drugim sinusie nie ma żadnych symboli. Więc tam - radiany! Tutaj zamiana „Pi” na 180° sprawdzi się całkiem nieźle. Zamiana radianów na stopnie, jak napisano powyżej, otrzymujemy:
Pozostaje porównać te dwa sinusy. Co. zapomniałeś jak? Oczywiście za pomocą koła trygonometrycznego! Rysujemy okrąg, rysujemy przybliżone kąty 60° i 1,05°. Patrzymy na sinusy tych kątów. Krótko mówiąc, wszystko, jak na koniec tematu o okręgu trygonometrycznym, jest pomalowane. Na okręgu (nawet tym krzywym!) będzie to wyraźnie widoczne grzech60° znacznie więcej niż grzech1,05°.
Zrobimy dokładnie to samo z cosinusami. Na okręgu rysujemy kąty około 4 stopni i 4 radian(pamiętaj, ile to jest w przybliżeniu 1 radian?). Krąg powie wszystko! Oczywiście cos4 jest mniejsze niż cos4°.
Poćwiczmy posługiwanie się miarami kąta.
Zamień te kąty ze stopni na radiany:
360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°
Powinieneś otrzymać te wartości w radianach (w innej kolejności!)
| 0 | ||||
Nawiasem mówiąc, specjalnie zaznaczyłem odpowiedzi w dwóch linijkach. Zastanówmy się, jakie są rogi w pierwszej linii? Czy w stopniach czy radianach?
Tak! To są osie układu współrzędnych! Jeśli spojrzysz na okrąg trygonometryczny, to ruchoma strona kąta przy tych wartościach pasuje bezpośrednio na oś. Te wartości trzeba znać ironicznie. I nie na próżno zaobserwowałem kąt 0 stopni (0 radianów). A potem niektórzy nie mogą w żaden sposób znaleźć tego kąta na okręgu ... I odpowiednio mylą się w funkcjach trygonometrycznych zera ... Inną rzeczą jest to, że położenie poruszającej się strony w zerowych stopniach pokrywa się z pozycją w 360°, więc zbiegi okoliczności na okręgu są cały czas bliskie.
W drugiej linii znajdują się także kąty specjalne... Są to 30°, 45° i 60°. A co jest w nich takiego wyjątkowego? Nic specjalnego. Jedyna różnica między tymi narożnikami a wszystkimi innymi polega na tym, że powinieneś wiedzieć o tych narożnikach. Wszystko. A gdzie się znajdują i jakie są te rogi funkcje trygonometryczne. Powiedzmy, że wartość grzech100° nie musisz wiedzieć. A grzech45°- Proszę bądź uprzejmy! Jest to wiedza obowiązkowa, bez której nie ma nic do zrobienia w trygonometrii… Ale o tym więcej w następnej lekcji.
Do tego czasu kontynuujmy ćwiczenia. Zamień te kąty z radianów na stopnie:
Powinieneś otrzymać takie wyniki (w bałaganie):
210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.
Stało się? Wtedy możemy to założyć zamiana stopni na radiany i odwrotnie- to już nie twój problem.) Ale tłumaczenie kątów jest pierwszym krokiem do zrozumienia trygonometrii. W tym samym miejscu nadal musisz pracować z sinusami-cosinusami. Tak, a także ze stycznymi, cotangensami ...
Drugim potężnym krokiem jest umiejętność określenia położenia dowolnego kąta na okręgu trygonometrycznym. Zarówno w stopniach, jak i radianach. O tej właśnie umiejętności będę ci nudno podpowiadał w całej trygonometrii, tak ...) Jeśli wiesz wszystko (lub myślisz, że wiesz wszystko) o okręgu trygonometrycznym i liczeniu kątów na okręgu trygonometrycznym, możesz to sprawdzić na zewnątrz. Rozwiąż te proste zadania:
1. Do której ćwiartki należą rogi:
45°, 175°, 355°, 91°, 355°?
Łatwo? Kontynuujemy:
2. W której ćwiartce wypadają rogi:
402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?
Również nie ma problemu? Dobry wygląd...)
3. Możesz umieścić narożniki w ćwiartkach:
Czy byłeś w stanie? Cóż, dajesz ..)
4. Na jakich osiach spadnie róg:
i róg:
Czy to też jest łatwe? Hm...)
5. W jaką ćwiartkę wpadają rogi:
I zadziałało!? No cóż, w takim razie naprawdę nie wiem...)
6. Określ, w którą ćwiartkę wpadają rogi:
1, 2, 3 i 20 radianów.
Odpowiedź podam tylko na ostatnie pytanie (jest trochę trudne) ostatniego zadania. W pierwszym kwartale wpadnie kąt 20 radianów.
Reszty odpowiedzi nie podam z chciwości.) Tylko jeśli ty nie zdecydowałem coś wątpliwość w rezultacie lub wydane na zadanie nr 4 ponad 10 sekund jesteś słabo zorientowany w kręgu. To będzie twój problem w całej trygonometrii. Lepiej się go pozbyć (problemu, a nie trygonometrii!) od razu. Można to zrobić w temacie: Praktyczna praca z okręgiem trygonometrycznym w dziale 555.
Mówi, jak prosto i poprawnie rozwiązać takie zadania. Cóż, te zadania są oczywiście rozwiązane. A czwarte zadanie zostało rozwiązane w 10 sekund. Tak, więc zdecydowałem, że każdy może!
Jeśli jesteś całkowicie pewien swoich odpowiedzi i nie interesują Cię proste i bezproblemowe sposoby pracy z radianami, nie możesz odwiedzić 555. Nie nalegam.)
Dobre zrozumienie jest wystarczającym powodem, aby iść dalej!)
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla ciebie jeszcze kilka interesujących stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)
możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Stopniowa miara kąta- Ten Liczba dodatnia, pokazując, ile razy stopień i jego części mieszczą się w narożniku.
Słowo „narożnik” ma różne znaczenia. W geometrii kąt jest częścią płaszczyzny ograniczonej dwoma promieniami wychodzącymi z jednego punktu, tzw. wierzchołka. Kiedy rozważamy kąty proste, ostre i rozwinięte, mamy na myśli kąty geometryczne.
Jak każdą figurę geometryczną, kąty można porównywać. W dziedzinie geometrii nie jest dziś trudno opisać, czy jeden kąt jest większy, czy mniejszy od drugiego.
Jednostką miary kątów jest stopień – 1/180 pełnego kąta.
Każdy kąt ma miarę stopnia większą od zera. Kąt wyprostowany odpowiada 180 stopniom. Stopień miary kąta jest równy sumie wszystkich stopni kątów, na które można podzielić pierwotny kąt za pomocą promieni.
Od dowolnego promienia do danej płaszczyzny można wyznaczyć kąt o stopniu nie większym niż 180 stopni. Miara kąta płaskiego, który jest częścią półpłaszczyzny, jest miarą stopnia kąta, który ma podobne boki. Miarę płaszczyzny kąta, w którym znajduje się półpłaszczyzna, oznaczamy liczbą 360 – ?, gdzie? jest miarą stopnia kąta płaszczyzny dopełniającej.
Kąt prosty jest zawsze równy 90 stopni, rozwarty - mniejszy niż 180 stopni, ale większy niż 90, ostry - nie przekracza 90 stopni.
Oprócz stopnia miary kąta istnieje radian. W planimetrii długość łuku koła oznacza się jako L, promień - r, a odpowiedni kąt środkowy otrzymuje oznaczenie - ?.. Stosunek tych parametrów wygląda następująco: ? = L/r.
Matematyka, geometria – dla wielu nauki te, jak i większość innych nauk ścisłych, są niezwykle trudne. Ludziom trudno jest zrozumieć formuły i dziwną terminologię. Co kryje się pod tą dziwną koncepcją?
Definicja
Na początek wystarczy wziąć pod uwagę miarę kąta. Pomoże w tym obraz promienia i linii prostej. Najpierw musisz narysować na przykład poziomą linię prostą. Następnie z pierwszego punktu rysuje się półprostą, która nie jest równoległa do prostej. Zatem pomiędzy linią prostą a promieniem pojawia się pewna odległość, mały kąt. Miarą kąta jest wielkość samego obrotu belki.
Pojęcie to oznacza pewną wartość cyfrową, która będzie większa od zera. Wyraża się go w stopniach, a także części składowe, czyli minuty i sekundy. Miarą stopnia będzie liczba stopni mieszcząca się w kącie między promieniem a linią prostą.
Właściwości narożników
- Absolutnie każdy kąt będzie miał określoną miarę stopnia.
- Jeśli zostanie w pełni wdrożony, liczba będzie równa 180 stopni.
- Aby znaleźć miarę stopnia, bierze się pod uwagę sumę wszystkich kątów, które załamała belka.
- Za pomocą dowolnego promienia możesz utworzyć półpłaszczyznę, w której realistyczne jest utworzenie kąta. Będzie miał miarę stopnia, której wartość będzie mniejsza niż 180 i może być tylko jeden taki kąt.
Jak znaleźć miarę kąta?
Z reguły minimalna miara stopnia wynosi 1 stopień, co stanowi 1/180 kąta rozprostowanego. Czasami jednak nie można uzyskać tak wyraźnej liczby. W takich przypadkach używane są sekundy i minuty.
Po znalezieniu wartość można przeliczyć na stopnie, uzyskując w ten sposób ułamek stopnia. Czasami używany liczby ułamkowe jakieś 80,7 stopnia.
Warto także pamiętać o kluczowych wartościach. Kąt prosty zawsze będzie wynosił 90 stopni. Jeśli miara jest większa, zostanie uznana za tępe, a jeśli mniejsza, za ostrą.
Kąt - podstawowy figura geometryczna, które będziemy analizować w całym temacie. Definicje, metody wyznaczania, oznaczanie i pomiar kąta. Przeanalizujmy zasady wybierania narożników na rysunkach. Cała teoria jest ilustrowana i posiada dużą liczbę rysunków poglądowych.
Definicja 1Narożnik- prosta ważna figura w geometrii. Kąt zależy bezpośrednio od definicji promienia, która z kolei składa się z podstawowych pojęć punktu, linii i płaszczyzny. Aby uzyskać dokładne przestudiowanie, musisz zagłębić się w tematy linia prosta na płaszczyźnie - niezbędne informacje I samolot - niezbędne informacje.
Pojęcie kąta zaczyna się od pojęć punktu, płaszczyzny i linii prostej przedstawionych na tej płaszczyźnie.
Definicja 2
Biorąc pod uwagę linię a na płaszczyźnie. Wskaż na nim jakiś punkt O. Linia jest podzielona punktem na dwie części, z których każda ma nazwę Promień, a punkt O to początek wiązki.
Innymi słowy, belka lub półprosta - jest to część linii, składająca się z punktów danej linii, znajdujących się po tej samej stronie w stosunku do punktu początkowego, czyli punktu O.
Oznaczenie belki jest dozwolone w dwóch wersjach: jedna mała litera lub dwie wielkie litery Alfabet łaciński. Belka oznaczona dwiema literami ma nazwę składającą się z dwóch liter. Przyjrzyjmy się bliżej rysunkowi.
Przejdźmy do koncepcji definiowania kąta.
Definicja 3
Narożnik- jest to figura znajdująca się na danej płaszczyźnie, utworzona przez dwa niedopasowane promienie, które mają wspólny początek. boczny róg jest belką wierzchołek- wspólny początek stron.
Zdarza się, że boki kąta mogą działać jak linia prosta.
Definicja 4
Jeżeli obie strony kąta leżą na tej samej prostej lub jego boki służą jako dodatkowe półproste jednej prostej, wówczas taki kąt nazywa się rozmieszczony.
Poniższy rysunek przedstawia spłaszczony narożnik.
Punkt na prostej jest wierzchołkiem kąta. Najczęściej oznacza się to kropką O.
Kąt w matematyce jest oznaczony znakiem „∠”. Kiedy boki kąta są oznaczone małą łaciną, wówczas dla prawidłowej definicji kąta litery są pisane odpowiednio w rzędzie, zgodnie z bokami. Jeśli dwa boki oznaczymy k i h, to kąt oznaczamy jako ∠ k h lub ∠ h k .
Gdy oznaczenie jest pisane wielkimi literami, wówczas boki narożnika mają odpowiednio nazwy O A i O B. W tym przypadku kąt ma nazwę składającą się z trzech liter alfabetu łacińskiego, zapisanych w rzędzie, pośrodku z wierzchołkiem - ∠ A O B i ∠ B O A . Istnieje oznaczenie w postaci liczb, gdy rogi nie mają nazw lub listy. Poniżej zdjęcie gdzie różne sposoby rogi są zaznaczone.
Kąt dzieli płaszczyznę na dwie części. Jeśli kąt nie jest rozwinięty, wówczas jedna część płaszczyzny ma nazwę obszar narożnika wewnętrznego, inny - zewnętrzny obszar narożnika. Poniżej znajduje się obraz wyjaśniający, które części samolotu są zewnętrzne, a które wewnętrzne.
Przy dzieleniu przez kąt prosty na płaszczyźnie dowolną jego część uważa się za wnętrze kąta prostego.
Wewnętrzna powierzchnia narożnika jest elementem służącym do drugiej definicji narożnika.
Definicja 5
narożnik nazywa się figurę geometryczną składającą się z dwóch nie pokrywających się promieni, mających wspólny początek i odpowiadający wewnętrzny obszar kąta.
Ta definicja jest bardziej rygorystyczna niż poprzednia, ponieważ zawiera więcej warunków. Nie warto rozpatrywać obu definicji osobno, gdyż kąt jest figurą geometryczną przekształconą za pomocą dwóch promieni wychodzących z jednego punktu. Kiedy konieczne jest wykonanie działań pod kątem, wówczas definicja oznacza obecność dwóch promieni o wspólnym pochodzeniu i obszarze wewnętrznym.
Definicja 6Nazywa się dwa rogi powiązany, jeśli istnieje wspólny bok, a pozostałe dwie są dopełniającymi się półliniami lub tworzą kąt prosty.
Rysunek pokazuje, że sąsiednie narożniki uzupełniają się, ponieważ są wzajemną kontynuacją.
Definicja 7
Nazywa się dwa rogi pionowy, jeśli boki jednego są uzupełniającymi się półliniami drugiego lub są przedłużeniem boków drugiego. Poniższy rysunek przedstawia obraz pionowych narożników.
Podczas przecinania linii uzyskuje się 4 pary sąsiadujących i 2 pary kątów pionowych. Poniżej pokazano na zdjęciu.
W artykule przedstawiono definicje kątów równych i nierównych. Przeanalizujemy, który kąt uważa się za duży, który za mniejszy, i inne właściwości kąta. Dwie liczby uważa się za równe, jeśli po nałożeniu całkowicie się pokrywają. Ta sama właściwość dotyczy porównywania kątów.
Dane dwa kąty. Należy dojść do wniosku, czy kąty te są równe, czy nie.
Wiadomo, że wierzchołki dwóch narożników i bok pierwszego narożnika pokrywają się z dowolnym innym bokiem drugiego. Oznacza to, że w przypadku całkowitej zbieżności, gdy kąty się nałożą, boki danych kątów będą się całkowicie pokrywać, kąty równy.
Może się zdarzyć, że podczas nakładania boków nie da się połączyć, a następnie narożników nierówne, mniejsze z których składa się z innego, i więcej zawiera zupełnie inny kąt. Poniżej znajdują się nierówne kąty, które nie są wyrównane po nałożeniu.
Rozwinięte kąty są równe.
Pomiar kątów rozpoczyna się od pomiaru boku mierzonego kąta i jego wewnętrznego obszaru, wypełniając go kątami jednostkowymi, przykładając je do siebie. Konieczne jest policzenie liczby ułożonych rogów, one z góry określają miarę mierzonego kąta.
Jednostkę kąta można wyrazić w dowolnym mierzalnym kącie. Istnieją ogólnie przyjęte jednostki miary stosowane w nauce i technologii. Specjalizują się w innych tytułach.
Najczęściej stosowana koncepcja stopień.
Definicja 8
jeden stopień nazywa się kątem, który ma sto osiemdziesiąte kąta rozprostowanego.
Standardowym zapisem stopnia jest „°”, wówczas jeden stopień to 1°. Dlatego kąt prosty składa się ze 180 takich kątów, składających się z jednego stopnia. Wszystkie dostępne narożniki są ściśle ze sobą ułożone, a boki poprzedniego zbiegają się z następnym.
Wiadomo, że liczba stopni kąta jest tą samą miarą kąta. Opracowany narożnik posiada w swoim składzie 180 nałożonych na siebie narożników. Poniższy rysunek pokazuje przykłady, w których kąt jest ułożony 30 razy, czyli jedną szóstą rozszerzonego, i 90 razy, czyli połowę.
Minuty i sekundy służą do dokładnego określenia pomiarów kąta. Stosuje się je, gdy wartość kąta nie jest całkowitym oznaczeniem stopnia. Takie części stopnia pozwalają na wykonanie dokładniejszych obliczeń.
Definicja 9
minuta nazywana jedną sześćdziesiątą stopnia.
Definicja 10
drugi nazywana jedną sześćdziesiątą minuty.
Stopień zawiera 3600 sekund. Minuty oznaczają „””, a sekundy „””. Wyznaczanie odbywa się:
1°=60"=3600", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,
a zapis kąta 17 stopni 3 minuty i 59 sekund to 17° 3 „59””.
Definicja 11
Podajmy przykład zapisu miary stopnia kąta równego 17 ° 3 „59” ”. Wpis ma inną postać 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.
Aby dokładnie zmierzyć kąty, stosuje się urządzenie pomiarowe, takie jak kątomierz. Przy wyznaczaniu kąta ∠ A O B i jego miary stopnia wynoszącej 110 stopni stosuje się wygodniejszą notację ∠ A O B \u003d 110 °, która brzmi: „Kąt A O B jest równy 110 stopni”.
W geometrii stosuje się miarę kąta z przedziału (0, 180 ], a w trygonometrii miarę dowolnego stopnia nazywa się kąty skrętu. Wartość kątów jest zawsze wyrażana jako liczba rzeczywista. Prosty kąt to kąt, który ma 90 stopni. Ostry róg jest kątem mniejszym niż 90 stopni, oraz tępy- więcej.
Kąt ostry mierzy się w przedziale (0, 90) , a kąt rozwarty - (90, 180). Poniżej wyraźnie pokazano trzy rodzaje kątów.
Dowolna miara stopnia dowolnego kąta ma tę samą wartość. Odpowiednio większy kąt ma większą miarę stopnia niż mniejszy. Miara stopnia jednego kąta jest sumą wszystkich dostępnych miar stopnia. narożniki wewnętrzne. Poniższy rysunek przedstawia kąt AOB, składający się z kątów AOC, COD i DOB. Szczegółowo wygląda to tak: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.
Na tej podstawie można stwierdzić, że suma Wszystko sąsiednie kąty mają miarę 180 stopni ponieważ wszystkie tworzą kąt rozszerzony.
Wynika z tego, że jakikolwiek Pionowe kąty równy. Jeśli rozważymy to na przykładzie, otrzymamy, że kąty A O B i C O D są pionowe (na rysunku), wówczas pary kątów A O B i B O C, C O D i B O C uważa się za sąsiadujące. W takim przypadku równość ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° wraz z ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° uważa się za jednoznacznie prawdziwą. Stąd mamy, że ∠ A O B = ∠ do O D . Poniżej przykładowy obraz i oznaczenie zaczepów pionowych.
Oprócz stopni, minut i sekund używana jest inna jednostka miary. Nazywa się to radian. Najczęściej można to spotkać w trygonometrii przy wyznaczaniu kątów wielokątów. Co nazywa się radianem.
Definicja 12
Jeden kąt radianowy zwany kątem środkowym, który ma długość promienia okręgu równa długościłuki.
Na rysunku radian jest przedstawiony jako okrąg, którego środek jest oznaczony punktem, a dwa punkty na okręgu są połączone i zamienione na promienie O A i O B. Z definicji ten trójkąt A O B jest równoboczny, co oznacza że długość łuku A B jest równa długościom promieni O B i Oh A.
Oznaczenie kąta przyjmuje się jako „rad”. Oznacza to, że wpis w 5 radianach jest skracany jako 5 rad. Czasami można znaleźć oznaczenie o nazwie pi. Radiany nie zależą od długości danego okręgu, ponieważ figury mają pewne ograniczenie za pomocą kąta i jego łuku ze środkiem znajdującym się w wierzchołku danego kąta. Uważa się je za podobne.
Radiany mają to samo znaczenie co stopnie, różnica polega jedynie na ich wielkości. Aby to ustalić, potrzebujesz obliczonej długości łuku róg środkowy podzielone przez długość jego promienia.
W praktyce używają przelicza stopnie na radiany i radiany na stopnie dla łatwiejszego rozwiązywania problemów. W podanym artykule znajdują się informacje na temat związku między miarą stopnia a radianem, gdzie można szczegółowo przestudiować tłumaczenia ze stopnia na radian i odwrotnie.
Aby wizualnie i wygodnie przedstawić łuki, kąty, stosuje się rysunki. Nie zawsze możliwe jest prawidłowe zobrazowanie i oznaczenie konkretnego kąta, łuku lub nazwy. Równe kąty mają oznaczenie w postaci tej samej liczby łuków i nierówne w postaci różnych. Rysunek pokazuje prawidłowe oznaczenie kątów ostrych, równych i nierównych.
Gdy trzeba zaznaczyć więcej niż 3 rogi, stosuje się specjalne symbole łuków, takie jak faliste lub postrzępione. To nie ma większego znaczenia. Poniższy rysunek pokazuje ich oznaczenie.
Oznaczenie kątów powinno być proste, aby nie zakłócać innych wartości. Podczas rozwiązywania problemu zaleca się wybranie tylko narożników niezbędnych do rozwiązania, aby nie zaśmiecać całego rysunku. Nie będzie to kolidować z rozwiązaniem i dowodem, a także nada rysunkowi estetyczny wygląd.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Kąty mierzy się w różnych jednostkach. Mogą to być stopnie, radiany. Najczęściej kąty mierzy się w stopniach. (Nie należy mylić tego stopnia z miarą temperatury, gdzie używane jest również słowo „stopień”).
1 stopień to kąt równy 1/180 kąta rozprostowanego. Innymi słowy, jeśli weźmiemy kąt rozwinięty i podzielimy go na 180 równych części-kątów, wówczas każdy taki mały kąt będzie równy 1 stopniowi. Wielkość wszystkich pozostałych kątów zależy od tego, ile z tych małych kątów można umieścić wewnątrz mierzonego kąta.
Stopień jest oznaczony znakiem °. To nie jest zero i nie litera O. To taki specjalny symbol wprowadzony w celu oznaczenia stopnia.
Zatem kąt prosty wynosi 180°, kąt prosty wynosi 90°, kąty ostre są mniejsze niż 90°, a kąty rozwarte są większe niż 90°.
System metryczny wykorzystuje miernik do pomiaru odległości. Stosowane są jednak zarówno większe, jak i mniejsze jednostki. Na przykład centymetr, milimetr, kilometr, decymetr. Przez analogię minuty i sekundy rozróżnia się również w stopniu kąta.
Jedna minuta stopnia jest równa 1/60 stopnia. Oznacza się to jednym znakiem”.
Jeden stopień drugi jest równy 1/60 minuty lub 1/3600 stopnia. Drugi jest oznaczony dwoma znakami „, czyli „”.
W geometria szkolna stopnie minuty i sekundy są rzadko używane, ale trzeba być w stanie zrozumieć np. taki zapis: 35°21 „45””. Oznacza to, że kąt wynosi 35 stopni + 21 minut + 45 sekund.
Z drugiej strony, jeśli kąta nie można zmierzyć dokładnie w pełnych stopniach, nie ma potrzeby wpisywania minut i sekund. Wystarczy użyć stopni ułamkowych. Na przykład 96,5°.
Oczywiste jest, że minuty i sekundy można przeliczyć na stopnie, wyrażając je w ułamkach stopnia. Na przykład 30" równa się (30/60)° lub 0,5°. A 0,3° równa się (0,3 * 60)" lub 18". Zatem użycie minut i sekund to tylko kwestia wygody.
