W poprzednim artykule mówiliśmy o tym, jak poprawnie obliczyć granice funkcji elementarnych. Jeśli weźmiemy bardziej złożone funkcje, to w naszych obliczeniach będziemy mieli wyrażenia o nieokreślonej wartości. Nazywa się je niepewnościami.

Istnieją następujące główne rodzaje niepewności:

1. Podziel 0 przez 0 0 0 ;
2. Dzielenie jednej nieskończoności przez drugą ∞ ∞ ;

0 podniesione do potęgi 0 0 ;

3. nieskończoność podniesiona do potęgi zerowej ∞ 0 .

Wymieniliśmy wszystkie główne niejasności. Inne wyrażenia mogą przybierać skończone lub nieskończone wartości w różnych warunkach, więc nie można ich uznać za niepewności.

Ujawnienie niepewności

Niepewność można odkryć:

1. Upraszczając typ funkcji (stosując skrócone wzory mnożenia, wzory trygonometryczne, dodatkowe mnożenie przez wyrażenia sprzężone i późniejszą redukcję itp.);

Ze wspaniałymi ograniczeniami;

Z pomocą reguły L'Hospitala;

Zastępując jedno nieskończenie małe wyrażenie jego równoważnym wyrażeniem (z reguły czynność ta jest wykonywana przy użyciu tabeli wyrażeń nieskończenie małych).

Wszystkie przedstawione powyżej informacje można zwizualizować w formie tabeli. Po lewej stronie przedstawiono rodzaj niepewności, po prawej odpowiedni sposób jej ujawnienia (znalezienie granicy). Ta tabela jest bardzo wygodna w użyciu w obliczeniach związanych z wyszukiwaniem granic.

Przyjrzyjmy się kilku kwestiom. Te przykłady są dość proste: w nich odpowiedź uzyskuje się natychmiast po podstawieniu wartości i nie powstaje niepewność.

Przykład 1

Oblicz granicę lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 .

Rozwiązanie

Dokonujemy podstawienia wartości i otrzymujemy odpowiedź.

granica x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2

Odpowiedź: limit x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2 .

Przykład 2

Oblicz granicę lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 .

Rozwiązanie

Mamy wykładniczą funkcję potęgową, na podstawie której musimy podstawić x = 0 .

(x 2 + 2, 5) x \u003d 0 \u003d 0 2 + 2, 5 \u003d 2, 5

Możemy więc przekształcić granicę w następujące wyrażenie:

granica x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = granica x → 0 2 , 5 1 x 2

Zajmijmy się teraz wykładnikiem - funkcją potęgową 1 x 2 \u003d x - 2. Spójrzmy na tabelę granic funkcji potęgowych z wykładnikiem mniejszym od zera i otrzymajmy: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞ i lim x → 0 + 0 1 x 2 = granica x → 0 + 0 x - 2 = + ∞

Zatem możemy napisać, że lim x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ .

Teraz bierzemy tabelę granic funkcji wykładniczych o podstawach większych niż 0 i otrzymujemy:

granica x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = granica x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ = + ∞

Odpowiedź: limit x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = + ∞ .

Przykład 3

Oblicz granicę lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 .

Rozwiązanie

Dokonujemy podstawienia wartości.

limit x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0

W rezultacie mamy niepewność. Skorzystaj z powyższej tabeli, aby wybrać metodę rozwiązania. Mówi, że musisz uprościć wyrażenie.

granica x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0 0 = granica x → 1 (x - 1) (x + 1) x - 1 = = granica x → 1 (x - 1) (x + 1) (x + 1) x - 1 = limit x → 1 (x + 1) x - 1 = = 1 + 1 1 - 1 = 2 0 = 0

Jak widać, uproszczenie doprowadziło do ujawnienia niepewności.

Odpowiedź: limit x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0

Przykład 4

Oblicz granicę lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x .

Rozwiązanie

Podstawiamy wartość i otrzymujemy zapis o następującej postaci.

limit x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 3 - 3 12 - 3 - 6 + 3 = 0 9 - 9 = 0 0

Doszliśmy do konieczności podzielenia zera przez zero, co jest niepewnością. Spójrzmy na żądaną metodę rozwiązania w tabeli - jest to uproszczenie i przekształcenie wyrażenia. Wykonajmy dodatkowe mnożenie licznika i mianownika przez sprzężenie wyrażenia z mianownikiem 12 - x + 6 + x:

limit x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 0 0 = limit x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x

Mnożenie mianownika odbywa się tak, aby później można było skorzystać ze skróconego wzoru mnożenia (różnica kwadratów) i wykonać redukcję.

granica x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x = granica x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x 2 - 6 + x 2 = granica x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 12 - x - (6 + x) = = granica x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 6 - 2 x = granica x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x - 2 (x - 3) = = granica x → 3 12 - x + 6 + x - 2 = 12 - 3 + 6 + 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = - 9 = - 3

Jak widać, w wyniku tych działań udało nam się pozbyć niepewności.

Odpowiedź: limit x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = - 3 .

Należy zauważyć, że przy rozwiązywaniu takich problemów bardzo często stosuje się podejście mnożenia, dlatego radzimy dokładnie zapamiętać, jak to się robi.

Przykład 5

Oblicz granicę lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 .

Rozwiązanie

Dokonujemy zamiany.

limit x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 1 2 + 2 1 - 3 3 1 2 - 5 1 + 2 = 0 0

W rezultacie mamy niepewność. Zalecanym sposobem rozwiązania problemu w tym przypadku jest uproszczenie wyrażenia. Ponieważ przy wartości x równej jeden licznik i mianownik zwracają się do 0, to możemy je rozłożyć na czynniki, a następnie zmniejszyć o x - 1, a wtedy niepewność zniknie.

Dokonujemy rozkładu licznika na czynniki:

x 2 + 2 x - 3 = 0 re = 2 2 - 4 1 (- 3) = 16 ⇒ x 1 = - 2 - 16 2 = - 3 x 2 = - 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2x - 3 = x + 3x - 1

Teraz robimy to samo z mianownikiem:

3 x 2 - 5 x + 2 = 0 re = - 5 2 - 4 3 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 - 1 2 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 3 = 1 ⇒ 3 x 2 - 5 x + 3 = 3 x - 2 3 x - 1

Mamy następujący limit:

limit x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 0 0 = limit x → 1 x + 3 x - 1 3 x - 2 3 x - 1 = = limit x → 1 x + 3 3 x - 2 3 = 1 + 3 3 1 - 2 3 = 4

Jak widać, w trakcie transformacji udało nam się pozbyć niepewności.

Odpowiedź: limit x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 4 .

Następnie musimy rozważyć przypadki granic w nieskończoności wyrażeń potęgowych. Jeśli wykładniki tych wyrażeń są większe od 0, to granica w nieskończoności również będzie nieskończona. W tym przypadku największy stopień ma pierwszorzędne znaczenie, a resztę można zignorować.

Na przykład lim x → ∞ (x 4 + 2 x 3 - 6) = lim x → ∞ x 4 = ∞ lub lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 - 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞ .

Jeżeli mamy ułamek z wyrażeniami potęgowymi w liczniku i mianowniku pod znakiem granicznym, to jako x → ∞ mamy niepewność postaci ∞ ∞ . Aby pozbyć się tej niepewności, musimy podzielić licznik i mianownik ułamka przez x m a x (m , n) . Podajmy przykład rozwiązania takiego problemu.

Przykład 6

Oblicz granicę lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 .

Rozwiązanie

limit x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞

Potęgi licznika i mianownika to 7 . Dzielimy je przez x 7 i otrzymujemy:

granica x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = granica x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = granica x → ∞ 1 + 2 x 2 - 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 - 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 - 0 3 + 0 = 1 3

Odpowiedź: limit x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .

Przykład 7

Oblicz granicę lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .

Rozwiązanie

limit x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞

Licznik ma potęgę 8 3 , a mianownik 2 . Podzielmy licznik i mianownik przez x 8 3:

granica x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = granica x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = granica x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞

Odpowiedź: limit x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .

Przykład 8

Oblicz granicę lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .

Rozwiązanie

limit x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞

Mamy licznik do potęgi 3 i mianownik do potęgi 10 3 . Musimy więc podzielić licznik i mianownik przez x 10 3:

granica x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = granica x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = granica x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 - 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ - 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 ∞ 3 = 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0 3 = 0

Odpowiedź: limit x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0 .

wnioski

W przypadku limitu relacji istnieją trzy główne opcje:

Jeśli stopień licznika jest równy stopniowi mianownika, wówczas granica będzie równa stosunkowi współczynników przy wyższych potęgach.

Jeśli stopień licznika jest większy niż stopień mianownika, to granica będzie równa nieskończoności.

Jeśli stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika, wówczas granica wyniesie zero.

Inne metody ujawniania niepewności omówimy w osobnych artykułach.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Główne funkcje elementarne zostały uporządkowane.

Przechodząc do funkcji o bardziej złożonej postaci, na pewno napotkamy wyrażenia, których wartość nie jest zdefiniowana. Takie wyrażenia są nazywane niepewność.

Wypiszmy wszystko główne rodzaje niepewności: zero podzielone przez zero (0 przez 0), nieskończoność podzielona przez nieskończoność, zero razy nieskończoność, nieskończoność minus nieskończoność, jeden do potęgi nieskończoności, zero do potęgi zero, nieskończoność do potęgi zero.

WSZYSTKIE INNE WYRAŻENIA NIE SĄ NIEPEWNE I PRZYJMUJĄ CAŁKOWICIE OKREŚLONĄ WARTOŚĆ SKOŃCZONĄ LUB NIESKOŃCZONĄ.

Ujawnij niepewność pozwala:

• uproszczenie typu funkcji (przekształcenie wyrażenia za pomocą skróconych wzorów mnożenia, wzorów trygonometrycznych, mnożenia przez wyrażenia sprzężone z późniejszą redukcją itp.);
• stosowanie niezwykłych ograniczeń;
• zastosowanie reguły de L'Hospitala;
• użycie zastąpienia nieskończenie małego wyrażenia jego odpowiednikiem (przy użyciu tabeli równoważnych nieskończenie małych).

Niepewności grupujemy w tabela niepewności. Dla każdego rodzaju niepewności podajemy w korespondencji sposób jej ujawnienia (metodę wyznaczania granicy).

Ta tabela, wraz z tablicą granic podstawowych funkcji elementarnych, będzie Twoim głównym narzędziem do znajdowania dowolnych granic.

Podajmy kilka przykładów, kiedy po podstawieniu wartości natychmiast otrzymuje się wszystko i nie powstaje niepewność.

Przykład.

Oblicz limit

Rozwiązanie.

Podstawiamy wartość:

I od razu otrzymaliśmy odpowiedź.

Odpowiedź:

Przykład.

Oblicz limit

Rozwiązanie.

Podstawiamy wartość x=0 do podstawy naszej potęgi wykładniczej:

Oznacza to, że granicę można przepisać jako

Teraz spójrzmy na indeks. To jest funkcja potęgowa. Przejdźmy do tablicy granic funkcji potęgowych z wykładnikiem ujemnym. Stamtąd mamy I , więc możemy napisać .

Na tej podstawie nasz limit można zapisać jako:

Ponownie zwracamy się do tablicy granic, ale dla funkcji wykładniczych o podstawie większej niż jeden, z której mamy:

Odpowiedź:

Spójrzmy na przykłady ze szczegółowymi rozwiązaniami ujawnienie niejasności poprzez przekształcenie wyrażeń.

Bardzo często wyrażenie pod znakiem limitu wymaga nieznacznego przekształcenia, aby pozbyć się niejasności.

Przykład.

Oblicz limit

Rozwiązanie.

Podstawiamy wartość:

Doszedł do niepewności. Patrzymy na tabelę niepewności, aby wybrać metodę rozwiązania. Spróbujmy uprościć wyrażenie.

Odpowiedź:

Przykład.

Oblicz limit

Rozwiązanie.

Podstawiamy wartość:

Doszedł do niepewności (0 na 0). Patrzymy na tabelę niepewności, aby wybrać metodę rozwiązania i próbujemy uprościć wyrażenie. Mnożymy zarówno licznik, jak i mianownik przez sprzężenie wyrażenia z mianownikiem.

Dla mianownika wyrażenie sprzężone to

Mnożyliśmy mianownik, aby móc zastosować skrócony wzór mnożenia - różnicę kwadratów, a następnie skrócić wynikowe wyrażenie.

Po serii przekształceń niepewność zniknęła.

Odpowiedź:

KOMENTARZ: dla tego rodzaju granic typowa jest metoda mnożenia przez wyrażenia sprzężone, więc śmiało z niej korzystaj.

Przykład.

Oblicz limit

Rozwiązanie.

Podstawiamy wartość:

Doszedł do niepewności. Patrzymy na tabelę niepewności, aby wybrać metodę rozwiązania i próbujemy uprościć wyrażenie. Ponieważ zarówno licznik, jak i mianownik znikają przy x=1, jeśli te wyrażenia można zredukować (x-1), a niepewność zniknie.

Rozłóżmy licznik na czynniki:

Rozłóżmy mianownik na czynniki:

Nasza granica przyjmie postać:

Po transformacji ujawniła się niepewność.

Odpowiedź:

Rozważ granice w nieskończoności wyrażeń potęgowych. Jeśli wykładniki wyrażenia wykładniczego są dodatnie, to granica w nieskończoności jest nieskończona. Co więcej, główna wartość ma największy stopień, resztę można odrzucić.

Przykład.

Przykład.

Jeżeli wyrażenie pod znakiem granicy jest ułamkiem zwykłym, a zarówno licznik, jak i mianownik są wyrażeniami potęgowymi (m to potęga licznika, a n to potęga mianownika), to gdy istnieje niepewność postaci nieskończoności w tym przypadku przez nieskończoność ujawnia się niepewność dzielenie i licznik i mianownik przez

Przykład.

Oblicz limit

Zwykle druga godna uwagi granica jest zapisywana w następującej formie:

\begin(równanie) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(równanie)

Liczba $e$ wskazana po prawej stronie równości (1) jest niewymierna. Przybliżona wartość tej liczby to: $e\około(2(,)718281828459045)$. Jeśli dokonamy podstawienia $t=\frac(1)(x)$, to wzór (1) można przepisać w postaci:

\begin(równanie) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(równanie)

Jeśli chodzi o pierwszą godną uwagi granicę, nie ma znaczenia, które wyrażenie zostanie użyte zamiast zmiennej $x$ we wzorze (1) lub zamiast zmiennej $t$ we wzorze (2). Najważniejsze jest spełnienie dwóch warunków:

1. Podstawa stopnia (tj. wyrażenie w nawiasach wzorów (1) i (2)) musi zmierzać do jednego;
2. Wykładnik (tzn. $x$ we wzorze (1) lub $\frac(1)(t)$ we wzorze (2)) musi dążyć do nieskończoności.

Mówi się, że druga godna uwagi granica ujawnia nieokreśloność $1^\infty$. Zauważmy, że we wzorze (1) nie określamy o jakiej nieskończoności ($+\infty$ czy $-\infty$) mówimy. W każdym z tych przypadków wzór (1) jest prawdziwy. We wzorze (2) zmienna $t$ może zmierzać do zera zarówno z lewej, jak iz prawej strony.

Zauważam, że istnieje również kilka użytecznych konsekwencji drugiej niezwykłej granicy. Przykłady wykorzystania drugiego niezwykłego limitu, a także jego konsekwencji, są bardzo popularne wśród kompilatorów standardowych standardowych obliczeń i testów.

Przykład 1

Oblicz granicę $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.

Od razu zauważamy, że podstawa stopnia (tj. $\frac(3x+1)(3x-5)$) zmierza do jednego:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

W tym przypadku wykładnik (wyrażenie $4x+7$) dąży do nieskończoności, tj. $\lim_(x\do\infty)(4x+7)=\infty$.

Podstawa stopnia dąży do jednego, wykładnik dąży do nieskończoności, tj. mamy do czynienia z niepewnością $1^\infty$. Zastosujmy wzór, aby ujawnić tę niepewność. Wyrażenie $1+\frac(1)(x)$ znajduje się u podstawy stopnia formuły, aw naszym przykładzie podstawa stopnia wygląda następująco: $\frac(3x+1)(3x-5 )$. Dlatego pierwszym krokiem jest formalne dostosowanie wyrażenia $\frac(3x+1)(3x-5)$ do $1+\frac(1)(x)$. Zacznijmy od dodawania i odejmowania jednego:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\do\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

Należy zauważyć, że nie można po prostu dodać jednostki. Jeśli jesteśmy zmuszeni dodać jednostkę, to musimy ją również odjąć, aby nie zmienić wartości całego wyrażenia. Aby kontynuować rozwiązanie, bierzemy to pod uwagę

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5)=\frac(6)(3x-5). $$

Skoro $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, to:

$$ \lim_(x\do\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\do\infty)\ lewo(1+\frac(6)(3x-5)\prawo)^(4x+7) $$

Kontynuujmy regulację. W wyrażeniu $1+\frac(1)(x)$ we wzorze licznikiem ułamka jest 1, aw naszym wyrażeniu $1+\frac(6)(3x-5)$ licznikiem jest 6$. Aby otrzymać 1 $ w liczniku, wrzuć 6 $ do mianownika, stosując następującą transformację:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

Zatem,

$$ \lim_(x\do\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\do\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) $$

A więc podstawa stopnia, tj. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, dopasowane do $1+\frac(1)(x)$ wymaganego w formule . Teraz zacznijmy pracę z wykładnikiem. Zauważ, że we wzorze wyrażenia w wykładnikach iw mianowniku są takie same:

Oznacza to, że w naszym przykładzie wykładnik i mianownik muszą być doprowadzone do tej samej postaci. Aby otrzymać wyrażenie $\frac(3x-5)(6)$ w wykładniku, po prostu pomnóż wykładnik przez ten ułamek. Oczywiście, aby zrekompensować takie mnożenie, będziesz musiał natychmiast pomnożyć przez odwrotność, tj. do $\frac(6)(3x-5)$. Więc mamy:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5 )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\do\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Oddzielnie rozważ granicę ułamka $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ znajdującego się w potędze:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\do\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ ułamek(4)(3)=8. $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9))$.

Przykład nr 4

Znajdź granicę $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$.

Skoro dla $x>0$ mamy $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, to:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ left(\frac(x+1)(x)\right)\right) $$

Rozwijając ułamek $\frac(x+1)(x)$ na sumę ułamków $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ otrzymujemy:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\prawa)^x\prawa) =\ln(e) =1. $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

Przykład nr 5

Znajdź granicę $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.

Ponieważ $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ i $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, to mamy do czynienia z nieokreślonością postaci $1^\infty$. Szczegółowe wyjaśnienia podano w przykładzie nr 2, ale tutaj ograniczymy się do krótkiego rozwiązania. Dokonując podstawienia $t=x-2$, otrzymujemy:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(wyrównane)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\do(0)\end(wyrównane)\do prawej| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Możesz rozwiązać ten przykład w inny sposób, używając zamiany: $t=\frac(1)(x-2)$. Oczywiście odpowiedź będzie taka sama:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(wyrównane)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\do\infty\end(wyrównane)\do prawej| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\do\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\do\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\right)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

Przykład nr 6

Znajdź granicę $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $.

Sprawdźmy, do czego zmierza wyrażenie $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ pod warunkiem $x\to\infty$:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

Zatem w podanej granicy mamy do czynienia z nieokreślonością postaci $1^\infty$, którą ujawnimy za pomocą drugiej niezwykłej granicy:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\do\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\do \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\right)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Odpowiedź: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

Metody rozwiązywania granic. Niepewności.
Kolejność wzrostu funkcji. Metoda zastępcza

Przykład 4

Znajdź granicę

To jest prostszy przykład rozwiązania typu „zrób to sam”. W proponowanym przykładzie ponownie niepewność (wyższego rzędu wzrostu niż pierwiastek).

Jeśli „x” dąży do „minus nieskończoności”

Duch „minus nieskończoności” od dawna unosi się w tym artykule. Rozważ granice z wielomianami, w których . Zasady i metody rozwiązania będą dokładnie takie same jak w pierwszej części lekcji, z wyjątkiem kilku niuansów.

Rozważ 4 żetony, które będą wymagane do rozwiązania praktycznych zadań:

1) Oblicz granicę

Wartość limitu zależy tylko od terminu, ponieważ ma on najwyższy rząd wzrostu. Jeśli następnie nieskończenie duże modulo liczba ujemna do potęgi PARZYSTE, w tym przypadku - w czwartym, jest równe "plus nieskończoność": . Stała („dwa”) pozytywny, Dlatego:

2) Oblicz granicę

Oto ponownie stopień naukowy nawet, Dlatego: . Ale z przodu jest „minus” ( negatywny stała –1), zatem:

3) Oblicz granicę

Wartość limitu zależy tylko od . Jak pamiętacie ze szkoły "minus" "wyskakuje" spod stopnia nieparzystego, więc nieskończenie duże modulo liczbę ujemną do potęgi ODD równa się „minus nieskończoność”, w tym przypadku: .
Stała („cztery”) pozytywny, Oznacza:

4) Oblicz granicę

Pierwszy facet w wiosce znowu ma dziwne stopień zresztą w łonie negatywny stała, co oznacza: Zatem:
.

Przykład 5

Znajdź granicę

Korzystając z powyższych punktów, dochodzimy do wniosku, że istnieje tutaj niepewność. Licznik i mianownik mają ten sam rząd wzrostu, co oznacza, że ​​w granicy otrzymamy liczbę skończoną. Uczymy się odpowiedzi, odrzucając cały narybek:

Rozwiązanie jest trywialne:

Przykład 6

Znajdź granicę

To jest przykład zrób to sam. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

A teraz chyba najbardziej subtelny przypadek:

Przykład 7

Znajdź granicę

Biorąc pod uwagę terminy senioralne, dochodzimy do wniosku, że jest tu niepewność. Licznik ma wyższy rząd wzrostu niż mianownik, więc od razu możemy powiedzieć, że granicą jest nieskończoność. Ale jaka nieskończoność, „plus” czy „minus”? Odbiór jest ten sam - w liczniku i mianowniku pozbędziemy się drobiazgów:

My decydujemy:

Podziel licznik i mianownik przez

Przykład 15

Znajdź granicę

To jest przykład zrób to sam. Przybliżona próbka wykończenia na koniec lekcji.

Kilka bardziej interesujących przykładów na temat zastępowania zmiennych:

Przykład 16

Znajdź granicę

Podstawienie jednego do granicy powoduje niepewność. Podmiana zmiennej już sugeruje, ale najpierw przeliczamy styczną za pomocą wzoru. Właściwie po co nam styczna?

Zauważ, że zatem . Jeśli nie jest to do końca jasne, spójrz na wartości sinusów w tabela trygonometryczna. W ten sposób natychmiast pozbywamy się czynnika , dodatkowo otrzymujemy bardziej znaną niepewność 0:0. Byłoby miło, gdyby nasz limit również dążył do zera.

zamieńmy:

Jeśli następnie

Pod cosinusem mamy „x”, które również należy wyrazić przez „te”.
Z zamiany wyrażamy: .

Uzupełniamy rozwiązanie:

(1) Wykonanie wymiany

(2) Rozwiń nawiasy pod cosinusem.

(4) Organizować pierwsza cudowna granica, sztucznie pomnożyć licznik przez i odwrotność .

Zadanie do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 17

Znajdź granicę

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Były to proste zadania w ich klasie; w praktyce wszystko jest gorsze, aw dodatku formuły redukcyjne, trzeba użyć innego wzory trygonometryczne, a także inne sztuczki. W artykule Complex Limits przeanalizowałem kilka prawdziwych przykładów =)

W przeddzień święta ostatecznie wyjaśnimy sytuację jeszcze jedną częstą niepewnością:

Eliminacja niepewności „jeden do potęgi nieskończoności”

Ta niepewność jest „obsługiwana” druga cudowna granica, aw drugiej części tej lekcji bardzo szczegółowo przyjrzeliśmy się standardowym przykładom rozwiązań, które można znaleźć w praktyce w większości przypadków. Teraz obraz z wystawcami zostanie uzupełniony, ponadto końcowe zadania lekcji będą poświęcone limitom-„sztuczkom”, w których wydaje się, że konieczne jest zastosowanie 2. cudownej granicy, chociaż wcale nie jest to sprawa.

Wadą dwóch działających formuł drugiej niezwykłej granicy jest to, że argument musi dążyć do „plus nieskończoności” lub do zera. Ale co, jeśli argument zmierza do innej liczby?

Na ratunek przychodzi formuła uniwersalna (która jest właściwie konsekwencją drugiego niezwykłego limitu):

Niepewność można wyeliminować za pomocą wzoru:

Gdzieś już wyjaśniłem, co oznaczają nawiasy kwadratowe. Nic specjalnego, nawiasy to tylko nawiasy. Zwykle służą do wyraźnego podkreślenia zapisu matematycznego.

Podkreślmy istotne punkty formuły:

1) Chodzi o tylko o niepewności i nic więcej.

2) Argument „x” może mieć tendencję do dowolna wartość(a nie tylko do zera lub ), w szczególności do „minus nieskończoności” lub do ktokolwiek ostateczna liczba.

Korzystając z tej formuły, możesz rozwiązać wszystkie przykłady lekcji Niezwykłe limity, które należą do drugiej niezwykłej granicy. Na przykład obliczmy granicę:

W tym przypadku i zgodnie ze wzorem :

To prawda, nie radzę ci tego robić, w tradycji nadal używasz „zwykłego” projektu rozwiązania, jeśli można go zastosować. Jednakże użycie wzoru jest bardzo wygodne do sprawdzenia„klasyczne” przykłady do drugiej cudownej granicy.

STRESZCZENIE 20

20.1 WYŁĄCZENIE ODPOWIEDZIALNOŚCI W PRZYPADKU NIEPEWNOŚCI

Przykład 1

Rozwiąż granicę Najpierw spróbujmy zastąpić -1 w ułamku: W tym przypadku uzyskuje się tzw. niepewność.

Główna zasada: jeśli w liczniku i mianowniku są wielomiany i istnieje niepewność formy, to za jej ujawnienie rozłóż licznik i mianownik na czynniki.

Aby to zrobić, najczęściej musisz rozwiązać równanie kwadratowe i (lub) użyć skróconych wzorów mnożenia.

Rozłóżmy licznik na czynniki.

Przykład 2

Oblicz limit

Rozłóżmy licznik i mianownik na czynniki.

Mianownik licznika: ,

Metoda mnożenia licznika i mianownika przez wyrażenie sprzężone

Nadal rozważamy niepewność formy

Następny typ ograniczeń jest podobny do poprzedniego typu. Jedyne, oprócz wielomianów, dodamy pierwiastki.

Przykład 3

Znajdź granicę

Pomnóż licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

20.2 WYŁĄCZENIE ODPOWIEDZIALNOŚCI W PRZYPADKU NIEPEWNOŚCI

Teraz rozważymy grupę granic, kiedy , a funkcja jest ułamkiem, którego licznikiem i mianownikiem są wielomiany

Przykład 4

Oblicz limit

Zgodnie z naszą regułą spróbujemy podstawić nieskończoność do funkcji. Co dostajemy na szczycie? Nieskończoność. A co dzieje się poniżej? Również nieskończoność. Mamy więc do czynienia z tak zwaną nieokreślonością formy. Można by tak pomyśleć i odpowiedź jest gotowa, ale w ogólnym przypadku wcale tak nie jest i trzeba zastosować jakieś rozwiązanie, które teraz rozważymy.

Jak rozwiązać ograniczenia tego typu?

Najpierw patrzymy na licznik i znajdujemy najwyższą potęgę: Najwyższa potęga w liczniku to dwa.

Teraz patrzymy na mianownik, a także znajdujemy najwyższy stopień: Najwyższa potęga mianownika to dwa.

Następnie wybieramy najwyższą potęgę licznika i mianownika: w tym przykładzie są one takie same i równe dwóm.

Zatem metoda rozwiązania to: odkryć niepewnośćpodziel licznik i mianownik przezna wyższym stopniu.

Podziel licznik i mianownik przez

Oto odpowiedź, a nie nieskończoność.

Co jest istotne przy podejmowaniu decyzji?

Najpierw wskazujemy niepewność, jeśli taka istnieje.

Po drugie, pożądane jest przerwanie rozwiązania dla pośrednich wyjaśnień. Zwykle używam znaku, nie ma on żadnego znaczenia matematycznego, ale oznacza, że ​​rozwiązanie zostało przerwane w celu wyjaśnienia pośredniego.

Po trzecie, w limicie pożądane jest zaznaczenie, do czego i dokąd zmierza. Kiedy praca jest sporządzana ręcznie, wygodniej jest zrobić to w ten sposób: Do notatek lepiej jest użyć prostego ołówka.

Oczywiście nie możesz nic z tym zrobić, ale być może nauczyciel zauważy niedociągnięcia w rozwiązaniu lub zacznie zadawać dodatkowe pytania dotyczące zadania. A potrzebujesz tego?

Przykład 5

Znajdź granicę Ponownie w liczniku i mianowniku znajdujemy w najwyższym stopniu: Maksymalny stopień w liczniku: 3 Maksymalny stopień w mianowniku: 4 Wybierz największy wartość, w tym przypadku cztery. Zgodnie z naszym algorytmem, aby ujawnić niepewność, dzielimy licznik i mianownik przez. Pełne zadanie może wyglądać tak:

Przykład 6

Znajdź granicę Maksymalny stopień „x” w liczniku: 2 Maksymalny stopień „x” w mianowniku: 1 (można zapisać jako) Aby rozwiązać niepewność, należy podzielić licznik i mianownik przez. Czyste rozwiązanie może wyglądać tak:

Podziel licznik i mianownik przez

Rekord nie oznacza dzielenia przez zero (nie można dzielić przez zero), ale dzielenie przez nieskończenie małą liczbę.

Tak więc, ujawniając nieokreśloność formy, możemy uzyskać skończoną liczbą, zero lub nieskończoność.

WARSZTATY 20

ZADANIE NR 1

Rozwiązanie: Jeśli zamiast zmiennej podamy wartość 7, do której ona dąży, to otrzymamy niepewność postaci wtedy

ZADANIE NR 2Temat: Ujawnienie niepewności od zera do zera

Rozwiązanie: Jeśli zamiast zmiennej podamy wartość 0, do której ona dąży, to otrzymamy niepewność postaci wtedy

ZADANIE NR 3Temat: Ujawnienie niepewności od zera do zera

Rozwiązanie: Jeżeli zamiast zmiennej podamy wartość 6, do której ona dąży, to otrzymamy niepewność postaci wtedy

ZADANIE NR 4

Rozwiązanie: Ponieważ I

ZADANIE NR 5Temat: Ujawnienie niepewności postaci „nieskończoność do nieskończoności”

Rozwiązanie: Ponieważ I wtedy występuje niepewność formy.Dla jej ujawnienia konieczne jest podzielenie każdego wyrazu licznika i mianownika przez. Wtedy wiedząc, że otrzymamy:

SAMODZIELNA PRACA 20

ZADANIE NR 1Temat: Ujawnienie niepewności od zera do zera

ZADANIE NR 2Temat: Ujawnienie niepewności od zera do zera

ZADANIE NR 3Temat: Ujawnienie niepewności od zera do zera

ZADANIE NR 4Temat: Ujawnienie niepewności postaci „nieskończoność do nieskończoności”

ZADANIE NR 5Temat: Ujawnienie niepewności postaci „nieskończoność do nieskończoności” Granica funkcji równa się...

ZADANIE NR 6Temat: Ujawnienie niepewności postaci „nieskończoność do nieskończoności”