Выводы в логике. Понятие о логике высказываний

Здесь F и G – формулы, и C – либо формула, либо ^.

Теперь описание системы вывода для логики высказываний завершено.

В каждой из следующих задач выведите данную формулу из пустого множества посылок.

1) (p Ú q ) É (q Ú p ).

2) (p Ú p ) º p.

3) p É ((p Ú q ) º q ).

4) (p & (q Ú r )) º ((p & q ) Ú (p & r )).

5) p º p.

6) (p Ú q ) º (p & q ).

И) Оба правила введения дизъюнкции корректны.

К) Правило удаления дизъюнкции корректно.

Теорема корректности. Если существует вывод F из G, тогда G логически влечёт F.

Теорема полноты. Для любой формулы F и любого множества формул G, если G влечёт F, тогда существует вывод F из подмножества G.

Полнота логики высказываний (для другого множества правил вывода) была установлена Эмилем Постом в 1921 году.

Правило вывода – это предписание, или разрешение позволяющее из суждения 1-ой логической структуры, как посылок, вывести суждения некоторой логической структуры, как заключения.

Особенности правил заключения в том, что признаки истинности заключения производятся на основе не содержания, а их структуры. Правила вывода записываются в виде схемы, которая состоит из 2-х частей (сверху и снизу), разделённых вертикальной линией. Над чертой в столбец записываются логические схемы посылок, под чертой логические схемы заключения.

Все правила выводов логики высказываний делятся на 2-е группы:

Основные и Производные .

- Основные – это простые и очевидные правила, не нуждающееся в доказательстве. Основные делятся на прямые и косвенные.

· Прямые – это такие правила, которые указывают на непосредственно выводимость одних суждений из других.

· Косвенные – лишь дают возможность умозаключить о правомерности вывода одних суждений из других.

- Производные - сокращённый процесс вывода, выводятся из основных.

Основные прямые.

Введение конъюнкции: А, В

Удаление конъюнкции: А ⋀ В

Введение дизъюнкции: А В

А ⋁ В А ⋁ В

Удаление дизъюнкции: А ⋁ В

Удаление импликации: А ⊃ В

Введение отрицания/удаление: А; Ǟ

Введение эквивалентности: А ⊃ В, В ⊃ А

Удаление эквивалентности: А <--> В

А ⊃ В, В ⊃ А

Основные непрямые.

Особенностью является то, что заключение с очевидностью не следует из посылок, и поэтому прибегают к дополнительным условиям.

Введение импликации.

2.А – допущение

4.В – удаление импликации 1,2

5.С – удаление импликации 3,4

6.А ⊃ С введение импликации 2,5.

Правило сведения к абсурду – если из посылок и допущения, в ходе рассуждения или доказательства выводятся 2-а противоречащих друг другу высказываний В и не В, то в заключении можно записать не А. В (не В)

Производные.

Правило условного (гипотетического) силлогизма:

Отрицание дизъюнкции:

Правило контрапозиции:

Сложная контрапозиция:

Правило импортации.

Правило экспортации:

Простая конструктивная диллема:

Сложная конструктивная дилемма:

Простая деструктивная дилемма:

Сложная деструктивная дилемма:

Импликация через конъюнкцию

Вопросы для самоконтроля:

1. В чем различие между суждениями, вопросами и нормами?

2. Каков состав и каковы виды атрибутивных суждений?

3. Каковы виды суждений об отношениях?

4. Каковы виды сложных суждений?

5. Как производится отрицание атрибутивных суждений и суждений об отношениях?

6. Как отрицаются сложные суждения?

7. Каковы основные виды отношений между суждениями?

8. Отношения между какими суждениями выражаются посредством логического квадрата?

9. Как выражаются на языке логики предикатов атрибутивные суждения и суждения об отношениях?

10. Какие вопросы являются некорректными? Назовите виды некорректности вопросов.

11. Как соотносятся понятия “обязательно”, “разрешено” и “запрещено”.

Задания для самостоятельной работы:

I. Являются ли суждениями следующие предложения?

1. Урал находится от нас далеко.

2. По дорожке чистой, гладкой

Я прошел, не наследил...

Кто ж катался здесь украдкой?

Кто здесь падал и ходил?

(С.Есенин)

3. Без экспериментов невозможен научно-технический прогресс.

4. Современный физический или биологический эксперимент часто дает столько информации, что обработать ее без ЭВМ практически невозможно.

5. Он сегодня не явился на работу.

6. Какой студент не мечтает получить на экзамене хорошую оценку?

7. Необходимо активнее внедрять информатику и вычислительную технику в учебный процесс.

8. Спать! Выключи свет!

9. Что день грядущий мне готовит?

10. Куда там сейчас ехать? Разве отсюда выберешься? (К.Паустовский).

11. У лесного оврага в тени под дубками цветут ландыши и земляника.

12. Евгений ждет: вот едет Ленский

На тройке чалых лошадей,

Давай обедать поскорей!

«Ну, что соседки?

Что Татьяна?

Что Ольга резвая твоя?»

(А.С.Пушкин)
II. Определите вид, термины суждения и их распределенность в следующих рассуждениях:

1.Некоторые подлежащие выражаются местоимениями в именительном падеже.
2. Некоторые школьники не изучают второй иностранный язык.

3. Гранит широко используют в строительстве.

4. Ни один дельфин не является рыбой.

V. Зная распределенность терминов в простом атрибутивном ассерторическом суждении, постройте правильно мысль:

5.1. Шоссе (S+), дорога с твердым покрытием (P-);

5.2. Русский ученый (S-), лауреат Нобелевской премии(P-);

5.3. Пантера(S+), травоядное животное (P+);

5.4. Глава Правительства(S+), руководитель высшего органа исполнительной государственной власти(P+);

5.5. Писатель(S-), драматург(P+).

IV. Определите вид и логическую форму следующих сложных суждений
и запишите их структуру формулой.

1. «Детская душа в одинаковой мере чувствительная и к родному слову, и к красоте природы, и к музыкальной мелодии. Если в раннем детстве донести до сердца красоту музыкального произведения, если в звуках ребенок почувствует многогранные оттенки человеческих чувств, он поднимается на такую ступеньку культуры, которая не может быть достигнута никакими другими средствами» (В.А.Сухомлинский).

2. Чем больше крови протекает через сосудистую систему за единицу времени, тем обильнее снабжение органов кислородом и питательными веществами, тем больше продуктов жизнедеятельности оттекает от тканей.

3. Если человек любит цветы, он всегда будет к ним бережно относиться: будет поливать их, подвязывать стебли, обрывать сухие листья.

4. «Если наши дети - это наша старость, то правильное воспитание -это наша счастливая старость, плохое воспитание - наше горе, это наши слезы, это наша вина перед другими людьми» (А.С.Макаренко).

V. Определите вид модальности в следующих суждениях:

1. Доказано, что S= п R2 где S - площадь круга, а R - его радиус.

2. Внедрение вычислительной техники невозможно без обучения людей, которые будут ее использовать.

3. Необходимо, чтобы космос был мирным.

4. Возможно, завтра будет хорошая погода, и мы пойдем на экскурсию в лес.

5. Дети дают нам возможность оставить свой след на земле - в их памяти, в их деятельности, в традиции и знаниях, которые мы им передаем.

VI. Являются ли законами логики следующие формулы:

6.1.((p → q) ^ q) → q.

6.2. (p V q V r) = p ^ q ^ r.

6.3. ((p → q) ^ (p → r) ^ (q V r)) → p

6.4. ((p → q) ^ (r → s) ^ (p V r)) → (q Vs).

VII. Средствами таблично построенной логики высказываний установите, является ли правильным следующее рассуждение.

7.1. Установлено, что преступление могли совершить Смит, Джонс или Браун. Известно, что Джонс никогда не совершает преступления без Брауна. Следовательно, если Браун не совершал преступления, то его совершил Смит.

7.2. Если человек удовлетворен работой и счастлив в семейной жизни, то у него нет причин жаловаться на судьбу. У этого человека есть причина жаловаться на судьбу. Значит, он либо удовлетворен и счастлив в семейной жизни, либо счастлив в семейной жизни, но не удовлетворен работой.

7.3. Если человек говорит неправду, то он заблуждается или сознательно вводит в заблуждение других. Этот человек не говорит не правду, но явно не заблуждается. Следовательно, он сознательно вводит в заблуждение других.

VIII. Средствами таблично построенной логики высказываний установите, в каких отношениях находятся следующие высказывания:

8.1. Договаривающиеся стороны не имеют претензий друг к другу или они договариваются о расчете.

Если они договариваются о расчете, то они заключили новый договор или имеют претензии друг к другу.

8.2. Если философ является дуалистом, то он не идеалист.

Если философ не идеалист, то он диалектик или метафизик.

8.3. Если человек совершил преступление, то он подлежит привлечению к уголовной ответственности.

Если человек совершил преступление и это доказано, то он подлежит привлечению к уголовной ответственности.

Человек совершил преступление, но он не подлежит привлечению к уголовной ответственности.

Глава V. УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ как форма мысли.

Умозаключение - это такая форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определенным правилам вывода получаем новое суждение, называемое заключением.

Аристотель приводил такой пример умозаключения: "Все люди смертны" и "Сократ - человек" - посылки. "Сократ смертен" - заключение. Переход от посылок к заключению происходит по ПРАВИЛАМ ВЫВОДА и законам логики.

ПРАВИЛО 1 : Если посылки умозаключения истинны, то истинно и

заключение.
ПРАВИЛО 2 : Если умозаключение справедливо во всех случаях, то оно справедливо и в каждом частном случае. (Это правило ДЕДУКЦИИ - переход от общего к частному.)
ПРАВИЛО 3 : Если умозаключение справедливо в некоторых частных случаях, то оно справедливо во всех случаях. (Это правило ИНДУКЦИИ - переход от частного к общего.)
Цепи умозаключений складываются в РАССУЖДЕНИЯ и ДОКАЗАТЕЛЬСТВА, в которых заключение предшествующего умозаключения становится посылкой следующего. Условием правильности доказательства является не только истинность исходных суждений, но и истинность каждого входящего в его состав умозаключения. Доказательства должны быть построены по законам логики:

1. ЗАКОН ТОЖДЕСТВА. Всякая мысль тождественна самой себе, т.е. субъект рассуждений должен быть строго определен и неизменен до их окончания. Нарушением этого закона является подмена понятий (часто используется в адвокатской практике).
2. ЗАКОН НЕПРОТИВОРЕЧИЯ. Два противоположных суждения не могут быть одновременно истинны: по крайней мере одно из них ложно.
3. ЗАКОН ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО. Истинно либо суждение, либо его отрицание ("третьего не дано").
4. ЗАКОН ДОСТАТОЧНЫХ ОСНОВАНИЙ. Для истинности всякой мысли должно быть достаточно оснований, т.е. умозаключение необходимо обосновать исходя из суждений, истинность которых уже доказана.

Познакомимся с некоторыми интересными видами умозаключений:
ПАРАЛОГИЗМ - умозаключение, содержащее непреднамеренную ошибку. Такой вид умозаключений часто встречается в ваших контрольных работах.
СОФИЗМ - умозаключение, содержащее преднамеренную ошибку с целью выдать ложное суждение за истинное.
Попробуем, например, доказать, что 2 х 2 = 5:

4/4 = 5/5
4(1/1) = 5(1/1)
4 = 5.

ПАРАДОКС - это умозаключение, доказывающее как истинность, так и ложность некоторого суждения.
Например:
Генерал и брадобрей. Каждый солдат может сам себя брить или бриться у другого солдата. Генерал приказал выделить одного специального солдата-брадобрея, у которого брились бы только те солдаты, которые себя не бреют. Кто должен брить солдата-брадобрея?

В логике исследуются умозаключения , осуществляемые на основе или с использованием особенностей логических форм посылок и заключений. Умозаключение содержит в своем составе суждения (а, следовательно, и понятия), но не сводится к ним, а предполагает еще их определенную связь. Благодаря этому и образуется особая форма с ее специфическими функциями. Формально - логический анализ этой формы означает ответ на следующие основные вопросы: в чем сущность умозаключений и какова их роль и структура; что представляют собой их основные типы; в каких взаимоотношениях между собой они находятся; наконец какие логические операции с ними возможны. Значение подобного анализа определяется тем, что именно в умозаключениях (и основанных на них доказательствах) сокрыта "тайна" принудительной силы речей, которая поражала людей еще в древности и с постижения которой началась логика как наука. Именно умозаключения обеспечивают то, что мы называем в настоящее время силой логики. Вот почему нередко логику именуют наукой о выводном знании. И в этом есть значительная доля истины. Ведь анализ понятий и суждений, хотя и важен сам по себе, но в полной мере раскрывает все свое значение лишь в связи с их логическими функциями по отношению к умозаключениям (а значит, и доказательствам). Мы рассмотрим умозаключение в двух соотношениях: 1) как форму отражения действительности, и 2) как форму мышления, так или иначе воплощенную в языке.

Чтобы уяснить происхождение и сущность умозаключения , необходимо сопоставить два рода знаний, которыми мы располагаем и пользуемся в процессе своей жизнедеятельности, - непосредственные и опосредственные. Непосредственные знания - это те, которые получены нами с помощью органов чувств: зрения, слуха, обоняния и т. д. Таковы, например, знания выраженные суждениями типа «трава зеленная», «снег бел», «небо голубое», «цветок пахнет», «птицы поют». Они составляют значительную часть всех наших знаний в процессе отражения объективного мира сознанием человека и служат их базой. Однако далеко не обо всем на свете мы можем судить непосредственно. Например, никто никогда не наблюдал, что в районе Москвы некогда бушевало море. А знание об этом есть. Оно получено из других знаний. Дело в том, что в Подмосковье обнаружены большие залежи белого камня. Он образовался из скелетов бесчисленных мелких морских организмов, которые могли накапливаться лишь на дне моря. Так был сделан вывод о том, что примерно 250 - 300 млн. лет назад Русскую равнину, на которой расположена и Московская область, заливало море. Подобные знания, которые получены не прямо, непосредственно, а опосредственно, т. е. путем выведения из других знаний, называются опосредственными (или выводными). Логической формой их приобретения и служит умозаключение . В самом общем виде под ним разумеется форма мышления, посредством которой из известного знания выводится новое знание. Существование такой формы в нашем мышлении, как и понятия и суждения, обусловлено самой объективной действительностью. Если в основе понятия лежит предметный характер действительности, а в основе суждения - связь (отношение) предметов, то объективную основу умозаключения составляет более сложная взаимная связь предметов, их взаимные отношения. Так если один класс предметов (А) входит целиком в другой (В), но не исчерпывает его объема, то означает необходимую обратную связь: более широкий класс предметов (В) включает в себя менее широкий (А) как свою часть, но не сводится к нему. Это видно из схемы: В А А В. Например: "Все ученые - умные люди", это означает: "Некоторые умные люди - ученые". Или более сложный случай взаимосвязи предметов мысли: если один класс предметов (А) входит в другой (В), а этот, в свою очередь, входит в третий (С), то отсюда следует, что первый (А) входит в третий (С). На схеме: В С В С А А Пример: "М. Ломоносов - ученый, а все ученые - умные люди, то М. Ломоносов - умный человек". Такова объективная возможность умозаключений : - это структурный слепок с самой действительности, но в идеальной форме, в форме структуры мысли. А их объективная необходимость, как и понятий и суждений, тоже связана со всей практикой человечества. Удовлетворение одних потребностей людей и возникновение на этой основе других требует прогресса общественного производства, а он, в свою очередь, немыслим без прогресса знаний. Необходимым связующим звеном в осуществлении этого прогресса и выступают умозаключения как одна из форм перехода от известных знаний к новым.

5.1. Роль умозаключений и их структура.

Умозаключения весьма распространенная форма, используемая в научном и повседневном мышлении. Этим определяется их роль в познании и практике людей. Значение умозаключений людей состоит в том, что они не только связывают наши знания в более или менее сложные, относительно законченные комплексы - мыслительные конструкции, но и обогащают, усиливают эти знания. Вместе с понятиями и суждениями умозаключения преодолевают ограниченность чувственного познания. Они оказываются незаменимыми там, где органы чувств бессильны в постижении причин и условий возникновения какого либо предмета или явления, его сущности и форм существования, закономерностей развития и т. д. Они участвуют в образовании понятий и суждений, которые нередко выступают как итог умозаключений, чтобы стать средством дальнейшего познания. На каждом шагу умозаключения производятся в повседневной жизни. Так выгляну в окно утром и, заметив мокрые крыши домов, мы делаем вывод о прошедшем ночью дожде. Наблюдая вечером, багрово - красный закат, мы предполагаем на завтра ветреную погоду. Особую роль играют умозаключения в юридической практике. В своих знаменитых записках о Шерлоке Холмсе А. Канон Дойл дал классический образ сыщика, который в совершенстве владел искусством умозаключений и на их основе распутывал самые сложные и невероятные криминалистические истории. В современной юридической литературе и практике умозаключениям тоже принадлежит огромная роль. Так предварительное следствие с точки зрения логики есть не что иное, как построение всевозможных умозаключений о предполагаемом преступнике, о механизме образования следов преступления, о мотивах побудивших его к совершению преступления, о последствиях совершенного для общества. Обвинительное заключение есть лишь одна из форм умозаключения вообще. Умозаключение - целостное мыслительное образование, оно подобно тому как, например, вода, будучи целостным, качественно определенным агрегатным состоянием вещества, разлагается на химические элементы - водород и кислород, находящихся в определенном между собой соотношении, так и всякое умозаключение имеет свою структуру. Она обусловлена природой этого мышления и ее ролью в познании и общении. В структуре умозаключения различаются два основных более или менее сложных элемента: посылки (одна или несколько) и заключение, между которыми также существует определенная связь. Посылки - это исходное и притом уже известное, знание, служащее основанием умозаключения. Заключение - производное, притом новое, полученное из посылок и выступающее их следствием. Вывод - логический переход от посылок к заключению. Это связь между посылками и умозаключением, есть необходимое отношение между ними, делающее возможным переход от одного к другому, - отношение логического следования. Это основной закон всякого умозаключения, позволяющий раскрыть его самый глубокий и сокровенный "секрет" - принудительность вывода. Если мы признали какие - либо посылки, то хотим мы этого или не хотим, но вынуждены признать и заключение - именно из - за определенной связи между ними. Этот закон, в основе которого лежит объективное соотношение самих предметов мысли, проявляется во многих особых правилах, которые специфичны для разных форм умозаключений. Мы уже рассматривали, какую роль играют умозаключения в образовании понятий и суждений, а теперь рассмотрим какую роль играют понятия и суждения в умозаключениях. Поскольку понятия и суждения входят в структуру умозаключений нам важно установить здесь их логические функции. Так, нетрудно понять, что суждения выполняют функции либо посылок, либо заключения. Понятия же, будучи терминами суждения, выполняют здесь функции терминов умозаключения. Если рассматривать понятия диалектически, как процесс перехода с одной ступени знания на другую, более высокую, то не составит труда уяснить относительность деления суждений на посылки и заключение. Одно и тоже суждение, будучи результатом (выводом) одного познавательного акта, становится исходным пунктом (посылкой) другого. Этот процесс можно уподобить строительству дома: один ряд бревен (или кирпичей) положенный на уже имеющееся основание, превращается тем самым в основание для другого, последующего ряда. Аналогично обстоит дело и с понятиями - терминами умозаключения: одно и тоже понятие может выступать, то в роли субъекта, то в роли предиката посылки или заключения, то в роли посредствующего звена между ними. Так осуществляется бесконечный процесс познания. Подобно всякому суждению, заключение может быть истинным и ложным. Но то и другое определяется здесь непосредственно отношением не к действительности, а прежде всего к посылкам и их связи. Заключение будет истинным при наличии двух необходимых условий: во - первых, должны быть истинными исходные суждения - посылки умозаключения; во - вторых, в процессе рассуждения следует соблюдать правила вывода, которые обуславливают логическую правильность умозаключения.

Например: Все художники тонко чувствуют природу

И. Левитан - художник

И. Левитан - тонко чувствует природу

А - И. Левитан, В - художники С - тонко чувствующие люди А В С А И наоборот, заключение может быть ложным, если: 1) хотя бы одна из посылок ложна или 2) строение умозаключения неправильное.

Пример: Все свидетели правдивы

Сидоров - свидетель

Сидоров - правдив

Здесь одна из посылок ложная, вот почему определенного вывода сделать нельзя. А о том, насколько, важно правильное строение умозаключения, свидетельствует известный в логике шутливый пример, когда из обеих известных посылок вывод следует нелепый.

Все дикари носят перья

Все женщины носят перья

Все женщины - дикари

О том, что определенный вывод при подобной конструкции умозаключения невозможен, свидетельствует круговая схема. А - женщины В - дикари С - носящие перья С А В А А А Из ложных посылок или при неправильном строении умозаключения истинный вывод может получиться чисто случайно.

Например: Стекло не проводит электричество.

Железо не стекло.

Железо проводит электричество.

При подобном строении умозаключения достаточно поставить вместо «железо» "резина", чтобы понять случайность верного вывода. Связь между посылками и заключением должна быть не случайной, а необходимой, однозначной, обоснованной, одно должно действительно следовать, вытекать из другого. Если же связь случайна или многозначна в отношении вывода, как говорят при обмене квартир "возможны варианты", то такой вывод делать нельзя, иначе неизбежна ошибка.

5.2.Умозаключение и связь предложений.

Как и любая другая форма мышления, умозаключение так или иначе воплощается в языке. Если понятие выражается отдельным словом (или словосочетанием), а суждение - отдельным предложением (или сочетание предложений), то умозаключение всегда есть связь нескольких (двух или более) предложений, хотя и не всякая связь двух или более предложений – непременно умозаключение (например, сложные суждения). В русском языке эта связь выражается словами "следовательно", "значит", "таким образом", "потому что", "так как" и т. п. Умозаключение может завершаться заключением (выводом), но может и начинаться с него; наконец вывод может находиться в середине умозаключения, между посылками. Общее правило языкового выражения умозаключения таково: если заключение стоит после посылок, то перед ним ставятся слова "следовательно", "значит", "поэтому", итак "," отсюда следует "и т. п. Если же заключение стоит перед посылками, то после него ставятся слова" потому что "," так как "," ибо "," оттого что "и др. Если же, наконец, оно расположено между посылками, то и перед ним, и после него употребляются соответствующие слова одновременно. В приводимом примере возможны следующие логические, а следовательно, и языковые конструкции: 1) Все ученые умные люди, а М. Ломоносов - ученый, следовательно, он умный человек, (заключение в конце); 2) М. Ломоносов умный человек, потому, что он - ученый, а все ученые умные люди, (заключение в начале); 3) Все ученые умные люди, следовательно, М. Ломоносов умный человек, потому что он - ученый, (заключение в середине). Совсем нетрудно догадаться, что мы не исчерпали всех возможных вариантов логических конструкций умозаключений, но их важно знать, чтобы в потоке живой речи - письменной или устной - уметь выделить более или менее устойчивые мыслительные конструкции, чтобы подвергнуть их строгому логическому анализу во избежании возможных или уже допущенных ошибок и недоразумений.

5.3. Виды умозаключений .

Выступая в качестве более сложной, чем понятие и суждение, формы мышления, умозаключение представляет собой в тоже время более богатую по своим проявлениям форму. Обозревая практику мышления можно обнаружить великое множество самых разнообразных видов и разновидностей умозаключений, но можно выделить три основных фундаментальных типа умозаключения, классифицирующиеся по направленности логического следования, т. е. по характеру связи между знанием различной степени общности, выраженному в посылках и заключениях. Это умозаключения: дедукция, индукция и традукция.

Дедукция (от латинского deductio -" выведение ") - это умозаключение, в котором переход от общего знания к частному является логически необходимым. Правила дедуктивного вывода определяются характером посылок, которые могут быть простыми или сложными суждениями. В зависимости от количества посылок дедуктивные выводы делятся на непосредственные, в которых заключение выводится из одной посылки, и опосредственные, в которых заключение выводится из нескольких (двух и более) посылок.

Пример: Все металлы проводят электричество.

Медь - металл.

Медь проводит электричество.

Индуктивные умозаключения (от латинского inductio –«наведение») - это умозаключения, в которых на основании принадлежности признака отдельным предметам или частям некоторого класса делают вывод о его принадлежности классу в целом. Основная функция индуктивных выводов в процессе познания - генерализация, т. е. получение общих суждений. По своему содержанию и познавательному значению эти обобщения могут носить различный характер - от простейших обобщений повседневной практики до эмпирических обобщений в науке или универсальных суждений, выражающих всеобщие законы. В зависимости от полноты и закономерности эмпирического исследования различают два вида индуктивных умозаключений: полную индукцию и неполную индукцию. Пример: определив, что каждый металл проводит электричество, можно сделать вывод: «Все металлы проводят электричество».

Традуктивные умозаключения (от латинского traductio – « перевод», « перемещение», «перенос») - это умозаключения, в которых и посылки, и вывод одинаковой степени общности, т.е. это умозаключения из суждений отношения и умозаключения по аналогии, которые представляют собой вывод о принадлежности определенного признака исследуемому единичному объекту (предмету, событию, отношению или классу) на основе его сходства в существенных чертах с другим уже известным единичным объектом. Умозаключению по аналогии всегда предшествует операция сравнения двух объектов, которая позволяет установить сходства и различия между ними. При этом для аналогии требуются не любые совпадения, а сходства в существенных признаках при несущественности различий. Именно такие сходства служат для уподобления двух материальных или идеальных объектов. В качестве примера можно привести в истории физики о механизмах распространении звука и света, когда их уподобили движению жидкости. На основе этого возникли волновые теории звука и света. Объектами уподобления в этом случае были жидкость, звук и свет, а переносимым признаком волновой способ их распространения.

Дедуктивные Традукция Полная

Чисто условные Условно- дедукция

РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЕ

УМОЗАКЛ. ИЗ СУЖДЕНИЙ С ОТНОШЕНИЯМИ

НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

Логика высказываний – это логическая система, которая анализирует процессы рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений.

Логика высказываний может строиться табличным методом или как исчисление, т.е. как система, позволяющая получать одни выражения из других на основании известных правил. Последняя называется системой натурального вывода . Аппаратом в ней служат правила вывода, каждое из которого является элементарной формой умозаключения.

Правила вывода – это предписания или разрешения, позволяющие из суждений одной логической структуры как посылок вывести суждение некоторой логической структуры как заключение. Их особенность заключается в том, что признание истинности заключения производится на основании не содержания посылок, а их структуры.

Правила вывода записываются в виде схемы, которая состоит из двух частей (верхней и нижней), разделенных горизонтальной линией – над чертой выписываются логические схемы посылок, под ней – заключение.

Схема правил вывода:

Читается: из посылок вида
можно вывести заключение В.

Правила выводов логики высказываний делят на основные и производные.

Основные правила – более простые и очевидные.

Производные выводятся из основных. Их введение сокращает процесс вывода.

Как основные, так и производные делятся на прямые и непрямые (косвенные).

Прямые правила указывают на непосредственную выводимость некоторых суждений из других суждений.

Непрямые (косвенные) правила выводов дают возможность заключить о правомерности некоторых выводов из правомерности других выводов.

Основные прямые правила:

Правила введения и удаления конъюнкции (В.К.), (У.К.):

Правила введения и удаления дизъюнкции (В.Д.), (У.Д.):

Правила удаления импликации (У.И.):

Правила введения и удаления эквивалентности (В.Э.), (У.Э.):

Правила введения и удаления двойного отрицания (В.О.), (У.О.):

В.О.

Основные непрямые правила

Правила введения импликации (В.И.) и сведения к абсурду (С.А.):

В.И.

Производные правила

Правило условного силлогизма

Доказательство:

Правило «modustоllens»:

Доказательство:

Правило отрицания дизъюнкции (О.Д.):

Доказательство:

Правило отрицания конъюнкции (О.К.)

Доказательство:

Правила контрапозиции:

Доказательство:

Правило сложной контрапозиции:

Доказательство:

Правило простой конструктивной дилеммы (П.К.Д.)

Доказательство:

Правило сложной конструктивной дилеммы (С.К.Д.)

Доказательство:

Правило простой деструктивной дилеммы (П.Д.Д.)

Доказательство:

Правило сложной деструктивной дилеммы (С.Д.Д.)

Доказательство:

Вопросы для повторения

Что такое отношение логического следования? Как проверить, имеет ли оно место в умозаключении?

Что такое непосредственные умозаключения и каковы их виды?

Назовите правила посылок и правила терминов простого категорического силлогизма.

Что такое метод натурального вывода?

Каковы основные прямые и непрямые правила логики суждений?

Чем отличается прогрессивный полисиллогизм от регрессивного?

Логика высказываний - это логическая система, которая анализирует процессы рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений.
Логика высказываний может строиться табличным методом или как исчисление, т. е. как система, позволяющая получать одни выражения из других на основании известных правил. Последняя называется системой натурального вывода. Аппаратом в ней служат правила вывода, каждое из которого является элементарной формой умозаключения.
Правила вывода - это предписания или разрешения, позво-ляющие из суждений одной логической структуры как посылок вывести суждение некоторой логической структуры как заключение. Их особенность заключается в том, что признание истинности заключения производится на основании не содержания посылок, а их структуры.
Правила вывода записываются в виде схемы, которая состоит из двух частей (верхней и нижней), разделенных горизонтальной линией - над чертой выписываются логические схемы посылок, под ней - заключение.
Схема правил вывода:
V
А,
посылки
В
заключение
Читается: из посылок вида А1; А2, А3...АП можно вывести заключение В.
Правила выводов логики высказываний делят на основные и производные.
Основные правила - более простые и очевидные.
Производные выводятся из основных. Их введение сокращает процесс вывода.
Как основные, так и производные делятся на прямые и непрямые (косвенные).
Прямые правила указывают на непосредственную выводимость некоторых суждений из других суждений.
Непрямые (косвенные) правила выводов дают возможность заключить о правомерности некоторых выводов из правомерности других выводов.
Основные прямые правила:
Правила введения и удаления конъюнкции (В.К.), (У.К.): В.К. У.К.
АВ АлВ АлВ
АлВ А В
Правила введения и удаления дизъюнкции (В.Д.), (У.Д.):
В.Д. У.Д.
AvB AvB
А(В) А В
AvB В А
Правила удаления импликации (У.И.): А ->В
А
В
Правила введения и удаления эквивалентности (В.Э.), (У.Э.): В.Э. У.Э.
А->В
В А А В А В
АВ А -> В В->А
Правила введения и удаления двойного отрицания (В.О.), (У.О.):
А А
В.О. = У.О. -
А А
Основные непрямые правила
Правила введения импликации (В.И.) и сведения к абсурду (С.А.): В.И С.А.
П(посылки) П(посылки)
А(доп.) А(доп.)
В В
А->В
В
А
Производные правила Правило условного силлогизма
А ->В В^С
А^С
П.
В^С]
А - допущение.
В-У.И. 1,3.
С - У.И. 2,4.
А ч» С-В.И.3,5
Доказательство:

Правило «modus tollens»:
А ->В В
А - допущение.
В-У.И. 1,3.
А-С.А.2,4.
Правило отрицания дизъюнкции (О.Д.): Доказательство:
AvB-П.
А - допущение.
АуВ-В.Д2.
AvB АЛВ
А-С.А.1,3.
В - допущение.
AvB -В.Д.5.
В-С.А.1,6.
АлВ-В.К.4,7.
Правило отрицания конъюнкции (O.K.)
АлВ AvB
Правила контрапозиции:
1 Ач"В " В -> А
2
" А ->В
A v В - допущение.
АлВ-О.Д.2.
А-У.К.З.
А-У.О.4.
В-У.К.З.
В-У.0.6.
АлВ-В.К.5,7.
AvB- С.А. 1,8; У.О.
Доказательство:
Ач»В-П.
В - допущение.
А-М. t.1,2.
В -> А~-В.И.2,3.
Доказательство:
В->А-П.
А - допущение.
А-В.0.2.
В-М. t.1,3.
В-У.0.4.
А -> В -В.И.2,5.
Правило сложной контрапозиции:
2 А Л С - допущение.
А-У.К.2.
С-У.К. 2
(АлВ)-> С (АлС)^В
АлВ -M.T.1,4.
~AvB-О.К.5.
А-В.О.З.
В-У.Д.6,7.
(АлС)->В-В.И.2,
Правило простой конструктивной дилеммы (П.К.Д.) А^С В^С
AvB
С
П.
Доказательство: 3. AvB
С-допущение.
А-M.t.1,4.
В-M.t. 2,4.
В - У. Д. 3,5.
С-С.А.6,7.
Правило сложной конструктивной дилеммы (С.К.Д.) А -> В С D АуС В vD
Доказательство:
А ->В
С DІП.
Ач>С
А - допущение.
В-У.И. 1,4.
BvD -В. Д.5.
А ->¦ (BvD)-B.H. 4,6.
С-допущение.
D-У.И. 2,8.
BvD -В.Д.9.
С -> (BvD)-B.H.8,10.
В v D - сведение к П.К. Д. 3,7,11.
Правило простой деструктивной дилеммы (П.Д.Д.) А ->В А^С ВуС А
Доказательство: 1.Ач»В
В vC
В ->¦ А - правило контрапозиции 1.
С -> А - правило контрапозиции 2.
А-П.К.Д.3,4,5.
Правило сложной деструктивной дилеммы (С.Д.Д.) Ач»В С -> D В vD
Доказательство:
А ->В
С D \п.
В vD
В -> А-П.К.1.
D -> С~-П.К2.
AvC-С.К.Д. 3,4,5.
Вопросы для повторения
Что такое отношение логического следования? Как проверить, имеет ли оно место в умозаключении?
Что такое непосредственные умозаключения и каковы их виды?
Назовите правила посылок и правила терминов простого категорического силлогизма.
Что такое метод натурального вывода?
Каковы основные прямые и непрямые правила логики суждений?
Чем отличается прогрессивный полисиллогизм от регрессивного?

ВЫВОД ЛОГИЧЕСКИЙ

ВЫВОД ЛОГИЧЕСКИЙ - рассуждение, в котором

осуществляется переход по правилам от высказывания или системы высказываний к высказыванию или системе высказываний. К логическому выводу обычно предъявляются (совместно или по отдельности) следующие требования: 1) правила перехода должны воспроизводить отношение следования логического (ту или иную его разновидность); 2) переходы в логическом выводе должны осуществляться на основе учета только синтаксических характеристик высказываний или систем высказываний.

В современной логике понятие логического вывода определяется для формальных систем, в которых высказывания представлены формулами. Обычно выделяют три основных типа формальных систем: аксиоматические исчисления, исчисления натурального вывода, исчисления секвенций. Стандартное определение логического вывода (из множества формул Г) для аксиоматического исчисления S таково: логический вывод в S из множества формул Г есть такая последовательность Ai... A, формул языка исчисления S, что для каждой Ai (ÏSiSn) выполняется, по крайней мере, одно из следующих трех условий: 1) А, есть формула из Г; 2) Αι есть аксиома исчисления S; 3) А, есть формула, получающаяся из предшествующей ей в последовательности Л ι...Лд формулы или из предшествующих ей в этой последовательности формул по одному из правил вывода исчисления S. Если α есть логический вывод в S из множества формул Г, то формулы из Г называются посылками a, a сам вывод α называется выводом в S из посылок Г; если при этом А есть последняя формула а, то а называется логическим выводом в S формулы А из посылок Г. Запись “Г ,А* означает, что существует логический вывод в S формулы А из посылок Г. Логический вывод в S из пустого множества формул называется доказательством в S. Запись “ г,-4” означает, что существует доказательство в S формулы А. Формула А называется доказуемой в S, если -А. В качестве примера рассмотрим аксиоматическое исчисление Si со стандартным определением вывода, являющееся вариантом классической логики высказывании. Алфавит этого исчисления содержит только пропозициональные переменные pi, pi, ..., р„ ..., логические связки =>, 1 и круглые скобки. Определение формулы в этом языке обычное. Аксиомы?ι-ύто формулы следующих шести видов (и только эти формулы): I. (А^>А), II. ((Д55)э((Д=)С)э(^эС))), Ш. ((Л=?/”эО)эГДэ(ЛэС))), IV. ((Лэ(1Д))э(Дэ(1Д))), V. ((1(1Л)эЛ), М. (((А зВ)=,А)зА).

Единственное правило исчисления St модус поненс: Л, А^В^В.

Определение логического вывода для Si является очевидной конкретизацией определения, данного выше. Следующая последовательность формул Ф1 - Ф6 является логическим выводом в Si формулы ((pi^pi)^) из посылок .

ΦΙ. ((Ρι^Ρι)^(Ρι^Ρι)), Ф2. Wpi-spî) э(р1 эра)) =>ό?ι =>((?, э^) з^))), ФЗ. (р1Э((р1=>й)э^)), Ф4.^, Ф5. ((pi Dpi)^pî).

Анализ: Ф1 есть аксиома вида 1, Ф2 есть аксиома вида III, ФЗ получена по правилу модус поненс из Ф1 и Ф2, Ф4 есть посылка, Ф5 получена по правилу модус поненс из Ф4 и ФЗ. Итак, fßilhi ((р^рг)=)рг). Рассмотрев последовательность формул Ф1, Ф2 ФЗ, убеждаемся, что гл(р13р1)зрг)).

В ряде случаев логический вывод определяется так, что на использование некоторых правил накладываются ограничения. Напр., в аксиоматических исчислениях, являющихся вариантами классической логики предикатов первого порядка и содержащих среди правил вывода только модус поненс и правило обобщения, логический вывод часто определяется так, что на использование правила обобщения накладывается ограничение: любое применение правилам обобщения в α таково, что переменная, по которой ироввдитея обобюение в этом применении правила обобщения, не входит ни в одну посылку, предшествующую в α нижней формуле этого применения правила обобщения. Цель этого ограничения обеспечить ряд полезных с точки зрения логики свойств вывода (напр., выполнение для простых форм дедукции теоремы). Существуют определения логического вывода (как для аксиоматических, так и для исчислений других типов), которые (1) задают логический вывод не только из множества посылок, но допускают другие формы организации посылок (напр., списки или последовательности), (2) структурируют вывод не только линейно, но, напр., в форме дерева, (3) имеют явно выраженный индуктивный характер; при этом индуктивное определение вывода может вестись как по одной переменной (напр., по длине вывода), так и по нескольким переменньм (напр., по длине логического вывода и по числу его посылок), (4) содержат формализацию зависимости между формулами в логическом выводе, и многие другие определения логического вывода, обусловленные иными способами формализации и аксиоматизации классических и неклассических систем логики. О некоторых из них см. в ст. Аналитических таблиц метод. Семиотика, Исчисление секвенций.

- логический - формальный вывод в исчислении, содержащем логические правила и имеющем в качестве основных выводимых объектов формулы...
Математическая энциклопедия
- формальный вывод, по возмвжности приближенный к содержательному рассуждению, привычному для математика и логика...
Математическая энциклопедия
- в древнерусском зодчестве крепостное сооружение, выступающее перед основным. * * * 1. Форт. 2. Печная труба...
Архитектурный словарь
- в логике - рассуждение, в ходе которого из некоторых исходных высказываний, называемых посылками, с помощью логических правил получают новое высказывание, называемое заключением...
Философская энциклопедия
- ВЫВОД ЛОГИЧЕСКИЙ -рассуждение, в котором по определенным правилам осуществляется переход от высказываний или системы высказываний к высказыванию или системе высказываний...
Энциклопедия эпистемологии и философии науки
- рассуждение, в ходе которого из к.-л. исходных суждений - посылок - с помощью логических правил получают заключение - новое суждение...
Словарь логики
- англ. conclusion/deduction; нем. Schlussfolgerung. Умозаключение, в ходе к-рого из к.-л. исходных суждений получается логически вытекающее суждение. см. АБДУКЦИЯ, ДЕДУКЦИЯ, ИНДУКЦИЯ...
Энциклопедия социологии
- English: Terminal Часть электротехнического изделия, предназначенная для электрического соединения его с другими изделиями Источник: Термины и определения в электроэнергетике...
Строительный словарь
- 1. Термин, связанный с переводом информации, содержащейся в основном запоминающем устройстве компьютера, в поддерживающее запоминающее устройство...
Словарь бизнес терминов
- или умозаключение - процесс мысли, которым мы убеждаемся в истинности известного суждения при посредстве других суждений...
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
- в логике, рассуждение, в ходе которого из каких-либо исходных суждений), посылок или предпосылок В., получается суждение, логически вытекающее из посылок. См. Дедукция, Индукция...
Большая Советская энциклопедия
- переход от посылок к следствиям по правилам логики...
Большой энциклопедический словарь
- ВЫ́ВОД, -а, муж. 1. см. вывести 1. 2. Умозаключение, то, что выведено. Важный в. Сделать необходимые выводы. 3. Провод, устройство, выходящее или выводящее что-н. наружу. | прил. выводной, -ая, -ое...
Толковый словарь Ожегова
- вы́вод сущ., м., употр. часто Морфология: чего? вы́вода, чему? вы́воду, что? вы́вод, чем? вы́водом, о чём? о вы́воде; мн. что? вы́воды, чего? вы́водов, чему? вы́водам, что? вы́воды, чем? вы́водами, о чём? о вы́водах 1...
Толковый словарь Дмитриева
- см....
Сводная энциклопедия афоризмов
- Дать вывод. Сиб. Ответить кому-л. ФСС, 53; СРНГ 7, 257. Сделать вывод. Кар. . Обменяться подарками. СРГК 1, 254...
Большой словарь русских поговорок

"ВЫВОД ЛОГИЧЕСКИЙ" в книгах

5.4. Логический анализ

Из книги Восстановление бухгалтерского учета, или Как «реанимировать» фирму автора Уткина Светлана Анатольевна

5.4. Логический анализ Во избежание ошибок и неточностей при составлении формы № 1 «Бухгалтерский баланс» целесообразно проанализировать по Главной книге обороты и остатки по счетам. Сделать это довольно просто. Рассмотрим на примере. К примеру, вы составляете

Логический позитивизм

Из книги Тень и реальность автора Свами Сухотра

Логический позитивизм Течение, возникшее в XX в. как развитие эмпиризма и позитивизма. Его сутью является теория верификации, утверждающая, что единственно валидной истиной является то, что подтверждено современными научными методами. Чтобы выразить эту истину, язык

2.9. Логический квадрат

Из книги Логика. Учебное пособие автора Гусев Дмитрий Алексеевич

2.9. Логический квадрат Отношения между простыми сравнимыми суждениями изображаются схематически с помощью логического квадрата, который был разработан еще средневековыми логиками. Как видим, вершины квадрата обозначают четыре вида простых суждений, а его стороны и

2. Логический позитивизм

Из книги Введение в философию автора Фролов Иван

2. Логический позитивизм В 1922 году на кафедре натуральной философии Венского университета, которую после смерти Э. Маха возглавил профессор М. Шлик, собралась группа молодых ученых, поставивших перед собой смелую цель - реформировать науку и философию. Эта группа вошла

2. Логический обвал

Из книги Философия. Книга третья. Метафизика автора Ясперс Карл Теодор

2. Логический обвал - То, что может быть продемонстрировано или что требуется доказать, есть конечное познание чего-то особенного. Экзистенция и трансценденция, в смысле этого бытия, не существуют. Если мы мыслим о них, то мысль принимает логические формы, которые

Логический позитивизм

Из книги История философии автора Скирбекк Гуннар

Логический позитивизм В период между первой и второй мировыми войнами были выдвинуты новые философские идеи. Многие из них были стимулированы развитием неклассической физики и стали предметом серьезного эпистемологического анализа со стороны логического позитивизма.

Логический крючок

Из книги Виктор Суворов врет! [Потопить «Ледокол»] автора Верхотуров Дмитрий Николаевич

Логический крючок В использовании этой «концепции» у Виктора Суворова есть занятный момент. Подробно и многословно «доказывается» только второй тезис, тогда как остальные тезисы только упоминаются, очень кратко и без обоснования. Все внимание сосредоточивается на его

1.1. Наш логический вывод и свидетельство Ливия

Из книги автора

1.1. Наш логический вывод и свидетельство Ливия Прежде чем обратиться к первоисточникам, вспомним эмпирико-статистические и астрономические результаты, отождествляющие Царский Рим со Второй и Третьей Римскими империями, а также с Великой = «Монгольской» Империей XIII–XVI

Логический закон

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ЛО) автора БСЭ Из книги Описание языка PascalABC.NET автора Коллектив РуБоард

Логический тип Значения логического типа boolean занимают 1 байт и принимают одно из двух значений, задаваемых предопределенными константами True (истина) и False (ложь).Для логического типа определены статические методы: boolean.Parse(s) - функция, конвертирующая строковое

26. Логический анализ

Из книги Упражнения в стиле автора Кено Раймон

26. Логический анализ Автобус.Площадка.Площадка автобуса. Это место.Полдень.Приблизительно.Приблизительно полдень. Это время.Пассажиры.Ссора.Ссора пассажиров. Это действие.Молодой человек.Шляпа. Длинная тощая шея.Молодой человек в шляпе с плетенной тесьмой вокруг. Это

Логический способ

Из книги Активные продажи 3.1: Начало автора Рысев Николай Юрьевич

Логический способ Каждое возражение можно логически отразить – представить аргументы, достойные интеллекта клиента, и перевернуть его воззрения.К: У вас слишком молодая аудитория.П: Молодость – это стремительность, желание, деньги, решительность. Как вы смотрите на

При выводе заключения удобно правила введения и удаления логических связок представить также как и правила вывода:

Правило 1. Если посылки $F_1$ и $F_2$ имеют значение “и”, то истинной является их конъюнкция, т.е.

$$\frac{F_1 ; F_2}{(F_1\&F_2)}$$

Эта запись при истинности посылок $F_1$ и $F_2$ предусматривает возможность введения в заключение логической связки конъюнкции; это правило тождественно аксиоме А5 (см. );

Правило 2. Если $(F_1\&F_2)$ имеет значение “и”, то истинными являются подформулы $F_1$ и $F_2$, т.е.

$$\frac{(F_1\&F_2)}{F_1} \: и \: \frac{(F_1\&F_2)}{F_2}$$

Эта запись при истинности $(F_1\&F_2)$ предусматривает возможность удаления в заключении логической связки конъюнкции и рассматривать истинные значения подформул $F_1$ и $F_2$; это правило тождественно аксиомам А3 и А4;

Правило 3. Если $F_1$ имеет значение “и”, а $(F_1\&F_2)$ - “л”, то ложной является подформулы $F_2$, т.е.

$$\frac{F_1;\left\rceil\right. \!\!(F_1\&F_2)}{ \left\rceil\right. \!\!F_2}$$

Эта запись при ложности $(F_1\&F_2)$ и истинности одной из подформул предусматривает возможность удаления в заключении логической связки конъюнкции и рассматривать ложным значение второй подформулы;

Правило 4. Если истинна хотя бы одна посылка $F_1$ или $F_2$, то истинной является их дизъюнкция, т.е.

$$\frac{F_1}{ (F_1\vee F_2)} \: или \: \frac{F_2}{ (F_1\vee F_2)}$$

Эта запись при истинности хотя бы одной подформулы $F_1$ или $F_2$ предусматривает возможность введения в заключение логической связки дизъюнкции; это правило тождественно аксиомам А6 и А7;

Правило 5. Если $(F_1\vee F_2)$ имеет значение “и” и одна из подформул $F_1$ или $F_2$ имеет значение “л”, то истинной является вторая подформулаы $F_2$ или $F_1$, т.е.

$$\frac{(F_1\vee F_2); \left\rceil\right. \!\!F_1 }{ (F_2} \: или \: \frac{(F_1\vee F_2); \left\rceil\right. \!\!F_2 }{ (F_1}$$

Эта запись при истинности $(F_1\vee F_2)$ предусматривает возможность удаления в заключении логической связки дизъюнкции и рассматривать истинные значения подформул $F_1$ или $F_2$;

Правило 6. Если подформула $F_2$ имеет значение “и”, то истинной является формула $(F_1\rightarrow F_2)$ при любом значении подформулы $F_1$, т.е

$$\frac{F_2}{ (F_1\rightarrow F_2)}$$

Эта запись при истинном значении $F_2$ предусматривает возможность введения в заключение логической связки импликации при любом значении подформулы $F_1$ (“истина из чего угодно”); это правило тождественно аксиоме 1;

Правило 7. Если подформула $F_1$ имеет значение “л”, то истинной является формула $(F_1\rightarrow F_2)$ при любом значении подформулы $F_2$, т.е

$$\frac{\left\rceil\right. \!\!F_1 }{ (F_1\rightarrow F_2)}$$

Эта запись при ложном значении $F_1$ предусматривает возможность введения в заключение логической связки импликации при любом значении подформулы $F_2$ (“ из ложного что угодно”);

Правило 8. Если формула $(F_1\rightarrow F_2)$ имеет значение “и”, то истинной является формула $(\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1)$, т.е

$$\frac{(F_1\rightarrow F_2) }{ (\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1)}$$

Эта запись при истинном значении $(F_1\rightarrow F_2)$ определяет возможность замены местами полюсов импликации при одновременном изменении их значений; это - закон контрапозиции;

Правило 9. Если формула $(F_1\rightarrow F_2)$ имеет значение “и”, то истинной является формула $((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)$ при любом значении $F_3$, т.е

$$\frac{(F_1\rightarrow F_2) }{((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)} $$

Эта запись при истинном значении $(F_1\rightarrow F_2)$ определяет возможность выполнить операцию дизъюнкции при любом значении формулы $F_3$ над каждым полюсом импликации; это правило тождественно аксиоме А11.

Правило 10. Если формула $(F_1\rightarrow F_2)$ имеет значение “и”, то истинной является формула $((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3)$ при любом значении $F_3$, т.е

$$\frac{(F_1\rightarrow F_2) }{((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3)}$$

Эта запись при истинном значении $(F_1\rightarrow F_2)$ определяет возможность выполнить операцию конъюнкции при любом значении формулы $F_3$ над каждым полюсом импликации; это правило тождественно аксиоме А10.

Правило 11. Если формулы $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_3)$ имеют значение “и”, то истинной является формула $(F_1\rightarrow F_3)$, т.е

$$\frac{(F_1\rightarrow F_2); (F_2\rightarrow F_3) }{(F_1\rightarrow F_3)}$$

Эта запись при истинном значении $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_3)$ предусматривает возможность формирования импликации $(F_1\rightarrow F_3)$ (закон силлогизма); это правило тождественно аксиоме А2;

Правило 12. Если формулы $F_1$ и $(F_1\rightarrow F_2)$ имеют значение “и”, то истинной является формула $F_2$, т.е

$$\frac{F_1; (F_1\rightarrow F_2) }{ F_2}$$

Эта запись при истинном значении посылки $F_1$ и импликации $(F_1\rightarrow F_2)$ позволяет удалить логическую связку импликации и определить истинное значение заключения $F_2$;

Правило 13. Если формулы $\left\rceil\right. \!\!F_2 и (F_1\rightarrow F_2)$ имеют значение “и”, то истинной является формула $\left\rceil\right. \!\!F_1$, т.е

$$\frac{\left\rceil\right. \!\!F_2; (F_1\rightarrow F_2) }{ \left\rceil\right. \!\!F_1}$$

Эта запись при истинном значении посылки $\left\rceil\right. \!\!F_2$ и импликации $(F_1\rightarrow F_2)$ позволяет удалить логическую связку импликации и определить истинное значение заключения $\left\rceil\right. \!\!F_1$;

Правило 14. Если формулы $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_1)$ имеют значение “и”, то истинной является формула $(F_1\leftrightarrow F_2)$, т.е

$$\frac{(F_1\rightarrow F_2); (F_2\rightarrow F_1) }{ (F_1\leftrightarrow F_2)}$$

Эта запись при истинном значении $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_1)$ позволяет ввести логическую связку эквиваленции и определить значение формулы $(F_1\leftrightarrow F_2)$;

Правило 15. Если формула $(F_1\leftrightarrow F_2)$ имеет значение “и”, то истинными являются формулы $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_1)$, т.е

$$\frac{(F_1\leftrightarrow F_2) }{ (F_1\rightarrow F_2) } \: и \: \frac{(F_1\leftrightarrow F_2) }{ (F_2\rightarrow F_1) }$$

Эта запись при истинном значении $(F_1\leftrightarrow F_2)$ позволяет удалить логическую связку эквиваленции и определить истинное значение формул $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_1)$.