Конспект урока по теме решение тригонометрических неравенств. Разработка урока "тригонометрические неравенства"

Тригонометрические неравенства. Решение простейших тригонометрических неравенств

Оборудование: ПК, проектор, экран, доска для маркеров.

Тип занятия: Изучение нового материала.

Тема занятия: Тригонометрические неравенства. Решение простейших тригонометрических неравенств.

Цели:

Образовательная цель:

сформировать навык решения простейших тригонометрических неравенств, используя графический метод решения неравенств;

познакомить студентов с основоположниками тригонометрии и историей ее развития.

Развивающая цель:

обеспечить условия для развития умений анализировать, выделять главное, устанавливать единые общие признаки и свойства;

применять знания на практике;

учиться критически оценивать свои знания.

Воспитательная цель:

воспитывать положительное отношение к знаниям;

воспитывать дисциплинированность и добросовестность при выполнении заданий;

воспитывать умение работать в парах (чувствовать индивидуальную ответственность за достижение результата).

Задачи:

повторить следующие темы по математике: решение квадратных неравенств графическим способом, преобразование графиков тригонометрических функций, понятие arcsin , arccos , arctg и arcctg числа, решение тригонометрических уравнений;

научить применять графический метод для решения простейших тригонометрических неравенств;

отработать навыки построения графиков тригонометрических функций;

расширить кругозор студентов об истории развития Тригонометрии;

для активизации познавательной деятельности студентов применять различные формы и методы работы на занятии: фронтальная, индивидуальная и групповая (работа в парах) формы работы, использование игровых технологий.

Структура занятия:

Организационный момент, проверка домашнего задания (5 мин.);

Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений в деятельности (10 мин.);

Объяснение нового материала (15 мин.);

Экспертная работа (10 мин.);

Самостоятельная работа в парах (15 мин.);

Домашнее задание (5 мин.);

Игра «Поле чудес» (15 мин.);

Рефлексия деятельности (итог урока) (5 мин.).

Пояснение к занятию: во время занятия студенты выставляют баллы в Рабочую карту занятия согласно правилам, описанным в данной карте. В конце занятия подводится итог работы студентов по количеству набранных баллов.

Ход занятия:

Организационный момент, проверка домашнего задания (5 мин.) .

Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом.».

Давайте сегодня на занятии будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте проверим домашнее задание на сегодня.

Проверка домашнего задания:

№ 151 (2, 4), № 153 (2), № 155 (2), № 157 (2)

За каждое правильно выполненное задание – 1 балл в рабочую карту занятия в колонку «Домашняя работа».

Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений в деятельности (10 мин.).

Тема нашего занятия – Тригонометрические неравенства. Решение простейших тригонометрических неравенств.

Давайте запишем дату и тему занятия в тетрадь.

Перед Вами на сегодня стоит задача – научиться применять свои знания и умения для решения тригонометрических неравенств.

Давайте сначала поработаем устно, чтобы вспомнить те понятия и приемы, которые нам понадобятся для изучения новой темы.

Устная работа:

Объяснение нового материала (10 мин.).

Если вспомнить определение тригонометрического уравнения – это уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции, тогда легко можно дать определение тригонометрического неравенства – это неравенство, содержащие переменную под знаком тригонометрической функции .

Для решения тригонометрических неравенств мы будем использовать графический метод.

Рассмотрим решение неравенства

Построим графики функций:
,
.

Определим точки пересечения данных графиков:

Заштрихуем область, при которой значения функции
больше

, если

Так как функция
периодическая (Т=
), значит,
,

Аналогично рассматривается решение неравенства

Ответ:
,

Экспертная работа (10 мин.).

К доске приглашаются студенты, хорошо разобравшиеся в материале и желающие ответить у доски, они будут выступать в роли экспертов, остальные студенты могут поправлять их решение по мере надобности с места.

Решить неравенства:

1.
Ответ:
,

2.
Ответ:
,

За работу у доски студенты получают 1-3 балла, за работу с места 1 балл.

Самостоятельная работа в парах (15 мин.).

Студенты выполняют задание, обмениваются тетрадями и проверяют работу соседа по парте, выставляя соответствующие баллы, ответы представлены на доске.

Для решения тригонометрических неравенств графическим способом можно использовать Приложение № 1 к данному занятию.

Вариант № 1

Решить неравенства:

Вариант № 2

Решить неравенства:

1.

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Ответ: решений нет, т. к.

Ответ: решений нет, т. к.

Ответ:

Ответ:

За каждое верное задание №1-№3-1 балл, № 4 – 2 балла.

Подведение итогов изучения новой темы. Студентам необходимо ответить на вопросы преподавателя.

Какой метод мы использовали для решения тригонометрических неравенств?

Что необходимо предпринять, чтобы решить тригонометрическое неравенство графическим способом?

Как влияет периодичность тригонометрических функций на ответ при решении тригонометрических неравенств?

За каждый правильный ответ студенты получают 1 балл в рабочую карту занятия в колонку «Устная работа».

Домашнее задание (5 мин.).

Сборник задач по математике Н.В. Богомолов

Дополнительное задание:

Игра «Поле чудес» (20 мин.).

Игра построена по принципу одноименной телевизионной игры. Преподаватель читает задание, студенты могут открыть любую букву, если выполнят скрытое в данной ячейке задание.

За каждую угаданную букву (решенное задание) студенты получают 1 балл, за отгаданное слово – 5 баллов.

Задание № 1

Ответ: Тригонометрия

Рефлексия деятельности (итог урока) (5 мин.).

Рабочая карта занятия

Студента _________________________________ группы « »

о/т- оценка товарища, о/у- оценка учителя, с/о – самооценка, о/г-оценка группы

Домашняя работа

с/о

Общее количество баллов, по 1 за каждое правильно выполненное задание.

Итог: _____

Устная работа

с/о

Общее количество баллов, по 1 за каждый правильный ответ и дополнительный балл за ответ по теории.

Итог: _____

Экспертная

работа (работа у доски)

о/г

1-3 балла за работу у доски,

1 балл за работу с места.

Итог: _____

Самостоятельная

работа в парах

о/т

За каждое верное задание

№1-№3-1 балл,

№ 4 – 2 балла.

Итог: _____

Игра «Поле чудес»

с/о

Общее количество баллов, по 1 за каждый правильный ответ и дополнительный балл за отгадывание слова.

Тема урока: Решение тригонометрических неравенств

Урок проведён в 11«а» классе школы №4 им. Горького г.Брянска (2007 г.).

Класс работает по учебнику

https://pandia.ru/text/80/202/images/image002_105.jpg" width="142 height=189" height="189">

Учитель : учитель высшей категории, заслуженный учитель РФ Нина Владимировна Кусачёва.

Цели урока :

1) Выявить приемы сведения тригонометрических неравенств к простейшим: рассмотрение сложного аргумента как простого; использование равносильных преобразований; применение тригонометрических формул.

2) Выявить способы решения тригонометрических неравенств: сведение к простейшему; введение новой переменной.

3) Научиться распознавать способы решения тригонометрических неравенств.

4) Научиться записывать ответ, если не используются табличные значения тригонометрических функций.

5) Совершенствовать умение решать тригонометрические неравенства.

6) Проверить умение решать простейшие тригонометрические неравенства.

Тип урока : урок совершенствования умений.

План урока :

1. Выявление приемов и способов решения тригонометрических неравенств, затруднений в выполнении домашнего задания через анализ решений наиболее сложных неравенств.

2. Совершенствование умения решать тригонометрические неравенства:

а) распознавание способов решения и повторение алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств;

б) работа с простейшим неравенством, где для записи ответа не используются табличные значения;

в) совершенствование умения решать неравенства, сводимые к простейшим тригонометрическим с использованием равносильных преобразований через сравнение неравенств;

г) совершенствование умения решать неравенства, сводимые к простейшим тригонометрическим с использованием формул приведения;

д) совершенствование умения решать тригонометрические неравенства за счет использования нескольких способов решения.

3. Самостоятельная работа по решению тригонометрических неравенств.

4. Постановка домашнего задания.

Ход урока :

1. Выявление приемов и способов решения тригонометрических неравенств, затруднений в выполнении домашнего задания через анализ решений наиболее сложных неравенств.

Учитель: (На доске записаны решения неравенств № 7, 8, 10 из домашней карточки).

Посмотрите на решение неравенства № 7. Какие у вас есть вопросы по какому-либо из этапов решения?

№7 sin x ≤ - cos x ;

sin x + cos x ≤0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image004_95.gif" width="24" height="41 src=">sin x + cos x ) ≤ 0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image005_84.gif" width="17" height="41">) ≤ 0;

sin (x + ) ≤ 0;

x + Î [ - π +2πn , 2πn ], n Î Z

x Î [ -5π/4 + 2πn ,- π/4+ 2πn ], n Î Z

Ответ: x Î [ -5π/4 +2πn ,- π/4+ 2πn ], n Î Z

Учитель: Тогда у меня есть несколько вопросов. Как была получена 3-я строка?

Учащиеся: Мы умножили и разделили каждое слагаемое на .

Учитель: Можно ли выполнять такое преобразование неравенства?

Учащиеся: Да, это преобразование является равносильным.

Учитель: С какой целью мы так поступали?

Учащиеся: Чтобы можно было применить тригонометрическую формулу сложения – синус суммы двух углов.

Учитель: Как иначе называется такой прием?

Учащиеся: Прием введения вспомогательного угла.

Учитель: Как догадались, что надо умножить и разделить каждое слагаемое именно на ?

Учащиеся: – это корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов в преобразуемом неравенстве.

Учитель: Назовите неравенство, которое можно считать простейшим и аргументируйте свой ответ.

Учащиеся: Неравенство sin (x + ) ≤ 0 можно считать простейшим, если рассматривать сложный аргумент (x + ) как простой, например, t .

Учитель: Итак, основной идеей решения неравенства № 7 является сведение к простейшему тригонометрическому неравенству. Давайте повторим, какие приёмы при этом использовали?

Учащиеся: 1) равносильные преобразования (перенос слагаемых; умножение и деление каждого слагаемого на одно и то же число; введение вспомогательного угла);

(Учитель помогает учащимся, указывая на ту или иную строчку решения).

Учитель: Посмотрите на решение неравенства № 8.

№ 8 sin 2x + https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" width="21" height="22">/2cos 2x ) ≥ 1;

2 sin (2x + π/3) ≥ 1;

sin (2x + π/3) ≥ 1/2;

2x + π/3 Î [π/6 + 2πn , 5π/6 + 2πn ], n Î Z;

x Î [-π/12 + πn , π/4 + πn ], n Î Z;

Ответ: x Î [-π/12 + πn , π/4 + πn ], n Î Z.

Какие у вас есть вопросы по какому-либо из этапов решения? (пауза) Какие приёмы использовали при решении этого неравенства?

Учащиеся: 1) равносильные преобразования (перенос слагаемых; умножение и деление каждого слагаемого на одно и то же число; введение вспомогательного угла, деление обеих частей неравенства на положительное число);

2) применение тригонометрической формулы,

3) рассматривали сложный аргумент как простой.

Учитель: Рассмотрите решение неравенства №10:

№10 cos 2 x – 2cos x >0;

Пусть cos x = t;

t 2 – 2t >0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image003_118.gif" width="22" height="21">;

2. cos (3π/2 + x ) < -/2;

3. cos (π + 2x ) – 1 ≥ 0;

4. sin x > 2/3;

5. 5cos (x – π/6) – 1 ≥ 0;

6. 4sin 2 3x < 3.

Учитель: Выделите неравенства, которые требуют применения равносильных преобразований при сведении тригонометрического неравенства к простейшему?

Учащиеся: 1, 3, 5.

Учитель: Назовите неравенства, в которых требуется рассмотреть сложный аргумент как простой?

Учащиеся: 1, 2, 3, 5, 6.

Учитель: Назовите неравенства, где можно применить тригонометрические формулы?

Учащиеся: 2, 3, 6.

Учитель: Назовите неравенства, где можно применить метод введения новой переменной?

Учащиеся: 6.

Учитель: Сейчас мы начнём решать неравенства с простейшего и научимся записывать ответ, если не используются табличные значения. Но вначале ответьте, верно ли, что простейшие тригонометрические неравенства можно решать по алгоритму, записанному на доске:

Алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств

1. Устно заменяем неравенство уравнением. Чертим единичную окружность и отмечаем на ней точки, соответствующие уравнению.

2. Отмечаем точки окружности, соответствующие неравенству, т. е. выделяем соответствующую дугу.

3. Указываем направление отсчёта.

4. Находим начало дуги и угол, ему соответствующий.

5. Находим угол, соответствующий концу дуги.

6. Записываем ответ в виде промежутка с учетом периодичности функции.

Учитель: В таком ли порядке вы решали простейшие неравенства?

Учащиеся: Да.

Комментарий. Задание на анализ списка неравенств с позиций способов их решения позволяет отработать их распознавание. При формировании умений важно выделять этапы его выполнения и формулировать их в общем виде, что и представлено в алгоритме решения простейших тригонометрических неравенств.

б) Работа с простейшим неравенством, где для записи ответа не используются табличные значения.

Учитель: Начнём решать с неравенства № 4.

Организация дальнейшей работы:

https://pandia.ru/text/80/202/images/image010_58.gif" width="204" height="130">Один ученик решает неравенство у доски, проговаривая каждый шаг алгоритма вслух

5cos (x – π/6) – 1 ≥ 0;

cos (x – π/6) ≥ 1/5;

x – π/6 Î [-arccos 1/5 + 2πn , arccos 1/5 + 2πn ], n Î Z;

x Î [π/6 – arccos 1/5 + 2πn , π/6 + arccos 1/5 + 2πn ], n Î Z.

По завершении решения учитель задает ученику, решавшему неравенство у доски, следующие вопросы:

Учитель: Как изменился бы ответ, если было дано строгое неравенство?

Учащийся: Тогда квадратные скобки заменили бы на круглые.

Учитель: Как бы записали ответ в случае, если было дано неравенство cos (x – π/6) ≤ 1/5?

Учащийся: x Î [π/6 + arccos 1/5 + 2πn , 13π/6 – arccos 1/5 + 2πn ], n Î Z.

Учитель: Какие способы сведения к простейшему тригонометрическому неравенству использовались?

Учащийся: Применяли равносильные преобразования (перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, деление обеих частей неравенства на положительное число); рассматривали сложный аргумент как простой.

Учитель: (обращаясь к классу); есть ли вопросы или замечания к отвечающему? (ученик отвечает на вопросы учащихся и соглашается или нет с замечаниями, затем садится на место).

Учитель: На какое неравенство похоже неравенство №1 и чем?

Учащиеся: На неравенство № 5 способом сведения к простейшему; на неравенство № 4 расположением дуги.

Учитель: Решите устно неравенство № 1: 2sin (x – π/4) ≥ .

Учащиеся: Ответ: x Î [ π/2 + 2πn , π + 2πn ], n Î Z.

Комментарий. Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства способствуют вопросы: «Каким способом будем решать группу неравенств?»; «Чем одно неравенство отличается от другого?»; «Чем одно неравенство похоже на другое?»; Как изменился бы ответ, если было дано строгое неравенство?»; Как изменился бы ответ, если было вместо знака «>» стоял знак «<»?»; «Какие способы сведения к простейшему тригонометрическому неравенству использовались при решении данного неравенства?»; «Есть ли вопросы или замечания к отвечающему?». Оправдана такая организация работы, когда один ученик у доски решает неравенство, проговаривая каждый шаг алгоритма вслух, поскольку предложенное неравенство № 5 содержит косинус, а не синус, как это было на предыдущем этапе. Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства способствует и устное решение с предварительным обсуждением некоторых опор: «На какое неравенство похоже данное и чем?».

г) Совершенствование умения решать неравенства, сводимые к простейшим тригонометрическим с использованием формул приведения.

Учитель: Рассмотрим неравенство № 2 cos (3π/2 + x )< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image011_55.gif" width="217" height="126 src=">Желающий ученик решает неравенство у доски, не проговаривая решения:

cos (3π/2 + x )< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" width="21" height="22 src=">/2;

Ответ: x Î (- 2π/3 + 2πn ,-π/3 + 2πn ), n Î Z.

По завершении решения учащиеся проверяют оформление и, если необходимо, делают замечания. После чего учитель задает отвечающему следующие вопросы:

Учитель: Чем это неравенство отличается от решённых ранее?

Учащийся: Это неравенство было сведено к простейшему с использований формулы приведения.

Учитель: Есть ли еще неравенство, которое можно решить этим способом?

Учащийся: № 3.

Учитель: Устно решим неравенство, комментируя ход решения.

Учащиеся: (по порядку комментируют ход решения, учитель вносит изменения в неравенство)

№ 3 cos (π + 2x ) – 1 ≥ 0;

cos (π + 2x ) ≥ 1;

- cos 2x ≥ 1;

cos 2x ≤ -1

2x = -π + 2πn , n Î Z;

x = -π/2 + πn , n Î Z.

Учитель: Итак, какова особенность решения данного неравенства?

Учащиеся: Его решение свелось к решению уравнения.

Учитель: Итак, как вы будете действовать в дальнейшем, когда увидите, что аргумент у тригонометрической функции сложный?

Учащиеся: Мы посмотрим, нельзя ли использовать формулы приведения, чтобы упростить аргумент.

Учебная дисциплина: Математика.

Тема: «Решение простейших тригонометрических неравенств»

Тип урока: урок усвоения нового материала с элементами первичного закрепления.

Цели урока:

1) образовательные:

показать алгоритм решения тригонометрических неравенств с использованием единичной окружности.

учить решать простейшие тригонометрические неравенства.

2) развивающие:

развитие умения обобщать полученные знания;

развитие логического мышления;

развитие внимания;

развитие у учащихся грамотной устной и письменной математической речи.

3) воспитательные:

учить высказывать свои идеи и мнения;

формировать умения помогать товарищам и поддерживать их;

формировать умения определять, чем взгляды товарищей отличаются от собственных.

Методическая цель: показать технологию овладения знаниями на уроке изучения новых знаний.

Методы обучения:

наглядно - иллюстративный;

Дидактическая цель урока: Создание условий:

для соединения новой информации с уже изученным материалом;

для развития умения осуществлять анализ и отбор необходимой информации;

для развития умений делиться своими идеями и мнениями.

для развития логики, навыков рефлексии.

Форма организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная.

Оборудование:

учебник Колмогорова А. Н. «Алгебра и начала анализа», 10-11 класс;

проектор, доска;

презентация MS PowerPoint.

План урока:

Организационный момент(1 мин) ;

Проверка домашнего задания(7 мин) ;

Изучение нового материала (31 мин) ;

Домашнее задание(3 мин);

Подведение итогов (3 мин)

Тема урока: Решение простейших тригонометрических неравенств.

Выполнила: преподаватель математики КГБОУ НПО «ПУ №44» Мозер О. С.

Этапы деятельности