Во всем предыдущем изложении мы определяли поперечные размеры стержней из условий прочности. Однако разрушение стержня может произойти не только потому, что будет нарушена прочность, но и оттого, что стержень не сохранит той формы, которая ему придана конструктором; при этом изменится и характер напряженного состояния в стержне.
Наиболее типичным примером является работа стержня, сжатого силами Р . До сих пор для проверки прочности мы имели условие
Это условие предполагает, что стержень все время, вплоть до разрушения работает на осевое сжатие. Уже простейший опыт показывает, что далеко не всегда возможно разрушить стержень путем доведения напряжений сжатия до предела текучести или до предела прочности материала.
Если мы подвергнем продольному сжатию тонкую деревянную линейку, то она может сломаться, изогнувшись; перед изломом сжимающие силы, при которых произойдет разрушение линейки, будут значительно меньше тех, которые вызвали бы при простом сжатии напряжение, равное пределу прочности материала. Разрушение линейки произойдет потому, что она не сможет сохранить приданную ей форму прямолинейного, сжатого стержня, а искривится, что вызовет появление изгибающих моментов от сжимающих сил Р и, стало быть, добавочные напряжения от изгиба; линейка потеряет устойчивость.
Поэтому для надежной работы конструкции мало, чтобы она была прочна; надо, чтобы все ее элементы были устойчивы : они должны при действии нагрузок деформироваться в таких пределах, чтобы характер их работы оставался неизменным. Поэтому в целом ряде случаев, в частности, для сжатых стержней, помимо проверки на прочность, необходима и проверка на устойчивость. Для осуществления этой проверки надо ближе ознакомиться с условиями, при которых устойчивость прямолинейной формы сжатого стержня нарушается.
Рис.1. Расчетная схема
Возьмем достаточно длинный по сравнению с его поперечными размерами стержень, шарнирно-прикрепленный к опорам (Рис.1), и нагрузим его сверху центрально силой Р , постепенно возрастающей. Мы увидим, что пока сила Р сравнительно мала, стержень будет сохранять прямолинейную форму. При попытках отклонить его в сторону, например путем приложения кратковременно действующей горизонтальной силы, он будет после ряда колебаний возвращаться к первоначальной прямолинейной форме, как только будет удалена добавочная сила, вызвавшая отклонение.
При постепенном увеличении силы Р стержень будет все медленнее возвращаться к первоначальному положению при проверках его устойчивости; наконец, можно довести силу Р до такой величины, при которой стержень, после небольшого отклонения его в сторону, уже не выпрямится, а останется искривленным. Если мы, не удаляя силы Р , выпрямим стержень, он уже, как правило, не сможет сохранить прямолинейную форму. Другими словами, при этом значении силы Р , называемом критическим , мы будем иметь такое состояние равновесия, когда исключается вероятность сохранения стержнем заданной ему прямолинейной формы).
Переход к критическому значению силы Р происходит внезапно ; стоит нам очень немного уменьшить сжимающую силу по сравнению с ее критической величиной, как прямолинейная форма равновесия вновь делается устойчивой.
С другой стороны, при очень небольшом превышении сжимающей силой Р ее критического значения прямолинейная форма стержня делается крайне неустойчивой ; достаточно при этом небольшого эксцентриситета приложенной силы, неоднородности материала по сечению, чтобы стержень искривился, и не только не вернулся к прежней форме, а продолжал искривляться под действием все возрастающих при искривлении изгибающих моментов; процесс искривления заканчивается либо достижением совершенно новой (устойчивой) формы равновесия, либо разрушением.
Исходя из этого, мы должны практически считать критическую величину сжимающей силы эквивалентной нагрузке, «разрушающей» сжатый стержень, выводящей его (и связанную с ним конструкцию) из условий нормальной работы. Конечно, при этом надо помнить, что «разрушение» стержня нагрузкой, превышающей критическую, может происходить при непременном условии беспрепятственного возрастания искривления стержня; поэтому если при боковом выпучивании стержень встретит боковую опору, ограничивающую его дальнейшее искривление, то разрушение может и не наступить.
Обычно подобная возможность является исключением; поэтому практически следует считать критическую сжимающую силу низшим пределом «разрушающей» стержень силы.
Рис.2. Аналогия понятия устойчивости из механики твердого тела
Явление потери устойчивости при сжатии можно по аналогии иллюстрировать следующим примером из механики твердого тела (рис.2). Будем вкатывать цилиндр на наклонную плоскость ab , которая потом переходит в короткую горизонтальную площадку bс и наклонную плоскость обратного направления cd . Пока мы поднимаем цилиндр по плоскости ab , поддерживая его при помощи упора, перпендикулярного к наклонной плоскости, он будет в.состоянии устойчивого равновесия; на площадке bс его равновесие делается безразличным; стоит же нам поместить цилиндр в точку с, как его равновесие сделается неустойчивым при малейшем толчке вправо цилиндр начнет двигаться вниз.
Описанную выше физическую картину потери устойчивости сжатым стержнем легко осуществить в действительности в любой механической лаборатории на очень элементарной установке. Это описание не является какой-то теоретической, идеализированной схемой, а отражает поведение реального стержня под действием сжимающих сил.
Потерю устойчивости прямолинейной формы сжатого стержня иногда называют «продольным изгибом», так как она влечет за собой значительное искривление стержня под действием продольных сил. Для проверки на устойчивость сохранился и до сих пор термин «проверка на продольный изгиб», являющийся условным, так как здесь речь должна идти не о проверке на изгиб, а о проверке на устойчивость прямолинейной формы стержня.
Установив понятие о критической силе, как о «разрушающей» нагрузке, выводящей стержень из условий его нормальной работы, мы легко можем составить условие для проверки на устойчивость, аналогичное условию прочности.
Критическая сила вызывает в сжатом стержне напряжение, называемое «критическим напряжением» и обозначаемое буквой . Критические напряжения являются опасными напряжениями для сжатого стержня. Поэтому, чтобы обеспечить устойчивость прямолинейной формы стержня, сжатого силами Р , необходимо к условию прочности добавить еще условие устойчивости:
где допускаемое напряжение на устойчивость, равное критическому, деленному на коэффициент запаса на устойчивость, т. е. .
Для возможности осуществить проверку на устойчивость мы должны показать, как определять и как выбрать коэффициент запаса .
Формула Эйлера для определения критической силы.
Для нахождения критических напряжений надо вычислить критическую силу , т. е. наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень.
Эту задачу впервые решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.
Заметим, что самая постановка задачи иная, чем во всех ранее рассмотренных отделах курса. Если раньше мы определяли деформацию стержня при заданных внешних нагрузках, то здесь ставится обратная задача: задавшись искривлением оси сжатого стержня, следует определить, при каком значении осевой сжимающей силы Р такое искривление возможно.
Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам; одна из опор допускает возможность продольного перемещения соответствующего конца стержня (рис.3). Собственным весом стержня пренебрегаем.
Рис.3. Расчетная схема в «задаче Эйлера»
Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжимающими силами и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости; стержень удерживается в искривленном состоянии, что возможно, так как .
Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня. Выбрав начало координат в точке А и направление координатных осей, как показано на рис.3, имеем:
|
Возьмем сечение на расстоянии х от начала координат; ордината изогнутой оси в этом сечении будет у , а изгибающий момент равен
По исходной схеме изгибающий момент получается отрицательным, ординаты же при выбранном направлении оси у оказываются положительными. (Если бы стержень искривился выпуклостью книзу, то момент был бы положительным, а у отрицательным и .)
Приведенное только что дифференциальное уравнение принимает вид:
деля обе части уравнения на EJ и обозначая дробь через приводим его к виду:
Общий интеграл этого уравнения имеет вид.
Иркутский государственный университет путей сообщения
Лабораторная работа № 16
по дисциплине«Сопротивление материалов»
ОПЫТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СИЛ
ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ИЗГИБЕ
Кафедра ПМ
Лабораторная работа № 16
Опытное определение критических сил при продольном изгибе
Цель работы: исследование явления потери устойчивости сжатого стального стержня в упругой
стадии. Экспериментальное определение значений критических нагрузок сжатых
стержней при различных способах закрепления и сравнение их с теоретическими
значениями.
Сжатые стержни недостаточно проверять на прочность по известному условию:
,
где [σ] – допускаемое напряжение для материала стержня, P – сжимающая сила, F – площадь поперечного сечения.
В практической деятельности инженеры имеют дело с подвергающимися сжатию гибкими стержнями, тонкими сжатыми пластинами, тонкостенными конструкциями, выход из строя которых вызывается ен потерей несущей способности, а потерей устойчивости.
Под потерей устойчивости понимается потеря первоначальной формы равновесия.
В сопротивлении материалов рассматривается устойчивость элементов конструкций, работающих на сжатие.
Рассмотрим длинный тонкий стержень (рис. 1), нагруженный осевой сжимающей силой P .
P < P кр P > P кр
Рис. 1. Стержень, нагруженный осевой сжимающей силой P .
При малых значениях силы F стержень сжимается, оставаясь прямолинейным. Причем, если стержень отклонить от этого положения небольшой поперечной нагрузкой, то он изогнется, но при снятии ее стержень возвращается в прямолинейное состояние. Это значит, что при данной силе P прямолинейная форма равновесия стержня устойчива.
Если продолжить увеличивать сжимающую силу P , то при некотором ее значении прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой и возникает новая форма равновесия стержня - криволинейная (рис. 1, б). Вследствие изгиба стержня в его сечениях появится изгибающий момент, который вызовет дополнительные напряжения, и стержень может внезапно разрушиться.
Искривление длинного стержня, сжимаемого продольной силой, называется продольным изгибом .
Наибольшее значение сжимающей силы, при котором прямолинейная форма равновесия стержня устойчива, называется критическим - P кр .
При достижении критической нагрузки происходит резкое качественное изменение первоначальной формы равновесия, что ведет к выходу конструкции из строя. Поэтому критическая сила рассматривается как разрушающая нагрузка.
Формулы Эйлера и Ясинского
Задачу определения критической силы сжатого стержня впервые решил член Петербургской академии наук Л. Эйлер в 1744 г. Формула Эйлера имеет вид
(1)
где Е – модуль упругости материала стержня; J min - наименьший момент инерции поперечного сечения стержня (поскольку искривление стержня при потере устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, т. е. поперечные сечения стержня поворачиваются вокруг оси, относительно которой момент инерции минимален, т.е. либо вокруг оси x , либо вокруг оси y );
(μ·l ) – приведенная длина стержня, это произведение длины стержня l на коэффициент μ, зависящий от способов закрепления концов стержня.
Коэффициент μ называют коэффициентом приведения длины ;его значение для наиболее часто встречающихся случаев закрепления концов стержня приведены на рис. 2:
а - оба конца стержня закреплены шарнирно и могут сближаться;
б - один конец жестко защемлен, другой свободен;
в - один конец закреплен шарнирно, второй имеет «поперечно-плавающую заделку»;
г - один конец жестко защемлен, второй имеет «поперечно-плавающую заделку»;
д - один конец заделан жестко, на другом шарнирно-подвижная опора;
е - оба конца жестко защемлены, но могут сближаться.
Из этих примеров видно, что коэффициент μ представляет собой величину, обратную числу полуволн упругой линии стержня при потере устойчивости.
Рис. 2. Коэффициент μ для наиболее часто
встречающихся случаев закрепления концов стержня.
Нормальное напряжение в поперечном сечении сжатого стержня, соответствующее критическому значению сжимающей силы, также называется критическим.
Определим его исходя из формулы Эйлера:
(2)
Геометрическую характеристику сечения i min , определяемую по формуле
называют радиусом инерции сечения (относительно оси с J min ). Для прямоугольного сечения
С учетом (3) формула (2) примет вид:
(4)
Отношение приведенной длины стержня к минимальному радиусу инерции его поперечного сечения по предложению профессора Санкт-Петербургского института инженеров путей сообщения Ф.С. Ясинского (1856-1899) называют гибкостью стержня и обозначают буквой λ :
В этой безразмерной величине одновременно отражаются такие параметры: длина стержня, способ его закрепления и характеристика поперечного сечения.
Окончательно, подставив (5) в формулу (4), получим
При выводе формулы Эйлера предполагалось, что материал стержня упруг и следует закону Гука. Следовательно, формулу Эйлера можно применять только при напряжениях, меньших предела пропорциональности σ пц , т. е. когда
Этим условием определяется предел применимости формулы Эйлера:
Величину, стоящую в правой части этого неравенства, называют предельной гибкостью :
ее значение зависит от физико-механических свойств материала стержня.
Для низкоуглеродистой стали Ст. 3, у которой σ пц = 200 МПа, Е = 2· 10 5 МПа:
Аналогично можно вычислить значение предельной гибкости для других материалов: для чугуна λ пред = 80, для сосны λ пред = 110.
Таким образом, формула Эйлера применима для стержней, гибкость которых больше или равна предельной гибкости , т. е.
λ ≥ λ пред
Понимать это надо так: если гибкость стержня больше предельной гибкости, то критическую силу надо определять по формуле Эйлера.
При λ < λ пред формула Эйлера для стержней неприменима. В этих случаях, когда гибкость стержней меньше предельной, при расчетах пользуются эмпирической формулой Ясинского :
σ кр = a – b·λ , (7)
где а и b - определяемые опытным путем коэффициенты, постоянные для данного материала; они имеют размерность напряжения.
При некотором значении гибкости λ о напряжение σ кр , вычисленное по формуле (7), становится равным предельному напряжению при сжатии, т. е. пределу текучести σ т для пластичных материалов или пределу прочности при сжатии σ вс – для хрупких материалов. Стержни малой гибкости (λ < λ о )рассчитывают не на устойчивость, а на прочность при простом сжатии.
Таким образом, в зависимости от гибкости расчет сжатых стержней на устойчивость производится различно.
В конструкциях и сооружениях большое применение находят детали, являющиеся относительно длинными и тонкими стержнями, у которых один или два размера поперечного сечения малы по сравнению с длиной стержня. Поведение таких стержней под действием осевой сжимающей нагрузки оказывается принципиально иным, чем при сжатии коротких стержней: при достижении сжимающей силой F некоторой критической величины, равной Fкр, прямолинейная форма равновесия длинного стержня оказывается неустойчивой, и при превышении Fкр стержень начинает интенсильно искривляется (выпучивается). При этом новым (моментным) равновесным состоянием упругого длинного становится некоторая новая уже криволинейная форма. Это явление носит название потери устойчивости.
Рис. 37. Потеря устойчивости
Устойчивость – способность тела сохранять положение или форму равновесия при внешних воздействиях.
Критическая сила (Fкр) – нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной формы (положения) тела. Условие устойчивости:
Fmax ≤ Fкр, (25)
Устойчивость сжатого стержня. Задача Эйлера .
При определении критической силы, вызывающей потерю устойчивости сжатого стержня, предполагается, что стержень идеально прямой и сила F приложена строго центрально. Задачу о критической нагрузке сжатого стержня с учетом возможности существования двух форм равновесия при одном и том же значении силы решил Л. Эйлер в 1744 году.
Рис. 38. Сжатый стержень
Рассмотрим шарнирно опертый по концам стержень, сжатый продольной силой F. Положим, что по какой-то причине стержень получил малое искривление оси, вследствие чего в нем появился изгибающий момент M:
где y – прогиб стержня в произвольном сечении с координатой x.
Для определения критической силы можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением упругой линии:
(26)
Проведя преобразования, можно увидеть, что минимальное значение критическая сила примет при n = 1 (на длине стержня укладывается одна полуволна синусоиды) и J = Jmin (стержень искривляется относительно оси с наименьшим моментом инерции)
(27)
Это выражение – формула Эйлера.
Зависимость критической силы от условий закрепления стержня.
Формула Эйлера была получена для, так называемого, основного случая – в предположении шарнирного опирания стержня по концам. На практике встречаются и другие случаи закрепления стержня. При этом можно получить формулу для определения критической силы для каждого из этих случаев, решая, как в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение изогнутой оси балки с соответствующими граничными условиями. Но можно использовать и более простой прием, если вспомнить, что, при потере устойчивости на длине стержня должна укладываться одна полуволна синусоиды.
Рассмотрим некоторые характерные случаи закрепления стержня по концам и получим общую формулу для различных видов закрепления.
Рис. 39. Различные случаи закрепления стержня
Общая формула Эйлера:
(28)
где μ·l = l пр – приведенная длина стержня; l – фактическая длина стержня; μ – коэффициент приведенной длины, показывающий во сколько раз необходимо изменить длину стержня, чтобы критическая сила для этого стержня стала равна критической силе для шарнирно опертой балки. (Другая интерпретация коэффициента приведенной длины: μ показывает, на какой части длины стержня для данного вида закрепления укладывается одна полуволна синусоиды при потере устойчивости.)
Таким образом, окончательно условие устойчивости примет вид
(29)
Рассмотрим два вида расчета на устойчивость сжатых стержней – проверочный и проектировочный.
Проверочный расчет
Порядок проверочного расчета на устойчивость выглядит так:
– исходя из известных размеров и формы поперечного сечения и условий закрепления стержня, вычисляем гибкость;
– по справочной таблице находим коэффициент понижения допускаемого напряжения, затем определяем допускаемое напряжение на устойчивость;
– сравниваем максимальное напряжение с допускаемым напряжением на устойчивость.
Проектировочный расчет
При проектировочном расчете (подобрать сечение под заданную нагрузку) в расчетной формуле имеются две неизвестные величины – искомая площадь поперечного сечения A и неизвестный коэффициент φ (так как φ зависит от гибкости стержня, а значит и от неизвестной площади A). Поэтому при подборе сечения обычно приходится пользоваться методом последовательных приближений.
Определим критическую силу для центрально сжатого стержня, шарнирно опертого по концам (рис. 13.4). При небольших значениях силы Р ось стержня остается прямой и в его сечениях возникают напряжения центрального сжатия о = P/F. При критическом значении силы Р = Р становится воз- можной искривленная форма равновесия стержня.
Возникает продольный изгиб. Изгибающий момент в произвольном сечении х стержня равен
Важно заметить, что изгибающий момент определяется для деформированного состояния стержня.
Если предположить, что напряжения изгиба, возникающие в поперечных сечениях стержня от действия критической силы, не превосходят предел пропорциональности материала о пц и прогибы стержня малы, то можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня (см. § 9.2)
Введя обозначение
получим вместо (13.2) следующее уравнение:
Общее решение этого уравнения имеет вид
Это решение содержит три неизвестных: постоянные интегрирования Cj, С 2 и параметр к, так как величина критической силы также неизвестна. Для определения этих трех величин имеются только два граничных условия: и(0) = 0, v(l ) = 0. Из первого граничного условия следует, что С 2 = 0, а из второго получим
Из этого равенства следует, что либо С { = 0, либо sin kl = 0. В случае С, = 0 прогибы во всех сечениях стержня равны нулю, что противоречит исходному предположению задачи. Во втором случае kl = пк, где п - произвольное целое число. С учетом этого по формулам (13.3) и (13.5) получим
Рассмотренная задача является задачей на собственные значения. Найденные числа к = пк/1 называются собственными числами, а соответствующие им функции - собственными функциями.
Как видно из (13.7), в зависимости от числа п сжимающая сила Р (я) , при которой стержень находится в изогнутом состоянии, теоретически может принимать целый ряд значений. При этом согласно (13.8) стержень изгибается по п полуволнам синусоиды (рис. 13.5).
Наименьшее значение силы будет при п = 1:
Эта сила носит название первой критической силы. При этом kl = к и изогнутая ось стержня представляет собой одну полуволну синусоиды (рис. 13.5, а):
где С{ 1} =/ - прогиб в середине длины стержня, что следует из (13.8) при п = 1 их = 1/2.
Формула (13.9) была получена Леонардом Эйлером и называется формулой Эйлера для критической силы.
Все формы равновесия (рис. 13.5), кроме первой (п = 1), неустойчивы и потому не представляют практического интереса. Формы равновесия, соответствующие п - 2, 3, ..., будут устойчивыми, если в точках перегиба упругой линии (точки С и С" на рис. 13.5, б, в) ввести дополнительные шарнирные опоры.
Полученное решение обладает двумя особенностями. Во-первых, решение (13.10) не является единственным, так как произвольная постоянная Cj (1) =/ осталась неопределенной, несмотря на использование всех граничных условий. В результате прогибы оказались определены с точностью до постоянного множителя. Во- вторых, это решение не дает возможности описать состояние стержня при Р > Р кр. Из (13.6) следует, что при Р = Р кр стержень может иметь искривленную форму равновесия при условии kl = к. Если же Р > Р кр, то kl Ф п, и тогда должно быть Cj (1) = 0. Это означает, что v = 0, то есть стержень после искривления при Р = Р кр вновь приобретает прямолинейную форму при Р > Р. Очевидно, что это противоречит физическим представлениям об изгибе стержня.
Эти особенности связаны с тем, что выражение (13.1) для изгибающего момента и дифференциальное уравнение (13.2) получены для деформированного состояния стержня, в то время как при постановке граничного условия на конце х = / осевое перемещение и в этого конца (рис. 13.6) вследствие изгиба не учитывалось. Действительно, если пренебречь укорочением стержня за счет центрального сжатия, то нетрудно представить, что прогибы стержня будут иметь вполне определенные значения, если задать величину и в.
Из этого рассуждения становится очевидным, что для определения зависимости прогибов от величины сжимающей силы Р необходимо вместо граничного условия v(l) = 0 использовать уточненное граничное условие v(l - и в) = 0. При этом установлено, что если сила превосходит критическое значение всего на 1+2%, прогибы становятся достаточно большими и необходимо пользоваться точным нелинейным дифференциальным уравнением продольного изгиба
Это уравнение отличается от приближенного уравнения (13.4) первым слагаемым, представляющим собой точное выражение для кривизны изогнутой оси стержня (см. § 9.2).
Решение уравнения (13.11) достаточно сложно и выражается через полный эллиптический интеграл первого рода.
Рассмотрим стержень длиной /, один конец которого закреплен жестко, а на другом свободном конце приложена центральная сжимающая сила F (рис. 15.8).
Рис . 15.8.
Общее решение задачи, записанное в виде формулы (15.15), в этом случае остается в силе. Что же касается граничных условий, то они запишутся в следующем виде:
Искомое решение можно найти и иначе. Условно продолжим стержень вправо от защемленной опоры на длину / симметрично левой части, и тогда вместо граничных условий (15.21), получим новые условия:
Таким образом, новая задача фактически совпала с рассмотренной выше задачей Эйлера. Различие состоит только в том, что в конечном результате (15.20) длину / следует заменить на 21:
Формулу Эйлера можно обобщить также на другие случаи закрепления концов стержня. Для этого в расчетную формулу Эйлера вводится поправочный коэффициент р, называемый коэффициентом приведения длины стержня:
Коэффициент численно равен обратному числу от количества полуволн синусоиды, укладывающихся вдоль изогнутой оси стержня. На рис. 15.9 представлены различные виды крепления концов стержня и соответствующие им коэффициенты приведения длины.
Можно показать, что для первых трех стержней, изображенных на рис. 15.9, а - в, значения коэффициента приведенной длины точное. Что же касается четвертой задачи, то для нее значение приведенной длины определено приближенно. Рассмотрим задачу определения р для этого случая (рис. 15.9, г).
Уравнение деформированной оси стержня имеет вид
Здесь R - величина горизонтальной реактивной силы верхней опоры.
Рис. 15.9.
После преобразования уравнения (15.25) с учетом формулы (15.13) получим
Уравнение (15.26), в отличие от уравнения (15.14), является неоднородным. Его общее решение запишется так же, как и общее решение соответствующего однородного уравнения (15.14). Частное решение имеет вид
Таким образом, решение уравнение (15.25) запишется в форме
В этом решении величина R играет роль третьей неизвестной константы, п поэтому для решения этой задачи необходимо сформулировать третье граничное условие:
Используя граничные условия, получим систему трех нелинейных уравнений
Раскрывая определитель, приходим к следующему нелинейному уравнению:
Решение нелинейного уравнения (15.29) можно получить как численно, так и графически. Для наглядности выберем второй способ решения. Построим графики следующих функций: у = tgkl, у = kl (рис. 15.10).
Рис. 15.10. Графики функций у = tg kl, у = kl
Точка пересечения графиков С соответствует значению корня kl ~ 4,5, откуда
В формулу для критической силы входит главный центральный момент инерции относительно оси Oz - / Ю1 . = так как мы загодя сделали предположение о том, что стержень теряет устойчивость и изгибается в направлении, перпендикулярном к оси Ох. Однако, как уже отмечалось, если при этом условия закрепления опор позволяют стержню деформироваться в любом направлении равновероятно, то стержень потеряет устойчивость в том направлении, в котором момент инерции его поперечного сечения имеет минимальное значение 7 min .
Если же условия закрепления более сложные, то для оценки критической силы необходим дополнительный анализ. Для примера рассмотрим стержень (рис. 15.11), левая опора которого жестко заделана. Что касается правой опоры, то здесь заданы условия подвижной заделки, разрешающей перемещения и повороты в плоскости ху и запрещающие их в плоскости zx. Поперечное сечение стержня - прямоугольное с отношением сторон Н = 2В.
Рис. 15.11.
Закреплению стержня в плоскости ху соответствует коэффициент приведения длины р = 2 (см. рис. 15.8), а в плоскости xz - р = 0,5 (см. рис. 15.9, а).
Подсчитаем критические силы в предположении о том, что потеря устойчивости произойдет: 1) в плоскости ху и 2) в плоскости xz:
Сравнивая значения, заключаем: потеря устойчивости произойдет в плоскости ху , поскольку этому варианту соответствует меньшее значение критической силы.
