Что называется траекторией движущейся материальной точки. Траектория движения точки и её перемещение

Основные понятия кинематики и кинематические характеристики

Движение человека является механическим, то есть это изменение тела или его частей относительно других тел. Относительное перемещение описывает кинематика.

Кинематика – раздел механики, в котором изучается механическое движение, но не рассматриваются причины, вызывающие это движение . Описание движения как тела человека (его частей) в различных видах спорта, так и различных спортивных снарядов являются неотъемлемой частью спортивной биомеханики и в частности кинематики.

Какой бы материальный объект или явление мы не рассматривали, окажется что вне пространства и вне времени ничего не существует. Любой предмет имеет пространственные размеры и форму, находится в каком-то месте пространства по отношению к другому предмету. Любой процесс, в котором участвуют материальные объекты, имеет во времени начало и конец, сколько то длится во времени, может совершаться раньше или позже другого процесса. Именно по этому возникает необходимость измерять пространственную и временную протяжённости.

Основные единицы измерения кинематических характеристик в международной системе измерений СИ.

Пространство. Одна сорокамиллионная часть длины земного меридиана, проходящего через Париж, была названа метром. Поэтому длина измеряется в метрах (м) и кратных ему единицах измерения: километрах (км), сантиметрах (см) и т. д.

Время – одно из фундаментальных понятий. Можно сказать, что это то, что отделяет два последовательных события. Один из способов измерить время – это использовать любой регулярно повторяющийся процесс. Одна восьмидесяти шести тысячная часть земных суток была выбрана за единицу времени и была названа секундой (с) и кратных ей единицах (минутах, часах и т. д.).

В спорте используются специальные временные характеристики:

Момент времени (t) - это временная мера положения материальной точки, звеньев тела или системы тел . Моментами времени обозначают начало и окончание движения или какой либо его части или фазы.

Длительность движения (∆t) – это его временная мера, которая измеряется разностью моментов окончания и начала движения ∆t = tкон. – tнач.

Темп движения (N) – это временная мера повторности движений, повторяющихся в единицу времени . N = 1/∆t; (1/c) или (цикл/c).

Ритм движений – это временная мера соотношения частей (фаз) движений . Он определяется по соотношению длительности частей движения.

Положение тела в пространстве определяют относительно некоторой системы отсчёта, которая включает в себя тело отсчёта (то есть относительно чего рассматривается движение) и систему координат, необходимую для описания на качественном уровне положение тела в той или иной части пространства.

С телом отсчёта связывают начало и направление измерения. Например, в целом ряде соревнований началом координат можно выбрать положение старта. От него уже рассчитывают различные соревновательные дистанции во всех циклических видах спорта. Тем самым в выбранной системе координат «старт – финиш» определяют расстояние в пространстве, на которое переместится спортсмен при движении. Любое промежуточное положение тела спортсмена во время движения характеризуется текущей координатой внутри выбранного дистанционного интервала.

Для точного определения спортивного результата правилами соревнований предусматривается по какой точке (пункт отсчёта) ведётся отсчёт: по носку конька конькобежца, по выступающей точке грудной клетки бегуна-спринтера, или по заднему краю следа приземляющегося прыгуна в длину.

В некоторых случаях для точного описания движения законов биомеханики вводится понятие материальная точка.

Материальная точка – это тело, размерами и внутренней структурой которого в данных условиях можно пренебречь .

Движение тел по характеру и интенсивности могут быть различными. Чтобы охарактеризовать эти различия, в кинематике вводят ряд терминов, представленных ниже.

Траектория – линия, описываемая в пространстве движущейся точкой тела . При биомеханическом анализе движений прежде всего рассматривают траектории движений характерных точек человека. Как правило, такими точками являются суставы тела. По виду траектории движений делят на прямолинейные (прямая линия) и криволинейные (любая линия, отличная от прямой).

Перемещение – это векторная разность конечного и начального положения тела . Следовательно, перемещение характеризует окончательный результат движения.

Путь – это длина участка траектории, пройденной телом или точкой тела за выбранный промежуток времени .

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Введение в кинематику

Кинематикой называют раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел с геометрической точки зрения незави­симо от приложенных сил.

Положение движущегося тела в пространстве всегда определяется по отношению к любому другому неизменяемому телу, называемому телом отсчета . Система координат, неизменно связанная с телом отсчета, называется системой отсчета . В механике Ньютона время считается абсолютным и не связанным с движущейся материей. В соответствии с этим оно протекает одинаково во всех системах отсчета независимо от их движения. Основной единицей измерения времени является секунда (с) .

Если положение тела по от­ношению к выбранной системе отсчета с течением времени не изменяется, то говорят, что тело относительно данной системы отсчета находится в покое . Если же тело изменяет свое положение относительно выбранной системы от­счета, то говорят, что оно движется по отношению к этой системе. Тело может находиться в состоянии покоя по отношению к одной системе отсчета, но дви­гаться (и притом совершенно различным образом) по отношению к другим сис­темам отсчета. Например, пассажир, неподвижно сидящий на скамье движуще­гося поезда, покоится относительно системы отсчета, связанной с вагоном, но движется по отношению к системе отсчета, связанной с Землей. Точка, лежа­щая на поверхности катания колеса, движется по отношению к системе отсчета, связанной с вагоном, по окружности, а по отношению к системе отсчета, свя­занной с Землей, по циклоиде; та же точка покоится по отношению к систе­ме координат, связанной с колесной парой.

Таким образом, движение или покой тела могут рассматриваться лишь по от­ношению к какой-либо выбранной системе отсчета . Задать движение тела отно­сительно какой-либо системы отсчета -значит дать функциональные зависи­мости, с помощью которых можно определить положение тела в любой момент времени относительно этой системы. Различные точки одного и того же тела по отношению к выбранной системе отсчета движутся по-разному. Например, по отношению к системе, связанной с Землей, точка поверхности ката­ния колеса движется по циклоиде, а центр колеса - по прямой. Поэтому изучение кинема­тики начинают с кинематики точки.

§ 2. Способы задания движения точки

Движение точки может быть задано тремя способами: естественным, векторным и координатным.

При естественном способе задания движения дается траектория, т. е. линия, по которой движется точка (рис.2.1). На этой траектории выбирается некоторая точка , принимаемая за начало от­счета. Выбираются положительное и отрицательное направления отсчета дуговой координаты , определяющей положение точки на траектории. При движе­нии точки расстояние будет изменяться. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать дуговую коор­динату как функцию времени:

Это равенство называется уравнением движения точки по данной траектории .

Итак, движение точки в рассматриваемом случае определяется совокупностью следующих данных: траектории точки, положения начала отсчета дуговой координаты, положительного и отрицательного направлений отсчета и функции .

При векторном способе задания движения точки положение точки определя­ется величиной и направлением радиуса-вектора , проведенного из неподвиж­ного центра в данную точку (рис. 2.2). При движении точки ее радиус-вектор изменяется по величине и направлению. Поэтому, чтобы оп­ределить положе­ние точки в любой момент времени, достаточно задать ее радиус-вектор как функцию времени:

Это равенство называется векторным уравнением движения точки .

При координатном способе задания движения положение точки по отношению к выбранной системе отсчета определяется при помощи прямоугольной системы декартовых координат (рис. 2.3). При движении точки ее координаты изменяются с течением времени. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать координаты , , как функции времени:

Эти равенства называются уравнениями движения точки в прямоугольных де­картовых координатах . Движение точки в плоскости определяется двумя уравне­ниями системы (2.3), прямолиней­ное дви­жение - одним.

Между тремя описанными способами задания движения существует вза­имная связь, что позволяет от одного способа задания движения перейти к другому. В этом легко убедиться, например, при рассмотрении перехода от ко­ординатного способа задания движения к векторному .

Положим, что движение точки задано в виде уравнений (2.3). Имея в виду, что

можно записать

А это и есть уравнение вида (2.2).

Задача 2.1. Найти уравнение движения и траекторию средней точки шатуна, а также уравнение движения ползуна кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.4), если ; .

Решение. Положение точки определя­ется двумя координатами и . Из рис. 2.4 видно, что

, .

Тогда из и :

; ; .

Подставляя значения , и , получаем уравнения движения точки :

; .

Чтобы найти уравнение траектории точки в явной форме, надо исключить из уравнений движения время . С этой целью проведем необходимые преобразования в полученных выше уравнениях движения:

; .

Возводя в квадрат и складывая левые и правые части этих уравнений, получим уравнение траектории в виде

.

Следовательно, траектория точки - эллипс.

Ползун движется прямолинейно. Координату , определяющую положение точки, можно записать в виде

.

Скорость и ускорение

Скорость точки

В предыдущей статье движение тела или точки определено, как изменение положения в пространстве с течением времени. Для того чтобы более полно охарактеризовать качественные и количественные стороны движения введены понятия скорости и ускорения.

Скорость – это кинематическая мера движения точки, характеризующая быстроту изменения ее положения в пространстве.
Скорость является векторной величиной, т. е. она характеризуется не только модулем (скалярной составляющей), но и направлением в пространстве.

Как известно из физики, при равномерном движении скорость может быть определена длиной пути, пройденного за единицу времени: v = s/t = const (предполагается, что начало отсчета пути и времени совпадают).
При прямолинейном движении скорость постоянна и по модулю, и по направлению, а ее вектор совпадает с траекторией.

Единица скорости в системе СИ определяется соотношением длина/время, т. е. м/с .

Очевидно, что при криволинейном движении скорость точки будет меняться по направлению.
Для того, чтобы установить направление вектора скорости в каждый момент времени при криволинейном движении, разобьем траекторию на бесконечно малые участки пути, которые можно считать (вследствие их малости) прямолинейными. Тогда на каждом участке условная скорость v п такого прямолинейного движения будет направлена по хорде, а хорда, в свою очередь, при бесконечном уменьшении длины дуги (Δs стремится к нулю), будет совпадать с касательной к этой дуге.
Из этого следует, что при криволинейном движении вектор скорости в каждый момент времени совпадает с касательной к траектории (рис. 1а) . Прямолинейное движение можно представить, как частный случай криволинейного движения по дуге, радиус которой стремится к бесконечности (траектория совпадает с касательной) .

При неравномерном движении точки модуль ее скорости с течением времени меняется.
Представим себе точку, движение которой задано естественным способом уравнением s = f(t) .

Если за небольшой промежуток времени Δt точка прошла путь Δs , то ее средняя скорость равна:

vср = Δs/Δt .

Средняя скорость не дает представления об истинной скорости в каждый данный момент времени (истинную скорость иначе называют мгновенной). Очевидно, что чем меньше промежуток времени, за который определяется средняя скорость, тем ближе ее значение будет к мгновенной скорости.

Истинная (мгновенная) скорость есть предел, к которому стремится средняя скорость при Δt, стремящемся к нулю :

v = lim v ср при t→0 или v = lim (Δs/Δt) = ds/dt .

Таким образом, числовое значение истинной скорости равно v = ds/dt .
Истинная (мгновенная) скорость при любом движении точки равна первой производной координаты (т. е. расстояния от начала отсчета перемещения) по времени.

При Δt стремящемся к нулю, Δs тоже стремится к нулю, и, как мы уже выяснили, вектор скорости будет направлен по касательной (т. е. совпадает с вектором истинной скорости v ). Из этого следует, что предел вектора условной скорости v п , равный пределу отношения вектора перемещения точки к бесконечно малому промежутку времени, равен вектору истинной скорости точки.

Рис.1

Рассмотрим пример. Если диск, не вращаясь, может скользить вдоль неподвижной в данной системе отсчета оси (рис.1,а ), то в данной системе отсчета он, очевидно, обладает только одной степенью свободы - положение диска однозначно определяется, скажем, координатой x его центра, отсчитываемой вдоль оси. Но если диск, кроме того, может еще и вращаться (рис.1,б ), то он приобретает еще одну степень свободы - к координате x добавляется угол поворота φ диска вокруг оси. Если ось с диском зажата в рамке, которая может поворачиваться вокруг вертикальной оси (рис.1,в ), то число степеней свободы становится равным трем – к x и φ добавляется угол поворота рамки ϕ .

Свободная материальная точка в пространстве имеет три степени свободы: например декартовы координаты x, y и z . Координаты точки могут определяться также в цилиндрической (r, 𝜑, z ) и сферической (r, 𝜑, 𝜙 ) системах отсчета, но число параметров, однозначно определяющих положение точки в пространстве всегда три.

Материальная точка на плоскости имеет две степени свободы. Если в плоскости выбрать систему координат xОy, то координаты x и y определяют положение точки на плоскости, акоордината z тождественно равна нулю.

Свободная материальная точка на поверхности любого вида имеет две степени свободы. Например: положение точки на поверхности Земли определяется двумя параметрами: широтой и долготой.

Материальная точка на кривой любого вида имеет одну степень свободы. Параметром, определяющим положение точки на кривой, может быть, например, расстояние вдоль кривой от начала отсчета.

Рассмотрим две материальные точки в пространстве, соединенные жестким стержнем длины l (рис.2). Положение каждой точки определяется тремя параметрами, но на них наложена связь.

Рис.2

Уравнение l 2 =(x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2 является уравнением связи. Из этого уравнения любая одна координата может быть выражена через остальные пять координат (пять независимых параметров). Поэтому эти две точки имеют (2∙3-1=5) пять степеней свободы.

Рассмотрим три материальные точки в пространстве, не лежащие на одной прямой, соединенные тремя жесткими стержнями. Число степеней свободы этих точек равно (3∙3-3=6) шести.

Свободное твёрдое тело в общем случае имеет 6 степеней свободы. Действительно, положение тела в пространстве относительно какой-либо системы отсчета, определяется заданием трех его точек, не лежащие на одной прямой, и расстояния между точками в твердом теле остаются неизменными при любых его движениях. Согласно выше сказанному, число степеней свободы должно быть равно шести.

Поступательное движение

В кинематике, как и в статистике, будем рассматривать все твердые тела как абсолютно твердые.

Абсолютно твердым телом называется материальное тело, геометрическая форма которого и размеры не изменяются ни при каких механических воздействиях со стороны других тел, а расстояние между любыми двумя его точками остается постоянным.

Кинематика твердого тела, также как и динамика твердого тела, является одним из наиболее трудных разделов курса теоретической механики.

Задачи кинематики твердого тела распадаются на две части:

1) задание движения и определение кинематических характеристик движения тела в целом;

2) определение кинематических характеристик движения отдельных точек тела.

Существует пять видов движения твердого тела:

1) поступательное движение;

2) вращение вокруг неподвижной оси;

3) плоское движение;

4) вращение вокруг неподвижной точки;

5) свободное движение.

Первые два называются простейшими движениями твердого тела.

Начнем с рассмотрения поступательного движения твердого тела.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Поступательное движение не следует смешивать с прямолиней­ным. При поступательном движении тела траектории его точек мо­гут быть любыми кривыми линиями. Приведем примеры.

1. Кузов автомобиля на прямом горизонтальном участке дороги движется поступательно. При этом траектории его точек будут пря­мыми линиями.

2. Спарник АВ (рис.3) при вращении кривошипов O 1 A и O 2 B также движется поступательно (любая проведенная в нем прямая остается параллельной ее начальному направлению). Точки спарника движутся при этом по окружностям.

Рис.3

Поступательно движутся педали велосипеда относительно его рамы во время движения, поршни в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, кабины колеса обозрения в парках (рис.4) относительно Земли.

Рис.4

Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению ско­рости и ускорения.

Для доказательства рассмотрим твердое тело, совершающее по­ступательное движение относительно системы отсчета Oxyz . Возьмем в теле две произвольные точки А и В , положения которых в момент времени t определяются радиусами-векторами и (рис.5).

Рис.5

Проведем вектор , соединяющий эти точки.

При этом длина АВ постоянна, как расстояние между точками твердого тела, а направление АВ остается неизменным, так как тело движется поступательно. Таким образом, вектор АВ во все время движения тела остается постоянным (AB =const). Вследствие этого, траектория точки В получается из траектории точки А параллельным смещением всех ее точек на постоянный вектор . Следова­тельно, траектории точек А и В будут действительно одинаковыми (при наложении совпадающими) кривыми.

Для нахождения скоростей точек А и В продифференцируем обе части равенства по времени. Получим

Но производная от постоянного вектора АВ равна нулю. Про­изводные же от векторов и по времени дают скорости точек А и В . В результате находим, что

т.е. что скорости точек А и В тела в любой момент времени оди­наковы и по модулю, и по направлению. Беря от обеих частей полу­ченного равенства производные по времени:

Следовательно, ускорения точек А и В тела в любой момент времени тоже одинаковы по модулю и направлению.

Так как точки А и В были выбраны произвольно, то из найден­ных результатов следует, что у всех точек тела их траектории, а также скорости и ускоре­ния в любой момент времени будут одинаковы. Таким образом, теорема доказана.

Из теоремы следует, что поступательное движение твердого тела определяется движением какой-нибудь одной из его точки. Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится к задаче кинематике точки, нами уже рассмотренной.

При поступательном движении общую для всех точек тела скорость называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение - ускорением поступательного движения тела. Векторы и можно изображать приложенными в любой точке тела.

Заметим, что понятие о скорости и ускорении тела имеют смысл только при поступательном движении. Во всех остальных случаях точки тела, как мы увидим, движутся с разными скоростями и ускорениями, и термины <<скорость тела>> или <<ускорение тела>> для этих движений теряют смысл.

Рис.6

За время ∆t тело, двигаясь из точки А в точку В, совершает перемещение , равное хорде АВ, и проходит путь, равный длине дуги l .

Радиус-вектор поворачивается на угол ∆φ. Угол выражают в радианах.

Скорость движения тела по траектории (окружности) направлена по касательной к траектории. Она называется линейной скоростью. Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени ∆t, за который эта дуга пройдена:

Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется угловой скоростью:

В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду .

При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости - величины постоянные: ω=const; v=const.

Положение тела можно определить, если известен модуль радиуса- вектора и угол φ, который он составляет с осью Ох (угловая координата). Если в начальный момент времени t 0 =0 угловая координата равна φ 0 , а в момент времени t она равна φ, то угол поворота ∆φ радиуса-вектора за время ∆t=t-t 0 равен ∆φ=φ-φ 0 . Тогда из последней формулы можно получить кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности:

Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени t.

Учитывая, что , получаем:

Формула связи между линейнойи угловой скоростью.

Промежуток времени Т, в течение которого тело совершает один полный оборот, называется периодом вращения:

Где N – число оборотов, совершенных телом за время Δt.

За время ∆t=Т тело проходит путь l =2πR. Следовательно,

При ∆t→0 угол ∆φ→0 и, следовательно, β→90°. Перпендикуляром к касательной к окружности является радиус. Следовательно, направлено по радиусу к центру и поэтому называется центростремительным ускорением:

Модуль , направление непрерывно изменяется (рис. 8). Поэтому данное движение не является равноускоренным.

Рис.8

Рис.9

Тогда поло­жение тела в любой момент времени одно­значно определится взятым с соответствую­щим знаком углом φ между этими полуплоскостями, который назо­вем углом поворота тела. Будем считать угол φ положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Az), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол φ будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла φ от времени t , т.е.

Уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

При вращательном движении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси углы поворота радиуса-вектора различных точек тела одинаковы.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε.

Если за промежуток времени ∆t=t 1 -t тело совершает поворот на угол ∆φ=φ 1 -φ, то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет . В пределе при ∆t→0 найдем, что

Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Знак ω определяет направление вращения тела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода часовой стрелки, ω>0, а когда по ходу часовой стрелки, то ω<0.

Размерность угловой скорости 1/Т (т.е. 1/время); в качестве единицы измерения обычно применяют рад/с или, что тоже, 1/с (с -1), так как радиан - величина безразмер­ная.

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , модуль которого равен | | и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис.10). Такой вектор определяет сразу и модуль угло­вой скорости, и ось вращения, и направ­ление вращения вокруг этой оси.

Рис.10

Угол поворота и угловая скорость характеризуют движение всего абсолютно твердого тела в целом. Линейная скорость какой-либо точки абсолютно твердого тела пропорциональна расстоянию точки от оси вращения:

При равномерном вращении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени одинаковы, тангенциальные ускорения у различных точек тела отсутствуют, а нормальное ускорение точки тела зависит от ее расстояния до оси вращения:

Вектор направлен по радиусу траектории точки к оси вращения.

Угловое ускорение характеризует изменение с те­чением времени угловой скорости тела. Если за промежуток вре­мени ∆t=t 1 -t угловая скорость тела изменяется на величину ∆ω=ω 1 -ω, то числовое значение среднего углового ускорения тела за этот промежуток времени будет . В пределе при ∆t→0 найдем,

Таким образом, числовое значение углового ускорения, тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.

Размерность углового ускорения 1/T 2 (1/время 2); в качестве единицы измерения обычно применяется рад/с 2 или, что то же, 1/с 2 (с- 2).

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины ω и εимеют одинаковые знаки, и замедленным, - когда разные.

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора ε, направленного вдоль оси вращения. При этом

Направление ε совпадает с направлением ω, когда тело вращается ускоренно и (рис.10,а), противоположно ω при замедленном вращении (рис.10,б).

Рис.11 Рис. 12

2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами

В нашем случае ρ=h. Подставляя значение v в выражения a τ и a n , получим:

или окончательно:

Касательная составляющая ускорения a τ направлена по каса­тельной к траектории (в сторону движения при ускоренном вра­щении тела и в обратную сторону при, замедленном); нормальная составляющая a n всегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис.12). Полное ускорение точки М будет

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом μ, который вычисляется по формуле

Подставляя сюда зна­чения a τ и a n , получаем

Так как ω и ε имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональ­ны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол μ с радиусами описываемых ими окруж­ностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.14.

Рис.13 Рис.14

3. Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v и a, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор точки М (рис. 13). Тогда h=r∙sinα и по формуле

Таким образом, мо

Базовый уровень

Вариант 1

А1. Траектория движущейся материальной точки за конечное вре­мя это

отрезок линии

часть плоскости

конечный набор точек

среди ответов 1,2,3 нет правильного

А2. Стул передвинули сначала на 6 м, а затем еще на 8 м. Чему равен модуль полного перемещения?

1) 2 м 2) 6 м 3) 10м 4) нельзя определить

А3. Пловец плывёт против течения реки. Скорость течения реки 0,5 м/с, скорость пловца относительно воды 1,5 м/с. Модуль скорости пловца относительно берега равен

1) 2 м/с 2) 1,5 м/с 3) 1м/с 4) 0,5 м/с

А4. Двигаясь прямолинейно, одно тело за каждую секунду проходит путь 5 м. Другое тело, двигаясь по прямой в одном направлении, за каждую секунду проходит путь 10м. Движения этих тел

А5. На графике изображена зависимость координатыXтела, движущегося вдоль оси ОХ, от времени. Какова на­чальная координата тела?

3) -1 м 4) - 2 м

А6. Какая функцияv(t) описывает зависимость модуля скорости от времени при равномерном прямолинейном движении? (длина измеряется в метрах, время - в секундах)

1) v= 5t2)v= 5/t3)v= 5 4)v= -5

А7. Модуль скорости тела за некоторое время увеличился в 2 раза. Какое утверждение будет правильным?

ускорение тела возросло в 2 раза

ускорение уменьшилось в 2 раза

ускорение не изменилось

тело движется с ускорением

А8. Тело, двигаясь прямолинейно и равноускоренно, увеличило свою скорость от 2 до 8 м/с за 6с. Каково ускорение тела?

1) 1м/с 2 2) 1,2м/с 2 3) 2,0м/с 2 4) 2,4м/с 2

А9. При свободном падении тела его скорость (принятьg=10м/с 2)

за первую секунду увеличивается на 5м/с, за вторую – на 10м/с;

за первую секунду увеличивается на 10м/с, за вторую – на 20м/с;

за первую секунду увеличивается на 10м/с, за вторую – на 10м/с;

за первую секунду увеличивается на 10м/с, а за вторую – на 0м/с.

А10. Скорость обращения тела по окружности увеличилась в 2 раза. Центростремительное ускорение тела

1) увеличилось в 2 раза 2) увеличилось в 4 раза

3) уменьшилось в 2 раза 4) уменьшилось в 4 раза

Вариант 2

А1. Решаются две задачи:

а. рассчитывается маневр стыковки двух космических кораблей;

б. рассчитывается период обращения космических кораблей вокруг Земли.

В каком случае космические корабли можно рассматривать как материальные точки?

только в первом случае

только во втором случае

в обоих случаях

ни в первом, ни во втором случае

А2. Автомобиль дважды объехал Москву по кольцевой дороге, дли­на которой 109 км. Путь, пройденный автомобилем, равен

1) 0 км 2) 109 км 3) 218 км 4) 436 км

А3. Когда говорят, что смена дня и ночи на Земле объясняется восходом и заходом Солнца, то имеют в виду систему отсчёта связанную

1) с Солнцем 2) с Землёй

3) с центром галактики 4) с любым телом

А4. При измерении характеристик прямолинейных движений двух материальных точек зафиксированы значения координаты первой точки и скорости второй точки в моменты времени, ука­занные соответственно в таблицах 1 и 2:

Что можно сказать о характере этих движений, предполагая, что он не изменялся в промежутках времени между моментами из­мерений?

1)оба равномерные

2)первое - неравномерное, второе - равномерное

3)первое - равномерное, второе неравномерное

4)оба неравномерные

А5. По графику зависимости пройденного пути от времени определите скорость велосипедиста в момент времени t = 2 с. 1) 2 м/с 2) 3 м/с

3) 6 м/с4) 18 м/с

А6. На рисунке представлены графики зави­симости пройденного в одном направле­нии пути от времени для трех тел. Какое из тел двигалось с большей скоростью? 1) 1 2) 2 3) 34) скорости всех тел одинаковы

А7. Скорость тела, движущегося прямолиней­но и равноускоренно, изменилась при перемещении из точки 1 в точку 2 так, как показано на рисунке. Какое направление имеет вектор ускорения на этом участке?

А8. По графику зависимости модуля ско­рости от времени, представленному на рисунке, определите ускорение пря­молинейно движущегося тела в мо­мент времениt=2с.

1) 2 м/с 2 2) 3 м/с 2 3) 9 м/с 2 4) 27м/с 2

А9. В трубке, из которой откачан воздух, с одной и той же высоты одновременно сбрасываются дробинка, пробка и птичье перо. Какое из тел быстрее достигнет дна трубки?

1) дробинка 2) пробка 3) птичье перо 4) все три тела одновременно.

А10. Автомобиль на повороте движется по круговой траектории ра­диусом 50м с постоянной по модулю скоростью 10 м/с. Каково ускорение автомобиля?

1) 1 м/с 2 2) 2 м/с 2 3) 5 м/с 2 4) 0 м/с 2

Ответы.

Механическое движение рассматривают для материальной точки и для твёрдого тела.

Движение материальной точки

Поступательное движение абсолютно твёрдого тела - это механическое движение, в процессе которого любой отрезок прямой, связанный с этим телом, всегда параллелен самому себе в любой момент времени.

Если мысленно соединить прямой две любые точки твёрдого тела, то полученный отрезок всегда будет параллельным себе в процессе поступательного движения.

При поступательном движении все точки тела движутся одинаково. То есть, они проходят одинаковое расстояние за одинаковые промежутки времени и движутся в одном направлении.

Примеры поступательного движения: движение кабины лифта, чашек механических весов, санок, мчащихся с горы, педалей велосипеда, платформы железнодорожного состава, поршней двигателя относительно цилиндров.

Вращательное движение

При вращательном движении все точки физического тела движутся по окружностям. Все эти окружности лежат в плоскостях, параллельных друг другу. А центры вращения всех точек расположены на одной неподвижной прямой, которая называется осью вращения . Окружности, которые описываются точками, лежат в параллельных плоскостях. И эти плоскости перпендикулярны оси вращения.

Вращательное движение встречается очень часто. Так, движение точек на ободе колеса является примером вращательного движения. Вращательное движение описывает пропеллер вентилятора и др.

Вращательное движение характеризуют следующие физические величины: угловая скорость вращения, период вращения, частота вращения, линейная скорость точки.

Угловой скоростью тела при равномерном вращении называют величину, равную отношению угла поворота к промежутку времени, в течение которого этот поворот произошёл.

Время, за которое тело проходит один полный оборот, называется периодом вращения (T) .

Число оборотов, которые тело совершает в единицу времени, называется частотой вращения (f) .

Частота вращения и период связаны между собой соотношением T = 1/f.

Если точка находится на расстоянии R от центра вращения, то её линейная скорость определяется по формуле:

Билет 1.

Кинематика. Механическое движение. Материальная точка и абсолютно твердое тело. Кинематика материальной точки и поступательного движения твердого тела. Траектория, путь, перемещение, скорость, ускорение.

Билет 2.

Кинематика материальной точки.Скорость, ускорение.Тангенциальное, нормальное и полное ускорение.

Кинематика - раздел физики, изучающий движение тел, не интересуясь причинами, обуславливающие это движение.

Механи ́ ческое движе ́ ние - это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. (механическое движение характеризуется тремя физическими величинами: перемещением, скоростью и ускорением)

Характеристики механического движения связаны между собой основными кинематическими уравнениями:

Материальная точка - тело, размерами которого, в условиях данной задачи, можно принебреч.

Абсолютно твердое тело - тело, деформацией которого можно принебреч, в условиях данной задачи.

Кинематика материальной точки и поступательного движения твердого тела: ?

движение в прямоугольной, криволинейной системе координат

как записать в разных системах координат через радиус вектор

Траектория - некоторая линия, описываемая движение мат. точки.

Путь - скалярная величина, характеризующая длинну траектории движения тела.

Перемещение - нравленный отрезок прямой, проведенный из начального положения движущейся точки в ее конечное положение (векторная величина)

Скорость:

Векторная величина, характеризующая быстроту пермещения частицы по траектории, в который движется эта частица в каждый момент времени.

Производная радиуса вектора частицы по времени.

Производная от перемещения по времени.

Ускорение:

Векторная величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости.

Производная от скорости по времени.

Тангенциальное ускорение - направлено по касательной к траектории. Является составляющей вектора ускорения a. Характеризует изменение скорости по модулю.

Центростремительное или Нормальное ускорение - возникает при движении точки по окружности. Является составляющей вектора ускорения a. Вектор нормального ускорения всегда направлен к центру окружности.

Полное ускорекние - это корень квадатный из суммы квадратов нормально и тангенцального ускорений.

Билет 3

Кинематика вращательного движения материальной точки. Угловые величины. Связь между угловыми и линейными величинами.

Кинематика вращательного движения материальной точки.

Вращательное движение - движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Ось вращения проходит через центр тела, через тело, а может находится вне его.

Вращательное движение материальной точки - движение материальной точки по окружности.

Основные характеристики кинематики вращательного движения: угловая скорость, угловое ускорение.

Угловое перемещение - векторная величина, характеризующая изменение угловой координаты в процессе ее движения.

Угловая скорость - отношение угла поворота радиус-вектора точки к промежутку времени, за который произошел этот поворот.(направление вдоль оси вокруг которой вращается тело)

Частота вращения - физическая величина, измеряемая числом полных оборотов, совершаемых точкой в единицу времени при равномерном движении в одном направлении(n)

Период вращения - промежуток времени, в течение которого точка совершает полный оборот,

двигаясь по окружности (T)

N – число оборотов, совершаемых телом за время t.

Угловое ускорение - величина харатеризующая изменение вектора угловой скорости со временем.

Связь между угловыми и линейными величинами:

Связь между линейной и угловой скоростью.

Связь между тангенциальным и угловым ускорением.

вязь между нормальным (центростремительным) ускорением, угловой скоростью и линейной скоростью.

Билет 4.

Динамика материальной точки. Классическая механика, границы ее применимости. Законы Ньютона. Инерциальные системы отсчета .

Динамика материальной точки:

Законы Ньютона

Законы сохранения(импульса, момента импульса, энергии)

Классическая механика - раздела физики, изучающей законы изменения положений тел и причины, это вызывающие, основанный на законах Ньютона и принципе относительности Галилея.

Классическая механика подразделяется на:

статику (которая рассматривает равновесие тел)

кинематику (которая изучает геометрическое свойство движения без рассмотрения его причин)

динамику (которая рассматривает движение тел).

Границы применимости класической механики:

При скоростях, близких к скорости света, классическая механика перестаёт работать

Свойства микромира (атомов и субатомных частиц) не могут быть поняты в рамках классической механики

Классическая механика становится неэффективной при рассмотрении систем с очень большим числом частиц

Первый закон Ньютона (закон инерции):

Существуют такие системы отсчёта, относительно которых материальная точка при отсутствии внешних воздействий находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно.

Второй закон Ньютона:

В инерциальной системе отсчета произведение массы тела на его ускорение равное действующей на тело силе.

Третий закон Ньютона:

Силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по модулю и противоположы по напрвлению.

Система отсчета - совокупность неподвыжных относительно друг друга тел, по отношнию к которым рассматривается движения(включает в себя тело отсчета, систему уоординат,часы)

Инерциальная система отсчета - система отсчёта, в которой справедлив закон инерции: любое тело, на которое не действуют внешние силы или действие этих сил компенсируется, находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Инертность - свойство присущее телам()для изменения скорости тела требуется время.

Масса - количесенная характеристика инертности.

Билет 5.

Цент масс (инерции) тела. Импульс материальной точки и твердого тела. Закон сохранения импульса. Движение центра масс .

Центр масс системы материальный точек - точка, положения которой характеризует распеределение массы системы в пространстве.

распеределение масс в системе координат.

Положение центра масс тела зависит от того, как распределяется по обьему тела его масса.

Движение центра масс определяется только внешними силами, действующими на систему.Внутрение силы системы не влияют на положение центра масс.

положение центра масс.

Центр масс замкнутой системы движется прямолинейна и равномерно или остается неподвижным.

Импульс материальной точки - векторная величина равная произведению массы точки на ее скорость.

Импульс тела равен сумме импульсов его отдельных элементов.

Изменение импульса мат. точки пропорционален приложеной силе и имеет такое же направление, как и сила.

Импульс системы мат. точек могут изменить только внешние силы, причем изменение импульса системы пропорционально сумме внешних сил и совпадает с ней по направлению.Внутрение силы, изменяя импульсы отдельных тел системы, не изменяют сумарный импульс системы.

Закон сохранения импульса:

если сумма внешних сил, действующих на тело системы, равна нулю, то импульс системы сохраняется.

Билет 6.

Работа силы. Энергия. Мощность. Кинетическая и потенциальная энергия. Силы в природе.

Работа - физическая величина, характеризуюая результат действия силы и числено равная скалярному произведнию вектора силы и вектора перемещения, совершенно под действием этой силы.

A = F · S ·cosа (а-угол между направлением силы и направлением перемещения)

Работа не совершается если:

Сила действует, а тело не перемещается

Тело перемещается, а сила равна нулю

Угол м/д векторами силы и перемещения равен 90градусов

Мощность- физическая величина, характеризующаяскорость совершения работы и числено равная отношению работы к интервалу, за который работа совершена.

Средняя мощность; мгновенная мощность.

Мощность показывает, какая работа совершеная за единицу времени.

Энергией - это скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения материи и мерой перехода движения материи из одних форм в другие.

Механическая энергия - это величина характеризующая движение и взаимодействие тел и являющаяся функцией скоростей и взаимного расположения тел. Она равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела.

Кинетическая энергия-энергия движения.

Физическую величину, равную произведению массы тела на модуль ускорения свободного падения и на высоту, на которую поднято тело над поверхностью Земли, называют потенциальной энергией взаимодействия тела и Земли.

Потенциальная энергия-энергия взаимодействия.

А= – (Ер2 – Ер1).

1.Сила трения.

Трение – один из видов взаимодействия тел. Оно возникает при соприкосновении двух тел.Они возникают вследствие взаимодействия между атомами и молекулами соприкасающихся тел.(Силами сухого трения называют силы, возникающие при соприкосновении двух твердых тел при отсутствии между ними жидкой или газообразной прослойки.Сила трения покоя всегда равна по величине внешней силе и направлена в противоположную сторону.Если внешняя сила больше (Fтр)max, возникает трение скольжения.)

μ называют коэффициентом трения скольжения.

2.Сила упругости. Закон Гука.

При деформации тела возникает сила, которая стремится восстановить прежние размеры и форму тела - сила упрогости.

(пропорциональна деформации тела и направлена в сторону, противоположную направлению перемещения частиц тела при деформации)

Fупр = –kx.

Коэффициент k называется жесткостью тела.

Деформация растяжения (x > 0) и сжатия (x < 0).

Закон Гука: относительная деформация ε пропорциональна напряжению σ, где Е- модуль Юнга.

3.Сила реакции опоры.

Упругую силу действующую на тело со стороны опоры (или подвеса), называют силой реакции опоры. При соприкосновении тел сила реакции опоры направлена перпендикулярно поверхности соприкосновения.

Весом тела называют силу, с которой тело вследствие его притяжения к Земле действует на опору или подвес.

4.Сила тяжести. Одним из проявлений силы всемирного тяготения является сила тяжести.

5.Грявитационаая сила(сила тяготения)

се тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Билет 7.

Консервативные и диссипативные силы. Закон сохранения механичсекой энергии. Условие равновесия механической системы.

Консервати́вные си́лы (потенциальные силы) - силы, работа которых не зависит от формы траектории (зависит только от начальной и конечной точки приложения сил)

Консервативные силы - такие силы, работа по любой замкнутой траектории которых равна 0.

Работа консервативных сил по произвольному замкнутому контуру равна 0;

Силу , действующую на материальную точку, называют консервативной или потенциальной, если работа , совершаемая этой силой при перемещении этой точки из произвольного положения 1 в другое 2, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло:

Изменение направления движения точки вдоль траектории на противоположное вызывает изменение знака консервативной силы, так как величина меняет знак. Поэтому при перемещении материальной точки вдоль замкнутой траектории , например , работа консервативной силы равна нулю.

Примером консервативных сил могут служить силы всемирного тяготения, силы упругости, силы электростатического взаимодействия заряженных тел. Поле, работа сил которого по перемещению материальной точки вдоль произвольной замкнутой траектории равна нулю, называется потенциальным.

Диссипативные силы - силы, при действии которых на движущуюся механическую систему её полная механическая энергия убывает, переходя в другие, немеханические формы энергии, например в теплоту.

пример диссипативных сил: сила вязкого или сухого трения.

Закон сохранения механичсекой энергии:

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и сил упругости, остается неизменной.

Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2

Замкнутая система- это система, на которую не действуют внешнии силы или из действие скомпенсировано.

Условие равновесия механической системы:

Статика - раздел механики, изучающмй условия равновесия тел.

Чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая всех сил, приложенных к телу, была равна нулю.

Если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия недостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил.

Правило моментов: тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю: M1 + M2 + ... = 0.

Длина перпендикуляра, проведенного от оси вращения до линии действия силы, называется плечом силы.

Произведение модуля силы F на плечо d называется моментом силы M. Положительными считаются моменты тех сил, которые стремятся повернуть тело против часовой стрелки.

Билет 8.

Кинематика вращательно движения твердого тела. Угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение. Связь между линейными и угловыми характеристиками. Кинетическая энергия вращательного движения.

Для кинематического описания вращения твердого тела удобно использовать угловые величины: угловое перемещение Δφ, угловую скорость ω

В этих формулах углы выражаются в радианах. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси все его точки движутся с одинаковыми угловыми скоростями и одинаковыми угловыми ускорениями. За положительное направление вращения обычно принимают направление против часовой стрелки.

Вращательно движение твердого тела:

1) вокруг оси - движение, при котором все точки тела, лежащие на оси вращения, неподвижны, а остальные точки тела описывают окружности с центрами на оси;

2) вокруг точки - движение тела, при котором одна его точка О неподвижна, а все другие движутся по поверхностям сфер с центром в точке О.

Кинетическая энергия вращательного движения.

Кинетическая энергия вращательного движения – энергия тела связанная с его вращением.

Разобьем вращающееся тело на малые элементы Δmi. Расстояния до оси вращения обозначим через ri, модули линейных скоростей – через υi. Тогда кинетическую энергию вращающегося тела можно записать в виде:

Физическая величина зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения. Она называется моментом инерции I тела относительно данной оси:

В пределе при Δm → 0 эта сумма переходит в интеграл.

Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде:

Кинетическая энергия вращательного движения определяется моментом инерции тела относительно оси вращения и его угловой скоростью.

Билет 9.

Динамика вращательного движения. Момент силы. Момент инерции. Теорема Штейнера.

Момент силы - величина, характеризующая вращательный эффект силы при действии её на твёрдое тело. Различают Момент силы относительно центра (точки) и относительно оси.

1.Момент силы относительно центра О величина векторная. Его модуль Mo = Fh, где F - модуль силы, a h - плечо (длина перпендикуляра, опущенного из О на линию действия силы)

С помощью векторного произведения момент силы выражается равенством Mo = , где r - радиус-вектор, проведённый из О в точку приложения силы.

2.Момент силы относительно оси величина алгебраическая, равная проекции на эту ось.

Момент силы (крутящий момент; вращательный момент; вращающий момент) - векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы.

это выражение является вторым законом Ньютона для вращательного движения.

Оно справедливо только тогда:

а) если под моментом М понимают часть момента внешней силы, под действием которой происходит вращение тела вокруг оси - это тангенциальная составляющая.

б) нормальная составляющая из момента силы не участвует во вращательном движении, так как Mn старается сместить точку с траектории, и по определению тождественно равна 0, при r- const Mn=0, а Mz - определяет силу давления на подшипники.

Момент инерции - скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Момент инерции зависит от массы тела и от расположения частиц тела относительно оси вращения.

Тонкий обруч Стрежень (закреп. по середине) Стержень См.

Однородный цилиндр Диск Шар.

(справа картинка к пункту 2 в т. Штейнера)

Теорема Штейнера.

Момент инерции данного тела относительно, какой либо данной оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси.

Согласно теореме Гюйгенса - Штейнера - момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме:

1)момента инерции этого тела Jо, относительно оси, проходящий через центр масс этого тела, и параллельной рассматриваемой оси,

2) произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Билет 10.

Момент импульса. Основное уравнение динамики вращательного движения (уравнение моментов). Закон сохранения моментов импульса.

Момент импульса - физическая величина, зависящая от того сколько массы вращается и как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Момент импульса относительно точки - это псевдовектор.

Момент импульса относительно оси - скалярная величина.

Момент импульса L частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением ее радиус-вектора и импульса: L=

r - радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчета начала отсчёта.

P - импульс частицы.

L = rp sinА = p l ;

Для систем, совершающих вращение вокруг одной из осей симметрии (вообще говоря, вокруг так называемых главных осей инерции), справедливо соотношение:

момент импульса тела относительно оси вращения.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частей.

Уравнение моментов.

Производная по времени момента импульса материальной точки относительно неподвижной оси равна моменту силы, действующей на точку, относительно той же оси:

M=JE=J dw/dt=dL/dt

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) - векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной в случае равновесия системы. В соответствии с этим, момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется со временем.

=> dL/dt=0 т.е. L=const

Работа и кинетическая энергия при вращательном движении. Кинетическая энергия при плоском движении.

Внешняя силв приложенная к точке массой

Путь который проходит масса за время dt

Но равна модулю момента силы относительно оси вращения.

следовательно

с учетом, что

получим выражение для работы:

Работа вращательного движения равна работе затраченой на поворот всего тела.

Работа при вращательном движении идет на увеличении кинетической энергии:

Плоское (плоскопараллельным) движение - это такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости.

Кинетическая энергия при плоском движении равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

Билет 12.

Гармонические колебания. Свободные незатухающие колебания. Гармонический осциллятор. Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора и его решение. Характеристики незатухающих колебаний. Скорость и ускорение в незатухающих колебаниях.

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f (t).

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными.

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными .

Гармоническое колебание - явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса.

Колебания называются гармоническими, если выполнятся следующие условия:

1) колебания маятника продолжаются бесконечно (так как нет необратимых преобразований энергии);

2) его максимальное отклонение вправо от положения равновесия равно максимальному отклонению влево;

3) время отклонения вправо равно времени отклонения влево;

4) характер движения вправо и влево от положения равновесия одинаков.

Х = Хm cos (ωt + φ0).

V= -A w o sin(w o + φ)=A w o cos(w o t+ φ+П/2)

a= -A w o *2 cos(w o t+ φ)= A w o *2 cos(w o t+ φ+П)

x – смещение тела от положения равновесия,

xm – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия,

ω – циклическая или круговая частота колебаний,

t – время.

φ = ωt + φ0 называется фазой гармонического процесса

φ0 называют начальной фазой.

Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T

Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с.

Незатухающие колебания - колебания с постоянной амплитудой.

Затухающие колебания - колебания, энергия которых уменьшается с течением времени.

Свободные незатухающие колебания:

Рассмотpим пpостейшую механическую колебательную систему – маятник в не вязкой среде.

Запишем уpавнение движения согласно втоpому закону Ньютона:

Запишем это уpавнение в пpоекциях на ось х.Пpоекцию ускорения на ось х пpедставим как втоpую пpоизводную от кооpдинаты х по вpемени.

Обозначим k/m чеpез w2, и пpедадим уpавнению вид:

Где

Решением нашего уpавнения является функция вида:

Гармонический осциллятор - это система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x(согласно закону Гука):

k - положительная константа, описывающая жёсткость системы.

1.Если F единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором.

2.Если имеется ещё и сила трения (затухание), пропорциональная скорости движения (вязкое трение), то такую систему называют затухающим или диссипативным осциллятором.

Дифференциальное уравнение гармонического осциллятора и его решение:

В качестве модели консервативного гармонического осциллятора возьмём груз массы m , закреплённый на пружине жёсткостью k. Пусть x - это смещение груза относительно положения равновесия. Тогда, согласно закону Гука, на него будет действовать возвращающая сила:

Используя второй закон Ньютона, запишем:

Обозначая и заменяя ускорение на вторую производную от координаты по времени , напишем:

Это дифференциальное уравнение описывает поведение консервативного гармонического осциллятора. Коэффициент ω0 называют циклической частотой осциллятора.

Будем искать решение этого уравнения в виде:

Здесь - амплитуда, - частота колебаний (пока не обязательно равная собственной частоте), - начальная фаза.

Подставляем в дифференциальное уравнение.

Амплитуда сокращается. Значит, она может иметь любое значение (в том числе и нулевое - это означает, что груз покоится в положении равновесия). На синус также можно сократить, так как равенство должно выполняться в любой момент времени t. И остаётся условие на частоту колебаний:

Отрицательную частоту можно отбросить, так как произвол в выборе этого знака покрывается произволом выбора начальной фазы.

Общее решение уравнения записывается в виде:

де амплитуда A и начальная фаза - произвольные постоянные.

Кинетическая энергия записывается в виде:

и потенциальная энергия есть

Характеристики незатухающих колебаний:

Амплитуда не меняется

Частота зависит от жесткости и массы (пружина)

Скорость незатухающих колебаний:

Ускорение незатухающих колебаний:

Билет 13.

Свободные затухающие колебания. Дифференциальное уравнение и его решение. Декремент, логарифмический декремент, коэффицент затухания. Время релаксации.

Свободные затухающие колебания

Если можно пренебречь силами сопротивления движению и трением, то при выведении системы из положения равновесия на груз будет действовать только сила упругости пружины.

Запишем уравнение движения груза, составленное по 2-му закону Ньютона:

Спроектируем уравнение движения на ось X.

преобразуем:

т.к.

это дифференциальное уравнение свободных гармонических незатухающих колебаний.

Решение уравнения имеет вид:

Дифференциальное уравнение и его решение:

Во всякой колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать.

Сила сопротивления пропорциональна величине скорости:

r – постоянная величина, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус обусловлен тем, что сила и скорость имеют противоположные направления.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления имеет вид:

Применив обозначения , , перепишем уравнение движения следующим образом:

Это уравнение описывает затухающие колебания системы

Решение уравнения имеет вид:

Каэффицент затухания - величина обратная пропорциональная времени в течении которого амплитуда уменшилась в е раз.

Время, по истечении которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз, называется временем затухания

За это время система совершает колебаний.

Декремент затухания, количественная характеристика быстроты затухания колебаний,представляет собой натуральный логарифм отношения двух последующих максимальных отклонений колеблющейся величины в одну и ту же сторону.

Логарифмическим декрементом затухания называется логарифм отношения амплитуд в моменты последовательных прохождений колеблющейся величины через максимум или минимум(затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания):

Он связан с числом колебаний N соотношением:

Время релаксации - время в течении которого амплитуда затухающего колебания уменьшается в е раз.

Билет 14.

Вынужденные колебания. Полное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Период и амплитуда вынужденных колебаний.

Вынужденные колебания - колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.

Второй закон Ньютона для т осциллятора (маятника) запишется в виде:

Если

и заменить ускорение на вторую производную от координаты по времени, то получим следующее дифференциальное уравнение:

Общее решение однородного уравнения:

где A,φ произвольные постоянные

Найдём частное решение. Подставим в уравнение решение вида: и получим значение для константы:

Тогда окончательное решение запишется в виде:

Характер вынужденных колебаний зависит от характера действия внешней силы, от ее величины, направления, частоты действия и не зависит от размеров и свойств колеблющегося тела.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты действия внешней силы.

Период и амплитуда вынужденных колебаний:

Амплитуда зависит от частоты вынужденных колебаний, если частота равняет резонансной частоте, то амплитуда максимальнее. Так же зависит от коэффициента затухания, если он равнее 0, то амплитуда бесконечна.

Период связан с частотой, вынужденый колебания могут иметь любой период.

Билет 15.

Вынужденные колебания. Период и амплитуда вынужденых колебаний. Частота колебаний. Резонанс, резонансная частота. Семейство резонансных кривых.

Билет 14.

При совпадении частоты внешней силы и частоты собственных колебаний тела амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Такое явление называют механическим резонансом.

Резона́нс- явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний.

Увеличение амплитуды - это лишь следствие резонанса, а причина - совпадение внешней частоты с внутренней частотой колебательной системы.

Резонансная частота – частота, в которой амплитуда максимальна (немного меньше собственной частоты)

График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой.

В зависимости от коэффициента затухания получаем семейство резонансных кривых, чем коэффициент, меньше тем кривая больше и выше.

Билет 16.

Сложение колебаний одного направления. Векторная диаграмма. Биения.

Сложение нескольких гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

Представим оба колебания с помощью векторов A1и А2. Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А, проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций складываемых векторов:

Поэтому, вектор A представляет собой резуль-тирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью как и векторы А1 и А2, так что сумма x1 и х2 является гармоническим колебанием с такой же частотой, амплитудой и фазой.Используя теорему косинусов получаем, что

Представление гармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением векторов, что значительно проще.

Биения - колебания с периодически меняющейся амплитудой, возникающие в результате наложения двух гармонических колебаний с несколько различными, но близкими частотами.

Билет 17.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Связь между угловой скоростью вращательного движения и циклической частотой. Фигуры Лиссажу.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний:

Колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях происходят независимо друг от друга:

Здесь собственные частоты гармонических колебаний равны:

Рассмотрим траекторию движения грузов:

в ходе преобразований получим:

Таким образом, груз будет совершать периодические движения по эллиптической траектории. Направление движения вдоль траектории и ориентация эллипса относительно осей зависят от начальной разности фаз

Если частоты двух взаимно-перпендикулярных колебаний не совпадают, но являются кратными, то траектории движения представляют собой замкнутые кривые, называемые фигурами Лиссажу. Отметим, что отношение частот колебаний равно отношению чисел точек касания фигуры Лиссажу к сторонам прямоугольника, в который она вписана.

Билет 18.

Колебания груза на пружине. Математический и физический маятник. Характеристики колебаний.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению.

F (t) = ma (t) = –m ω2 x (t)

Fупр = –kx закон Гука.

Круговая частота ω0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:

Частота ω0 называется собственной частотой колебательной системы.

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде:

Решением этого уравнения являются гармонические функции вида:

x = xm cos (ωt + φ0).

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость

Математи́ческий ма́ятник - осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в поле тяжести. Период малых колебаний математического маятника длины l в поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

и мало зависит от амплитуды и массы маятника.

Физический маятник - осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела

Билет 19.

Волновой процесс. Упругие волны. Продольные и поперечные волны. Уравнение плоской волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение и его решение .

Волна - это явление распространения в пространстве с течением времени возмущения физической величины.

В зависимости от физической среды, в которой распространяются волны, различают:

Волны на поверхности жидкости;

Упругие волны (звук, сейсмические волны);

Объёмные волны (распространяющиеся в толще среды);

Электромагнитные волны (радиоволны, свет, рентгеновские лучи);

Гравитационные волны;

Волны в плазме.

По отношению к направлению колебаний частиц среды:

Продольные волны (волны сжатия, P-волны) - частицы среды колеблются параллельно (по) направлению распространения волны (как, например, в случае распространения звука);

Поперечные волны (волны сдвига, S-волны) - частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны (электромагнитные волны, волны на поверхностях разделения сред);

Волны смешанного типа.

По виду фронта волны (поверхности равных фаз):

Плоская волна - плоскости фаз перпендикулярны направлению распространения волны и параллельны друг другу;

Сферическая волна - поверхностью фаз является сфера;

Цилиндрическая волна - поверхность фаз напоминает цилиндр.

Упру́гие во́лны (звуковые волны) - волны, распространяющиеся в жидких, твёрдых и газообразных средах за счёт действия упругих сил.

Поперечные волны, волны, распространяющиеся в направлении, перпендикулярном к плоскости, в которой ориентированы смещения и колебательные скорости частиц.

Продольные волны, волны, направление распространения которых совпадает с направлением смещений частиц среды.

Плоская волна, волна, в которой всем точкам, лежащим в любой плоскости, перпендикулярной к направлению её распространения, в каждый момент соответствуют одинаковые смещения и скорости частиц среды

Уравнение плоской волны:

Фа́зовая ско́рость - скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения, в пространстве вдоль заданного направления.

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью.

Волновое уравнение и его решение:

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением - дифференциальным уравнением в частных производных.

Где

Решением уравнения является уравнение любой волны, которое имеет вид:

Билет 20.

Перенос энергии бегущей волной. Вектор Умова. Сложение волн. Принцип суперпозиции. Стоячая волна.

Волна - изменение состояния среды, распространяющееся в этой среде и переносящее с собой энергию. (волной называют изменяющееся со временем пространственное чередование максимумов и минимумов любой физической величины, например, плотности вещества, напряжённости электрического поля, температуры)

Бегущая волна - волновое возмущение, изменяющееся во времени t и пространстве z согласно выражению:

где - амплитудная огибающая волны, K - волновое число и - фаза колебаний. Фазовая скорость этой волны даётся выражением

где - это длина волны.

Перенос энергии - упругая среда, в которой распространяется волна, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией среды.

Бегущая волна, при распространении в среде переносит энергию (в отличие от стоячей волны).

Стоячаяволна - колебания в распределенных колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на падающую.При этом крайне важное значение имеет частота, фаза и коэффициент затухания волны в месте отражения.Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе

Вектор Умова (Умова-Пойнтинга) - вектор плотности потока энергии физического поля; численно равен энергии, переносимой в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению потока энергии в данной точке.

При́нцип суперпози́ции - один из самых общих законов во многих разделах физики.

В самой простой формулировке принцип суперпозиции гласит: результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть просто сумма результатов воздействия каждой из сил.

Принцип суперпозиции может принимать и иные формулировки, которые, подчеркнём, полностью эквивалентны приведённой выше:

Взаимодействие между двумя частицами не изменяется при внесении третьей частицы, также взаимодействующей с первыми двумя.

Энергия взаимодействия всех частиц в многочастичной системе есть просто сумма энергий парных взаимодействий между всеми возможными парами частиц. В системе нет многочастичных взаимодействий.

Уравнения, описывающие поведение многочастичной системы, являются линейными по количеству частиц.

Сложение волн - сложение колебаний в каждой точке.

Сложение стоячих волн - сложение двух одинаковых волн распростроняющихся в разных напрвлениях.

Билет 21.

Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Принцип относительности Галилео.

Инерциальные - такие системы отсчета, в которых тело, на которое не действуют силы, или они уравновешены, находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно

Неинерциальная система отсчёта - произвольная система отсчёта, не являющаяся инерциальной. Примеры неинерциальных систем отсчета: система, движущаяся прямолинейно с постоянным ускорением, а также вращающаяся система

Принцип относительности Галилея - фундаментальный физический принцип, согласно которому все физические процессы в инерциальных системах отсчёта протекают одинаково, независимо от того, неподвижна ли система или она находится в состоянии равномерного и прямолинейного движения.

Отсюда следует, что все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта.

Билет 22.

Физические основы молекулярно-кинетической теории. Основные газовые законы. Уравнение состояния идеального газа. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории .

Молекулярно-кинетическая теория (сокращённо МКТ) - теория, рассматривавшая строение вещества, в основном газов, с точки зрения трёх основных приближенно верных положений:

все тела состоят из частиц, размером которых можно пренебречь: атомов, молекул и ионов;

частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (тепловом);

частицы взаимодействуют друг с другом путём абсолютно упругих столкновений.

Основными доказательствами этих положений считались:

Диффузия

Броуновское движение

Изменение агрегатных состояний вещества

уравнение Клапейрона - Менделеева - формула, устанавливающая зависимость между давлением, молярным объёмом и абсолютной температурой идеального газа.

PV = υRT υ = m/μ

Закон Бойля - Мариотта гласит:

При постоянной температуре и массе идеального газа произведение его давления и объёма постоянно

pV = const,

где p - давление газа; V - объём газа

Гей-Люссака - V / T = const

Шарля - P / T = const

Бойля - Мариотта –PV = const

Закон Авогадро - одно из важных основных положений химии, гласящее, что «в равных объёмах различных газов, взятых при одинаковых температуре и давлении, содержится одно и то же число молекул».

следствие из закона Авогадро: один моль любого газа при одинаковых условиях занимает одинаковый объём .

В частности, при нормальных условиях, т.е. при 0° С (273К) и 101,3 кПа, объём 1 моля газа, равен 22,4 л/моль. Этот объём называют молярным объёмом газа V m

Законы Дальтона:

Закон о суммарном давлении смеси газов - Давление смеси химически не взаимодействующих идеальных газов равно сумме парциальных давлений

P общ = P1 + P2 + … + Pn

Закон о растворимости компонентов газовой смеси - При постоянной температуре растворимость в данной жидкости каждой из компонентов газовой смеси, находящейся над жидкостью, пропорциональна их парциальному давлению

Оба закона Дальтона строго выполняются для идеальных газов. Для реальных газов эти законы применимы при условии, если их растворимость невелика, а поведение близко к поведению идеального газа.

Уравнение состояний идеального газа – см. уравнение Клапейрона - Менделеева PV = υRT υ = m/μ

Основное уравнение молекулярно - кинетической теории(МКТ) –

= (i/2) * kT где k является постоянной Больцмана - отношением газовой постоянной R к числу Авогадро, а i - число степеней свободы молекул.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Давление газа на стенку. Средняя энергия молекул. Закон равнораспределения. Число степеней свободы.

Давление газа на стенку - При своем движении молекулы сталкиваются друг с другом,а также со стенками сосуда, в котором находится газ. Молекул в газе много, поэтому число их ударов очень велико. Хотя сила удара отдельной молекулы мала, но действие всех молекул о стенки сосуда значительно, оно и создает давление газа

Средняя энергия молекулы –

Средняя кинетическая энергия молекул газа (в расчете на одну молекулу) определяется выражением

Ek= ½ m

Кинетическая энергия поступательного движения атомов и молекул, усредненная по огромному числу беспорядочно движущихся частиц, является мерилом того, что называется температурой. Если температура T измеряется в градусах Кельвина (К), то связь ее с E k дается соотношением

Равнораспределения закон - закон классической статистической физики, утверждающий, что для статистической системы в состоянии термодинамического равновесия на каждую трансляционную и вращательную степень свободы приходится средняя кинетическая энергия kT /2, а на каждую колебательную степень свободы - средняя энергия kT (где Т - абсолютная температура системы, k - Больцмана постоянная).

теорема равнораспределения утверждает, что при тепловом равновесии энергия разделена одинаково между её различными формами

Число степеней свободы - наименьшее число независимых координат, определяющих положение и конфигурацию молекулы в пространстве.

Число степеней свободы для одноатомной молекулы -3 (поступательное движение в направлении трех координатных осей), для двухатомной - 5 (три поступательных и две вращательных, т.к. вращение вокруг оси Х возможно только при очень высоких температурах), для трехатомной -6 (три поступательных и три вращательных).

Билет 24.

Элементы классической статистики. Функции распределения. Распределение Максвелла по абсолютному значению скоростей.

Билет 25.

Распределение Максвела по абсолютному значению скорости. Нахождение характерных скоростей молекул.

Элементы классической статистики:

Случайная величина - это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно.

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х.

Функция распределения– плотность вероятности распределения частиц макроскопической системы по координатам, импульсам или квантовым состояниям. Функция распределения является основной характеристикой самых разнообразных (не только физических) систем, которым свойственно случайное поведение, т.е. случайное изменение состояния системы и, соответственно, ее параметров.

Распределение Максвелла по абсолютному значению скоростей:

Молекулы газа при своем движении постоянно сталкиваются. Скорость каждой молекулы при столкновении изменяется. Она может возрастать и убывать. Однако среднеквадратичная скорость остается неизменной. Это объясняется тем, что в газе, находящемся при определенной температуре, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Скорость отдельной молекулы с течением времени может меняться, однако доля молекул со скоростями в некотором интервале скоростей остается неизменной.

График отношения доли молекул к интервалу скорости Δv т.е. .

Практически график описывается функцией распределения молекул по скоростям или законом Максвелла:

Выведенный формулы:

При изменении температуры газа будут изменяться скорости движения всех молекул, а, следовательно, и наиболее вероятная скорость. Поэтому максимум кривой будет смещаться вправо при повышении температуры и влево при понижении температуры.

Высота максимума и меняется при изменении температуры. То, что кривая распределения начинается в начале координат, означает, что неподвижных молекул в газе нет. Из того, что кривая асимптотически приближается к оси абсцисс при бесконечно больших скоростях, следует, что молекул с очень большими скоростями мало.

Билет 26.

Распределение Больцмана. Распределение Максвлла-Больцмана. Барометрическая формула Больцмана.

Распределение Больцмана – распределение по энергиям частиц (атомов, молекул) идеального газа в условиях термодинамического равновесия.

Закон распределения Больцмана:

где n – концентрация молекул на высоте h,

n0 – концентрация молекул на начальном уровне h = 0,

m – масса частиц,

g – ускорение свободного падения,

k – постоянная Больцмана,

T – температура.

Распределение Максвелла-Больцмана:

равновесное распределение частиц идеального газа по энергиям (E) во внешнем силовом поле (напр., в поле тяготения); определяется функцией распределения:

где E - сумма кинетической и потенциальной энергий частицы,

T - абсолютная температура,

k - постоянная Больцмана

Барометрическая формула - зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести. Для идеального газа, имеющего постоянную температуру T и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

где p - давление газа в слое, расположенном на высоте h,

p0 - давление на нулевом уровне (h = h0),

M - молярная масса газа,

R - газовая постоянная,

T - абсолютная температура.

Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул n (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где m - масса молекулы газа, k - постоянная Больцмана.

Билет 27.

Первое начало термодинамики. Работа и теплота. Процессы. Работа совершаемая газом в различных изопроцессах. Первое начало термодинамики в различных процессах. Формулировки первого начала.

Билет 28.

Внутренняя энергия идеального газа. Теплоемкость идеального газа при постоянном обьеме и при постоянном давлении. Уравнение Майера.

Первое начало термодинамики - один из трёх основных законов термодинамики, представляет собой закон сохранения энергии для термодинамических систем

Существует несколько эквивалентных формулировок первого начала термодинамики:

1) Количество теплоты, полученное системой, идёт на изменение её внутренней энергии и совершение работы против внешних сил

2) Изменение внутренней энергии системы при переходе её из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил и количества теплоты, переданного системе и не зависит от способа, которым осуществляется этот переход

3) Изменение полной энергии системы в квазистатическом процессе равно количеству теплоты Q , сообщённому системе, в сумме с изменением энергии, связанной с количеством вещества N при химическом потенциале μ, и работы A ", совершённой над системой внешними силами и полями, за вычетом работы A , совершённой самой системой против внешних сил

ΔU = Q - A + μΔΝ + A`

Идеальный газ - газ, в которой предполагается, что потенциальной энергией молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги, а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями.

Работа - При расширении работа газа положительна. При сжатии - отрицательна. Таким образом:

A" = pDV - работа газа (А" - работа газа по расширению)

A= - pDV - работа внешних сил (А - работа внешних сил по сжатию газа)

Теплота- кинетическая часть внутренней энергии вещества, определяемая интенсивным хаотическим движением молекул и атомов, из которых это вещество состоит.

Теплоемкость идеального газа - это отношение тепла, сообщенного газу, к изменению температуры δТ, которое при этом произошло.

Внутренняя энергия идеального газа – величина, зависящая только от его температуры и не зависящая от объема.

Уравнение Майера показывает, что различие теплоемкостей газа равно работе, совершаемой одним молем идеального газа при изменении его температуры на 1 K, и разъясняет смысл универсальной газовой постоянной R.

Для любого идеального газа справедливо соотношение Майера:

,

Процессы:

Изобарный процесс - термодинамический процесс, происходящий в системе при постоянном давлении.

Работа, совершаемая газом при расширении или сжатии газа, равна

Работа, совершаемая газом при расширении или сжатии газа:

Количество теплоты, получаемое или отдаваемое газом:

при постоянной температуре dU =0, поэтому все сообщаемое системе количество теплоты расходуется на совершение работы против внешних сил.

Теплоемкость:

Билет 29.

Адиабатный процесс. Уравнение адиабаты. Уравнение Пуассона. Работа в адиабатном процессе .

Адиабатический процесс - термодинамический процесс в макроскопической системе, при котором система не получает и не отдаёт тепловой энергии.

Для адиабатического процесса первое начало термодинамики в силу отсутствия теплообмена системы со средой имеет вид:

В адиабатическом процессе теплообмена с окружающей средой не происходит, т.е. δQ=0. Следовательно, теплоемкость идеального газа в адиабатическом процессе также равна нулю: Садиаб=0.

Работа совершается газом за счет за счет изменения внутренней энергии Q=0, A=-DU

При адиабатическом процессе давление газа и его объем связаны соотношением:

pV*g=const, где g= Cp/Cv.

При этом справедливы следующие сотношения:

p2/p1=(V1/V2)*g, *g-степень

T2/T1=(V1/V2)*(g-1), *(g-1)-степень

T2/T1=(p2/p1)*(g-1)/g. *(g-1)/g -степень

Приведенные соотношения носят название уравнений Пуассона

уравнение адиабатического процесса.(уравнение Пуассона) g- показатель адиабаты

Билет 30.

Второе начало термодинамики. Цикл Карно. КПД идеально тепловой машины. Энтропия и термодинамическая вероятность. Различные формулировки второго начала термодинамики.

Второе начало термодинамики - физический принцип, накладывающий ограничение на направление процессов передачи тепла между телами.

Второе начало термодинамики гласит, что невозможен самопроизвольный переход тепла от тела, менее нагретого, к телу, более нагретому.

Второе начало термодинамики запрещает так называемые вечные двигатели второго рода, показывая невозможность перехода всей внутренней энергии системы в полезную работу.

Второе начало термодинамики является постулатом, не доказываемым в рамках термодинамики. Оно было создано на основе обобщения опытных фактов и получило многочисленные экспериментальные подтверждения.

Постулат Клаузиуса: «Невозможен процесс, единственным результатом которого являлась бы передача тепла от более холодного тела к более горячему» (такой процесс называется процессом Клаузиуса ).

Постулат Томсона: «Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого было бы производство работы за счет охлаждения теплового резервуара» (такой процесс называется процессом Томсона ).

Цикл Карно́ - идеальный термодинамический цикл.

Тепловая машина Карно, работающая по этому циклу, обладает максимальным КПД из всех машин, у которых максимальная и минимальная температуры осуществляемого цикла совпадают соответственно с максимальной и минимальной температурами цикла Карно.

Цикл Карно состоит из четырёх стадий:

1.Изотермическое расширение (на рисунке - процесс A→Б). В начале процесса рабочее тело имеет температуру Tн, то есть температуру нагревателя. Затем тело приводится в контакт с нагревателем, который изотермически (при постоянной температуре) передаёт ему количество теплоты QH. При этом объём рабочего тела увеличивается.

2.Адиабатическое (изоэнтропическое) расширение (на рисунке - процесс Б→В). Рабочее тело отсоединяется от нагревателя и продолжает расширяться без теплообмена с окружающей средой. При этом его температура уменьшается до температуры холодильника.

3.Изотермическое сжатие (на рисунке - процесс В→Г). Рабочее тело, имеющее к тому времени температуру TX, приводится в контакт с холодильником и начинает изотермически сжиматься, отдавая холодильнику количество теплоты QX.

4.Адиабатическое (изоэнтропическое) сжатие (на рисунке - процесс Г→А). Рабочее тело отсоединяется от холодильника и сжимается без теплообмена с окружающей средой. При этом его температура увеличивается до температуры нагревателя.

Энтропия - показатель случайности или неупорядоченности строения физической системы. В термодинамике энтропия выражает количество тепловой энергии, пригодной для совершения работы: чем энергии меньше, тем меньше энтропия. В масштабах Вселенной энтропия возрастает. Извлечь энергию из системы можно только путем перевода ее в менее упорядоченное состояние. Согласно второму закону термодинамики, энтропия в изолированной системе либо не возрастает, либо увеличивается в ходе любого процесса.

Вероятность термодинамическая, число способов, которыми может быть реализовано состояние физической системы. В термодинамике состояние физической системы характеризуется определёнными значениями плотности, давления, температуры и др. измеримых величин.

Билет 31.

Микро- и макросостояния. Статистический вес. Обратимые и необратимые процессы. Энтропия. Закон возрастания энтропии. Теорема Нернста.

Билет 30.

Статистический вес - это число способов, которыми может быть реализовано данное состояние системы. Статистические веса всех возможных состояний системы определяют её энтропию.

Обратимые и необратимые процессы.

Обратимый процесс (то есть равновесный) - термодинамический процесс, который может проходить как в прямом, так и в обратном направлении, проходя через одинаковые промежуточные состояния, причем система возвращается в исходное состояние без затрат энергии, и в окружающей среде не остается макроскопических изменений.

(Обратимый процесс можно в любой момент заставить протекать в обратном направлении, изменив какую-либо независимую переменную на бесконечно малую величину.

Обратимые процессы дают наибольшую работу.

На практике обратимый процесс реализовать невозможно. Он протекает бесконечно медленно, и можно только приблизиться к нему.)

Необратимый процесс - процесс, который нельзя провести в противоположном направлении через все те же самые промежуточные состояния. Все реальные процессы необратимы.

В адиабатически изолированной термодинамической системе энтропия не может убывать: она или сохраняется, если в системе происходят только обратимые процессы, или возрастает, если в системе протекает хотя бы один необратимый процесс.

Записанное утверждение является ещё одной формулировкой второго начала термодинамики.

Теорема Нернста (Третье начало термодинамики) - физический принцип, определяющий поведение энтропии при приближении температуры к абсолютному нулю. Является одним из постулатов термодинамики, принимаемым на основе обобщения значительного количества экспериментальных данных.

Третье начало термодинамики может быть сформулировано так:

«Приращение энтропии при абсолютном нуле температуры стремится к конечному пределу, не зависящему от того, в каком равновесном состоянии находится система».

Где x - любой термодинамический параметр.

(Третье начало термодинамики относится только к равновесным состояниям.

Поскольку на основе второго начала термодинамики энтропию можно определить только с точностью до произвольной аддитивной постоянной (то есть, определяется не сама энтропия, а только её изменение):

третье начало термодинамики может быть использовано для точного определенияэнтропии. При этом энтропию равновесной системы при абсолютном нуле температуры считают равной нулю.

Согласно третьему началу термодинамики, при значение .)

Билет 32.

Реальные газы. Уравнение Ван-де-Ваальса. Внутренняя энергия реально газа.

Реальный газ - газ, который не описывается уравнением состояния идеального газа Клапейрона - Менделеева.

Молекулы в реальном газе взаимодействуют между собой и занимают определенный объем.

На практике часто описывается обобщенным уравнением Менделеева - Клапейрона:

Уравнение состояния газа Ван-дер-Ваальса - уравнение, связывающее основные термодинамические величины в модели газа Ван-дер-Ваальса.

(Для более точного описания поведения реальных газов при низких температурах была создана модель газа Ван-дер-Ваальса, учитывающая силы межмолекулярного взаимодействия. В этой модели внутренняя энергия U становится функцией не только температуры, но и объёма.)

Термическим уравнением состояния (или, часто, просто уравнением состояния) называется связь между давлением, объёмом и температурой.

Для н молей газа Ван-дер-Ваальса уравнение состояния выглядит так:

p - давление,

• T - абсолютная температура,

  R - универсальная газовая постоянная.

Внутренняя энергия реального газа складывается из кинетической энергии теплового движения молекул и потенциальной энергии межмолекулярного взаимодействия

Билет 33.

Физическая кинетика. Явление переноса в газах. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул.

Физическая кинетика- микроскопическая теория процессов в неравновесных средах. В кинетике методами квантовой или классической статистической физики изучают процессы переноса энергии, импульса, заряда и вещества в различных физических системах (газах, плазме, жидкостях, твёрдых телах) и влияние на них внешних полей.

Явления переноса в газах наблюдаются лишь в том случае, если система находится в неравновесном состоянии.

Диффузия– процесс переноса материи или энергии из области с высокой концентрацией в область с низкой концентрацией.

Теплопроводность - передачи внутренней энергии от одной части тела к другой или от одного тела к другому при их непосредственном контакте.

Число(Частота) столкновений и средняя длина свободного пробега молекул.

Двигаясь со средней скоростью в среднем за время τ частица проходит расстояние, равное средней длине свободного пробега < l >:

< l > = τ

τ – это время, которое молекула движется между двумя последовательными соударениями (аналог периода)

Тогда среднее число столкновений за единицу времени (средняя частота столкновений) есть величина, обратная периоду:

v = 1 / τ = / = σn

Длина пути < l>, при которой вероятность столкновения с частицами – мишенями становится равной единице, называется средней длиной свободного пробега.

= 1 / σn

Билет 34.

Диффузия в газах. Коэффициент диффузии. Вязкость газов. Коэффициент вязкости. Теплопроводность. Коэффициент теплопроводности.

Диффузия – процесс переноса материи или энергии из области с высокой концентрацией в область с низкой концентрацией.

Диффузия в газах происходит намного быстрее чем в других агрегатных состояниях, что обусловлено характером теплового движения частиц в этих средах.

Коэффициент диффузии - количество вещества, проходящего в единицу времени через участок единичной площади при градиенте концентрации, равном единице.

Коэффициент диффузии отражает скорость диффузии и определяется свойствами среды и типом диффундирующих частиц.

Вязкость (внутреннее трение) - одно из явлений переноса, свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой.

Когда говорят о вязкости, то число, которое обычно рассматривают, это коэффициент вязкости . Существует несколько различных коэффициентов вязкости, зависящих от действующих сил и природы жидкости:

Динамическая вязкость (или абсолютная вязкость) определяет поведение несжимаемой ньтоновской жидкости.

Кинематическая вязкость это динамическая вязкость деленная на плотность для ньютоновских жидкостей.

Объемная вязкость определяет поведение сжимаемой ньютоновской жидкости.

Вязкость при сдвиге (Сдвиговая вязкость) – коэффициент вязкости при сдвиговых нагрузках (для не-ньютоновских жидкостей)

Объемная вязкость – коэффициент вязкости при сжатии (для неньютоновских жидкостей)

Теплопроводность – процесс переноса теплоты, приводящий к выравниванию температуры по всему объему системы.

Коэффициент теплопроводности - численная характеристика теплопроводности материала, равная количеству теплоты, проходящей через материал толщиной 1 м и площадью 1 кв.м за час при разности температур на двух противоположных поверхностях в 1 град.C.

Понятие материальной точки. Траектория. Путь и перемещение. Система отсчета. Скорость и ускорение при криволинейном движении. Нормальное и тангенциальное ускорения. Классификация механических движений.

Предмет механики . Механикой называют раздел физики, посвященный изучению закономерностей простейшей формы движения материи - механического движения.

Механика состоит из трех подразделов: кинематики, динамики и статики.

Кинематика изучает движение тел без учета причин, его вызывающих. Она оперирует такими величинами как перемещение, пройденный путь, время, скорость движения и ускорение.

Динамика исследует законы и причины, вызывающие движение тел, т.е. изучает движение материальных тел под действием приложенных к ним сил. К кинематическим величинам добавляются величины - сила и масса.

В статике исследуют условия равновесия системы тел.

Механи́ческим движе́нием теланазывается изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

Материальная точка - тело, размерами и формой которого можно пренебречь в данных условиях движения, считая массу тела сосредоточенной в данной точке. Модель материальной точки – простейшая модель движения тела в физике. Тело можно считать материальной точкой, когда его размеры много меньше характерных расстояний в задаче.

Для описания механического движения необходимо указать тело, относительно которого рассматривается движение. Произвольно выбранное неподвижное тело, по отношению к которому рассматривается движение данного тела, называется телом отсчета .

Система отсчета - тело отсчета вместе со связанными с ним системой координат и часами.

Рассмотрим движение материальной точки М в прямоугольной системе координат, поместив начало координат в точку О.

Положение точки М относительно системы отсчета можно задать не только с помощью трех декартовых координат , но также с помощью одной векторной величины - радиуса-вектора точки М, проведенного в эту точку из начала системы координат (рис. 1.1). Если - единичные вектора (орты) осей прямоугольной декартовой системы координат, то

либо зависимость от времени радиус-вектора этой точки

Три скалярных уравнения (1.2) или эквивалентное им одно векторное уравнение (1.3) называются кинематическими уравнениями движения материальной точки .

Траекторией материальной точки называется линия, описываемая пространстве этой точкой при ее движении (геометрическое место концов радиуса-вектора частицы). В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения точки. Если все участки траектории точки лежат в одной плоскости, то движение точки называют плоским.

Уравнения (1.2) и (1.3) задают траекторию точки в так называемой параметрической форме. Роль параметра играет время t. Решая эти уравнения совместно и исключая из них время t, найдем уравнение траектории.

Длиной пути материальной точки называют сумму длин всех участков траектории, пройденных точкой за рассматриваемый промежуток времени.

Вектором перемещения материальной точки называется вектор, соединяющий начальное и конечное положение материальной точки, т.е. приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории. Из того, что перемещение является вектором, следует подтверждающийся на опыте закон независимости движений: если материальная точка участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме ее перемещений, совершаемых ею за тоже время в каждом из движений порознь

Для характеристики движения материальной точки вводят векторную физическую величину - скорость , величину, определяющую как быстроту движения, так и направление движения в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории МN так, что в момент времени t она находится в т.М, а в момент времени в т. N. Радиус-векторы точек М и N соответственно равны , а длина дуги МN равна (рис. 1.3).

Вектором средней скорости точки в интервале времени от t до t +Δt называют отношение приращения радиуса-вектора точки за этот промежуток времени к его величине :

Вектор средней скорости направлен также, как вектор перемещения т.е. вдоль хорды МN.

Мгновенная скорость или скорость в данный момент времени . Если в выражении (1.5) перейти к пределу, устремляя к нулю, то мы получим выражение для вектора скорости м.т. в момент времени t прохождения ее через т.М траектории.

В процессе уменьшения величины точка N приближается к т.М, и хорда МN, поворачиваясь вокруг т.М, в пределе совпадает по направлению с касательной к траектории в точке М. Поэтому вектор и скорость v движущейся точки направлены по касательной траектории в сторону движения. Вектор скорости v материальной точки можно разложить на три составляющие, направленные вдоль осей прямоугольной декартовой системы координат.

Из сопоставления выражений (1.7) и (1.8) следует, что проекции скорости материальной точки на оси прямоугольной декартовой системы координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки:

Движение, при котором направление скорости материальной точки не изменяется, называется прямолинейным. Если численное значение мгновенной скорости точки остается во время движения неизменным, то такое движение называется равномерным.

Если же за произвольные равные промежутки времени точка проходит пути разной длины, то численное значение ее мгновенной скорости с течением времени изменяется. Такое движение называют неравномерным.

В этом случае часто пользуются скалярной величиной , называемой средней путевой скоростью неравномерного движения на данном участке траектории. Она равна численному значению скорости такого равномерного движения, при котором на прохождение пути затрачивается то же время , что и при заданном неравномерном движении:

Т.к. только в случае прямолинейного движения с неизменной по направлению скоростью, то в общем случае:

Величину пройденного точкой пути можно представить графически пло­щадью фигуры ограниченной кривой v = f (t ), прямыми t = t 1 и t = t 1 и осью времени на графике скорости.

Закон сложения скоростей . Если материальная точка одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещения в соответствии с законом независимости движения, равно векторной (геометрической) сумме элементарных перемещений, обусловленных каждым из этих движений в отдельности:

В соответствии с определением (1.6):

Таким образом, скорость результирующего движения равна геометрической сумме скоростей всех движений, в которых участвует материальная точка, (это положение носит название закона сложения скоростей).

При движении точки мгновенная скорость может меняться как по величине, так и по направлению. Ускорение характеризует быстроту изменения модуля и направления вектора скорости, т.е. изменение величины вектора скорости за единицу времени.

Вектор среднего ускорения . Отношение приращения скорости к промежутку времени , в течение которого произошло это приращение, выражает среднее ускорение:

Вектор, среднего ускорения совпадает по направлению с вектором .

Ускорение, или мгновенное ускорение равно пределу среднего ускорения при стремлении промежутка времени к нулю:

В проекциях на соответствующие координаты оси:

При прямолинейном движении векторы скорости и ускорения совпадают с направлением траектории. Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной плоской траектории. Вектор скорости в любой точке траектории направлен по касательной к ней. Допустим, что в т.М траектории скорость была , а в т.М 1 стала . При этом считаем, что промежуток времени при переходе точки на пути из М в М 1 настолько мал, что изменением ускорения по величине и направлению можно пренебречь. Для того, чтобы найти вектор изменения скорости , необходимо определить векторную разность:

Для этого перенесем параллельно самому себе, совмещая его начало с точкой М. Разность двух векторов равна вектору, соединяющему их концы равна стороне АС МАС, построенного на векторах скоростей, как на сторонах. Разложим вектор на две составляющих АВ и АД, и обе соответственно через и . Таким образом вектор изменения скорости равен векторной сумме двух векторов:

Таким образом, ускорение материальной точки можно представить как векторную сумму нормального и тангенциального ускорений этой точки

По определению:

где - путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент. Вектор тангенциального ускорения направлен по касательной к траектории движения тела.