Закон всемирного тяготения Ньютона позволяет измерить одну из важнейших физических характеристик небесного тела - его массу.
Массу можно определить:
а) из измерений силы тяжести на поверхности данного тела (гравиметрический способ),
б) по третьему уточнённому закону Кеплера,
в) из анализа наблюдаемых возмущений, производимых небесным телом в движениях других небесных тел.
1. Первый способ применяется на Земле.
На основании закона тяготения ускорение g на поверхности Земли:
где m - масса Земли, а R - её радиус.
g и R измеряются на поверхности Земли. G = const.
С принятыми сейчас значениями g, R, G получается масса Земли:
m = 5,976 .1027г = 6 .1024кг.
Зная массу и объём, можно найти среднюю плотность. Она равна 5,5 г/см3.
2. По третьему закону Кеплера можно определить соотношение между массой планеты и массой Солнца, если у планеты есть хотя бы один спутник и известны его расстояние от планеты и период обращения вокруг неё.
где M, m, mc- массы Солнца, планеты и её спутника, T и tc- периоды обращений планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты, а и ас - расстояния планеты от Солнца и спутника от планеты соответственно.
Из уравнения следует
Отношение М/m для всех планет очень велико; отношение же m/mc, очень мало (кроме Земли и Луны, Плутона и Харона) и им можно пренебречь.
Соотношение М/m можно легко найти из уравнения.
Для случая Земли и Луны нужно сначала определить массу Луны. Это сделать очень сложно. Решается задача путём анализа возмущений в движении Земли, которые вызывает Луна.
3. По точным определениям видимых положений Солнца в его долготе были обнаружены изменения с месячным периодом, называемые "лунным неравенством". Наличие этого факта в видимом движении Солнца указывает на то, что центр Земли описывает небольшой эллипс в течение месяца вокруг общего центра масс "Земля - Луна", расположенного внутри Земли, на расстоянии 4650 км. от центра Земли.
Положение центра масс Земля-Луна было найдено также из наблюдений малой планеты Эрос в 1930 - 1931 гг.
По возмущениям в движениях искусственных спутников Земли отношение масс Луны и Земли получилось 1/81,30.
В 1964 году Международный астрономический союз принял его как const.
Из уравнения Кеплера получаем для Солнца массу = 2.1033г., что в 333000 раза превосходит земную.
Массы планет, не имеющих спутников, определены по возмущениям, которые они вызывают в движении Земли, Марса, астероидов, комет, по возмущениям, производимым ими друг на друга.
При изучении планет с физической точки зрения прежде всего необходимо знать их размеры и массу. Зная то и другое, можно легко вычислить и среднюю плотность планеты.
Определение масс планет, имеющих спутники, производится на основании III закона Кеплера в его точной форме. Если М - масса Солнца, - массы планеты и спутника, - периоды обращения планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты, - большие полуоси их орбит, то III закон Кеплера можно написать в таком виде:
Поскольку массы планет во много раз меньше массы Солнца, а массы спутников, как правило, ничтожны по сравнению с массами планет, мы можем пренебречь вторыми слагаемыми в скобках и получить отношение масс планеты и Солнца:
Зная массу Земли, мы по этой формуле можем найти массу Солнца, а затем и тех планет, у которых имеются спутники.
Определение масс планет, не имеющих спутников, а также масс самих спутников и астероидов представляет собой более трудную задачу.
Массы Меркурия и Венеры были первоначальна определены по тем возмущениям, которые они вызывают в движении других планет. Полеты к этим планетам космических аппаратов позволили существенно уточнить значения их масс по их воздействию на траекторию аппарата. Масса Плутона до последнего времени была известна лишь весьма приблизительно, и лишь недавно, после открытия спутника Плутона, ее удалось уточнить. Масса Луны была найдена по воздействию на Землю, под влиянием которого Земля описывает маленький эллипс вокруг их общего центра тяжести. Массы крупных спутников Юпитера можно определить по их взаимным возмущениям. Для остальных спутников, а также для астероидов приходится делать только приближенную оценку массы и диаметра по их блеску (см. § 7).
Линейный диаметр планеты легко определить, зная расстояние и измерив ее угловой диаметр. Так как угловые диаметры планет очень малы (меньше 1), мы можем написать:
где - расстояние планеты от Земли, d" - ее угловой диаметр, выраженный в секундах дуги, D - линейный диаметр.
Измерение угловых диаметров планет производится с помощью специального измерительного прибора - микрометра, помещаемого в фокусе телескопа; Наиболее употребительным является нитяной микрометр. Устройство его таково. На неподвижной рамке укреплены перпендикулярно друг к другу две тонкие нити. Вдоль рамки, в направлении горизонтальной нити, может перемещаться другая рамка с вертикальной нитью, параллельной вертикальной неподвижной нити. Движение этой нити осуществляется с помощью микрометрического винта, один оборот которого передвигает рамку на строго определенную величину (на так называемый шаг винта).
Для измерения углового диаметра планет микрометр поворачивается так, чтобы направление горизонтальной нити соответствовало измеряемому диаметру, поскольку у планет имеющих значительное сжатие, видимые диаметры, полярный и экваториальный, заметно отличаются друг от друга.
Точность измерения у длиннофокусных телескопов доходит до сотых долей секунды дуги.
С помощью нитяного микрометра измеряются не только угловые диаметры всех планет, имеющих видимые диски, но и их полярное сжатие, величина фазы, а также положение темных полос на Юпитере, протяженность полярных шапок Марса и т. д.
Другим прибором, применяемым для измерений угловых диаметров и фаз планет, является гелиометр. Он представляет собой телескоп-рефрактор, объектив которого распилен по диаметру пополам, причем обе половинки могут раздвигаться с помощью микрометрического винта вдоль их общего диаметра. Кроме того, вся система может поворачиваться вокруг оптической оси телескопа.
При раздвигании обеих половин объектива в окуляре вместо одного изображения планеты возникают два. Вращая микрометрический винт, можно добиться того, чтобы оба изображения планеты касались друг друга. Тогда, очевидно, одно из них будет смещено относительно другого как раз на величину углового диаметра планеты. Зная цену оборота винта гелиометра и произведя отсчет, мы получим нужную нам величину.
Понятно что гелиометр сложнее нитяного микрометра, так как требует специальной оптики, тогда как последний может быть приспособлен к любому телескопу. Кроме того, необходимость распиловки объектива гелиометра ограничивает его возможные размеры. Однако точность, с которой можно выполнять измерения, у гелиометра выше.
Измерения угловых диаметров планет можно производить и по фотопластинкам. В этом случае применяются лабораторные измерительные приборы, главными частями которых являются: столик, на который кладется пластинка, два микрометрических винта, перемещающих ее по двум взаимно перпендикулярным направлениям, и микроскоп для рассматривания планетных дисков, имеющих подчас очень малые размеры.
Чтобы перевести измеренные на пластинке величины в угловые единицы, надо знать масштаб снимка.
Если снимок получен в фокусе объектива, то его масштаб определяется соотношением
т. е. 1" на снимке имеет длину, равную 1/206 265 фокусного расстояния объектива. Для объектива с фокусным расстоянием 2 м это будет всего лишь 0,001 мм, а для самого длиннофокусного в мире рефрактора Йеркской обсерватории - около ОД мм.
Если фотографирование производится с дополнительным увеличением, например, при помощи окуляра, то нужно определить постоянную увеличительной системы, т. е. узнать, во сколько раз она увеличивает изображение. Эта величина дается формулой
где - фокусное расстояние окуляра, а г - его расстояние от пластинки при фотографировании. Надо сказать, что получение снимков планет с большим увеличением (более 10 раз) ограничивается уменьшением освещенности изображения (см. ниже § 6).
При серьезных работах вместо обычных окуляров для увеличения размеров изображения используют специальные оптические системы. Например, можно применить вогнутую (рассеивающую) линзу (линзу Барлоу), которая уменьшает угол схождения лучей и тем самым как бы увеличивает фокусное расстояние объектива, а стало быть, и размеры изображения планеты. Следует отметить, что вообще диски планет на фотографиях весьма невелики. Так, например, на снимках Марса, полученных в 1909 г. Г. А. Тиховым с 30-дюймовым рефрактором Пулковской обсерватории (F=14 м), диаметр изображения планеты равен примерно 1,5 мм. При использовании увеличительной системы даже со столь крупными телескопами можно получить диск Марса размером в 8-10 мм, а диск Юпитера - до 15 мм.
В таблице 3 даны угловые диаметры планет и некоторых спутников при их наименьшем и наибольшем расстоянии от Земли.
Для крупнейшего в мире рефрактора предел точности измерений теоретически равен но в реальных условиях наблюдений, из-за неспокойствия атмосферы и других искажений, он возрастает до
Таблица 3
Поэтому, как видно из табл. 3, Плутон среди больших планет, Тритон среди спутников и Юнона среди малых планет лежат на пределе возможности измерения из угловых диаметров.
Как уже говорилось выше, для оценки размеров небольших или удаленных от нас тел (спутников, астероидов) приходится применять косвенные способы, главным образом фотометрические (см. § 7).
На вопрос Как учёные определяют массу планет и звёзд? заданный автором Ѝрик Ворон
лучший ответ это Массу планеты, имеющей спутник, очень легко рассчитать по характеристикам движения спутника. Хотя орбиты движения спутников эллиптические, но степень эллиптичности обычно очень мала и с хорошей точностью орбиту можно считать круговой. Для устойчивого движения всегда выполняется равенство гравитационной силы притяжения и центробежной силы: γmM/R² = mV²/R, где m - масса спутника, M - масса планеты, V - скорость движения спутника, R - расстояние от спутника до планеты. Сокращаем массу спутника m и получаем M = RV²/γ. Расстояние R легко измеряется с помощью телескопов: смотрят на спутник и саму планету из двух точек земной поверхности и видят их под разными углами, затем простейшими формулами геометрии высчитывают расстояние до спутника и планеты, а разность между этими расстояниями и дает искомую величину R. Зная удаление спутника от планеты и время его полного обращения, легко находят скорость V. И окончательно узнают массу планеты М. А затем вводят поправки на эллиптичность орбиты и корректируют найденную массу.
Определить массу планеты, не имеющей спутников (Венера и Меркурий) , заметно сложнее. Обычно это делается через гравитационные возмущения орбит. Чем ближе подходит Венера к Земле, тем сильнее притягивает её Земля и Венера как-бы немножко сходит со своей орбиты (Земля при этом также сходит) . Это изменение орбиты и называется гравитационным возмущением. Оно настолько мало, что даже в долгосрочной перспективе никак не скажется на судьбе планет. Но уже достаточно велико, чтобы быть обнаруженным в телескопы. Величина гравитационных возмущений орбит пропорциональна массам планет. Зная массу Земли, всегда можно подобрать такое значение массы Венеры, чтобы рассчитаннное возмущение орбиты совпало с тем, что наблюдается на практике. А затем точно таким же макаром ищут массу Меркурия.
Массу звезд ищут иным способом. Вначале находят массу Солнца по той же самой формуле, что я написал выше. Затем выбирают некоторую звезду и снимают максимально возможную информацию её излучения: светимость, спектр, распределение энергии по спектру, наличие линий поглощения и излучения в спектре, величину красного смещения и т. д. И все это сравнивают с теми же данными по Солнцу. Дело в том, что некоторые характеристики излучения звезды зависят от её массы. Сравнивая эти данные с данными Солнца и зная массу последнего, можно определить массу звезды.
Корпускуляр
Гений
(66066)
"Сокращаем массу спутника m и получаем M = RV²/γ. "
Вы невнимательно прочитали мой ответ. Нужно знать только параметры орбиты спутника, но не его массу.
Ответ от Невропатолог
[гуру]
По радиусу орбиты и скорости вращения. Чем ближе планета к Солнцу и чем быстрее она вращается, тем больше масса.
Ответ от Александр Журило
[гуру]
По расчетным формулам и результатам астрономических наблюдений.
Delitant 75 · 03-10-2014
Массы небесных тел (методы определения)
В основе определения масс небесных тел лежит закон всемирного тяготения, выражаемый ф-лой:
$F=Gcdot{{mathfrak M}_1{mathfrak M}_2over {r^2}}$ (1)
где F - сила взаимного притяжения масс ${mathfrak M}_1$ и ${mathfrak M}_2$, пропорциональная их произведению и обратно пропорциональная квадрату расстояния r между их центрами. В астрономии часто (но не всегда) можно пренебречь размерами самих небесных тел по сравнению с разделяющими их расстояниями, отличием их формы от точной сферы и уподоблять небесные тела материальным точкам, в к-рых сосредоточена вся их масса.
Коэффициент пропорциональности G =$6,67cdot 10^{-8} mbox{см}^3cdot mbox{г}^{-1}cdot mbox{с}^{-2}$ наз. гравитационной постоянной или постоянной тяготения. Её находят из физического эксперимента с крутильными весами, позволяющими определить силу гравитац. взаимодействия тел известной массы.
В случае свободного падения тел сила F, действующая на тело, равна произведению массы тела ${mathfrak M}$ на ускорение свободного падения g. Ускорение g может быть определено, напр., по периоду T колебаний вертикального маятника: $T=2pisqrt{l/g}$, где l - длина маятника. На широте 45o и на уровне моря g= 9,806 м/с2.
Подстановка выражения для сил земного притяжения $F={mathfrak M}cdot g$ в ф-лу (1) приводит к зависимости $g=G{mathfrak M}_oplus/R_oplus^2$, где ${mathfrak M}_oplus$ - масса Земли, а $R_oplus$ - радиус земного шара. Таким путём была определена масса Земли ${mathfrak M}_oplusapprox 6,0cdot 10^{27}$ г. Определение массы Земли явл. первым звеном в цепи определений масс др. небесных тел (Солнца, Луны, планет, а затем и звёзд). Массы этих тел находят, опираясь либо на 3-й закон Кеплера (см. Кеплера законы), либо на правило: расстояния к.-л. масс от общего центра масс обратно пропорциональны самим массам. Это правило позволяет определить массу Луны. Из измерений точных координат планет и Солнца найдено, что Земля и Луна с периодом в один месяц движутся вокруг барицентра - центра масс системы Земля - Луна. Расстояние центра Земли от барицентра равно 0,730 $R_oplus$ (он расположен внутри земного шара). Ср. расстояние цeнтpa Луны от центра Земли составляет 60,08 $R_oplus$. Отсюда отношение расстояний центров Луны и Земли от барицентра равно 1/81,3. Поскольку это отношение обратно отношению масс Земли и Луны, масса Луны
${mathfrak M}_Л={mathfrak M}_oplus/81,3approx 7,35cdot 10^{25}$ г.
Массу Солнца можно определить, применив 3-й закон Кеплера к движению Земли (вместе с Луной) вокруг Солнца и движению Луны вокруг Земли:
${a_oplus^3over {T_oplus^2({mathfrak M}_odot+{mathfrak M}_oplus)}}={a_{Л}^3over {T_{Л}^2({mathfrak M}_oplus+{mathfrak M}_{Л})}}$ , (2)
где а - большие полуоси орбит, T - периоды (звёздные или сидерические) обращения. Пренебрегая ${mathfrak M}_oplus$ по сравнению с ${mathfrak M}_odot$, получим отношение ${mathfrak M}_odot/({mathfrak M}_oplus+{mathfrak M}_{Л})$, равное 329390. Отсюда ${mathfrak M}_odotapprox 3,3cdot 10^{33}$ г, или ок. $3,3cdot 10^5 {mathfrak M}_oplus$.
Аналогичным путём определяют массы планет, имеющих спутников. Массы планет, не имеющих спутников, определяют по возмущениям, к-рые они оказывают на движение соседних с ними планет. Теория возмущённого движения планет позволила заподозрить существование тогда неизвестных планет Нептуна и Плутона, найти их массы, предсказать их положение на небе.
Массу звезды (помимо Солнца) можно определить со сравнительно высокой надёжностью только в том случае, если она явл. физ. компонентом визуально-двойной звезды (см. Двойные звезды), расстояние до к-рой известно. Третий закон Кеплера в этом случае даёт сумму масс компонентов (в ед. ${mathfrak M}_odot$):
${mathfrak M}_1+{mathfrak M}_2={(a"")^3over {(pi"")^3}}cdot {1over{P^2}}$ ,
где а"" -большая полуось (в секундах дуги) истинной орбиты спутника вокруг главной (обычно более яркой) звезды, к-рую в этом случае считают неподвижной, Р - период обращения в годах, $pi""$ - параллакс системы (в секундах дуги). Величина $a""/pi""$ даёт большую полуось орбиты в а. е. Если можно измерить угловые расстояния $
ho$ компонентов от общего центра масс, то их отношение даст величину, обратную отношению масс: $
ho_1/
ho_2={mathfrak M}_2/{mathfrak M}_1$. Найденная сумма масс и их отношение позволяют получить массу каждой звезды в отдельности. Если компоненты двойной имеют примерно одинаковый блеск и сходные спектры, то полусумма масс $({mathfrak M}_1+{mathfrak M}_2)/2$ даёт верную оценку массы каждого компонента и без дополнит. определения их отношения.
Для др. типов двойных звезд (затменно-двойных и спектрально-двойных) имеется ряд возможностей приблизительно определить массы звёзд или оценить их нижний предел (т.е. величины, меньше которых не могут быть их массы).
Совокупность данных о массах компонентов примерно ста двойных звёзд разных типов позволила обнаружить важную статистич. зависимость между их массами и светимостями (см. Масса-светимость зависимость). Она даёт возможность оценивать массы одиночных звёзд по их светимостям (иначе говоря, по их абс. звёздным величинам). Абс. звёздные величины М определяются по ф-ле: M = m + 5 + 5 lg $pi$ - A(r) , (3) где m - видимая звёздная величина в выбранном оптич. диапазоне (в определённой фотометрич. системе, напр. U, В или V; см. Астрофотометрия), $pi$ - параллакс и A(r) - величина межзвёздного поглощения света в том же оптич. диапазоне в данном направлении до расстояния $r=1/pi$.
Если параллакс звезды не измерен, то приближённое значение абс. звёздной величины можно определить по её спектру. Для этого необходимо, чтобы спектрограмма позволяла не только узнать спектральный класс звезды, но и оценить относительные интенсивности нек-рых пар спектр. линий, чувствительных к "эффекту абс. величины". Иначе говоря, сначала необходимо определить класс светимости звезды - принадлежность к одной из последовательностей на диаграмме спектр-светимость (см. Герцшпрунга-Ресселла диаграмма), а по классу светимости - её абс. величину. По полученной таким образом абс. величине можно найти массу звезды, воспользовавшись зависимостью масса-светимость (этой зависимости не подчиняются лишь белые карлики и пульсары).
Ещё один метод оценки массы звезды связан с измерением гравитац. красного смещения спектр. линий в её поле тяготения. В сферически-симметричном поле тяготения оно эквивалентно доплеровскому красному смещению $Delta v_r=0,635 {mathfrak M}/R$, где ${mathfrak M}$ - масса звезды в ед. массы Солнца, R - радиус звезды в ед. радиуса Солнца, а $Delta v_r$ выражено в км/с. Это соотношение было проверено по тем белым карликам, к-рые входят в состав двойных систем. Для них были известны радиусы, массы и истинные лучевые скорости vr, являющиеся проекциями орбитальной скорости.
Невидимые (тёмные) спутники, обнаруженные около нек-рых звёзд по наблюдённым колебаниям положения звезды, связанным с её движением около общего центра масс (см. Невидимые спутники звезд), имеют массы меньше 0,02 ${mathfrak M}_odot$. Они, вероятно, не явл. самосветящимися телами и больше похожи на планеты.
Из определений масс звёзд выяснилось, что они заключены примерно в пределах от 0,03 ${mathfrak M}_odot$ до 60 ${mathfrak M}_odot$. Наибольшее количество звёзд имеют массы от 0,3 ${mathfrak M}_odot$ до 3 ${mathfrak M}_odot$. Ср. масса звезд в ближайших окрестностях Солнца $approx 0,5 {mathfrak M}_odot$, т.е. $approx$1033 г. Различие в массах звёзд оказывается много меньшим, чем их различие в светимостях (последнее может достигать десятков млн.). Сильно отличаются и радиусы звёзд. Это приводит к разительному различию их ср. плотностей: от $5cdot 10^{-5}$ до $3cdot 10^5$ г/см3 (ср. плотность Солнца 1,4 г/см3).
Массу рассеянного звёздного скопления можно определить, сложив массы всех его членов, светимости к-рых определяют по их видимому блеску и расстоянию до скопления, а массы - по зависимости масса-светимость.
Массу шарового звёздного скопления далеко не всегда можно оценить путём подсчёта звёзд, т.к. в центральной области большинства таких скоплений изображения отдельных звёзд на фотографиях, полученных с оптимальной экспозицией, сливаются в одно светящееся пятно. Есть методы оценки общей массы всего скопления, основанные на статистич. принципах. Так, напр., применение теоремы о вириале (см. Вириала теорема) позволяет оценить массу скопления ${mathfrak M}_{ск}$ (в ${mathfrak M}_odot$) по радиусу скопления r (пк) и ср. квадратич. отклонению $ar{(Delta v)^2}$ лучевой скорости отдельных звёзд (в км/с) от ср. её значения (т.е. от лучевой скорости скопления как целого):
${mathfrak M}_{ск}approx 800 ar{(Delta v)^2}cdot r$ .
Если же подсчёт звёзд - членов шарового скопления возможен, то общую массу скопления можно определить как сумму произведений ${mathfrak M}_i cdot varphi(M_i)$, где $varphi(M_i)$ - функция светимости этого скопления, т.е. число звёзд, приходящихся на различные интервалы абс. звёздных величин Mi (обычно их подсчитывают в интервалах, равных 1m), a ${mathfrak M}_i$ - масса, соответствующая данной абс. звёздной величине Mi по зависимости масса-светимость. Т.о., общая масса скопления ${mathfrak M}_{ск}=sumlimits_i {mathfrak M}_icdot varphi(M_i)$, где сумма взята от самых ярких до самых слабых членов скопления.
Метод определения массы Галактики ${mathfrak M}_Г$ исходит из факта вращения Галактики. Устойчивость вращения позволяет предположить, что центростремит. ускорение для каждой звезды, в частности для Солнца, определяется притяжением вещества Галактики в пределах солнечной орбиты. Солнце притягивается к галактич. центру с силой $F_0=G{mathfrak M}_0{mathfrak M}_odot/R_0^2$, где R0 - расстояние Солнца от ядра Галактики, равное $3cdot 10^{22}$ см. Сила F0 сообщает Солнцу ускорение $g_0=G{mathfrak M}_0/R_0^2$, к-рое равно центробежному ускорению Солнца $v_0^2/R_0$ (без учёта влияния внеш. части Галактики и при условии эллипсоидальности поверхностей равной плотности по внутр. её части). Собственная галактич. скорость Солнца (т.н. круговая скорость на расстоянии R0 от центра) $v_0approx$220 км/с, отсюда $g_0=v_0^2/R_0approx 1,6cdot 10^{-8}$ см/с2. Масса Галактики, без учёта её частей, внешних по отношению к галактической траектории Солнца, ${mathfrak M}_Гapprox g_0R_0/Gapprox 2,2cdot 10^{44}$ г. Масса Галактики в сферич. объёме с радиусом $approx$15 кпк, согласно подобным расчётам, равна $approx 1,5cdot 10^{11} {mathfrak M}_odot$. При этом учитывается также масса всей диффузной (рассеянной) материи в Галактике.
Масса спиральной галактики может быть определена по результатам изучения её вращения, напр. из анализа кривой лучевых скоростей, измеренных в различных точках большой оси видимого эллипса галактики. В каждой точке галактики центростремит. сила пропорциональна массе более близких к центру галактики областей и зависит от закона изменения плотности галактики с удалением от её центра. Спектроскопич. наблюдения в оптич. диапазоне позволили построить кривые вращения спиральных галактик до расстояний 20-25 кпк от центра (а у ряда галактик высокой светимости до 40 кпк и более). Вплоть до этих расстояний круговая скорость не уменьшается с увеличением R, т.е. масса галактики продолжает расти с расстоянием. Т.о., в галактиках имеется скрытая масса. Масса невидимого (несветящегося) вещества галактик может в 10 и более раз превосходить массу светящегося вещества; предположительно, скрытая масса может существовать в форме очень слабых маломассивных звёзд или чёрных дыр или в форме элементарных частиц (напр., нейтрино, если они обладают массой покоя).
Для медленно вращающихся галактик, какими явл., напр., эллиптич. галактики, трудно получить кривые лучевых скоростей, но зато можно по расширению спектр. линии оценить ср. скорость звёзд в системе и, сопоставив её с истинными размерами галактики, определить её массу. Чем больше ср. скорость звёзд, тем больше должна быть масса галактики (при одинаковых размерах). Зависимость между массой, размерами галактики и ср. скоростью звёзд вытекает из условия стационарности системы.
Ещё один способ оценки массы галактик-компонентов двойных систем аналогичен методу оценки масс компонентов спектрально-двойных звёзд (ошибка не превышает 20%). Используют также установленную статистич. зависимость между массой и интегр. светимостью галактик различного типа (своего рода зависимость масса-светимость для галактик). Светимость определяется по видимой интегр. звёздной величине и расстоянию, к-рое оценивается по красному смещению линий в спектре. Ср. масса галактик, входящих в скопление галактик, оценивается по числу галактик скопления и его общей массе, к-рую статистически определяют по дисперсии лучевых скоростей галактик, подобно тому как оценивается общая масса звёздного скопления на основе теоремы о вириале.
Известные ныне массы галактик заключены в пределах от ~105${mathfrak M}_odot$ (т.н. карликовые галактики) до 1012${mathfrak M}_odot$ (сверхгигантские эллиптич. галактики, напр. галактика М 87), т.е. отношение масс галактик доходит до 107.
Точность определения масс астрономич. объектов зависит от точности определения всех величин, входящих в соответствующие ф-лы. Масса Земли определена с погрешностью $pm$0,05%, масса Луны $pm$0,1%. Погрешность определения массы Солнца также составляет $pm$0,1%, она зависит от точности определения астрономической единицы (ср. расстояния до Солнца). Вообще, в значит. степени точность определения массы зависит от точности измерения расстояния до космического объекта, в случае двойных звёзд - от расстояния между ними, от линейных размеров тел и т.д. Массы планет известны с погрешностью от $pm$0,05 до $pm$0,7%. Массы звёзд определены с погрешностью от 20 до 60%. Неуверенность определения масс галактик можно характеризовать коэфф. 2-5 (масса может быть в неск. раз больше или меньше), если надёжно определено расстояние до них.
Лит.:
Струве О., Линде Б., Пилланс Э., Элементарная астрономия, пер. с англ., 2 изд., М., 1967; Сагитов М.У., Постоянная тяготения и масса Земли, М., 1969; Климишин И.А., Релятивистская астрономия, М., 1983.
(П.Г. Куликовский)
Масса - одна из важнейших характеристик небесных тел. Но как можно определить массу небесного тела? Ньютон доказал, что более точная формула третьего закона Кеплера такова:
где М 1 и М 2 - массы каких-либо небесных тел, а m 1 , и m 2 - соответственно массы их спутников. В частности, планеты являются спутниками Солнца. Мы видим, что уточненная формула этого закона отличается от приближенной наличием множителя, содержащего массы Если под М 1 = М 2 = М понимать массу Солнца, а под m 1 и m 2 - массы двух разных планет, то отношение
будет мало отличаться от единицы, так как m 1 и m 2 очень малы по сравнению с массой Солнца. При этом точная формула не будет заметно отличаться от приближенной.
Уточненный третий закон Кеплера позволяет определить массы планет, имеющих спутников, и массу Солнца. Чтобы определить массу Солнца, перепишем формулу этого закона в следующем виде, сравнивая движение Луны вокруг Земли с движением Земли вокруг Солнца:
где T з и а з - период обращения Земли (год) и большая полуось ее орбиты, Т л и а л - период обращения Луны вокруг Земли и большая полуось ее орбиты, M с - масса Солнца, M з - масса Земли, m л - масса Луны. Масса Земли ничтожна сравнительно с массой Солнца, а масса Луны мала (1:81) сравнительно с массой Земли. Поэтому вторые слагаемые в суммах можно отбросить, не делая большой ошибки. Решив уравнение относительно M с /M з имеем:
Эта формула позволяет определить массу Солнца, выраженную в массах Земли. Она составляет около 333 000 масс Земли.
Для сравнения масс Земли и другой планеты, например Юпитера, надо в исходной формуле индекс 1 отнести к движению Луны вокруг Земли массой М 1 а 2 - к движению любого спутника вокруг Юпитера массой М 2 .
Массы планет, не имеющих спутников, определяют по тем возмущениям, которые они своим притяжением производят в движении соседних с ними планет или в движении комет и астероидов.
- Определите массу Юпитера сравнением системы Юпитера со спутником с системой Земля - Луна, если первый спутник Юпитера отстоит от него на 422 000 км и имеет период обращения 1,77 сут. Данные для Луны должны быть вам известны.
- Вычислите, на каком расстоянии от Земли на линии Земля - Луна находятся те точки, в которых притяжения Землей и Луной одинаковы, зная, что расстояние между Луной и Землей равно 60 радиусам Земли, а массы Земли и Луны относятся как 81: 1.
