Решение систем линейных алгебраических уравненийявляется одной из основных задач линейной алгебры. Эта задача имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем, кроме того является вспомогательной при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований.
Системой линейных алгебраических уравнений называют систему уравнений вида: (1)
где – неизвестные; – свободные члены.
Решением системы уравнений (1) называют всякую совокупность чисел которая будучи поставлена в систему (1) на место неизвестных обращает все уравнения системы в верные числовые равенства.
Систему уравнений называют совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если не имеет решений.
Совместную систему уравнений называют определенной , если она имеет одно единственное решение, и неопределенной , если она имеет, по крайней мере, два различных решения.
Две системы уравнений называют равносильными или эквивалентными , если они имеют одно и то же множество решений.
Систему (1) называют однородной , если свободные члены равны нулю:
Однородная система всегда является совместной - она имеет решение (возможно, не единственное).
Если в системе (1) , то имеем систему n линейных уравнений с n неизвестными: где – неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены.
Линейная система может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения.
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Если то система имеет единственное решение;
если то система не имеет решений;
если то система имеет бесконечное множество решений.
Пример. Система имеет единственное решение пару чисел
Система имеет бесконечное множество решений. Например, решениями данной системы являются пары чисел и т.д.
Система не имеет решений, так как разность двух чисел не может принимать двух различных значений.
Определение. Определителем второго порядка называют выражение вида:
Обозначают определитель символом D.
Числа а 11, …, а 22 называют элементами определителя.
Диагональ, образованную элементами а 11 ; а 22 называют главной, диагональ, образованную элементами а 12 ; а 21 − побочной.
Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Заметим, что в ответе получается число.
Пример. Вычислим определители:
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: где х 1, х 2 – неизвестные; а 11 , …, а 22 – коэффициенты при неизвестных, b 1 , b 2 – свободные члены.
Если система двух уравнений с двумя неизвестными имеет единственное решение, то его можно найти с помощью определителей второго порядка.
Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называют определителем системы: D= .
В столбцах определителя D стоят коэффициенты соответственно при х 1 и при , х 2 . Введем два дополнительных определителя, которые получаются из определителя системы заменой одного из столбцов столбцом свободных членов: D 1 = D 2 = .
Теорема 14 (Крамера, для случая n=2). Если определитель D системы отличен от нуля (D¹0), то система имеет единственное решение, которое находят по формулам:
Данные формулы называют формулами Крамера.
Пример. Решим систему по правилу Крамера:
Решение. Найдем числа
Ответ.
Определение. Определителем третьего порядка называют выражение вида:
Элементы а 11; а 22 ; а 33 – образуют главную диагональ.
Числа а 13; а 22 ; а 31 – образуют побочную диагональ.
В запись с плюсом входят: произведение элементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведением элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали. Слагаемые с минусом образуют по той же схеме относительно побочной диагонали.
Пример. Вычислим определители:
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: где – неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены.
В случае единственного решения систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными можно решить с помощью определителей 3-го порядка.
Определитель системы D имеет вид:
Введем три дополнительных определителя:
Теорема 15 (Крамера, для случая n=3). Если определитель D системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находят по формулам Крамера:
Пример. Решим систему по правилу Крамера.
Решение. Найдем числа
Воспользуемся формулами Крамера и найдем решение исходной системы:
Ответ.
Заметим, что теорема Крамера применима, когда число уравнений равно числу неизвестных и когда определитель системы D отличен от нуля.
Если определитель системы равен нулю, то в этом случае система может либо не иметь решений, либо иметь бесчисленное множество решений. Эти случаи исследуются особо.
Отметим только один случай. Если определитель системы равен нулю (D=0), а хотя бы один из дополнительных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет, то есть является несовместной.
Теорему Крамера можно обобщать для системы n линейных уравнений с n неизвестными: где – неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены.
Если определитель системы линейных уравнений с неизвестными то единственное решение системы находят по формулам Крамера:
Дополнительный определитель получают из определителя D, если в нем столбец коэффициентов при неизвестном x i заменить столбцом свободных членов.
Заметим, что определители D, D 1 , … , D n имеют порядок n .
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
Одним из наиболее распространенных методов решения систем линейных алгебраических уравнений является метод последовательного исключения неизвестных −метод Гаусса . Данный метод представляет собой обобщение метода подстановки и состоит в последовательном исключении неизвестных до тех пор, пока не останется одно уравнение с одним неизвестным.
Метод основан на некоторых преобразованиях системы линейных уравнений, в результате которых получается система, равносильная исходной системе. Алгоритм метода состоит из двух этапов.
Первый этап называют прямым ходом метода Гаусса. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений. Для этого на первом шаге делят первое уравнение системы на ( в противном случае осуществляют перестановку уравнений системы). Обозначают коэффициенты полученного приведенного уравнения, домножают его на коэффициент и вычитают из второго уравнения системы, исключая, тем самым, из второго уравнения (обнуляя коэффициент ).
Аналогично поступают с остальными уравнениями и получают новую систему, во всех уравнениях которой, начиная со второго коэффициенты при , содержатся только нули. Очевидно, что полученная при этом новая система, будет равносильна исходной системе.
Если новые коэффициенты, при , не все равны нулю, можнотаким же образом исключить из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приводят систему к так называемому треугольному виду:
Здесь символами и обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.
Из последнего уравнения системы единственным образом определяют , а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.
Замечание. Иногда, в результате преобразований, в каком-либо из уравнений все коэффициенты и правая часть обращаются в ноль, то есть уравнение превращается в тождество 0=0. Исключив такое уравнение из системы, уменьшают число уравнений по сравнению с числом неизвестных. Такая система не может иметь единственного решения.
Если же в процессе применения метода Гаусса какое-нибудь уравнение превратится в равенство вида 0=1 (коэффициенты при неизвестных обратились в 0, а правая часть приняла ненулевое значение), то исходная система не имеет решения, так как подобное равенство является неверным при любых значениях неизвестных.
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
где – неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены. , подставляя найденное
Решение. Применив к этой системе метод Гаусса, получим
Откуда Последнее равенство является неверным при любых значениях неизвестных, следовательно, система не имеет решения.
Ответ. Система не имеет решений.
Заметим, что рассмотренный ранее метод Крамера можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений.
Система линейных уравнений - это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:
Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.
Решение системы уравнений - это последовательность чисел (k 1 , k 2 , ..., k n ), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x 1 , x 2 , ..., x n дает верное числовое равенство.
Соответственно, решить систему уравнений - значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:
- Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
- Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
- Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» - надо описать, как устроено это множество.
Переменная x i называется разрешенной, если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной x i должен быть равен нулю.
Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:
Обе системы являются разрешенными относительно переменных x 1 , x 3 и x 4 . Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система - разрешенная относительно x 1 , x 3 и x 5 . Достаточно переписать самое последнее уравнение в виде x 5 = x 4 .
Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:
- Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k : r = k . Получаем систему из k уравнений, в которых r = k разрешенных переменных. Такая система является совместной и определенной, т.к. x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k ;
- Число разрешенных переменных r меньше общего числа переменных k : r < k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.
Так, в приведенных выше системах переменные x 2 , x 5 , x 6 (для первой системы) и x 2 , x 5 (для второй) являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы:
Обратите внимание: это очень важный момент! В зависимости от того, как вы запишете итоговую систему, одна и та же переменная может быть как разрешенной, так и свободной. Большинство репетиторов по высшей математике рекомендуют выписывать переменные в лексикографическом порядке, т.е. по возрастанию индекса. Однако вы совершенно не обязаны следовать этому совету.
Теорема. Если в системе из n уравнений переменные x 1 , x 2 , ..., x r - разрешенные, а x r + 1 , x r + 2 , ..., x k - свободные, то:
- Если задать значения свободным переменным (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), а затем найти значения x 1 , x 2 , ..., x r , получим одно из решений.
- Если в двух решениях значения свободных переменных совпадают, то значения разрешенных переменных тоже совпадают, т.е. решения равны.
В чем смысл этой теоремы? Чтобы получить все решения разрешенной системы уравнений, достаточно выделить свободные переменные. Затем, присваивая свободным переменным разные значения, будем получать готовые решения. Вот и все - таким образом можно получить все решения системы. Других решений не существует.
Вывод: разрешенная система уравнений всегда совместна. Если число уравнений в разрешенной системе равно числу переменных, система будет определенной, если меньше - неопределенной.
И все бы хорошо, но возникает вопрос: как из исходной системы уравнений получить разрешенную? Для этого существует
Матричный метод решения СЛАУ применяют к решению систем уравнений, у которых количество уравнений соответствует количеству неизвестных. Метод лучше применять для решения систем низкого порядка. Матричный метод решения систем линейных уравнений основывается на применении свойств умножения матриц.
Этот способ, другими словами метод обратной матрицы, называют так, так как решение сводится к обычному матричному уравнению, для решения которого нужно найти обратную матрицу.
Матричный метод решения СЛАУ с определителем, который больше или меньше нуля состоит в следующем:
Предположим, есть СЛУ (система линейных уравнений) с n неизвестными (над произвольным полем):
Значит, её легко перевести в матричную форму:
AX=B , где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:
Умножим это матричное уравнение слева на A −1 — обратную матрицу к матрице A: A −1 (AX)=A −1 B.
Т.к. A −1 A=E , значит, X=A −1 B . Правая часть уравнения дает столбец решений начальной системы. Условием применимости матричного метода есть невырожденность матрицы A . Необходимым и достаточным условием этого есть неравенство нулю определителя матрицы A :
detA≠0.
Для однородной системы линейных уравнений , т.е. если вектор B=0 , выполняется обратное правило: у системы AX=0 есть нетривиальное (т.е. не равное нулю) решение лишь когда detA=0 . Эта связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений называется альтернатива Фредгольма.
Т.о., решение СЛАУ матричным методом производится по формуле 
. Либо, решение СЛАУ находят при помощи обратной матрицы
A −1
.
Известно, что у квадратной матрицы А порядка n на n есть обратная матрица A −1 только в том случае, если ее определитель ненулевой. Таким образом, систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными решаем матричным методом только в случае, если определитель основной матрицы системы не равен нулю.
Не взирая на то, что есть ограничения возможности применения такого метода и существуют сложности вычислений при больших значениях коэффициентов и систем высокого порядка, метод можно легко реализовать на ЭВМ.
Пример решения неоднородной СЛАУ.
Для начала проверим, не равен ли нулю определитель матрицы коэффициентов у неизвестных СЛАУ.
Теперь находим союзную матрицу , транспонируем её и подставляем в формулу для определения обратной матрицы.
Подставляем переменные в формулу:
Теперь находим неизвестные, перемножая обратную матрицу и столбик свободных членов.
Итак, x=2; y=1; z=4.
При переходе от обычного вида СЛАУ к матричной форме будьте внимательными с порядком неизвестных переменных в уравнениях системы. Например :
НЕЛЬЗЯ записать как:
Необходимо, для начала, упорядочить неизвестные переменные в кадом уравнении системы и только после этого переходить к матричной записи:
Кроме того, нужно быть внимательными с обозначением неизвестных переменных, вместо x 1 , x 2 , …, x n могут оказаться другие буквы. К примеру :
в матричной форме записываем так:
Матричным методом лучше решать системы линейных уравнений, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. Когда в системе более 3-х уравнений, на нахождение обратной матрицы потребуется больше вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса.
Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.
Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.
Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.
Линейное уравнение
Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.
Виды систем линейных уравнений
Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.
F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.
Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.
Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.
Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.
Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.
Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.
Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.
Простые и сложные методы решения систем уравнений
Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.
Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода
Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.
Решение систем методом подстановки
Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе
Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:
Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.
Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.
Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:
Решение с помощью алгебраического сложения
При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.
Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.
Алгоритм действий решения:
- Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
- Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
- Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.
Способ решения введением новой переменной
Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.
Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.
Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.
Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.
Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.
Наглядный метод решения систем
Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.
Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.
Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.
Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.
В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.
Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.
Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.
Матрица и ее разновидности
Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.
Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.
Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.
Правила преобразования системы уравнений в матрицу
Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.
Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.
Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.
При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.
Варианты нахождения обратной матрицы
Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.
Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.
Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом
Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.
В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.
Решение систем методом Гаусса
В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.
Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.
После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.
В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:
Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .
Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.
Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.
Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:
Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.
Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.
В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.
Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.
Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.
Запишите систему линейных алгебраических уравнений в общем виде
Что называется решением СЛАУ?
Решением системы уравнений называется набор из n чисел,
При подстановке которой в систему каждое уравнение обращается в тождество.
Какая система называется совместной (несовместной)?
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Система называется несовместной, если она не имеет решений.
Какая система называется определенной (неопределенной)?
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение.
Совместная система называется неопределенной, если она имеет больше одного решения.
Матричная форма записи системы уравнений
Ранг системы векторов
Ранг системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов.
Ранг матрицы и способы его нахождения
Ранг матрицы - наивысший из порядков миноров этой матрицы, определитель которых отличен от нуля.
Первый метод –- метод окантовки - заключается в следующем:
Если все миноры 1-го порядка, т.е. элементы матрицы равны нулю, то r=0 .
Если хоть один из миноров 1-го порядка не равен нулю, а все миноры 2-го порядка равны нулю то r=1.
Если минор 2-го порядка отличен от нуля то исследуем миноры 3-го порядка. Таким образом находят минор k-го порядка и проверяют, не равны ли нулю миноры k+1-го порядка.
Если все миноры k+1-го порядка равны нулю, то ранг матрицы равен числу k. Такие миноры k+1-го порядка, как правило, находят путем "окантовки" минора k-го порядка.
Второй метод определения ранга матрицы заключается в применении элементарных преобразований матрицы при возведении ее к диагональному виду. Ранг такой матрицы равно числу отличных от нуля диагональных элементов.
Общее решение неоднородной системы линейных уравнений, его свойства.
Свойство 1. Сумма любого решения системы линейных уравнений и любого решения соответствующей однородной системы является решением системы линейных уравнений.
Свойство 2. Разность любых двух решений неоднородной системы линейных уравнений является решением соответствующей однородной системы.
Метод Гаусса решения СЛАУ
Последовательность:
1)составляется расширенная матрица системы уравнения
2)с помощью элементарных преобразований матрица приводится к ступенчатому виду
3)определяется ранг расширенной матрицы системы и ранг матрицы системы и устанавливается пакт совместимости или несовместимости системы
4)в случае совместимости записывается эквивалентная система уравнения
5)находится решение системы. Главные переменные выражаются через свободные
Теорема Кронекера-Капелли
Теоре́ма Кро́некера - Капе́лли - критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.
Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы.
Когда система не имеет решения, когда имеет единственное решение, имеет множество решений?
Если число уравнений системы равно числу неизвестных переменных и определитель ее основной матрицы не равен нулю,значит Такие системы уравнений имеют единственное решение, причем в случае однородной системы все неизвестные переменные равны нулю.
Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.
