Теорема сумме углов n угольника. Многоугольники

Многоугольники. Виды многоугольников. Внутренние и внешние углы выпуклого многоугольника. Сумма внутренних углов выпуклого n-угоьника (теорема). Сумма внешних углов выпуклого n-угольника (теорема). Правильные многоугольники. Окружность, описанная около правильного многоугольника (теорема,следствие 1,2)

Внутренним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине. Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним при этой вершине. внутренний уголвнешний угол

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна (n – 2) ·180 о, где n – число сторон многоугольника. Дано: выпуклый n-угольник. Доказать: α = (n – 2) ·180 о Доказательство Внутри n-угольника возьмём произвольную точку О и соединим её со всеми вершинами. Многоугольник разобьётся на n треугольников с общей вершиной О. Сумма углов каждого треугольника равна 180 о, следовательно, сумма углов всех треугольников равна 180 о n. В эту сумму, кроме суммы всех внутренних углов многоугольника, входит сумма углов треугольников при вершине О, равная 360 о. Таким образом, сумма всех внутренних углов многоугольника равна 180 о n – 360 о = (n – 2) ·180 о. Итак, n = (n – 2) ·180 о. Ч.т.д. о

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, не зависит от n и равна 360, где n – число сторон n-угольника. Доказательство. Так как внешний угол многоугольника является смежным соответствующему внутреннему углу, а сумма смежных углов равна 180, то сумма внешнихуглов многоугольника равна: 180 о n – (n – 2) ·180 о = 180 о ·n – 180 о ·n о = 360 о. Внешние и внутренние внутренние Итак, сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, не зависит от n и равна 360 о, где n – число сторон n-угольника. Ч.т.д.

Теорема. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Доказательство. Пусть А1,А2,…,А n - правильный многоугольник, О –центр описанной окружности. ОА1А2 =ОА2А3= ОАnА1, поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, так же равны ОН1=ОН2=…=ОНn. Поэтому окружность с поэтому окружность с центром О и радиусом ОН1 проходит через точки H1,H2, …, Hn и касается сторон многоугольника в этих точках, т.е. окружность вписана в данный многоугольник. Hn H1 H2 H3 A1 A2 A3 An

Докажем, что вписанная окружность только одна. Предположим, что существует другая вписанная окружность с центром О и радиусом ОА. Тогда её центр равноудалён от сторон многоугольника., т.е.Точка О1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, и поэтому совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, т.е. равен ОН1.Теорема доказана. Следствие1 Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. Следствие 2 Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

Внутренний угол многоугольника - это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например, ∠ABC является внутренним углом.

Внешний угол многоугольника - это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например, ∠LBC является внешним углом.

Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению 180° и количеству сторон без двух.

s = 2d (n - 2)

где s - это сумма углов, 2d - два прямых угла (то есть 2 · 90 = 180°), а n - количество сторон.

Если мы проведём из вершины A многоугольника ABCDEF все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180° (2d ), то сумма углов всех треугольников будет равна произведению 2d на их количество:

s = 2d (n - 2) = 180 · 4 = 720°

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° (или 4d ).

s = 4d

где s - это сумма внешних углов, 4d - четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна 180° (2d ), так как они являются смежными углами . Например, ∠1 и ∠2 :

Следовательно, если многоугольник имеет n сторон (и n вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех n вершинах будет равна 2dn . Чтобы из этой суммы 2dn получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть 2d (n - 2):

s = 2dn - 2d (n - 2) = 2dn - 2dn + 4d = 4d

Видеоурок 2: Многоугольники. Решение задач

Лекция: Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника

Многоугольники – это фигуры, которые окружают нас везде – это и форма сот, в которых пчелы хранят свой мед, архитектурные сооружения, а так же многое другое.

Как уже говорилось ранее, многоугольники – это фигуры, у которых больше двух углов. Они состоять из замкнутой ломаной линии.

Причем углы многоугольников могут быть наружные и внутренние. Например, звезда – это фигура, которая имеет 10 углов, при этом некоторые из них выпуклые, а другие вогнутые:

Примеры выпуклых многоугольников:

Обратите внимание, на рисунке показаны правильные многоугольники – именно такие подробно изучаются в школьном курсе математики.

У любого многоугольника количество вершин совпадает с количеством сторон. Так же обратите внимание, что соседними вершинами называются те, которые имеют одну общую сторону. Например, у треугольника все вершины соседние.

Чем больше углов у правильного многоугольника, тем больше их градусная мера. Однако, градусная мера угла выпуклого многоугольника не может быть больше или равной 180 градусам.

Чтобы определить общую градусную меру многоугольника, необходимо воспользоваться формулой.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.