Muallifning bu mavzuga yondashuvi tasodifiy emas. Ikki o‘zgaruvchili tenglamalar birinchi marta 7-sinf kursida uchraydi. Ikki oʻzgaruvchili bitta tenglama cheksiz koʻp yechimga ega. Bu ax + by=c sifatida berilgan chiziqli funktsiyaning grafigi orqali aniq ko'rsatilgan. Maktab kursida talabalar ikkita o'zgaruvchili ikkita tenglama tizimini o'rganadilar. Natijada, vazifalarning butun majmuasi o'qituvchining va shuning uchun o'quvchining ko'rish sohasidan chiqib ketadi. cheklangan sharoitlar tenglama koeffitsienti, shuningdek ularni yechish usullari haqida.
Gap ikkita noma’lumli tenglamani butun yoki natural sonlarda yechish haqida bormoqda.
Maktabda natural va butun sonlar 4-6-sinflarda o‘rganiladi. Maktabni tark etganda, hamma o'quvchilar bu raqamlar to'plami orasidagi farqni eslay olmaydilar.
Biroq, universitetga kirish imtihonlarida va USE materiallarida "ax + by=c ko'rinishidagi tenglamani butun sonlarda yechish" kabi vazifa tobora keng tarqalgan.
Noaniq tenglamalarni yechish mantiqiy fikrlashni, zukkolikni, tahlil qilishga e’tiborni rivojlantiradi.
Men ushbu mavzu bo'yicha bir nechta darslarni ishlab chiqishni taklif qilaman. Menda bu darslarni o'tkazish vaqti bo'yicha aniq tavsiyalar yo'q. 7-sinfda (kuchli sinf uchun) alohida elementlardan foydalanish mumkin. Ushbu darslarni asos qilib olish va 9-sinfda profilga tayyorgarlik bo'yicha kichik tanlov kursini ishlab chiqish mumkin. Va, albatta, ushbu material 10-11-sinflarda imtihonlarga tayyorgarlik ko'rish uchun ishlatilishi mumkin.
Darsning maqsadi:
- “Birinchi va ikkinchi tartibli tenglamalar” mavzusidagi bilimlarni takrorlash va umumlashtirish.
- mavzuga kognitiv qiziqishni tarbiyalash
- tahlil qilish, umumlashtirish, bilimlarni yangi vaziyatga o'tkazish ko'nikmalarini shakllantirish
1-dars.
Darslar davomida.
1) Org. moment.
2) Asosiy bilimlarni aktuallashtirish.
Ta'rif. Ikki o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglama shaklning tenglamasidir
mx + ny = k, bu erda m, n, k - sonlar, x, y - o'zgaruvchilar.
Misol: 5x+2y=10
Ta'rif. Ikki o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamaning yechimi bu tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiradigan o'zgaruvchilarning juft qiymatlari.
Yechimlari bir xil bo‘lgan ikkita o‘zgaruvchili tenglamalar ekvivalent deyiladi.
1,5x+2y=12 (2)y=-2,5x+6
Bu tenglama har qanday miqdordagi yechimga ega bo'lishi mumkin. Buning uchun har qanday x qiymatini olish va unga mos keladigan y qiymatini topish kifoya.
x = 2, y = -2,5 2+6 = 1 bo'lsin
x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4
Raqamlar juftligi (2;1); (4;-4) - (1) tenglamaning yechimlari.
Bu tenglama cheksiz ko'p yechimlarga ega.
3) Tarixiy ma'lumotlar
Noaniq (diofantin) tenglamalar bir nechta o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan tenglamalardir.
III asrda. AD - Iskandariyalik Diofant "Arifmetika" ni yozdi, unda u raqamlar to'plamini oqilona raqamlarga kengaytirdi, algebraik simvolizmni kiritdi.
Shuningdek, Diofant noaniq tenglamalarni yechish masalalarini ko'rib chiqdi va ikkinchi va uchinchi darajali noaniq tenglamalarni yechish usullarini berdi.
4) Yangi materialni o'rganish.
Ta'rif: Ikki noma'lum x, y bo'lgan bir jinsli bo'lmagan birinchi tartibli Diofant tenglamasi mx + ny = k ko'rinishdagi tenglama bo'lib, bu erda m, n, k, x, y Z k0.
Bayonot 1.
Agar (1) tenglamadagi k erkin atamasi m va n sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisiga (GCD) bo‘linmasa, (1) tenglamaning butun yechimlari yo‘q.
Misol: 34x - 17y = 3.
GCD (34; 17) = 17, 3 17 ga bo'linmaydi, butun sonlarda yechim yo'q.
k gcd(m, n) ga bo‘linsin. Barcha koeffitsientlarni bo'lish orqali m va n ning ko'p tub bo'lishiga erishish mumkin.
Bayonot 2.
Agar (1) tenglamaning m va n lari o'zaro bo'lsa tub sonlar, u holda bu tenglama kamida bitta yechimga ega.
Bayonot 3.
Agar (1) tenglamaning m va n koeffitsientlari nisbatan tub sonlar bo'lsa, bu tenglama cheksiz ko'p echimlarga ega:
Bu yerda (; ) - (1) tenglamaning istalgan yechimi, t Z
Ta'rif. Ikki noma'lum x, y bo'lgan bir jinsli birinchi tartibli diofant tenglamasi mx + ny = 0 ko'rinishdagi tenglama bo'lib, bu erda (2)
Bayonot 4.
Agar m va n nisbatan tub sonlar bo‘lsa, (2) tenglamaning istalgan yechimi ko‘rinishga ega bo‘ladi 
5) Uy vazifasi. Butun sonlardagi tenglamani yeching:
- 9x - 18y = 5
- x+y=xy
- Bir nechta bolalar olma terib o'tirishdi. Har bir o'g'il 21 kg, qiz esa 15 kg to'pladi. Hammasi bo'lib ular 174 kg yig'ishdi. Qancha o'g'il, nechta qiz olma terayotgan edi?
Izoh. Bu darsda tenglamalarni butun sonlarda yechish misollari keltirilmaydi. Shunung uchun Uy vazifasi bolalar 1-bayon va tanlov asosida qaror qabul qiladilar.
2-dars
1) Tashkiliy davr
2) Uy vazifasini tekshirish
1) 9x - 18y = 5
5 9 ga bo'linmaydi, butun sonlarda yechim yo'q.
Tanlash usuli yechim topishi mumkin
Javob: (0;0), (2;2)
3) tenglama tuzamiz:
O'g'il bolalar x, x Z, qizlar esa y, y Z bo'lsin, u holda 21x + 15y = 174 tenglamani yozishimiz mumkin.
Ko'pgina talabalar tenglama tuzib, uni yecha olmaydilar.
Javob: 4 o'g'il, 6 qiz.
3) Yangi materialni o'rganish
Uy vazifasini bajarishda qiyinchiliklarga duch kelgan talabalar noaniq tenglamalarni yechish usullarini o'rganish zarurligiga ishonch hosil qilishdi. Keling, ulardan ba'zilarini ko'rib chiqaylik.
I. Bo'lishdan qoldiqlarni hisobga olish usuli.
Misol. 3x – 4y = 1 butun sonlardagi tenglamani yeching.
Tenglamaning chap tomoni 3 ga bo'linadi, shuning uchun o'ng tomoni ham bo'linishi kerak. Keling, uchta holatni ko'rib chiqaylik.
Javob: bu erda m Z.
Ta'riflangan usul, agar m va n raqamlari kichik bo'lmasa, lekin oddiy omillarga ajralsa, qo'llash uchun qulaydir.
Misol: Butun sonlardagi tenglamalarni yechish.
y = 4n bo'lsin, keyin 16 - 7y = 16 - 7 4n = 16 - 28n = 4*(4-7n) 4 ga bo'linadi.
y = 4n+1, keyin 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 1) = 16 - 28n - 7 = 9 - 28n 4 ga bo'linmaydi.
y = 4n+2, keyin 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 2) = 16 - 28n - 14 = 2 - 28n 4 ga bo'linmaydi.
y = 4n+3, keyin 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 3) = 16 - 28n - 21 = -5 - 28n 4 ga bo'linmaydi.
Demak, y = 4n, u holda
4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Javob: , bu yerda n Z.
II. 2-darajali noaniq tenglamalar
Bugun darsda biz faqat ikkinchi tartibli diofant tenglamalarining yechimiga to'xtalamiz.
Va barcha turdagi tenglamalardan kvadratlar farqini yoki faktoringning boshqa usulini qo'llash mumkin bo'lgan holatni ko'rib chiqing.
Misol: Butun sonlardagi tenglamani yeching.
13 tub son, shuning uchun uni faqat to'rt xil usulda koeffitsientga ajratish mumkin: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
Ushbu holatlarni ko'rib chiqing
Javob: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).
4) Uy vazifasi.
Misollar. Butun sonlardagi tenglamani yeching:
(x - y)(x + y)=4
| 2x=4 | 2x=5 | 2x=5 |
| x=2 | x=5/2 | x=5/2 |
| y=0 | tog'ri kelmaydi | tog'ri kelmaydi |
| 2x = -4 | tog'ri kelmaydi | tog'ri kelmaydi |
| x=-2 | ||
| y=0 |
Javob: (-2;0), (2;0).
Javoblar: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).
V) 
Javob: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).
Natijalar. Butun sonlardagi tenglamani yechish nimani anglatadi?
Noaniq tenglamalarni yechishning qanday usullarini bilasiz?
Ilova:
Trening uchun mashqlar.
1) Butun sonlarda yeching.
| a) 8x + 12y = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z |
| b) 7x + 5y = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 - 7n, n Z |
| c) 4x + 7y = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z |
| d) 9x – 2y = 1 | x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z |
| e) 9x - 11y = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, nZ |
| f) 7x - 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z |
| g) 19x - 5y = 119 | x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, pZ |
| h) 28x - 40y = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z |
2) tenglamaning butun manfiy bo‘lmagan yechimlarini toping:
Yechim: Z(2;-1)
Adabiyot.
- "Pedagogika" bolalar ensiklopediyasi, Moskva, 1972 yil
- “Algebra-8”, N.Ya. Vilenkin, VO Nauka, Novosibirsk, 1992 yil
- Raqamlar nazariyasiga asoslangan raqobat masalalari. V.Ya. Galkin, D.Yu. Sychugov. Moskva davlat universiteti, VMK, Moskva, 2005 yil
- 7-9-sinf algebra kursida qiyinchilik kuchaygan topshiriqlar. N.P. Kosrikin. "Ma'rifat", Moskva, 1991 yil
- Algebra 7, Makarychev Yu.N., "Ma'rifat".
Biz ax + b = 0 ko'rinishdagi tenglamalarga tez-tez duch keldik, bu erda a, b - sonlar, x - o'zgaruvchi. Masalan, bx - 8 \u003d 0, x + 4 \u003d O, - 7x - 11 \u003d 0, va hokazo. a, b raqamlari (tenglama koeffitsientlari) har qanday bo'lishi mumkin, a \u003d hollari bundan mustasno. 0.
ax + b \u003d 0 tenglamasi, bu erda a, bitta x o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglama (yoki bitta noma'lum x bo'lgan chiziqli tenglama) deb ataladi. Uni yeching, ya'ni x ni a va b orqali ifodalaymiz, biz:
Biz buni tez-tez ta'kidlagan edik matematik model real vaziyat - bu bitta o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglama yoki transformatsiyalardan so'ng chiziqli tenglamaga tushadigan tenglama. Endi bu haqiqiy vaziyatni ko'rib chiqing.
Masofasi 500 km bo'lgan A va B shaharlaridan ikkita poezd bir-biriga qarab, har biri o'z doimiy tezlik. Ma'lumki, birinchi poyezd ikkinchi poyezddan 2 soat oldin jo‘nab ketgan. Ikkinchi poyezd chiqqanidan 3 soat o‘tgach, ular uchrashishdi. Poyezdlarning tezligi qanday?
Keling, tuzamiz matematik model vazifalar. Birinchi poyezdning tezligi x km/soat, ikkinchi poyezdning tezligi y km/soat bo‘lsin. Birinchisi yo'lda 5 soat bo'ldi va shuning uchun bx km masofani bosib o'tdi. Ikkinchi poezd 3 soat davomida yo'lda edi, ya'ni. Zu km yo'ldan o'tdi.
Ularning uchrashuvi C nuqtada bo'lib o'tdi. 31-rasmda vaziyatning geometrik modeli ko'rsatilgan. Algebraik tilda uni quyidagicha ta’riflash mumkin:
5x + Zu = 500
yoki
5x + Zu - 500 = 0.
Ushbu matematik model ikkita o'zgaruvchisi x, y bo'lgan chiziqli tenglama deb ataladi.
Umuman,
ax + by + c = 0,
bu yerda a, b, c sonlar, va , chiziqli tenglama ikkita o'zgaruvchili x va y (yoki ikkita noma'lum x va y bilan).
5x + Zy = 500 tenglamasiga qaytaylik. Agar x = 40, y = 100 bo'lsa, 5 40 + 3 100 = 500 to'g'ri tenglik ekanligini ko'ramiz. Demak, masalaning savoliga quyidagicha javob berish mumkin: birinchi poyezdning tezligi 40 km/soat, ikkinchi poyezdning tezligi 100 km/soat. X = 40, y = 100 juft sonlar 5x + Zy = 500 tenglamasining yechimi deb ataladi.
Afsuski, bu yechim yagona emas (oxir-oqibat, biz hammamiz aniqlikni, noaniqlikni yaxshi ko'ramiz). Haqiqatan ham, quyidagi variant ham mumkin: x = 64, y = 60; Haqiqatan ham, 5 64 + 3 60 = 500 to'g'ri tenglikdir. Va bu: x \u003d 70, y \u003d 50 (chunki 5 70 + 3 50 \u003d 500 - to'g'ri tenglik).
Ammo, aytaylik, x \u003d 80, y \u003d 60 juft raqamlari tenglamaning yechimi emas, chunki bu qiymatlar uchun haqiqiy tenglik ishlamaydi:
Umuman olganda, ushbu tenglamani qondiradigan har qanday raqamlar juftligi (x; y) ax + by + c \u003d 0 tenglamasining yechimi deb ataladi, ya'ni ax + by + c \u003d 0 o'zgaruvchilari bilan tenglikni aylantiradi. haqiqiy raqamli tenglik. Bunday echimlar cheksiz ko'p.
Izoh. Yuqorida ko'rib chiqilgan masalada olingan 5x + Zy = 500 tenglamasiga yana bir bor qaytaylik. Uning yechimlarining cheksiz to'plami orasida, masalan, quyidagilar mavjud: x = 100, y = 0 (haqiqatan ham, 5100 + 30 = 500 to'g'ri sonli tenglikdir); x \u003d 118, y \u003d - 30 (chunki 5 118 + 3 (-30) \u003d 500 - bu to'g'ri raqamli tenglik). Biroq, bo'lish tenglamaning yechimlari, bu juftliklar bu masalani hal qilish uchun xizmat qila olmaydi, chunki poezdning tezligi nolga teng bo'lishi mumkin emas (keyin u bormaydi, lekin harakatsiz turadi); bundan tashqari, poezdning tezligi salbiy bo'lishi mumkin emas (keyin u muammoning holatida aytilganidek, boshqa poezd tomon ketmaydi, lekin teskari yo'nalishda).
1-misol Ikki o'zgaruvchili x + y - 3 = 0 nuqtali chiziqli tenglamaning echimlarini tuzing. koordinata tekisligi ho.
Yechim. Berilgan tenglamaning bir nechta yechimlarini tanlaymiz, ya'ni tenglamani qanoatlantiradigan bir necha juft sonlar: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5).
A. V. Pogorelov, Geometriya 7-11 sinflar uchun, Darslik ta'lim muassasalari
Dars mazmuni dars xulosasi qo'llab-quvvatlash ramka dars taqdimoti tezlashtirish usullari interaktiv texnologiyalar Amaliyot topshiriq va mashqlar o'z-o'zini tekshirish seminarlar, treninglar, keyslar, kvestlar uy vazifalarini muhokama qilish savollari talabalar tomonidan ritorik savollar Tasvirlar audio, videokliplar va multimedia fotosuratlar, rasmlar grafikasi, jadvallar, sxemalar hazil, latifalar, hazillar, komikslar, matallar, krossvordlar, tirnoqlar Qo'shimchalar tezislar maqolalar, qiziquvchan varaqlar uchun chiplar darsliklar, asosiy va qo'shimcha atamalarning lug'ati Darslik va darslarni takomillashtirishdarslikdagi xatolarni tuzatish darslikdagi parchani yangilash darsdagi innovatsiya elementlarini eskirgan bilimlarni yangilari bilan almashtirish Faqat o'qituvchilar uchun mukammal darslar yil uchun kalendar rejasi ko'rsatmalar muhokama dasturlari Integratsiyalashgan darslar§ 1 Haqiqiy vaziyatlarda tenglamaning ildizlarini tanlash
Ushbu haqiqiy vaziyatni ko'rib chiqing:
Usta va shogird birgalikda 400 dona buyurtma berishdi. Bundan tashqari, usta 3 kun, talaba esa 2 kun ishladi. Har biri nechta bo'lak yasagan?
Keling, ushbu holatning algebraik modelini tuzamiz. Usta qismlarni 1 kunda tayyorlasin. Va talaba tafsilotlarda. Shunda usta 3 kunda 3 qism, talaba esa 2 kunda 2 qism yasaydi. Ular birgalikda 3x + 2 qismni yaratadilar. Shartga ko'ra, jami 400 ta qism ishlab chiqarilganligi sababli, biz tenglamani olamiz:
Olingan tenglama ikki o‘zgaruvchili chiziqli tenglama deyiladi. Bu erda biz x va y sonlarini topishimiz kerak, ular ostida tenglama haqiqiy sonli tenglik shaklini oladi. E'tibor bering, agar x \u003d 90, y \u003d 65 bo'lsa, biz tenglikni olamiz:
3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400
To'g'ri sonli tenglik olinganligi sababli, 90 va 65 raqamlari juftligi bu tenglamaning yechimi bo'ladi. Ammo topilgan yechim yagona emas. Agar x \u003d 96 va y \u003d 56 bo'lsa, biz tenglikni olamiz:
96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400
Bu ham haqiqiy sonli tenglikdir, ya'ni 96 va 56 sonlar juftligi ham bu tenglamaning yechimi hisoblanadi. Ammo x = 73 va y = 23 juft raqamlari bu tenglamaning yechimi bo'lmaydi. Darhaqiqat, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 bizga noto'g'ri raqamli tenglikni beradi 265 = 400. Shuni ta'kidlash kerakki, agar tenglamani ushbu real vaziyatga bog'liq holda ko'rib chiqsak, u holda raqamlar juftligi bo'ladi. bu tenglamaning yechimi muammoning yechimi bo'lmaydi. Masalan, bir nechta raqam:
x=200 va y=-100
tenglamaning yechimidir, lekin talaba -100 qismni yasay olmaydi va shuning uchun bunday sonlar juftligi masala savoliga javob bo'la olmaydi. Shunday qilib, har bir aniq real vaziyatda tenglamaning ildizlarini tanlashga oqilona yondashish kerak.
Keling, birinchi natijalarni sarhisob qilaylik:
ax + by + c \u003d 0 ko'rinishidagi tenglama, bu erda a, b, c har qanday raqamlar, ikkita o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglama deyiladi.
Ikki o'zgaruvchili chiziqli tenglamaning yechimi x va y ga mos keladigan sonlar juftligi bo'lib, ular uchun tenglama haqiqiy sonli tenglikka aylanadi.
§ 2 Chiziqli tenglamaning grafigi
(x; y) juftligini belgilanishining o‘zi bizni uni tekislikdagi xi y koordinatali nuqta sifatida tasvirlash imkoniyati haqida fikr yuritishga undaydi. Shunday qilib, biz muayyan vaziyatning geometrik modelini olishimiz mumkin. Masalan, tenglamani ko'rib chiqing:
2x + y - 4 = 0
Biz ushbu tenglamaning yechimi bo'ladigan bir nechta juft raqamlarni tanlaymiz va topilgan koordinatalar bilan nuqtalarni quramiz. Bular nuqta bo'lsin:
A(0; 4), B(2; 0), C(1; 2), D(-2; 8), E(- 1; 6).
E'tibor bering, barcha nuqtalar bir xil chiziqda joylashgan. Bunday to'g'ri chiziq ikki o'zgaruvchili chiziqli tenglamaning grafigi deyiladi. Bu berilgan tenglamaning grafik (yoki geometrik) modelidir.
Agar juft sonlar (x; y) tenglamaning yechimi bo'lsa
ax + y + c = 0, u holda M(x; y) nuqta tenglama grafigiga tegishli. Buning aksini ham aytish mumkin: agar M(x; y) nuqta ax + wu + c = 0 tenglama grafigiga tegishli bo'lsa, u holda (x; y) sonlar juftligi bu tenglamaning yechimi hisoblanadi.
Geometriya kursidan biz bilamiz:
To'g'ri chiziqni chizish uchun 2 nuqta kerak, shuning uchun ikkita o'zgaruvchili chiziqli tenglamani tuzish uchun faqat 2 juft echimni bilish kifoya. Ammo protseduraning ildizlarini taxmin qilish har doim ham qulay emas, oqilona emas. Siz boshqa qoidaga muvofiq harakat qilishingiz mumkin. Nuqtaning abssissasi (x o'zgaruvchisi) mustaqil o'zgaruvchi bo'lgani uchun unga istalgan qulay qiymatni berish mumkin. Bu sonni tenglamaga qo‘yib, y o‘zgaruvchining qiymatini topamiz.
Masalan, tenglamani aytaylik:
X \u003d 0 bo'lsin, keyin biz 0 - y + 1 \u003d 0 yoki y \u003d 1 ni olamiz. Demak, agar x \u003d 0 bo'lsa, u holda y \u003d 1. Bir juft raqamlar (0; 1) - bu yechim bu tenglama. X o'zgaruvchisi uchun yana x = 2 qiymatini o'rnatamiz.Unda biz 2 - y + 1 = 0 yoki y = 3 ni olamiz. (2; 3) sonlar ham bu tenglamaning yechimidir. Topilgan ikkita nuqtaga ko'ra, x - y + 1 \u003d 0 tenglamasini tuzish allaqachon mumkin.
Siz buni ham qilishingiz mumkin: avval y o'zgaruvchisiga qandaydir aniq qiymat bering va shundan keyingina x qiymatini hisoblang.
§ 3 Tenglamalar tizimi
Yig‘indisi 11 va ayirmasi 1 bo‘lgan ikkita natural sonni toping.
Ushbu muammoni hal qilish uchun biz birinchi navbatda matematik modelni (ya'ni, algebraik) tuzamiz. Birinchi raqam x, ikkinchisi y bo'lsin. Keyin x + y \u003d 11 raqamlari yig'indisi va sonlar farqi x - y \u003d 1. Ikkala tenglama ham bir xil raqamlar bilan bog'liq bo'lganligi sababli, bu shartlar bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak. Odatda bunday hollarda maxsus belgi qo'llaniladi. Tenglamalar bir-birining ostiga yoziladi va jingalak qavslar bilan birlashtiriladi.
Bunday yozuv tenglamalar tizimi deb ataladi.
Keling, har bir tenglama uchun yechimlar to'plamini tuzamiz, ya'ni. har bir tenglamaning grafiklari. Birinchi tenglamani olaylik:
Agar x = 4 bo'lsa, u holda y = 7. Agar x = 9 bo'lsa, u holda y = 2.
(4;7) va (9;2) nuqtalar orqali to'g'ri chiziq o'tkazamiz.
Ikkinchi tenglamani olaylik x - y \u003d 1. Agar x \u003d 5 bo'lsa, u holda y \u003d 4. Agar x \u003d 7 bo'lsa, u holda y \u003d 6. (5; 4) va (7; 6) nuqtalar orqali. biz ham to'g'ri chiziq chizamiz. Masalaning geometrik modelini oldi. Bizni qiziqtirgan juft sonlar (x; y) ikkala tenglamaning yechimi bo'lishi kerak. Rasmda biz ikkala chiziqda joylashgan yagona nuqtani ko'ramiz, bu chiziqlar kesishish nuqtasidir.
Uning koordinatalari (6;5). Shuning uchun muammoning yechimi quyidagicha bo'ladi: birinchi kerakli raqam 6, ikkinchisi 5.
Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:
- Mordkovich A.G., Algebra 7-sinf 2 qismdan, 1-qism, Ta'lim muassasalari uchun darslik / A.G. Mordkovich. - 10-nashr, qayta ko'rib chiqilgan - Moskva, "Mnemosyne", 2007 yil
- Mordkovich A.G., Algebra 7-sinf 2 qism, 2-qism, Ta'lim muassasalari uchun topshiriqlar kitobi / [A.G. Mordkovich va boshqalar]; tomonidan tahrirlangan A.G. Mordkovich - 10-nashr, qayta ko'rib chiqilgan - Moskva, "Mnemosyne", 2007 yil
- U. Tulchinskaya, Algebra 7-sinf. Blits so'rovi: ta'lim muassasalari talabalari uchun qo'llanma, 4-nashr, qayta ko'rib chiqilgan va to'ldirilgan, Moskva, "Mnemozina", 2008 yil
- Aleksandrova L.A., Algebra 7-sinf. Tematik tekshirish ishi V yangi shakl ta'lim muassasalari talabalari uchun, tahririyati A.G. Mordkovich, Moskva, "Mnemosyne", 2011 yil
- Aleksandrova L.A. Algebra 7-sinf. Mustaqil ish ta'lim muassasalari talabalari uchun, tahririyati A.G. Mordkovich - 6-nashr, stereotipik, Moskva, "Mnemosyne", 2010 yil
Ko'rsatma
Ikki chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan, uni quyidagicha yeching. O'zgaruvchilar oldidagi koeffitsientlar kichikroq bo'lgan tenglamalardan birini tanlang va o'zgaruvchilardan birini ifodalang, masalan, x. Keyin y ni o'z ichiga olgan qiymatni ikkinchi tenglamaga kiriting. Olingan tenglamada faqat bitta y o'zgaruvchisi bo'ladi, y bilan barcha qismlarni chap tomonga, bo'shlarini esa o'ngga o'tkazing. y ni toping va har qanday asl tenglamada almashtiring, x ni toping.
Ikki tenglama sistemasini yechishning yana bir usuli bor. O'zgaruvchilardan birining oldidagi, masalan, x ning oldidagi koeffitsient ikkala tenglamada bir xil bo'lishi uchun tenglamalardan birini raqamga ko'paytiring. Keyin tenglamalardan birini boshqasidan ayiring (agar o'ng tomon 0 bo'lmasa, o'ng tomonni ham xuddi shu tarzda ayirishni unutmang). Siz x o'zgaruvchisi yo'qolganini va faqat bitta y qolganini ko'rasiz. Olingan tenglamani yeching va topilgan y qiymatini har qanday asl tenglikka almashtiring. x toping.
Ikki chiziqli tenglamalar tizimini echishning uchinchi usuli grafikdir. Koordinatalar tizimini chizing va tizimingizda tenglamalari ko'rsatilgan ikkita to'g'ri chiziqning grafiklarini chizing. Buning uchun tenglamaning har qanday ikkita x qiymatini almashtiring va mos keladigan y ni toping - bu chiziqqa tegishli nuqtalarning koordinatalari bo'ladi. Koordinata o'qlari bilan kesishishni topish eng qulaydir - shunchaki x=0 va y=0 qiymatlarini almashtiring. Bu ikki chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari vazifalar bo'ladi.
Agar masala shartlarida faqat bitta chiziqli tenglama mavjud bo'lsa, u holda sizga berilgan qo'shimcha shartlar bu orqali yechim topish mumkin. Ushbu shartlarni topish uchun muammoni diqqat bilan o'qing. Agar x va y o'zgaruvchilar masofani, tezlikni, og'irlikni bildirsa, x≥0 va y≥0 chegarasini o'rnating. X yoki y olma, daraxtlar va boshqalar sonini yashirishi mumkin. – u holda faqat butun sonlar qiymat bo'lishi mumkin. Agar x o'g'ilning yoshi bo'lsa, u otasidan katta bo'lishi mumkin emasligi aniq, shuning uchun buni masala sharoitida ko'rsating.
Chiziqli tenglamaga mos keladigan chiziqli grafikni tuzing. Grafikga qarang, ehtimol barcha shartlarni qondiradigan bir nechta echimlar bo'ladi - masalan, butun sonlar va ijobiy raqamlar. Ular sizning tenglamangizning yechimlari bo'ladi.
Manbalar:
- bitta o'zgaruvchili tenglamani qanday yechish mumkin
Bir necha noma’lumli tenglamalar sistemasini yechish matematikaning asosiy vazifalaridan biridir. Bu juda amaliy vazifa: bir nechta noma'lum parametrlar mavjud, ularga bir nechta shartlar qo'yiladi va ularning eng maqbul to'plamini topish talab etiladi. Bunday vazifalar kompleksni iqtisodiyot, qurilish, loyihalashda keng tarqalgan mexanik tizimlar va umuman olganda, moddiy va inson resurslari xarajatlarini optimallashtirish talab qilinadigan joylarda. Shu munosabat bilan savol tug'iladi: bunday tizimlarni qanday hal qilish kerak?
Ko'rsatma
Matematika bizga bunday tizimlarni echishning ikkita usulini beradi: grafik va analitik. Bu usullar ekvivalentdir va ulardan biri yaxshiroq yoki yomonroq deb aytish mumkin emas. Har bir vaziyatda, yechimni optimallashtirish jarayonida qaysi usul soddaroq yechim berishini tanlash kerak. Ammo odatiy holatlar ham mavjud. Demak, tekis tenglamalar sistemasi, ya'ni ikkita grafik y=ax+b ko'rinishida bo'lganda, grafik tarzda yechish osonroq. Hamma narsa juda sodda tarzda amalga oshiriladi: ikkita to'g'ri chiziq quriladi: grafiklar chiziqli funksiyalar, keyin ularning kesishish nuqtasi topiladi. Ushbu nuqtaning koordinatalari (abtsissa va ordinata) bu tenglamaning yechimi bo'ladi. Shuni ham yodda tutingki, ikkita chiziq parallel bo'lishi mumkin. U holda tenglamalar sistemasi yechimga ega emas va funksiyalar chiziqli bog'liq deyiladi.
Teskari holat ham yuzaga kelishi mumkin. Agar ikkita chiziqli mustaqil tenglama berilgan uchinchi noma'lumni topishimiz kerak bo'lsa, u holda tizim aniqlanmagan va cheksiz ko'p echimlarga ega bo'ladi. Chiziqli algebra nazariyasida tenglamalar soni noma’lumlar soniga to‘g‘ri kelsagina tizim yagona yechimga ega bo‘lishi isbotlangan.
