Амплітудно-фазова характеристика (годограф Найквіста). Використання л

Критерій стійкості Найквіста сформульовано та обґрунтовано у 1932 році американським фізиком Х. Найквістом. Критерій стійкості Найквіста найбільше широко використовується в інженерній практиці з наступних причин:

- стійкість системи в замкнутому стані досліджують за частотною передавальною функцією її розімкнутої частини W p (jw), а ця функція найчастіше складається з простих співмножників. Коефіцієнтами є реальні параметри системи, що дозволяє вибирати їх із умов стійкості;

- Для дослідження стійкості можна використовувати експериментально отримані частотні характеристики найскладніших елементів системи (об'єкта управління, виконавчих органів), що підвищує точність отриманих результатів;

- стійкість системи можна дослідити за логарифмічними частотними характеристиками, побудова яких не складно;

- Досить просто визначаються запаси стійкості системи;

- Зручно використовувати для оцінки стійкості САР із запізненням.

Критерій стійкості Найквіста дає можливість оцінювати стійкість САР АФЧХ її розімкнутої частини. При цьому розрізняють три випадки застосування критерію Найквіста.

1.Розмкнута частина САР стійка.Для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб АФЧХ розімкнутої частини системи (годограф Найквіста) при змінічастоти wвід 0 до +¥ не охоплювала точку з координатами [-1, j 0]. На рис. 4.6 наведено основні можливі ситуації:

1. - замкнута система абсолютно стійка;

2. - САР умовно стійка, тобто. стійка лише у певному діапазоні зміни коефіцієнта передачі k;

3. - САР знаходиться на межі стійкості;

4. - САР нестійка.

Мал. 4.6. Годографи Найквіста, коли розімкнена частина САР стійка

2. Розімкнена частина САР знаходиться на межі стійкості.У цьому випадку, характеристичне рівняння має нульове або чисто уявне коріння, а в інших коренів речові частини негативні.

Для стійкості замкнутої системиякщо розімкнена частина системи знаходиться на межі стійкості необхідно і достатньо, щоб АФЧХ розімкнутої частини системи при зміні wвід 0 до +¥, доповнена на ділянці розриву дугою нескінченно великого радіусу не охоплювала крапку з координатами [-1, j 0]. За наявності ν нульових коренів АФЧХ розімкнутої частини системи при w=0 дугою нескінченно великого радіусу переміщається від позитивної речовинної півосі на кут градусів за годинниковою стрілкою, як показано на рис. 4.7.

Мал. 4.7. Годографи Найквіста за наявності нульового коріння

Якщо є пара чисто уявного коріння w i =, то АФЧХ при частоті w iдугою нескінченно великого радіусу переміщається на кут 180° за годинниковою стрілкою, що відображено на рис. 4.8.

Мал. 4.8. Годограф Найквіста за наявності пари чисто уявного коріння

3. Розімкнена частина системи нестійка, тобто. характеристичне рівняння має lкоріння з позитивною речовою частиною. У цьому випадку для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб при зміні частоти wвід 0 до +¥ АФЧХ розімкнутої частини САР охоплювала точку

[-1, j 0) l/2 разів у позитивному напрямку (проти годинникової стрілки).

За складної форми годографа Найквіста зручніше застосовувати інше формулювання критерію Найквіста, запропоноване Я.З. Ципкіним, використовуючи правила переходів. Перехід АФЧХ розімкнутої частини системи зі збільшенням wвідрізок речовинної осі від -1 до -згори вниз вважається позитивним (рис. 4.9), а знизу вгору негативним. Якщо АФЧХ починається на даному відрізку при w=0 або закінчується при w= , то вважається, що АФЧХ здійснює стать переходу.

Мал. 4.9. Переходи годографа Найквіста через відрізок P( w) від -¥ до -1

Замкнена система стійка, якщо різниця між числом позитивних і негативних переходів годографа Найквіста через відрізок речової осі від -1 до - ?

Побудова годографів Найквіста за передатною функцією розімкнутої системи, заданої у вигляді полінома

Частотний критерій Найквіста при дослідженні стійкості автоматичних систем базується на частоті амплітудно-фазової характеристики розімкнутої системи і може бути сформульований наступним чином:

якщо характеристичне рівняння розімкнутої системи n-го порядку має k коріння з позитивною речовинною частиною (k = 0, 1, ….. n) та n-k корінняз негативною речовинною частиною, то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб годограф амплітудно-фазової частотної характеристики розімкнутої системи (годограф Найквіста) охоплював точку (-1, j0) комплексної площини на кут k р, або що теж саме, охоплював точку ( -1, j0) у позитивному напрямі, тобто. проти годинникова стрілка, k раз.

Для окремого випадку, коли характеристичне рівняння розімкнутої системи немає коренів з позитивною речовинною частиною (k = 0), тобто. , коли вона стійка в розімкнутому стані, критерій Найквіста формулюється так:

система автоматичного регулювання стійка у замкнутому стані, якщо амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої системи за зміни частоти від 0 до? не охоплює точку комплексної площини з координатами (-1, j0).

Критерій стійкості Найквіста зручно застосовувати для систем із зворотним зв'язком, особливо систем високого порядку.

Для побудови годографа Найквіста скористаємося передатною функцією розімкнутої системи в символьному вигляді Практичного заняття №5

Запишемо її у символьно-цифровому вигляді для заданих параметрів всіх елементів системи, крім коефіцієнта передачі магнітного підсилювача:

Запишемо рівняння амплітудно-фазової частотної характеристики, виділимо речову та уявні частотні характеристики та побудуємо сімейство годографів Найквіста у функції частоти та коефіцієнта передачі магнітного підсилювача.

Побудови графіка амплітудно-фазової частотної характеристики MathСad

Рис.3. Сімейство кривих годографа Найквіста, побудований для передавальної функції розімкнутої системи у функції від k му .

З рис.3 видно, що з годографов Найквіста проходить через точку з координатами (j0, -1) . Отже, у заданій області зміни коефіцієнта передачі магнітного підсилювача є його критичне значення. Для його визначення скористаємося такими співвідношеннями:

Отже, критичний коефіцієнт передачі магнітного підсилювача є:

k мукр =11.186981170416560078

Переконаємося, що це справді так. Для цього побудуємо криві годографа Найквіста для трьох значень коефіцієнта передачі магнітного підсилювача: k му = 0.6 k мукр ; k му = k мукр ; k му =1.2 k мукр

Рис.4.

k му = 0.6 k мукр; k му = k мукр; k му =1.2 k мукр

Криві рис.4 підтверджують, що критичний коефіцієнт передачі магнітного підсилювача знайдено правильно.

Використання л.а.ч.г. та фазових частотних характеристик для аналізу стійкості системи

Критерій стійкості системи за логарифмічною амплітудною частотною характеристикою (л.а.ч..х) та фазовою частотною характеристикою можна сформулювати наступним чином:

Система автоматичного регулювання, нестійка в розімкнутому стані, стійка в замкнутому стані, якщо різниця між числами позитивних переходів (перехід фазової частотної характеристики знизу вгору через лінію ц(щ) = -180 ° ) і числами негативних переходів (перехід фазової частотної характеристики зверху донизу через лінію ц(щ) = -180 ° ) фазової частотної характеристики ц(щ) через лінію ц(щ) = -180 ° дорівнює нулю в діапазоні частот, на яких л.а.ч..х (L(щ)> 0).

Для побудови фазової частотної характеристики, бажано подати передатну функцію у вигляді типових динамічних ланок.

і будувати фазову характеристику, використовуючи вираз:

«+» - відповідає типовим динамічним ланкам чисельника передавальної функції;

«-« - відповідає типовим динамічним ланкам знаменника передавальної функції.

Для побудови асимптотичної л.а.ч.х. використовуємо передатну функцію розімкнутої системи, представленої у вигляді типових динамічних ланок:

Для цього використовуємо передатну функцію виду:

Представимо цю передатну функцію у вигляді типових динамічних ланок:

Параметри типових динамічних ланок визначаються, як показано нижче:

Рівняння фазової характеристики матиме вигляд:

Визначимо частоту, за якої фазова частотна характеристика перетинає вісь ц(щ) = -180 °

Для побудови л.а.ч.г. скористаємося виразом:

На рис.5 представлені графіки л.а.ч.х для двох значень коефіцієнта передачі магнітного підсилювача k му = 10 і k му = 80 .

Рис.5.

Аналіз л.а.ч.г. і фазової частотної характеристики показують, що зі збільшенням коефіцієнта передачі магнітного підсилювача від 8 до 80 система зі сталої стає нестійкою. Визначимо критичний коефіцієнт передачі магнітного підсилювача.

Якщо ні додаткових вимогщодо запасів стійкості до системи, то рекомендується приймати їх рівними:

ДL(щ) = -12db Дц(щ) = 35°год 45

Визначимо, за якого коефіцієнта передачі магнітного підсилювача ця умова виконується.

Це підтверджується графіками, наведеними малюнку 6.

Лівий рікограф - рікограф свідомо стійкої системи, не охоплює точки, що й потрібно згідно з критерієм Найквіста для стійкості замкнутої системи. Правий рікограф – рікограф триполюсний, свідомо нестійкої системи обходить точку три разипроти годинникової стрілки, що потрібно відповідно до критерію Найквіста для стійкості замкнутої системи.

Зауваження.

Амплітудно-фазові характеристики систем із дійсними параметрами – а тільки такі і зустрічаються на практиці, симетричні щодо дійсної осі. Тому зазвичай розглядається лише половина амплітудно-фазової характеристики, що відповідає позитивним частотам. При цьому вважаються напівобходи точки. Перетин відрізка () при збільшенні частоти зверху вниз (фаза росте) вважається за перетин, а знизу вгору – за перетин. Якщо амплітудно-фазова характеристика розімкнутої системи починається на відрізку (), то цьому відповідатиме або перетин залежно від того, вниз або вгору йде характеристика при зростанні частоти.

Підрахунок числа перетинів відрізка () можна зробити за логарифмічними частотними характеристиками. Уточнимо, це перетину, яким відповідає фаза при модулі амплітудної характеристики більше одиниці.

Визначення стійкості за логарифмічними частотними характеристиками.

Щоб скористатися критерієм Михайлова, треба збудувати годограф. Тут характеристичний поліном замкнутої системи.

У разі критерію Найквіста достатньо знати передатну функцію розімкнутої системи. При цьому немає потреби будувати годограф. Для визначення стійкості за Найквістом, достатньо побудувати логарифмічні амплітудну та фазову частотні характеристики розімкнутої системи.

Найбільш проста побудова виходить тоді, коли передатна функція розімкнутої системи може бути представлена ​​у вигляді

тоді ЛАХ ,

Малюнок нижче відповідає передавальній функції

.

Тут і побудовані як функції.

Зображені нижче логарифмічні частотні характеристики відповідають вже згадуваній системі з передатною функцією (розімкнутої системи)

.

Ліворуч зображені амплітудна і фазова частотні характеристики для передавальної функції, праворуч – для передавальної функції, у центрі – для вихідної передавальної функції (як це нарахувала нам програма Les, метод “Integration”).

Три полюси функції зсунуті вліво (стійка система). Фазова характеристика відповідно має 0 перетинів рівня . Три полюси функції зрушені праворуч (нестійка система). Фазова характеристика, відповідно, має три напівперетину рівня в областях, де модуль функції передачі більше одиниці.

У будь-якому випадку замкнута система стійка.

Центральна картинка - розрахунок без переміщень коренів, є граничною для правої картинки, хід фази на лівій картинці радикально відмінний. Де правда?

Приклади.

Нехай передавальна функція розімкнутої системи має вигляд:

.

Розімкнена система стійка за будь-яких позитивних kі Т. Стійка та замкнута система, як це видно з годографа зліва на малюнку.

При негативному Трозімкнена система нестійка - має плюс у правій напівплощині. Замкнута система стійка при , як це видно по годографу в центрі, і нестійка при (Родограф праворуч).

Нехай передавальна функція розімкнутої системи має вигляд ():

.

Вона має один полюс на уявній осі. Отже, для стійкості замкнутої системи необхідно, щоб число перетинів амплітудно-фазовою характеристикою розімкнутої системи відрізка () дійсної осі дорівнювало (якщо розглядати годограф тільки для позитивних частот).