Иррациональные выражения и их преобразования
В прошлый раз мы вспомнили (или узнали – кому как), что же такое , научились извлекать такие корни, разобрали по винтикам основные свойства корней и решали несложные примеры с корнями.
Этот урок будет продолжением предыдущего и будет посвящён преобразованиям самых разных выражений, содержащих всевозможные корни. Такие выражения называются иррациональными . Здесь появятся и выражения с буквами, и дополнительные условия, и избавление от иррациональности в дробях, и некоторые продвинутые приёмы в работе с корнями. Те приёмы, которые будут рассматриваться в данном уроке, станут хорошей базой для решения задач ЕГЭ (и не только) практически любого уровня сложности. Итак, давайте приступим.
Прежде всего я продублирую здесь основные формулы и свойства корней. Чтобы не скакать из темы в тему. Вот они:
при
Формулы эти надо обязательно знать и уметь применять. Причём в обе стороны – как слева направо, так и справа налево. Именно на них и основывается решение большинства заданий с корнями любой степени сложности. Начнём пока с самого простого – с прямого применения формул или их комбинаций.
Простое применение формул
В этой части будут рассматриваться простые и безобидные примеры – без букв, дополнительных условий и прочих хитростей. Однако даже в них, как правило, имеются варианты. И чем навороченнее пример, тем больше таких вариантов. И у неопытного ученика возникает главная проблема – с чего начинать? Ответ здесь простой – не знаешь, что нужно - делай что можно . Лишь бы ваши действия шли в мире и согласии с правилами математики и не противоречили им.) Например, такое задание:
Вычислить:
Даже в таком простеньком примере возможны несколько путей к ответу.
Первый – просто перемножить корни по первому свойству и извлечь корень из результата:
Второй вариант такой: не трогаем, работаем с . Выносим множитель из-под знака корня, а дальше - по первому свойству. Вот так:
Решать можно как больше нравится. В любом из вариантов ответ получается один – восьмёрка. Мне, например, проще перемножить 4 и 128 и получить 512, а из этого числа отлично извлекается кубический корень. Если кто-то не помнит, что 512 – это 8 в кубе, то не беда: можно записать 512 как 2 9 (первые 10 степеней двойки, я надеюсь, помните?) и по формуле корня из степени:
Другой пример.
Вычислить: .
Если работать по первому свойству (всё загнать под один корень), то получится здоровенное число, из которого корень потом извлекать – тоже не сахар. Да и не факт, что он извлечётся ровно.) Поэтому здесь полезно в числе вынести множители из-под корня. Причём вынести по максимуму:
И теперь всё наладилось:
Осталось восьмёрку и двойку записать под одним корнем (по первому свойству) и – готово дело. :)
Добавим теперь немного дробей.
Вычислить:
Пример совсем примитивный, однако и в нём имеются варианты. Можно с помощью вынесения множителя преобразовать числитель и сократить со знаменателем:
А можно сразу воспользоваться формулой деления корней:
Как видим, и так, и сяк – всяко правильно.) Если не споткнуться на полпути и не ошибиться. Хотя где тут ошибаться-то…
Разберём теперь самый последний пример из домашнего задания прошлого урока:
Упростить:
Совершенно немыслимый набор корней, да ещё и вложенных. Как быть? Главное – не бояться! Здесь мы первым делом замечаем под корнями числа 2, 4 и 32 – степени двойки. Первое что нужно сделать – привести все числа к двойкам: всё-таки чем больше одинаковых чисел в примере и меньше разных, тем проще.) Начнём отдельно с первого множителя:
Число можно упростить, сократив двойку под корнем с четвёркой в показателе корня:
Теперь, согласно корню из произведения:
.
В числе выносим двойку за знак корня:
А с выражением расправляемся по формуле корня из корня:
Значит, первый множитель запишется вот так:
Вложенные корни исчезли, числа стали поменьше, что уже радует. Вот только корни разные, но пока так и оставим. Надо будет – преобразуем к одинаковым. Берёмся за второй множитель.)
Второй множитель преобразовываем аналогично, по формуле корня из произведения и корня из корня. Где надо – сокращаем показатели по пятой формуле:
Вставляем всё в исходный пример и получаем:
Получили произведение целой кучи совершенно разных корней. Неплохо было бы привести их все к одному показателю, а там – видно будет. Что ж, это вполне возможно. Наибольший из показателей корней равен 12, а все остальные – 2, 3, 4, 6 – делители числа 12. Поэтому будем приводить все корни по пятому свойству к одному показателю – к 12:
Считаем и получаем:
Красивого числа не получили, ну и ладно. Нас просили упростить выражение, а не посчитать . Упростили? Конечно! А вид ответа (целое число или нет) здесь уже не играет никакой роли.
Немного сложения / вычитания и формул сокращённого умножения
К сожалению, общих формул для сложения и вычитания корней в математике нету. Однако, в заданиях сплошь и рядом встречаются эти действия с корнями. Здесь необходимо понимать, что любые корни – это точно такие же математические значки, как и буквы в алгебре.) И к корням применимы те же самые приёмы и правила, что и к буквам – раскрытие скобок, приведение подобных, формулы сокращённого умножения и т.п.
Например, каждому ясно, что . Точно так же одинаковые корни можно совершенно спокойно между собой складывать/вычитать:
Если корни разные, то ищем способ сделать их одинаковыми – внесением/вынесением множителя или же по пятому свойству. Если ну никак не упрощается, то, возможно, преобразования более хитрые.
Смотрим первый пример.
Найти значение выражения: .
Все три корня хоть и кубические, но из разных чисел. Чисто не извлекаются и между собой складываются/вычитаются. Стало быть, применение общих формул здесь не катит. Как быть? А вынесем-ка множители в каждом корне. Хуже в любом случае не будет.) Тем более что других вариантов, собственно, и нету:
Стало быть, .
Вот и всё решение. Здесь мы от разных корней перешли к одинаковым с помощью вынесения множителя из-под корня . А затем просто привели подобные.) Решаем дальше.
Найти значение выражения :
С корнем из семнадцати точно ничего не поделаешь. Работаем по первому свойству – делаем из произведения двух корней один корень:
А теперь присмотримся повнимательнее. Что у нас под большим кубическим корнем? Разность ква.. Ну, конечно! Разность квадратов:
Теперь осталось только извлечь корень: .
Вычислить:
Здесь придётся проявить математическую смекалку.) Мыслим примерно следующим образом: «Так, в примере произведение корней. Под одним корнем разность, а под другим – сумма. Очень похоже на формулу разности квадратов. Но… Корни – разные! Первый квадратный, а второй – четвёртой степени… Хорошо бы сделать их одинаковыми. По пятому свойству можно легко из квадратного корня сделать корень четвёртой степени. Для этого достаточно подкоренное выражение возвести в квадрат.»
Если вы мыслили примерно так же, то вы – на полпути к успеху. Совершенно верно! Превратим первый множитель в корень четвёртой степени. Вот так:
Теперь, ничего не поделать, но придётся вспомнить формулу квадрата разности. Только в применении к корням. Ну и что? Чем корни хуже других чисел или выражений?! Возводим:
«Хм, ну возвели и что? Хрен редьки не слаще. Стоп! А если вынести четвёрку под корнем? Тогда выплывет то же самое выражение, что и под вторым корнем, только с минусом, а ведь именно этого мы и добиваемся!»
Верно! Выносим четвёрку:
.
А теперь – дело техники:
Вот так распутываются сложные примеры.) Теперь пора потренироваться с дробями.
Вычислить:
Ясно, что надо преобразовывать числитель. Как? По формуле квадрата суммы, разумеется. У нас есть ещё варианты разве? :) Возводим в квадрат, выносим множители, сокращаем показатели (где надо):
Во как! Получили в точности знаменатель нашей дроби.) Значит, вся дробь, очевидно, равна единице:
Ещё пример. Только теперь на другую формулу сокращённого умножения.)
Вычислить:
Понятно, что квадрат разности надо в дело применять. Выписываем знаменатель отдельно и - поехали!
Выносим множители из-под корней:
Следовательно,
Теперь всё нехорошее великолепно сокращается и получается:
Что ж, поднимаемся на следующий уровень. :)
Буквы и дополнительные условия
Буквенные выражения с корнями – штука более хитрая, чем числовые выражения, и является неиссякаемым источником досадных и очень грубых ошибок. Перекроем этот источник.) Ошибки всплывают из-за того, что частенько таких заданиях фигурируют отрицательные числа и выражения. Они либо даны нам прямо в задании, либо спрятаны в буквах и дополнительных условиях . А нам в процессе работы с корнями постоянно надо помнить, что в корнях чётной степени как под самим корнем, так и в результате извлечения корня должно быть неотрицательное выражение . Ключевой формулой в задачах этого пункта будет четвёртая формула:
С корнями нечётной степени вопросов никаких – там всегда всё извлекается что с плюсом, что с минусом. И минус, если что, выносится вперёд. Будем сразу разбираться с корнями чётных степеней.) Например, такое коротенькое задание.
Упростить: , если .
Казалось бы, всё просто. Получится просто икс.) Но зачем же тогда дополнительное условие ? В таких случаях полезно прикинуть на числах. Чисто для себя.) Если , то икс – заведомо отрицательное число. Минус три, например. Или минус сорок. Пусть . Можно минус три возвести в четвёртую степень? Конечно! Получится 81. Можно из 81 извлечь корень четвёртой степени? А почему нет? Можно! Получится тройка. Теперь проанализируем всю нашу цепочку:
Что мы видим? На входе было отрицательное число, а на выходе – уже положительное. Было минус три, стало плюс три.) Возвращаемся к буквам. Вне всяких сомнений, по модулю это будет точно икс, но только сам икс у нас с минусом (по условию!), а результат извлечения (в силу арифметического корня!) должен быть с плюсом. Как получить плюс? Очень просто! Для этого достаточно перед заведомо отрицательным числом поставить минус.) И правильное решение выглядит так:
Кстати сказать, если бы мы воспользовались формулой , то, вспомнив определение модуля, сразу получили бы верный ответ. Поскольку
|x| = -x при x<0.
Вынести множитель за знак корня: , где .
Первый взгляд – на подкоренное выражение. Тут всё ОК. При любом раскладе оно будет неотрицательным. Начинаем извлекать. По формуле корня из произведения, извлекаем корень из каждого множителя:
Откуда взялись модули, объяснять, думаю, уже не надо.) А теперь анализируем каждый из модулей.
Множитель | a | так и оставляем без изменений: у нас нету никакого условия на букву a . Мы не знаем, положительное она или отрицательная. Следующий модуль | b 2 | можно смело опустить: в любом случае выражение b 2 неотрицательно. А вот насчёт | c 3 | – тут уже задачка.) Если , то и c 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть с минусом : | c 3 | = - c 3 . Итого верное решение будет такое:
А теперь – обратная задача. Не самая простая, сразу предупреждаю!
Внести множитель под знак корня : .
Если вы сразу запишете решение вот так
то вы попали в ловушку . Это неверное решение ! В чём же дело?
Давайте вглядимся в выражение под корнем . Под корнем четвёртой степени, как мы знаем, должно находиться неотрицательное выражение. Иначе корень смысла не имеет.) Поэтому А это, в свою очередь, значит, что и, следовательно, само также неположительно: .
И ошибка здесь состоит в том, что мы вносим под корень неположительное число : четвёртая степень превращает его в неотрицательное и получается неверный результат – слева заведомый минус, а справа уже плюс. А вносить под корень чётной степени мы имеем право только неотрицательные числа или выражения. А минус, если есть, оставлять перед корнем.) Как же нам выделить неотрицательный множитель в числе , зная, что оно само стопудово отрицательное? Да точно так же! Поставить минус.) А чтобы ничего не поменялось, скомпенсировать его ещё одним минусом. Вот так:
И теперь уже неотрицательное число (-b) спокойно вносим под корень по всем правилам:
Этот пример наглядно показывает, что, в отличие от других разделов математики, в корнях правильный ответ далеко не всегда вытекает автоматически из формул. Необходимо подумать и лично принять верное решение.) Особенно следует быть внимательнее со знаками в иррациональных уравнениях и неравенствах .
Разбираемся со следующим важным приёмом в работе с корнями – избавлением от иррациональности .
Избавление от иррациональности в дробях
Если в выражении присутствуют корни, то, напомню, такое выражение называется выражением с иррациональностью . В некоторых случаях бывает полезно от этой самой иррациональности (т.е. корней) избавиться. Как можно ликвидировать корень? Корень у нас пропадает при… возведении в степень. С показателем либо равным показателю корня, либо кратным ему. Но, если мы возведём корень в степень (т.е. помножим корень сам на себя нужное число раз), то выражение от этого поменяется. Нехорошо.) Однако в математике бывают темы, где умножение вполне себе безболезненно. В дробях, к примеру. Согласно основному свойству дроби, если числитель и знаменатель умножить (разделить) на одно и то же число, то значение дроби не изменится.
Допустим, нам дана вот такая дробь:
Можно ли избавиться от корня в знаменателе? Можно! Для этого корень надо возвести в куб. Чего нам не хватает в знаменателе для полного куба? Нам не хватает множителя , т.е. . Вот и домножаем числитель и знаменатель дроби на
Корень в знаменателе исчез. Но… он появился в числителе. Ничего не поделать, такова судьба.) Нам это уже не важно: нас просили знаменатель от корней освободить. Освободили? Безусловно.)
Кстати, те, кто уже в ладах с тригонометрией, возможно, обращали внимание на то, что в некоторых учебниках и таблицах, к примеру, обозначают по-разному: где-то , а где-то . Вопрос – что правильно? Ответ: всё правильно!) Если догадаться, что – это просто результат освобождения от иррациональности в знаменателе дроби . :)
Зачем нам освобождаться от иррациональности в дробях? Какая разница – в числителе корень сидит или в знаменателе? Калькулятор всё равно всё посчитает.) Ну, для тех, кто не расстаётся с калькулятором, разницы действительно практически никакой… Но, даже считая на калькуляторе, можно обратить внимание на то, что делить на целое число всегда удобнее и быстрее, чем на иррациональное . А уж про деление в столбик вообще умолчу.)
Следующий пример только подтвердит мои слова.
Как здесь ликвидировать квадратный корень в знаменателе? Если числитель и знаменатель помножить на выражение , то в знаменателе получится квадрат суммы. Сумма квадратов первого и второго чисел дадут нам просто числа безо всяких корней, что очень радует. Однако… всплывёт удвоенное произведение первого числа на второе, где корень из трёх всё равно останется. Не канает. Как быть? Вспомнить другую замечательную формулу сокращённого умножения! Где никаких удвоенных произведений, а только квадраты:
Такое выражение, которое при домножении какой-то суммы (или разности) выводит на разность квадратов , ещё называют сопряжённым выражением . В нашем примере сопряжённым выражением будет служить разность . Вот и домножаем на эту разность числитель и знаменатель:
Что тут можно сказать? В результате наших манипуляций не то что корень из знаменателя исчез – вообще дробь исчезла! :) Даже с калькулятором отнять корень из трёх от тройки проще, чем считать дробь с корнем в знаменателе. Ещё пример.
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
Как здесь выкручиваться? Формулы сокращённого умножения с квадратами сразу не катят – не получится полной ликвидации корней из-за того, что корень у нас в этот раз не квадратный, а кубический . Надо, чтобы корень как-то возвёлся в куб. Стало быть, применять надо какую-то из формул с кубами. Какую? Давайте подумаем. В знаменателе – сумма . Как нам добиться возведения корня в куб? Домножить на неполный квадрат разности ! Значит, применять будем формулу суммы кубов . Вот эту:
В качестве a у нас тройка, а в качестве b – корень кубический из пяти:
И снова дробь исчезла.) Такие ситуации, когда при освобождении от иррациональности в знаменателе дроби у нас вместе с корнями полностью исчезает сама дробь, встречаются очень часто. Как вам вот такой примерчик!
Вычислить:
Попробуйте просто сложить эти три дроби! Без ошибок! :) Один общий знаменатель чего стоит. А что, если попробовать освободиться от иррациональности в знаменателе каждой дроби? Что ж, пробуем:
Ух ты, как интересно! Все дроби пропали! Напрочь. И теперь пример решается в два счёта:
Просто и элегантно. И без долгих и утомительных вычислений. :)
Именно поэтому операцию освобождения от иррациональности в дробях надо уметь делать. В подобных навороченных примерах только она и спасает, да.) Разумеется, внимательность никто не отменял. Бывают задания, где просят избавиться от иррациональности в числителе . Эти задания ничем от рассмотренных не отличаются, только от корней очищается числитель.)
Более сложные примеры
Осталось рассмотреть некоторые специальные приёмы в работе с корнями и потренироваться распутывать не самые простые примеры. И тогда полученной информации уже будет достаточно для решения заданий с корнями любого уровня сложности. Итак – вперёд.) Для начала разберёмся, что делать со вложенными корнями, когда формула корня из корня не работает. Например, вот такой примерчик.
Вычислить:
Корень под корнем… К тому же под корнями сумма или разность. Стало быть, формула корня из корня (с перемножением показателей) здесь не действует . Значит, надо что-то делать с подкоренными выражениями : у нас просто нету других вариантов. В таких примерах чаще всего под большим корнем зашифрован полный квадрат какой-нибудь суммы. Или разности. А корень из квадрата уже отлично извлекается! И теперь наша задача – его расшифровать.) Такая расшифровка красиво делается через систему уравнений . Сейчас всё сами увидите.)
Итак, под первым корнем у нас вот такое выражение:
А вдруг, не угадали? Проверим! Возводим в квадрат по формуле квадрата суммы:
Всё верно.) Но… Откуда я взял это выражение ? С неба?
Нет.) Мы его чуть ниже получим честно. Просто по данному выражению я показываю, как именно составители заданий шифруют такие квадраты. :) Что такое 54? Это сумма квадратов первого и второго чисел . Причём, обратите внимание, уже без корней! А корень остаётся в удвоенном произведении , которое в нашем случае равно . Поэтому распутывание подобных примеров начинается с поиска удвоенного произведения. Если распутывать обычным подбором. И, кстати, о знаках. Тут всё просто. Если перед удвоенным плюс, то квадрат суммы. Если минус, то разности.) У нас плюс – значит, квадрат суммы.) А теперь – обещанный аналитический способ расшифровки. Через систему.)
Итак, у нас под корнем явно тусуется выражение (a+b) 2 , и наша задача – найти a и b . В нашем случае сумма квадратов даёт 54. Вот и пишем:
Теперь удвоенное произведение. Оно у нас . Так и записываем:
Получили вот такую системку:
Решаем обычным методом подстановки. Выражаем из второго уравнения, например, и подставляем в первое:
Решим первое уравнение:
Получили биквадратное уравнение относительно a . Считаем дискриминант:
Значит,
Получили аж четыре возможных значения a . Не пугаемся. Сейчас мы всё лишнее отсеем.) Если мы сейчас для каждого из четырёх найденных значений посчитаем соответствующие значения, то получим четыре решения нашей системы. Вот они:
И тут вопрос – а какое из решений нам подходит? Давайте подумаем. Отрицательные решения можно сразу отбросить: при возведении в квадрат минусы «сгорят», и всё подкоренное выражение в целом не изменится.) Остаются первые два варианта. Выбрать их можно совершенно произвольно: от перестановки слагаемых сумма всё равно не меняется.) Пусть, например, , а .
Итого получили под корнем квадрат вот такой суммы:
Всё чётко.)
Я не зря так детально описываю ход решения. Чтобы было понятно, как происходит расшифровка.) Но есть одна проблемка. Аналитический способ расшифровки хоть и надёжный, но весьма длинный и громоздкий: приходится решать биквадратное уравнение, получать четыре решения системы и потом ещё думать, какие из них выбрать… Хлопотно? Согласен, хлопотно. Этот способ безотказно работает в большинстве подобных примеров. Однако очень часто можно здорово сократить себе работу и найти оба числа творчески. Подбором.) Да-да! Сейчас, на примере второго слагаемого (второго корня), я покажу более лёгкий и быстрый способ выделения полного квадрата под корнем.
Итак, теперь у нас вот такой корень: 
.
Размышляем так: «Под корнем – скорее всего, зашифрованный полный квадрат. Раз перед удвоенным минус – значит, квадрат разности. Сумма квадратов первого и второго чисел даёт нам число 54. Но какие это квадраты? 1 и 53? 49 и 5? Слишком много вариантов… Нет, лучше начать распутывать с удвоенного произведения. Наши можно расписать как . Раз произведение удвоенное , то двойку сразу отметаем. Тогда кандидатами на роль a и b остаются 7 и . А вдруг, это 14 и /2 ? Не исключено. Но начинаем-то всегда с простого!» Итак, пусть , а . Проверим их на сумму квадратов:
Получилось! Значит, наше подкоренное выражение – это на самом деле квадрат разности:
Вот такой вот способ-лайт, чтобы не связываться с системой. Не всегда работает, но во многих таких примерах его вполне достаточно. Итак, под корнями – полные квадраты. Осталось только правильно извлечь корни, да досчитать пример:
А теперь разберём ещё более нестандартное задание на корни.)
Докажите, что число A – целое, если .
Впрямую ничего не извлекается, корни вложенные, да ещё и разных степеней… Кошмар! Однако, задание имеет смысл.) Стало быть, ключ к его решению имеется.) А ключ здесь такой. Рассмотрим наше равенство
как уравнение относительно A . Да-да! Хорошо бы избавиться от корней. Корни у нас кубические, поэтому возведём-ка обе части равенства в куб. По формуле куба суммы :
Кубы и корни кубические друг друга компенсируют, а под каждым большим корнем забираем одну скобку у квадрата и сворачиваем произведение разности и суммы в разность квадратов:
Отдельно сосчитаем разность квадратов под корнями:
Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,
нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.
Операции со степенями.
1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются :
a m · a n = a m + n .
2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .
3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.
( abc … ) n = a n · b n · c n …
4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):
( a / b ) n = a n / b n .
5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:
(a m ) n = a m n .
Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.
П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .
Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:
3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:
5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:
Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:
Т еперь формула a m : a n = a m - n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .
П р и м е р . a 4 : a 7 = a 4 - 7 = a - 3 .
Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m - n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.
Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.
П р и м е р ы. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :
О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений. любое число.
В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.
Случай 3.
0 0 - любое число.
Действительно,
Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:
1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению
(Почему?).
2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,
что x – любое число; но принимая во внимание, что в
Нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;
3) при x < 0 получаем: – x / x = 1, т. e . –1 = 1, следовательно,
В этом случае нет решения.
Таким образом, x > 0.
Что такое квадратный корень?
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Это понятие очень простое. Естественное, я бы сказал. Математики на каждое действие стараются найти противодействие. Есть сложение - есть и вычитание. Есть умножение - есть и деление. Есть возведение в квадрат... Значит есть и извлечение квадратного корня! Вот и всё. Это действие (извлечение квадратного корня ) в математике обозначается вот таким значком:
Сам значок называется красивым словом "радикал ".
Как извлечь корень? Это лучше рассмотреть на примерах .
Сколько будет квадратный корень из 9? А какое число в квадрате даст нам 9? 3 в квадрате даст нам 9! Т.е:
А вот сколько будет квадратный корень из нуля? Не вопрос! Какое число в квадрате ноль даёт? Да сам же ноль и даёт! Значит:
Уловили, что такое квадратный корень? Тогда считаем примеры :
Ответы (в беспорядке): 6; 1; 4; 9; 5.
Решили? Действительно, уж куда проще-то?!
Но... Что делает человек, когда видит какое-нибудь задание с корнями?
Тосковать начинает человек... Не верит он в простоту и лёгкость корней. Хотя, вроде, и знает, что такое квадратный корень ...
Всё потому, что человек проигнорировал несколько важных пунктиков при изучении корней. Потом эти пунктики жестоко мстят на контрольных и экзаменах...
Пунктик первый. Корни надо узнавать в лицо!
Сколько будет корень квадратный из 49? Семь? Верно! А как вы узнали, что семь? Возвели семёрку в квадрат и получили 49? Правильно! Обратите внимание, чтобы извлечь корень из 49 нам пришлось проделать обратную операцию - возвести 7 в квадрат! И убедиться, что мы не промахнулись. А могли и промахнуться...
В этом и есть сложность извлечения корней . Возвести в квадрат можно любое число без особых проблем. Умножить число само на себя столбиком - да и все дела. А вот для извлечения корня такой простой и безотказной технологии нет. Приходится подбирать ответ и проверять его на попадание возведением в квадрат.
Этот сложный творческий процесс - подбор ответа - сильно упрощается, если вы помните квадраты популярных чисел. Как таблицу умножения. Если, скажем, надо умножить 4 на 6 - вы же не складываете четверку 6 раз? Сразу выплывает ответ 24. Хотя, не у всех он выплывает, да...
Для свободной и успешной работы с корнями достаточно знать квадраты чисел от 1 до 20. Причём туда и обратно. Т.е. вы должны легко называть как, скажем, 11 в квадрате, так и корень квадратный из 121. Чтобы добиться такого запоминания, есть два пути. Первый - выучить таблицу квадратов. Это здорово поможет решать примеры. Второй - решать побольше примеров. Это здорово поможет запомнить таблицу квадратов.
И никаких калькуляторов! Только для проверки. Иначе на экзамене будете тормозить нещадно...
Итак, что такое квадратный корень и как извлекать корни - думаю, понятно. Теперь выясним ИЗ ЧЕГО можно их извлекать.
Пунктик второй. Корень, я тебя не знаю!
Из каких чисел можно извлекать квадратные корни? Да почти из любых. Проще понять, из чего нельзя их извлекать.
Попробуем вычислить вот такой корень:
Для этого нужно подобрать число, которое в квадрате даст нам -4. Подбираем.
Что, не подбирается? 2 2 даёт +4. (-2) 2 даёт опять +4! Вот-вот... Нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дадут нам отрицательное число! Хотя я такие числа знаю. Но вам не скажу). Поступите в институт - сами узнаете.
Такая же история будет с любым отрицательным числом. Отсюда вывод:
Выражение, в котором под знаком квадратного корня стоит отрицательное число - не имеет смысла ! Это запретная операция. Такая же запретная, как и деление на ноль. Запомните этот факт железно! Или, другими словами:
Квадратные корни из отрицательных чисел извлечь нельзя!
Зато из всех остальных - можно. Например, вполне можно вычислить
На первый взгляд это очень сложно. Подбирать дроби, да в квадрат возводить... Не волнуйтесь. Когда разберёмся со свойствами корней, такие примеры будут сводиться к всё той же таблице квадратов. Жизнь станет проще!
Ну ладно дроби. Но нам ведь ещё попадаются выражения типа:
Ничего страшного. Всё то же самое. Корень квадратный из двух - это число, которое при возведении в квадрат даст нам двойку. Только число это совсем неровное... Вот оно:
Что интересно, эта дробь не кончается никогда... Такие числа называются иррациональными. В квадратных корнях это - самое обычное дело. Кстати, именно поэтому выражения с корнями называют иррациональными . Понятно, что писать всё время такую бесконечную дробь неудобно. Поэтому вместо бесконечной дроби так и оставляют:
Если при решении примера у вас получилось что-то неизвлекаемое, типа:
то так и оставляем. Это и будет ответ.
Нужно чётко понимать, что под значками
Конечно, если корень из числа извлекается ровно , вы обязаны это сделать. Ответ задания в виде, например
вполне себе полноценный ответ.
И, конечно, надо знать на память приблизительные значения:
Это знание здорово помогает оценить ситуацию в сложных заданиях.
Пунктик третий. Самый хитрый.
Основную путаницу в работу с корнями вносит как раз этот пунктик. Именно он придаёт неуверенность в собственных силах... Разберёмся с этим пунктиком как следует!
Для начала опять извлечём квадратный корень их четырёх. Что, уже достал я вас с этим корнем?) Ничего, сейчас интересно будет!
Какое число даст в квадрате 4? Ну два, два - слышу недовольные ответы...
Верно. Два. Но ведь и минус два даст в квадрате 4... А между тем, ответ
правильный, а ответ
грубейшая ошибка. Вот так.
Так в чём же дело?
Действительно, (-2) 2 = 4. И под определение корня квадратного из четырёх минус два вполне подходит... Это тоже корень квадратный из четырёх.
Но! В школьном курсе математики принято считать за квадратные корни только неотрицательные числа! Т.е ноль и все положительные. Даже термин специальный придуман: из числа а - это неотрицательное число, квадрат которого равен а . Отрицательные результаты при извлечении арифметического квадратного корня попросту отбрасываются. В школе все квадратные корни - арифметические . Хотя особо об этом не упоминается.
Ну ладно, это понятно. Это даже и лучше - не возиться с отрицательными результатами... Это ещё не путаница.
Путаница начинается при решении квадратных уравнений. Например, надо решить вот такое уравнение.
Уравнение простое, пишем ответ (как учили):
Такой ответ (совершенно правильный, кстати) - это просто сокращённая запись двух ответов:
Стоп-стоп! Чуть выше я написал, что квадратный корень - число всегда неотрицательное! А здесь один из ответов - отрицательный ! Непорядок. Это первая (но не последняя) проблемка, которая вызывает недоверие к корням... Решим эту проблемку. Запишем ответы (чисто для понимания!) вот так:
Скобки сути ответа не меняют. Просто я отделил скобками знаки от корня . Теперь наглядно видно, что сам корень (в скобках) - число всё равно неотрицательное! А знаки - это результат решения уравнения . Ведь при решении любого уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше уравнение подходит корень из пяти (положительный!) как с плюсом, так и с минусом.
Вот так. Если вы просто извлекаете квадратный корень из чего-либо, вы всегда получаете один неотрицательный результат. Например:
Потому, что это - арифметический квадратный корень .
Но если вы решаете какое-нибудь квадратное уравнение, типа:
то всегда получается два ответа (с плюсом и минусом):
Потому, что это - решение уравнения.
Надеюсь, что такое квадратный корень со своими пунктиками вы уяснили. Теперь осталось узнать, что можно делать с корнями, каковы их свойства. И какие там пунктики и подводные кор... извините, камни!)
Всё это - в следующих уроках.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать). Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать. Остальное — брехня и пустая трата времени.
Сегодня мы идём дальше. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.:)
Вы ведь тоже ещё не вкурили?
Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части:
- Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: это когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать.
- Затем разберём обратную ситуацию: есть один большой корень, а нам приспичило представить его в виде произведения двух корней попроще. С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный. Мы разберём лишь алгоритм.
Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.
Основное правило умножения
Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Тех самых, которые обозначаются $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$. Для них всё вообще очевидно:
Правило умножения. Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом:
\[\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\]
Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.
Примеры. Рассмотрим сразу четыре примера с числами:
\[\begin{align} & \sqrt{25}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{25\cdot 4}=\sqrt{100}=10; \\ & \sqrt{32}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8; \\ & \sqrt{54}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{54\cdot 6}=\sqrt{324}=18; \\ & \sqrt{\frac{3}{17}}\cdot \sqrt{\frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{3}{17}\cdot \frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}. \\ \end{align}\]
Как видите, основной смысл этого правила — упрощение иррациональных выражений. И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: $\sqrt{32}$ и $\sqrt{2}$ сами по себе не считаются, но их произведение оказывается точным квадратом, поэтому корень из него равен рациональному числу .
Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку. Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число.
Конечно, не всегда всё будет так красиво. Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.
Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять! Правило от этого не поменяется. Взгляните:
\[\begin{align} & \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 6}=\sqrt{36}=6; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{0,001}=\sqrt{5\cdot 2\cdot 0,001}= \\ & =\sqrt{10\cdot \frac{1}{1000}}=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}. \\ \end{align}\]
И опять небольшое замечание по второму примеру. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. Так вот: очень рекомендую избавляться от десятичных дробей в любых иррациональных выражениях (т.е. содержащих хотя бы один значок радикала). В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов.
Но это было лирическое отступление. Теперь рассмотрим более общий случай — когда в показателе корня стоит произвольное число $n$, а не только «классическая» двойка.
Случай произвольного показателя
Итак, с квадратными корнями разобрались. А что делать с кубическими? Или вообще с корнями произвольной степени $n$? Да всё то же самое. Правило остаётся прежним:
Чтобы перемножить два корня степени $n$, достаточно перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.
В общем, ничего сложного. Разве что объём вычислений может оказаться больше. Разберём парочку примеров:
Примеры. Вычислить произведения:
\[\begin{align} & \sqrt{20}\cdot \sqrt{\frac{125}{4}}=\sqrt{20\cdot \frac{125}{4}}=\sqrt{625}=5; \\ & \sqrt{\frac{16}{625}}\cdot \sqrt{0,16}=\sqrt{\frac{16}{625}\cdot \frac{16}{100}}=\sqrt{\frac{64}{{{25}^{2}}\cdot 25}}= \\ & =\sqrt{\frac{{{4}^{3}}}{{{25}^{3}}}}=\sqrt{{{\left(\frac{4}{25} \right)}^{3}}}=\frac{4}{25}. \\ \end{align}\]
И вновь внимание второе выражение. Мы перемножаем кубические корни, избавляемся от десятичной дроби и в итоге получаем в знаменателе произведение чисел 625 и 25. Это довольно большое число — лично я с ходу не посчитаю, чему оно равно.
Поэтому мы просто выделили точный куб в числителе и знаменателе, а затем воспользовались одним из ключевых свойств (или, если угодно — определением) корня $n$-й степени:
\[\begin{align} & \sqrt{{{a}^{2n+1}}}=a; \\ & \sqrt{{{a}^{2n}}}=\left| a \right|. \\ \end{align}\]
Подобные «махинации» могут здорово сэкономить вам время на экзамене или контрольной работе, поэтому запомните:
Не спешите перемножать числа в подкоренном выражении. Сначала проверьте: вдруг там «зашифрована» точная степень какого-либо выражения?
При всей очевидности этого замечания должен признать, что большинство неподготовленных учеников в упор не видят точные степени. Вместо этого они перемножают всё напролом, а затем удивляются: почему это получились такие зверские числа?:)
Впрочем, всё это детский лепет по сравнению с тем, что мы изучим сейчас.
Умножение корней с разными показателями
Ну хорошо, теперь мы умеем перемножать корни с одинаковыми показателями. А что, если показатели разные? Скажем, как умножить обычный $\sqrt{2}$ на какую-нибудь хрень типа $\sqrt{23}$? Можно ли вообще это делать?
Да конечно можно. Всё делается вот по этой формуле:
Правило умножения корней. Чтобы умножить $\sqrt[n]{a}$ на $\sqrt[p]{b}$, достаточно выполнить вот такое преобразование:
\[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\]
Однако эта формула работает только при условии, что подкоренные выражения неотрицательны . Это очень важное замечание, к которому мы вернёмся чуть позже.
А пока рассмотрим парочку примеров:
\[\begin{align} & \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{{{3}^{4}}\cdot {{2}^{3}}}=\sqrt{81\cdot 8}=\sqrt{648}; \\ & \sqrt{2}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{{{2}^{5}}\cdot {{7}^{2}}}=\sqrt{32\cdot 49}=\sqrt{1568}; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{{{5}^{4}}\cdot {{3}^{2}}}=\sqrt{625\cdot 9}=\sqrt{5625}. \\ \end{align}\]
Как видите, ничего сложного. Теперь давайте разберёмся, откуда взялось требование неотрицательности, и что будет, если мы его нарушим.:)
Умножать корни несложно
Почему подкоренные выражения должны быть неотрицательными?
Конечно, можно уподобиться школьным учителям и с умным видом процитировать учебник:
Требование неотрицательности связано с разными определениями корней чётной и нечётной степени (соответственно, области определения у них тоже разные).
Ну что, стало понятнее? Лично я, когда читал этот бред в 8-м классе, понял для себя примерно следующее: «Требование неотрицательности связано с *#&^@(*#@^#)~%» — короче, я нихрена в тот раз не понял.:)
Поэтому сейчас объясню всё по-нормальному.
Сначала выясним, откуда вообще берётся формула умножения, приведённая выше. Для этого напомню одно важное свойство корня:
\[\sqrt[n]{a}=\sqrt{{{a}^{k}}}\]
Другими словами, мы можем спокойно возводить подкоренное выражение в любую натуральную степень $k$ — при этом показатель корня придётся умножить на эту же степень. Следовательно, мы легко сведём любые корни к общему показателю, после чего перемножим. Отсюда и берётся формула умножения:
\[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt{{{a}^{p}}}\cdot \sqrt{{{b}^{n}}}=\sqrt{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\]
Но есть одна проблема, которая резко ограничивает применение всех этих формул. Рассмотрим вот такое число:
Согласно только что приведённой формуле мы можем добавить любую степень. Попробуем добавить $k=2$:
\[\sqrt{-5}=\sqrt{{{\left(-5 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}}\]
Минус мы убрали как раз потому, что квадрат сжигает минус (как и любая другая чётная степень). А теперь выполним обратное преобразование: «сократим» двойку в показателе и степени. Ведь любое равенство можно читать как слева-направо, так и справа-налево:
\[\begin{align} & \sqrt[n]{a}=\sqrt{{{a}^{k}}}\Rightarrow \sqrt{{{a}^{k}}}=\sqrt[n]{a}; \\ & \sqrt{{{a}^{k}}}=\sqrt[n]{a}\Rightarrow \sqrt{{{5}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}}=\sqrt{5}. \\ \end{align}\]
Но тогда получается какая-то хрень:
\[\sqrt{-5}=\sqrt{5}\]
Этого не может быть, потому что $\sqrt{-5} \lt 0$, а $\sqrt{5} \gt 0$. Значит, для чётных степеней и отрицательных чисел наша формула уже не работает. После чего у нас есть два варианта:
- Убиться об стену констатировать, что математика — это дурацкая наука, где «есть какие-то правила, но это неточно»;
- Ввести дополнительные ограничения, при которых формула станет рабочей на 100%.
В первом варианте нам придётся постоянно вылавливать «неработающие» случаи — это трудно, долго и вообще фу. Поэтому математики предпочли второй вариант.:)
Но не переживайте! На практике это ограничение никак не влияет на вычисления, потому что все описанные проблемы касаются лишь корней нечётной степени, а из них можно выносить минусы.
Поэтому сформулируем ещё одно правило, которое распространяется вообще на все действия с корнями:
Прежде чем перемножать корни, сделайте так, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны.
Пример. В числе $\sqrt{-5}$ можно вынести минус из-под знака корня — тогда всё будет норм:
\[\begin{align} & \sqrt{-5}=-\sqrt{5} \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt{-5}=-\sqrt{{{5}^{2}}}=-\sqrt{25}=-\sqrt{{{5}^{2}}}=-\sqrt{5} \lt 0 \\ \end{align}\]
Чувствуете разницу? Если оставить минус под корнем, то при возведении подкоренного выражения в квадрат он исчезнет, и начнётся хрень. А если сначала вынести минус, то можно хоть до посинения возводить/убирать квадрат — число останется отрицательным.:)
Таким образом, самый правильный и самый надёжный способ умножения корней следующий:
- Убрать все минусы из-под радикалов. Минусы бывают только в корнях нечётной кратности — их можно поставить перед корнем и при необходимости сократить (например, если этих минусов окажется два).
- Выполнить умножение согласно правилам, рассмотренным выше в сегодняшнем уроке. Если показатели корней одинаковые, просто перемножаем подкоренные выражения. А если разные — используем злобную формулу \[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\].
- 3.Наслаждаемся результатом и хорошими оценками.:)
Ну что? Потренируемся?
Пример 1. Упростите выражение:
\[\begin{align} & \sqrt{48}\cdot \sqrt{-\frac{4}{3}}=\sqrt{48}\cdot \left(-\sqrt{\frac{4}{3}} \right)=-\sqrt{48}\cdot \sqrt{\frac{4}{3}}= \\ & =-\sqrt{48\cdot \frac{4}{3}}=-\sqrt{64}=-4; \end{align}\]
Это самое простой вариант: показатели корней одинаковы и нечётны, проблема лишь в минусе у второго множителя. Выносим этот минус нафиг, после чего всё легко считается.
Пример 2. Упростите выражение:
\[\begin{align} & \sqrt{32}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{{{2}^{5}}}\cdot \sqrt{{{2}^{2}}}=\sqrt{{{\left({{2}^{5}} \right)}^{3}}\cdot {{\left({{2}^{2}} \right)}^{4}}}= \\ & =\sqrt{{{2}^{15}}\cdot {{2}^{8}}}=\sqrt{{{2}^{23}}} \\ \end{align}\]
Здесь многих смутило бы то, что на выходе получилось иррациональное число. Да, так бывает: мы не смогли полностью избавиться от корня, но по крайней мере существенно упростили выражение.
Пример 3. Упростите выражение:
\[\begin{align} & \sqrt{a}\cdot \sqrt{{{a}^{4}}}=\sqrt{{{a}^{3}}\cdot {{\left({{a}^{4}} \right)}^{6}}}=\sqrt{{{a}^{3}}\cdot {{a}^{24}}}= \\ & =\sqrt{{{a}^{27}}}=\sqrt{{{a}^{3\cdot 9}}}=\sqrt{{{a}^{3}}} \end{align}\]
Вот на это задание хотел бы обратить ваше внимание. Тут сразу два момента:
- Под корнем стоит не конкретное число или степень, а переменная $a$. На первый взгляд, это немного непривычно, но в действительности при решении математических задач чаще всего придётся иметь дело именно с переменными.
- В конце мы умудрились «сократить» показатель корня и степень в подкоренном выражении. Такое случается довольно часто. И это означает, что можно было существенно упростить вычисления, если не пользоваться основной формулой.
Например, можно было поступить так:
\[\begin{align} & \sqrt{a}\cdot \sqrt{{{a}^{4}}}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{{{\left({{a}^{4}} \right)}^{2}}}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{{{a}^{8}}} \\ & =\sqrt{a\cdot {{a}^{8}}}=\sqrt{{{a}^{9}}}=\sqrt{{{a}^{3\cdot 3}}}=\sqrt{{{a}^{3}}} \\ \end{align}\]
По сути, все преобразования выполнялись лишь со вторым радикалом. И если не расписывать детально все промежуточные шаги, то в итоге объём вычислений существенно снизится.
На самом деле мы уже сталкивались с подобным задание выше, когда решали пример $\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}$. Теперь его можно расписать намного проще:
\[\begin{align} & \sqrt{5}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{{{5}^{4}}\cdot {{3}^{2}}}=\sqrt{{{\left({{5}^{2}}\cdot 3 \right)}^{2}}}= \\ & =\sqrt{{{\left(75 \right)}^{2}}}=\sqrt{75}. \end{align}\]
Ну что ж, с умножением корней разобрались. Теперь рассмотрим обратную операцию: что делать, когда под корнем стоит произведение?
Корнем n степени из числа называют такое число, которое при возведении в эту степень даст то число, из которого извлекается корень. Почаще каждого, действия производятся с корнями квадратными, которые соответствуют 2 степени. При извлечении корня зачастую нереально обнаружить его очевидно, а итогом является число, которое нереально представить в виде естественной дроби (трансцендентное). Но применяя некоторые приемы, дозволено гораздо упростить решение примеров с корнями.
Вам понадобится
- – представление корня из числа;
- – действия со степенями;
- – формулы сокращенного умножения;
- – калькулятор.
Инструкция
1. Если не требуется безусловная точность, при решении примеров с корнями воспользуйтесь калькулятором. Дабы извлечь из числа квадратный корень, наберите его на клавиатуре, и примитивно нажмите соответствующую кнопку, на которой изображен знак корня. Как водится, на калькуляторах берется корень квадратный. Но для вычисления корней высших степеней, воспользуйтесь функцией возведения числа в степень (на инженерном калькуляторе).
2. Для извлечения квадратного корня возведите число в степень 1/2, кубического корня в 1/3 и так дальше. При этом неукоснительно рассматривайте, что при извлечении корней четных степеней, число должно быть позитивным, напротив калькулятор примитивно не выдаст результат. Это связанно с тем, что при возведении в четную степень всякое число будет позитивным, скажем, (-2)^4=(-2)? (-2)? (-2)? (-2)=16. Для извлечения квадратного корня нацело, когда это допустимо, воспользуйтесь таблицей квадратов естественных чисел.
3. Если же рядом нет калькулятора, либо требуется безусловная точность в расчетах, используйте свойства корней, а также разные формулы для облегчения выражений. Из многих чисел дозволено извлечь корень отчасти. Для этого воспользуйтесь свойством, что корень из произведения 2-х чисел равен произведению корней из этих чисел?m?n=?m??n.
4. Пример. Вычислите значение выражения (?80-?45)/ ?5. Прямое вычисление ничего не даст, от того что нацело не извлекается ни один корень. Преобразуйте выражение (?16?5-?9?5)/ ?5=(?16??5-?9??5)/ ?5=?5?(?16-?9)/ ?5. Произведите сокращение числителя и знаменателя на?5, получите (?16-?9)=4-3=1.
5. Если подкоренное выражение либо сам корень построены в степень, то при извлечении корня воспользуйтесь тем свойством, что показатель степени подкоренного выражения дозволено поделить на степень корня. Если деление производится нацело, число вносится из-под корня. Скажем, ?5^4=5?=25. Пример. Вычислить значение выражения (?3+?5)?(?3-?5). Примените формулу разности квадратов и получите (?3)?-(?5)?=3-5=-2.
Обычная дробь – число своенравное. Изредка доводится помучиться, дабы обнаружить решение задачи с дробью и представить его в надлежащем виде. Обучившись решать примеры с дробью , вы легко совладаете с этой неприятной вещью.
Инструкция
1. Разглядите сложение и вычитание дробей. К примеру, 5/2+10/5. Приведите обе дроби к всеобщему знаменателю. Для этого обнаружьте то число, которое дозволено поделить без остатка на знаменатель и первой, и 2-й дроби. В нашем случае это число 10. Преобразуйте вышеуказанные дроби, получается 25/10+20/10.Сейчас сложите между собой числители, а знаменатель оставьте непоколебимым. Получается 45/10.Дозволено сократить полученную дробь, то есть поделить числитель и знаменатель на одно и то же число. Получается 9/2.Выделите целую часть. Обнаружьте наивысшее число, которое дозволено поделить без остатка на знаменатель. Это число 8. Поделите его на знаменатель – это и будет целая часть. Выходит, в итоге получается 4 1/2.Произведите схожие действия при вычитании дробей.
2. Разглядите умножение дробей. Тут все примитивно. Перемножьте между собой числители и знаменатели. К примеру, 2/5 умножить на 4/2 получается 8/10. Сократите дробь, получается 4/5.
3. Разглядите деление дробей. При выполнении этого действия опрокиньте одну из дробей, а после этого перемножьте числители и знаменатели. Скажем, 2/5 поделить на 4/2 – получается 2/5 умножить на 2/4 – получается 4/20. Сократите дробь, получается 1/5.
Видео по теме
