Tematem lekcji jest „geometryczne znaczenie pochodnej”. Geometryczne znaczenie pochodnej Geometryczne znaczenie pochodnej stycznej jak rozwiązać

Cele Lekcji:

Studenci powinni wiedzieć:

• co nazywa się nachyleniem linii prostej;
• kąt między linią a osią x;
• jakie jest geometryczne znaczenie pochodnej;
• równanie stycznej do wykresu funkcji;
• metoda konstruowania stycznej do paraboli;
• potrafi zastosować wiedzę teoretyczną w praktyce.

Cele Lekcji:

Edukacyjne: stworzenie studentom warunków do opanowania systemu wiedzy, umiejętności i zdolności z pojęciami mechanicznego i geometrycznego znaczenia pochodnej.

Edukacyjny: kształtowanie naukowego światopoglądu u uczniów.

Rozwijanie: rozwijanie zainteresowań poznawczych uczniów, kreatywności, woli, pamięci, mowy, uwagi, wyobraźni, percepcji.

Metody organizacji zajęć edukacyjnych i poznawczych:

• wizualny;
• praktyczny;
• o aktywności umysłowej: indukcyjnej;
• według asymilacji materiału: częściowo eksploracyjna, reprodukcyjna;
• według stopnia samodzielności: praca laboratoryjna;
• stymulujące: zachęta;
• kontrola: ustna ankieta czołowa.

Plan lekcji

1. Ćwiczenia ustne (znajdź pochodną)
2. Sprawozdanie studenta na temat „Przyczyny pojawienia się analizy matematycznej”.
3. Nauka nowego materiału
4. fizyka Minuta.
5. Rozwiązywanie problemów.
6. Praca laboratoryjna.
7. Podsumowanie lekcji.
8. Komentowanie pracy domowej.

Wyposażenie: rzutnik multimedialny (prezentacja), karty (prace laboratoryjne).

„Człowiek osiąga coś tylko wtedy, gdy wierzy w siebie”

L. Feuerbacha

Organizacja zajęć przez całą lekcję, gotowość uczniów do lekcji, porządek i dyscyplina.

Wyznaczanie uczniom celów uczenia się, zarówno dla całej lekcji, jak i dla poszczególnych jej etapów.

Określ znaczenie studiowanego materiału zarówno w tym temacie, jak iw całym kursie.

Liczenie werbalne

1. Znajdź pochodne:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Test logiczny.

a) Wstaw brakujące wyrażenie.

Ogólny kierunek rozwoju nauki wyznaczają ostatecznie wymogi praktyki działalności człowieka. Istnienie starożytnych państw o ​​złożonym hierarchicznym systemie rządów byłoby niemożliwe bez dostatecznego rozwoju arytmetyki i algebry, ponieważ pobieranie podatków, organizacja zaopatrzenia armii, budowa pałaców i piramid, tworzenie systemów irygacyjnych wymagało złożone obliczenia. W okresie renesansu rozszerzały się więzi między różnymi częściami średniowiecznego świata, rozwijał się handel i rzemiosło. Rozpoczyna się gwałtowny wzrost technicznego poziomu produkcji, w przemyśle wykorzystuje się nowe źródła energii, niezwiązane z wysiłkiem mięśni człowieka czy zwierząt. W XI-XII wieku pojawiły się foluszniki i krosna, aw połowie XV - prasa drukarska. W związku z potrzebą szybkiego rozwoju produkcji społecznej w tym okresie zmienia się istota nauk przyrodniczych, które od starożytności miały charakter opisowy. Celem nauk przyrodniczych staje się dogłębne badanie procesów naturalnych, a nie obiektów. Opisowe nauki przyrodnicze starożytności odpowiadały matematyce, która operowała stałymi wartościami. Konieczne było stworzenie aparatu matematycznego, który opisywałby nie wynik procesu, ale naturę jego przebiegu i nieodłączne wzorce. W rezultacie pod koniec XII wieku Newton w Anglii i Leibniz w Niemczech zakończyli pierwszy etap tworzenia analizy matematycznej. Co to jest „analiza matematyczna”? Jak można scharakteryzować i przewidzieć cechy dowolnego procesu? Korzystać z tych funkcji? Wniknąć głębiej w istotę tego czy innego zjawiska?

Pójdźmy drogą Newtona i Leibniza i zobaczmy, jak możemy przeanalizować ten proces, traktując go jako funkcję czasu.

Wprowadźmy kilka pojęć, które pomogą nam dalej.

Wykres funkcji liniowej y=kx+ b jest linią prostą, nazywamy liczbę k nachylenie linii prostej. k=tg, gdzie jest kątem prostej, czyli kątem między tą prostą a dodatnim kierunkiem osi Ox.

Obrazek 1

Rozważ wykres funkcji y \u003d f (x). Narysuj sieczną przez dowolne dwa punkty, na przykład sieczną AM. (Rys. 2)

Nachylenie siecznej k=tg. W trójkącie prostokątnym AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Rysunek 2

Rysunek 3

Sam termin „prędkość” charakteryzuje zależność zmiany jednej wielkości od zmiany innej, przy czym ta ostatnia nie musi być czasem.

Zatem tangens nachylenia siecznej tg = .

Interesuje nas zależność zmiany wartości w krótszym okresie czasu. Skróćmy przyrost argumentu do zera. Wtedy prawa strona wzoru jest pochodną funkcji w punkcie A (wyjaśnij dlaczego). Jeżeli x -> 0, to punkt M przesuwa się wzdłuż wykresu do punktu A, co oznacza, że ​​prosta AM zbliża się do pewnej prostej AB, czyli styczna do wykresu funkcji y \u003d f (x) w punkcie A. (Rys. 3)

Kąt nachylenia siecznej dąży do kąta nachylenia stycznej.

Geometryczne znaczenie pochodnej polega na tym, że wartość pochodnej w punkcie jest równa nachyleniu stycznej do wykresu funkcji w punkcie.

Mechaniczne znaczenie pochodnej.

Tangens nachylenia stycznej jest wartością, która pokazuje chwilową szybkość zmian funkcji w danym punkcie, czyli nową cechę badanego procesu. Leibniz nazwał tę wielkość pochodna, a Newton powiedział, że chwilowe prędkość.

Nr 91(1) str. 91 - pokazać na tablicy.

Nachylenie stycznej do krzywej f (x) \u003d x 3 w punkcie x 0 - 1 jest wartością pochodnej tej funkcji przy x \u003d 1. f '(1) \u003d 3x 2; f'(1) = 3.

Nr 91 (3,5) - pod dyktando.

Nr 92 (1) - na tablicy do woli.

Nr 92 (3) - samodzielnie z weryfikacją ustną.

Nr 92 (5) - przy tablicy.

Odpowiedzi: 45 0, 135 0, 1,5 e 2.

Cel: rozwinięcie koncepcji „mechanicznego znaczenia pochodnej”.

Zastosowania pochodnej w mechanice.

Dane jest prawo ruchu prostoliniowego punktu x = x(t), t.

1. Średnia prędkość ruchu w określonym przedziale czasu;
2. Prędkość i przyspieszenie w czasie t 04
3. punkty zatrzymania; czy punkt po zatrzymaniu kontynuuje ruch w tym samym kierunku, czy zaczyna poruszać się w kierunku przeciwnym;
4. Najwyższa prędkość ruchu przez określony czas.

Praca wykonywana jest według 12 wariantów, zadania są zróżnicowane ze względu na stopień skomplikowania (pierwszy wariant to najniższy stopień złożoności).

Przed przystąpieniem do pracy rozmowa na następujące pytania:

1. Jakie jest fizyczne znaczenie pochodnej przesunięcia? (Prędkość).
2. Czy potrafisz znaleźć pochodną prędkości? Czy ta wielkość jest używana w fizyce? Jak to jest nazywane? (Przyśpieszenie).
3. Chwilowa prędkość wynosi zero. Co można powiedzieć o ruchu ciała w tym momencie? (To jest punkt zatrzymania).
4. Jaki jest fizyczny sens następujących stwierdzeń: pochodna ruchu jest równa zeru w punkcie t 0; czy pochodna zmienia znak przy przechodzeniu przez punkt t 0? (Ciało zatrzymuje się; kierunek ruchu zmienia się na przeciwny).

Przykładowa praca dla studentów.

x (t) \u003d t 3 -2 t 2 +1, t 0 \u003d 2.

Rysunek 4

W przeciwnym kierunku.

Narysujmy schematyczny wykres prędkości. Najwyższa prędkość jest osiągana w punkcie

t=10, v (10) =3 10 2 -4 10 =300-40=260

Rysunek 5

1) Jakie jest geometryczne znaczenie pochodnej?
2) Jakie jest mechaniczne znaczenie pochodnej?
3) Wyciągnij wnioski na temat swojej pracy.

Strona 90. Nr 91 (2,4,6), Nr 92 (2,4,6,), s. 92 Nr 112.

Używane książki

• Podręcznik Algebra i początek analizy.
  Autorzy: Yu.M. Kolagin, M.V. Tkaczewa, N.E. Fiodorowa, MI Szabunin.
  Pod redakcją AB Zhizhchenko.
• Algebra 11 klasa. Scenariusze lekcji według podręcznika Sh. A. Alimova, Yu. M. Kolyagina, Yu. V. Sidorova. Część 1.
• Zasoby internetowe: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

Przed zapoznaniem się z informacjami na bieżącej stronie radzimy obejrzeć film o pochodnej i jej znaczeniu geometrycznym

Zobacz także przykład obliczania pochodnej w punkcie

Styczna do prostej l w punkcie M0 jest linią prostą M0T - położeniem granicznym siecznej M0M, gdy punkt M dąży wzdłuż tej prostej do M0 (tj. kąt dąży do zera) w dowolny sposób.

Pochodna funkcji y \u003d f (x) w punkcie x0 zwany granica stosunku przyrostu tej funkcji do przyrostu argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera. Pochodna funkcji y \u003d f (x) w punkcie x0 i podręcznikach jest oznaczona symbolem f "(x0). Dlatego z definicji

Termin „pochodna”(a także „druga pochodna”) przedstawił J. Lagrange'a(1797), nadto nadał oznaczenia y’, f’(x), f”(x) (1770,1779). Oznaczenie dy/dx pojawia się po raz pierwszy u Leibniza (1675).

Pochodna funkcji y \u003d f (x) przy x \u003d xo jest równa nachyleniu stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie Mo (ho, f (xo)), tj.

gdzie - kąt styczny do osi x prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych.

Równanie styczne do prostej y = f(x) w punkcie Mo(xo, yo) przyjmuje postać

Normalna do krzywej w pewnym punkcie jest prostopadła do stycznej w tym samym punkcie. Jeśli f(x0) nie jest równe 0, to proste równanie normalne y \u003d f (x) w punkcie Mo (xo, yo) zostanie zapisane w następujący sposób:

Fizyczne znaczenie pochodnej

Jeśli x = f(t) jest prawem prostoliniowego ruchu punktu, to x’ = f’(t) jest prędkością tego ruchu w chwili t. Przepływ fizyczne, chemiczne i inne procesów wyraża się za pomocą pochodnej.

Jeżeli stosunek dy / dx w punkcie x-> x0 ma granicę po prawej (lub po lewej stronie), to nazywamy go pochodną po prawej (odpowiednio pochodną po lewej). Granice takie nazywane są pochodnymi jednostronnymi..

Oczywiście funkcja f(x) zdefiniowana w jakimś sąsiedztwie punktu x0 ma pochodną f'(x) wtedy i tylko wtedy, gdy pochodne jednostronne istnieją i są sobie równe.

Geometryczna interpretacja pochodnej ponieważ nachylenie stycznej do wykresu dotyczy również tego przypadku: styczna w tym przypadku jest równoległa do osi Oy.

Funkcję, która ma pochodną w danym punkcie, nazywamy różniczkowalną w tym punkcie. Funkcję, która ma pochodną w każdym punkcie danego przedziału, nazywamy różniczkowalną w tym przedziale. Jeżeli przedział jest domknięty, to na jego końcach występują pochodne jednostronne.

Nazywa się operację znajdowania pochodnej.

Artykuł zawiera szczegółowe wyjaśnienie definicji, geometryczne znaczenie pochodnej z notacją graficzną. Równanie linii stycznej zostanie rozważone z przykładami, zostaną znalezione równania stycznej do krzywych drugiego rzędu.

Kąt nachylenia linii prostej y \u003d k x + b nazywany jest kątem α, który jest mierzony od dodatniego kierunku osi x do prostej y \u003d k x + b w kierunku dodatnim.

Na rysunku kierunek ox jest oznaczony zieloną strzałką i zielonym łukiem, a kąt nachylenia czerwonym łukiem. Niebieska linia odnosi się do linii prostej.

Definicja 2

Nachylenie linii prostej y \u003d k x + b nazywa się współczynnikiem liczbowym k.

Nachylenie jest równe nachyleniu linii prostej, innymi słowy k = t g α .

• Nachylenie prostej wynosi 0 tylko wtedy, gdy o x jest równoległe i nachylenie jest równe zeru, ponieważ tangens zera wynosi 0. Tak więc postać równania będzie miała postać y = b.
• Jeżeli kąt nachylenia linii prostej y = k x + b jest ostry, to warunki 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 , a na wykresie jest wzrost.
• Jeśli α \u003d π 2, to położenie linii jest prostopadłe do x. Równość jest określona przez równość x = c, gdzie wartość c jest liczbą rzeczywistą.
• Jeżeli kąt nachylenia linii prostej y = k x + b jest rozwarty, to odpowiada warunkom π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Sieczna to prosta przechodząca przez 2 punkty funkcji f(x). Innymi słowy, sieczna jest linią prostą przechodzącą przez dowolne dwa punkty na wykresie danej funkcji.

Rysunek pokazuje, że AB jest sieczną, a f (x) jest czarną krzywą, α jest czerwonym łukiem, wskazującym kąt nachylenia siecznej.

Kiedy nachylenie linii prostej jest równe tangensowi kąta nachylenia, jasne jest, że styczną z trójkąta prostokątnego A B C można znaleźć w stosunku do przeciwległej nogi do sąsiedniej.

Definicja 4

Otrzymujemy wzór na znalezienie siecznej formy:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , gdzie odcięte punktów A i B są wartościami x A , x B , i f (x A) , f (x B) to wartości funkcji w tych punktach.

Oczywiście nachylenie siecznej jest określone za pomocą równości k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A lub k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B, a równanie należy zapisać jako y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) lub
y = fa (x ZA) - fa (x b) x ZA - x b x - x b + fa (x b) .

Sieczna wizualnie dzieli wykres na 3 części: na lewo od punktu A, od A do B, na prawo od punktu B. Poniższy rysunek pokazuje, że istnieją trzy sieczne, które są uważane za takie same, to znaczy są ustawić za pomocą podobnego równania.

Z definicji jasne jest, że prosta i jej sieczna pokrywają się w tym przypadku.

Sieczna może wielokrotnie przecinać wykres danej funkcji. Jeśli istnieje równanie postaci y \u003d 0 dla siecznej, to liczba punktów przecięcia z sinusoidą jest nieskończona.

Definicja 5

Styczna do wykresu funkcji f(x) w punkcie x 0 ; f (x 0) nazywamy linią prostą przechodzącą przez dany punkt x 0; f (x 0) , z obecnością segmentu, który ma wiele wartości x bliskich x 0 .

Przykład 1

Przyjrzyjmy się bliżej poniższemu przykładowi. Wtedy widać, że prosta dana przez funkcję y = x + 1 jest uważana za styczną do y = 2 x w punkcie o współrzędnych (1 ; 2) . Dla jasności konieczne jest rozważenie wykresów o wartościach bliskich (1; 2). Funkcja y = 2 x jest zaznaczona na czarno, niebieska linia to styczna, czerwona kropka to punkt przecięcia.

Oczywiście y \u003d 2 x łączy się z linią y \u003d x + 1.

Aby wyznaczyć styczną, należy rozważyć zachowanie się stycznej A B, gdy punkt B zbliża się w nieskończoność do punktu A. Dla jasności przedstawiamy rysunek.

Sieczna AB, oznaczona niebieską linią, dąży do położenia samej stycznej, a kąt nachylenia siecznej α zacznie zbliżać się do kąta nachylenia samej stycznej α x.

Definicja 6

Styczna do wykresu funkcji y \u003d f (x) w punkcie A jest granicznym położeniem siecznej AB w B zmierzającej do A, to znaczy B → A.

Przejdźmy teraz do rozważenia geometrycznego znaczenia pochodnej funkcji w punkcie.

Przejdźmy do rozważenia siecznej A B dla funkcji f (x), gdzie A i B o współrzędnych x 0, f (x 0) i x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) i ∆ x jest oznaczane jako przyrost argumentu. Teraz funkcja przyjmie postać ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Dla jasności zróbmy zdjęcie jako przykład.

Rozważmy wynikowy trójkąt prostokątny A B C. Korzystamy z definicji tangensa dla rozwiązania, czyli otrzymujemy stosunek ∆ y ∆ x = t g α . Z definicji stycznej wynika, że ​​lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Zgodnie z regułą pochodnej w punkcie mamy, że pochodna f(x) w punkcie x 0 nazywana jest granicą stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, gdzie ∆ x → 0, to oznaczone jako f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Wynika z tego, że f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, gdzie k x oznaczamy jako nachylenie stycznej.

Czyli otrzymujemy, że f ' (x) może istnieć w punkcie x 0 i oprócz stycznej do danego wykresu funkcji w punkcie styku równym x 0 , f 0 (x 0) , gdzie wartość nachylenia stycznej w punkcie jest równa pochodnej w punkcie x 0 . Wtedy otrzymujemy, że k x = f "(x 0) .

Geometryczne znaczenie pochodnej funkcji w punkcie polega na tym, że dana jest koncepcja istnienia stycznej do wykresu w tym samym punkcie.

Aby napisać równanie dowolnej linii prostej na płaszczyźnie, konieczne jest posiadanie nachylenia z punktem, przez który przechodzi. Jego oznaczenie przyjmuje się jako x 0 na przecięciu.

Równanie stycznej do wykresu funkcji y \u003d f (x) w punkcie x 0, f 0 (x 0) ma postać y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Oznacza to, że końcowa wartość pochodnej f "(x 0) może określić położenie stycznej, czyli w pionie pod warunkiem lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ i lim x → x 0 - 0 fa "(x ) = ∞ lub brak w ogóle pod warunkiem lim x → x 0 + 0 fa "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 fa "(x) .

Położenie stycznej zależy od wartości jej nachylenia k x \u003d f "(x 0). Gdy równolegle do osi x, otrzymujemy to k k \u003d 0, gdy równolegle do około y - k x \u003d ∞, a postać równania stycznego x \u003d x 0 rośnie wraz z k x > 0 , maleje, gdy k x< 0 .

Przykład 2

Skompiluj równanie stycznej do wykresu funkcji y \u003d mi x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 w punkcie o współrzędnych (1; 3) z definicją kąta nachylenie.

Rozwiązanie

Z założenia mamy, że funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych. Otrzymujemy, że punkt o współrzędnych określonych przez warunek (1 ; 3) jest punktem styku, wtedy x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Należy znaleźć pochodną w punkcie o wartości -1 . Rozumiemy to

y "= mi x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = mi x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = mi x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Wartość f’ (x) w punkcie styku jest nachyleniem stycznej, która jest równa stycznej nachylenia.

Wtedy k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Wynika z tego, że α x = a r c t g 3 3 = π 6

Odpowiedź: równanie styczne przyjmuje postać

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + fa (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Dla jasności podajemy przykład na ilustracji graficznej.

Czarny kolor jest używany do wykresu oryginalnej funkcji, niebieski kolor to obraz styczny, czerwona kropka to punkt styku. Rysunek po prawej stronie przedstawia widok w powiększeniu.

Przykład 3

Znajdź istnienie stycznej do wykresu danej funkcji
y = 3 x - 1 5 + 1 w punkcie o współrzędnych (1 ; 1) . Napisz równanie i wyznacz kąt nachylenia.

Rozwiązanie

Z założenia mamy, że dziedziną danej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Przejdźmy do szukania pochodnej

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Jeśli x 0 = 1 , to f ' (x) nie jest zdefiniowane, ale granice są zapisane jako lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ i lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , co oznacza istnienie stycznej pionowej w punkt (1 ; 1) .

Odpowiedź: równanie przyjmie postać x \u003d 1, gdzie kąt nachylenia będzie równy π 2.

Narysujmy to dla jasności.

Przykład 4

Znajdź punkty wykresu funkcji y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , gdzie

1. Styczna nie istnieje;
2. Styczna jest równoległa do x;
3. Styczna jest równoległa do prostej y = 8 5 x + 4 .

Rozwiązanie

Konieczne jest zwrócenie uwagi na dziedzinę definicji. Z założenia mamy, że funkcja jest zdefiniowana na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych. Rozwiń moduł i rozwiąż układ z przedziałami x ∈ - ∞ ; 2 i [ - 2 ; +∞) . Rozumiemy to

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Funkcja musi być zróżnicowana. Mamy to

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Gdy x = - 2, to pochodna nie istnieje, ponieważ granice jednostronne nie są równe w tym punkcie:

limit x → - 2 - 0 y "(x) = limit x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Obliczamy wartość funkcji w punkcie x \u003d - 2, gdzie to otrzymujemy

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, czyli styczna w punkt (- 2; - 2) nie będzie istniał.
2. Styczna jest równoległa do x, gdy nachylenie wynosi zero. Wtedy k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). Oznacza to, że konieczne jest znalezienie wartości takiego x, gdy pochodna funkcji zwróci ją do zera. To znaczy wartości \u200b\u200bz f '(x) i będą punktami styku, gdzie styczna jest równoległa do x .

Kiedy x ∈ - ∞ ; - 2 , wtedy - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , a dla x ∈ (- 2 ; + ∞) otrzymujemy 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 re = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 re = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Obliczamy odpowiednie wartości funkcji

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Stąd - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3, 1; 85, 3; 4 3 są uważane za pożądane punkty wykresu funkcji.

Rozważ graficzną reprezentację rozwiązania.

Czarna linia to wykres funkcji, czerwone kropki to punkty styku.

1. Gdy linie są równoległe, współczynniki kierunkowe są równe. Następnie należy szukać punktów wykresu funkcji, w których nachylenie będzie równe wartości 8 5 . Aby to zrobić, musisz rozwiązać równanie postaci y "(x) = 8 5. Następnie, jeśli x ∈ - ∞; - 2, otrzymamy to - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, a jeśli x ∈ ( - 2 ; + ∞) , to 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Pierwsze równanie nie ma pierwiastków, ponieważ wyróżnik jest mniejszy od zera. Zapiszmy to

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 R = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Zatem inne równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 re = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Przejdźmy do znalezienia wartości funkcji. Rozumiemy to

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Punkty o wartościach - 1 ; 4 15, 5; 8 3 to punkty, w których styczne są równoległe do linii y = 8 5 x + 4 .

Odpowiedź: czarna linia - wykres funkcji, czerwona linia - wykres y \u003d 8 5 x + 4, niebieska linia - styczne w punktach - 1; 4 15, 5; 8 3 .

Możliwe jest istnienie nieskończonej liczby stycznych dla danych funkcji.

Przykład 5

Napisz równania wszystkich dostępnych stycznych funkcji y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , które są prostopadłe do prostej y = - 2 x + 1 2 .

Rozwiązanie

Aby sporządzić równanie styczne, należy znaleźć współczynnik i współrzędne punktu styku na podstawie warunku prostopadłości prostych. Definicja brzmi tak: iloczyn współczynników kierunkowych prostopadłych do prostych jest równy - 1, czyli jest zapisywany jako k x · k ⊥ = - 1. Z warunku mamy, że nachylenie jest prostopadłe do prostej i jest równe k ⊥ = - 2, wtedy k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Teraz musimy znaleźć współrzędne punktów styku. Musisz znaleźć x, po czym jego wartość dla danej funkcji. Zauważ, że z geometrycznego znaczenia pochodnej w punkcie
x 0 otrzymujemy to k x \u003d y "(x 0) . Z tej równości znajdujemy wartości x dla punktów styku.

Rozumiemy to

y "(x 0) = 3 sałata 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - grzech 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 grzech 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 grzech 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 grzech 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ grzech 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

To równanie trygonometryczne zostanie użyte do obliczenia rzędnych punktów styku.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk lub 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk lub 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r do grzech 1 9 + 2 πk lub x 0 = 2 3 5 π 4 + a r do grzech 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z jest zbiorem liczb całkowitych.

Znaleziono x punktów kontaktowych. Teraz musisz przejść do wyszukiwania wartości y:

y 0 = 3 sałata 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - grzech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 lub y 0 = 3 - 1 - grzech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 lub y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 lub y 0 = - 4 5 + 1 3

Stąd otrzymujemy, że 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + łuk do grzech 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 to punkty styku.

Odpowiedź: niezbędne równania zostaną zapisane jako

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r do grzech 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r do grzech 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Aby uzyskać wizualną reprezentację, rozważ funkcję i styczną na linii współrzędnych.

Rysunek pokazuje, że położenie funkcji znajduje się w przedziale [-10; 10 ] , gdzie czarna linia to wykres funkcji, niebieskie linie to styczne prostopadłe do danej prostej postaci y = - 2 x + 1 2 . Czerwone kropki to punkty dotykowe.

Równania kanoniczne krzywych drugiego rzędu nie są funkcjami jednowartościowymi. Równania styczne dla nich są zestawiane zgodnie ze znanymi schematami.

Styczna do okręgu

Aby ustawić okrąg wyśrodkowany w punkcie x c ​​en t e r ; y c e n t e r i promień R, stosuje się wzór x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.

Równość tę można zapisać jako sumę dwóch funkcji:

y = R 2 - x - x do mi n t mi r 2 + y c mi n t mi r y = - R 2 - x - x do mi n t mi r 2 + y c mi n t mi r

Pierwsza funkcja znajduje się na górze, a druga na dole, jak pokazano na rysunku.

Sporządzić równanie okręgu w punkcie x 0 ; y 0 , który znajduje się w górnym lub dolnym półkolu, powinieneś znaleźć równanie wykresu funkcji postaci y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r lub y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r we wskazanym punkcie.

Kiedy w punktach x c en t e r ; y c e n t e r + R i x c e n t e r ; y c e n t e r - R tangensy można podać równaniami y = y c e n t e r + R i y = y c e n t e r - R , oraz w punktach x c e n t e r + R ; y c e n t e r i
x c e n t e r - R; y c e n t e r będzie równoległe do y, to otrzymamy równania postaci x = x c e n t e r + R i x = x c e n t e r - R .

Styczna do elipsy

Kiedy elipsa jest wyśrodkowana w x c en t e r ; y c e n t e r z półosiami a i b , to można go podać za pomocą równania x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Elipsę i okrąg można oznaczyć, łącząc dwie funkcje, a mianowicie górną i dolną półelipsę. Wtedy to rozumiemy

y = b za a 2 - (x - x c mi n t mi r) 2 + y c mi n t e r y = - b za a 2 - (x - x c mi n t mi r) 2 + y c mi n t mi r

Jeśli styczne znajdują się w wierzchołkach elipsy, to są równoległe względem x lub względem y. Dla jasności rozważ poniższy rysunek.

Przykład 6

Napisz równanie stycznej do elipsy x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 w punktach o wartościach x równych x = 2 .

Rozwiązanie

Konieczne jest znalezienie punktów styku, które odpowiadają wartości x = 2. Dokonujemy podstawienia do istniejącego równania elipsy i otrzymujemy to

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

następnie 2; 5 3 2 + 5 i 2 ; - 5 3 2 + 5 to punkty styczne należące do górnej i dolnej półelipsy.

Przejdźmy do znajdowania i rozwiązywania równania elipsy względem y. Rozumiemy to

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Jest oczywiste, że górna półelipsa jest określona funkcją postaci y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , a dolna y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Stosujemy standardowy algorytm w celu sformułowania równania stycznej do wykresu funkcji w punkcie. Piszemy, że równanie dla pierwszej stycznej w punkcie 2 ; 5 3 2 + 5 będzie wyglądać

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Otrzymujemy równanie drugiej stycznej z wartością w punkcie
2; - 5 3 2 + 5 staje się

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Graficznie styczne są oznaczone w następujący sposób:

Styczna do hiperboli

Kiedy hiperbola ma środek w punkcie x c ​​en t e r ; y c e n t e r i wierzchołki x c e n t e r + α ; y c e n t e r i x c e n t e r - α; y c e n t e r , nierówność x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 jest dana jeśli z wierzchołkami x c e n t e r ; y c e n t e r + b i x c e n t mi r ; y c e n t e r - b jest wtedy dane przez nierówność x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t mi r 2 b 2 = - 1 .

Hiperbolę można przedstawić jako dwie połączone funkcje formy

y = b za (x - x c mi n t e r) 2 - za 2 + y c mi n t e r y = - b za (x - x c mi n t e r) 2 - za 2 + y c mi n t mi r lub y = b za (x - x c mi n t mi r) 2 + za 2 + y c mi n t mi r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + za 2 + y c e n t e r

W pierwszym przypadku mamy, że styczne są równoległe do y, aw drugim są równoległe do x.

Wynika z tego, że aby znaleźć równanie stycznej do hiperboli, należy dowiedzieć się, do której funkcji należy punkt styczny. Aby to ustalić, konieczne jest dokonanie podstawienia w równaniach i sprawdzenie ich tożsamości.

Przykład 7

Zapisz równanie stycznej do hiperboli x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 w punkcie 7; - 3 3 - 3 .

Rozwiązanie

Konieczne jest przekształcenie zapisu rozwiązania znalezienia hiperboli za pomocą 2 funkcji. Rozumiemy to

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 lub y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Należy dowiedzieć się, do jakiej funkcji należy dany punkt o współrzędnych 7; - 3 3 - 3 .

Oczywiście, aby sprawdzić pierwszą funkcję, potrzebujesz y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , wtedy punkt nie należy do wykresu, ponieważ równość nie jest spełniona.

Dla drugiej funkcji mamy, że y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , co oznacza, że ​​punkt należy do danego wykresu. Stąd powinieneś znaleźć współczynnik nachylenia.

Rozumiemy to

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Odpowiedź: równanie styczne można przedstawić jako

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Jest to wizualizowane w następujący sposób:

Styczna do paraboli

Aby ułożyć równanie stycznej do paraboli y \u003d a x 2 + b x + c w punkcie x 0, y (x 0) , musisz użyć standardowego algorytmu, wtedy równanie przyjmie postać y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Taka styczna w wierzchołku jest równoległa do x.

Parabolę x = a y 2 + b y + c należy zdefiniować jako sumę dwóch funkcji. Dlatego musimy rozwiązać równanie dla y. Rozumiemy to

x = za y 2 + b y + do ⇔ za y 2 + b y + do - x = 0 re = b 2 - 4 za (c - x) y = - b + b 2 - 4 za (c - x) 2 za y = - b - b 2 - 4 za (c - x) 2 za

Narysujmy to jako:

Aby dowiedzieć się, czy punkt x 0 , y (x 0) należy do funkcji, delikatnie postępuj zgodnie ze standardowym algorytmem. Taka styczna będzie równoległa do y względem paraboli.

Przykład 8

Napisz równanie stycznej do wykresu x - 2 y 2 - 5 y + 3, gdy mamy styczne nachylenie 150 °.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy rozwiązanie od przedstawienia paraboli jako dwóch funkcji. Rozumiemy to

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 re = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Wartość nachylenia jest równa wartości pochodnej w punkcie x 0 tej funkcji i jest równa tangensowi nachylenia.

Otrzymujemy:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Stąd określamy wartość x dla punktów styku.

Pierwsza funkcja zostanie zapisana jako

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Oczywiście nie ma prawdziwych pierwiastków, ponieważ otrzymaliśmy wartość ujemną. Dochodzimy do wniosku, że dla takiej funkcji nie ma stycznej o kącie 150 °.

Druga funkcja zostanie zapisana jako

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Mamy to punkty styku - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Odpowiedź: równanie styczne przyjmuje postać

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Narysujmy to tak:

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Temat. Pochodna. Geometryczne i mechaniczne znaczenie pochodnej

Jeśli ta granica istnieje, to mówi się, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie. Pochodna funkcji jest oznaczona (wzór 2).

1. Geometryczne znaczenie pochodnej. Rozważ wykres funkcji. Z rys. 1 widać, że dla dowolnych dwóch punktów A i B wykresu funkcji można zapisać wzór 3). W nim - kąt nachylenia siecznej AB.

Zatem stosunek różnicy jest równy nachyleniu siecznej. Jeśli ustalimy punkt A i przesuniemy w jego stronę punkt B, to zmniejsza się on w nieskończoność i zbliża się do 0, a sieczna AB zbliża się do stycznej AC. Dlatego granica relacji różnicowej jest równa nachyleniu stycznej w punkcie A. Stąd wniosek.

Pochodna funkcji w punkcie to nachylenie stycznej do wykresu tej funkcji w tym punkcie. To jest geometryczne znaczenie pochodnej.

1. Równanie styczne . Wyprowadźmy równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie. W ogólnym przypadku równanie prostej ze spadkiem ma postać: . Aby znaleźć b, wykorzystujemy fakt, że styczna przechodzi przez punkt A: . Oznacza to: . Podstawiając to wyrażenie za b, otrzymujemy równanie styczne (wzór 4).

Pochodna funkcji jest jednym z najtrudniejszych tematów w szkolnym programie nauczania. Nie każdy absolwent odpowie na pytanie, czym jest pochodna.

Ten artykuł w prosty i jasny sposób wyjaśnia, czym jest pochodna i dlaczego jest potrzebna.. Nie będziemy teraz dążyć do matematycznego rygoru prezentacji. Najważniejsze to zrozumieć znaczenie.

Przypomnijmy sobie definicję:

Pochodna to szybkość zmian funkcji.

Rysunek przedstawia wykresy trzech funkcji. Jak myślisz, który rośnie najszybciej?

Odpowiedź jest oczywista – trzecia. Ma najwyższą stopę zmian, czyli największą pochodną.

Oto kolejny przykład.

Kostia, Grisza i Matwiej dostali pracę w tym samym czasie. Zobaczmy, jak zmieniły się ich dochody w ciągu roku:

Od razu widać wszystko na wykresie, prawda? Dochody Kostii wzrosły ponad dwukrotnie w ciągu sześciu miesięcy. Dochody Griszy też wzrosły, ale tylko trochę. A dochód Mateusza spadł do zera. Warunki początkowe są takie same, ale tempo zmian funkcji, tj. pochodna, - różny. Jeśli chodzi o Matveya, pochodna jego dochodu jest na ogół ujemna.

Intuicyjnie możemy łatwo oszacować tempo zmian funkcji. Ale jak to zrobić?

Tak naprawdę patrzymy na to, jak stromo wykres funkcji idzie w górę (lub w dół). Innymi słowy, jak szybko y zmienia się wraz z x. Oczywiście ta sama funkcja w różnych punktach może mieć różną wartość pochodnej - czyli może zmieniać się szybciej lub wolniej.

Pochodna funkcji jest oznaczona przez .

Pokażmy, jak znaleźć za pomocą wykresu.

Rysujemy wykres pewnej funkcji. Zaznacz na nim punkt za pomocą odciętych. Narysuj w tym punkcie styczną do wykresu funkcji. Chcemy ocenić, jak stromo rośnie wykres funkcji. Przydatną wartością jest to tangens nachylenia stycznej.

Pochodna funkcji w punkcie jest równa tangensowi nachylenia stycznej narysowanej na wykresie funkcji w tym punkcie.

Uwaga - jako kąt nachylenia stycznej przyjmujemy kąt między styczną a dodatnim kierunkiem osi.

Czasami uczniowie pytają, jaka jest styczna do wykresu funkcji. Jest to linia prosta, która ma zresztą jedyny wspólny punkt z wykresem w tej sekcji, jak pokazano na naszym rysunku. Wygląda jak styczna do okręgu.

Znajdźmy . Pamiętamy, że tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest równy stosunkowi przeciwnej nogi do sąsiedniej. Z trójkąta:

Znaleźliśmy pochodną za pomocą wykresu, nie znając nawet wzoru funkcji. Takie zadania często znajdują się na egzaminie z matematyki pod numerem.

Jest jeszcze jedna ważna zależność. Przypomnijmy, że linia prosta jest dana równaniem

Wielkość w tym równaniu nazywa się nachylenie linii prostej. Jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi.

.

Rozumiemy to

Zapamiętajmy tę formułę. Wyraża geometryczne znaczenie pochodnej.

Pochodna funkcji w punkcie jest równa nachyleniu stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji w tym punkcie.

Innymi słowy, pochodna jest równa tangensowi nachylenia stycznej.

Powiedzieliśmy już, że ta sama funkcja w różnych punktach może mieć inną pochodną. Zobaczmy, jak pochodna jest powiązana z zachowaniem funkcji.

Narysujmy wykres pewnej funkcji. Niech ta funkcja rośnie w niektórych obszarach, a zmniejsza się w innych i w różnym tempie. I niech ta funkcja ma punkty maksymalne i minimalne.

W pewnym momencie funkcja jest rosnąca. Styczna do wykresu narysowana w tym punkcie tworzy kąt ostry z dodatnim kierunkiem osi. Więc pochodna jest dodatnia w punkcie.

W tym momencie nasza funkcja jest malejąca. Styczna w tym punkcie tworzy kąt rozwarty z dodatnim kierunkiem osi. Ponieważ tangens kąta rozwartego jest ujemny, pochodna w punkcie jest ujemna.

Oto, co się dzieje:

Jeśli funkcja jest rosnąca, jej pochodna jest dodatnia.

Jeśli maleje, jej pochodna jest ujemna.

A co się stanie w punktach maksymalnych i minimalnych? Widzimy, że w (punkt maksymalny) i (punkt minimalny) styczna jest pozioma. Dlatego tangens nachylenia stycznej w tych punktach wynosi zero, a pochodna również wynosi zero.

Punkt jest punktem maksymalnym. W tym momencie wzrost funkcji zostaje zastąpiony spadkiem. W konsekwencji znak pochodnej zmienia się w punkcie z „plus” na „minus”.

W punkcie - punkcie minimum - pochodna również jest równa zeru, ale jej znak zmienia się z „minus” na „plus”.

Wniosek: za pomocą pochodnej możesz dowiedzieć się wszystkiego, co nas interesuje o zachowaniu funkcji.

Jeśli pochodna jest dodatnia, to funkcja jest rosnąca.

Jeżeli pochodna jest ujemna, to funkcja jest malejąca.

W punkcie maksymalnym pochodna wynosi zero i zmienia znak z plusa na minus.

W punkcie minimalnym pochodna również wynosi zero i zmienia znak z minusa na plus.

Zapisujemy te ustalenia w formie tabeli:

Zróbmy dwa małe wyjaśnienia. Będziesz potrzebował jednego z nich podczas rozwiązywania problemów egzaminacyjnych. Kolejny - na pierwszym roku, z poważniejszym badaniem funkcji i pochodnych.

Możliwy jest przypadek, gdy pochodna funkcji w pewnym punkcie jest równa zeru, ale funkcja nie ma w tym punkcie ani maksimum, ani minimum. Ten tzw :

W pewnym punkcie styczna do wykresu jest pozioma, a pochodna równa zero. Jednak przed punktem funkcja rosła - a po punkcie nadal rośnie. Znak pochodnej nie zmienia się – pozostaje dodatni.

Zdarza się również, że w punkcie maksimum lub minimum pochodna nie istnieje. Na wykresie odpowiada to ostremu załamaniu, gdy nie można narysować stycznej w danym punkcie.

Ale jak znaleźć pochodną, ​​jeśli funkcja jest dana nie przez wykres, ale przez wzór? W tym przypadku ma to zastosowanie