Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью , слева и справа – прямыми и (см. рис. 2) вычисляется по формуле
Пример 9.
Найти площадь фигуры, ограниченной линией 
и осью .
Решение
. Графиком функции 
является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью (прямой ). Для этого решаем систему уравнений
Получаем: 
, откуда , ; следовательно, , .
Рис. 3
Площадь фигуры находим по формуле (5):
Если функция неположительна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью , слева и справа – прямыми и , вычисляется по формуле
. (6)
В случае, если функция непрерывна на отрезке и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:
Рис. 4
Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью и графиком функции при .
Рис. 5
Решение
. Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей и . Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему 
Получим , . Следовательно:
;
.
Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна
(кв. ед.).
Рис. 6
Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке функций и ,
а слева и справа – прямыми и (рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле
. (8)
Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .
Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений находим , ; следовательно, , . На отрезке имеем: . Значит, в формуле (8) в качестве возьмем x , а в качестве – . Получим:
(кв. ед.).
Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.
Рис. 7
Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .
Решение . Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью , слева и справа – прямыми и , сверху – графиками функций и . Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий и ). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):
(кв. ед.); 
(кв. ед.). Следовательно:
(кв. ед.).
Рис. 8
|
Рис. 9
В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми и , осью и непрерывной на кривой (рис. 9), то ее площадь находится по формуле
Объем тела вращения
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке функции , осью , прямыми и , вращается вокруг оси (рис. 10). Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле
. (9)
Пример 13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми , и осью .
Решение . Сделаем чертеж (рис. 11).
Из условия задачи следует, что , . По формуле (9) получаем
.
Рис. 10
Рис. 11
Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с и у = d , осью Оу и графиком непрерывной на отрезке функции (рис. 12), определяется по формуле
. (10)
|
Рис. 12
Пример 14 . Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х 2 = 4у , у = 4, х = 0 (рис. 13).
Решение . В соответствии с условием задачи находим пределы интегрирования: , . По формуле (10) получаем:
Рис. 13
Длина дуги плоской кривой
Пусть кривая , заданная уравнением , где , лежит в плоскости (рис. 14).
Рис. 14
Определение. Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.
Если функция и ее производная непрерывны на отрезке , то длина дуги кривой вычисляется по формуле
. (11)
Пример 15
. Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками, для которых 
.
Решение
. Из условия задачи имеем 
. По формуле (11) получаем:
.
4. Несобственные интегралы
с бесконечными пределами интегрирования
При введении понятия определённого интеграла предполага-лось, что выполняются следующие два условия:
а) пределы интегрирования а и являются конечными;
б) подынтегральная функция ограничена на отрезке .
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным .
Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Определение. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке , тогда и неограниченной справа (рис. 15).
Если несобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; если несобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна.
Рис. 15
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:
. (13)
Этот интеграл сходится, если предел в правой части равенства (13) существует и конечен; в противном случае интеграл называется расходящимся.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:
, (14)
где с – любая точка интервала . Интеграл сходится только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (14).
;г) 
= [выделим в знаменателе полный квадрат: ] = 
[замена:
] = 
Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно .
Определение. Фигура, ограниченная графиком непрерывной, знакопостоянной функции f(x), осью абцисс и прямыми x=a, x=b, называется криволинейной трапецией.
Способы нахождения площади криволинейной трапеции
Теорема. Если f(x) непрерывная и неотрицательная функция на отрезке , то площадь соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразных.
Дано: f(x)- непрерывная неопр. функция, xО.
Доказать: S = F(b) - F(a), где F(x) - первообразная f(x).
Доказательство:
1) Рассмотрим вспомогательную функцию S(x). Каждому xО поставим в соответствие ту часть криволинейной трапеции, которая лежит левее прямой (рис. 2), проходящей через точку с этой абциссой и параллельно оси ординат.
Следовательно S(a)=0 и S(b)=Sтр
Докажем, что S(a) - первообразная f(x).
D(f) = D(S) =
S"(x0)= lim(S(x0+Dx) - S(x0) / Dx), при Dx®0 DS - прямоугольник
Dx®0 со сторонами Dx и f(x0)
S"(x0) = lim(Dx f(x0) /Dx) = lim f(x0)=f(x0): т.к. x0 точка, то S(x) -
Dx®0 Dx®0 первообразная f(x).
Следовательно по теореме об общем виде первообразной S(x)=F(x)+C.
Т.к. S(a)=0, то S(a) = F(a)+C
S = S(b)=F(b)+C = F(b)-F(a)
1). Разобьем отрезок на n равных частей. Шаг разбиения (рис. 3)
Dx=(b-a)/n. При этом Sтр=lim(f(x0)Dx+f(x1)Dx+...+f(xn))Dx=n®Ґ = lim Dx(f(x0)+f(x1)+...+f(xn))
При n®Ґ получим, что Sтр= Dx(f(x0)+f(x1)+...+f(xn))
Предел этой суммы называют определенным интегралом.
Сумма стоящая под пределом, называется интегральной суммой.
Определенный интеграл это предел интегральной суммы на отрезке при n®Ґ. Интегральная сумма получается как предел суммы произведений длины отрезка, полученного при разбиении области определения функции в какой либо точке этого интервала.
a - нижний предел интегрирования;
b - верхний.
Формула Ньютона-Лейбница.
Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции делаем вывод:
если F - первообразная для b на , то
т f(x)dx = F(b)-F(a)
т f(x)dx = F(x) ф = F(b) - F(a)
Свойства определенного интеграла.
т f(x)dx = т f(z)dz
т f(x)dx = F(a) - F(a) = 0
т f(x)dx = - т f(x)dx
т f(x)dx = F(a) - F(b) т f(x)dx = F(b) - F(a) = - (F(a) - F(b))
Если a, b и c любые точки промежутка I, на котором непрерывная функция f(x) имеет первообразную, то
т f(x)dx = т f(x)dx + т f(x)dx
F(b) - F(a) = F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)
(это свойство аддитивности определенного интеграла)
Если l и m постоянные величины, то
т (lf(x) +m j(x))dx = l т f(x)dx + m тj(x))dx -
Это свойство линейности определенного интеграла.
т (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = т f(x)dx+ т g(x)dx+...+ т h(x)dx
т (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) - (F(a) + G(a) +...+ H(a)) +C = F(b)-F(a)+C1 +G(b)-G(a)+C2+...+H(b)-H(a)+Cn=b b b = т f(x)dx+ т g(x)dx+...+ т h(x)dx
Набор стандартных картинок (рис. 4, 5, 6, 7, 8)
Рис. 4
Рис. 6 Рис. 7
Т.к. f(x)<0, то формулу Ньютона-Лейбница составить нельзя, теорема верна только для f(x)і0.
Надо: рассмотреть симметрию функции относительно оси OX. ABCD®A"B"CD b
S(ABCD)=S(A"B"CD) = т -f(x)dx
S= т f(x)dx = т g(x)dx
S = т (f(x)-g(x))dx+т(g(x)-f(x))dx
S= т (f(x)+m-g(x)-m)dx =
т (f(x)- g(x))dx
т ((f(x)-g(x))dx
S= т (f(x)+m-g(x)-m)dx =
Т (f(x)- g(x))dx
Если на отрезке f(x)іg(x), то площадь между этими графиками равна
т ((f(x)-g(x))dx
Функции f(x) и g(x) произвольные и неотрицательные
S=т f(x)dx - т g(x)dx = т (f(x)-g(x))dx
Вычисление площади фигуры – это, пожалуй, одна из наиболее сложных задач теории площадей. В школьной геометрии учат находить площади основных геометрических фигур таких как, например, треугольник, ромб, прямоугольник, трапеция, круг и т.п. Однако зачастую приходится сталкиваться с вычислением площадей более сложных фигур. Именно при решении таких задач очень удобно использовать интегральное исчисление.
Определение.
Криволинейной трапецией называют некоторую фигуру G, ограниченную линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, причем функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b] и не меняет на нем свой знак (рис. 1). Площадь криволинейной трапеции можно обозначить S(G).
Определенный интеграл ʃ а b f(x)dx для функции f(x), являющийся непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b], и есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.
То есть, чтобы найти площадь фигуры G, ограниченной линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, необходимо вычислить определенный интеграл ʃ а b f(x)dx.
Таким образом, S(G) = ʃ а b f(x)dx.
В случае, если функция y = f(x) не положительна на [а; b], то площадь криволинейной трапеции может быть найдена по формуле S(G) = -ʃ а b f(x)dx.
Пример 1.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 3 ; у = 1; х = 2.
Решение.
Заданные линии образуют фигуру АВС, которая показана штриховкой на рис. 2.
Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и квадрата DABE.
Используя формулу S = ʃ а b f(x)dx = S(b) – S(a), найдем пределы интегрирования. Для этого решим систему двух уравнений:
{у = х 3 ,
{у = 1.
Таким образом, имеем х 1 = 1 – нижний предел и х = 2 – верхний предел.
Итак, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. ед.).
Ответ: 11/4 кв. ед.
Пример 2.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = √х; у = 2; х = 9.
Решение.
Заданные линии образуют фигуру АВС, которая ограничена сверху графиком функции
у = √х, а снизу графиком функции у = 2. Полученная фигура показана штриховкой на рис. 3.
Искомая площадь равна S = ʃ а b (√x – 2). Найдем пределы интегрирования: b = 9, для нахождения а, решим систему двух уравнений:
{у = √х,
{у = 2.
Таким образом, имеем, что х = 4 = а – это нижний предел.
Итак, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√х| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (кв. ед.).
Ответ: S = 2 2/3 кв. ед.
Пример 3.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 3 – 4х; у = 0; х ≥ 0.
Решение.
Построим график функции у = х 3 – 4х при х ≥ 0. Для этого найдем производную у’:
y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 при х = ±2/√3 ≈ 1,1 – критические точки.
Если изобразить критические точки на числовой оси и расставить знаки производной, то получим, что функция убывает от нуля до 2/√3 и возрастает от 2/√3 до плюс бесконечности. Тогда х = 2/√3 – точка минимума, минимальное значение функции у min = -16/(3√3) ≈ -3.
Определим точки пересечения графика с осями координат:
если х = 0, то у = 0, а значит, А(0; 0) – точка пересечения с осью Оу;
если у = 0, то х 3 – 4х = 0 или х(х 2 – 4) = 0, или х(х – 2)(х + 2) = 0, откуда х 1 = 0, х 2 = 2, х 3 = -2 (не подходит, т.к. х ≥ 0).
Точки А(0; 0) и В(2; 0) – точки пересечения графика с осью Ох.
Заданные линии образуют фигуру ОАВ, которая показана штриховкой на рис. 4.
Так как функция у = х 3 – 4х принимает на (0; 2) отрицательное значение, то
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Имеем: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, откуда S = 4 кв. ед.
Ответ: S = 4 кв. ед.
Пример 4.
Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х 2 – 2х + 1, прямыми х = 0, у = 0 и касательной к данной параболе в точке с абсциссой х 0 = 2.
Решение.
Сначала составим уравнение касательной к параболе у = 2х 2 – 2х + 1 в точке с абсциссой х₀ = 2.
Так как производная y’ = 4x – 2, то при х 0 = 2 получим k = y’(2) = 6.
Найдем ординату точки касания: у 0 = 2 · 2 2 – 2 · 2 + 1 = 5.
Следовательно, уравнение касательной имеет вид: у – 5 = 6(х – 2) или у = 6х – 7.
Построим фигуру, ограниченную линиями:
у = 2х 2 – 2х + 1, у = 0, х = 0, у = 6х – 7.
Г у = 2х 2 – 2х + 1 – парабола. Точки пересечения с осями координат: А(0; 1) – с осью Оу; с осью Ох – нет точек пересечения, т.к. уравнение 2х 2 – 2х + 1 = 0 не имеет решений (D < 0). Найдем вершину параболы:
x b = 2/4 = 1/2;
y b = 1/2, то есть вершина параболы точка В имеет координаты В(1/2; 1/2).
Итак, фигура, площадь которой требуется определить, показана штриховкой на рис. 5.
Имеем: S О A В D = S OABC – S ADBC .
Найдем координаты точки D из условия:
6х – 7 = 0, т.е. х = 7/6, значит DC = 2 – 7/6 = 5/6.
Площадь треугольника DBC найдем по формуле S ADBC = 1/2 · DC · BC. Таким образом,
S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. ед.
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2х + 1)dx = (2x 3 /3 – 2х 2 /2 + х)| 0 2 = 10/3 (кв. ед.).
Окончательно получим: S О A В D = S OABC – S ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. ед).
Ответ: S = 1 1/4 кв. ед.
Мы разобрали примеры нахождения площадей фигур, ограниченных заданными линиями . Для успешного решения подобных задач нужно уметь строить на плоскости линии и графики функций, находить точки пересечения линий, применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие умений и навыков вычисления определенных интегралов.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
У этого термина существуют и другие значения, см. Трапеция (значения). Трапеция (от др. греч. τραπέζιον «столик»; … Википедия
I Площадь одна из основных величин, связанных с геометрическими фигурами. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной, равной единице длины. Вычисление П.… …
Методы получения численных решений различных задач путём графических построений. Г. в. (графическое умножение, графическое решение уравнений, графическое интегрирование и т. д.) представляют систему построений, повторяющих или заменяющих… … Большая советская энциклопедия
Площадь, одна из основных величин, связанных с геометрическими фигурами. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной, равной единице длины. Вычисление П. было уже в древности… … Большая советская энциклопедия
Теорема Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру C и двойным интегралом по области D, ограниченной этим контуром. Фактически, эта теорема является частным случаем более общей теоремы Стокса. Теорема названа в … Википедия
Определение. Разность F (b)– F (a) называется интегралом от функции f (x) на отрезке [ a ; b ] и обозначается так: = F (b)– F (a) – формула Ньютона-Лейбница.
Геометрический смысл интеграла.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b:
Вычисление площадей с помощью интеграла.
1.Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b:
2.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и прямыми х=а, х= b:
3.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x) и :
4.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и осью Ох:
Задачи и тесты по теме "Интеграл. Вычисление площадей с помощью интеграла"
- Интеграл
Уроков: 4 Заданий: 13 Тестов: 1
- Вычисление площадей с помощью интегралов - Первообразная и интеграл 11 класс
Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1
- Первообразная - Первообразная и интеграл 11 класс
Уроков: 1 Заданий: 11 Тестов: 1
- Планиметрия: вычисление длин и площадей
Заданий: 7
- Вычисления и преобразования - Подготовка к ЕГЭ по математике ЕГЭ по математике
Заданий: 10
Прежде чем начать вычислять площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, постарайтесь изобразить эту фигуру в системе координат. Это существенно облегчит решение задачи.
Изучение теоретических материалов по данной теме дает Вам возможность овладеть понятиями первообразной и интеграла, усвоить связь между ними, овладеть простейшей техникой интегрального исчисления, научится применять интеграл к вычислению площадей фигур, ограниченных графиками функций.
Примеры.
1. Вычислить интеграл
Решение:
Ответ: 0.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
a) f ( x ) = 2 х – х 2 и осью абсцисс
Решение: График функции f(x) = 2x - х 2 парабола. Вершина: (1; 1).
Ответ: (кв. ед.).
