Ամպլիտուդա-փուլային բնութագրիչ (Nyquist hodograph): ես օգտագործում եմ

Nyquist կայունության չափանիշը ձևակերպվել և հիմնավորվել է 1932 թվականին ամերիկացի ֆիզիկոս Հ.Նայքվիստի կողմից։ Nyquist կայունության չափանիշը առավել լայնորեն օգտագործվում է ինժեներական պրակտիկայում հետևյալ պատճառներով.

- համակարգի կայունությունը փակ վիճակում ուսումնասիրվում է նրա բաց մասի W p (jw) հաճախականության փոխանցման ֆունկցիայով, և այս ֆունկցիան, ամենից հաճախ, բաղկացած է պարզ գործոններից։ Գործակիցները համակարգի իրական պարամետրերն են, որոնք թույլ են տալիս ընտրել դրանք կայունության պայմաններից.

- կայունությունը ուսումնասիրելու համար հնարավոր է օգտագործել համակարգի ամենաբարդ տարրերի (վերահսկման օբյեկտ, գործադիր մարմիններ) փորձարարականորեն ստացված հաճախականության բնութագրերը, ինչը մեծացնում է ստացված արդյունքների ճշգրտությունը.

- համակարգի կայունությունը կարելի է ուսումնասիրել լոգարիթմական հաճախականության բնութագրերով, որոնց կառուցումը դժվար չէ.

- համակարգի կայունության սահմանները միանգամայն պարզորոշված ​​են.

- հարմար է օգտագործել ACS-ի կայունությունը ուշացումով գնահատելու համար:

Nyquist կայունության չափանիշը հնարավորություն է տալիս գնահատել ACS-ի կայունությունը AFC-ի կողմից նրա բաց օղակի մասի կողմից: Նայկվիստի չափանիշի կիրառման երեք դեպք կա.

1. ACS-ի բաց հատվածը կայուն է:Փակ համակարգի կայունության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ համակարգի բաց մասի AFC-ն (Nyquist hodograph) փոխելիս.հաճախականություններ w 0-ից մինչև +¥ կետը չի ծածկել կոորդինատներով [-1, ժ 0]. Նկ. 4.6-ը ցույց է տալիս հիմնական հնարավոր իրավիճակները.

1. - փակ համակարգը բացարձակապես կայուն է.

2. - ԱԹՍ-ը պայմանականորեն կայուն է, այսինքն. կայուն է միայն փոխանցման գործակիցի փոփոխության որոշակի միջակայքում կ;

3. - ԱԹՍ-ն գտնվում է կայունության սահմանագծին.

4. - ԱԹՍ-ն անկայուն է.

Բրինձ. 4.6. Nyquist-ը հոդոգրաֆի է անում, երբ ACS-ի բաց հատվածը կայուն է

2. ACS-ի բաց հատվածը գտնվում է կայունության սահմանին։Այս դեպքում բնորոշ հավասարումն ունի զրո կամ զուտ երևակայական արմատներ, մինչդեռ մյուս արմատները ունեն բացասական իրական մասեր։

Փակ համակարգի կայունության համարեթե համակարգի բաց հատվածը գտնվում է կայունության սահմանի վրա, անհրաժեշտ է և բավարար, որ համակարգի բաց մասի AFC-ն փոխելիս. w 0-ից մինչև +¥, որը լրացվում է անվերջ մեծ շառավղով աղեղով ընդհատման հատվածում, կետը չի ծածկում կոորդինատներով [-1, ժ 0]. Համակարգի բաց օղակի մասի AFC-ի ν զրոյական արմատների առկայության դեպքում w=0 անսահման մեծ շառավղով աղեղով շարժվում է դրական իրական կիսաառանցքից ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ աստիճանների անկյան տակ, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 4.7.

Բրինձ. 4.7. Nyquist հոդոգրաֆներ զրոյական արմատներով

Եթե ​​կա մի զույգ զուտ երևակայական արմատներ w i =, ապա AFC հաճախականությամբ w iԱնսահման մեծ շառավղով աղեղը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ շարժվում է 180° անկյան միջով, որը ցույց է տրված Նկ. 4.8.

Բրինձ. 4.8. Nyquist hodograph-ը զույգ զուտ երևակայական արմատների առկայության դեպքում

3. Համակարգի բաց հատվածը անկայուն է, այսինքն. բնորոշ հավասարումն ունի լարմատները դրական իրական մասով. Այս դեպքում փակ համակարգի կայունության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ երբ հաճախականությունը փոխվի w ACS-ի բաց հատվածի 0-ից +¥ AFC-ն ծածկել է կետը

[-1, ժ 0) լ/2 անգամ դրական ուղղությամբ (ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ):

Nyquist hodograph-ի բարդ ձևով ավելի հարմար է օգտագործել Nyquist չափանիշի մեկ այլ ձևակերպում, որն առաջարկել է Յա.Զ. Tsypkin օգտագործելով անցումային կանոնները. Համակարգի բաց օղակի մասի AFC-ի անցումը աճով wՎերևից ներքև իրական առանցքի հատվածը -1-ից -¥ համարվում է դրական (նկ. 4.9), իսկ ներքևից վերև բացասական: Եթե ​​AFC-ն սկսի այս հատվածում ժամը w=0 կամ ավարտվում է w=¥ , ապա համարվում է, որ AFC-ն անցումային կեսն է կատարում։

Բրինձ. 4.9. Nyquist հոդոգրաֆի անցումները P հատվածով w) -¥-ից մինչև -1

Փակ համակարգը կայուն է, եթե Nyquist հոդոգրաֆի դրական և բացասական անցումների թվի տարբերությունը իրական առանցքի հատվածի միջով -1-ից -¥ հավասար է l/2, որտեղ l-ն դրական արժեքով բնորոշ հավասարման արմատների թիվն է։ իրական մաս.

Nyquist հոդոգրաֆների կառուցում բաց օղակի համակարգի փոխանցման ֆունկցիայից, որը տրված է որպես բազմանդամ

Հաճախականության Nyquist չափանիշը ավտոմատ համակարգերի կայունության ուսումնասիրության մեջ հիմնված է բաց համակարգի ամպլիտուդա-ֆազային հաճախականության արձագանքի վրա և կարող է ձևակերպվել հետևյալ կերպ.

եթե n-րդ կարգի բաց համակարգի բնորոշ հավասարումն ունի k արմատներ՝ դրական իրական մասով (k = 0, 1, ….. n) և n-k արմատներբացասական իրական մասով, ապա փակ համակարգի կայունության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ բաց համակարգի ամպլիտուդա-փուլային հաճախականության արձագանքի հոդոգրաֆը (Nyquist hodograph) ծածկի բարդ հարթության կետը (-1, j0). k p անկյան տակ, կամ, որը նույնն է, ծածկում է (-1, j0) կետը դրական ուղղությամբ, այսինքն. ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ, k անգամ:

Կոնկրետ դեպքի համար, երբ բաց համակարգի բնորոշ հավասարումը չունի դրական իրական մասով արմատներ (k = 0), այսինքն. երբ այն կայուն է բաց վիճակում, Nyquist չափանիշը ձևակերպվում է հետևյալ կերպ.

ավտոմատ կառավարման համակարգը կայուն է փակ վիճակում, եթե բաց համակարգի ամպլիտուդա-ֆազային հաճախականության արձագանքը, երբ հաճախականությունը փոխվում է 0-ից մինչև? չի ծածկում բարդ հարթության կետը կոորդինատներով (-1, j0):

Nyquist կայունության չափանիշը հարմար է կիրառել հետադարձ կապի համակարգերի, հատկապես բարձր կարգի համակարգերի վրա:

Nyquist հոդոգրաֆը կառուցելու համար մենք օգտագործում ենք բաց հանգույց համակարգի փոխանցման գործառույթը խորհրդանշական ձևով. Գործնական նիստ №5

Մենք այն գրում ենք սիմվոլիկ-թվային տեսքով համակարգի բոլոր տարրերի տվյալ պարամետրերի համար, բացառությամբ մագնիսական ուժեղացուցիչի փոխանցման գործակցի.

Եկեք գրենք ամպլիտուդա-ֆազային հաճախականության պատասխանի հավասարումը, ընտրենք իրական և երևակայական հաճախականության պատասխանները և կառուցենք Nyquist հոդոգրաֆների ընտանիք՝ կախված մագնիսական ուժեղացուցիչի հաճախականությունից և փոխանցման գործակիցից:

MathСad-ում ամպլիտուդա-ֆազային հաճախականության արձագանքի գրաֆիկի կառուցում

Նկ.3. Nyquist հոդոգրաֆի կորերի ընտանիք, որը կառուցված է բաց օղակի փոխանցման ֆունկցիայի համար՝ որպես ֆունկցիա կ mu .

Նկար 3-ը ցույց է տալիս, որ Nyquist հոդոգրաֆներից մեկն անցնում է կոորդինատներով կետով (j0, -1) . Հետևաբար, մագնիսական ուժեղացուցիչի փոխանցման գործակիցի փոփոխության տվյալ միջակայքում կա նաև դրա կրիտիկական արժեքը։ Այն որոշելու համար մենք օգտագործում ենք հետևյալ հարաբերությունները.

Հետևաբար, մագնիսական ուժեղացուցիչի կրիտիկական շահույթը հետևյալն է.

կ մուկր =11.186981170416560078

Եկեք համոզվենք, որ սա ճիշտ է: Դա անելու համար մենք կառուցում ենք Nyquist hodograph կորեր մագնիսական ուժեղացուցիչի փոխանցման գործակիցի երեք արժեքների համար. կ mu = 0,6 կ մուկր ; կ mu = k մուկր ; կ mu = 1,2կ մուկր

Նկ.4.

k mu = 0.6 k mucr; k mu = k mukr; k mu =1,2 k mucr

Նկար 4-ի կորերը հաստատում են, որ մագնիսական ուժեղացուցիչի կրիտիկական փոխանցման գործակիցը ճիշտ է գտնվել:

l.a.ch.h-ի օգտագործումը. և փուլային հաճախականության բնութագրերը համակարգի կայունության վերլուծության համար

Համակարգի կայունության չափանիշը լոգարիթմական ամպլիտուդի հաճախականության արձագանքի (l.a.h..x) և փուլային հաճախականության արձագանքի առումով կարող է ձևակերպվել հետևյալ կերպ.

Ավտոմատ կառավարման համակարգը, անկայուն բաց վիճակում, կայուն է փակ վիճակում, եթե դրական անցումների թվերի տարբերությունը (ֆազային հաճախականության արձագանքի անցում ներքևից վերև u(u) գծի միջոցով = -180 ° ) և բացասական անցումների թվերը (ֆազային հաճախականության արձագանքի անցում վերևից ներքև u(u) գծի միջով = -180 ° ) փուլային հաճախականության արձագանքը u(u) u(u) = -180 գծի միջոցով ° հավասար է զրոյի այն հաճախականության միջակայքում, որտեղ L.a.h..x (L(u)> 0) .

Ֆազային հաճախականության արձագանքը կառուցելու համար ցանկալի է փոխանցման ֆունկցիան ներկայացնել բնորոշ դինամիկ կապերի տեսքով:

և կառուցիր փուլային բնութագիր՝ օգտագործելով արտահայտությունը.

«+» - համապատասխանում է փոխանցման ֆունկցիայի համարիչի բնորոշ դինամիկ կապերին.

«-« - համապատասխանում է փոխանցման ֆունկցիայի հայտարարի բնորոշ դինամիկ կապերին:

Կառուցել ասիմպտոտիկ l.a.ch.ch. մենք օգտագործում ենք բաց համակարգի փոխանցման գործառույթը, որը ներկայացված է բնորոշ դինամիկ հղումների տեսքով.

Դա անելու համար մենք օգտագործում ենք ձևի փոխանցման ֆունկցիա.

Մենք ներկայացնում ենք այս փոխանցման գործառույթը բնորոշ դինամիկ հղումների տեսքով.

Տիպիկ դինամիկ կապերի պարամետրերը սահմանվում են հետևյալ կերպ.

Ֆազային բնութագրիչ հավասարումը նման կլինի.

Եկեք որոշենք այն հաճախականությունը, որով փուլային հաճախականության արձագանքը հատում է առանցքը c(u) = -180 °

կառուցել L.A.Ch. եկեք օգտագործենք արտահայտությունը.

Նկար 5-ը ցույց է տալիս L.A.Ch.-ի գրաֆիկները մագնիսական ուժեղացուցիչի փոխանցման գործակիցի երկու արժեքների համար կ mu = 10 և k mu = 80 .

Նկ.5.

Վերլուծություն l.a.h.h. և փուլային հաճախականության արձագանքը ցույց են տալիս, որ մագնիսական ուժեղացուցիչի փոխանցման գործակիցի աճով 8-ից 80 համակարգը կայունից դառնում է անկայուն: Եկեք որոշենք մագնիսական ուժեղացուցիչի կրիտիկական փոխանցման գործակիցը:

Եթե ​​ոչ լրացուցիչ պահանջներՀամակարգի կայունության սահմանների առումով խորհուրդ է տրվում դրանք հավասարեցնել.

DL(u) = -12db Dc(u) = 35°h 45

Եկեք որոշենք, թե մագնիսական ուժեղացուցիչի փոխանցման ո՞ր գործակիցն է բավարարված այս պայմանը։

Դա հաստատվում է նաև 6-րդ նկարում ներկայացված գրաֆիկներով:

Ձախ հոդոգրաֆն ակնհայտորեն հոդոգրաֆ է կայուն համակարգ, չի ընդգրկում այն ​​կետերը, որոնք պահանջվում են ըստ Nyquist չափանիշի՝ փակ համակարգի կայունության համար։ Աջ հոդոգրաֆ - հոդոգրաֆ եռաբևեռ, ակնհայտորեն անկայուն համակարգի շրջանցում է կետը երեք անգամժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ, որը պահանջվում է փակ համակարգի կայունության համար Nyquist չափանիշի համաձայն:

Մեկնաբանություն.

Իրական պարամետրերով համակարգերի ամպլիտուդա-փուլային բնութագրերը, և միայն այդպիսին են հանդիպում գործնականում, սիմետրիկ են իրական առանցքի նկատմամբ: Հետևաբար, սովորաբար դիտարկվում է դրական հաճախականություններին համապատասխանող ամպլիտուդա-ֆազային բնութագրի միայն կեսը: Այս դեպքում դիտարկվում են կետի կիսափուլերը: Հատվածի () խաչմերուկը վերևից ներքև հաճախականության աճով (փուլը մեծանում է) համարվում է խաչմերուկ, իսկ ներքևից վերև՝ խաչմերուկ: Եթե ​​բաց հանգույցի համակարգի ամպլիտուդա-փուլային բնութագրիչը սկսվում է հատվածից (), ապա դրան կհամապատասխանի կամ խաչմերուկը՝ կախված նրանից, թե բնութագիրը իջնում ​​է, թե բարձրանում աճող հաճախականությամբ:

Հատվածի () հատումների քանակի հաշվարկը կարելի է կատարել ըստ լոգարիթմական հաճախականության բնութագրերի։ Պարզաբանելու համար, սրանք այն խաչմերուկներն են, որոնց փուլը համապատասխանում է, երբ ամպլիտուդի բնութագրիչի մոդուլը մեկից մեծ է:

Կայունության որոշում լոգարիթմական հաճախականության բնութագրերով:

Միխայլովի չափանիշը օգտագործելու համար անհրաժեշտ է կառուցել հոդոգրաֆ: Ահա փակ համակարգի բնորոշ բազմանդամը.

Nyquist չափանիշի դեպքում բավական է իմանալ բաց օղակի համակարգի փոխանցման ֆունկցիան։ Այս դեպքում հոդոգրաֆ կառուցելու կարիք չկա։ Nyquist-ի կայունությունը որոշելու համար բավական է գծագրել բաց համակարգի լոգարիթմական ամպլիտուդի և փուլային հաճախականության պատասխանները:

Ամենապարզ կառուցվածքը ստացվում է, երբ բաց հանգույցի համակարգի փոխանցման ֆունկցիան կարող է ներկայացվել որպես

, ապա LAH ,

Ստորև բերված նկարը համապատասխանում է փոխանցման գործառույթին

.

Այստեղ և կառուցված որպես ֆունկցիաներ։

Ստորև ներկայացված լոգարիթմական հաճախականության պատասխանները համապատասխանում են վերը նշված փոխանցման ֆունկցիայի համակարգին (բաց հանգույց համակարգ)

.

Ձախ կողմում ամպլիտուդի և փուլային հաճախականության պատասխաններն են փոխանցման ֆունկցիայի համար, աջում՝ փոխանցման ֆունկցիայի համար, կենտրոնում՝ սկզբնական փոխանցման ֆունկցիայի համար (ինչպես մեզ համար հաշվարկել է Les ծրագիրը, «Ինտեգրման» մեթոդը):

Ֆունկցիայի երեք բևեռները տեղափոխվում են ձախ (կայուն համակարգ): Ֆազային արձագանքը, համապատասխանաբար, ունի 0 մակարդակի անցումներ: Ֆունկցիայի երեք բևեռները տեղափոխվում են աջ (անկայուն համակարգ): Ֆազային արձագանքը, համապատասխանաբար, ունի երեք մակարդակի կիսահատումներ այն շրջաններում, որտեղ փոխանցման ֆունկցիայի մոդուլը մեկից մեծ է:

Ամեն դեպքում փակ համակարգը կայուն է։

Կենտրոնական պատկերը - հաշվարկը արմատային շարժումների բացակայության դեպքում, ճիշտ նկարի սահմանն է, ձախ նկարում փուլային առաջընթացը արմատապես տարբերվում է: Որտե՞ղ է ճշմարտությունը:

Օրինակներ ից.

Թող բաց համակարգի փոխանցման ֆունկցիան ունենա հետևյալ ձևը.

.

Բաց համակարգը կայուն է ցանկացած դրականի համար կԵվ Տ. Համակարգը կայուն է և փակ, ինչպես երևում է նկարի ձախ կողմում գտնվող հոդոգրաֆից:

Բացասականով Տբաց համակարգն անկայուն է, այն ունի պլյուս աջ կիսահրապարակում: Փակ համակարգը կայուն է, ինչպես երևում է կենտրոնում գտնվող հոդոգրաֆից, և անկայուն է (հոդոգրաֆը աջ կողմում):

Թող բաց համակարգի փոխանցման ֆունկցիան ունենա ():

.

Այն ունի մեկ բևեռ երևակայական առանցքի վրա: Հետևաբար, փակ համակարգի կայունության համար անհրաժեշտ է, որ իրական առանցքի հատվածի () հատումների թիվը բաց համակարգի ամպլիտուդա-փուլային բնութագրիչով հավասար լինի (եթե հոդոգրաֆը դիտարկենք միայն դրական հաճախությունների համար): .