Двух отношений называется пропорцией .
10: 5 = 6: 3 или
Пропорцию a : b = c : d или , читают так: отношение a к b равно отношению c к d , или a относится к b , как c относится к d .
Члены пропорции: крайние и средние
Члены отношений, составляющих пропорцию, называются членами пропорции . Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c - средними членами пропорции:
Эти названия условны, так как достаточно написать пропорцию в обратном порядке (переставить отношения местами):
c : d = a : b или
и крайние члены станут средними, а средние - крайними.
Главное свойство пропорции
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
Пример: рассмотрим пропорцию . Если воспользоваться вторым свойством равенства и умножить обе её части на произведение bd (для приведения обеих частей равенства от дробного вида к целому), то получим:
Сокращаем дроби и получаем:
ad = cb
Из главного свойства пропорции следует:
Нахождение неизвестного члена пропорции
Свойства пропорции позволяют найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Рассмотрим пропорцию:
x : 8 = 6: 3
Тут неизвестен крайний член. Так как крайний член равен произведению средних, разделённому на другой крайний, то
Равенство двух отношений называют пропорцией.
a :b =c :d . Это пропорция. Читают: а так относится к b , как c относится к d . Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c – средними членами пропорции.
Пример пропорции : 1 2 : 3 = 16 : 4 . Это равенство двух отношений: 12:3=4 и 16:4=4 . Читают: двенадцать так относится к трем , как шестнадцать относится к четырем . Здесь 12 и 4 -крайние члены пропорции, а 3 и 16 - средние члены пропорции.
Основное свойство пропорции.
Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.
Для пропорции a :b =c :d или a /b =c /d основное свойство записывается так: a·d =b·c .
Для нашей пропорции 12 : 3 = 16 : 4 основное свойство запишется так: 12·4 =3·16. Получается верное равенство: 48=48.
Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов пропорции разделить на известный крайний член.
Примеры.
1) х: 20 = 2: 5 . У нас х и 5 — крайние члены пропорции, а 20 и 2 — средние.
Решение.
х = (20·2):5 — нужно перемножить средние члены (20 и 2 ) и результат разделить на известный крайний член (число 5 );
х = 40: 5 — произведение средних членов (40 ) разделим на известный крайний член (5 );
х = 8. Получили искомый крайний член пропорции.
Удобнее записывать нахождение неизвестного члена пропорции с помощью обыкновенной дроби. Вот как тогда запишется рассмотренный нами пример:
Искомый крайний член пропорции (х ) будет равен произведению средних членов (20 и 2 ), деленному на известный крайний член (5 ).
Сокращаем дробь на 5 (делим на 5 х .
Еще такие примеры на нахождение неизвестного крайнего члена пропорции.
Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член.
Примеры. Найти неизвестный средний член пропорции.
5) 9: х = 3: 14. Число 3 — известный средний член данной пропорции, числа 9 и 14 — крайние члены пропорции.
Решение.
х = (9·14):3 — перемножим крайние члены пропорции и результат разделим на известный средний член пропорции;
х= 136:3;
х=42.
Решение этого примера можно записать иначе:
Искомый средний член пропорции (х
) будет равен произведению крайних членов (9
и 14
), деленному на известный средний член (3
).
Сокращаем дробь на 3 (делим на 3 и числитель и знаменатель дроби). Находим значение х .
Если забыли, как сокращать обыкновенные дроби, то повторите тему: « »
Еще такие примеры на нахождение неизвестного среднего члена пропорции.
Страница 1 из 1 1
Головач Александр Григорьевич
ГУО «Средняя школа №18 г. Бреста»
Тема: Пропорция. Основное свойство пропорции. (6 класс)
Тип урока: изучения и первичного закрепления новых знаний
Образовательная: познакомить учащихся с понятиями: пропорция и члены пропорции; научить чтению пропорции и составлению пропорций из отношений; познакомить учащихся с основным свойством пропорции и сформировать навык по определению верной пропорции.
Развивающая: активизировать познавательную деятельность учащихся; развивать память, логическое мышление;
Воспитательная: воспитывать уважение к труду, работе в коллективе.
Литература: Математика: учеб. пособие для 6 кл. общеобразоват. учреждений с рус. яз. обучения / Е. П. Кузнецова [и др.]; под ред. Л. Б. Шнепермана. – Минск: Нац. ин-т образования, 2010. - 320 с.: ил.
Оборудование: учебник, доска, мел, презентация, компьютер, проектор.
Ход урока:
Организационный момент (2 мин)
Проверка домашнего задания (3 мин)
Актуализация знаний (8 мин)
Изучение нового материала (12 мин)
Физкультминутка (2 мин)
Первичное закрепление (13 мин)
Задание на дом (1 мин)
Рефлексия. Подведение итого. (4 мин)
1. Организационный момент
Организую внимание учащихся. Предлагаю сесть. Отмечаю отсутствующих на уроке учеников.
Здороваются. Садятся.
2. Проверка домашнего задания
Сегодня у нас на уроке новая тема «Пропорция. Основное свойство пропорции».
И цели нашего урока: познакомиться с определение «Пропорция»; из каких элементов состоит пропорция; изучить основное свойство пропорций.
Но перед тем, как приступить к изучению новой темы, давайте проверим домашнее задание.
3. Актуализация знаний
/*фронтальный опрос*/
На прошлом уроке у нас была тема «Отношение чисел и величин».
1. Давайте вспомним, что же называется отношением?
2. А как называются сами эти числа или величины?
3. Скажите, что будет с отношением, если его члены умножить или разделить на одно и тоже число, отличное от нуля?
А теперь давайте вспомним, как читаются отношения и найдем их значение.
1. Частное двух чисел (или двух величин) называется отношением.
2. Эти числа или величины называются членами отношения.
3. Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и тоже число, не равное нулю.
1. Отношение числа 25 к 5 равно 5.
2. Отношение числа 33 к 11 равно 3.
3. Отношение числа 6 к 14 равно .
4. Отношение числа 12 к 4 равно 3.
5. Отношение числа 30 к 70 равно
6. Отношение числа 55 к 11 равно 5.
4. Изучение нового материала
Ребята скажите, под какими номерами у наших отношений получились одинаковые значения.
У нас получились записи равных отношений:
Так вот равенство двух отношений называют пропорцией .
Пропорцию записывают:
или
- отношение a к b равно отношению c к d ;
- a относится в b , как c относится к d ;
- a , деленное на b , равно c , деленное на d .
Т.к. в записи числа a и d стоят с краю, то их принято называть крайними членами пропорции . Ну а т.к. числа b и c находятся в середине, то и называются они соответствующе – средними членами пропорции .
Эти названия сохраняются и тогда, когда пропорция записана в виде
.
Давайте вернемся к получившимся у нас пропорциям и назовем их крайние и средние члены.
А теперь немного посчитаем. Перемножьте в наших пропорциях крайние и средние члены
Какой вывод можно сделать?
То
Верно. Это утверждение называется основным свойством пропорции .
Отношение 1 равно отношению 6.
Отношение 2 равно отношению 4.
Отношение 3 равно отношению 5.
Крайние 25 и 11, средние 5 и 55.
Крайние 33 и 4, средние 11 и 12.
Крайние 6 и 70, средние 14 и 30.
Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.
5. Физкультминутка
Ну а теперь немного отдохнем. Проведем физкультминутку для глаз. Т.к. уже зима, то на экране будут появляться снежинки, а ваша задача внимательно следить за их движениями.
6. Первичное закрепление
А теперь с новыми силами начнем выполнение заданий.
№ 5.27 (устно)
5.29 (1;3)
5.30 (1;3)
5.31 (1;3) (доп. 5.32)
№ 5.27
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
№5.29 (1;3)
Составьте пропорцию, если m и n – ее крайние члены, а x и y – средние:
1) ;
Отношение двух чисел
Определение 1
Отношением двух чисел является их частное.
Пример 1
отношение $18$ к $3$ может быть записано как:
$18\div 3=\frac{18}{3}=6$.
отношение $5$ к $15$ может быть записано как:
$5\div 15=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$.
С помощью отношения двух чисел можно показать:
- во сколько раз одно число превышает другое;
- какую часть представляет одно число от другого.
При составлении отношения двух чисел в знаменателе дроби записывают то число, с которым проводится сравнение.
Чаще всего такое число следует после слов «по сравнению с...» или предлога «к...».
Вспомним основное свойство дроби и применим его к отношению:
Замечание 1
При умножении или делении обоих членов отношения на одно и то же число, отличное от нуля, получаем отношение, которое равно исходному.
Рассмотрим пример, который иллюстрирует использование понятия отношения двух чисел.
Пример 2
Количество осадков в предыдущем месяце составляло $195$ мм, а в текущем месяце – $780$ мм. Во сколько раз увеличилось количество осадков в текущем месяце по сравнению с предыдущим месяцем?
Решение .
Составим отношение количества осадков в текущем месяце к количеству осадков в предыдущем месяце:
$\frac{780}{195}=\frac{780\div 5}{195\div 5}=\frac{156\div 3}{39\div 3}=\frac{52}{13}=4$.
Ответ : количество осадков в текущем месяце в $4$ раза больше, чем в предыдущем.
Пример 3
Найти сколько раз число $1 \frac{1}{2}$ содержится в числе $13 \frac{1}{2}$.
Решение .
$13 \frac{1}{2}\div 1 \frac{1}{2}=\frac{27}{2}\div \frac{3}{2}=\frac{27}{2} \cdot \frac{2}{3}=\frac{27}{3}=9$.
Ответ : $9$ раз.
Понятие пропорции
Определение 2
Пропорцией называется равенство двух отношений:
$a\div b=c\div d$
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.
Пример 4
$3\div 6=9\div 18$, $5\div 15=9\div 27$, $4\div 2=24\div 12$,
$\frac{8}{2}=\frac{36}{9}$, $\frac{10}{40}=\frac{9}{36}$, $\frac{15}{75}=\frac{1}{5}$.
В пропорции $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ (или $a:b = с\div d$) числа a и d называются крайними членами пропорции, а числа $b$ и $c$ – средними членами пропорции.
Правильную пропорцию можно преобразовать следующим образом:
Замечание 2
Произведение крайних членов правильной пропорции равно произведению средних членов:
$a \cdot d=b \cdot c$.
Данное утверждение является основным свойством пропорции .
Справедливо и обратное утверждение:
Замечание 3
Если произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, то пропорция правильная.
Замечание 4
Если в правильной пропорции переставить средние члены или крайние члены, то пропорции, которые получатся, также будут правильными.
Пример 5
$6\div 3=18\div 9$, $15\div 5=27\div 9$, $2\div 4=12\div 24$,
$\frac{2}{8}=\frac{9}{36}$, $\frac{40}{10}=\frac{36}{9}$, $\frac{75}{15}=\frac{5}{1}$.
С помощью данного свойства легко из пропорции найти неизвестный член, если известны остальные три:
$a=\frac{b \cdot c}{d}$; $b=\frac{a \cdot d}{c}$; $c=\frac{a \cdot d}{b}$; $d=\frac{b \cdot c}{a}$.
Пример 6
$\frac{6}{a}=\frac{16}{8}$;
$6 \cdot 8=16 \cdot a$;
$16 \cdot a=6 \cdot 8$;
$16 \cdot a=48$;
$a=\frac{48}{16}$;
Пример 7
$\frac{a}{21}=\frac{8}{24}$;
$a \cdot 24=21 \cdot 8$;
$a \cdot 24=168$;
$a=\frac{168}{24}$;
$3$ садовника – $108$ деревьев;
$x$ садовников – $252$ дерева.
Составим пропорцию:
$\frac{3}{x}=\frac{108}{252}$.
Воспользуемся правилом нахождения неизвестного члена пропорции:
$b=\frac{a \cdot d}{c}$;
$x=\frac{3 \cdot 252}{108}$;
$x=\frac{252}{36}$;
Ответ : для обрезки $252$ деревьев потребуется $7$ садовников.
Чаще всего свойства пропорции используют на практике в математических вычислениях в случаях, когда необходимо вычислить значение неизвестного члена пропорции, если известны значения трех остальных членов.
Запомните!
По трём известным членам пропорции всегда можно найти её неизвестный (четвёртый) член.
Решить пропорцию
— значит, найти все её члены. Решим пропорцию ниже
(найдём
«x
»).
Чтобы найти «x », используем основное свойство пропорции (правило «креста»).
Теперь мы готовы разбираться, как решать задачи на пропорции.
Решение задач на пропорции
Часто задачи на пропорции тесно связаны с процентами. Свои знания о процентах, вы можете освежить в разделе «Проценты ».
Задача
Из лука сделано 50 выстрелов. 5 стрел пролетело мимо мишени. Определите процент попадания .
По традиции подчёркнем важные и числовые данные в задаче.
Обратите внимание, что нам нужно определить процент попаданий, а не процент пролетевших мимо стрел.
Поэтому вначале посчитаем, сколько стрел попало в цель. Сделать это не составит труда.
- 50 − 5 = 45 (стрел) — попало в цель.
Далее для решения задачи составим таблицу, куда занесём все данные. Запомните, что напротив 100% в таблице обычно пишется общее количество чего-либо. Неизвестные проценты обозначим буквой x .
Чтобы правильно записывать нужные данные в таблицу, запомните простое правило.
