В предыдущем n° мы ввели в рассмотрение ряд распределения как исчерпывающую характеристику (закон распределения) прерывной случайной величины. Однако эта характеристика не является универсальной; она существует только для прерывных случайных величин. Нетрудно убедиться, что для непрерывной случайной величины такой характеристики построить нельзя. Действительно, непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток (так называемое «счетное множество»). Составить таблицу, в которой были бы перечислены все возможные значения такой случайной величины, невозможно. Кроме того, как мы увидим в дальнейшем, каждое отдельное значение непрерывной случайной величины обычно не обладает никакой отличной от нуля вероятностью. Следовательно, для непрерывной случайной величины не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для прерывной величины. Однако различные области возможных значений случайной величины все же не являются одинаково вероятными, и для непрерывной величины существует «распределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для прерывной.
Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события , а вероятностью события , где – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от , есть некоторая функция от . Эта функция называется функцией распределения случайной величины и обозначается :
. (5.2.1)
Функцию распределения иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.
Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения.
1. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при .
2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю:.
3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: .
Не давая строгого доказательства этих свойств, проиллюстрируем их с помощью наглядной геометрической интерпретации. Для этого будем рассматривать случайную величину как случайную точку на оси Ох (рис. 5.2.1), которая в результате опыта может занять то или иное положение. Тогда функция распределения есть вероятность того, что случайная точка в результате опыта попадет левее точки .
Будем увеличивать , т. е. перемещать точку вправо по оси абсцисс. Очевидно, при этом вероятность того, что случайная точка попадет левее , не может уменьшиться; следовательно, функция распределения с возрастанием убывать не может.
Чтобы убедиться в том, что , будем неограниченно перемещать точку влево по оси абсцисс. При этом попадание случайной точки левее в пределе становится невозможным событием; естественно полагать, что вероятность этого события стремится к нулю, т.е. .
Аналогичным образом, неограниченно перемещая точку вправо, убеждаемся, что , так как событие становится в пределе достоверным.
График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции (рис. 5.2.2), значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь скачки (разрывы).
Зная ряд распределения прерывной случайной величины, можно легко построить функцию распределения этой величины. Действительно,
,
где неравенство под знаком суммы указывает, что суммирование распространяется на все те значения , которые меньше .
Когда текущая переменная проходит через какое-нибудь из возможных значений прерывной величины , функция распределения меняется скачкообразно, причем величина скачка равна вероятности этого значения.
Пример 1. Производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие . Вероятность события равна 0,3. Случайная величина – число появлений события в опыте (характеристическая случайная величина события ). Построить её функцию распределения.
Решение. Ряд распределения величины имеет вид:
Построим функцию распределения величины :
График функции распределения представлен на рис. 5.2.3. В точках разрыва функция принимает значения, отмеченные на чертеже точками (функция непрерывна слева).
Пример 2. В условиях предыдущего примера производится 4 независимых опыта. Построить функцию распределения числа появлений события .
Решение. Обозначим – число появлений события в четырех опытах. Эта величина имеет ряд распределения
Построим функцию распределения случайной величины :
3) при ;
На практике обычно функция распределения непрерывной случайной величины представляет собой функцию, непрерывную во всех точках, как это показано на рис. 5.2.6. Однако можно построить примеры случайных величин, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых функция распределения не везде является непрерывной, а в отдельных точках терпит разрыв (рис. 5.2.7).
Такие случайные величины называются смешанными. В качестве примера смешанной величины можно привести площадь разрушений, наносимых цели бомбой, радиус разрушительного действия которой равен R (рис. 5.2.8).
Значения этой случайной величины непрерывно заполняют промежуток от 0 до , осуществляющиеся при положениях бомбы типа I и II, обладают определенной конечной вероятностью, и этим значениям соответствуют скачки функции распределения, тогда как в промежуточных значениях (положение типа III) функция распределения непрерывна. Другой пример смешанной случайной величины – время T безотказной работы прибора, испытываемого в течение времени t. Функция распределения этой случайной величины непрерывна всюду, кроме точки t.
Чтобы найти функции распределения случайных величин и их переменных, необходимо изучить все особенности данной области знаний. Существует несколько различных методов для нахождения рассматриваемых значений, включая изменение переменной и генерирование момента. Распределение - такое понятие, в основу которого легли такие элементы, как дисперсия, вариации. Однако они характеризуют только степень размаха рассеяния.
Более важными функциями случайных величин являются те, которые связаны и независимы, и одинаково распределены. Например, если X1 - вес случайно выбранного индивидуума из популяции самцов, X2 - вес другого, ..., а Xn - вес еще одного человека из мужского населения, тогда, необходимо узнать, как случайная функция X распределяется. В этом случае применима классическая теорема, называемая центральной предельной. Она позволяет показать, что при больших n функция следует стандартным распределениям.
Функции одной случайной переменной
Центральная предельная теорема предназначена для аппроксимации дискретных рассматриваемых значений, таких как биномиальное и Пуассона. Функции распределения случайных величин, рассматриваются, в первую очередь, на простых значениях одной переменной. Например, если X является непрерывной случайной величиной, имеющей собственное распределение вероятности. В данном случае исследуется, как найти функцию плотности Y, используя два разных подхода, а именно метод функции распределения и изменения переменной. Сначала рассматриваются только взаимно однозначные значения. Затем необходимо модифицировать технику изменения переменной, чтобы найти ее вероятность. Наконец, нужно узнать, как кумулятивного распределения может помочь моделировать случайные числа, которые следуют за определенными последовательными схемами.
Методика распределения рассматриваемых значений
Метод функции распределения вероятностей случайной величины применим для того, чтобы найти ее плотность. При использовании этого способа вычисляется кумулятивное значение. Затем, дифференцируя его, можно получить плотность вероятности. Теперь, при наличии метода функции распределения, можно рассмотреть еще несколько примеров. Пусть X - непрерывная случайная величина с определенной плотностью вероятности.
Какова функция плотности вероятности от x2? Если посмотреть или построить график функции (сверху и справа) у = х2, можно отметить, что она является возрастающей X и 0 В последнем примере большую осторожность использовали для индексирования кумулятивных функций и плотности вероятности либо с помощью X, либо с Y, чтобы указать, к какой случайной переменной они принадлежали. Например, при нахождении кумулятивной функции распределения Y получили X. Если необходимо найти случайную величину X и ее плотность, то ее просто нужно дифференцировать. Пусть X - непрерывная случайная величина заданная функцией распределения с общим знаменателем f (x). В этом случае, если поместить значение y в X = v (Y), то получится значение x, например v (y). Теперь, нужно получить функцию распределения непрерывной случайной величины Y. Где первое и второе равенство имеет место из определения кумулятивной Y. Третье равенство выполняется потому, что части функции, для которой u (X) ≤ y, также верно, что X ≤ v (Y). И последнее выполняется для определения вероятности в непрерывной случайной величине X. Теперь нужно взять производную от FY (y), кумулятивной функции распределения Y, чтобы получить плотность вероятности Y. Пусть X - непрерывная случайная величина с общим f (x), определенная над c1 Для решения этого вопроса можно собирать количественные данные и использовать эмпирическую кумулятивную функцию распределения. Обладая этой информацией и апеллируя ею, нужно комбинировать образцы средств, стандартные отклонения, медиаданные и так далее. Аналогично даже довольно простая вероятностная модель может иметь огромное количество результатов. Например, если перевернуть монету 332 раза. Тогда число получаемых результатов от переворотов больше, чем у google (10100) - число, но не менее 100 квинтиллионов раз выше элементарных частиц в известной вселенной. Не интересен анализ, который дает ответ на каждый возможный результат. Потребуется более простая концепция, такая как количество головок или самый длинный ход хвостов. Чтобы сосредоточить внимание на вопросах, представляющих интерес, принимается определенный результат. Определение в данном случае следующее: случайная величина является вещественной функцией с вероятностным пространством. Диапазон S случайной величины иногда называют пространством состояний. Таким образом, если X - рассматриваемое значение, то так N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc и так далее. Последнее из них, округляя X до ближайшего целого числа, называют функцией пола. Как только определена интересующая функция распределения случайной величины х, вопрос обычно становится следующим: «Каковы шансы, что X попадает в какое-то подмножество значений B?». Например, B = {нечетные числа}, B = {больше 1} или B = {между 2 и 7}, чтобы указать эти результаты, которые имеют X, значение случайной величины, в подмножестве А. Таким образом, в приведенном выше примере можно описать события следующим образом. {X - нечетное число}, {X больше 1} = {X> 1}, {X находится между 2 и 7} = {2 Таким образом, можно вычислить вероятность того, что функция распределения случайной величины x примет значения в интервале путем вычитания. Необходимо подумать о включении или исключении конечных точек. Будем называть случайную переменную дискретной, если она имеет конечное или счетное бесконечное пространство состояний. Таким образом, X - число головок на трех независимых флипсах смещенной монеты, которая поднимается с вероятностью p. Нужно найти кумулятивную функцию распределения дискретной случайной величины FX для X. Пусть X - количество пиков в коллекции из трех карт. То Y = X3 через FX. FX начинается с 0, заканчивается на 1 и не уменьшается с увеличением значений x. Кумулятивная FX функция распределения дискретной случайной величины X является постоянной, за исключением прыжков. При скачке FX является непрерывной. Доказать утверждение о правильной непрерывности функции распределения из свойства вероятности можно с помощью определения. Звучит оно так: постоянная случайная величина имеет кумулятивную FX, которая дифференцируема. Чтобы показать, как это может произойти, можно привести пример: мишень с единичным радиусом. Предположительно. дротик равномерно распределяется на указанную область. Для некоторого λ> 0. Таким образом, функции распределения непрерывных случайных величин плавно увеличиваются. FX обладает свойствами функции распределения. Человек ждет автобуса на остановке, пока тот не прибудет. Решив для себя, что откажется, когда ожидание достигнет 20 минут. Здесь необходимо найти кумулятивную функцию распределения для T. Время, когда человек еще будет находиться на автовокзале или не уйдет. Несмотря на то, что кумулятивная функция распределения определена для каждой случайной величины. Все равно достаточно часто будут использоваться другие характеристики: масса для дискретной переменной и функция плотности распределения случайной величины. Обычно выводится значение через одно из этих двух значений. Эти значения рассматриваются следующими свойствами, которые имеют общий (массовый характер). Первое основано на том, что вероятности не отрицательны. Второе следует из наблюдения, что набор для всех x=2S, пространство состояний для X, образует разбиение вероятностной свободы X. Пример: броски необъективной монеты, результаты которой независимы. Можно продолжать выполнять определенные действия, пока не получится бросок голов. Пусть X обозначает случайную величину, которая дает количество хвостов перед первой головой. А p обозначает вероятность в любом заданном действии. Итак, массовая функция вероятности имеет следующие характерные признаки. Поскольку члены образуют численную последовательность, X называется геометрической случайной величиной. Геометрическая схема c, cr, cr2,. , crn имеет сумму. И, следовательно, sn имеет предел при n 1. В этом случае бесконечная сумма является пределом. Функция массы выше образует геометрическую последовательность с отношением. Следовательно, натуральных чисел a и b. Разность значений в функции распределения равна значению массовой функции. Рассматриваемые значения плотности имеют определение: X - случайная величина, распределение FX которой имеет производную. FX, удовлетворяющая Z xFX (x) = fX (t) dt-1, называется функцией плотности вероятности. А X называется непрерывной случайной величиной. В основной теореме исчисления функция плотности является производной распределения. Можно вычислить вероятности путем вычисления определенных интегралов. Поскольку собираются данные по нескольким наблюдениям, то должно рассматриваться более одной случайной величины за раз, чтобы моделировать экспериментальные процедуры. Следовательно, множество этих значений и их совместное распределение для двух переменных X1 и X2 означает просмотр событий. Для дискретных случайных величин определяются совместные вероятностные массовые функции. Для непрерывных рассматриваются fX1, X2, где совместная плотность вероятности удовлетворяется. Две случайные величины X1 и X2 независимы, если любые два связанных с ними события такие же. В словах вероятность того, что два события {X1 2 B1} и {X2 2 B2} происходят одновременно, y равно произведению переменных указанных выше, что каждая из них происходит индивидуально. Для независимых дискретных случайных величин имеется совместная вероятностная массовая функция, которая является произведением предельного объема ионов. Для непрерывных случайных величин являющихся независимыми, совместная функция плотности вероятности - произведение значений предельной плотности. В заключение рассматриваются n независимые наблюдения x1, x2,. , xn, возникающие из неизвестной плотности или массовой функции f. Например, неизвестный параметр в функциях для экспоненциальной случайной величины, описывающей время ожидания автобуса. Основная цель этой теоретической области - предоставить инструменты, необходимые для разработки умозаключительных процедур, основанных на обоснованных принципах статистической науки. Таким образом, одним из очень важных вариантов применения программного обеспечения является способность генерировать псевдоданные для имитации фактический информации. Это дает возможность тестировать и совершенствовать методы анализа перед необходимостью использования их в реальных базах. Это требуется для того, чтобы исследовали свойства данных посредством моделирования. Для многих часто используемых семейств случайных величин R предоставляет команды для их создания. Для других обстоятельств понадобятся методы моделирования последовательности независимых случайных величин, которые имеют общее распределение. Дискретные случайные переменные и образец Command. Команда sample используется для создания простых и стратифицированных случайных выборок. В результате, если вводится последовательность x, sample (x, 40) выбирает 40 записей из x таким образом, что все варианты размера 40 имеют одинаковую вероятность. Это использует команду R по умолчанию для выборки без замены. Можно использовать также для моделирования дискретных случайных величин. Для этого нужно предоставить пространство состояний в векторе x и массовой функции f. Вызов для replace = TRUE указывает, что сэмплирование происходит с заменой. Затем, чтобы дать образец из n независимых случайных величин, имеющих общую массовую функцию f, используется образец (x, n, replace = TRUE, prob = f). Определено, что 1 является наименьшим представленным значением, а 4 является наибольшим из всех. Если команда prob = f опущена, то образец будет выбирать равномерно из значений в векторе x. Проверить симуляцию против массовой функции, которая генерировала данные, можно обратив внимание на знак двойного равенства, ==. И пересчитав наблюдения, которые принимают каждое возможное значение для x. Можно сделать таблицу. Повторить это для 1000 и сравнить моделирование с соответствующей функцией массы. Сначала смоделировать однородные функции распределения случайных величин u1, u2,. , un на интервале . Около 10 % чисел должно находиться в пределах . Это соответствует 10 % симуляций на интервале для случайной величины с показанной функцией распределения FX. Точно так же около 10 % случайных чисел должно находиться в интервале . Это соответствует 10 % симуляций на интервале случайной величины с функцией распределения FX. Эти значения на x ось может быть получена из взятия обратной от FX. Если X - непрерывная случайная величина с плотностью fX, положительной всюду в своей области, то функция распределения строго возрастает. В этом случае FX имеет обратную функцию FX-1, известную как функция квантиля. FX (x) u только тогда, когда x FX-1 (u). Преобразование вероятности следует из анализа случайной переменной U = FX (X). FX имеет диапазон от 0 до 1. Он не может принимать значения ниже 0 или выше 1. Для значений u между 0 и 1. Если можно моделировать U, то необходимо имитировать случайную величину с распределением FX через функцию квантиля. Взять производную, чтобы увидеть, что плотность u варьируется в пределах 1. Поскольку случайная величина U имеет постоянную плотность по интервалу своих возможных значений, она называется равномерной на отрезке . Он моделируется в R с помощью команды runif. Идентичность называется вероятностным преобразованием. Видно, как оно работает в примере с дротильной доской. X между 0 и 1, функция распределения u = FX (x) = x2, и, следовательно, функция квантиля x = FX-1 (u). Можно моделировать независимые наблюдения расстояния от центра панели дротика, и создавая при этом равномерные случайные величины U1, U2,. , Un. Функция распределения и эмпирическая основаны на 100 симуляциях распределения дартс-доски. Для экспоненциальной случайной величины, предположительно u = FX (x) = 1 - exp (- x), и, следовательно, x = - 1 ln (1 - u). Иногда логика состоит из эквивалентных утверждений. В этом случае нужно объединить две части аргумента. Тождество с пересечением аналогично для всех 2 {S i i} S, вместо некоторого значения. Объединение Ci равно пространству состояний S и каждая пара взаимно исключена. Поскольку Bi - разбита на три аксиомы. Каждая проверка основана на соответствующей вероятности P. Для любого подмножества. Используя тождество, чтобы убедиться, что ответ не зависит от того, включены ли конечные точки интервала. Для каждого результата во всех событиях в конечном счете используется второе свойство непрерывности вероятностей, которое считается аксиоматическим. Закон распределения функции случайной величины здесь показывает, что каждой свое решение и ответ. Определение функции распределения Пусть $X$ – случайная величина, а $x$ – вероятность распределения этой случайной величины . Определение 1
Функцией распределения называется функция $F(x)$ удовлетворяющая условию $F\left(x\right)=P(X Также иначе функцию распределения иногда называются интегральной функцией распределения
или интегральным законом распределения.
В общем виде график функции распределения представляет собой график неубывающей функции с областью значений, принадлежащей отрезку $\left$ (причем 0 и 1 обязательно входят в область значений). При этом функция может, как иметь, так и не иметь скачков функции (рис. 1) Рисунок 1. Пример графика функции распределения
Пусть случайная величина $X$ является дискретной. И пусть для нее дан ряд её распределения. Для такой величины функцию распределения вероятностей можно записать в следующем виде: Пусть случайная величина $X$ теперь является непрерывной. График функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой неубывающую непрерывную функцию (рис. 3). Рассмотрим теперь случай, где случайная величина $X$ является смешанной. График функции распределения такой случайной величины всегда представляет собой неубывающую функцию, которая имеет минимальное значение в 0, максимальное значение в 1, но которая не на всей области определения является непрерывной функцией (то есть имеет скачки в отдельных точках) (рис. 4). Рисунок 4. Функция распределения смешанной случайной величины
Пример 1
Приведен ряд распределений появления события $A$ в трех опытах Рисунок 5.
Найти функцию распределения вероятностей и построить её график. Решение.
Так как случайная величина является дискретной, то мы можем пользоваться формулой $\ F\left(x\right)=\sum\limits_{x_i При $x>3$, $F\left(x\right)=0,2+0,1+0,3+0,4=1$; Отсюда получаем следующую функцию распределения вероятностей: Рисунок 6.
Построим ее график: Рисунок 7.
Пример 2
Проводится один опыт, в котором событие $A$ может, как произойти, так и не произойти. Вероятность того, что данное событие произойдет равно $0,6$. Найти и построить функцию распределения случайной величины. Решение.
Так как вероятность того, что событие $A$ произойдет равно $0,6$, то вероятность того, что данное событие не произойдет равно $1-0,6=0,4$. Построим для начала ряд распределения данной случайной величины: Рисунок 8.
Так как случайная величина является дискретной, найдем функцию распределения по аналогии с задачей 1: При $x\le 0$, $F\left(x\right)=0$; При $x>1$, $F\left(x\right)=0,4+0,6=1$; Таким образом, получаем следующую функцию распределения: Рисунок 9.
Построим ее график: Рисунок 10.
Функцией распределения называют функцию F(х), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше x, т.е. F(x) = P(X < x). Геометрически: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x. Иногда вместо термина "Функция распределения" используют термин "Интегральная функция". Случайную величину называют непрерывной, если её функция распределения есть непрерывная, кусочно - дифференцируемая функция с непрерывной производной. P(a ? X < b) = F(b) - F(a). F(x) = 0, при x ? a; F(x) = 1, при x b. 6) Если возможное значение непрерывной случайной величины расположены на всей оси, то График функции распределения непрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат интервалу (a, b) изображен на рис. 1. График функции распределения дискретной случайной величины X, возможные значения которой заданы таблицей, изображен на рис. 2. Пример. Построить график функции Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (2; 3). Решение. График функции изображен на рис. 3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключённое в интервале (2, 3), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(2 ? X < 3) = F(3) - F(2) = 1/2. Пример. Построить график функции распределения дискретной случайной величины X заданной таблицей: Даны определения Функции распределения случайной величины и Плотности вероятности непрерывной случайной величины. Эти понятия активно используются в статьях о статистике сайта . Рассмотрены примеры вычисления Функции распределения и Плотности вероятности с помощью функций MS EXCEL
.
Введем базовые понятия статистики, без которых невозможно объяснить более сложные понятия. Пусть у нас имеется генеральная совокупность
(population) из N объектов, каждому из которых присуще определенное значение некоторой числовой характеристики Х. Примером генеральной совокупности (ГС) может служить совокупность весов однотипных деталей, которые производятся станком.
Поскольку в математической статистике, любой вывод делается только на основании характеристики Х (абстрагируясь от самих объектов), то с этой точки зрения генеральная совокупность
представляет собой N чисел, среди которых, в общем случае, могут быть и одинаковые. В нашем примере, ГС - это просто числовой массив значений весов деталей. Х – вес одной из деталей.
Если из заданной ГС мы выбираем случайным образом один объект, имеющей характеристику Х, то величина Х является случайной величиной
. По определению, любая случайная величина
имеет функцию распределения
, которая обычно обозначается F(x). Функцией распределения
вероятностей случайной величины
Х называют функцию F(x), значение которой в точке х равно вероятности события X F(x) = P(X Поясним на примере нашего станка. Хотя предполагается, что наш станок производит только один тип деталей, но, очевидно, что вес изготовленных деталей будет слегка отличаться друг от друга. Это возможно из-за того, что при изготовлении мог быть использован разный материал, а условия обработки также могли слегка различаться и пр. Пусть самая тяжелая деталь, произведенная станком, весит 200 г, а самая легкая - 190 г. Вероятность того, что случайно выбранная деталь Х будет весить меньше 200 г равна 1. Вероятность того, что будет весить меньше 190 г равна 0. Промежуточные значения определяются формой Функции распределения. Например, если процесс настроен на изготовление деталей весом 195 г, то разумно предположить, что вероятность выбрать деталь легче 195 г равна 0,5.
Типичный график Функции распределения
для непрерывной случайной величины приведен на картинке ниже (фиолетовая кривая, см. файл примера
): В справке MS EXCEL Функцию распределения
называют Интегральной
функцией распределения
(Cumulative
Distribution
Function
,
CDF
). Приведем некоторые свойства Функции распределения:
Напомним, что плотность распределения
является производной от функции распределения
, т.е. «скоростью» ее изменения: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx при Dx стремящемся к 0, где Dx=x2-x1. Т.е. тот факт, что плотность распределения
>1 означает лишь, что функция распределения растет достаточно быстро (это очевидно на примере ). Примечание
: Площадь, целиком заключенная под всей кривой, изображающей плотность распределения
, равна 1. Примечание
: Напомним, что функцию распределения F(x) называют в функциях MS EXCEL интегральной функцией распределения
. Этот термин присутствует в параметрах функций, например в НОРМ.РАСП
(x; среднее; стандартное_откл; интегральная
). Если функция MS EXCEL должна вернуть Функцию распределения,
то параметр интегральная
, д.б. установлен ИСТИНА. Если требуется вычислить плотность вероятности
, то параметр интегральная
, д.б. ЛОЖЬ. Примечание
: Для дискретного распределения
вероятность случайной величине принять некое значение также часто называется плотностью вероятности (англ. probability mass function (pmf)). В справке MS EXCEL плотность вероятности
может называть даже "функция вероятностной меры" (см. функцию БИНОМ.РАСП()
). Понятно, что чтобы вычислить плотность вероятности
для определенного значения случайной величины, нужно знать ее распределение. Найдем плотность вероятности
для N(0;1) при x=2. Для этого необходимо записать формулу =НОРМ.СТ.РАСП(2;ЛОЖЬ)
=0,054 или =НОРМ.РАСП(2;0;1;ЛОЖЬ)
. Напомним, что вероятность
того, что непрерывная случайная величина
примет конкретное значение x равна 0. Для непрерывной случайной величины
Х можно вычислить только вероятность события, что Х примет значение, заключенное в интервале (а; b). 1) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по (см. картинку выше), приняла положительное значение. Согласно свойству Функции распределения
вероятность равна F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5. НОРМ.СТ.РАСП(9,999E+307;ИСТИНА) -НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА)
=1-0,5. 2) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по , приняла отрицательное значение. Согласно определения Функции распределения,
вероятность равна F(0)=0,5. В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА)
=0,5. 3) Найдем вероятность того, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению
, примет значение, заключенное в интервале (0; 1). Вероятность равна F(1)-F(0), т.е. из вероятности выбрать Х из интервала (-∞;1) нужно вычесть вероятность выбрать Х из интервала (-∞;0). В MS EXCEL используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА) - НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА)
. Все расчеты, приведенные выше, относятся к случайной величине, распределенной по стандартному нормальному закону
N(0;1). Понятно, что значения вероятностей зависят от конкретного распределения. В статье функции распределения
найти точку, для которой F(х)=0,5, а затем найти абсциссу этой точки. Абсцисса точки =0, т.е. вероятность, того что случайная величина Х примет значение <0, равна 0,5. В MS EXCEL используйте формулу =НОРМ.СТ.ОБР(0,5)
=0. Однозначно вычислить значение случайной величины
позволяет свойство монотонности функции распределения.
Обратная функция распределения
вычисляет , которые используются, например, при . Т.е. в нашем случае число 0 является 0,5-квантилем нормального распределения
. В файле примера
можно вычислить и другой квантиль
этого распределения. Например, 0,8-квантиль равен 0,84. В англоязычной литературе обратная функция распределения
часто называется как Percent Point Function (PPF). Примечание
: При вычислении квантилей
в MS EXCEL используются функции: НОРМ.СТ.ОБР()
, ЛОГНОРМ.ОБР()
, ХИ2.ОБР(),
ГАММА.ОБР()
и т.д. Подробнее о распределениях, представленных в MS EXCEL, можно прочитать в статье .Техника смены переменных
Обобщение для функции уменьшения
Функции распределения
Случайные переменные и функции распределения
Массовые функции
Независимые случайные переменные
Имитация случайных переменных
Иллюстрирование трансформации вероятности
Экспоненциальная функция и ее переменные
Функция распределения дискретной случайной величины
Функция распределения непрерывной случайной величины
Примеры задач на нахождение функции распределения
Свойства функции распределения
График функции распределения
Генеральная совокупность и случайная величина
Функция распределения
Вычисление плотности вероятности с использованием функций MS EXCEL
Вычисление вероятностей с использованием функций MS EXCEL
Вместо +∞ в формулу введено значение 9,999E+307= 9,999*10^307, которое является максимальным числом, которое можно ввести в ячейку MS EXCEL (так сказать, наиболее близкое к +∞).
