Показательная функция. Функция вида у=а х,где а-заданное число, а>0, а 1, х- переменная, называется показательной. 0, а 1, х- переменная, называется показательной."> 0, а 1, х- переменная, называется показательной."> 0, а 1, х- переменная, называется показательной." title="Показательная функция. Функция вида у=а х,где а-заданное число, а>0, а 1, х- переменная, называется показательной."> title="Показательная функция. Функция вида у=а х,где а-заданное число, а>0, а 1, х- переменная, называется показательной.">

Показательная функция обладает следующими свойствами: 1.Д(у): множество R всех действительных чисел; 2.Е(у):множество всех положительных чисел; 3. Показательная функция у=а х является возрастающей на множестве всех действительных чисел,если а>1,и убывающей,если 0 1,и убы"> 1,и убывающей,если 0"> 1,и убы" title="Показательная функция обладает следующими свойствами: 1.Д(у): множество R всех действительных чисел; 2.Е(у):множество всех положительных чисел; 3. Показательная функция у=а х является возрастающей на множестве всех действительных чисел,если а>1,и убы"> title="Показательная функция обладает следующими свойствами: 1.Д(у): множество R всех действительных чисел; 2.Е(у):множество всех положительных чисел; 3. Показательная функция у=а х является возрастающей на множестве всех действительных чисел,если а>1,и убы">

1 Д(у): х є R Е(у): у >0 Возрастает на всей области определения. 2. График функции у= также проходит через точку (0;1) и расположен выше ос" title="Графики функции у=2 х и у=(½) х 1. График функции у=2 х проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ох. а>1 Д(у): х є R Е(у): у >0 Возрастает на всей области определения. 2. График функции у= также проходит через точку (0;1) и расположен выше ос" class="link_thumb"> 6 Графики функции у=2 х и у=(½) х 1. График функции у=2 х проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ох. а>1 Д(у): х є R Е(у): у >0 Возрастает на всей области определения. 2. График функции у= также проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ох. 0 1 Д(у): х є R Е(у): у >0 Возрастает на всей области определения. 2. График функции у= также проходит через точку (0;1) и расположен выше ос"> 1 Д(у): х є R Е(у): у >0 Возрастает на всей области определения. 2. График функции у= также проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ох. 0"> 1 Д(у): х є R Е(у): у >0 Возрастает на всей области определения. 2. График функции у= также проходит через точку (0;1) и расположен выше ос" title="Графики функции у=2 х и у=(½) х 1. График функции у=2 х проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ох. а>1 Д(у): х є R Е(у): у >0 Возрастает на всей области определения. 2. График функции у= также проходит через точку (0;1) и расположен выше ос"> title="Графики функции у=2 х и у=(½) х 1. График функции у=2 х проходит через точку (0;1) и расположен выше оси Ох. а>1 Д(у): х є R Е(у): у >0 Возрастает на всей области определения. 2. График функции у= также проходит через точку (0;1) и расположен выше ос">

Показательные уравнения. Уравнения,у которых неизвестное находится в показателе степени, называются показательными. Способы решения: 1. По свойству степени; 2. Вынесение общего множителя за скобки; 3. Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение,принимающее значение отличное от нуля при всех действительных значениях х; 4. Способ группировки; 5. Сведение уравнения к квадратному; 6.Графический.. Например:

1; б) 13 х+1 0,7; г) 0,04 х а в и" title="Используя свойства возрастания и убывания показательной функции, можно сравнить числа и решать показательные неравенства. 1.Сравнить: а) 5 3 и 5 5 ; б) 4 7 и 4 3 ; в) 0,2 2 и 0,2 6 ; г) 0,9 2 и 0,9. 2.Решить: а) 2 х >1; б) 13 х+1 0,7; г) 0,04 х а в и" class="link_thumb"> 8 Используя свойства возрастания и убывания показательной функции, можно сравнить числа и решать показательные неравенства. 1.Сравнить: а) 5 3 и 5 5 ; б) 4 7 и 4 3 ; в) 0,2 2 и 0,2 6 ; г) 0,9 2 и 0,9. 2.Решить: а) 2 х >1; б) 13 х+1 0,7; г) 0,04 х а в или а х 1, то х>в (х 1; б) 13 х+1 0,7; г) 0,04 х а в и"> 1; б) 13 х+1 0,7; г) 0,04 х а в или а х 1, то х>в (х"> 1; б) 13 х+1 0,7; г) 0,04 х а в и" title="Используя свойства возрастания и убывания показательной функции, можно сравнить числа и решать показательные неравенства. 1.Сравнить: а) 5 3 и 5 5 ; б) 4 7 и 4 3 ; в) 0,2 2 и 0,2 6 ; г) 0,9 2 и 0,9. 2.Решить: а) 2 х >1; б) 13 х+1 0,7; г) 0,04 х а в и"> title="Используя свойства возрастания и убывания показательной функции, можно сравнить числа и решать показательные неравенства. 1.Сравнить: а) 5 3 и 5 5 ; б) 4 7 и 4 3 ; в) 0,2 2 и 0,2 6 ; г) 0,9 2 и 0,9. 2.Решить: а) 2 х >1; б) 13 х+1 0,7; г) 0,04 х а в и">

Способы решения показательных неравенств. 1. По свойству степени; 2. Вынесение общего множителя за скобки; 3. Сведение к квадратному; 4. Графический. Некоторые показательные неравенства заменой а х =t сводятся к квадратным неравенствам,которые решают,учитывая,что t>0. х у 0. х у">

Где a-заданное число, а>о, График функции,х N состоит из точек с абсциссами 1,2,3…, лежащие на некоторой кривой,- её называют Экспонентой о, График функции,х N состоит из точек с абсциссами 1,2,3…, лежащие на некоторой кривой,- её называют Экспонентой"> о, График функции,х N состоит из точек с абсциссами 1,2,3…, лежащие на некоторой кривой,- её называют Экспонентой"> о, График функции,х N состоит из точек с абсциссами 1,2,3…, лежащие на некоторой кривой,- её называют Экспонентой" title="Где a-заданное число, а>о, График функции,х N состоит из точек с абсциссами 1,2,3…, лежащие на некоторой кривой,- её называют Экспонентой"> title="Где a-заданное число, а>о, График функции,х N состоит из точек с абсциссами 1,2,3…, лежащие на некоторой кривой,- её называют Экспонентой">

Наглядный бытовой пример! Все, наверное, замечали, что если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей среды. Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Если сначала температура чайника равнялась То, а температура воздуха T1, то через t секунд температура Т чайника выразится формулой: Все, наверное, замечали, что если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающей среды. Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Если сначала температура чайника равнялась То, а температура воздуха T1, то через t секунд температура Т чайника выразится формулой: T=(T1-T0)e-kt+T1, T=(T1-T0)e-kt+T1, где k - число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и количества воды, которое в нем находится. где k - число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и количества воды, которое в нем находится.

При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определенной величины. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определенной величины.

Рассмотрим задачу о падении парашютиста. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что F=kv, то через t секунд скорость падения будет равна: v=mg/k(1-e-kt/m), где m - масса парашютиста. Через некоторый промежуток времени е-kt/m станет очень маленьким числом, и падение станет почти равномерным. Коэффициент пропорциональности k зависит от размеров парашюта. Данная формула пригодна не только для изучения падения парашютиста, но и для изучения падения капли дождевой воды, пушинки и т.д. Рассмотрим задачу о падении парашютиста. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что F=kv, то через t секунд скорость падения будет равна: v=mg/k(1-e-kt/m), где m - масса парашютиста. Через некоторый промежуток времени е-kt/m станет очень маленьким числом, и падение станет почти равномерным. Коэффициент пропорциональности k зависит от размеров парашюта. Данная формула пригодна не только для изучения падения парашютиста, но и для изучения падения капли дождевой воды, пушинки и т.д.

Много трудных математических задач приходится решать в теории межпланетных путешествий. Одной из них является задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v0, с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя. Много трудных математических задач приходится решать в теории межпланетных путешествий. Одной из них является задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v0, с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя.

Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определиться формулой: M=m(ev/v0-1) (формула К.Э.Циалковского). Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8000 м/с, надо при скорости истечения газов 2000 м/с взять примерно 80 т топлива. Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определиться формулой: M=m(ev/v0-1) (формула К.Э.Циалковского). Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8000 м/с, надо при скорости истечения газов 2000 м/с взять примерно 80 т топлива.

Если при колебаниях маятника, гири, качающейся на пружине, не пренебрегать сопротивлением воздуха, то амплитуда колебаний становится все меньше, колебания затухают. Отклонения точки, совершающей затухающие колебания, выражается формулой: s=Ae-ktsin(?t+?). Так как множитель е-kt уменьшается с течением времени, то размах колебаний становится все меньше и меньше. Если при колебаниях маятника, гири, качающейся на пружине, не пренебрегать сопротивлением воздуха, то амплитуда колебаний становится все меньше, колебания затухают. Отклонения точки, совершающей затухающие колебания, выражается формулой: s=Ae-ktsin(?t+?). Так как множитель е-kt уменьшается с течением времени, то размах колебаний становится все меньше и меньше.

Когда радиоактивное вещество распадется, его количество уменьшается. Через некоторое время остается половина первоначального количества вещества. Этот промежуток времени to называется периодом полураспада. Вообще через t лет масса m вещества будет равна: m=m0(1/2)t/t0, где m0 - первоначальная масса вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество. Когда радиоактивное вещество распадется, его количество уменьшается. Через некоторое время остается половина первоначального количества вещества. Этот промежуток времени to называется периодом полураспада. Вообще через t лет масса m вещества будет равна: m=m0(1/2)t/t0, где m0 - первоначальная масса вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество. Явление радиоактивного распада используется для определения возраста археологических находок, например, определен примерный возраст Земли, около 5,5 млрд. лет, для поддержания эталона времени. Явление радиоактивного распада используется для определения возраста археологических находок, например, определен примерный возраст Земли, около 5,5 млрд. лет, для поддержания эталона времени.

Задача: Период полураспада плутония равен 140 суткам. Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная масса равна 8 г? m = ? Ответ: 1, (г).
Вот некоторые из Нобелевских лауреатов, получивших премию за исследования в области физики с использованием показательной функции: Вот некоторые из Нобелевских лауреатов, получивших премию за исследования в области физики с использованием показательной функции: Пьер Кюри г. Пьер Кюри г. Ричардсон Оуэн г. Ричардсон Оуэн г. Игорь Тамм г. Игорь Тамм г. Альварес Луис г. Альварес Луис г. Альфвен Ханнес г. Альфвен Ханнес г. Вильсон Роберт Вудро г. Вильсон Роберт Вудро г.

Она не перестаёт нас удивлять! Показательная функция также используется при решении некоторых задач судовождения, например, функцию е-x используют в задачах, требующих применения биноминального закона (повторение опытов), закона Пуассона (редких событий), закона Релея (длина случайного вектора). Показательная функция также используется при решении некоторых задач судовождения, например, функцию е-x используют в задачах, требующих применения биноминального закона (повторение опытов), закона Пуассона (редких событий), закона Релея (длина случайного вектора). Применение логарифмической функции в биологии. В питательной среде бактерия кишечной палочки делится каждую минуту. Понятно, что общее число бактерий за каждую минуту удваивается. Если в начале процесса была одна бактерия, то через х минут их число (N) станет равной 2 х, т.е. N(х) = 2 х.

При проведении 1 урока по теме « Показательная функция» по учебнику: Алгебра и начала анализа10-11 - редакция А.Г.Мордковича, очень удобно использовать данную презентацию, т.к. высвобождается время для иллюстрации различных свойств и правил, появляется возможность быстро проверить небольшие с/р, при объяснении нового материала можно использовать более наглядные графики показательной функции.

Фрагменты этого урока можно использовать при повторении пройденного материала и подготовке к экзамену.

Цветными геометрическими фигурами на слайдах показаны гиперссылки.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Предварительный просмотр:

Урок по теме «Показательная функция».

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цель урока: о беспечить усвоение учащимися знаний о показательной функции, её свойствах, создать условия для развития умений получать знания посредством проведения исследовательской деятельности и анализа ситуации.

Развивающие задачи:

1. развитие памяти учащихся;
2. развитие умений сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли;
3. развитие логического мышления, внимания и умения работать в проблемной ситуации.

Воспитательные задачи:

1. воспитание умения работать в коллективе, взаимопомощи, культуры общения.
2. развитие познавательного интереса учащихся;
3. развитие любознательности учащихся;
4. развитие умений преодолевать трудности при решении математических задач; воспитание таких качеств характера, как настойчивость в достижении цели;

Средства обучения: компьютер, классная доска, слайдовая презентация, интерактивная доска, учебник «Алгебра и начала анализа10-11» под редакцией А.Г.Мордковича, чертёжные инструменты, карточки.

План урока

1. Орг. момент 1 мин
2. Повторение пройденного материала в форме игры 3-4мин
3. Новая тема 13-15мин
4. Закрепление изученного материала. 21-23мин
5. Подведение итогов и домашнее задание 2 мин

Ход урока.

1. Орг. момент.

2. Игра «Самый умный на уроке»

Эта игра проводится с целью актуализации знаний учащихся на уроке изучения нового материала по теме «Показательная функция и ее график».

Учащемуся предлагается в течение 60 секунд отвечать на вопросы. (листочки розданы заранее)

Звание «самого умного на уроке» присваивается тому, кто ответил на большее количество вопросов. (итог в конце урока - можно приготовить мини - призы)

Вопросы:

1. Независимая переменная (х )
2. Наглядный способ задания функции (графический )
3. График четной функции симметричен относительно чего (Оу )
4. График квадратичной функции называется (парабола )
5. Что обозначают буквой D (область определения )
6. Способ задания функции с помощью формулы (аналитический )
7. График какой функции - прямая (линейной )
8. О какой функции речь? Чем больше х , тем больше у. (возрастающая )
9. Свойство функции f(-x) = f(x) (четность )
10. Множество значений, принимаемых независимой переменной

(область определения )

11) Что обозначают буквой Е? (область значений )

12) График нечетной функции симметричен относительно чего

(начала координат )

13) О чем речь? Чем меньше х, тем больше у . (убывание )

14) Множество целых чисел - какая буква? (Z)

15) Точки пересечения графики функции с осью Ох (нули функции )

16) Множество действительных чисел –какая буква? (R )

17) Свойство функции f(-x) = - f(x) (нечетность )

Проверка ответов слайд№3

3. Изучение новой темы.

а) определение

Вам предстоит сегодня много рассуждать, делать выводы, спорить.

В жизни мы часто сталкиваемся с зависимостями между величин. Оценка по контрольной работе зависит от количества и правильности выполненных заданий, стоимость покупки от количества купленного товара и цен. Одни зависимости носят случайный характер, другие постоянны.

Давайте рассмотрим следующие законы. Слайд 4-6

Рост древесины происходит по закону A=A 0* a kt
A- изменение количества древесины во времени;
A 0- начальное количество древесины;
t -время, к, а- некоторые постоянные.

Давление воздуха убывает с высотой по закону : P=P 0* a -kh
P - давление на высоте h,
P0 - давление на уровне моря,
а - некоторая постоянная.

Изменение количества бактерий N=5 t

N -число колоний бактерий в момент времени t

T - время размножения

Что общее объединяет эти процессы? Слайд№7 -схожесть вида формулы, задающей закон у=с·а кх

Тема нашего урока показательная функция. Слайд№8(запись в тетрадях)

Положим в этих формулах с=1,к=1, какую функцию получим? - у=а х

постройте график Слайд№9

что это за функция?

Б) практическая работа. Слайд№10

1 вариант 2 вариант

Построить графики функций

У=2 х , у=(1/2) х

На отрезке[-2;3] с шагом 1.

Проверим правильность ваших построений Слайд№11

Давайте сравним графики функций у=2 х , у=(3/2) х , у=(5/2) х

–какие выводы мы можем сделать? - Чем больше основание,тем более пологий график.

А теперь сравним графики функций у=(1/2) х , у=(4/6) х , у=(1/3) х и сделаем соответствующие выводы. - Чем больше основание, тем более пологий график.

Такие функции называются показательными .

И сегодня на уроке, мы должны дать определение показательной функции, рассмотреть некоторые свойства и научится применять эти свойства при выполнении заданий, определенного вида.

Итак, попробуйте сформулировать определение показательной функции.

(учащиеся отвечают, учитель, если нужно корректирует определение).

(На слайде№12 появляется определение, учащиеся записывают его в тетрадь)

По предложенной схеме исследовать функцию. Слайд№13

Каждый вариант исследует свою функцию

1. Область определения функции.

2. Область значений функции.

3. Точки пересечения с осями координат.

4.Промежутки возрастания и убывания.

в ) проверка результатов практической работы .

Слайд№14,15

На экране появляются графики функций, учащиеся называют свойства, которые демонстрируются. Ученики делают записи в тетрадях.

4. Закрепление изученного.

Я предлагаю вам выполнить некоторые задания по теме нашего урока.

а) Устно .(учащиеся выбирают верный ответ, обосновывая выбор)

1.« Выбери показательную функцию ».

а) Функции заранее записаны на доске

; ; ; ; ; ; ; ; ; .

б) . Из предложенного списка функций, выбрать ту функцию,

Которая является показательной: (На слайде16)

1. Укажите множество значений функции:

Последняя функция –решение в тетрадь Слайд№17

3.Дана функция: у =а x ± b. Вывести правило, по которому можно,

Не выполняя построение графика данной функции,

найти область значения функции. Слайд№18-19 (правило записать в тетрадь)

Вывод:

Если у = а х + b, то Е (у) = (b; +∞)

Если у = а х -b, то Е (у) = (-b; +∞)

4 . Укажите возрастающую функцию. Слайд№20

5. Укажите убывающую функцию.

б) Письменно.

Используя свойства убывания или возрастания

Показательной функции, сравнить с единицей следующие числа :№ 1322

Слайд№21

г ) Самостоятельная работа (если необходимо с помощью учителя). Приложение 1

Дидактический материал к уроку по теме «Показательная функция»

5. Домашнее задание. (на слайде№22)

6. Подведение итогов. Выставление оценок. (на слайде№23)

При проведении урока по теме « Показательная функция»очень удобно использовать данную презентацию, т.к.высвобождается время для иллюстрации различных свойств и правил, появляется возможность быстро проверить небольшие с/р, при объяснении нового материала можно использовать более наглядные и красочные графики показательной функции.

Фрагменты этого урока можно также использовать при повторении пройденного материала, при подготовке к экзамену.

Цветными геометрическими фигурами на слайдах показаны гиперссылки.(слайд №11,16)

В ходе подготовки данной работы использовались материалы из опыта работы:

Морина С.А.- учитель математики МОУ СОШ №5 г.Железноводска

Презентация «Показательная функция, ее свойства и график» наглядно представляет учебный материал по данной теме. В ходе презентации подробно рассматриваются свойства показательной функции, ее поведение в системе координат, рассматриваются примеры решения задач с использованием свойств функции, уравнений и неравенств, изучаются важные теоремы по теме. С помощью презентации учитель может повысить эффективность урока математики. Яркое представление материала помогает удерживать внимание учеников на изучении темы, анимационные эффекты помогают более понятно продемонстрировать решения задач. Для более быстрого запоминания понятий, свойств и особенностей решения используется выделение цветом.

Демонстрация начинается с примеров показательной функции у=3 х с различными показателями - целыми положительными и отрицательными, обыкновенной дробью и десятичной. Для каждого показателя вычисляется значение функции. Далее для этой же функции строится график. На слайде 2 построена таблица, заполненная координатами точек, принадлежащих графику функции у=3 х. По этим точкам на координатной плоскости строится соответствующий график. Рядом с графиком строятся аналогичные графики у=2 х, у=5 х и у=7 х. Каждая функция выделена разными цветами. В таких же цветах выполнены графики этих функций. Очевидно, что с ростом основания степени показательной функции график становится круче и больше прижимается к оси ординат. На этом же слайде описаны свойства показательной функции. Отмечается, что областью определения является числовая прямая (-∞;+∞), Функция не является четной или нечетной, на все области определения функция возрастает и не имеет наибольшего или наименьшего значения. Показательная функция ограничена снизу, но не ограничена сверху, непрерывна на области определения и выпуклая вниз. Область значений функции принадлежит промежутку (0;+∞).

На слайде 4 представлено исследование функции у=(1/3) х. Строится график функции. Для этого заполняется координатами точек, принадлежащих графику функции, таблица. По этим точкам строится график на прямоугольной системе координат. Рядом описываются свойства функции. Отмечается, что областью определения является вся числовая ось. Эта функция не является нечетной или четной, убывающая на всей области определения, не имеет наибольшего, наименьшего значений. Функция у=(1/3) х является ограниченной снизу и неограниченной сверху, на области определения непрерывна, имеет выпуклость вниз. Область значений - положительная полуось (0;+∞).

На приведенном примере функции у=(1/3) х можно выделить свойства показательной функции с положительным основанием, меньшим единицы и уточнить представление о ее графике. На слайде 5 представлен общий вид такой функции у=(1/а) х, где 0

На слайде 6 сравниваются графики функций у=(1/3) х и у=3 х. Видно, что эти графики симметричны относительно оси ординат. Чтобы сравнение было более наглядным, графики окрашены в цвета, которыми выделены формулы функций.

Далее представляется определение показательной функции. На слайде 7 в рамке выделено определение, в котором указано, что функция вида у=а х, где положительное а, не равное 1, называется показательной. Далее с помощью таблицы сравнивается показательная функция с основанием, большим 1, и положительным меньшим 1. Очевидно, что практически все свойства функции аналогичны, только функция с основанием, большим а, возрастающая, а с основанием, меньшим 1, убывающая.

Далее рассматривается решение примеров. В примере 1 необходимо решить уравнение 3 х =9. Уравнение решается графическим способом - строится график функции у=3 х и график функции у=9. Точка пересечения этих графиков М(2;9). Соответственно, решением уравнения является значение х=2.

На слайде 10 описывается решение уравнения 5 х =1/25. Аналогично предыдущему примеру решение уравнения определяется графически. Демонстрируется построение графиков функций у=5 х и у=1/25. Точкой пересечения данных графиков является точка Е(-2;1/25), значит, решение уравнения х=-2.

Далее предлагается рассмотреть решение неравенства 3 х <27. Решение выполняется графически - определяется точка пересечения графиков у=3 х и у=27. Затем на плоскости координат хорошо видно, при каких значениях аргумента значения функции у=3 х будут меньшими 27 - это промежуток (-∞;3). Аналогично выполняется решение задания, в котором нужно найти множество решений неравенства (1/4) х <16. На координатной плоскости строятся графики функций, соответствующих правой и левой части неравенства и сравниваются значения. Очевидно, что решением неравенства является промежуток (-2;+∞).

На следующих слайдах представлены важные теоремы, которые отражают свойства показательной функции. В теореме 1 утверждается, что при положительном а равенство а m =а n справедливо тогда, когда m=n. В теореме 2 представлено утверждение, что при положительном а значение функции у=а х будет больше 1 при положительном х, а меньше 1 при отрицательном х. Утверждение подтверждается изображением графика показательной функции, на котором видно поведение функции на различных промежутках области определения. В теореме 3 отмечается, что для 0

Далее для усвоения материала учениками рассматриваются примеры решения задач с использованием изученного теоретического материала. В примере 5 необходимо построить график функции у=2·2 х +3. Демонстрируется принцип построения графика функции, преобразовав сначала ее в вид у= а х+а +b.Производится параллельный перенос системы координат в точку (-1;3) и относительно этого начала координат строится график функции у=2 х.

На слайде 18 рассматривается графическое решение уравнения 7 х =8-х. Строится прямая у=8-х и график функции у=7 х. Абсцисса точки пересечения графиков х=1 является решением уравнения. Последний пример описывает решение неравенства (1/4) х =х+5. Строятся графики обеих частей неравенства и отмечается, что его решением являются значения (-1;+∞), при которых значения функции у=(1/4) х всегда меньше значений у=х+5.

Презентация «Показательная функция, ее свойства и график» рекомендуется для повышения эффективности школьного урока математики. Наглядность материала в презентации поможет добиться целей обучения в ходе дистанционного урока. Презентация может быть предложена для самостоятельной работы ученикам, недостаточно хорошо освоившим тему на уроке.

Свойства функции Проанализируем по схеме: Проанализируем по схеме: 1. область определения функции 1. область определения функции 2. множество значений функции 2. множество значений функции 3. нули функции 3. нули функции 4. промежутки знакопостоянства функции 4. промежутки знакопостоянства функции 5. четность или нечётность функции 5. четность или нечётность функции 6. монотонность функции 6. монотонность функции 7. наибольшее и наименьшее значения 7. наибольшее и наименьшее значения 8. периодичность функции 8. периодичность функции 9. ограниченность функции 9. ограниченность функции

0 при х R. 5) Функция ни чётная, ни " title="Показательная функция, её график и свойства y x 1 о 1) Область определения – множество всех действительных чисел (D(у)=R). 2) Множество значений – множество всех положительных чисел (E(y)=R +). 3) Нулей нет. 4) у>0 при х R. 5) Функция ни чётная, ни " class="link_thumb"> 10 Показательная функция, её график и свойства y x 1 о 1) Область определения – множество всех действительных чисел (D(у)=R). 2) Множество значений – множество всех положительных чисел (E(y)=R +). 3) Нулей нет. 4) у>0 при х R. 5) Функция ни чётная, ни нечётная. 6) Функция монотонна: возрастает на R при а>1 и убывает на R при 0 0 при х R. 5) Функция ни чётная, ни "> 0 при х R. 5) Функция ни чётная, ни нечётная. 6) Функция монотонна: возрастает на R при а>1 и убывает на R при 0"> 0 при х R. 5) Функция ни чётная, ни " title="Показательная функция, её график и свойства y x 1 о 1) Область определения – множество всех действительных чисел (D(у)=R). 2) Множество значений – множество всех положительных чисел (E(y)=R +). 3) Нулей нет. 4) у>0 при х R. 5) Функция ни чётная, ни "> title="Показательная функция, её график и свойства y x 1 о 1) Область определения – множество всех действительных чисел (D(у)=R). 2) Множество значений – множество всех положительных чисел (E(y)=R +). 3) Нулей нет. 4) у>0 при х R. 5) Функция ни чётная, ни ">

Рост древесины происходит по закону, где: A- изменение количества древесины во времени; A 0 - начальное количество древесины; t-время, к, а- некоторые постоянные. Рост древесины происходит по закону, где: A- изменение количества древесины во времени; A 0 - начальное количество древесины; t-время, к, а- некоторые постоянные. t 0 t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 tntn А A0A0 A1A1 A2A2 A3A3 AnAn

Температура чайника изменяется по закону, где: Т- изменение температуры чайника со временем; Т 0 - температура кипения воды; t-время, к, а- некоторые постоянные. Температура чайника изменяется по закону, где: Т- изменение температуры чайника со временем; Т 0 - температура кипения воды; t-время, к, а- некоторые постоянные. t 0 t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 tntn T T0T0 T1T1 T2T2 T3T3

Радиоактивный распад происходит по закону, где: Радиоактивный распад происходит по закону, где: N- число нераспавшихся атомов в любой момент времени t; N 0 - начальное число атомов (в момент времени t=0); t-время; N- число нераспавшихся атомов в любой момент времени t; N 0 - начальное число атомов (в момент времени t=0); t-время; Т- период полураспада. Т- период полураспада. t 0 t 1 t 2 N N3N3 N4N4 t4t4 N0N0 t3t3 N2N2 N1N1

С Существенное свойство процессов органического и изменения величин состоит в том, что за равные промежутки времени значение величины изменяется в одном и том же отношении Рост древесины Изменение температуры чайника Изменение давления воздуха К процессам органического изменения величин относятся: Радиоактивный распад

Сравните числа 1,3 34 и 1,3 40. Пример 1. Сравните числа 1,3 34 и 1,3 40. Общий метод решения. 1. Представить числа в виде степени с одинаковым основанием (если это необходимо) 1,3 34 и 1, Выяснить, возрастающей или убывающей является показательная функция а=1,3; а>1, след-но показательная функция возрастает. а=1,3; а>1, след-но показательная функция возрастает. 3. Сравнить показатели степеней (или аргументы функций) 34 1, след-но показательная функция возрастает. а=1,3; а>1, след-но показательная функция возрастает. 3. Сравнить показатели степеней (или аргументы функций) 34">

Решите графически уравнение 3 х =4-х. Пример 2. Решите графически уравнение 3 х =4-х.Решение. Используем функционально-графический метод решения уравнений: построим в одной системе координат графики функций у=3 х и у=4-х. графики функций у=3 х и у=4-х. Замечаем, что они имеют одну общую точку (1;3). Значит, уравнение имеет единственный корень х=1. Ответ: 1 Ответ: 1 у=4-х

4-х. Пример 3. Решите графически неравенство 3 х >4-х. Решение. у=4-х Используем функционально-графический метод решения неравенств: 1. Построим в одной системе 1. Построим в одной системе координат графики функций " title="Решите графически неравенство 3 х >4-х. Пример 3. Решите графически неравенство 3 х >4-х. Решение. у=4-х Используем функционально-графический метод решения неравенств: 1. Построим в одной системе 1. Построим в одной системе координат графики функций " class="link_thumb"> 24 Решите графически неравенство 3 х >4-х. Пример 3. Решите графически неравенство 3 х >4-х. Решение. у=4-х Используем функционально-графический метод решения неравенств: 1. Построим в одной системе 1. Построим в одной системе координат графики функций координат графики функций у=3 х и у=4-х. 2. Выделим часть графика функции у=3 х, расположенную выше (т. к. знак >) графика функции у=4-х. 3. Отметим на оси х ту часть, которая соответствует выделенной части графика (иначе: спроецируем выделенную часть графика на ось х). 4. Запишем ответ в виде интервала: Ответ: (1;). Ответ: (1;). 4-х. Пример 3. Решите графически неравенство 3 х >4-х. Решение. у=4-х Используем функционально-графический метод решения неравенств: 1. Построим в одной системе 1. Построим в одной системе координат графики функций "> 4-х. Пример 3. Решите графически неравенство 3 х >4-х. Решение. у=4-х Используем функционально-графический метод решения неравенств: 1. Построим в одной системе 1. Построим в одной системе координат графики функций координат графики функций у=3 х и у=4-х. 2. Выделим часть графика функции у=3 х, расположенную выше (т. к. знак >) графика функции у=4-х. 3. Отметим на оси х ту часть, которая соответствует выделенной части графика (иначе: спроецируем выделенную часть графика на ось х). 4. Запишем ответ в виде интервала: Ответ: (1;). Ответ: (1;)."> 4-х. Пример 3. Решите графически неравенство 3 х >4-х. Решение. у=4-х Используем функционально-графический метод решения неравенств: 1. Построим в одной системе 1. Построим в одной системе координат графики функций " title="Решите графически неравенство 3 х >4-х. Пример 3. Решите графически неравенство 3 х >4-х. Решение. у=4-х Используем функционально-графический метод решения неравенств: 1. Построим в одной системе 1. Построим в одной системе координат графики функций "> title="Решите графически неравенство 3 х >4-х. Пример 3. Решите графически неравенство 3 х >4-х. Решение. у=4-х Используем функционально-графический метод решения неравенств: 1. Построим в одной системе 1. Построим в одной системе координат графики функций ">

Решите графически неравенства: 1) 2 х >1; 2) 2 х 1; 2) 2 х "> 1; 2) 2 х "> 1; 2) 2 х " title="Решите графически неравенства: 1) 2 х >1; 2) 2 х "> title="Решите графически неравенства: 1) 2 х >1; 2) 2 х ">

Самостоятельная работа (тест) 1. Укажите показательную функцию: 1. Укажите показательную функцию: 1) у=х 3 ; 2) у=х 5/3 ; 3) у=3 х+1 ; 4) у=3 х+1. 1) у=х 3 ; 2) у=х 5/3 ; 3) у=3 х+1 ; 4) у=3 х+1. 1) у=х 2 ; 2) у=х -1 ; 3) у=-4+2 х; 4) у=0,32 х. 1) у=х 2 ; 2) у=х -1 ; 3) у=-4+2 х; 4) у=0,32 х. 2. Укажите функцию, возрастающую на всей области определения: 2. Укажите функцию, возрастающую на всей области определения: 1) у =(2/3) -х; 2) у=2 -х; 3) у =(4/5) х; 4) у =0,9 х. 1) у =(2/3) -х; 2) у=2 -х; 3) у =(4/5) х; 4) у =0,9 х. 1) у =(2/3) х; 2) у=7,5 х; 3) у =(3/5) х; 4) у =0,1 х. 1) у =(2/3) х; 2) у=7,5 х; 3) у =(3/5) х; 4) у =0,1 х. 3. Укажите функцию, убывающую на всей области определения: 3. Укажите функцию, убывающую на всей области определения: 1) у =(3/11) -х; 2) у=0,4 х; 3) у =(10/7) х; 4) у =1,5 х. 1) у =(2/17) -х; 2) у=5,4 х; 3) у =0,7 х; 4) у =3 х. 4. Укажите множество значений функции у=3 -2 х -8: 4. Укажите множество значений функции у=2 х+1 +16: 5. Укажите наименьшее из данных чисел: 5. Укажите наименьшее из данных чисел: 1) 3 -1/3 ; 2) 27 -1/3 ; 3) (1/3) -1/3 ; 4) 1 -1/3. 1) 3 -1/3 ; 2) 27 -1/3 ; 3) (1/3) -1/3 ; 4) 1 -1/3. 5. Укажите наибольшее из данных чисел: 1) 5 -1/2 ; 2) 25 -1/2 ; 3) (1/5) -1/2 ; 4) 1 -1/2. 1) 5 -1/2 ; 2) 25 -1/2 ; 3) (1/5) -1/2 ; 4) 1 -1/2. 6. Выясните графически, сколько корней имеет уравнение 2 х =х -1/3 (1/3) х =х 1/2 6. Выясните графически, сколько корней имеет уравнение 2 х =х -1/3 (1/3) х =х 1/2 1) 1 корень; 2) 2 корня; 3) 3 корня; 4) 4 корня.

1. Укажите показательную функцию: 1) у=х 3; 2) у=х 5/3; 3) у=3 х+1; 4) у=3 х+1. 1) у=х 3; 2) у=х 5/3; 3) у=3 х+1; 4) у=3 х Укажите функцию, возрастающую на всей области определения: 2. Укажите функцию, возрастающую на всей области определения: 1) у =(2/3)-х; 2) у=2-х; 3) у =(4/5)х; 4) у =0,9 х. 1) у =(2/3)-х; 2) у=2-х; 3) у =(4/5)х; 4) у =0,9 х. 3. Укажите функцию, убывающую на всей области определения: 3. Укажите функцию, убывающую на всей области определения: 1) у =(3/11)-х; 2) у=0,4 х; 3) у =(10/7)х; 4) у =1,5 х. 1) у =(3/11)-х; 2) у=0,4 х; 3) у =(10/7)х; 4) у =1,5 х. 4. Укажите множество значений функции у=3-2 х-8: 4. Укажите множество значений функции у=3-2 х-8: 5. Укажите наименьшее из данных чисел: 5. Укажите наименьшее из данных чисел: 1) 3-1/3; 2) 27-1/3; 3) (1/3)-1/3; 4) 1-1/3. 1) 3-1/3; 2) 27-1/3; 3) (1/3)-1/3; 4) 1-1/3. 6. Выясните графически, сколько корней имеет уравнение 2 х=х- 1/3 6. Выясните графически, сколько корней имеет уравнение 2 х=х- 1/3 1) 1 корень; 2) 2 корня; 3) 3 корня; 4) 4 корня. 1) 1 корень; 2) 2 корня; 3) 3 корня; 4) 4 корня. Проверочная работа Выберите показательные функции, которые: Выберите показательные функции, которые: I вариант – убывают на области определения; I вариант – убывают на области определения; II вариант – возрастают на области определения. II вариант – возрастают на области определения.