Основни въпроси на лекцията: уравнения на права върху равнина; различни форми на уравнение на права върху равнина; ъгъл между прави линии; условия на успоредност и перпендикулярност на правите; разстояние от точка до права; криви от втори ред: окръжност, елипса, хипербола, парабола, техните уравнения и геометрични свойства; уравнения на равнина и права в пространството.
Уравнение от вида се нарича уравнение на права линия в общ вид.
Ако го изразим в това уравнение, тогава след замяната получаваме уравнение, наречено уравнение на права линия с ъглов коефициент и където е ъгълът между правата линия и положителната посока на абсцисната ос. Ако в общото уравнение на права линия прехвърлим свободния коефициент в дясната страна и го разделим, получаваме уравнение в сегменти
Къде и са точките на пресичане на правата съответно с абсцисната и ординатната ос.
Две прави в една равнина се наричат успоредни, ако не се пресичат.
Правите се наричат перпендикулярни, ако се пресичат под прав ъгъл.
Нека две линии и са дадени.
За да се намери пресечната точка на правите (ако се пресичат), е необходимо да се реши системата с тези уравнения. Решението на тази система ще бъде точката на пресичане на линиите. Нека намерим условията за взаимното разположение на две прави.
Тъй като ъгълът между тези прави се намира по формулата
От това можем да заключим, че кога правите ще бъдат успоредни и кога ще са перпендикулярни. Ако правите са дадени в общ вид, тогава правите са успоредни при условието и перпендикулярни при условието
Разстоянието от точка до права линия може да се намери с помощта на формулата
Нормално уравнение на окръжност:
Елипса е геометрично място на точки в равнина, сборът от разстоянията до две дадени точки, наречени фокуси, е постоянна стойност.
Каноничното уравнение на елипса има формата:
където е голямата полуос, е малката полуос и. Фокусните точки са в точките. Върховете на една елипса са точките. Ексцентричността на елипса е отношението
Хиперболата е геометричното място на точките в равнина, като модулът на разликата в разстоянията до две дадени точки, наречени фокуси, е постоянна стойност.
Каноничното уравнение на хипербола има формата:
където е голямата полуос, е малката полуос и. Фокусните точки са в точките. Върховете на хипербола са точките. Ексцентричността на хипербола е отношението
Правите линии се наричат асимптоти на хиперболата. Ако, тогава хиперболата се нарича равностранна.
От уравнението получаваме двойка пресичащи се прави и.
Параболата е геометрично място на точки в равнина, от всяка от които разстоянието до дадена точка, наречено фокус, е равно на разстоянието до дадена права линия, наречена директриса, и е постоянна стойност.
Уравнение на канонична парабола
Както е известно, всяка точка от равнината се определя от две координати в някаква координатна система. Координатните системи могат да бъдат различни в зависимост от избора на основа и произход.
Определение: Уравнението на правата е връзката y = f(x) между координатите на точките, които съставят тази права.
Обърнете внимание, че уравнението на права може да бъде изразено параметрично, т.е. всяка координата на всяка точка се изразява чрез някакъв независим параметър T. Типичен пример е траекторията на движеща се точка. В този случай ролята на параметър се играе от времето.
Различни видове линейни уравнения
Общо уравнение на права линия.
Всяка права линия в равнината може да бъде определена чрез уравнение от първи ред
Ax + Wu + C = 0,
Освен това константите A и B не са равни на нула едновременно, т.е. A 2 + B 2 ¹ 0. Това уравнение от първи ред се нарича общо уравнение на правата .
В зависимост от стойностите на константите A, B и C са възможни следните специални случаи:
C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – правата минава през началото
A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - права линия, успоредна на оста Ox
B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – права линия, успоредна на оста Oy
B = C = 0, A ¹ 0 – правата съвпада с оста Oy
A = C = 0, B ¹ 0 – правата съвпада с оста Ox
Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от дадени начални условия.
Уравнение на права, минаваща през две точки.
Нека две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) са дадени в пространството, тогава уравнението на правата, минаваща през тези точки, е:
Ако някой от знаменателите е нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула. На равнината уравнението на правата линия, написано по-горе, е опростено:
ако x 1 ¹ x 2 и x = x 1, ако x 1 = x 2.
Частта = k се нарича наклон на правата.
Уравнение на права линия с помощта на точка и наклон.
Ако общото уравнение на правата Ax + By + C = 0 се редуцира до формата:
и означаваме , тогава полученото уравнение се нарича уравнение на права линия с наклон k.
Уравнение на права линия в отсечки.
Ако в общото уравнение на правата Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, тогава, разделяйки на –С, получаваме: или
Геометричният смисъл на коефициентите е, че коефициентът Ае координатата на пресечната точка на правата с оста Ox, и b– координатата на пресечната точка на правата с оста Oy.
Нормално уравнение на права.
Ако двете страни на уравнението Ax + By + C = 0 се разделят на число, което се нарича нормализиращ фактор, тогава получаваме
xcosj + ysinj - p = 0 –
нормално уравнение на права.
Знакът ± на нормиращия фактор трябва да бъде избран така, че m×С< 0.
p е дължината на перпендикуляра, пуснат от началото до правата линия, а j е ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста Ox.
Ъгълът между прави в равнина.
Ако са дадени две прави y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тогава острия ъгъл между тези линии ще бъде определен като
Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2.
Две прави са перпендикулярни, ако k 1 = -1/k 2 .
Теорема. Правите Ax + Bу + C = 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 са успоредни, когато коефициентите A 1 = lA, B 1 = lB са пропорционални. Ако също С 1 = lС, то линиите съвпадат.
Координатите на пресечната точка на две прави се намират като решение на система от две уравнения.
Разстояние от точка до права.
Теорема. Ако е дадена точка M(x 0, y 0), тогава разстоянието до правата Ax + Bу + C = 0 се определя като
Лекция 5
Въведение в анализа. Диференциално смятане на функция на една променлива.
ОГРАНИЧЕНИЕ НА ФУНКЦИЯТА
Граница на функция в точка.
0 a - D a a + D x
Фигура 1. Граница на функция в точка.
Нека функцията f(x) е дефинирана в определена околност на точката x = a (т.е. в точката x = a функцията може да не е дефинирана)
Определение. Число A се нарича граница на функцията f(x) за x®a, ако за всяко e>0 има число D>0 такова, че за всички x такива, че
0 < ïx - aï < D
неравенството ïf(x) - Aï е вярно< e.
Същата дефиниция може да се напише в друга форма:
Ако а - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Записване на границата на функция в точка:
Определение.
Ако f(x) ® A 1 при x ® a само при x< a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x >a, тогава се нарича граница на функцията f(x) в точката x = a отдясно.
Горната дефиниция се отнася за случая, когато функцията f(x) не е дефинирана в самата точка x = a, а е дефинирана в произволно малка околност на тази точка.
Границите A 1 и A 2 също се наричат едностранчив извън функцията f(x) в точката x = a. Също така се казва, че A - крайна граница на функция f(x).
10.1. Основни понятия
Права в равнина се разглежда (посочва) като набор от точки, които имат някакво геометрично свойство, присъщо само на тях. Например окръжност с радиус R е множеството от всички точки на равнината, разположени на разстояние - R от някаква фиксирана точка O (центъра на окръжността).
Въвеждането на координатна система в равнината позволява да се определи позицията на точка в равнината чрез задаване на две числа - нейните координати и позицията на права в равнината, която се определя с помощта на уравнение (т.е. равенство, свързващо координатите на точки от линията).
Уравнение на линията(или крива) в равнината Oxy е такова уравнение F(x;y) = 0 с две променливи, което е изпълнено от координатите x и y на всяка точка от правата и не е удовлетворено от координатите на никоя точка, която не лежи на тази линия.
Променливите x и y в уравнението на правата се наричат текущи координати на точките на правата.
Уравнението на линия позволява изучаването на геометричните свойства на правата да бъде заменено с изучаването на нейното уравнение.
И така, за да се установи дали точка A(x 0 ; y 0) лежи на дадена права, е достатъчно да се провери (без да се прибягва до геометрични конструкции) дали координатите на точка A удовлетворяват уравнението на тази права в избраната координата система.
Проблемът за намиране на пресечните точки на две прави, дадени от уравненията F 1 (x 1 ;y 1) = 0 и F 2 (x 2 ;y) = 0, се свежда до намиране на точки, чиито координати удовлетворяват уравненията на двете линии, т.е. свежда се до решаване на система от две уравнения с две неизвестни:
Ако тази система няма реални решения, тогава линиите не се пресичат.
По подобен начин се въвежда понятието уравнение на права в полярна координатна система.
Уравнението F(r; φ)=O се нарича уравнение на дадена права в полярната координатна система, ако координатите на всяка точка, лежаща на тази права, и само те, удовлетворяват това уравнение.
Права в равнина може да се дефинира с помощта на две уравнения:
където x и y са координатите на произволна точка M(x; y), лежаща на дадена права, а t е променлива, наречена параметър; параметърът t определя позицията на точката (x; y) върху равнината.
Например, ако x = t + 1, y = t 2, тогава стойността на параметъра t = 1 съответства на точката (3; 4) на равнината, тъй като x = 1 + 1 = 3, y = 22 - 4.
Ако параметърът t се промени, тогава точката на равнината се премества, описвайки тази права. Този метод за дефиниране на линия се нарича параметричени уравнения (10.1) - параметрични уравнениялинии.
За да се премине от параметрични уравнения на линия към уравнение във формата F(x;y) = 0, е необходимо по някакъв начин да се елиминира параметърът t от двете уравнения.
Например от уравненията чрез заместване на t = x
във второто уравнение е лесно да се получи уравнението y = x 2 ; или y-x 2 = 0, т.е. във формата F(x; y) = 0. Имайте предвид обаче, че такъв преход не е винаги е възможно.
Права в равнина може да бъде определена чрез векторно уравнение r =r(t), където t е параметър на скаларна променлива. Всяка стойност t 0 съответства на определен вектор r =r(t)самолет. Когато параметърът t се промени, краят на вектора r =r(t)ще опише определена линия (виж фиг. 31).
Уравнение на векторна линия r =r(t)в координатната система Oxy съответстват две скаларни уравнения (10.1), т.е. уравненията на проекциите върху координатните оси на векторното уравнение на линията са нейните параметрични уравнения. I Векторното уравнение и параметричните уравнения на линията I имат механичен смисъл. Ако точка се движи в равнина, тогава посочените уравнения се наричат уравнения на движение, а линията се нарича траектория на точката; параметърът t е време. И така, всяка права в равнината съответства на някакво уравнение от вида F(x; y) = 0.
На всяко уравнение във формата F(x; y) = 0 съответства, най-общо казано, определена линия, чиито свойства се определят от това уравнение (изразът „най-общо казано“ означава, че горното позволява изключения. По този начин, уравнение (x-2) 2 + (y- 3) 2 =0 не съответства на права, а на точка (2; 3); уравнението x 2 + y 2 + 5 = 0 на равнината не съответства на всяко геометрично изображение).
В аналитичната геометрия на равнината възникват два основни проблема. Първо: познавайки геометричните свойства на кривата, намерете нейното уравнение) второ: познавайки уравнението на кривата, изучавайте нейната форма и свойства.
Фигури 32-40 показват примери за някои криви и техните уравнения.
10.2. Уравнения на права върху равнина
Най-простата от линиите е правата линия. В правоъгълна координатна система различни начини за дефиниране на права съответстват на различни видове нейни уравнения.
Уравнение на права линия с наклон
Нека е дадена произволна права линия в равнината Oxy, която не е успоредна на оста Oy. Неговата позиция се определя напълно от ординатата b на пресечната точка N(0; b) с оста Oy и ъгъла a между оста Ox и правата линия (виж фиг. 41).
Под ъгъл a (0 От определението за тангенс на ъгъл следва, че Нека въведем обозначението tg a=k , получаваме уравнението което се удовлетворява от координатите на всяка точка M(x;y) на правата. Можете да се уверите, че координатите на всяка точка P(x;y), лежаща извън тази линия, не отговарят на уравнение (10.2). Числото k = tga се нарича наклон на правата, а уравнението (10.2) е уравнението на правата с наклона. Ако една права минава през началото, тогава b = 0 и следователно уравнението на тази права ще има формата y=kx. Ако правата линия е успоредна на оста Ox, тогава a = 0, следователно k = tga = 0 и уравнение (10.2) приема формата y = b. Ако правата линия е успоредна на оста Oy, тогава уравнението (10.2) губи смисъла си, тъй като за него ъгловият коефициент В този случай уравнението на правата линия ще има формата Където а- абсцисата на пресечната точка на правата с оста Ox. Забележете, че уравнения (10.2) и (10.3) са уравнения от първа степен. Общо уравнение на права линия. Нека разгледаме уравнение от първа степен за x и y в общ вид където A, B, C са произволни числа, а A и B не са равни на нула едновременно. Нека покажем, че уравнение (10.4) е уравнение на права линия. Има два възможни случая. Ако B = 0, тогава уравнението (10.4) има формата Ax + C = O, а A ¹ 0, т.е. Това е уравнението на права линия, успоредна на оста Oy и минаваща през точката Ако B ¹ 0, тогава от уравнение (10.4) получаваме И така, уравнение (10.4) е уравнение на права линия, така се нарича общо уравнение на правата. Някои специални случаи на общото уравнение на линия: 1) ако A = 0, тогава уравнението се редуцира до формата. Това е уравнението на права линия, успоредна на оста Ox; 2) ако B = 0, то правата е успоредна на оста Oy; 3) ако C = 0, тогава получаваме . Уравнението се удовлетворява от координатите на точката O(0;0), правата минава през началото. Уравнение на права, минаваща през дадена точка в дадена посока Нека права линия минава през точка и нейната посока се определя от наклона k. Уравнението на тази линия може да бъде написано във формата , където b е неизвестна в момента величина. Тъй като правата минава през точката, координатите на точката отговарят на уравнението на правата:. Оттук. Замествайки стойността на b в уравнението, получаваме желаното уравнение на линията: , т.е. Уравнение (10.5) с различни стойности на k също се нарича уравнения на молив от линии с център в точката.От този молив е невъзможно да се определи само права линия, успоредна на оста Oy. Уравнение на права, минаваща през две точки Нека правата минава през точките и . Уравнението на правата линия, минаваща през точката M 1, има формата където k е все още неизвестен коефициент. Тъй като правата минава през точката, координатите на тази точка трябва да отговарят на уравнение (10.6): . Тук го намираме. Замествайки намерената стойност на k в уравнение (10.6), получаваме уравнението на правата линия, минаваща през точките М 1 и М 2. Приема се, че в това уравнение Ако x 2 = x 1 е права линия, минаваща през точките и успоредна на ординатата. Неговото уравнение изглежда като . Ако y 2 = y 1, тогава уравнението на правата може да бъде написано във формата линия М 1 М 2успоредна на оста x. Уравнение на права в отсечки Това уравнение се нарича уравнение на права линия в сегменти, тъй като числата α и b показват кои сегменти отсича правата линия върху координатните оси. Уравнение на права, минаваща през дадена точка перпендикулярно на даден вектор Нека намерим уравнението на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на даден ненулев вектор. Уравнение (10.8) се нарича уравнение на права линия, минаваща през дадена точка перпендикулярно на даден вектор. Вектор, перпендикулярен на права, се нарича нормален вектор на тази права. Уравнение (10.8) може да бъде пренаписано като където A и B са координатите на нормалния вектор и е свободният член. Уравнение (10.9) е общото уравнение на права линия (виж (10.4)). Полярно уравнение на права За всяка точка на дадена линия имаме: От друга страна, следователно Полученото уравнение (10.10) е уравнението на права линия в полярни координати. Нормално уравнение на права Нека правата се определи чрез задаване на p и α (виж Фиг. 45). Помислете за правоъгълна координатна система. Нека представим полярната система, като вземем полюса и полярната ос. Уравнението на права линия може да бъде написано като Но поради формулите, свързващи правоъгълни и полярни координати, имаме: , . Следователно уравнението (10.10) на права линия в правоъгълна координатна система приема формата Уравнение (10.11) се нарича нормално уравнение на права. Нека умножим всички членове на уравнение (10.4) по някакъв коефициент. Ще го вземем. Това уравнение трябва да се превърне в уравнение (10.11). Следователно трябва да са изпълнени равенствата: , , . От първите две равенства намираме, т.е. д. Тази статия е продължение на раздела за прави в равнина. Тук преминаваме към алгебричното описание на права линия, използвайки уравнението на права линия. Материалът в тази статия е отговор на въпросите: „Кое уравнение се нарича уравнение на права и каква форма има уравнението на права върху равнина?“ Навигация в страницата. Нека Oxy е фиксиран върху равнината и в нея е зададена права линия. Правата линия, както всяка друга геометрична фигура, се състои от точки. Във фиксираната правоъгълна координатна система всяка точка от права има свои координати - абциса и ордината. И така, връзката между абсцисата и ординатата на всяка точка от права във фиксирана координатна система може да бъде дадена чрез уравнение, което се нарича уравнение на права в равнина. С други думи, уравнение на права в равнинав правоъгълната координатна система Oxy има някакво уравнение с две променливи x и y, което се превръща в идентичност, когато координатите на която и да е точка от тази права се заменят в него. Остава да се справим с въпроса каква форма има уравнението на права линия в равнина. Отговорът на този въпрос се съдържа в следващия параграф на статията. Гледайки напред, отбелязваме, че има различни форми на писане на уравнението на права линия, което се обяснява със спецификата на решаваните задачи и метода за определяне на права линия в равнина. И така, нека започнем с преглед на основните видове уравнения на права линия в равнина. Видът на уравнението на права линия в правоъгълната координатна система Oxy върху равнината се дава от следната теорема. Теорема. Всяко уравнение от първа степен с две променливи x и y от формата, където A, B и C са някои реални числа, а A и B не са равни на нула едновременно, определя права линия в правоъгълна координатна система Oxy в равнината и всяка права линия в равнината е дадена от вида на уравнението Уравнението Нека обясним значението на теоремата. Дадено е уравнение от формата Вижте чертежа. От една страна, можем да кажем, че тази линия се определя от общото уравнение на линията на формата Общото уравнение на права линия се нарича пълен, ако всички числа A, B и C са различни от нула, в противен случай се извиква общото уравнение на права непълна. Непълно уравнение на линия от формата определя права, минаваща през началото на координатите. Когато A=0 уравнението Така всяка права линия в равнина в дадена правоъгълна координатна система Oxy може да бъде описана с помощта на общото уравнение на права линия за определен набор от стойности на числа A, B и C. Нормален вектор на права, даден от общо уравнение на правата на формата Всички уравнения на линии, които са дадени в следващите параграфи на тази статия, могат да бъдат получени от общото уравнение на линия и могат също да бъдат редуцирани обратно до общото уравнение на линия. Препоръчваме тази статия за по-нататъшно проучване. Там е доказана теоремата, формулирана в началото на този параграф на статията, дадени са графични илюстрации, подробно са анализирани решения на примери за съставяне на общо уравнение на линия, преходът от общо уравнение на права към уравнения на показан е друг вид и гръб, като са разгледани и други характерни проблеми. Извиква се уравнение на права линия от формата , където a и b са някои реални числа, различни от нула уравнение на права линия в сегменти. Това име не е случайно, тъй като абсолютните стойности на числата a и b са равни на дължините на сегментите, които правата линия отрязва съответно на координатните оси Ox и Oy (сегментите се измерват от началото на координати). По този начин уравнението на линия в сегменти улеснява конструирането на тази линия в чертеж. За да направите това, трябва да маркирате точките с координати и в правоъгълна координатна система на равнината и с линийка да ги свържете с права линия. Например, нека построим права линия, дадена от уравнение в сегменти от формата . Маркиране на точките Можете да получите подробна информация за този тип уравнение на права върху равнина в статията. Праволинейно уравнение от формата, където x и y са променливи, а k и b са някои реални числа, се нарича уравнение на права линия с наклон(k е наклонът). Ние сме добре запознати с уравненията на права линия с ъглов коефициент от курс по алгебра в гимназията. Този тип линейно уравнение е много удобно за изследване, тъй като променливата y е явна функция на аргумента x. Дефиницията на ъгловия коефициент на права линия се дава чрез определяне на ъгъла на наклона на правата спрямо положителната посока на оста Ox. Определение.
Ъгълът на наклона на правата спрямо положителната посока на абсцисната осв дадена правоъгълна декартова координатна система Oxy е ъгълът, измерен от положителната посока на оста Ox към дадената права линия обратно на часовниковата стрелка. Ако правата линия е успоредна на оста x или съвпада с нея, тогава нейният ъгъл на наклон се счита за равен на нула. Определение.
Директен наклоне тангенса на ъгъла на наклон на тази права линия, т.е. Ако правата е успоредна на ординатната ос, тогава наклонът отива до безкрайност (в този случай също казват, че наклонът не съществува). С други думи, не можем да напишем уравнение на права с наклон за права, успоредна или съвпадаща с оста Oy. Обърнете внимание, че правата линия, определена от уравнението, минава през точка на ординатната ос. По този начин уравнението на права линия с ъглов коефициент определя на равнината права линия, минаваща през точка и образуваща ъгъл с положителната посока на оста x, и . Като пример, нека изобразим права линия, определена от уравнение от формата . Тази линия минава през точка и има наклон Имайте предвид, че е много удобно да търсите точно под формата на уравнение на права линия с ъглов коефициент. Канонично уравнение на права върху равнинав правоъгълна декартова координатна система Oxy има формата Очевидно правата, определена от каноничното уравнение на правата, минава през точката. От своя страна числата и в знаменателите на дробите представляват координатите на вектора на посоката на тази линия. По този начин каноничното уравнение на права в правоъгълната координатна система Oxy на равнината съответства на права, минаваща през точка и имаща насочващ вектор. Например, нека начертаем права линия в равнината, съответстваща на каноничното уравнение на правата линия на формата Каноничното уравнение на права линия се използва дори когато едно от числата или е равно на нула. В този случай записът се счита за условен (тъй като съдържа нула в знаменателя) и трябва да се разбира като В статията са събрани подробна информация за уравнението на права линия в канонична форма, както и подробни решения на типични примери и задачи. Параметрични уравнения на права върху равнинаизглежда като Параметричните линейни уравнения установяват имплицитна връзка между абсцисите и ординатите на точки на права линия с помощта на параметър (оттук и името на този тип линейно уравнение). Двойка числа, които се изчисляват от параметричните уравнения на права за някаква реална стойност на параметъра, представляват координатите на определена точка от правата. Например, когато имаме Трябва да се отбележи, че коефициентите и за параметъра в параметричните уравнения на права линия са координатите на вектора на посоката на тази права линия. В предишния материал разгледахме основните моменти по темата за права линия в равнина. Сега нека преминем към изучаването на уравнението на права линия: нека разгледаме кое уравнение може да се нарече уравнение на права линия, както и каква форма има уравнението на права линия в равнина. Да приемем, че има права линия, която е зададена в правоъгълна декартова координатна система O x y. Определение 1 Правае геометрична фигура, която се състои от точки. Всяка точка има свои координати по абсцисната и ординатната ос. Уравнение, което описва зависимостта на координатите на всяка точка от права в декартовата система O x y, се нарича уравнение на права върху равнина. Всъщност уравнението на права върху равнина е уравнение с две променливи, които се означават като x и y. Уравнението се превръща в идентичност, когато стойностите на която и да е от точките на правата се заменят в него. Нека да видим как ще изглежда уравнението на права линия в равнина. Целият следващ раздел на нашата статия ще бъде посветен на това. Имайте предвид, че има няколко опции за записване на уравнението на права линия. Това се обяснява с наличието на няколко начина за определяне на права линия в равнина, а също и с различната специфика на задачите. Нека се запознаем с теоремата, която уточнява вида на уравнението на права върху равнина в декартовата координатна система O x y. Теорема 1 Уравнение от формата A x + B y + C = 0, където x и y са променливи, а A, B и C са някои реални числа, от които A и B не са равни на нула, определя права линия в Декартова координатна система O x y. От своя страна всяка права линия в равнината може да бъде определена чрез уравнение от вида A x + B y + C = 0. Така общото уравнение на права линия в равнина има формата A x + B y + C = 0. Нека обясним някои важни аспекти на темата. Пример 1 Погледни снимката. Линията на чертежа се определя от уравнение от формата 2 x + 3 y - 2 = 0, тъй като координатите на всяка точка, която съставлява тази линия, отговарят на даденото уравнение. В същото време определен брой точки на равнината, определени от уравнението 2 x + 3 y - 2 = 0, ни дават правата линия, която виждаме на фигурата. Общото уравнение на правата може да бъде пълно или непълно. В пълното уравнение всички числа A, B и C са различни от нула. Във всички останали случаи уравнението се счита за непълно. Уравнение от формата A x + B y = 0 определя права линия, която минава през началото. Ако A е равно на нула, тогава уравнението A x + B y + C = 0 определя права линия, успоредна на абсцисната ос O x. Ако B е равно на нула, тогава правата е успоредна на ординатната ос O y. Заключение: за определен набор от стойности на числа A, B и C, използвайки общото уравнение на права линия, можете да запишете всяка права линия в равнина в правоъгълната координатна система O x y. Права, дефинирана от уравнение от формата A x + B y + C = 0, има нормален вектор с координати A, B. Всички дадени уравнения на линиите, които ще разгледаме по-долу, могат да бъдат получени от общото уравнение на линия. Възможен е и обратният процес, когато всяко от разглежданите уравнения може да се сведе до общото уравнение на правата линия. Можете да разберете всички нюанси на темата в статията „Общо уравнение на права линия“. В материала предоставяме доказателство на теоремата с графични илюстрации и подробен анализ на примери. Особено внимание в статията се отделя на преходите от общото уравнение на линия към уравнения от друг тип и обратно. Уравнението на права линия в сегменти има формата x a + y b = 1, където a и b са някои реални числа, които не са равни на нула. Абсолютните стойности на числата a и b са равни на дължината на сегментите, които са отрязани от права линия на координатните оси. Дължината на сегментите се измерва от началото. Благодарение на уравнението можете лесно да начертаете права линия в чертежа. За да направите това, трябва да маркирате точки a, 0 и 0, b в правоъгълна координатна система и след това да ги свържете с права линия. Пример 2 Нека построим права линия, която е дадена с формулата x 3 + y - 5 2 = 1. Отбелязваме две точки на графиката 3, 0, 0, - 5 2 и ги свързваме заедно. Тези уравнения, имащи формата y = k · x + b, трябва да са ни добре познати от курса по алгебра. Тук x и y са променливи, k и b са някои реални числа, от които k представлява наклона. В тези уравнения променливата y е функция на аргумента x. Нека дефинираме ъгловия коефициент, като определим ъгъла на наклона на правата спрямо положителната посока на оста O x. Определение 2 За да обозначим ъгъла на наклона на правата към положителната посока на оста O x в декартовата координатна система, въвеждаме стойността на ъгъла α. Ъгълът се измерва от положителната посока на оста x към правата линия обратно на часовниковата стрелка. Ъгъл α се счита за равен на нула, ако правата е успоредна на оста O x или съвпада с нея. Наклонът на права е тангенса на ъгъла на наклона на тази права. Това се записва по следния начин: k = t g α. За права линия, която е успоредна на оста O y или съвпада с нея, не е възможно да се запише уравнението на правата линия с ъглов коефициент, тъй като ъгловият коефициент в този случай се превръща в безкрайност (не съществува) . Правата линия, която е дадена от уравнението y = k x + b, минава през точката 0, b на ординатата. Това означава, че уравнението на права линия с ъглов коефициент y = k x + b определя права линия в равнината, която минава през точка 0, b и образува ъгъл α с положителната посока на оста O x и k = t g α. Пример 3 Нека начертаем права линия, която се определя от уравнение от вида y = 3 · x - 1. Тази линия трябва да минава през точката (0, - 1). Ъгълът на наклон α = a r c t g 3 = π 3 е равен на 60 градуса спрямо положителната посока на оста O x. Наклонът е 3 Моля, имайте предвид, че като използвате уравнението на права линия с коефициент на наклон, е много удобно да търсите уравнението на допирателната към графиката на функция в точка. Повече материали по темата можете да намерите в статията „Уравнение на права с ъглов коефициент“. В допълнение към теорията има голям брой графични примери и подробен анализ на проблемите. Този тип уравнение има формата x - x 1 a x = y - y 1 a y, където x 1, y 1, a x, a y са някои реални числа, от които a x и a y не са равни на нула. През точката M 1 (x 1, y 1) минава права линия, определена от каноничното уравнение на права. Числата a x и a y в знаменателите на дробите представляват координатите на насочващия вектор на правата линия. Това означава, че каноничното уравнение на права линия x - x 1 a x = y - y 1 a y в декартовата координатна система O x y съответства на права, минаваща през точката M 1 (x 1, y 1) и имаща насочващ вектор a → = (a x, a y) . Пример 4 Нека начертаем права линия в координатната система O x y, която е дадена от уравнението x - 2 3 = y - 3 1. Точка M 1 (2, 3) принадлежи на правата линия, вектор a → (3, 1) е насочващият вектор на тази права линия. Каноничното уравнение на права линия от вида x - x 1 a x = y - y 1 a y може да се използва в случаите, когато a x или a y е равно на нула. Наличието на нула в знаменателя прави записа x - x 1 a x = y - y 1 a y условен. Уравнението може да бъде написано по следния начин: a y (x - x 1) = a x (y - y 1) . В случай, че a x = 0, каноничното уравнение на права приема формата x - x 1 0 = y - y 1 a y и определя права линия, която е успоредна на ординатната ос или съвпада с тази ос. Каноничното уравнение на права линия, при условие че a y = 0, приема формата x - x 1 a x = y - y 1 0. Това уравнение определя права линия, разположена успоредно на или съвпадаща с оста x. Вижте още материали по темата за каноничното уравнение на правата тук. В статията предлагаме редица решения на проблеми, както и множество примери, които ви позволяват да овладеете по-добре темата. Тези уравнения имат формата x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ, където x 1, y 1, a x, a y са някои реални числа, от които a x и a y не могат да бъдат равни на нула едновременно време. Във формулата се въвежда допълнителен параметър λ, който може да приеме произволна реална стойност. Целта на параметричното уравнение е да се установят неявни зависимости между координатите на точки на права линия. Ето защо е въведен параметърът λ. Числата x, y представляват координатите на някаква точка от правата. Те се изчисляват с помощта на параметричните уравнения на правата за определена реална стойност на параметъра λ. Пример 5 Да приемем, че λ = 0. Тогава x = x 1 + a x 0 y = y 1 + a y 0 ⇔ x = x 1 y = y 1, т.е. точката с координати (x 1, y 1) принадлежи на правата. Обръщаме внимание на факта, че коефициентите a x и a y за параметъра λ в този тип уравнения представляват координатите на насочващия вектор на правата. Пример 6 Нека разгледаме параметрични уравнения на права линия от вида x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ. Правата, определена от уравненията в декартовата координатна система, минава през точката (x 1, y 1) и има насочващ вектор a → = (3, 1). Намерете повече информация в статията „Параметрични уравнения на права върху равнина“. Нормалното уравнение на права има формата A x + B y + C = 0, където числата A, B и C са такива, че дължината на вектора n → = (A, B) е равна на единица, и C ≤ 0. Нормалният вектор на права, определен от нормалното уравнение на права в правоъгълна координатна система O x y, е векторът n → = (A, B). Тази права минава на разстояние C от началото по посока на вектора n → = (A, B). Друг начин да се напише нормалното уравнение на права линия е cos α x + cos β y - p = 0, където cos α и cos β са две реални числа, които представляват насочващите косинуси на вектор на нормална линия с единична дължина. Това означава, че n → = (cos α, cos β), равенството n → = cos 2 α + cos 2 β = 1 е вярно, стойността p ≥ 0 и е равна на разстоянието от началото до правата линия. Пример 7 Разгледайте общото уравнение на правата - 1 2 · x + 3 2 · y - 3 = 0. Това общо уравнение на права е нормално уравнение на права, тъй като n → = A 2 + B 2 = - 1 2 2 + 3 2 = 1 и C = - 3 ≤ 0. Уравнението определя права линия в декартовата координатна система 0xy, чийто нормален вектор има координати - 1 2, 3 2. Линията се отдалечава от началото с 3 единици по посока на нормалния вектор n → = - 1 2, 3 2. Обръщаме внимание на факта, че нормалното уравнение на права в равнина ви позволява да намерите разстоянието от точка до права в равнина. Ако в общото уравнение на правата A x + B y + C = 0 числата A, B и C са такива, че уравнението A x + B y + C = 0 не е нормално уравнение на правата, тогава то може да бъдат приведени до нормален вид. Прочетете повече за това в статията „Нормално уравнение на права“. Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
(10.2)
не съществува.
(10.4)
. Това е уравнението на права линия с ъглов коефициент 
|.
(10.5)
(10.6)
(10.7)
Нека правата пресича оста Ox в точката и оста Oy в точката (виж Фиг. 42). В този случай уравнението (10.7) ще приеме формата
Нека вземем произволна точка M(x;y) на правата и да разгледаме вектора (виж Фиг. 43). Тъй като векторите и са перпендикулярни, тяхното скаларно произведение е равно на нула: , т.е
(10.9)
Нека намерим уравнението на права линия в полярни координати. Неговата позиция може да се определи чрез посочване на разстоянието ρ от полюса O до дадена права линия и ъгъла α между полярната ос OP и оста л, минаваща през полюса O перпендикулярно на тази линия (виж фиг. 44).
(10.10)
(10.11)
Нека покажем как да редуцираме уравнение (10.4) на права линия до формата (10.11).
. Факторът λ се нарича нормализиращ фактор. Съгласно третото равенство знакът на нормиращия фактор е противоположен на знака на свободния член C на общото уравнение на правата.Уравнение на права върху равнина - определение.
Общо уравнение на права линия.
.
Наречен общо уравнение на праватана повърхността.съответства на права линия на равнина в дадена координатна система, а права линия на равнина в дадена координатна система съответства на уравнение на права линия от формата .
, тъй като координатите на всяка точка от изобразената линия удовлетворяват това уравнение. От друга страна, множеството точки в равнината, дефинирана от уравнението , дайте ни правата линия, показана на чертежа.задава права, успоредна на абсцисната ос Ox, а при B=0 – успоредна на ординатната ос Oy., има координати .Уравнение на права линия в отсечки.
и ги свържете.
Уравнение на права с ъглов коефициент.
радиани (60 градуса) спрямо положителната посока на оста Ox. Неговият наклон е равен на .
Канонично уравнение на права върху равнина.
, където и са някои реални числа, като същевременно не са равни на нула.
. Очевидно точката принадлежи на правата, а векторът е векторът на посоката на тази права.
. Ако , тогава каноничното уравнение приема формата 
и определя права линия, успоредна на ординатната ос (или съвпадаща с нея). Ако , тогава каноничното уравнение на правата приема формата 
и определя права линия, успоредна на оста x (или съвпадаща с нея).Параметрични уравнения на права върху равнина.
, където и са някои реални числа, и в същото време не са равни на нула, и е параметър, който приема всякакви реални стойности.
, тоест точката с координати лежи на права линия.Определяне на уравнението на права върху равнина
Параметрични уравнения на права върху равнина
