Тригонометрия в медицината. Тригонометрията в различни области на човешкия живот

Павлов Роман

Връзката на тригонометрията с външния свят, значението на тригонометрията при решаването на много практически проблеми и графичните възможности на тригонометричните функции позволяват да се „материализират“ знанията на учениците. Това ви позволява да разберете по-добре жизненоважната необходимост от знанията, придобити чрез изучаването на тригонометрията, и повишава интереса към изучаването на тази тема.

Изтегли:

Преглед:

Общинско бюджетно учебно заведение

средно училище No10

със задълбочено изучаване на отделните предмети

Завършен проект:

Павлов Роман

ученик от 10 б клас

Ръководител:

учител по математика

Болдирева Н.А.

Елец, 2012 г

1. Въведение.

3. Светът на тригонометрията.

• Тригонометрия във физиката.

• Тригонометрия в планиметрията.

3.2 Графични представяния на трансформацията на „малко интересни“ тригонометрични функции в оригинални криви(с помощта на компютърната програма „Функции и графики“).

• Криви в полярни координати (розети).
• Криви в декартови координати (криви на Лисажу).
• Математически орнаменти.

4. Заключение.

5. Списък с литература.

Цел на проекта - развитие на интерес към изучаването на темата "Тригонометрия" в курса по алгебра и началото на анализа през призмата на приложната стойност на изучавания материал; разширяване на графични изображения, съдържащи тригонометрични функции; използването на тригонометрията в науки като физика и биология. Той играе важна роля и в медицината, а най-интересното е, че дори музиката и архитектурата не могат без него.

Обект на изследване- тригонометрия

Предмет на изследване- приложна тригонометрия; графики на някои функции с помощта на тригонометрични формули.

Цели на изследването:

1. Помислете за историята на появата и развитието на тригонометрията.

2. Покажете практически приложения на тригонометрията в различни науки, като използвате конкретни примери.

3. Използвайки конкретни примери, разкрийте възможностите за използване на тригонометрични функции, които позволяват превръщането на „малко интересни“ функции във функции, чиито графики имат много оригинален външен вид.

Хипотеза – предположения: Връзката на тригонометрията с външния свят, значението на тригонометрията при решаването на много практически проблеми и графичните възможности на тригонометричните функции позволяват да се „материализират“ знанията на учениците. Това ви позволява да разберете по-добре жизненоважната необходимост от знанията, придобити чрез изучаването на тригонометрията, и повишава интереса към изучаването на тази тема.

Изследователски методи- анализ на математическа литература по тази тема; подбор на конкретни приложни задачи по тази тема; компютърно моделиране на базата на компютърна програма. Отворена математика “Функции и графики” (Physikon).

1. Въведение

„Едно нещо остава ясно: светът е структуриран

Ужасно и красиво."

Н.Рубцов

Тригонометрията е дял от математиката, който изучава връзките между ъглите и дължините на страните на триъгълниците, както и алгебричните идентичности на тригонометричните функции. Трудно е да си представим, но ние се сблъскваме с тази наука не само в часовете по математика, но и в ежедневието си. Може би не сте подозирали, но тригонометрията се намира в такива науки като физика, биология, тя играе важна роля в медицината и най-интересното е, че дори музиката и архитектурата не могат без нея. Задачите с практическо съдържание играят съществена роля за формирането на умения за прилагане на теоретичните знания, придобити при изучаването на математика, на практика. Всеки студент по математика се интересува как и къде се прилагат придобитите знания. Тази работа дава отговор на този въпрос.

2. История на развитието на тригонометрията.

Думата тригонометрия се състои от две гръцки думи: τρίγονον (тригонон-триъгълник) и и μετρειν (metrein-за измерване) буквално преведено означаваизмерване на триъгълници.

Именно това е задачата за измерване на триъгълници или, както се казва сега, решаване на триъгълници, т.е. определянето на всички страни и ъгли на триъгълник от неговите три известни елемента (страна и два ъгъла, две страни и ъгъл или три страни) е в основата на практическите приложения на тригонометрията от древни времена.

Както всяка друга наука, тригонометрията произлиза от човешката практика, в процеса на решаване на конкретни практически проблеми. Първите етапи от развитието на тригонометрията са тясно свързани с развитието на астрономията. Развитието на астрономията и тясно свързаната с нея тригонометрия беше силно повлияно от нуждите на развиващата се навигация, която изискваше способността за правилно определяне на курса на кораба в открито море по позицията на небесните тела. Значителна роля в развитието на тригонометрията изигра необходимостта от съставяне на географски карти и тясно свързаната с това необходимост от правилно определяне на големи разстояния на земната повърхност.

Трудовете на древногръцкия астроном са от основно значение за развитието на тригонометрията в епохата на нейното началоХипарх (средата на 2 век пр.н.е.). Тригонометрията като наука, в съвременния смисъл на думата, не беше самоХипарх, но и сред други древни учени, тъй като те все още нямаха представа за функциите на ъглите и дори не повдигнаха като цяло въпроса за връзката между ъглите и страните на триъгълника. Но по същество, използвайки познатите им средства на елементарната геометрия, те решават проблемите, с които се занимава тригонометрията. В този случай основното средство за получаване на желаните резултати беше способността да се изчисляват дължините на кръгови хорди въз основа на известните връзки между страните на правилните триъгълници, четириъгълници, петоъгълници и десетоъгълници и радиуса на описаната окръжност.

Хипарх съставя първите таблици на акордите, т.е. таблици, изразяващи дължините на хордите за различни централни ъгли в окръжност с постоянен радиус. По същество това бяха таблици с двойни синуси на половин централен ъгъл. Оригиналните таблици на Хипарх обаче (както почти всичко, написано от него) не са достигнали до нас и можем да добием представа за тях главно от произведението „Великото строителство“ или (в арабски превод) „Алмагест“ на известнияастроном Клавдий Птолемей, който е живял в средата на 2 век сл. н. е.

Птолемей разделя кръга на 360 градуса, а диаметъра на 120 части. Той смята, че радиусът е 60 части (60 ). Той раздели всяка част на 60 , всяка минута за 60 ,втора за 60 трети (60 ) и т.н., използвайки посоченото деление, Птолемей изрази страната на правилен вписан шестоъгълник или хорда, обхващаща дъга от 60 под формата на 60 части радиус (60ч ), а страната на вписания квадрат или хорда е 90 приравни числото 84 h 51  10  Хорда при 120  - страната на вписан равностранен триъгълник - той изрази числото 103 h 55  23  и т.н. За правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на диаметъра на окръжността, той написа въз основа на Питагоровата теорема: (хорд ) 2 + (хорда  180-  ) 2 = (диаметър) 2 , което отговаря на съвременната формула sin 2  +cos 2  =1.

"Almagest" съдържа таблица с акорди на половин градус от 0 до 180  , което от нашата съвременна гледна точка представлява таблица със синуси за ъгли от 0 до 90  всяка четвърт от градуса.

Всички тригонометрични изчисления сред гърците се основават на теоремата на Птолемей, известна на Хипарх.: „правоъгълник, изграден върху диагоналите на четириъгълник, вписан в окръжност, е равен на сбора от правоъгълниците, изградени от противоположните страни“(т.е. произведението на диагоналите е равно на сбора от продуктитепротивоположни страни). Използвайки тази теорема, гърците са успели (използвайки Питагоровата теорема) да изчислят хордата на сумата (или хордата на разликата) на тези ъгли или хордата на половината от даден ъгъл, т.е. успяхме да получим резултатите, които сега получаваме, използвайки формулите за синус от сбора (или разликата) на два ъгъла или половин ъгъл.

Нови стъпки в развитието на тригонометрията са свързани с развитието на математическата култура на народитеИндия, Централна Азия и Европа (V-XII).

Важна крачка напред в периода от 5-ти до 12-ти век е направена от индусите, които, за разлика от гърците, започват да вземат предвид и да използват в изчисленията вече не целия акорд на М.М. (вижте чертежа) на съответния централен ъгъл, но само неговата половина MR, т.е. това, което сега наричаме синусова линия - половината от централния ъгъл.

Заедно със синуса, индийците въведоха косинуса в тригонометрията, по-точно те започнаха да използват косинусовата линия в своите изчисления. (Самият термин косинус се появява много по-късно в трудовете на европейски учени за първи път в края на 16 век от така наречения „синус на допълнението“, т.е. синусът на ъгъл, който допълва даден ъгъл до 90 . „Синусът на комплемента“ или (на латински) sinus complementi започва да се съкращава като sinus co или co-sinus).

Те също знаеха отношенията cos =sin(90  - ) и sin 2  +cos 2  =r 2 , както и формули за синус на сбора и разликата на два ъгъла.

Следващият етап от развитието на тригонометрията е свързан със страните

Централна Азия, Близък изток, Закавказие (VII-XV век)

Развивайки се в тясна връзка с астрономията и географията, средноазиатската математика имаше подчертан „изчислителен характер“ и беше насочена към решаване на приложни проблеми на измервателната геометрия и тригонометрия, а тригонометрията се формира като специална математическа дисциплина до голяма степен в трудовете на учени от Централна Азия. Сред най-важните успехи, които постигнаха, трябва преди всичко да отбележим въвеждането на всичките шест тригонометрични линии: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс, от които само първите две са били известни на гърците и индусите.

Решаване на проблема за определяне на височината на Слънцето S от сянката b на вертикален стълб a (вижте чертежа),сирийски астроном ал-Батани(Хв.) дойде до заключението, че острия ъгъл в правоъгълен триъгълник се определя от съотношението на единия катет към другия и се изчислява малка таблица на котангенсите в 1 . По-точно, той изчислява дължината на сянката b=a =a  ctg  стълб с определена дължина (а=12) за =1  ,2  ,3  ……

Абу-л-Вафа от Хоросан, живял през 10 век (940-998 г.), съставил подобна „таблица на допирателните”, т.е. изчислява дължината на сянката b=a =a  tg  , хвърлен от хоризонтален прът с определена дължина (a=60) върху вертикална стена (виж чертежа).

Трябва да се отбележи, че самите термини „тангенс“ (буквално преведено като „докосване“) и „котангенс“ произхождат от латинския език и се появяват в Европа много по-късно (XVI-XVII век). Централноазиатските учени нарекоха съответните линии „сенки“: котангенс - „първа сянка“, тангенс - „втора сянка“.

Абу-л-Вафа даде напълно точно геометрично определение на допирателната в тригонометричната окръжност и добави секанса и косеканса към допирателната и котангенса. Той също така изрази (устно) алгебрични зависимости между всички тригонометрични функции и по-специално за случая, когато радиусът на окръжност е равен на единица. Този изключително важен случай е разгледан от европейски учени 300 години по-късно. Накрая Абул-Вафа състави таблица на синусите на всеки 10 .

В трудовете на средноазиатски учени тригонометрията се превръща от наука, обслужваща астрономията, в специална математическа дисциплина със самостоятелен интерес.

Тригонометрията се отделя от астрономията и става самостоятелна наука. Този отдел обикновено се свързва с името на азербайджанския математикНасиреддин Туси (1201-1274).

За първи път в европейската наука е дадено хармонично представяне на тригонометрията в книгата „За триъгълниците от различни видове“, написана отЙохан Мюлер, по-известен в математиката катоРегиомонтана (1436-1476).В него той обобщава методите за решаване на правоъгълни триъгълници и дава таблици на синусите с точност до 0,0000001. Забележителното е, че той приема радиуса на окръжността за равен на 10 000 000 или 10 000, т.е. изрази стойностите на тригонометричните функции в десетични дроби, като всъщност се премести от шестдесетичната бройна система към десетичната.

Английски учен от 14 векБрадвардин (1290-1349)е първият в Европа, който въвежда в тригонометричните изчисления котангенса, наречен "директна сянка", и тангенса, наречен "обратна сянка".

На прага на 17 век. В развитието на тригонометрията се заражда ново направление – аналитичното. Ако преди това основната цел на тригонометрията се смяташе за решаване на триъгълници, изчисляването на елементите на геометричните фигури и учението за тригонометричните функции бяха изградени на геометрична основа, то през 17-19 век. тригонометрията постепенно се превръща в една от главите на математическия анализ. Знаех и за свойствата на периодичност на тригонометричните функцииВиет, чиито първи математически изследвания са свързани с тригонометрията.

швейцарски математикЙохан Бернули (1642-1727)вече използва символите на тригонометричните функции.

През първата половина на 19в. френски ученЖ. Фурие доказа, че всяко периодично движение може да бъде представено като сума от прости хармонични трептения.

Работата на известния петербургски академик е от голямо значение в историята на тригонометриятаЛеонхард Ойлер (1707-1783),той даде модерен облик на цялата тригонометрия.

В своя труд „Въведение в анализа“ (1748 г.) Ойлер развива тригонометрията като наука за тригонометричните функции, дава й аналитично представяне, извеждайки целия набор от тригонометрични формули от няколко основни формули.

Ойлер отговаря за окончателното решение на въпроса за знаците на тригонометричните функции във всички четвъртини на окръжността и извеждането на формули за редукция за общи случаи.

След въвеждането на нови тригонометрични функции в математиката, стана уместно да се повдигне въпросът за разширяването на тези функции в безкрайна серия. Оказва се, че такива разширения са възможни:

Sinx=x-

Cosx=1-

Тези серии правят много по-лесно съставянето на таблици с тригонометрични величини и намирането им с всякаква степен на точност.

Аналитичното изграждане на теорията на тригонометричните функции, започнато от Ойлер, беше завършено в работитеН. И. Лобачевски, Гаус, Коши, Фурие и др.

„Геометричните съображения“, пише Лобачевски, „са необходими до началото на тригонометрията, докато послужат за откриване на отличителните свойства на тригонометричните функции... Оттук тригонометрията става напълно независима от геометрията и има всички предимства на анализа.“

Днес тригонометрията вече не се счита за самостоятелен дял от математиката. Най-важната му част, учението за тригонометричните функции, е част от по-общо учение за функциите, изучавани в математическия анализ, изградени от единна гледна точка; другата част, решението на триъгълници, се счита за глава от геометрията.

3. Светът на тригонометрията.

3.1 Приложение на тригонометрията в различни науки.

Тригонометричните изчисления се използват в почти всички области на геометрията, физиката и инженерството.

От голямо значение е техниката на триангулацията, която позволява да се измерват разстоянията до близките звезди в астрономията, между ориентирите в географията и да се контролират сателитните навигационни системи. Заслужават внимание приложенията на тригонометрията в следните области: навигационни технологии, музикална теория, акустика, оптика, анализ на финансовите пазари, електроника, теория на вероятностите, статистика, биология, медицина (включително ултразвук), компютърна томография, фармацевтика, химия, теория на числата, сеизмология, метеорология, океанология, картография, много клонове на физиката, топография, геодезия, архитектура, фонетика, икономика, електронно инженерство, машинно инженерство, компютърна графика, кристалография.

Тригонометрия във физиката.

Хармонични вибрации.

Когато една точка се движи по права линия последователно в една или друга посока, се казва, че точката правифлуктуации.

Един от най-простите видове трептения е движението по оста на проекцията на точка М, която се върти равномерно в кръг. Законът на тези трептения има формата x=Rcos(t+ ), (1).

където R е радиусът на окръжността, T е времето за едно завъртане на точка M и числото показва началната позиция на точка от окръжността. Такива трептения се наричат ​​хармонични или синусоидални.

От равенството (1) става ясно, че амплитудата на хармоничните трептения е равна на радиуса на окръжността, по която се движи точка М, а честотата на тези трептения е равна на .

Обикновено вместо тази честота смятамециклична честота = , показваща ъгловата скорост на въртене, изразена в радиани за секунда. В тази нотация имаме: x= R cos( t+ ). (2)

Извиква се числото  начална фаза на трептене.

Изследването на вибрации от всякакъв вид е важно просто защото се сблъскваме с осцилаторни движения или вълни много често в света около нас и ги използваме с голям успех (звукови вълни, електромагнитни вълни).

Механични вибрации.

Механичните вибрации са движения на тела, които се повтарят точно (или приблизително) на равни интервали от време. Примери за прости осцилационни системи са товар върху пружина или махало. Да вземем, например, тежест, окачена на пружина (вижте фигурата) и я натиснете надолу. Теглото ще започне да се колебае нагоре и надолу. Както показват изчисленията, отклонението на тежестта от равновесното положение се изразява с формулата s=грях  t.

Тук v 0 - скоростта, с която избутахме тежестта, и = , където m е масата на тежестта, k е твърдостта на пружината (силата, необходима за разтягане на пружината с 1 cm).

Ако първо изтеглим тежестта обратно до s 0 cm и след това го натиснете със скорост v 0 , тогава ще осцилира според по-сложен закон: s=Asin( t+  ) (2).

Изчисленията показват, че амплитудата A на това трептене е равна на, а числото е такова, че tg = . Поради срока това колебание е различно от колебанието s=Asin т.

Графиката на колебание (2) се получава от графиката на колебание (1) чрез изместване наляво

На . Номер  наречена начална фаза.

Трептения на махалото.

Махалото също се колебае приблизително по синусоидален закон. Удобно е да се разгледа графично представяне на тази функция, което дава визуално представяне на хода на колебателния процес във времето, като се използва моделът на махалото на програмата „Функции и графики“ (виж Приложение VIII).

Ако тези колебания са малки, тогава ъгълът на отклонение на махалото се изразява приблизително по формулата:

 =  0 sin(t ), където l е дължината на махалото, и 0 -начален ъгъл на отклонение. Колкото по-дълго е махалото, толкова по-бавно се люлее (това се вижда ясно на Фиг. 1-7, Приложение VIII). На фиг. 8-16, Приложение VIII можете ясно да видите как промяната в първоначалното отклонение влияе върху амплитудата на трептенията на махалото, докато периодът не се променя. Чрез измерване на периода на трептене на махало с известна дължина може да се изчисли ускорението на гравитацията g в различни точки на земната повърхност.

Разреждане на кондензатора.

Не само много механични вибрации възникват според синусоидален закон. А в електрическите вериги възникват синусоидални трептения. Така че във веригата, показана в горния десен ъгъл на модела, зарядът на кондензаторните пластини се променя според закона q = CU + (q 0 – CU ) cos ω t където C е капацитетът на кондензатора, U – напрежение при източника на ток,Л – индуктивност на бобината,- ъглова честота на трептенията във веригата.

Благодарение на модела на кондензатора, наличен в програмата „Функции и графики“, можете да зададете параметрите на осцилаторния кръг и да изградите съответните графики g(t) и I(t). Графики 1-4 ясно показват как напрежението влияе върху промяната на силата на тока и заряда на кондензатора и е ясно, че при положително напрежение зарядът също приема положителни стойности. Фигура 5-8 от Приложение IX показва, че при промяна на капацитета на кондензатора (при промяна на индуктивността на намотката на Фигура 9-14 от Приложение IX) и поддържане на други параметри постоянни, периодът на трептене се променя, т.е. честотата на колебанията на тока във веригата се променя и честотата на зареждане на кондензатора се променя.. (виж Приложение IX).

Как да свържете две тръби.

Дадените примери могат да създадат впечатлението, че синусоидите възникват само във връзка с трептения. Обаче не е така. Например, синусоидите се използват за свързване на две цилиндрични тръби под ъгъл една спрямо друга.За да свържете две тръби по този начин, трябва да ги отрежете под ъгъл.

Ако разгънете тръба, нарязана наклонено, тя ще се окаже, че е ограничена отгоре със синусоида. Можете да проверите това, като увиете свещ в хартия, разрежете я по диагонал и разгънете хартията. Следователно, за да получите равномерен разрез на тръбата, можете първо да изрежете металния лист отгоре по синусоида и да го навиете на тръба.

Теория на дъгата.

Теорията за дъгата е представена за първи път1637 от Рене Декарт. Той обяснява дъгите като явление, свързано с отразяването и пречупването на светлината в дъждовните капки.

Дъгата възниква, защото слънчевата светлина се пречупва от водни капчици, окачени във въздуха, съгласно закона за пречупване:

където n 1 =1, n 2 ≈1,33 са съответно показателите на пречупване на въздуха и водата, α е ъгълът на падане, а β е ъгълът на пречупване на светлината.

Северно сияние

Проникването на заредени частици от слънчевия вятър в горната атмосфера на планетите се определя от взаимодействието на магнитното поле на планетата със слънчевия вятър.

Силата, действаща върху заредена частица, движеща се в магнитно поле, се нарича силаЛоренц. То е пропорционално на заряда на частицата и векторното произведение на полето и скоростта на частицата

Задачи по тригонометрия с практическо съдържание.

Спираловидна линия.

Нека си представим, че правоъгълен триъгълник ABC (виж фигурата) с основа AC = е навит върху страничната повърхност на цилиндър с диаметър d d, така че основата да съвпада с обиколката на основата на цилиндъра. Тъй като AC = d, тогава точка C, след като целият триъгълник е увит върху страничната повърхност на цилиндъра, съвпада с точка A 1 , точка B ще заеме позиция B 1 върху образуващата A 1 B 1 цилиндър, а хипотенузата AB ще заеме определена позиция върху страничната повърхност на цилиндъра и ще приеме формата на спирала.

Имаме едно завъртане на спиралата. Дължината на крака BC (h) се нарича стъпка на спиралата. Ъгъл BAC ( ) се нарича ъгъл на спиралата. Нека намерим връзката между h, d и . От триъгълник ABC имаме h= dtg  ; получената формула ви позволява също да определите ъгъла на повдигане от данните h и d. tg = .

Определяне на коефициента на триене.

Тяло с тегло P е поставено върху наклонена равнина с ъгъл на наклон . Тялото под въздействието на собственото си тегло е изминало ускорено S за t секунди. Определете коефициента на триене k.

Решение.

Сила на натиск на тялото върху наклонена равнина =kPcos .

Силата, която дърпа тялото надолу, е равна на F=Psin -kPcos  =P(sin  -kcos  ).(1)

Ако тялото се движи по наклонена равнина, тогава ускорението a=.

От друга страна, ускорението a== =gF; следователно,.(2)

От равенства (1) и (2) следва, че g(sin -kcos  )= .

Следователно: k= =gtg  - .

Тригонометрия в планиметрията.

Основни формули за решаване на геометрични задачи чрез тригонометрия:

Sin²α=1/(1+ctg²α)=tg²α/(1+tg²α); cos²α=1/(1+tg²α)=ctg²α/(1+ctg²α);

Sin(α±β)=sinα*cosβ±cosα*sinβ; cos(α±β)=cosα*cos+sinα*sinβ.

Съотношението на страните и ъглите в правоъгълен триъгълник:

1. Катет на правоъгълен триъгълник е равен на произведението на другия катет и тангенса на срещуположния ъгъл.
2. Катет на правоъгълен триъгълник е равен на произведението на хипотенузата и синуса на съседния ъгъл.
3. Катетът на правоъгълен триъгълник е равен на произведението на хипотенузата и косинуса на прилежащия ъгъл.
4. Катет на правоъгълен триъгълник е равен на произведението на другия катет и котангенса на съседния ъгъл.

Задача 1: Върху страничните страни AB и CD на равнобедрения трапец ABCD са взети точки M и N така, че правата MN да е успоредна на основите на трапеца. Известно е, че във всеки от получените малки трапеци MBCN и AMND може да се впише окръжност, като радиусите на тези окръжности са равни съответно на r и R. Намерете основите AD и BC.

дадени: ABCD-трапец, AB=CD, MєAB,NєCD, ​​​​MN||AD, окръжност с радиус r и R може да бъде вписана съответно в трапеца MBCN и AMND.

Намерете: AD и BC.

Решение:

Нека O1 и O2 са центрове на окръжности, вписани в малки трапеци. Директен O1K||CD.

В ∆ O1O2K cosα =O2K/O1O2 = (R-r)/(R+r).

защото ∆O2FD е правоъгълен, тогава O2DF = α/2 => FD=R*ctg(α/2). защото AD=2DF=2R*ctg(α/2),

по подобен начин BC = 2r* tan(α/2).

Cos α = (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => (R-r)/(R+r)= (1-tg²(α/2))/(1+tg²(α /2)) => (1-r/R)/(1+r/R)= (1-tg²α/2)/(1+tg²(α/2)) => tg (α/2)=√ (r/R) => ctg(α/2)= √(R/r), тогава AD=2R*ctg(α/2), BC=2r*tg(α/2), намираме отговора.

Отговор: AD=2R√(R/r), BC=2r√(r/R).

Задача 2: В триъгълник ABC са известни страните b, c и ъгълът между медианата и височината, започваща от върха A. Изчислете лицето на триъгълник ABC.

дадени: ∆ ABC, AD-височина, AE-медиана, DAE=α, AB=c, AC=b.

Намерете: S∆ABC.

Решение:

Нека CE=EB=x, AE=y, AED=γ. По косинусовата теорема в ∆AEC b²=x²+y²-2xy*cosγ(1); и в ∆ACE чрез косинусовата теорема c²=x²+y²+2xy*cosγ(2). Изваждайки равенство 2 от 1, получаваме c²-b²=4xy*cosγ(3).

Т.К. S∆ABC=2S∆ACE=xy*sinγ(4), след това разделяйки 3 на 4 получаваме: (c²-b²)/S=4*ctgγ, но ctgγ=tgαb, следователно S∆ABC= (c²-b²) /4*tgα.

Отговор: (с²-b²)/4*tgα.

Тригонометрията в изкуството и архитектурата.

Архитектурата не е единствената област на науката, в която се използват тригонометрични формули. Повечето от композиционните решения и изграждането на чертежи се извършват именно с помощта на геометрията. Но теоретичните данни означават малко. Бих искал да дам пример за изграждането на една скулптура от френски майстор от Златния век на изкуството.

Пропорционалното съотношение в конструкцията на статуята беше идеално. Въпреки това, когато статуята беше издигната на висок пиедестал, тя изглеждаше грозна. Скулпторът не е взел предвид, че в перспектива, към хоризонта, много детайли са намалени и когато се гледа отдолу нагоре, вече не се създава впечатление за неговата идеалност. Бяха направени много изчисления, за да се гарантира, че фигурата от голяма височина изглежда пропорционална. Те се основават главно на метода на наблюдение, тоест приблизително измерване с око. Въпреки това, коефициентът на разлика в определени пропорции направи възможно фигурата да се доближи до идеала. По този начин, знаейки приблизителното разстояние от статуята до гледната точка, а именно от върха на статуята до очите на човека и височината на статуята, можем да изчислим синуса на ъгъла на падане на гледката с помощта на таблица ( можем да направим същото с долната гледна точка), като по този начин намерим точковото зрение (фиг. 1)

Ситуацията се променя (фиг. 2), тъй като статуята се издига на височина AC и NS се увеличава, можем да изчислим стойностите на косинуса на ъгъл C и от таблицата ще намерим ъгъла на падане на погледа . В процеса можете да изчислите AN, както и синуса на ъгъла C, което ще ви позволи да проверите резултатите, като използвате основната тригонометрична идентичност cos 2  + sin 2  = 1.

Чрез сравняване на измерванията на AN в първия и втория случай може да се намери коефициентът на пропорционалност. Впоследствие ще получим рисунка, а след това и скулптура, когато се повдигне, фигурата ще бъде визуално по-близо до идеала.

Тригонометрия в медицината и биологията.

Биоритъмен модел

Модел на биоритмите може да бъде изграден с помощта на тригонометрични функции.За да изградите модел на биоритъм, трябва да въведете датата на раждане на лицето, референтната дата (ден, месец, година) и продължителността на прогнозата (брой дни).

Движение на риба във водатавъзниква според закона на синуса или косинуса, ако фиксирате точка на опашката и след това разгледате траекторията на движение. При плуване тялото на рибата приема формата на крива, която наподобява графиката на функцията y=tgx.

Сърдечна формула

В резултат на проучване, проведено от студент от ирански университетШираз от Вахид-Реза Абаси,За първи път лекарите успяха да организират информация, свързана с електрическата активност на сърцето или с други думи електрокардиографията.
Формулата, наречена Tehran, беше представена на широката научна общност на 14-ата конференция по географска медицина и след това на 28-ата конференция за използването на компютърни технологии в кардиологията, проведена в Холандия. Тази формула е сложно алгебрично-тригонометрично уравнение, състоящо се от 8 израза, 32 коефициента и 33 основни параметъра, включително няколко допълнителни за изчисления при аритмия. Според лекарите тази формула значително улеснява процеса на описване на основните параметри на сърдечната дейност, като по този начин ускорява диагностиката и започването на самото лечение.

Тригонометрията помага на нашия мозък да определя разстоянията до обектите.

Американски учени твърдят, че мозъкът определя разстоянието до обектите чрез измерване на ъгъла между равнината на земята и равнината на зрението. Строго погледнато, идеята за "измерване на ъгли" не е нова. Дори художниците от древен Китай са рисували отдалечени обекти по-високо в зрителното поле, донякъде пренебрегвайки законите на перспективата. Теорията за определяне на разстоянието чрез оценка на ъгли е формулирана от арабския учен от 11 век Алхазен. След дълъг период на забрава, идеята е възродена в средата на миналия век от психолога Джеймс Гибсън, който прави заключенията си на базата на опита си от работа с пилоти на военна авиация. След това обаче за теорията

отново забравен.

Резултатите от новото изследване, както може да се предположи, ще представляват интерес за инженерите, които проектират навигационни системи за роботи, както и специалистите, които работят по създаването на най-реалистичните виртуални модели. Възможни са приложения и в областта на медицината, при рехабилитация на пациенти с увреждане на определени области на мозъка.

3.2 Графично представяне на трансформацията на „малко интересни” тригонометрични функции в оригинални криви.

Криви в полярни координати.

с. 16 е. 19 гнезда.

В полярните координати се избира един сегментд, полюс O и полярна ос Ox. Позицията на всяка точка M се определя от полярния радиус OM и полярния ъгъл , образуван от лъча OM и лъча Ox. Числото r, изразяващо дължината на OM презд (OM=re) и числената стойност на ъгъла , изразени в градуси или радиани, се наричат ​​полярни координати на точка M.

За всяка точка, различна от точка O, можем да приемем 0≤  2  и r  0. обаче при конструиране на криви, съответстващи на уравнения от вида r=f( ), променлива  естествено е да се присвояват всякакви стойности (включително отрицателни и надвишаващи 2 ), а r може да бъде положително или отрицателно.

За да намерите точката ( ,r), изчертаваме лъч от точка O, който образува ъгъл с оста Ox и го начертайте върху него (за r 0) или при продължението му в обратна посока (при r 0) отсечка  r  e.

Всичко ще бъде значително опростено, ако първо построите координатна мрежа, състояща се от концентрични окръжности с радиуси e, 2e, 3e и т.н. (с центъра на полюса O) и лъчи, за които =0  ,10  ,20  ,…,340  ,350  ; тези лъчи също ще са подходящи за 0  , а при  360  ; например при  =740  и при  =-340  ще стигнем до гредата, за която =20  .

Изследването на данни от графики помагакомпютърна програма "Функции и графики". Използвайки възможностите на тази програма, ще изследваме някои интересни графики на тригонометрични функции.

1 .Разгледайте кривите, дадени от уравненията: r=a+sin3

I. r=sin3  (трилистник) (фиг. 1)

II.r=1/2+sin3  (фиг. 2), III. r=1+ sin3  (фиг. 3), r=3/2+ sin3  (фиг. 4) .

Крива IV има най-малката стойност на r=0,5 и венчелистчетата имат незавършен вид. По този начин, когато a 1 трилистни венчелистчета имат незавършен вид.

2. Разгледайте кривитекогато а=0; 1/2; 1;3/2

При a=0 (фиг. 1), при a=1/2 (фиг. 2), при a=1 (фиг. 3) венчелистчетата имат завършен вид, при a=3/2 ще има пет незавършени венчелистчета ., (фиг. .4).

3. Като цяло кривата има r=първото венчелистче ще бъде оградено в сектор (0 ; ), защото в този сектор 0 ≤ ≤180  . Когато   1 венчелистче ще заема сектор, по-голям от 180, но по-малко от 360 , и при  едно венчелистче ще изисква „сектор“, надвишаващ 360 .

Фигура 1-4 показва външния вид на венчелистчетата, когато= , , , .

4. Уравнения, открити от немски математик и натуралист Habenicht за геометрични фигури, открити в растителния свят. Например уравненията r=4(1+cos3 ) и r=4(1+cos3  )+4sin 2 3  съответстват на кривите, показани на фиг. 1.2.

Криви в декартови координати.

Криви на Лисажу.

Много интересни криви могат да бъдат конструирани в декартови координати. Кривите, чиито уравнения са дадени в параметрична форма, изглеждат особено интересни:

Където t е спомагателна променлива (параметър). Например, разгледайте кривите на Lissajous, характеризирани като цяло с уравненията:

Ако вземем времето като параметър t, тогава фигурите на Лисажу ще бъдат резултат от добавянето на две хармонични осцилаторни движения, извършени във взаимно перпендикулярни посоки. По принцип кривата се намира вътре в правоъгълник със страни 2a и 2b.

Нека да разгледаме това, използвайки следните примери

I.x=sin3t; y=sin 5t (фиг. 1)

II. х=sin 3t; y=cos 5t (фиг. 2)

III. х=sin 3t; y=sin 4t.(фиг.3)

Кривите могат да бъдат затворени или отворени.

Например заместване на уравнения I с уравненията: x=sin 3t; y=sin5(t+3) превръща отворена крива в затворена (фиг. 4)

Интересни и особени са линиите, съответстващи на уравнения на формата

y=arcsin(sin k(x- )).

От уравнението y=arcsin(sinx) следва:

1) и 2) siny=sinx.

При функцията y=x удовлетворява тези две условия. Неговата графика в интервала (-; ) ще бъде сегмент AB от начупената линия, показана на графиката.

В интервала ще имаме y=  -x, тъй като sin( -x)=sinx и в този интервал

Тук графиката е изобразена от отсечката BC.

Тъй като sinx е периодична функция с период 2 , тогава начупената ABC, построена в интервала (, ) ще се повтори в други области.

Уравнението y=arcsin(sinkx) ще съответства на начупена линия с точка(период на функция sin kx).

Като добавим коефициента m от дясната страна, получаваме уравнението y=arcsin(sin khх), на което ще съответства прекъснатата линия. Фигурата показва графики за k=2,m=1/2;k=2, m=-2.

Математически орнаменти.

Под математически орнамент имаме предвид модел, характеризиращ се с някакво уравнение или неравенство (или може би система от уравнения или неравенства), в което един или друг модел се повтаря многократно.

удовлетворяват координатите на точки, които лежат едновременно над синусоидата (за тях y>sinx) и под кривата y=-sinx, т.е. „Областта на решение“ на системата ще се състои от областите, защриховани на Фиг. 1.

2. Разгледайте неравенствата

1. (y-sinx)(y+sinx)

За да разрешим това неравенство, първо изграждаме графики на функции: y=sinx; y=-sinx.

След това рисуваме областите, където y>sinx и в същото време y-sinx.

Това неравенство ще бъде удовлетворено от областите, защриховани на Фиг. 2

2)(y 2 -arcsin 2 (sinx))(y 2 -arcsin 2 (sin(x+ )))

Да преминем към следното неравенство:

(y-arcsin(sinx))(y+arcsin(sinx))( y-arcsin(sin(x+))))(y+arcsin(sin(x+ )))

За да разрешим това неравенство, първо изграждаме графики на функциите: y=±arcsin(sinx); y=±arcsin(sin(x+)) .

Нека направим таблица с възможните решения.+

След това разглеждаме и засенчваме решенията на следните системи.

4) 5) 6)

7) 8)

Това неравенство ще бъде удовлетворено от областите, защриховани на Фиг. 3

3)(y 2 -sin 2 x)(y 2 -sin 2 (x+ ))(y 2 -sin 2 (x- ))

За да решим това неравенство, първо изграждаме графики на функциите: y=±sinx; y=±sin(x+); y=±sin(x-) .

Лявата страна на първоначалното неравенство се състои от три фактора. Произведението на три фактора е по-малко от нула, ако поне един от тях е по-малък, а другите два са по-големи от нула. Следователно, ние разглеждаме три случая: 1) Първият фактор е по-малък от нула, т.е. |y||sin(x+)| и |y|>|sin(x-)|.

2) Вторият фактор е по-малък от нула, т.е. |y| )| , други фактори са положителни, т.е. .|y|>|sinx| и |y|>|sin(x-)|.

3) Третият фактор е по-малък от нула, т.е. |y| )|, други фактори са положителни, т.е. |y|>|sinx| и |y|>|sin(x+)|.

След това разглеждаме и оцветяваме решенията за всеки случай.

Това неравенство ще бъде удовлетворено от областите, защриховани на Фиг. 4

4. Заключение.

Връзката между математиката и външния свят ни позволява да „материализираме“ знанията на учениците. Това ни помага да разберем по-добре жизнената необходимост от знанията, придобити в училище.

Под математическа задача с практическо съдържание (задача с приложен характер) разбираме задача, чийто сюжет разкрива приложенията на математиката в сродни учебни дисциплини, технологии и в ежедневието.

Използването на програмата за моделиране „Функции и графики" значително разшири възможностите за провеждане на изследвания и даде възможност да се материализират знанията при разглеждане на приложенията на тригонометрията във физиката. Благодарение на тази програма бяха извършени лабораторни компютърни изследвания на механични вибрации с помощта на бяха разгледани пример за трептения на махало и трептения в електрическа верига. Използването на компютърна програма направи възможно изследването на интересни математически криви, дефинирани с помощта на тригонометрични уравнения и начертаване на графики в полярни и декартови координати. Графичното решение на тригонометричните неравенства доведе до разглеждането на интересни математически модели.

5. Списък на използваната литература.

1. .Атанасов П.Т., Атанасов Н.П. Колекция от математически задачи с практическо съдържание: Книга за учители.-М .: Образование, 1987-110с.
2. .Виленкин Н.Я. Функции в природата и техниката: Кн. за извънкласно четене IX-X класове-М.: Образование, 1985-148-165s (Светът на знанието).
3. Доморяд А.П. Математически игри и забавления. Държавно издателство физико-математическа литература М, 1961-148-169 стр.
4. .Кожуров П.Я. Курс по тригонометрия за технически училища. състояние изд. технико-теоретичен лит. М., 1956
5. Колосов А.А. Книга за извънкласно четене по математика в гимназията. състояние учебно педагогически ред.Мин.Образование. RF, М., 1963-407 г.
6. Муравин Г.К., Тараканова О.В. Елементи на тригонометрията. 10 клас ..-М .: Дропла, 2001-128с.
7. Пичурин Л.Ф. За тригонометрията и не само за нея: ръководство за ученици от 9-11 клас.-М .: Образование, 1996-80-те.
8. Шапиро И.М. Използване на задачи с практическо съдържание в обучението по математика. Книга за учители.-М .: Образование, 1990-96 с.

Тригонометрията е дял от математиката, който изучава тригонометричните функции и тяхното използване в геометрията. Тригонометричните функции се използват за описание на свойствата на различни ъгли, триъгълници и периодични функции. Изучаването на тригонометрията ще ви помогне да разберете тези свойства. Уроците в училище и самостоятелната работа ще ви помогнат да овладеете основите на тригонометрията и да разберете много периодични процеси.

стъпки

Научете основите на тригонометрията

Запознайте се с понятието триъгълник.По същество тригонометрията е изследване на различните взаимоотношения в триъгълници. Триъгълникът има три страни и три ъгъла. Сборът от ъглите на всеки триъгълник е 180 градуса. Когато изучавате тригонометрия, трябва да се запознаете с триъгълниците и свързаните с тях концепции, като например:

• хипотенуза - най-дългата страна на правоъгълен триъгълник;
• тъп ъгъл - ъгъл над 90 градуса;
• остър ъгъл - ъгъл по-малък от 90 градуса.

1. Научете се да конструирате единична окръжност.Единичната окръжност позволява да се построи всеки правоъгълен триъгълник, така че хипотенузата да е равна на единица. Това е полезно при работа с тригонометрични функции като синус и косинус. След като усвоите единичната окръжност, можете лесно да намирате стойностите на тригонометричните функции за определени ъгли и да решавате задачи, включващи триъгълници с тези ъгли.

   • Пример 1. Синусът на ъгъл от 30 градуса е 0,50. Това означава, че дължината на катета срещу даден ъгъл е равна на половината от дължината на хипотенузата.
   • Пример 2. Използвайки тази връзка, можете да изчислите дължината на хипотенузата на триъгълник, в който има ъгъл от 30 градуса, а дължината на катета срещу този ъгъл е 7 сантиметра. В този случай дължината на хипотенузата ще бъде 14 сантиметра.

2. Запознайте се с тригонометричните функции.Има шест основни тригонометрични функции, които трябва да знаете, когато изучавате тригонометрия. Тези функции представляват връзките между различните страни на правоъгълен триъгълник и помагат да се разберат свойствата на всеки триъгълник. Тези шест функции са:

   • синус (грях);
   • косинус (cos);
   • тангенс(tg);
   • секанс (сек);
   • косеканс (cosec);
   • котангенс (ctg).

3. Запомнете връзките между функциите.Когато изучавате тригонометрия, е изключително важно да разберете, че всички тригонометрични функции са свързани една с друга. Въпреки че синус, косинус, тангенс и други функции се използват по различни начини, те са широко използвани поради факта, че съществуват определени връзки между тях. Тези връзки са лесни за разбиране с помощта на единичната окръжност. Научете се да използвате единичната окръжност и можете да разрешите много проблеми, като използвате връзките, които описва.

   Приложение на тригонометрията

   1. Научете за основните области на науката, които използват тригонометрията.Тригонометрията е полезна в много области на математиката и други науки. Използвайки тригонометрията, можете да намерите стойностите на ъглите и правите сегменти. В допълнение, тригонометричните функции могат да се използват за описание на всеки цикличен процес.

      • Например трептенията на пружина могат да бъдат описани чрез синусова функция.

   2. Помислете за груповите процеси.Понякога абстрактните понятия в математиката и другите науки са трудни за разбиране. Те обаче присъстват в света около нас и това може да ги направи по-лесни за разбиране. Погледнете по-отблизо периодичните явления около вас и се опитайте да ги свържете с тригонометрията.

      • Луната има предсказуем цикъл, който продължава около 29,5 дни.

   3. Представете си как можете да изучавате природните цикли.След като разберете, че в природата се случват много периодични процеси, помислете как можете да изучавате тези процеси. Мислено си представете как изглеждат такива процеси на графика. С помощта на графика можете да създадете уравнение, което описва наблюдаваното явление. Тук са полезни тригонометричните функции.

      • Представете си приливите и отливите на морския бряг. По време на прилив водата се покачва до определено ниво, след което идва приливът и нивото на водата спада. След отлив следва отново прилив и нивото на водата се повишава. Този цикличен процес може да продължи безкрайно дълго. Може да се опише с тригонометрична функция, като косинус.

   Проучете материала предварително

   1. Прочетете съответния раздел.На някои хора им е трудно да схванат концепциите на тригонометрията от първия път. Ако се запознаете със съответния материал преди урока, ще го разберете по-добре. Опитайте се да преглеждате предмета, който изучавате по-често - по този начин ще откриете повече връзки между различни понятия и тригонометрични понятия.

      • Освен това това ще ви позволи предварително да идентифицирате неясни точки.

   2. Водя записки.Въпреки че преглеждането на учебник е по-добро от нищо, изучаването на тригонометрията изисква бавно, замислено четене. Когато изучавате който и да е раздел, водете подробни бележки. Не забравяйте, че знанията по тригонометрията се натрупват постепенно и новият материал се основава на вече научен материал, така че воденето на бележки за това, което вече сте покрили, ще ви помогне да продължите напред.

      • Освен всичко друго, запишете всички въпроси, които имате, за да можете да зададете на учителя си.

   3. Решете задачите, дадени в учебника.Дори ако тригонометрията е лесна за вас, все още трябва да решавате задачи. За да сте сигурни, че наистина разбирате материала, който сте научили, опитайте да решите няколко задачи преди час. Ако имате проблеми с това, ще определите какво точно трябва да разберете по време на час.

      • Много учебници дават отговори на задачи в края. С тяхна помощ можете да проверите дали сте решили правилно задачите.

   4. Носете всичко необходимо в класа.Не забравяйте вашите бележки и решения на проблеми. Тези подръчни материали ще ви помогнат да опресните паметта си за вече разгледаното и да продължите напред в изучаването на материала. Също така изяснете всички въпроси, възникнали по време на предварителния ви прочит на учебника.

1. Тригонометрични функцииса елементарни функции, чийто аргумент е ъгъл. Тригонометричните функции описват връзките между страните и острите ъгли в правоъгълен триъгълник. Областите на приложение на тригонометричните функции са изключително разнообразни. Например всеки периодичен процес може да бъде представен като сума от тригонометрични функции (серия на Фурие). Тези функции често се появяват при решаване на диференциални и функционални уравнения.

2. Тригонометричните функции включват следните 6 функции: синусите, косинус, допирателна,котангенс, секущаИ косеканс. За всяка от тези функции има обратна тригонометрична функция.

3. Удобно е да се въведе геометричната дефиниция на тригонометрични функции с помощта единична окръжност. Фигурата по-долу показва окръжност с радиус r=1. Точката M(x,y) е отбелязана върху окръжността. Ъгълът между радиус вектора OM и положителната посока на оста Ox е равен на α.

4. синуситеъгъл α е отношението на ординатата y на точката M(x,y) към радиуса r:
sinα=y/r.
Тъй като r=1, тогава синусът е равен на ординатата на точката M(x,y).

5. Косинусъгъл α е отношението на абсцисата x на точката M(x,y) към радиуса r:
cosα=x/r

6. Допирателнаъгъл α е отношението на ординатата y на точка M(x,y) към нейната абциса x:
tanα=y/x,x≠0

7. Котангенсъгъл α е отношението на абсцисата x на точка M(x,y) към нейната ордината y:
cotα=x/y,y≠0

8. Секансъгъл α е отношението на радиуса r към абсцисата x на точката M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Косекансъгъл α е отношението на радиуса r към ординатата y на точката M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. В единичната окръжност проекциите x, y, точките M(x,y) и радиусът r образуват правоъгълен триъгълник, в който x,y са катетите, а r е хипотенузата. Следователно горните дефиниции на тригонометричните функции, приложени към правоъгълен триъгълник, са формулирани, както следва:
синуситеъгъл α е отношението на срещуположната страна към хипотенузата.
Косинусъгъл α е отношението на съседния катет към хипотенузата.
Допирателнаъгъл α се нарича противоположен катет на съседния.
Котангенсъгъл α се нарича прилежащата страна към противоположната страна.
Секансъгъл α е отношението на хипотенузата към съседния катет.
Косекансъгъл α е отношението на хипотенузата към противоположния катет.

11. Графика на функцията синус
y=sinx, домейн на дефиниция: x∈R, диапазон от стойности: −1≤sinx≤1

12. Графика на функцията косинус
y=cosx, домейн: x∈R, диапазон: −1≤cosx≤1

13. Графика на функцията тангенс
y=tanx, диапазон на дефиниция: x∈R,x≠(2k+1)π/2, диапазон от стойности: −∞

14. Графика на функцията котангенс
y=cotx, домейн: x∈R,x≠kπ, диапазон: −∞

15. Графика на секущата функция
y=secx, домейн: x∈R,x≠(2k+1)π/2, диапазон: secx∈(−∞,−1]∪∪)