Теорема за сумата от ъгли n на триъгълник. Многоъгълници

Многоъгълници. Видове многоъгълници. Вътрешни и външни ъгли на изпъкнал многоъгълник. Сума от вътрешните ъгли на изпъкнал n-ъгълник (теорема). Сума от външните ъгли на изпъкнал n-ъгълник (теорема). Правилни многоъгълници. Окръжност, описана около правилен многоъгълник(теорема, следствие 1,2)

Вътрешният ъгъл на изпъкнал многоъгълник при даден връх е ъгълът, образуван от неговите страни, събиращи се в този връх. Външният ъгъл на изпъкнал многоъгълник при даден връх е ъгълът, съседен на вътрешния при този връх. вътрешен ъгъл външен ъгъл

Теорема. Сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник е (n – 2) · 180 о, където n е броят на страните на многоъгълника. Дадено е: изпъкнал n-ъгълник. Докажете: α = (n – 2) ·180 о Доказателство Вътре в n-ъгълника вземете произволна точка O и я свържете с всички върхове. Многоъгълникът ще бъде разделен на n триъгълника с общ връх O. Сумата от ъглите на всеки триъгълник е 180 o, следователно сумата от ъглите на всички триъгълници е 180 o n. Тази сума, в допълнение към сумата от всички вътрешни ъгли на многоъгълника, включва сумата от ъглите на триъгълниците при върха O, равна на 360 градуса. Така сумата от всички вътрешни ъгли на многоъгълник е равна на 180 o n – 360 o = (n – 2) · 180 o. И така, n = (n – 2) 180 o. и т.н. О

Теорема. Сумата от външните ъгли на изпъкнал многоъгълник, взети по един във всеки връх, не зависи от n и е равна на 360, където n е броят на страните на n-ъгълника. Доказателство. Тъй като външният ъгъл на многоъгълник е съседен на съответния вътрешен ъгъл, а сумата от съседните ъгли е равна на 180, то сумата от външните ъгли на многоъгълник е равна на: 180 о n – (n – 2) · 180 о = 180 о · n – 180 о · n о = 360 о . Външни и вътрешни вътрешни И така, сумата от външните ъгли на изпъкнал многоъгълник, взети по един за всеки връх, не зависи от n и е равна на 360 o, където n е броят на страните на n-ъгълника. и т.н.

Теорема. Във всеки правилен многоъгълник можете да впишете кръг и само един. Доказателство. Нека A1,A2,…,A n е правилен многоъгълник, O център на описаната окръжност. OA1A2 = OA2A3 = OAnA1, следователно височините на тези триъгълници, изтеглени от върха O, също са равни на ОН1 = ОН2 =…= ОНn. Следователно окръжност със следователно окръжност с център O и радиус OH1 минава през точки H1, H2, ..., Hn и докосва страните на многоъгълника в тези точки, т.е. окръжността е вписана в дадения многоъгълник. Hn H1 H2 H3 A1 A2 A3 An

Нека докажем, че има само една вписана окръжност. Да предположим, че има друга вписана окръжност с център O и радиус OA. Тогава неговият център е на еднакво разстояние от страните на многоъгълника, т.е. точка O1 лежи на всяка от ъглополовящите на ъглите на многоъгълника и следователно съвпада с точката O на пресечната точка на тези ъглополовящи. Радиусът на тази окръжност е равен на разстоянието от точка О до страните на многоъгълника, т.е. е равно на OH1 Теоремата е доказана. Следствие 1 Окръжност, вписана в правилен многоъгълник, докосва страните на многоъгълника в техните среди. Следствие 2 Центърът на окръжност, описана около правилен многоъгълник, съвпада с центъра на окръжност, вписана в същия многоъгълник.

Вътрешен ъгъл на многоъгълнике ъгълът, образуван от две съседни странимногоъгълник. Например, ∠ ABCе вътрешен ъгъл.

Външен ъгъл на многоъгълнике ъгълът, образуван от едната страна на многоъгълника и продължението на другата страна. Например, ∠ L.B.C.е външен ъгъл.

Броят на ъглите на един многоъгълник винаги е равен на броя на неговите страни. Това важи както за вътрешни, така и за външни ъгли. Въпреки че за всеки връх на многоъгълник могат да бъдат построени два равни външни ъгъла, винаги се взема предвид само един от тях. Следователно, за да намерите броя на ъглите на всеки многоъгълник, трябва да преброите броя на неговите страни.

Сума от вътрешни ъгли

Сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник е равна на произведението от 180° и броя на страните минус две.

с = 2д(н - 2)

Където се сумата от ъглите, 2 д- два прави ъгъла (т.е. 2 90 = 180 °), и н- брой страни.

Ако рисуваме отгоре Амногоъгълник А Б В Г Д Евсички възможни диагонали, след което го разделяме на триъгълници, чийто брой ще бъде два по-малък от страните на многоъгълника:

Следователно сумата от ъглите на многоъгълника ще бъде равна на сумата от ъглите на всички получени триъгълници. Тъй като сборът от ъглите на всеки триъгълник е 180° (2 д), тогава сумата от ъглите на всички триъгълници ще бъде равна на произведението 2 дпо тяхното количество:

с = 2д(н- 2) = 180 4 = 720°

От тази формула следва, че сумата от вътрешните ъгли е постоянна стойност и зависи от броя на страните на многоъгълника.

Сума от външни ъгли

Сумата от външните ъгли на изпъкнал многоъгълник е 360° (или 4 д).

с = 4д

Където се сумата от външните ъгли, 4 д- четири прави ъгъла (т.е. 4 90 = 360°).

Сумата от външните и вътрешните ъгли във всеки връх на многоъгълника е 180° (2 д), тъй като те са съседни ъгли. Например, ∠ 1 и ∠ 2 :

Следователно, ако многоъгълник има нпартии (и нвърхове), след това сумата от външни и вътрешни ъгли за всички нвърховете ще бъдат равни на 2 дн. Така че от тази сума 2 днза да получите само сумата от външните ъгли, трябва да извадите сумата от вътрешните ъгли от нея, тоест 2 д(н - 2):

с = 2дн - 2д(н - 2) = 2дн - 2дн + 4д = 4д

Видео урок 2: Многоъгълници. Разрешаване на проблем

Лекция: Многоъгълник. Сума от ъгли на изпъкнал многоъгълник

Многоъгълници- това са фигурите, които ни заобикалят навсякъде - това е и формата на пчелната пита, в която пчелите съхраняват своя мед, архитектурни структури, както и много повече.

Както споменахме по-рано, многоъгълниците са форми, които имат повече от два ъгъла. Те се състоят от затворена прекъсната линия.

Освен това ъглите на многоъгълниците могат да бъдат външни и вътрешни. Например, звезда е фигура, която има 10 ъгъла, някои от които изпъкнали, а други вдлъбнати:

Примери за изпъкнали многоъгълници:

Моля, имайте предвид, че фигурата показва правилни многоъгълници - това са тези, които се изучават подробно в училищен курсматематика.

Всеки многоъгълник има същия брой върхове като броя на страните. Също така имайте предвид, че съседните върхове са тези, които имат една обща страна. Например, един триъгълник има всички свои върхове съседни.

Колкото повече ъгли има един правилен многоъгълник, толкова по-голяма е градусната му мярка. Въпреки това градусната мярка на ъгъла на изпъкнал многоъгълник не може да бъде по-голяма или равна на 180 градуса.

За определяне на общ степенна мяркамногоъгълник, трябва да използвате формулата.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.