Теоремата на Ароу отразява дилемата между. Научна електронна библиотека

Желанието на икономистите да определят оптималното благосъстояние, без да идентифицират индивидуалните ползи, има дълга история. Теоретиците не можаха да разграничат ясно понятията „ефективност“ и „справедливост“. Това е направено от италианския учен В. Парето, който дефинира понятието социално благосъстояние. Неговата концепция за оптимално разпределение на ресурсите се основава на три предположения, които се отнасят до оценката на преценките:
1) всеки човек най-добре оценява собственото си благосъстояние;
2) социалното благосъстояние се определя от благосъстоянието на отделни индивиди, независими един от друг;
3) благосъстоянието на индивидите не може да бъде изравнено.
Въпреки това ученият смята, че заключенията за икономическа политикаможе да се направи само въз основа на мислене за ефективност.
В началото на 30-те години на ХХв. Американският икономист Ейбрахам Бергсън разруши дебата, като предложи благосъстоянието да се измерва с помощта на функцията на социалното благосъстояние - набор от криви на социално безразличие, които класират различни комбинации от индивидуални ползи според системата ценностни преценкиотносно разпределението на доходите. Той обаче не обясни кой трябва да прави подобни преценки и как да се отчете разликата в тях. Следователно концепцията на А. Бергсон за социалното благосъстояние е донякъде отделена от реалността.
Опитът да се определи функцията на социалното благосъстояние, като се вземат предвид ограниченията, отразяващи основните етични аксиоми (ценностните системи на участниците в демократичния процес), кара Ароу да формулира теоремата за невъзможността (невъзможността на демокрацията).
Авторът доказва, че обществото не може да намери процедура за вземане на последователни, съгласувани решения, ако тези решения не са подложени на преценката на един човек. Това се илюстрира от парадокса на гласуването - противоречие, което възниква поради факта, че гласуването на принципа на мнозинството не гарантира идентифицирането на предимствата на обществото спрямо икономическите блага.
К.-Й. Ароу формулира аксиоматичните правила на рационалното поведение и ясно показа, че нито един процес на колективно вземане на решения не отговаря на определени норми. Според теорията за невъзможността на Ароу няма демократично социална функцияблагополучие, което прави връзката между индивидуалните ползи и социалния избор - процесът, чрез който индивидуалната визия се трансформира в колективно решение и едновременно с това отговаря на следните изисквания:
1) принципът на оптималността на Парето. Решение не може да бъде взето, ако съществува и може да се приложи алтернатива, която подобрява живота на други индивиди и не го прави по-лош за никого;
2) преходност. Ако социалният избор А има предимство пред алтернатива Б и избор Б има предимство пред алтернатива Б, тогава А е по-добър от Б;
3) независимост от външни алтернативи. Човек изгражда предимства независимо от действията, които този моменттой не може да приложи;
4) липса на диктатор. Сред участниците в колективния избор няма индивид, чието всяко предимство винаги надхвърля предимствата на всички останали членове и става задължителен елементобществен ред.
К.-Й. Arrow доказа, че четирите условия са в конфликт. Така че нито една схема за социално подпомагане не може да отговори на всички изисквания едновременно.
Посочените изисквания са важна предпоставка за рационалността на индивидуалния избор. Но няма универсално правило за рационален колективен избор, което да отговаря на всички изисквания. Анализът на правилото за мнозинство доказа, че е възможна циклична ситуация (т.е. при определена структура от индивидуални предимства гласуването може да продължи безкрайно дълго време, без да доведе до ясно решение), когато изборът се прави последователно от трима души, тъй като като броят на критериите за подреждане се увеличава, вероятността резултатите да се окажат фиксирани.
Но аксиомата за транзитивност предвижда избор само на един от трите варианта. За да не се допусне процесът на обществен избор да стигне до задънена улица, трябва да се намери приемлива алтернатива. Въпреки това, при горните условия, за произволна двойка алтернативи е невъзможно да се избере коалиция, която да се състои от повече от един индивид. Това означава, че методът за извършване на такъв избор ще бъде диктаторски.
Единно правило за конструиране на колективни решения, което отговаря на четирите условия на К.-Й. Arrow, е диктаторски (колективното решение винаги трябва да съвпада с мнението на един от избирателите). За да се избегне това, е необходимо да се омекотят помещенията. Въпреки че тези постулати са по-ясни, отколкото може да изглеждат на пръв поглед, те все пак са по-слаби от необходимото, за да задоволят разумен критерий за справедливост на разпределението. Следователно е необходимо да се смекчат аксиомите за еднаквост или да се изостави една от тях. Но такъв отказ означава загуба на идеалите за индивидуализъм и граждански суверенитет.
Тъй като обществен изборе набор от алтернативи, тогава К.-Й. Arrow въвежда аксиомата за транзитивност. Но на практика постигането на целта не изисква пълно прилагане на аксиомата за транзитивност. Следователно А.-К. Сен доказа теоремата за възможността, като замени транзитивността с квазитранзитивност или транзитивност на ясни предимства
(той твърди, че личната свобода трябва да има предимство пред правилото на Парето). Квазитранзитивността отваря възможността за налагане на властта на олигархията върху обществото (ако има равни ползи за всички членове на олигархичната група). Начинът за преодоляване на примката е, че всеки член на олигархичната група ефективно притежава правото на вето. Това също означава, че преходът от транзитивност към квазитранзитивност не елиминира диктаторската власт като цяло, а я разширява към олигархичната група.
Изискването за неограничен обхват (пълнота и универсалност) е подобно на постулата за свобода на избора: всеки индивид е свободен да избира това, което иска, тоест той определя своя ред на предимствата. И въпреки че мнозина се застъпват за свободата на избора, последствието от такъв избор може да бъде или конфликт, или зацикляне. Следователно този постулат също допринася за демократичното вземане на решения.
„Отслабва“ донякъде теоремата за невъзможността от V.-S. Викри. Към условията на К.-Й. Петото условие на Arrow е класирането (не се взема целият континуум от първата до най-високата точка, а определен интервал между тях). С помощта на класирането той успя да докаже теоремата за невъзможността, като ограничи индивидуалния избор.
Има два начина за доказване: ограничаване на целия набор от възможни опции (например конституцията защитава правата на собственост) или ограничаване на състава на партньорството до онези членове на обществото, чиито предимства позволяват упражняването на колективен избор (например , делегиране на правомощията на избирателите на членове на парламента). Това означава, че при представителната демокрация осиновяването политически решениядопускат се лица с повече или по-малко еднородни предимства. Това драстично намалява вероятността от цикличност (колкото по-хомогенно е предимството на избирателите, толкова по-малка е вероятността да се появи цикъл).
Клубна теория. Тази теория е част от теорията за смесените стоки. Клубно благо е благо, чието потребление включва изключение, тоест възможността да се предотврати потреблението му от определена група хора, за разлика от общественото благо. Но е несъстезателен, т.к потреблението на стока от едно лице не намалява потреблението на същата стока от други лица и особеностите на формирането политически партииназовават условията, при които е възможно създаването на хомогенна общност. Предвидимите колективни решения е по-вероятно да се вземат в общности със споделени ценности, отколкото в произволни групи от индивиди.
Ако изоставим постулата за независимост на алтернативите, можем да получим голямо числопроцедури за вземане на решения:
а) обикновено мнозинство, при което за вземане на решение са необходими 50 на сто от гласовете на участниците плюс един глас;
б) за относително мнозинство от гласовете се счита броят на гласовете, по-голям от поне един глас;
в) квалифицираното мнозинство трябва да бъде две трети, три четвърти или дори повече от целия състав на тези, които вземат решението;
г) решаващ глас.
Ако броят на опциите е две (избиране-неизбиране, приемане-отхвърляне) и броят на гласоподавателите не е двойка, тогава едно правило, което отговаря на всичките пет условия, е правилото за обикновено мнозинство.
И така, теоремата за невъзможността доказва, че няма такъв демократичен процес на вземане на решения, който да удовлетворява едновременно и петте формулирани аксиоми. Следователно е невъзможно да се разработи само едно правило за гласуване. Решението на този проблем е възможно, ако се изостави аксиомата за транзитивност или се смекчат постулатите за независимост, пълнота и универсалност.
Въз основа на формулираните етични стандарти, както и на аксиомите, определящи колективния избор, К.-Ж. Arrow предложи концепцията за демократичен избор, насочена към защита на свободната пазарна конкуренция, която трябва да бъде подкрепена от държавата. При формирането на икономическа стратегия държавата трябва да отчита интересите на всички граждани.
Произведения на К.-Ж. Arrow има значителен принос към теорията на оптималните запаси, анализа на стабилността на пазарните модели, математическото програмиране и теорията на статистическите решения. Широко разпространено е мнението, че смисълът и значението на теоремата за невъзможността на Ароу, както и на теорията за социалния избор, все още не са напълно разбрани и теорията е „изпреварила“ тяхното прилагане. Но все пак се правят опити да се използва теорията за социалния избор в две области. Една от тях е развитието на избирателните системи. Компютрите могат да преодолеят съществуващите бариери пред създаването на оптимална избирателна система. Друга област е демократичната теория, където теорията за социалния избор насърчава преоценка на класическите твърдения. Използвайте теорията за социалния избор в политическа сфера, при анализиране на пазара на труда и търговската политика.
Ролята на възгледите на К.-Ж Стрелката е от съществено значение в съвременната теория за благосъстоянието:
1. Ученият се стреми да премахне едно от най-очевидните противоречия на маргинализма - между постулата за индивидуалното поведение и математическо моделиране, което е част от метода. От една страна, всички западни икономисти - от Маршал до Самуелсън - извършват математически операции върху отделни функции на полезност. От друга страна, те разчитат на аксиомата, че човек е субективен при оценката на своето благосъстояние и избира комбинация от фактори, които го определят, която според него осигурява максимална полезност. Характеристики на обекта на анализ (индивид икономическо поведение) обезсмислят едното или другото.
Според К.-Й. Стрелка, за да се актуализира вътрешната логика на теорията за благосъстоянието, е необходимо или да се създаде математически моделииндивидуално поведение, без да разчита на субективни оценки, или да се откаже напълно от математическите трансформации.
2.К.-Й. Arrow ревизира позицията на икономистите от австрийската школа относно принципите на рационалното поведение. Техният критерий, който се свежда до оптимизиране на индивидуалното благосъстояние, отговаря само на функцията на индивидуалната полезност, но се оказва недостатъчен за функцията на индивидуалното предимство на социалните държави.
Със своята теорема за невъзможността К.-Ж. Arrow доказа, че не общо правилокласификация на ситуациите на ниво общество, която не би била съчетана с определена оправдана система от индивидуалистични етични ограничения върху социалната функция на благосъстоянието. Ученият подчерта, че ограниченията пораждат противоречия. Той обоснова невъзможността да се формулира правило, което да е приемливо за всички случаи, като същевременно допуска възможността за съществуването на някаква нормативна разпоредба за подгрупа от емпирично избрани случаи.

Теоремата на Ароу е известна още като "Парадокс на Ароу" - теорема за невъзможността за "колективен избор".Смисълът на тази теорема е, че в рамките на ординалния подход не съществува метод за комбиниране на индивидуалните предпочитания за три или повече алтернативи, което би удовлетворило някои напълно справедливи условия и винаги би дало логически последователен резултат.

Ординалният подход се основава на факта, че предпочитанията на индивида по отношение на предлаганите за избор алтернативи не могат да бъдат измерени количествено, а само качествено, т.е. една алтернатива е по-лоша или по-добра от друга.

В рамките на кардиналисткия подход, който предполага количествената измеримост на предпочитанията, теоремата на Ароу не работи в общия случай.

Нека разгледаме различни формулировки на теорията:

Формулировка от 1951 г

Нека има N?2 избиратели, които гласуват за n?3 кандидати. Всеки избирател има подреден списък с алтернативи. Избирателната система е функция, която превръща набор от N такива списъци (профил на гласуване) в общ подреден списък. Една избирателна система може да има следните характеристики:

Монотонност - ако във всички N списъка някоя алтернатива x остава на мястото си или се издига по-високо, а редът на останалите не се променя, в общия списък x трябва да остане на мястото си или да се повиши.

Липсата на диктатор означава, че няма избирател, чиито предпочитания биха определили резултата от изборите, независимо от предпочитанията на другите избиратели.

Независимост от външни алтернативи - ако профилът на гласуване се промени така, че алтернативите x и y във всички N списъка да останат в същия ред, тогава техният ред в крайния резултат няма да се промени.

Формулировка от 1963 г

Във формулировката от 1963 г. условията на Ароу са следните: универсалност, липса на диктатор, независимост от външни алтернативи, принцип на единодушие - ако за всеки избирател алтернатива х е по-висока от у в списъка, това трябва да е така и в краен резултат.

Теоремата има доказателство. Нека въведем следната нотация:

I - предпочитанията на i-тия агент; [?"] - профил на предпочитанията (кортеж, чиито елементи са предпочитанията на всички агенти);

W: Ln > L - функция на социалното благосъстояние; ?W - колективни предпочитания.

Нека означим с O набора от резултати, които всеки агент класира в съответствие с неговите предпочитания.

Нека дадем формални определения:

Ефективност по Парето - W е ефективна по Парето, ако за всякакви резултати o1, o2 ? O, ?i (o1 ?i o2) ? (o1 ?W o2)

Независимост на външни алтернативи - W е независим от външни алтернативи, ако за всякакви резултати o1, o2 ? O и за всеки два профила на предпочитания [?"] и [?"]? Ln, ?i (o1 ?i" o2 ? o1 ?i" o2) ? (o1 ?W([?"]) o2 ? o1 ?W([?"]) o2)

Отсъствие на диктатор - Считаме, че няма диктатор за W, ако няма такова i, какво? o1, o2? O (o1 ?i o2 ? o1 ?W o2)

Теорема на Ароу. Ако |O| ? 3, тогава всяка ефективна по Парето функция на социалното благосъстояние W, независима от външни алтернативи, има диктатор. Извършваме доказването на 4 етапа.

Етап 1. Одобрение. Ако всеки агент постави резултат b в най-горната или в долната част на своя списък с предпочитания, тогава in?W резултат b също ще бъде или в горната, или в долната част на списъка.

Нека вземем произволен профил [?], така че за всички агенти i, резултатът b да се намира или в горната, или в долната част на списъка с предпочитания?i. Сега нека приемем, че твърдението ни е невярно, т.е. съществува ли такъв,c? O, че a ?W b и b ?W c. Нека тогава променим профила [?], така че c ?i a да е изпълнено за всички агенти, без да променяме класирането на останалите резултати. Нека обозначим резултантния профил [?"]. Тъй като след такава модификация резултатът b за всеки агент все още ще остане или на горната, или на долната позиция в списъка с неговите предпочитания, тогава от независимостта на W от външни алтернативи можем да заключим, че в новия профил a ?W b и b ?W c. Следователно, поради транзитивността?W получаваме ?W c. Но ние предположихме, че за всички агенти c ?i a, тогава, поради ефективността на Парето, трябва да има c ?W a. Полученото противоречие доказва твърдението.

Етап 2. Одобрение. Има агент, който е централен в смисъл, че чрез промяна на вота си той може да премести резултат b от най-ниската позиция в списъка?W ​​на най-високата позиция в този списък. Помислете за всеки профил на предпочитания, в който всички агенти са класирали резултат b в дъното на своя списък с предпочитания?i. Ясно е, че в ?W изход b е в най-ниската позиция. Нека всички агенти започнат да се редуват, пренареждайки резултат b от най-ниската към най-високата позиция в техните списъци с предпочитания, без да променят класирането на останалите резултати. Нека n (диктатор над всички двойки , без b) - агент, който, пренареждайки b по този начин, промени?W. Нека обозначим с [?1] профила на предпочитанията точно преди n* да премести b и [?2] профила на предпочитания точно след като n* премести b. По този начин, в [?2], резултатът b е променил позицията си в?W, докато за всички агенти b е или на горната, или на долната позиция?i. Следователно, по силата на твърдението, доказано в Етап 1, в?W, резултат b заема най-високата позиция.

Етап 3. Одобрение. Да изберем от двойка всеки елемент. Без загуба на общост избираме a. След това от профил [?2] конструираме [?3] по следния начин: в?n* преместваме резултат a на първа позиция, оставяйки останалата част от класирането непроменена; За всички останали агенти произволно разменяме a и c един с друг. Тогава, както в [?1], получаваме, че a ?W b (поради независимост от външни алтернативи) и, както в [?2], получаваме, че b ?W c. Тогава ?W c. Сега нека изградим профил на предпочитания [?4] по следния начин: за всички агенти поставяме резултат b на произволна позиция в списъка с предпочитания?i, за агент n* поставяме резултат a на произволна позиция преди резултат c. Ясно е, че поради независимостта от външни алтернативи a ?W c. Открихме, че всички агенти с изключение на n* имат напълно произволни профили на предпочитания и резултатът a ?W c беше получен само въз основа на предположението, че a ?n* c. n* - диктатор над всички двойки .

Етап 4. Одобрение. Нека разгледаме някои резултати с. Поради Етап 2, има някакъв централен агент n** за този резултат, който също е диктатор за всички двойки , където по-специално A = a, B = b. Но самото n* може да промени класирането в ?W (това беше разгледано на Етап 2). Следователно можем да заключим, че n** е същото като n*. Доказателството е пълно.

Теорема на Ароу(също известен като " Парадоксът на Arrow", Английски Парадоксът на Arrow) - теорема за невъзможността за „колективен избор“. Формулиран от американския икономист Кенет Ароу през 1951 г. Смисълът на тази теорема е, че в рамките на ординалния подход не съществува метод за комбиниране на индивидуалните предпочитания за три или повече алтернативи, който да удовлетворява някакви напълно справедливи условия и винаги да дава логически последователен резултат. Ординалният подход се основава на факта, че предпочитанията на индивида по отношение на предлаганите за избор алтернативи не могат да бъдат измерени количествено, а само качествено, т.е. една алтернатива е по-лоша или по-добра от друга.

В рамките на кардиналисткия подход, който предполага количествената измеримост на предпочитанията, теоремата на Ароу не работи в общия случай.

Формулировки

Формулировка от 1951 г

Нека има н≥2 избиратели гласуват за н≥3 кандидати (от гледна точка на теорията за вземане на решения, кандидатите обикновено се призовават алтернативи). Всеки избирател има подреден списък с алтернативи. Избирателна система- функция, която превръща набор от нтакива списъци ( профил за гласуване) в общ подреден списък.

Една избирателна система може да има следните характеристики:

Универсалност За всеки профил за гласуване има резултат - подреден списък от налтернативи. Пълнота Системата за гласуване може да произведе всичко като резултат н! пермутации на алтернативи. Монотонност Ако във всички низброява някои алтернативи хще остане на място или ще се повиши, а редът на останалите няма да се промени в общия списък хтрябва да остане на място или да се повдигне. Отсъствие на диктатор Няма избирател, чиито предпочитания да определят резултата от изборите, независимо от предпочитанията на другите избиратели. Независимост от външни алтернативи Ако профилът на гласуване се промени така, че алтернативите хИ гвъв всичко нсписъците ще останат в същия ред, редът им няма да се промени в крайния резултат.

Формулировка от 1963 г

Във формулировката от 1963 г. условията на Arrow са както следва.

Универсалност Отсъствие на диктатор Независимост от външни алтернативи Ефективност на Парето или принцип на единодушие, ако всеки избирател има алтернатива хе по-високо в списъка г, същото трябва да е и в крайния резултат.

Доказателство на теоремата на Ароу

Нека въведем следната нотация:

• $О$- набор от резултати, които всеки агент класира според предпочитанията си.
• $L\_i$- линеен ред на предпочитанията $аз$-ти агент на снимачната площадка $О$дадено от отношение $\backslash succ\_i$.
• $[\backslash succ"]$- профил на предпочитанията (кортеж, чиито елементи са предпочитанията на всички агенти).
• $W:\; L^N\; \backslash към\; L\_W$- функция на социалното благосъстояние.
• $\backslash succ\_W$- колективни предпочитания.

Нека дадем формални определения:

• Ефективност по Парето: $У$е ефективен по Парето, ако за някакъв резултат $o\_1,\; o\_2\; \backslash in\; O,\; \backslash forall\; i\; (o\_1\; \backslash succ\_i\; o\_2)\; \backslash Rightarrow\; (o\_1\; \backslash succ\_W\; o\_2)$.
• Независимост от външни алтернативи: $У$независимо от външни алтернативи за някакъв резултат $o\_1,\; o\_2\; \backslash в\; O$и за всеки два профила на предпочитание $[\backslash succ"]$И $[\backslash succ$] \in L_n, \forall i (o_1 \succ"_i o_2 \Leftrightarrow o_1 \succ _i o_2) \Rightright (o_1 \succ_(W([\succ"])) o_2 \Leftrightarrow 0_1 \succ _(W([\succ])) o_2).
• Липса на диктатор: вярваме, че за $У$няма диктатор, ако го няма $аз$, Какво $\backslash forall\; o\_1,\; o\_2\; \backslash in\; O\; (o\_1\; \backslash succ\_i\; o\_2\; \backslash Rightarrow\; o\_1\; \backslash succ\_W\; o\_2)$.
• Теорема на Ароу: Ако $|O|\; \backslash geq\; 3$, тогава всяка Парето-ефективна функция на социалното благосъстояние, независима от външни алтернативи $У$има диктатор.

Извършваме доказването на 4 етапа.

Етап 1. Ако всеки агент постави резултата $b$до най-горната или най-долната част на техния списък с предпочитания (това не изисква всички агенти да действат по един и същи начин), след това $\backslash succ\_W$Изход $b$също ще бъде в горната или долната част на списъка.

Да вземем произволен профил $[\backslash succ]$такъв, който съдържа за всички агенти $аз$Изход $b$разположени в горната или долната част на списъка с предпочитания $\backslash succ\_i$. Сега нека приемем, че нашето твърдение е невярно, тоест има такива $a,\; c\; \backslash in\; O$, Какво $a\backslash succ\_W\; b$И $b\backslash succ\_W\; c$. Тогава да сменим профила $[\backslash succ]$така че за всички агенти е вярно следното: $c\; \backslash succ\_i\; a$, без да променя класирането на останалите резултати. Нека обозначим получения профил $[\backslash succ"]$. Тъй като след такава модификация резултатът b за всеки агент все още ще остане или на горната, или на долната позиция в списъка с неговите предпочитания, тогава от независимостта на W от външни алтернативи можем да заключим, че в новия профил $a\backslash succ\_W\; b$И $b\backslash succ\_W\; c$. Следователно, поради преходност $\backslash succ\_W$получаваме $a\backslash succ\_W\; c$. Но ние предположихме, че за всички агенти $c\; \backslash succ\_i\; a$, тогава поради ефективността на Парето трябва да има $c\backslash succ\_W\; a$. Полученото противоречие доказва твърдението.

Етап 2. За всеки резултат $b$има агент, който е централенв смисъл, че като промени гласа си, той може да промени резултата $b$от най-ниската позиция в списъка $\backslash succ\_W$на челна позиция в този списък. С други думи има два профила $[\backslash succ^1]$И $[\backslash succ^2]$, като се различават само в предпочитанията на агента $аз$, Какво $b$е в края на списъка за $[\backslash succ^1\_W]$и в началото на списъка за $[\backslash succ^2\_W]$.

Помислете за всеки профил на предпочитания, в който всички агенти са класирали резултата $b$в най-долната част на списъка ви с предпочитания $\backslash succ\_i$. Ясно е, че в $\backslash succ\_W$Изход $b$е в най-ниска позиция (поради ефективността на Парето). Нека всички агенти започнат да пренареждат резултата един по един $b$от най-ниската до най-високата позиция в техните списъци с предпочитания, без да променят класирането на останалите резултати. Когато всички агенти са решили резултата $b$първи в списъка му с предпочитания, той ще бъде първи за $\backslash succ\_W$. Така че в някакъв момент $\backslash succ\_W$ще се промени. Позволявам $п^*$- агент, който, след като се пренареди по този начин $b$, променен $\backslash succ\_W$(за първи път). Нека обозначим $[\backslash succ^1]$- предпочитан профил точно преди $п^*$преместен $b$, А $[\backslash succ^2]$- предпочитан профил веднага след това $п^*$преместен $b$. По този начин, в $[\backslash succ^2]$Изход $b$промени позицията си в $\backslash succ\_W$, докато за всички агенти $b$е или на най-високата, или на най-ниската позиция $\backslash succ\_i$. Следователно, по силата на твърдението, доказано на Етап 1, в $\backslash succ\_W$Изход $b$заема челна позиция.

Етап 3. $п^*$- диктатор над всички двойки , без да включва $b$.

Да изберем от двойка всеки елемент. Без загуба на общост избираме a. Следващ от профила $[\backslash succ^2]$да строим $[\backslash succ^3]$както следва: в $\backslash succ\_(n^*)$, преместете резултат a на първа позиция, оставяйки останалата част от класирането непроменена; произволно разменете местата помежду си за всички останали агенти $а$И $°\; С$. Тогава, както в $[\backslash succ^1]$разбираме това $a\backslash succ\_W\; b$(поради независимост от външни алтернативи) и, както в $[\backslash succ^2]$разбираме това $b\backslash succ\_W\; c$. Тогава $a\backslash succ\_W\; c$. Сега нека изградим профил на предпочитания $[\backslash succ^4]$както следва: за всички агенти поставяме резултата $b$на произволна позиция в списъка с предпочитания $\backslash succ\_i$, за агент $п^*$нека сложим резултата $а$на произволна позиция до резултата $с$. Ясно е, че поради независимост от външни алтернативи $a\backslash succ\_W\; c$. Получихме, че всички агенти освен $п^*$имат напълно произволни профили на предпочитания и резултатът $a\backslash succ\_W\; c$се оказа въз основа само на предположението, че $a\; \backslash succ\_(n^*)\; c$.

Етап 4. $п^*$- диктатор над всички двойки .

Нека разгледаме някои резултати с. Поради Етап 2 има някои централенагент $n^(**)$за този резултат той е и диктаторът за всички двойки , където по-специално $A=a,\; B=b$. Ако агентът $n^(**)\; \backslash neq\; n^*$беше говорител , без замяна на предпочитанията на агента $п^*$Не можах да променя класирането $а$И $b$ V $\backslash succ\_W$. Но в Етап 2 агентът $п^*$пренаредени $b$от последно място до първо място $\backslash succ\_W$, и по този начин беше принуден да си размени местата $а$И $b$. Следователно можем да заключим, че $n^(**)$съвпада с $п^*$, това е $п^*$и има диктатор.

Доказателството е пълно.

Вижте също

• Парадоксът на Кондорсе е парадокс на изборите, чието обобщение е теоремата на Ароу.

Напишете отзив за статията "Теорема на стрелата"

Връзки

Бележки

Институт по изборите Изборно ниво Избирателни системи Изборна кампания Гласувайте Избирателно право Електорална география Изборни нередности Психология

Откъс, характеризиращ теоремата на Ароу

Пиер не беше, както преди, в моменти на отчаяние, меланхолия и отвращение от живота; но същата болест, която преди това се изразяваше в остри атаки, беше закарана вътре и не го напусна нито за миг. "За какво? За какво? Какво става по света?“ питаше се той с недоумение по няколко пъти на ден, като неволно започваше да размишлява върху смисъла на житейските явления; но знаейки от опит, че няма отговор на тези въпроси, той бързо се опитваше да се отвърне от тях, хващаше книга или бързаше към клуба, или към Аполон Николаевич, за да побъбри за градските клюки.
„Елена Василиевна, която никога не е обичала нищо освен тялото си и е една от най-глупавите жени на света“, помисли си Пиер, „изглежда на хората върхът на интелигентността и изтънчеността и те се прекланят пред нея. Наполеон Бонапарт беше презиран от всички, докато беше велик, а откакто се превърна в жалък комик, император Франц се опитваше да му предложи дъщеря си за незаконна съпруга. Испанците изпращат молитви към Бог чрез католическото духовенство в знак на благодарност за факта, че са победили французите на 14 юни, а французите изпращат молитви чрез същото католическо духовенство, че са победили испанците на 14 юни. Моите братя масони се кълнат в кръвта, че са готови да пожертват всичко за ближния си и не плащат по една рубла за събирането на бедните и интригантстват Астреус срещу търсачите на мана и са заети с истинския шотландски килим и с акт, чийто смисъл не е известен дори на тези, които са го написали, и който никому не е нужен. Ние всички изповядваме християнския закон за опрощението на обидите и любовта към ближния - законът, в резултат на който издигнахме четиридесет и четиридесет църкви в Москва, а вчера бичувахме един бягащ човек и служителя на същия закон на любовта и опрощение, свещеникът е позволил кръстът да бъде целунат от войник преди екзекуцията.” . Така си помисли Пиер и цялата тази обикновена, всепризната лъжа, колкото и да беше свикнал с нея, сякаш беше нещо ново, всеки път го изумяваше. „Разбирам тези лъжи и объркване — помисли си той, — но как мога да им кажа всичко, което разбирам? Опитах и ​​винаги откривах, че дълбоко в душата си те разбират същото като мен, но просто се опитват да не го виждат. Значи трябва да е така! Но за мен къде да отида?“ — помисли си Пиер. Той изпита нещастната способност на мнозина, особено на руските хора - способността да виждат и вярват във възможността за добро и истина и да виждат твърде ясно злото и лъжите на живота, за да могат да вземат сериозно участие в него. Всяка област на труда в неговите очи беше свързана със зло и измама. Какъвто и да се опитваше да бъде, с каквото и да се захващаше, злото и лъжата го отблъскваха и му затваряха всички пътища за дейност. Междувременно трябваше да живея, трябваше да съм зает. Беше твърде страшно да бъде под игото на тези неразрешими въпроси на живота и той се отдаде на първите си хобита, само за да ги забрави. Той пътуваше до всякакви общества, пиеше много, купуваше картини и строеше и най-важното четеше.
Четеше и четеше всичко, което му попаднеше под ръка, и четеше така, че след като се прибра вкъщи, когато лакеите още го събличаха, той, вече взел книга, четеше - и от четене премина в сън, а от сън в чат в гостните и клуба, от бърборене към веселба и жени, от веселба обратно към бърборене, четене и вино. Пиенето на вино става все повече физическа и същевременно морална потребност за него. Въпреки факта, че лекарите му казаха, че поради покварата му виното е опасно за него, той пиеше много. Чувстваше се доста добре само когато, без да забележи как, след като наля няколко чаши вино в голямата си уста, изпита приятна топлина в тялото си, нежност към всичките си съседи и готовността на ума си да реагира повърхностно на всяка мисъл, без вникване в същността му. Едва след като изпи бутилка и две вина, той смътно осъзна, че заплетеният, ужасен възел на живота, който го беше ужасявал преди, не беше толкова ужасен, колкото си мислеше. С шум в главата си, чатейки, слушайки разговори или четейки след обяд и вечеря, той постоянно виждаше този възел от някоя страна. Но само под въздействието на виното той си каза: „Няма нищо. Ще разнищя това - така че имам готово обяснение. Но сега няма време — ще помисля за всичко това по-късно!“ Но това така и не дойде след това.
На празен стомах, сутринта, всички предишни въпроси изглеждаха също толкова неразрешими и ужасни, а Пиер бързо грабна книгата и се зарадва, когато някой дойде при него.
Понякога Пиер си спомняше една история, която беше чул за това как по време на война войници, намиращи се под прикритие и нямайки какво да правят, усърдно намират какво да правят, за да улеснят понасянето на опасността. И на Пиер всички хора изглеждаха такива войници, бягащи от живота: едни от амбиция, едни от карти, едни от писане на закони, едни от жени, едни от играчки, едни от коне, едни от политика, едни от лов, едни от вино , някои по държавни дела. „Нищо не е незначително или важно, всичко е едно и също: просто да избягам от него възможно най-добре!“ — помисли си Пиер. - "Само не я виждай, тази ужасна."

В началото на зимата княз Николай Андреич Болконски и дъщеря му пристигнаха в Москва. Поради своето минало, своята интелигентност и оригиналност, особено поради отслабването по това време на ентусиазма за царуването на император Александър и поради антифренската и патриотична тенденция, която цареше в Москва по това време, княз Николай Андреич веднага стана обект на особено уважение от страна на московчани и центъра на московската опозиция на правителството.
Принцът остаря много тази година. В него се появиха остри признаци на старост: неочаквано заспиване, забравяне на непосредствените събития и спомен за отдавнашни, детската суета, с която прие ролята на ръководител на московската опозиция. Независимо от факта, че когато старецът, особено вечер, излезе на чай с коженото си палто и напудрена перука и, докоснат от някого, започна своите резки истории за миналото или дори по-резки и сурови преценки за настоящето , той събуди у всичките си гости същото чувство на почтително уважение. За посетителите всичко това Стара къщас огромни тоалетни маси, предреволюционни мебели, тези лакеи в пудра и самият хладнокръвен и умен старец от миналия век с кротката си дъщеря и хубавата французойка, които го почитаха, представляваха величествено приятна гледка. Но посетителите не се замисляха, че освен тези два-три часа, през които виждаха собствениците, имаше още 22 часа на ден, през които се извършваха тайни дейности. вътрешен животкъщи.
IN напоследък в Москва този вътрешен живот стана много труден за принцеса Мария. В Москва тя беше лишена от онези най-добри радости - разговори с Божиите хора и уединение - които я освежаваха в Плешивите планини, и нямаше никакви предимства и радости на столичния живот. Тя не излезе в света; всички знаеха, че баща й няма да я пусне без него, а поради лошо здраве той самият не можеше да пътува и тя вече не беше канена на вечери и вечери. Принцеса Мария напълно изостави надеждата за брак. Тя видя студенината и горчивината, с които княз Николай Андреич приемаше и изпращаше млади хора, които можеха да бъдат ухажори, които понякога идваха в къщата им. Принцеса Мария нямаше приятели: при това посещение в Москва тя беше разочарована от двамата си най-близки хора. M lle Bourienne, с която преди това не можеше да бъде напълно откровена, сега й стана неприятна и по някаква причина тя започна да се отдалечава от нея. Джули, която беше в Москва и на която принцеса Мария писа пет години подред, се оказа напълно непозната за нея, когато принцеса Мария отново се запозна с нея лично. По това време Джули, след като стана една от най-богатите булки в Москва по повод смъртта на братята си, беше в разгара на социалните удоволствия. Беше заобиколена от млади хора, които, помисли си тя, внезапно оцениха нейните заслуги. Джули беше в онзи период на застаряващото общество млада дама, която чувства, че последният й шанс за брак е дошъл и сега или никога съдбата й трябва да бъде решена. Принцеса Мария си спомняше с тъжна усмивка в четвъртък, че сега няма на кого да пише, тъй като Джули, Джули, от чието присъствие не изпитваше никаква радост, беше тук и я виждаше всяка седмица. Тя като стар емигрант, отказал да се ожени за дамата, с която прекарваше вечерите си няколко години, съжаляваше, че Джули е тук и няма на кого да пише. Принцеса Мария нямаше с кого да говори в Москва, нямаше на кого да довери скръбта си, а през това време се добави много нова скръб. Времето за завръщането на княз Андрей и неговата женитба наближаваше, а заповедта му да подготви баща си за това не само не беше изпълнена, но напротив, въпросът изглеждаше напълно развален, а напомнянето на графиня Ростова вбеси стария княз, който вече беше извънредно през повечето време. Нова скръб, която напоследък се увеличи за принцеса Мария, бяха уроците, които тя даде на своя шестгодишен племенник. В отношенията си с Николушка тя разпозна с ужас раздразнителността на баща си. Колкото и пъти да си казваше, че не бива да си позволява да се вълнува, докато учи племенника си, почти всеки път, когато сядаше с показалка да учи френската азбука, тя толкова искаше бързо и лесно да прехвърли знанията си от себе си в детето, което вече се страхуваше, че има леля. Тя се ядосваше, че при най-малкото невнимание от страна на момчето трепваше, бързаше, вълнуваше се, повишаваше тон, понякога го дърпаше за ръка и го слагаше в един ъгъл. След като го постави в ъгъла, тя сама започна да плаче за злия си, лош характер, а Николушка, имитирайки нейните ридания, излезе от ъгъла без разрешение, приближи се до нея, отдръпна мокрите си ръце от лицето й и я утеши. Но това, което причиняваше повече скръб на принцесата, беше раздразнителността на баща й, която винаги беше насочена срещу дъщеря му и наскоро достигна точката на жестокост. Цяла нощ да я беше принуждавал да се кланя, да я биеше и да я караше да носи дърва и вода, никога не би й хрумнало, че положението й е тежко; но този любящ мъчител, най-жестокият, защото обичаше и измъчваше себе си и нея поради тази причина, умишлено знаеше как не само да я обиди и унижи, но и да й докаже, че тя винаги е виновна за всичко. Напоследък в него се появи нова черта, която измъчваше най-много принцеса Мария - това беше по-голямото му сближаване с m lle Bourienne. Мисълта, която му дойде в първата минута след като получи новината за намеренията на сина си, че ако Андрей се ожени, тогава той самият ще се ожени за Буриен, очевидно го зарадва и той напоследък упорито (както изглеждаше на принцеса Мария) само за цел за да я обиди, той прояви специална привързаност към m lle Bourienne и показа недоволството си от дъщеря си, като показа любов към Bourienne.

Теоремата на Ароу (известна още като парадокс на Ароу) е теорема за невъзможността за „колективен избор“. Формулиран от американския икономист Кенет Ароу през 1951 г.

Смисълът на тази теорема е, че в рамките на ординалния подход не съществува метод за комбиниране на индивидуалните предпочитания за три или повече алтернативи, който да удовлетворява някакви напълно справедливи условия и винаги да дава логически последователен резултат.

Ординалният подход се основава на факта, че предпочитанията на индивида по отношение на предлаганите за избор алтернативи не могат да бъдат измерени количествено, а само качествено, т.е. една алтернатива е по-лоша или по-добра от друга.

В рамките на кардиналисткия подход, който предполага количествената измеримост на предпочитанията, теоремата на Ароу не работи в общия случай.

ТЕОРЕМА ЗА НЕВЪЗМОЖНОСТТА НА СТРЕЛКАТА

(Теорема за невъзможността на Ароу) Теоремата, според която в икономически модел, включващ няколко души, мажоритарното гласуване не винаги генерира равновесна ситуация. Нека трима лица, 1, 2 и 3, последователно класират три ситуации, А, по степен на предпочитание , B и C. Ако човек 1 подреди ситуациите в реда A, B, C, човек 2 - B, C, A и човек 3 - C, A, B, тогава когато нестратегическо решение се взема с мнозинство гласуване се оказва, че ситуация A е за предпочитане пред ситуация B, B е за предпочитане пред C, а C е за предпочитане пред A. Обърнете внимание обаче, че тази теорема не казва нищо за неизбежността на такава парадоксална ситуация или дори за нейната вероятност, а само заявява, че е възможно по принцип.

Формулировки

Формулировка от 1951 г

Нека има N≥2 гласоподаватели, гласуващи за n≥3 кандидати (от гледна точка на теорията за вземане на решения кандидатите обикновено се наричат ​​алтернативи). Всеки избирател има подреден списък с алтернативи. Избирателната система е функция, която превръща набор от N такива списъци (профил на гласуване) в общ подреден списък.

Една избирателна система може да има следните характеристики:

Универсалност

Монотонен

Ако във всички N списъка някоя алтернатива x остава на мястото си или се издига по-високо, а редът на останалите не се променя, в общия списък x трябва да остане на мястото си или да се издигне по-високо.

Липса на диктатор

Няма избирател, чиито предпочитания да определят резултата от изборите независимо от предпочитанията на другите избиратели.

Формулировка от 1963 г

Във формулировката от 1963 г. условията на Arrow са както следва.

Универсалност

Липса на диктатор

Независимост от външни алтернативи

Ефективността на Парето или принципът на единодушието

ако всеки гласоподавател има алтернатива x, класирана по-високо от y в списъка, крайният резултат също трябва да е такъв.

Доказателство на теоремата на Ароу

Нека въведем следната нотация:

≻i - предпочитанията на i-тия агент; [≻"] - профил на предпочитанията (кортеж, чиито елементи са предпочитанията на всички агенти);

W: Ln → L - функция за социално благосъстояние; ≻W - колективни предпочитания.

Нека означим с O набора от резултати, които всеки агент класира в съответствие с неговите предпочитания.

Нека дадем формални определения:

Ефективност по Парето

W е ефективен по Парето, ако за всякакви резултати o1, o2 ∈ O, ∀i (o1 ≻i o2) ⇒ (o1 ≻W o2)

Независимост от външни алтернативи

W е независимо от външни алтернативи, ако за всякакви резултати o1, o2 ∈ O и за всеки два профила на предпочитание [≻"] и [≻"] ∈ Ln, ∀i (o1 ≻i" o2 ⇔ o1 ≻i" o2) ⇒ ( o1 ≻W([≻"]) o2 ⇔ o1 ≻W([≻"]) o2)

Липса на диктатор

Предполагаме, че няма диктатор за W, ако няма i, така че ∀ o1, o2 ∈ O (o1 ≻i o2 ⇒ o1 ≻W o2)

Теорема на Ароу

Ако |O| ≥ 3, тогава всяка ефективна по Парето функция на социалното благосъстояние W, независима от външни алтернативи, има диктатор.

Извършваме доказването на 4 етапа.

Етап 1. Одобрение

Ако всеки агент постави резултат b в най-горната или долната част на своя списък с предпочитания, тогава в ≻W резултат b също ще бъде или в горната, или в долната част на списъка.

Нека вземем произволен профил [≻], така че за всички агенти i, резултат b да се намира или в горната, или в долната част на списъка с предпочитания ≻i. Сега нека приемем, че твърдението ни е невярно, т.е. съществуват a,c ∈ O такива, че a ≻W b и b ≻W c. Нека тогава променим профила [≻], така че c ≻i a да е изпълнено за всички агенти, без да променяме класирането на останалите резултати. Нека обозначим резултантния профил [≻"]. Тъй като след такава модификация резултатът b за всеки агент все още ще остане или на горната, или на долната позиция в списъка с неговите предпочитания, тогава от независимостта на W от външни алтернативи можем да заключим, че в новия профил a ≻W b и b ≻W c. Следователно, поради транзитивността на ≻W получаваме ≻W c. Но ние предположихме, че за всички агенти c ≻i a, тогава поради ефективността на Парето трябва да има c ≻W a. Полученото противоречие доказва твърдението.

Етап 2. Одобрение

Има агент, който е централен в смисъл, че като промени вота си, той може да премести резултат b от най-ниската позиция в списъка ≻W на най-високата позиция в този списък.

Помислете за всеки профил на предпочитания, в който всички агенти са класирали резултат b в самото дъно на своя списък с предпочитания ≻i. Ясно е, че в ≻W резултат b е в най-ниската позиция. Нека всички агенти започнат да се редуват, пренареждайки резултат b от най-ниската към най-високата позиция в техните списъци с предпочитания, без да променят класирането на останалите резултати. Нека n* е агентът, който, пренареждайки b по този начин, е променил ≻W. Нека обозначим с [≻1] профила на предпочитанията точно преди n* да премести b и [≻2] профила на предпочитанията точно след като n* премести b. По този начин, в [≻2], резултатът b е променил позицията си в ≻W и за всички агенти b е или в горната, или в долната позиция ≻i. Следователно, по силата на твърдението, доказано в Етап 1, в ≻W резултат b заема най-високата позиция.

Етап 3. Одобрение

, без да се включва b.

Да изберем от двойка всеки елемент. Без загуба на общост избираме a. След това от профил [≻2] конструираме [≻3] по следния начин: в ≻n* преместваме резултат a на първа позиция, оставяйки останалата част от класирането непроменена; За всички останали агенти произволно разменяме a и c един с друг. Тогава, както в [≻1], получаваме, че a ≻W b (поради независимост от външни алтернативи) и, както в [≻2], получаваме, че b ≻W c. Тогава a ≻W c. Сега нека изградим профил на предпочитания [≻4], както следва: за всички агенти поставяме резултат b на произволна позиция в списъка с предпочитания ≻i, за агент n* поставяме резултат a на произволна позиция преди резултат c. Ясно е, че поради независимост от външни алтернативи a ≻W c. Ние открихме, че всички агенти с изключение на n * имат напълно произволни профили на предпочитания и резултатът a ≻ W c е получен само въз основа на предположението, че a ≻ n * c.

Етап 4. Одобрение

n* - диктатор над всички двойки .

Нека разгледаме някои резултати с. Поради Етап 2, има някакъв централен агент n** за този резултат, който също е диктатор за всички двойки , където по-специално A = a, B = b. Но самото n* може да промени класирането в ≻W (това беше разгледано на Етап 2). Следователно можем да заключим, че n** е същото като n*. Доказателството е пълно.

Анотация: В тази лекция ще разгледаме въпрос, който на пръв поглед дори не е задължително да е в областта на икономиката. Ще разгледаме гласуването, възможните модели на гласуване и до какви резултати могат да доведат.

Гласуването и основните ни цели

Всъщност, разбира се, това е частен, но в същото време най-общ случай от самите проблеми, които решаваме в този курс. Гласуването е много прост и естествен частен случай на икономически механизъм. Гласуването има различни възможни резултати, от които участниците трябва да избират; например това са кандидати , и , от които един трябва да стане президент. Всеки участник с гласуване (агент) има определен ред на тези резултати (ще ни трябва само случаят, когато този ред е линеен, т.е. всеки резултат е сравним с всеки), който отразява неговите предпочитания. Например харесвам кандидата повече от, и - повече от; ще обозначим това с . Този ред може да се разглежда като латентна функция на предпочитанията на агента. И накрая, има някаква функция на социален избор, която определя кой кандидат трябва да спечели при дадено съотношение на гласовете.

Имайте предвид, че този частен случай се оказва и най-общ. Ние не приемаме никакви ограничения, никаква структура върху набора от предпочитания на всеки от агентите; всеки резултат може да се появи навсякъде в неговата функция за вътрешни предпочитания. Следователно резултатите от невъзможността, които получаваме в тази лекция, ще бъдат много полезни при доказването на резултатите от невъзможността в теорията на икономическите механизми, които ще изучаваме през следващите три лекции. Основният резултат ще бъде теоремата на Ароу, която е доказана от Кенет Ароу през 1963 г.

Но преди всичко трябва да разберем какво бихме искали да получим от една система за гласуване. Какви са целите, които (безуспешно) ще се опитаме да постигнем?

За да направите това, помислете за доста прост и разбираем случай на гласуване: случаят, когато в него участва точно един агент. Кои са най-основните, най-естествените свойства, които ще има наборът от предпочитания на един агент? Нека формулираме три основни свойства, три изключително естествени допускания.

И накрая, четвъртото свойство по същество е свойство на функцията на социалния избор, а не свойство на един агент, както първите три. Вече го обсъдихме в предишни лекции.

Съгласете се, всички тези свойства звучат напълно естествено, нали? Би било много странно, ако системата за гласуване не удовлетворяваше тези свойства. Вече дадохме един пример за добра система: система, в която точно един агент удовлетворява и четирите свойства.

Може да се използва по-малко тривиален пример. Да приемем, че има само два възможни изхода, тоест гласуването се е превърнало в референдум. След това можем да предложим най-простата система за гласуване: изберете желаната алтернатива с мнозинство. Препоръчваме на читателя да провери дали изборът с обикновено мнозинство от два резултата удовлетворява и четирите свойства, които ни интересуват.

Оказва се обаче, че такава система не е лесна за изграждане при три или повече възможни резултата от вота. Има малко подходящи механизми за гласуване и е малко вероятно съществуващите механизми да са в състояние да задоволят привържениците на демократичната процедура, защото те със сигурност ще се окажат диктаторски: резултатът от гласуването просто ще съвпадне с предпочитанията на някой от неговите участници. Това ще бъде теоремата на Ароу.

Но ще започнем, като демонстрираме защо естествените системи за гласуване се провалят при толкова прости условия. Нашата презентация ще последва основно.

Парадокси на гласуването

В този раздел ще дадем примери за различни видове странни конструкции, които, от философска гледна точка, доказват едно просто нещо: в света няма рационално „общо мнение на група хора“. Има мнение на всеки отделен човек. Но общото мнение, ако се опитаме по някакъв начин да го изчислим повече или по-малко „равномерно“ от многото мнения на членовете на групата, която ни интересува, няма да има никакви разумни свойства. Формализираме това в теоремата на Ароу и в този раздел даваме важна интуиция.

Първият пример датира чак от 18 век. През годината маркиз дьо Кондорсе излиза с понятието парадокс, което под негово име навлиза в политическата и икономическата теория. Идеята на парадокса на Кондорсе е проста: помислете за три възможни изхода и и трима участници и . Да приемем, че техните предпочитания са разпределени по следния начин:

С други думи, предпочитанията на тримата участници се получават чрез циклично изместване на един линеен ред.

Какво ще се случи по време на гласуването? Ако изборът е предложен и , тогава те ще гласуват за и ще бъдат избрани: . Ако референдумът се проведе между и , тогава победата на алтернативата ще бъде осигурена от гласуването на агенти и : . Но ако предложат избор между и , тогава ще гласуват за и се оказва, че ! В парадокса на Кондорсе се нарушава транзитивността на „мнението на мнозинството”.

Нека да разгледаме това от гледна точка на дизайна на механизма. Как да изградим механизъм за гласуване, който да вземе правилното решение? И какво точно е „правилното решение“ в случая? Може да изглежда съвсем естествено да има механизъм, който последователно провежда референдуми, гласувайки с два изхода, докато (приемайки транзитивност, разбира се) не получи достатъчно информация, за да избере оптималния резултат. Въз основа на парадокса на Кондорсе, такъв алгоритъм може да работи безкрайно (или да дава грешка): колкото и да се въртите в кръг, няма да направите нито един оптимален избор.

Но въпросът не спира дотук. Тук засега изглежда, че няма никакво значение какъв избор да направите: и трите варианта са абсолютно симетрични, така че каква е разликата във функцията на социалния избор, коя да предпочетете. Нека да разгледаме малка модификация на парадокса на Кондорсе, в която резултатите от алгоритъма за гласуване по двойки ще бъдат още по-интересни. Например, ще ни трябват цели седем алтернативи, така че нека ги наречем нещо по-интересно, а не просто букви от латинската азбука.

Пример 6.1. Седем велики водачи тръгват на поход към седемте порти на Тива. Двама изгнаници тръгват на поход - Тидей и Полинейк, тръгва цар Адраст, двама аргивски водачи - Капаней и Хипомедонт, ясновидецът Амфиарай и аркадският Партенопей 2 Бихме искали да разкажем тази история по-подробно, но някак си не е тук мястото... като цяло препоръчваме да прочетете „Седем срещу Тива“ на Есхил и „Финикийците“ на Еврипид - или поне кратко резюме от тях.

Междувременно на Олимп Хера, Атина и Артемида решават кой от седемте лидери да направят свой фаворит, който ще допринесе повече от останалите по време на обсадата на Тива. Предпочитанията на богините са много сложни. Ето ги (в таблицата, отгоре надолу, степента на предпочитание намалява).

Хера	Атина	Артемида
Тидей	Капаней	Хипомедонт
Полиник	Хипомедонт	Тидей
Капаней	Тидей	Партенопея
Хипомедонт	Амфиарай	Полиник
Adrast	Партенопея	Капаней
Амфиарай	Полиник	Adrast
Партенопея	Adrast	Амфиарай

В най-добрите традиции на древногръцката демокрация, богините се съгласиха да решат въпроса чрез гласуване. Те започнаха да установяват общ ред чрез алтернативни гласувания. И ето какво получиха...

1. Тидей срещу Хипомедонт: Хера е числено превъзхождана, Хипомедонт продължава напред.
2. Хипомедонт срещу Капаней: Хера и Атина водят Капаней по-нататък.
3. Капаней срещу Полинейк: Полинейк печели и напредва към следващата битка.
4. Полинейк срещу Партенопей: въпреки факта, че Хера Партенопей не е никак мила, той печели.
5. Partenopeia срещу Amphiaraus: Amphiaraus печели.
6. Амфиарей срещу Адраст: Адраст печели, Атина е в малцинството.

В резултат не само, че Атина беше в малцинство при последния вот, но сякаш мъдростта изобщо не беше прекарала нощта в този вот. Богините бавно, но сигурно се движеха надолу по масата, въпреки че на всяка стъпка правеха своя избор с мнозинство (може да се каже, конституционно мнозинство - две трети бяха достигнати). В резултат на това цар Адраст спечели, въпреки че в първоначалните предпочитания и на трите богини Тидей, Полинейк, Капаней и Хипомедон стояха над Адраст.

Край на пример 6.1.

Но интересните последици от парадокса на Кондорсе не свършват дотук. Нека помислим: какви бяха опциите за нашето гласуване? Да приемем, че засега искаме да се ограничим до избора между две алтернативи. Така гласуването се оказва двуетапно: първо двама алтернативи се борят помежду си, след което победителят се бори с третия. Нека разгледаме възможните варианти за класическия парадокс на Condorcet (виж фиг. 6.1).

Ориз. 6.1.

Оказва се, че резултатът при еднакви предпочитания коренно зависи от формата на гласуване! Това означава, че този, който контролира формата на гласуване (а в реални ситуации някой обикновено го контролира), има значително предимство и може да спечели, дори и да е в малцинството.

Освен това тази зависимост от формата води до факта, че двойна независимост на предпочитаниятав този случай също се проваля. Нека разгледаме проста ситуация, в която има точно две алтернативи: и , и мнозинството иска да избере . Тогава, разбира се, те ще бъдат избрани с обикновено мнозинство без никакви проблеми. Но ако малцинството успее да изгради такава трета възможност, че по време на избори и , тогава точно това малцинство ще може, като установи правилния ред на изборите (първо срещу , после срещу победителя), да проведе , а не .

Пример 6.2. В политиката подобни ситуации са рядкост, но на практика се случват. Наричат ​​ги "убийствени поправки". Ето един интересен пример от практиката.

В САЩ първоначално сенаторите се избират не чрез пряк народен вот, а от законодателните органи на съответния щат. 17-та поправка към конституцията на САЩ, която в крайна сметка е приета през 1913 г., трябваше да въведе гласуване за поста сенатор.Но имаше един любопитен инцидент по пътя към нейното приемане.

Проблемът беше, че в онези години в Съединените щати Югът и Северът все още не се харесваха много и южните сенатори се притесняваха, че ако федералният („северен“) щат поеме контрола върху изборите на сенатори, тогава северните републиканци биха направили нещо... нещо ужасно, като например да позволят на чернокожите да гласуват - и наистина, някои републиканци щяха да направят точно това.

Беше постигнат компромис: законопроект, който въведе преки избори за сенатори, но съдържаше изменения за ограничаване на контрола на федералното правителство върху изборите в южните щати. Той беше подкрепен от мнозинството (това беше възможност) и при пряко гласуване между този законопроект и изобщо да не се въвеждат преки избори (възможност), законопроектът щеше да мине.

Сенатор Съдърланд, лидерът на малцинството, което беше против избирането на сенатори като такива, обаче успя да излезе с убийствена поправка. Това беше предложението за преки избори на сенатори без никакви поправки южни щати. Съдърланд организира нещата така, че първоначално гласуването се проведе между и. Малцинството на Съдърланд гласува "за", северните републиканци също гласуваха "за" и спечелиха. Но въпросът не свърши дотук: тогава възникна изборът между и. Съдърланд изведнъж „промени гледната си точка“ и започна да гласува не за, а за, тоест напълно против изборите. В резултат на това законопроектът първоначално изпълни целта си и нокаутира подкрепения от мнозинството законопроект, а след това се провали на следващите избори. Резултатът е ситуацията, показана на фиг. 6.2 с плътни линии, вместо ситуацията, изобразена там с пунктирана линия.