или (еквивалентно) многостен с шест лица, които са успоредници. Шестоъгълник.
Успоредниците, които изграждат паралелепипеда, са ръбовена този паралелепипед, страните на тези успоредници са ръбове на паралелепипед, и върховете на успоредниците са върхове паралелепипед. В паралелепипед всяко лице е успоредник.
По правило всеки 2 противоположни лица се идентифицират и извикват основи на паралелепипеда, а останалите лица - странични лица на паралелепипеда. Ръбовете на паралелепипеда, които не принадлежат към основите, са странични ребра.
2 лица на паралелепипед, които имат общ ръб са съседен, и тези, които нямат общи ръбове - противоположност.
Сегмент, който свързва 2 върха, които не принадлежат на 1-вото лице, е диагонал на паралелепипед.
Дължини на ребрата правоъгълен паралелепипед, които не са успоредни, са линейни размери (измервания) паралелепипед. Правоъгълният паралелепипед има 3 линейни измерения.
Видове паралелепипед.
Има няколко вида паралелепипеди:
Директене паралелепипед с ръб, перпендикулярна на равнинатаоснования.
Правоъгълен паралелепипед, в който всичките 3 измерения са равни, е куб. Всяка от страните на куба е еднаква квадрати .
Всеки паралелепипед.Обемът и съотношенията в наклонен паралелепипед се определят главно с помощта на векторна алгебра. Обемът на паралелепипеда е равен на абсолютната стойност на смесеното произведение на 3 вектора, които се определят от 3-те страни на паралелепипеда (които произхождат от един и същи връх). Връзката между дължините на страните на паралелепипеда и ъглите между тях показва твърдението, че детерминантата на Грам на дадените 3 вектора е равна на квадрата на тяхното смесено произведение.
Свойства на паралелепипед.
- Паралелепипедът е симетричен спрямо средата на своя диагонал.
- Всеки сегмент с краища, които принадлежат на повърхността на паралелепипед и който минава през средата на неговия диагонал, се разделя от него на две равни части. Всички диагонали на паралелепипеда се пресичат в 1-ва точка и се делят от нея на две равни части.
- Противоположните страни на паралелепипеда са успоредни и имат равни размери.
- Квадратът на дължината на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на
В този урок всеки ще може да изучава темата „Правоъгълен паралелепипед“. В началото на урока ще повторим какво представляват произволни и прави паралелепипеди, запомнете свойствата на противоположните им лица и диагонали на паралелепипеда. След това ще разгледаме какво е кубоид и ще обсъдим основните му свойства.
Тема: Перпендикулярност на прави и равнини
Урок: Кубоид
Повърхнина, съставена от два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 и четири успоредника ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 се нарича паралелепипед(Фиг. 1).
Ориз. 1 паралелепипед
Тоест: имаме два равни успоредника ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (основи), те лежат в успоредни равнини, така че страничните ръбове AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 са успоредни. Така се нарича повърхност, съставена от успоредници паралелепипед.
По този начин повърхността на паралелепипеда е сумата от всички паралелограми, които изграждат паралелепипеда.
1. Противоположните лица на паралелепипед са успоредни и равни.
(формите са равни, т.е. могат да се комбинират чрез застъпване)
Например:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (равни успоредници по дефиниция),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (тъй като AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (тъй като AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C са противоположни лица на паралелепипеда).
2. Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка и се разполовяват от тази точка.
Диагоналите на паралелепипеда AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B се пресичат в една точка O, като всеки диагонал се дели наполовина от тази точка (фиг. 2).
Ориз. 2 Диагоналите на паралелепипед се пресичат и се разделят наполовина от пресечната точка.
3. Има три четворки от равни и успоредни ръбове на паралелепипед: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.
Определение. Паралелепипедът се нарича прав, ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основите.
Нека страничният ръб AA 1 е перпендикулярен на основата (фиг. 3). Това означава, че правата AA 1 е перпендикулярна на правите AD и AB, които лежат в равнината на основата. Това означава, че страничните лица съдържат правоъгълници. И в основите лежи произволни успоредници. Нека означим ∠BAD = φ, ъгълът φ може да бъде произволен.
Ориз. 3 Прав паралелепипед
И така, прав паралелепипед е паралелепипед, в който страничните ръбове са перпендикулярни на основите на паралелепипеда.
Определение. Паралелепипедът се нарича правоъгълен,ако страничните му ръбове са перпендикулярни на основата. Основите са правоъгълници.
Паралелепипедът ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е правоъгълен (фиг. 4), ако:
1. AA 1 ⊥ ABCD (страничен ръб, перпендикулярен на равнината на основата, т.е. прав паралелепипед).
2. ∠BAD = 90°, т.е. основата е правоъгълник.
Ориз. 4 Правоъгълен паралелепипед
Правоъгълният паралелепипед има всички свойства на произволен паралелепипед.Но има допълнителни свойства, които се извличат от дефиницията на кубоид.
Така, кубоиде паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на основата. Основата на кубоид е правоъгълник.
1. В правоъгълен паралелепипед всичките шест лица са правоъгълници.
ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са правоъгълници по дефиниция.
2. Страничните ребра са перпендикулярни на основата. Това означава, че всички странични лица на правоъгълен паралелепипед са правоъгълници.
3. Всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.
Да разгледаме например двустенния ъгъл на правоъгълен паралелепипед с ръб AB, т.е. двустенния ъгъл между равнините ABC 1 и ABC.
AB е ребро, като точка A 1 лежи в едната равнина - в равнината ABB 1, а точка D в другата - в равнината A 1 B 1 C 1 D 1. Тогава разглежданият двустенен ъгъл може да се означи и по следния начин: ∠A 1 ABD.
Нека вземем точка А на ръба АВ. AA 1 е перпендикулярна на ръба AB в равнината АВВ-1, AD е перпендикулярна на ръба AB в равнината ABC. Това означава, че ∠A 1 AD е линейният ъгъл на даден двустенен ъгъл. ∠A 1 AD = 90°, което означава, че двустенният ъгъл при ръба AB е 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
По същия начин се доказва, че всички двустенни ъгли на правоъгълен паралелепипед са прави.
Квадратът на диагонала на правоъгълен паралелепипед е равен на сумата от квадратите на трите му измерения.
Забележка. Дължините на трите ръба, излизащи от един връх на кубоид, са измерванията на кубоида. Понякога се наричат дължина, ширина, височина.
Дадено е: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правоъгълен паралелепипед (фиг. 5).
Докажи: .
Ориз. 5 Правоъгълен паралелепипед
Доказателство:
Правата CC 1 е перпендикулярна на равнината ABC и следователно на правата AC. Това означава, че триъгълникът CC 1 A е правоъгълен. Според теоремата на Питагор:
Нека помислим правоъгълен триъгълник ABC. Според теоремата на Питагор:
Но пр. н. е. и сл. н. е. - противоположни страниправоъгълник. Така че BC = AD. Тогава:
защото , А , Че. Тъй като CC 1 = AA 1, това трябва да се докаже.
Диагоналите на правоъгълен паралелепипед са равни.
Нека означим размерите на паралелепипеда ABC като a, b, c (виж фиг. 6), тогава AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Паралелепипедът е четириъгълна призма с паралелограми в основата си. Височината на паралелепипед е разстоянието между равнините на основите му. На фигурата височината е показана чрез сегмента 
. Има два вида паралелепипеди: прави и наклонени. обикновено, учител по математикапърво дава съответните дефиниции за призма и след това ги прехвърля върху паралелепипед. Ние ще направим същото.
Нека ви напомня, че призмата се нарича права, ако страничните й ръбове са перпендикулярни на основите; ако няма перпендикулярност, призмата се нарича наклонена. Тази терминология е наследена и от паралелепипеда. 
Правият паралелепипед не е нищо повече от вид права призма, чийто страничен ръб съвпада с височината. Дефинициите на такива понятия като лице, ръб и връх, които са общи за цялото семейство полиедри, са запазени. Появява се концепцията за противоположни лица. Паралелепипедът има 3 чифта противоположни лица, 8 върха и 12 ръба.
Диагоналът на паралелепипед (диагоналът на призма) е отсечка, свързваща два върха на многостен и не лежи върху нито едно от лицата му.
Диагонално сечение - сечение на паралелепипед, минаващо през неговия диагонал и диагонала на основата му.
Свойства на наклонен паралелепипед:
1) Всичките му лица са успоредници, а срещуположните лица са равни успоредници.
2)
Диагоналите на паралелепипед се пресичат в една точка и се разполовяват в тази точка.
3)
Всеки паралелепипед се състои от шест триъгълни пирамиди с еднакъв обем. За да ги покаже на ученика, учителят по математика трябва да отреже половината от паралелепеда с диагоналното му сечение и да го раздели отделно на 3 пирамиди. Техните основи трябва да лежат на различни лица на оригиналния паралелепипед. Учител по математика ще намери приложение на това свойство в аналитичната геометрия. Използва се за извличане на обема на пирамида чрез смесен продукт от вектори.
Формули за обем на паралелепипед:
1), където е площта на основата, h е височината.
2) Обемът на паралелепипед е равен на произведението от площта на напречното сечение и страничния ръб.
Учител по математика: Както знаете, формулата е обща за всички призми и ако преподавателят вече я е доказал, няма смисъл да повтаряте същото за паралелепипед. Въпреки това, когато работите със средно ниво (формулата не е полезна за слаб ученик), препоръчително е учителят да действа точно обратното. Оставете призмата на мира и извършете внимателно доказателство за паралелепипеда.
3) , където е обемът на една от шестте триъгълни пирамиди, съставляващи паралелепипеда.
4) Ако , тогава
Площта на страничната повърхност на паралелепипед е сумата от площите на всичките му лица:
Общата повърхност на паралелепипед е сумата от площите на всичките му лица, т.е. площта + две площи на основата: .
За работата на учител с наклонен паралелепипед:
Учителят по математика не работи често върху задачи, включващи наклонен паралелепипед. Вероятността да се явят на Единния държавен изпит е доста ниска, а дидактиката е неприлично лоша. Повече или по-малко приличен проблем за обема на наклонен паралелепипед повдига сериозни проблеми, свързани с определянето на местоположението на точка H - основата на неговата височина. В този случай учителят по математика може да бъде посъветван да изреже паралелепипеда до една от шестте му пирамиди (за които ние говорим зав свойство № 3), опитайте се да намерите неговия обем и да го умножите по 6.
Ако страничният ръб на паралелепипеда има равни ъглисъс страните на основата, то H лежи върху ъглополовящата на ъгъл A на основата ABCD. И ако, например, ABCD е ромб, тогава
Задачи за учител по математика:
1) Лицата на паралелепипед са равни едно на друго със страна 2 см и остър ъгъл. Намерете обема на паралелепипеда.
2) В наклонен паралелепипед страничният ръб е 5 cm. Перпендикулярното му сечение е четириъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали с дължини 6 см и 8 см. Изчислете обема на паралелепипеда.
3) В наклонен паралелепипед е известно, че , а в ABCD основата е ромб със страна 2 cm и ъгъл . Определете обема на паралелепипеда.
Учител по математика Александър Колпаков
