Производна на частното на две функции (производна на дроб). Как да намерим производната на дроб. Производна на сложна дробна функция

Много лесен за запомняне.

Е, нека не отиваме далеч, нека веднага разгледаме обратната функция. Коя функция е обратна на експоненциалната функция? Логаритъм:

В нашия случай основата е числото:

Такъв логаритъм (т.е. логаритъм с основа) се нарича „естествен“ и ние използваме специална нотация за него: пишем вместо това.

На какво е равно? Разбира се, .

Производната на естествения логаритъм също е много проста:

Примери:

1. Намерете производната на функцията.
2. Каква е производната на функцията?

Отговори: Експоненциалният и естественият логаритъм са уникално прости функции от производна гледна точка. Експоненциалните и логаритмичните функции с всяка друга основа ще имат различна производна, която ще анализираме по-късно, след като преминем през правилата за диференциране.

Правила за диференциране

Правила на какво? Пак нов мандат, пак?!...

Диференциацияе процесът на намиране на производната.

Това е всичко. Как иначе можете да наречете този процес с една дума? Не производна... Математиците наричат ​​диференциала същото нарастване на функция при. Този термин идва от латинския differentia - разлика. Тук.

Когато извличаме всички тези правила, ще използваме две функции, например и. Ще ни трябват и формули за техните увеличения:

Има общо 5 правила.

Константата се изважда от знака за производна.

Ако - някакво постоянно число (константа), тогава.

Очевидно това правило работи и за разликата: .

Нека го докажем. Нека бъде или по-просто.

Примери.

Намерете производните на функциите:

1. в точка;
2. в точка;
3. в точка;
4. в точката.

Решения:

1. (производната е една и съща във всички точки, тъй като е линейна функция, помните ли?);

Производно на продукта

Тук всичко е подобно: нека въведем нова функция и да намерим нейното увеличение:

Производна:

Примери:

1. Намерете производните на функциите и;
2. Намерете производната на функцията в точка.

Решения:

Производна на експоненциална функция

Сега знанията ви са достатъчни, за да научите как да намирате производната на всяка експоненциална функция, а не само на експоненти (забравили ли сте вече какво е това?).

И така, къде е някакво число.

Вече знаем производната на функцията, така че нека се опитаме да намалим нашата функция до нова основа:

За целта ще използваме едно просто правило: . Тогава:

Е, проработи. Сега опитайте да намерите производната и не забравяйте, че тази функция е сложна.

Се случи?

Ето, проверете сами:

Формулата се оказа много подобна на производната на експонента: както беше, остава същата, само се появи фактор, който е просто число, но не и променлива.

Примери:
Намерете производните на функциите:

Отговори:

Това е просто число, което не може да се изчисли без калкулатор, тоест не може да се запише в по-прост вид. Затова го оставяме в този вид в отговора.

Имайте предвид, че тук е частното на две функции, така че прилагаме съответното правило за диференциране:

В този пример продуктът на две функции:

Производна на логаритмична функция

Тук е подобно: вече знаете производната на естествения логаритъм:

Следователно, за да намерите произволен логаритъм с различна основа, например:

Трябва да намалим този логаритъм до основата. Как се променя основата на логаритъм? Надявам се, че помните тази формула:

Само сега вместо това ще напишем:

Знаменателят е просто константа (постоянно число, без променлива). Производната се получава много просто:

Производни на експоненциални и логаритмични функции почти никога не се срещат в Единния държавен изпит, но няма да е излишно да ги знаете.

Производна на сложна функция.

Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм и не е арктангенс. Тези функции могат да бъдат трудни за разбиране (въпреки че ако намирате логаритъма за труден, прочетете темата „Логаритми“ и ще се оправите), но от математическа гледна точка думата „комплексен“ не означава „труден“.

Представете си малка конвейерна лента: двама души седят и извършват някакви действия с някакви предмети. Например, първият увива шоколадово блокче в обвивка, а вторият го завързва с панделка. Резултатът е съставен обект: шоколадово блокче, увито и завързано с панделка. За да изядете блокче шоколад, трябва да направите обратните стъпки в обратен ред.

Нека създадем подобен математически конвейер: първо ще намерим косинуса на число и след това ще повдигнем на квадрат полученото число. И така, получаваме число (шоколад), аз намирам неговия косинус (обвивка), а след това вие повдигате на квадрат полученото (завързвате го с панделка). Какво стана? функция. Това е пример за сложна функция: когато, за да намерим нейната стойност, извършваме първото действие директно с променливата и след това второ действие с това, което е резултат от първото.

С други думи, сложна функция е функция, чийто аргумент е друга функция: .

За нашия пример,.

Можем лесно да направим същите стъпки в обратен ред: първо го повдигате на квадрат, а аз след това търся косинуса на полученото число: . Лесно е да се досетите, че резултатът почти винаги ще бъде различен. Важна характеристика на сложните функции: когато редът на действията се промени, функцията се променя.

Втори пример: (същото нещо). .

Действието, което извършваме последно, ще бъде извикано "външна" функция, а първо извършеното действие - съотв "вътрешна" функция(това са неофициални имена, използвам ги само за да обясня материала на прост език).

Опитайте се да определите сами коя функция е външна и коя вътрешна:

Отговори:Разделянето на вътрешни и външни функции е много подобно на промяната на променливи: например във функция

1. Какво действие ще извършим първо? Първо, нека изчислим синуса и едва след това го кубираме. Това означава, че това е вътрешна функция, но външна.
   И първоначалната функция е тяхната композиция: .
2. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .
3. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .
4. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .
5. Вътрешен: ; външен: .
   Преглед: .

Променяме променливи и получаваме функция.

Е, сега ще извлечем нашето шоколадово блокче и ще потърсим производната. Процедурата винаги е обратна: първо търсим производната на външната функция, след това умножаваме резултата по производната на вътрешната функция. Във връзка с оригиналния пример изглежда така:

Друг пример:

И така, нека най-накрая формулираме официалното правило:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

Изглежда просто, нали?

Нека проверим с примери:

Решения:

1) Вътрешен: ;

Външен: ;

2) Вътрешен: ;

(Само не се опитвайте да го отрежете досега! Нищо не излиза изпод косинуса, помните ли?)

3) Вътрешен: ;

Външен: ;

Веднага става ясно, че това е сложна функция на три нива: в крайна сметка това вече е сложна функция сама по себе си и ние също извличаме корена от нея, тоест извършваме третото действие (поставете шоколада в обвивка и с панделка в куфарчето). Но няма причина да се страхувате: ние все пак ще „разопаковаме“ тази функция в същия ред, както обикновено: от края.

Тоест, първо диференцираме корена, след това косинуса и едва след това израза в скоби. И след това умножаваме всичко.

В такива случаи е удобно действията да се номерират. Тоест нека си представим това, което знаем. В какъв ред ще извършим действия за изчисляване на стойността на този израз? Да разгледаме един пример:

Колкото по-късно се извърши действието, толкова по-„външна“ ще бъде съответната функция. Последователността на действията е същата като преди:

Тук гнезденето обикновено е 4-степенно. Да определим хода на действие.

1. Радикален израз. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Събираме всичко заедно:

ПРОИЗВОДНО. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Производна на функция- отношението на нарастването на функцията към увеличението на аргумента за безкрайно малко увеличение на аргумента:

Основни производни:

Правила за диференциация:

Константата се изважда от знака за производна:

Производна на сумата:

Производно на продукта:

Производна на коефициента:

Производна на сложна функция:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

1. Дефинираме „вътрешната“ функция и намираме нейната производна.
2. Дефинираме „външната“ функция и намираме нейната производна.
3. Умножаваме резултатите от първа и втора точка.

Формула за производна на дроб от две функции. Доказателство по два начина. Подробни примери за диференциране на частни.

Формула за производна дроб

Нека функциите u са дефинирани в определена околност на точка и имат производни в точката. Остави . Тогава тяхното частно има производна в точката, която се определя по формулата:
(1) .

Доказателство

Нека въведем следната нотация:
;
.
Тук и са функции на променливите и . Но за по-лесно записване ще пропуснем обозначенията на техните аргументи.

След това забелязваме това
;
.
По условие функциите и имат производни в точката, които са следните граници:
;
.
От съществуването на производни следва, че функциите и са непрекъснати в точката. Ето защо
;
.

Да разгледаме функцията y на променливата x, която е част от функциите и:
.
Нека разгледаме нарастването на тази функция в точката:
.
Умножете по:

.
Оттук
.

Сега намираме производната:

.

Така,
.
Формулата е доказана.

Вместо променлива можете да използвате всяка друга променлива. Нека го означим като x. Тогава, ако има производни и , и , тогава производната на дроб, съставена от две функции, се определя по формулата:
.
Или в по-кратък вариант
(1) .

Доказателство по втория начин

Примери

Тук ще разгледаме прости примери за изчисляване на производната на дроб, използвайки формулата за частно производно (1). Имайте предвид, че в по-сложни случаи е по-лесно да се намери производната на дроб, като се използва логаритмичната производна.

Пример 1

Намерете производната на дробта
,
където , , , са константи.

Нека приложим правилото за диференциране на сумата от функции:
.
Производна на константа
.
От таблицата на производните намираме:
.
Тогава
;
.

Заменете с и с:
.

Сега намираме производната на дробта, използвайки формулата
.

.

Пример 2

Намерете производната на функция от променлива x
.

Прилагаме правилата за диференциране, както в предишния пример.
;
.

Приложете правилото за диференциране на дроби
.


.

Произходът на диференциалното смятане е причинен от необходимостта да се решат определени физически проблеми. Предполага се, че човек с диференциално смятане може да приема производни на различни функции. Знаете ли как да вземете производнаот функция, изразена като дроб?

Инструкции

1. Всяка дроб има числител и знаменател. В процеса на намиране на производната на дробище трябва да се намери отделно производначислител и производназнаменател.

2. За да откриете производнаот дроби , производнаумножете числителя по знаменателя. Извадете от получения израз производназнаменател, умножен по числителя. Разделете общата сума на знаменателя на квадрат.

3. Пример 1’ = /cos? (x) = /cos? (x) = /cos? (x) = 1/cos? (х).

4. Полученият резултат не е нищо повече от табличната стойност на производната на функцията тангенс. Ясно е, че отношението на синус към косинус по дефиниция е тангенс. Оказва се, че tg (x) = ’ = 1 / cos? (х).

5. Пример 2[(x? - 1) / 6x]’ = [(2x 6x - 6 x?) / 6?] = / 36 = 6x? / 36 = x? / 6.

6. Специален случай дробие дроб, чийто знаменател е единица. Открийте производнаот този вид дробиПо-просто е: просто си го представете като знаменател със степен (-1).

7. Пример(1 / x)’ = ’ = -1 · x^(-2) = -1 / x?.

Забележка!
Една фракция може да съдържа още няколко фракции. В този случай е по-удобно първо да се намерят отделно производните на „първичните“ фракции.

Полезен съвет
Когато търсите производни на знаменателя и числителя, прилагайте правилата за диференциране: сума, произведение, трудни функции. Полезно е да имате предвид производните на най-простите таблични функции: линейни, експоненциални, степенни, логаритмични, тригонометрични и др.

Решаването на физически задачи или примери по математика е напълно невъзможно без познаване на производната и методите за нейното изчисляване. Производната е едно от най-важните понятия в математическия анализ. Решихме да посветим днешната статия на тази основна тема. Какво е производна, какво е нейното физично и геометрично значение, как се изчислява производната на функция? Всички тези въпроси могат да бъдат комбинирани в един: как да разберем производната?

Геометрично и физическо значение на производната

Нека има функция f(x) , посочени в определен интервал (а, б) . Точките x и x0 принадлежат на този интервал. Когато x се промени, самата функция се променя. Промяна на аргумента - разликата в стойностите му х-х0 . Тази разлика се записва като делта х и се нарича увеличение на аргумента. Промяна или увеличение на функция е разликата между стойностите на функция в две точки. Дефиниция на производна:

Производната на функция в точка е границата на отношението на нарастването на функцията в дадена точка към нарастването на аргумента, когато последният клони към нула.

Иначе може да се напише така:

Какъв е смисълът да се намери такава граница? И ето какво е:

производната на функция в точка е равна на тангенса на ъгъла между оста OX и допирателната към графиката на функцията в дадена точка.

Физическо значение на производната: производната на пътя по време е равна на скоростта на праволинейно движение.

Всъщност още от ученическите дни всеки знае, че скоростта е особен път x=f(t) и време T . Средна скорост за определен период от време:

За да разберете скоростта на движение в даден момент t0 трябва да изчислите лимита:

Правило едно: задайте константа

Константата може да бъде извадена от знака за производна. Освен това това трябва да се направи. Когато решавате примери по математика, вземете го за правило - Ако можете да опростите израз, не забравяйте да го опростите .

Пример. Нека изчислим производната:

Второ правило: производна на сумата от функции

Производната на сумата от две функции е равна на сумата от производните на тези функции. Същото важи и за производната на разликата на функциите.

Няма да даваме доказателство на тази теорема, а по-скоро ще разгледаме практически пример.

Намерете производната на функцията:

Трето правило: производна на произведението на функциите

Производната на произведението на две диференцируеми функции се изчислява по формулата:

Пример: намерете производната на функция:

Решение:

Тук е важно да говорим за изчисляване на производни на сложни функции. Производната на сложна функция е равна на произведението на производната на тази функция по отношение на междинния аргумент и производната на междинния аргумент по отношение на независимата променлива.

В горния пример срещаме израза:

В този случай междинният аргумент е 8x на пета степен. За да изчислим производната на такъв израз, първо изчисляваме производната на външната функция по отношение на междинния аргумент и след това умножаваме по производната на самия междинен аргумент по отношение на независимата променлива.

Четвърто правило: производна на частното на две функции

Формула за определяне на производната на частното на две функции:

Опитахме се да говорим за производни за манекени от нулата. Тази тема не е толкова проста, колкото изглежда, така че бъдете предупредени: в примерите често има клопки, така че бъдете внимателни, когато изчислявате производни.

С всякакви въпроси по тази и други теми можете да се свържете със студентската служба. За кратко време ще ви помогнем да решите най-трудния тест и да разберете задачите, дори ако никога преди не сте правили производни изчисления.

Когато намирате производната на сбор от дроби със степени и корени, за да избегнете често срещани грешки, трябва да обърнете внимание на следните точки:

• използвайки формулата за диференциране на продукт и частно, ясно определете разликата между константа, чиято производна е равна на нула, и постоянен фактор, който просто се изважда от знака на производната;
• необходимо е уверено да се използват знанията от училищния курс за операции със степени и корени, например какво се случва с експонентите, когато мощностите с еднакви бази се умножават;
• какво се случва със знаците, когато производната на събираемо има знак, противоположен на знака на самото събираемо.

Пример 1.Намерете производната на функция

.

.

Тук двете пред X е постоянен фактор, така че просто е извадено от знака за производна.

Събирайки всичко заедно:

.

Ако в крайното решение се изисква да се получи израз с корени, тогава трансформираме степените в корени и получаваме желаната производна:

.

Пример 2.Намерете производната на функция

.

Решение. Намираме производната на първия член:

.

Тук първите две в числителя на междинния израз са константа, нейната производна е равна на нула.

Намерете производната на втория член:

Намираме производната на третия член:

Тук приложихме знанията от училищния курс за действия с дроби, тяхното преобразуване и съкращаване.

Нека съберем всичко заедно, като обърнем внимание на факта, че знаците на производните на първия и третия термин са противоположни на знаците на термините в оригиналния израз:

.

Пример 3.Намерете производната на функция

.

Решение. Намираме производната на първия член:

Намерете производната на втория член:

Производната на третия член - константата 1/2 - е равна на нула (случва се учениците упорито да се опитват да намерят ненулева производна на константата).

Нека съберем всичко заедно, като обърнем внимание на факта, че знакът на производната на втория член е противоположен на знака на члена в оригиналния израз:

Пример 4.Намерете производната на функция

.

Решение. Намираме производната на първия член:

Намерете производната на втория член:

Намираме производната на третия член:

Нека съберем всичко заедно, като обърнем внимание на факта, че знаците на производните на втория и третия термин са минуси:

.

Пример 5.Намерете производната на функция

.

Решение. Намерете производната на първия член.