Спри се! Нека се опитаме да разберем тази тромава формула.
Първата променлива в степента с някакъв коефициент трябва да е първа. В нашия случай е така
В нашия случай е така. Както разбрахме, това означава, че степента при първата променлива се сближава. И втората променлива на първа степен е на мястото си. Коефициент.
Имаме го.
Първата променлива е степен, а втората променлива е на квадрат с коефициент. Това е последният член в уравнението.
Както можете да видите, нашето уравнение отговаря на определението под формата на формула.
Нека да разгледаме втората (вербална) част от определението.
Имаме две неизвестни и. Тук се събира.
Нека разгледаме всички условия. При тях сумата от степените на неизвестните трябва да е еднаква.
Сборът от градусите е равен.
Сумата от степените е равна на (at и at).
Сборът от градусите е равен.
Както виждате всичко си пасва!!!
Сега нека се упражним да дефинираме хомогенни уравнения.
Определете кои от уравненията са хомогенни:
Хомогенни уравнения - уравнения с числа:
Нека разгледаме уравнението отделно.
Ако разделим всеки член, като разложим всеки член, получаваме
И това уравнение напълно попада в определението за еднородни уравнения.
Как се решават хомогенни уравнения?
Пример 2.
Нека разделим уравнението на.
Според нашето условие y не може да бъде равно. Следователно можем спокойно да разделим по
Правейки заместването, получаваме просто квадратно уравнение:
Тъй като това е редуцирано квадратно уравнение, използваме теоремата на Виета:
След като направим обратното заместване, получаваме отговора
Отговор:
Пример 3.
Нека разделим уравнението на (по условие).
Отговор:
Пример 4.
Намерете дали.
Тук не трябва да разделяте, а да умножавате. Нека умножим цялото уравнение по:
Нека направим замяна и решим квадратното уравнение:
След като направихме обратното заместване, получаваме отговора:
Отговор:
Решаване на еднородни тригонометрични уравнения.
Решаването на хомогенни тригонометрични уравнения не се различава от методите за решаване, описани по-горе. Само тук, наред с други неща, трябва да знаете малко тригонометрия. И да можете да решавате тригонометрични уравнения (за това можете да прочетете раздела).
Нека да разгледаме такива уравнения, използвайки примери.
Пример 5.
Решете уравнението.
Виждаме типично хомогенно уравнение: и са неизвестни и сборът от техните степени във всеки член е равен.
Такива хомогенни уравнения не са трудни за решаване, но преди да разделите уравненията на, разгледайте случая, когато
В този случай уравнението ще приеме формата: , така че. Но синус и косинус не могат да бъдат равни едновременно, защото според основното тригонометрично тъждество. Следователно можем спокойно да го разделим на:
Тъй като уравнението е дадено, тогава според теоремата на Vieta:
Отговор:
Пример 6.
Решете уравнението.
Както в примера, трябва да разделите уравнението на. Да разгледаме случая, когато:
Но синус и косинус не могат да бъдат равни едновременно, защото според основното тригонометрично тъждество. Ето защо.
Нека направим замяна и решим квадратното уравнение:
Нека направим обратното заместване и намерим и:
Отговор:
Решаване на хомогенни експоненциални уравнения.
Хомогенните уравнения се решават по същия начин като тези, обсъдени по-горе. Ако сте забравили как се решават експоненциални уравнения, вижте съответния раздел ()!
Нека да разгледаме няколко примера.
Пример 7.
Решете уравнението
Нека си го представим така:
Виждаме типично хомогенно уравнение с две променливи и сбор от степени. Нека разделим уравнението на:
Както можете да видите, като направим заместването, получаваме квадратното уравнение по-долу (няма нужда да се страхувате от разделяне на нула - винаги е строго по-голямо от нула):
Според теоремата на Виета:
Отговор: .
Пример 8.
Решете уравнението
Нека си го представим така:
Нека разделим уравнението на:
Нека направим замяна и решим квадратното уравнение:
Коренът не отговаря на условието. Нека направим обратното заместване и намерим:
Отговор:
ХОМОГЕННИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО
Първо, като използвам примера на един проблем, нека ви напомня какво представляват еднородните уравнения и какво е решението на еднородните уравнения.
Реши задачата:
Намерете дали.
Тук можете да забележите нещо любопитно: ако разделим всеки член на, получаваме:
Тоест, сега няма отделни и, - сега променливата в уравнението е желаната стойност. И това е обикновено квадратно уравнение, което може лесно да се реши с помощта на теоремата на Виета: произведението на корените е равно, а сборът е числата и.
Отговор:
Уравнения на формата
се нарича хомогенна. Тоест, това е уравнение с две неизвестни, всеки член от които има същата сума от степени на тези неизвестни. Например в горния пример тази сума е равна на. Хомогенните уравнения се решават чрез разделяне на едно от неизвестните до следната степен:
И последващата замяна на променливи: . Така получаваме степенно уравнение с едно неизвестно:
Най-често ще срещнем уравнения от втора степен (т.е. квадратни) и знаем как да ги решим:
Обърнете внимание, че можем да разделим (и умножим) цялото уравнение на променлива само ако сме убедени, че тази променлива не може да бъде равна на нула! Например, ако ни помолят да намерим, ние веднага разбираме това, тъй като е невъзможно да се раздели. В случаите, когато това не е толкова очевидно, е необходимо да се провери отделно случаят, когато тази променлива е равна на нула. Например:
Решете уравнението.
Решение:
Тук виждаме типично хомогенно уравнение: и са неизвестни и сборът от техните степени във всеки член е равен.
Но преди да разделим на и да получим относително квадратно уравнение, трябва да разгледаме случая, когато. В този случай уравнението ще приеме формата: , което означава . Но синус и косинус не могат да бъдат равни на нула едновременно, тъй като според основното тригонометрично тъждество: . Следователно можем спокойно да го разделим на:
Надявам се, че това решение е напълно ясно? Ако не, прочетете раздела. Ако не е ясно откъде идва, трябва да се върнете още по-рано - в секцията.
Решете сами:
- Намерете дали.
- Намерете дали.
- Решете уравнението.
Тук накратко ще напиша директно решението на хомогенни уравнения:
Решения:
Отговор: .
Но тук трябва да умножаваме, а не да разделяме:
Отговор:
Ако все още не сте го взели, можете да пропуснете този пример.
Тъй като тук трябва да разделим на, нека първо се уверим, че сто не е равно на нула:
А това е невъзможно.
Отговор: .
ХОМОГЕННИ УРАВНЕНИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО
Решението на всички хомогенни уравнения се свежда до деление на една от неизвестните на степен и по-нататъшна промяна на променливите.
Алгоритъм:
Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.
Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!
Сега най-важното.
Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.
Проблемът е, че това може да не е достатъчно...
За какво?
За успешно полагане на Единния държавен изпит, за постъпване в колеж на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.
Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...
Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.
Но това не е основното.
Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...
Но помислете сами...
Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?
СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.
Няма да ви искат теория по време на изпита.
Ще имаш нужда решавайте проблеми срещу времето.
И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.
Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.
Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализи решавайте, решавайте, решавайте!
Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.
За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.
как? Има две възможности:
- Отключете всички скрити задачи в тази статия -
- Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - Купете учебник - 899 рубли
Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.
Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.
В заключение...
Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.
„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.
Намерете проблеми и ги решете!
В тази статия ще разгледаме метод за решаване на хомогенни тригонометрични уравнения.
Хомогенните тригонометрични уравнения имат същата структура като хомогенните уравнения от всеки друг тип. Нека ви напомня за метода за решаване на хомогенни уравнения от втора степен:
Нека разгледаме хомогенни уравнения от вида
Отличителни черти на хомогенните уравнения:
а) всички мономи имат еднаква степен,
б) свободният член е нула,
в) уравнението съдържа степени с две различни основи.
Хомогенните уравнения се решават с помощта на подобен алгоритъм.
За да решим този тип уравнение, разделяме двете страни на уравнението на (може да се раздели на или на)
внимание! Когато разделяте дясната и лявата страна на уравнение на израз, съдържащ неизвестно, можете да загубите корени. Следователно е необходимо да проверим дали корените на израза, на който разделяме двете страни на уравнението, са корените на първоначалното уравнение.
Ако е така, тогава записваме този корен, за да не го забравим по-късно, и след това разделяме израза на това.
Като цяло, първото нещо, което трябва да направите, когато решавате всяко уравнение, което има нула от дясната страна, е да се опитате да разложите лявата страна на уравнението по всеки възможен начин. И след това приравнете всеки фактор на нула. В този случай определено няма да загубим корените.
И така, внимателно разделете лявата страна на уравнението на израза член по член. Получаваме:
Нека намалим числителя и знаменателя на втората и третата дроби:
Нека представим замяната:
Получаваме квадратно уравнение:
Нека решим квадратното уравнение, намерим стойностите на и след това се върнем към първоначалното неизвестно.
Когато решавате хомогенни тригонометрични уравнения, има няколко важни неща, които трябва да запомните:
1. Фиктивният член може да се преобразува в квадрат на синус и косинус, като се използва основната тригонометрична идентичност:
2. Синусът и косинусът на двоен аргумент са мономи от втора степен - синусът на двоен аргумент може лесно да се преобразува в произведението на синус и косинус, а косинусът на двоен аргумент в квадрат на синус или косинус:
Нека да разгледаме няколко примера за решаване на хомогенни тригонометрични уравнения.
1 . Нека решим уравнението:
Това е класически пример за хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен: степента на всеки моном е равна на единица, отсеченият член е равен на нула.
Преди да разделите двете страни на уравнението на , трябва да проверите дали корените на уравнението не са корените на оригиналното уравнение. Проверяваме: if , then title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}
Нека разделим двете страни на уравнението на .
Получаваме: 
, Където
, Където
Отговор: , Където
2. Нека решим уравнението:
Това е пример за хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен. Спомняме си, че ако можем да разложим лявата страна на уравнението, тогава е препоръчително да го направим. В това уравнение можем да поставим. Хайде да го направим:
Решение на първото уравнение: , където
Второто уравнение е хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен. За да го решите, разделете двете страни на уравнението на . Получаваме:
Отговор: , където ,
3. Нека решим уравнението:
За да направим това уравнение „стана“ хомогенно, ние го трансформираме в продукт и представяме числото 3 като сбор от квадратите на синуса и косинуса:
Нека преместим всички термини вляво, отворим скобите и представим подобни термини. Получаваме:
Нека разложим на фактори лявата страна и зададем всеки фактор равен на нула:
Отговор: , където ,
4 . Нека решим уравнението:
Виждаме какво можем да извадим от скобите. Хайде да го направим:
Нека приравним всеки фактор към нула:
Решение на първото уравнение:
Второто уравнение на популацията е класическо хомогенно уравнение от втора степен. Корените на уравнението не са корените на оригиналното уравнение, така че разделяме двете страни на уравнението на:
Решение на първото уравнение:
Решение на второто уравнение.
Хомогенно диференциално уравнение от първи ред
е уравнение на формата
, където f е функция.
Как да определим хомогенно диференциално уравнение
За да определите дали диференциалното уравнение от първи ред е хомогенно, трябва да въведете константа t и да замените y с ty и x с tx: y → ty, x → tx. Ако t отменя, тогава това хомогенно диференциално уравнение. Производната y′ не се променя с тази трансформация.
.
Пример
Определете дали дадено уравнение е хомогенно
Решение
Правим замяната y → ty, x → tx.
Разделете на t 2
.
.
Уравнението не съдържа t. Следователно това е хомогенно уравнение.
Метод за решаване на хомогенно диференциално уравнение
Хомогенно диференциално уравнение от първи ред се редуцира до уравнение с разделими променливи, като се използва заместването y = ux. Нека го покажем. Разгледайте уравнението:
(i)
Нека направим замяна:
y = ux,
където u е функция от x. Разграничете по отношение на x:
y′ =
Заместете в оригиналното уравнение (i).
,
,
(ii) .
Нека разделим променливите. Умножете по dx и разделете на x ( f(u) - u).
На f (u) - u ≠ 0и x ≠ 0
получаваме:
Нека интегрираме:
Така получихме общия интеграл на уравнението (i)в квадратури:
Нека заменим константата на интегриране C с В C, Тогава
Нека пропуснем знака на модула, тъй като желаният знак се определя от избора на знак на константата C. Тогава общият интеграл ще приеме формата:
След това трябва да разгледаме случая f (u) - u = 0.
Ако това уравнение има корени, то те са решение на уравнението (ii). Тъй като ур. (ii)не съвпада с оригиналното уравнение, тогава трябва да се уверите, че допълнителните решения удовлетворяват оригиналното уравнение (i).
Всеки път, когато в процеса на трансформации разделяме някое уравнение на някаква функция, която означаваме като g (x, y), тогава следващи трансформации са валидни за g (x, y) ≠ 0. Следователно случай g трябва да се разглежда отделно (x, y) = 0.
Пример за решаване на хомогенно диференциално уравнение от първи ред
Решете уравнението
Решение
Нека проверим дали това уравнение е хомогенно. Правим замяната y → ty, x → tx. В този случай y′ → y′.
,
,
.
Съкращаваме го с t.
Константата t е намаляла. Следователно уравнението е хомогенно.
Правим заместването y = ux, където u е функция от x.
y′ = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Заместете в оригиналното уравнение.
,
,
,
.
Когато x ≥ 0
, |x| = х. Когато x ≤ 0
, |x| = - х. Пишем |x| = x, което означава, че горният знак се отнася за стойности x ≥ 0
, а долната - до стойностите x ≤ 0
.
,
Умножете по dx и разделете на .
Когато u 2 - 1 ≠ 0
ние имаме:
Нека интегрираме:
таблични интеграли,
.
Нека приложим формулата:
(a + b)(a - b) = a 2 - b 2.
Нека поставим a = u, .
.
Нека вземем двете страни по модул и логаритмираме,
.
Оттук
.
Така имаме:
,
.
Пропускаме знака на модула, тъй като желаният знак се осигурява чрез избора на знака на константата C.
Умножете по x и заменете ux = y.
,
.
На квадрат го.
,
,
.
Сега разгледайте случая, u 2 - 1 = 0
.
Корените на това уравнение
.
Лесно е да се провери, че функциите y = x удовлетворяват първоначалното уравнение.
Отговор
,
,
.
Препратки:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, “Лан”, 2003 г.
Мисля, че трябва да започнем с историята на такъв славен математически инструмент като диференциалните уравнения. Както всички диференциални и интегрални смятания, тези уравнения са изобретени от Нютон в края на 17 век. Той смята това свое откритие за толкова важно, че дори криптира съобщение, което днес може да се преведе по следния начин: „Всички закони на природата се описват с диференциални уравнения“. Това може да изглежда като преувеличение, но е истина. Всеки закон на физиката, химията, биологията може да бъде описан с тези уравнения.
Математиците Ойлер и Лагранж имат огромен принос в развитието и създаването на теорията на диференциалните уравнения. Още през 18 век те откриват и развиват това, което сега изучават в университетските курсове.
Нов крайъгълен камък в изучаването на диференциалните уравнения започва благодарение на Анри Поанкаре. Той създава „качествената теория на диференциалните уравнения“, която, съчетана с теорията на функциите на комплексна променлива, има значителен принос в основата на топологията - науката за пространството и неговите свойства.
Какво представляват диференциалните уравнения?
Много хора се страхуват от една фраза, но в тази статия ще очертаем подробно цялата същност на този много полезен математически апарат, който всъщност не е толкова сложен, колкото изглежда от името. За да започнете да говорите за диференциални уравнения от първи ред, първо трябва да се запознаете с основните понятия, които са присъщо свързани с това определение. И ще започнем с диференциала.
Диференциал
Много хора познават тази концепция още от училище. Нека обаче го разгледаме по-отблизо. Представете си графиката на функция. Можем да го увеличим до такава степен, че всеки сегмент от него да приеме формата на права линия. Нека вземем две точки от него, които са безкрайно близо една до друга. Разликата между техните координати (x или y) ще бъде безкрайно малка. Нарича се диференциал и се обозначава със знаците dy (диференциал на y) и dx (диференциал на x). Много е важно да се разбере, че диференциалът не е крайна величина и това е неговият смисъл и основна функция.
Сега трябва да разгледаме следващия елемент, който ще ни бъде полезен при обяснението на понятието диференциално уравнение. Това е производно.
Производна
Вероятно всички сме чували тази концепция в училище. Казва се, че производната е скоростта, с която дадена функция нараства или намалява. От това определение обаче много става неясно. Нека се опитаме да обясним производната чрез диференциали. Нека се върнем към безкрайно малък сегмент от функция с две точки, които са на минимално разстояние една от друга. Но дори и на това разстояние функцията успява да се промени с известна сума. И за да опишат тази промяна, те излязоха с производна, която иначе може да бъде записана като отношение на диференциали: f(x)"=df/dx.
Сега си струва да разгледаме основните свойства на производното. Има само три от тях:
- Производната на сума или разлика може да бъде представена като сума или разлика на производни: (a+b)"=a"+b" и (a-b)"=a"-b".
- Второто свойство е свързано с умножението. Производната на продукт е сумата от продуктите на една функция и производната на друга: (a*b)"=a"*b+a*b".
- Производната на разликата може да се запише като следното равенство: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .
Всички тези свойства ще ни бъдат полезни за намиране на решения на диференциални уравнения от първи ред.
Има и частични производни. Да кажем, че имаме функция z, която зависи от променливите x и y. За да изчислим частната производна на тази функция, да кажем, по отношение на x, трябва да приемем променливата y като константа и просто да диференцираме.
Интеграл
Друго важно понятие е интегралът. Всъщност това е точно обратното на дериват. Има няколко вида интеграли, но за решаването на най-простите диференциални уравнения се нуждаем от най-тривиалните
Да кажем, че имаме някаква зависимост на f от х. Вземаме интеграла от него и получаваме функцията F(x) (често наричана антипроизводна), чиято производна е равна на оригиналната функция. Така F(x)"=f(x). От това също следва, че интегралът на производната е равен на оригиналната функция.
Когато решавате диференциални уравнения, е много важно да разберете значението и функцията на интеграла, тъй като ще трябва да ги приемате много често, за да намерите решението.
Уравненията варират в зависимост от тяхното естество. В следващия раздел ще разгледаме типовете диференциални уравнения от първи ред и след това ще научим как да ги решаваме.
Класове диференциални уравнения
„Diffurs“ се разделят според реда на производните, включени в тях. Така има първи, втори, трети и повече ред. Те също могат да бъдат разделени на няколко класа: обикновени и частични производни.
В тази статия ще разгледаме обикновени диференциални уравнения от първи ред. Също така ще обсъдим примери и начини за решаването им в следващите раздели. Ще разгледаме само ODE, тъй като това са най-често срещаните видове уравнения. Обикновените са разделени на подвидове: с отделими променливи, хомогенни и разнородни. След това ще научите как се различават един от друг и как да ги решавате.
В допълнение, тези уравнения могат да бъдат комбинирани, така че да получим система от диференциални уравнения от първи ред. Ние също ще разгледаме такива системи и ще научим как да ги решаваме.
Защо обмисляме само първа поръчка? Защото трябва да започнете с нещо просто и е просто невъзможно да се опише всичко свързано с диференциалните уравнения в една статия.
Разделими уравнения
Това са може би най-простите диференциални уравнения от първи ред. Те включват примери, които могат да бъдат записани по следния начин: y"=f(x)*f(y). За да решим това уравнение, имаме нужда от формула за представяне на производната като отношение на диференциали: y"=dy/dx. Използвайки го, получаваме следното уравнение: dy/dx=f(x)*f(y). Сега можем да се обърнем към метода за решаване на стандартни примери: ще разделим променливите на части, тоест ще преместим всичко с променливата y в частта, където се намира dy, и ще направим същото с променливата x. Получаваме уравнение от вида: dy/f(y)=f(x)dx, което се решава чрез вземане на интеграли от двете страни. Не забравяйте за константата, която трябва да бъде зададена след вземане на интеграла.
Решението на всяка „дифузия“ е функция на зависимостта на x от y (в нашия случай) или, ако е налице числово условие, тогава отговорът е под формата на число. Нека да разгледаме целия процес на решение, използвайки конкретен пример:
Нека преместим променливите в различни посоки:
Сега да вземем интегралите. Всички те могат да бъдат намерени в специална таблица с интеграли. И получаваме:
ln(y) = -2*cos(x) + C
Ако е необходимо, можем да изразим "y" като функция на "x". Сега можем да кажем, че нашето диференциално уравнение е решено, ако условието не е определено. Може да се посочи условие, например y(n/2)=e. След това просто заместваме стойностите на тези променливи в решението и намираме стойността на константата. В нашия пример е 1.
Хомогенни диференциални уравнения от първи ред
Сега да преминем към по-трудната част. Хомогенните диференциални уравнения от първи ред могат да бъдат записани в общ вид, както следва: y"=z(x,y). Трябва да се отбележи, че дясната функция на две променливи е хомогенна и не може да бъде разделена на две зависимости : z върху x и z върху y. Проверката дали уравнението е хомогенно или не е доста проста: правим замяната x=k*x и y=k*y. Сега анулираме всички k. Ако всички тези букви са анулирани , тогава уравнението е хомогенно и можете спокойно да започнете да го решавате.Гледайки напред, да кажем: принципът на решаване на тези примери също е много прост.
Трябва да направим замяна: y=t(x)*x, където t е определена функция, която също зависи от x. Тогава можем да изразим производната: y"=t"(x)*x+t. Замествайки всичко това в нашето първоначално уравнение и го опростявайки, получаваме пример с разделими променливи t и x. Решаваме го и получаваме зависимостта t(x). Когато го получим, ние просто заместваме y=t(x)*x в нашата предишна замяна. Тогава получаваме зависимостта на y от x.
За да стане по-ясно, нека разгледаме пример: x*y"=y-x*e y/x .
При проверка със смяна всичко е намалено. Това означава, че уравнението е наистина хомогенно. Сега правим друга замяна, за която говорихме: y=t(x)*x и y"=t"(x)*x+t(x). След опростяване получаваме следното уравнение: t"(x)*x=-e t. Решаваме получения пример с разделени променливи и получаваме: e -t =ln(C*x). Всичко, което трябва да направим, е да заменим t с y/x (в края на краищата, ако y =t*x, тогава t=y/x), и получаваме отговора: e -y/x =ln(x*C).
Линейни диференциални уравнения от първи ред
Време е да разгледаме друга широка тема. Ще анализираме нехомогенни диференциални уравнения от първи ред. С какво се различават от предишните две? Нека да го разберем. Линейните диференциални уравнения от първи ред в общ вид могат да бъдат записани по следния начин: y" + g(x)*y=z(x). Струва си да се изясни, че z(x) и g(x) могат да бъдат постоянни величини.
А сега пример: y" - y*x=x 2 .
Има две решения и ще разгледаме и двете по ред. Първият е методът за вариране на произволни константи.
За да решите уравнението по този начин, първо трябва да приравните дясната страна на нула и да решите полученото уравнение, което след прехвърляне на частите ще приеме формата:
ln|y|=x 2 /2 + C;
y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .
Сега трябва да заменим константата C 1 с функцията v(x), която трябва да намерим.
Нека заменим производната:
y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2.
И заместете тези изрази в оригиналното уравнение:
v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .
Можете да видите, че от лявата страна два члена се анулират. Ако в някой пример това не се случи, значи сте направили нещо нередно. Да продължим:
v"*e x2/2 = x 2 .
Сега решаваме обичайното уравнение, в което трябва да разделим променливите:
dv/dx=x 2 /e x2/2;
dv = x 2 *e - x2/2 dx.
За да извлечем интеграла, ще трябва да приложим интегриране по части тук. Това обаче не е темата на нашата статия. Ако се интересувате, можете сами да научите как да извършвате такива действия. Не е трудно и с достатъчно умения и грижи не отнема много време.
Нека се обърнем към втория метод за решаване на нехомогенни уравнения: методът на Бернули. Кой подход е по-бърз и лесен, зависи от вас да решите.
Така че, когато решаваме уравнение с този метод, трябва да направим заместване: y=k*n. Тук k и n са някои зависими от x функции. Тогава производната ще изглежда така: y"=k"*n+k*n". Заместваме двете замени в уравнението:
k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .
Групиране:
k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .
Сега трябва да приравним към нула това, което е в скобите. Сега, ако комбинираме двете получени уравнения, получаваме система от диференциални уравнения от първи ред, която трябва да бъде решена:
Решаваме първото равенство като обикновено уравнение. За да направите това, трябва да разделите променливите:
Взимаме интеграла и получаваме: ln(n)=x 2 /2. Тогава, ако изразим n:
Сега заместваме полученото равенство във второто уравнение на системата:
k"*e x2/2 =x 2 .
И трансформирайки, получаваме същото равенство като в първия метод:
dk=x 2 /e x2/2.
Също така няма да обсъждаме по-нататъшни действия. Струва си да се каже, че първоначално решаването на диференциални уравнения от първи ред причинява значителни трудности. С навлизането в темата обаче започва да се получава все по-добре.
Къде се използват диференциалните уравнения?
Диференциалните уравнения се използват много активно във физиката, тъй като почти всички основни закони са написани в диференциална форма и формулите, които виждаме, са решения на тези уравнения. В химията те се използват по същата причина: с тяхна помощ се извеждат основните закони. В биологията диференциалните уравнения се използват за моделиране на поведението на системи, като хищник и плячка. Те могат да се използват и за създаване на модели на възпроизвеждане на, да речем, колония от микроорганизми.
Как диференциалните уравнения могат да ви помогнат в живота?
Отговорът на този въпрос е прост: изобщо не. Ако не сте учен или инженер, едва ли ще са ви полезни. Въпреки това, за общо развитие няма да навреди да знаете какво е диференциално уравнение и как се решава. И тогава въпросът на сина или дъщерята е „какво е диференциално уравнение?“ няма да те обърка. Е, ако сте учен или инженер, тогава вие сами разбирате важността на тази тема във всяка наука. Но най-важното е, че сега въпросът "как да се реши диференциално уравнение от първи ред?" винаги можеш да дадеш отговор. Съгласете се, винаги е хубаво, когато разбирате нещо, което хората дори се страхуват да разберат.
Основни проблеми при ученето
Основният проблем при разбирането на тази тема е слабото умение за интегриране и диференциране на функциите. Ако не сте добри в производните и интегралите, тогава вероятно си струва да изучавате повече, да овладеете различни методи за интегриране и диференциране и едва след това да започнете да изучавате материала, описан в статията.
Някои хора са изненадани, когато научат, че dx може да се пренесе, защото преди това (в училище) беше заявено, че фракцията dy/dx е неделима. Тук трябва да прочетете литературата за производната и да разберете, че това е съотношение на безкрайно малки количества, които могат да бъдат манипулирани при решаване на уравнения.
Много хора не осъзнават веднага, че решаването на диференциални уравнения от първи ред често е функция или интеграл, който не може да бъде взет, и това погрешно схващане им създава много проблеми.
Какво друго можете да изучавате за по-добро разбиране?
Най-добре е да започнете по-нататъшно потапяне в света на диференциалното смятане със специализирани учебници, например по математически анализ за студенти от нематематически специалности. След това можете да преминете към по-специализирана литература.
Струва си да се каже, че в допълнение към диференциалните уравнения има и интегрални уравнения, така че винаги ще имате към какво да се стремите и какво да изучавате.
Заключение
Надяваме се, че след като прочетете тази статия, имате представа какво представляват диференциалните уравнения и как да ги решавате правилно.
Във всеки случай математиката ще ни бъде полезна в живота по някакъв начин. Развива логиката и вниманието, без които всеки човек е без ръце.
За да решите хомогенно диференциално уравнение от 1-ви ред, използвайте заместването u=y/x, тоест u е нова неизвестна функция, зависеща от x. Следователно y=ux. Намираме производната y’, като използваме правилото за диференциране на продукта: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (тъй като x’=1). За друга форма на нотация: dy = udx + xdu След заместване опростяваме уравнението и достигаме до уравнение с разделими променливи.
Примери за решаване на хомогенни диференциални уравнения от 1-ви ред.
1) Решете уравнението
Проверяваме дали това уравнение е хомогенно (вижте Как да определим хомогенно уравнение). След като сме убедени, правим замяната u=y/x, от което y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Заместник: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Тъй като логаритъма на произведение е равен на сбора от логаритми, ln(ux)=lnu+lnx. Оттук
u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). След привеждане на подобни членове: u’x+u=u(1+lnu). Сега отворете скобите
u'x+u=u+u·lnu. И двете страни съдържат u, следователно u’x=u·lnu. Тъй като u е функция на x, u’=du/dx. Да заместим
Получихме уравнение с разделими променливи. Разделяме променливите, като умножаваме двете части по dx и разделяме на x·u·lnu, при условие че произведението x·u·lnu≠0
Нека интегрираме:
От лявата страна е интегрална маса. Вдясно - правим замяната t=lnu, от където dt=(lnu)’du=du/u
ln│t│=ln│x│+C. Но вече обсъдихме, че в такива уравнения е по-удобно да се вземе ln│C│ вместо C. Тогава
ln│t│=ln│x│+ln│C│. Според свойството на логаритмите: ln│t│=ln│Сx│. Следователно t=Cx. (по условие, x>0). Време е да направим обратното заместване: lnu=Cx. И още една обратна замяна:
По свойството на логаритмите:
Това е общият интеграл на уравнението.
Припомняме си условието на произведението x·u·lnu≠0 (и следователно x≠0,u≠0, lnu≠0, откъдето u≠1). Но x≠0 от условието остава u≠1, следователно x≠y. Очевидно y=x (x>0) са включени в общото решение.
2) Намерете частичния интеграл на уравнението y’=x/y+y/x, удовлетворяващо началните условия y(1)=2.
Първо проверяваме дали това уравнение е хомогенно (въпреки че наличието на членове y/x и x/y вече индиректно показва това). След това правим замяната u=y/x, от което y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Заместваме получените изрази в уравнението:
u'x+u=1/u+u. Нека опростим:
u'x=1/u. Тъй като u е функция на x, u’=du/dx:
Получихме уравнение с разделими променливи. За да разделим променливите, умножаваме двете страни по dx и u и делим на x (x≠0 по условие, следователно u≠0 също, което означава, че няма загуба на решения).
Нека интегрираме:
и тъй като и двете страни съдържат таблични интеграли, веднага получаваме
Извършваме обратната замяна:
Това е общият интеграл на уравнението. Използваме началното условие y(1)=2, тоест заместваме y=2, x=1 в полученото решение:
3) Намерете общия интеграл на хомогенното уравнение:
(x²-y²)dy-2xydx=0.
Замяна u=y/x, откъдето y=ux, dy=xdu+udx. Нека заместим:
(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Изваждаме x² от скоби и разделяме двете части на него (при условие, че x≠0):
x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0
(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Отворете скобите и опростете:
xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,
xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Групираме термините с du и dx:
(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Нека извадим общите фактори извън скобите:
x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Разделяме променливите:
x(1-u²)du=u(u²+1)dx. За да направим това, разделяме двете страни на уравнението на xu(u²+1)≠0 (съответно добавяме изискванията x≠0 (вече отбелязани), u≠0):
Нека интегрираме:
От дясната страна на уравнението има табличен интеграл и ние разлагаме рационалната дроб от лявата страна на прости множители:
(или във втория интеграл, вместо да се замени диференциалният знак, можеше да се направи замяната t=1+u², dt=2udu - който кой обича кой метод е по-добър). Получаваме:
Според свойствата на логаритмите:
Обратна замяна
Спомняме си условието u≠0. Следователно y≠0. Когато C=0 y=0, това означава, че няма загуба на решения и y=0 е включен в общия интеграл.
Коментирайте
Можете да получите решение, записано в различна форма, ако оставите термина с x отляво:
Геометричният смисъл на интегралната крива в този случай е семейство от окръжности с центрове на оста Oy и минаващи през началото.
Задачи за самопроверка:
1) (x²+y²)dx-xydy=0
1) Проверяваме дали уравнението е хомогенно, след което правим замяната u=y/x, откъдето y=ux, dy=xdu+udx. Заместете в условието: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Разделяйки двете страни на уравнението на x²≠0, получаваме: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Следователно dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Опростявайки, имаме: dx-xudu=0. Следователно xudu=dx, udu=dx/x. Нека интегрираме двете части:
