Обобщение на урока по темата за решаване на тригонометрични неравенства. Разработване на урок "тригонометрични неравенства"

Тригонометрични неравенства. Решаване на прости тригонометрични неравенства

Оборудване:Компютър, проектор, екран, бяла дъска.

Тип урок:Учене на нов материал.

Тема на урока:Тригонометрични неравенства. Решаване на прости тригонометрични неравенства.

Цели:

Образователна цел :

развиват умение за решаване на прости тригонометрични неравенства с помощта на графичния метод за решаване на неравенства;

запознават учениците с основателите на тригонометрията и историята на нейното развитие.

Цел за развитие:

създава условия за развитие на умения за анализиране, подчертаване на главното и установяване на общи черти и свойства;

прилагат знанията на практика;

научете се да оценявате критично знанията си.

Образователна цел:

култивира положително отношение към знанието;

възпитават дисциплина и съвестност при изпълнение на задачите;

развийте способността за работа по двойки (чувствайте индивидуална отговорност за постигане на резултати).

Задачи:

повторете следните теми по математика: графично решаване на квадратни неравенства, трансформиране на графики на тригонометрични функции, концепцията за числата arcsin, arccos, arctan и arcctg, решаване на тригонометрични уравнения;

научи как да използва графичния метод за решаване на прости тригонометрични неравенства;

упражняват умения за построяване на графики на тригонометрични функции;

разширяване на хоризонта на учениците за историята на развитието на тригонометрията;

За да активирате познавателната дейност на учениците, използвайте различни форми и методи на работа в класната стая: фронтални, индивидуални и групови (работа по двойки) форми на работа, използване на игрови технологии.

Структура на урока:

Организационен момент, проверка на домашното (5 мин.);

Актуализиране на основни знания и записване на затруднения в дейностите (10 мин.);

Обяснение на нов материал (15 мин.);

Експертна работа (10 мин.);

Самостоятелна работа по двойки (15 мин.);

Домашна работа (5 мин.);

Игра „Поле на чудеса” (15 мин.);

Рефлексия върху дейността (обобщение на урока) (5 мин.).

Обяснение на урока: по време на урока учениците приписват точки на работната карта на урока според правилата, описани в тази карта. В края на урока работата на учениците се обобщава според събраните точки.

Прогрес на урока:

Организационен момент, проверка на домашното (5 мин.).

Френският писател Анатол Франс веднъж отбеляза: „Можеш да учиш само чрез забавление... За да смилаш знанията, трябва да ги усвояваш с апетит.“

Нека днес в клас следваме този съвет на писателя, да бъдем активни, внимателни и да попиваме знания с голямо желание.

Преди да започнем да учим нов материал, нека проверим домашното си за днес.

Проверка на домашното:

№ 151 (2, 4), № 153 (2), № 155 (2), № 157 (2)

За всяка правилно изпълнена задача - 1 точка върху картата на урока в колона "Домашна работа".

Актуализиране на основни знания и записване на затруднения в дейностите (10 мин.).

Темата на нашия урок е Тригонометрични неравенства. Решаване на прости тригонометрични неравенства.

Нека запишем датата и темата на урока в тетрадка.

Вашата задача днес е да се научите как да прилагате знанията и уменията си за решаване на тригонометрични неравенства.

Нека първо работим устно, за да си спомним концепциите и техниките, от които ще се нуждаем, за да научим нова тема.

Устна работа:

Обяснение на нов материал (10 мин.).

Ако си припомним дефиницията на тригонометрично уравнение - това е уравнение, съдържащо променлива под знака на тригонометрична функция, тогава можем лесно да дадем дефиницията на тригонометрично неравенство - е неравенство, съдържащо променлива под знака на тригонометрична функция.

За решаване на тригонометрични неравенства ще използваме графичния метод.

Разгледайте решението на неравенството

Нека изградим графики на функции:
,
.

Нека определим пресечните точки на тези графики:

Нека засенчим областта, в която функцията има стойност
Повече ▼

, Ако

Тъй като функцията
периодичен (T=
), означава,
,

По подобен начин се разглежда решението на неравенството

Отговор:
,

Експертна работа (10 мин.).

Учениците, които разбират добре материала и искат да отговарят на дъската, са поканени на дъската; те ще действат като експерти; други ученици могат да коригират своето решение, ако е необходимо, от място.

Решаване на неравенства:

1.
Отговор:
,

2.
Отговор:
,

За работа на дъската учениците получават 1-3 точки, а за работа от място – 1 точка.

Самостоятелна работа по двойки (15 мин.).

Учениците изпълняват задачата, разменят си тетрадките и проверяват работата на своя съученик, като дават съответните точки, отговорите се представят на дъската.

За графично решаване на тригонометрични неравенства можете да използвате Приложение No1за този урок.

Опция 1

Решаване на неравенства:

Вариант №2

Решаване на неравенства:

1.

Отговор:

Отговор:

Отговор:

Отговор:

Отговор: няма решения, защото...

Отговор: няма решения, защото...

Отговор:

Отговор:

За всяка вярна задача No1-No3-1 точка, No4-2 точки.

Обобщаване на резултатите от изучаването на нова тема. Учениците трябва да отговорят на въпросите на учителя.

Какъв метод използвахме за решаване на тригонометрични неравенства?

Какво трябва да направите, за да решите графично тригонометричното неравенство?

Как периодичността на тригонометричните функции влияе на отговора при решаване на тригонометрични неравенства?

За всеки верен отговор учениците получават по 1 точка в урочната си карта в колона „Устна работа”.

Домашна работа (5 мин.).

Сборник задачи по математика Н.В. Богомолов

Допълнителна задача:

Игра „Поле на чудеса“ (20 мин.).

Играта е базирана на принципа на едноименната телевизионна игра. Учителят чете задачата, учениците могат да отворят всяка буква, ако изпълнят задачата, скрита в тази клетка.

За всяка позната буква (решена задача) учениците получават 1 точка, за всяка позната дума - 5 точки.

Задача No1

Отговор:Тригонометрия

Рефлексия върху дейността (обобщение на урока) (5 мин.).

Работна карта на урока

Ученик _________________________________ група ""

o/t – оценка на приятел, o/u – оценка на учител, s/o – самооценка, o/g – групова оценка

Домашна работа

така

Общ брой точки, по 1 за всяка правилно изпълнена задача.

Резултат: _____

Устна работа

така

Общо точки, 1 за всеки верен отговор и допълнителна точка за теоретичен отговор.

Резултат: _____

Експерт

работа (работа на дъската)

o/g

1-3 точки за работа на дъската,

1 точка за работа от място.

Резултат: _____

Независим

работете по двойки

от

За всяка правилна задача

№ 1-№ 3-1 точка,

No4 – 2 точки.

Резултат: _____

Играта "Поле на чудесата"

така

Общ брой точки, 1 за всеки верен отговор и допълнителна точка за отгатване на думата.

Тема на урока: Решаване на тригонометрични неравенства

Урокът се проведе в 11 клас на училище № 4 на името на. Горки, Брянск (2007).

Класът работи по учебника

https://pandia.ru/text/80/202/images/image002_105.jpg" width="142 height=189" height="189">

Учител: учител от най-висока категория, заслужил учител на Руската федерация Нина Владимировна Кусачева.

цели урок:

1) Идентифицирайте техники за намаляване на тригонометричните неравенства до най-простите: разглеждане на сложен аргумент като прост; използване на еквивалентни трансформации; прилагане на тригонометрични формули.

2) Определете начини за решаване на тригонометрични неравенства: редукция до най-простите; въвеждане на нова променлива.

3) Научете се да разпознавате начини за решаване на тригонометрични неравенства.

4) Научете се да пишете отговора, ако не се използват таблични стойности на тригонометрични функции.

5) Подобряване на способността за решаване на тригонометрични неравенства.

6) Тествайте способността си да решавате прости тригонометрични неравенства.

Тип урок: урок за подобряване на уменията.

План на урока:

1. Идентифициране на техники и методи за решаване на тригонометрични неравенства, трудности при попълване на домашна работа чрез анализ на решенията на най-сложните неравенства.

2. Подобряване на способността за решаване на тригонометрични неравенства:

а) разпознаване на методите за решаване и повторение на алгоритъма за решаване на прости тригонометрични неравенства;

б) работа с най-простото неравенство, където табличните стойности не се използват за записване на отговора;

в) подобряване на способността за решаване на неравенства, които могат да бъдат сведени до най-простите тригонометрични с помощта на еквивалентни трансформации чрез сравнение на неравенства;

г) подобряване на способността за решаване на неравенства, които могат да бъдат сведени до прости тригонометрични с помощта на формули за редукция;

д) подобряване на способността за решаване на тригонометрични неравенства чрез използването на няколко метода за решаване.

3. Самостоятелна работа по решаване на тригонометрични неравенства.

4. Поставяне на домашна работа.

По време на часовете:

1. Идентифициране на техники и методи за решаване на тригонометрични неравенства, трудности при попълване на домашна работа чрез анализ на решенията на най-сложните неравенства.

Учител:(Решенията на неравенства No 7, 8, 10 от домашната карта са записани на дъската).

Вижте решението на неравенство № 7. Какви въпроси имате относно някоя от стъпките в решението?

№7 грях х ≤ - cos x;

грях х + cos x ≤0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image004_95.gif" width="24" height="41 src="> грях х + cos x) ≤ 0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image005_84.gif" width="17" height="41">) ≤ 0;

грях(х + ) ≤ 0;

х+ О [ - π +2π н, 2π н], нО Z

хО [ -5π/4 + 2π н,- π/4+ 2π н], нО Z

Отговор: хО [ -5π/4 +2π н,- π/4+ 2π н], нО Z

Учител:Тогава имам няколко въпроса. Как се получи 3-ти ред?

Ученици:Умножихме и разделихме всеки член на .

Учител:Възможно ли е да се извърши такова преобразуване на неравенство?

Ученици:Да, това преобразуване е еквивалентно.

Учител:С каква цел направихме това?

Ученици:За да можете да приложите формулата за тригонометрично събиране - синус от сбора на два ъгъла.

Учител:Какво е другото име на тази техника?

Ученици:Техника за въвеждане на спомагателен ъгъл.

Учител:Как се досетихте, че трябва да умножите и разделите всеки член точно на?

Ученици:е корен квадратен от сбора на квадратите на коефициентите в трансформираното неравенство.

Учител:Назовете неравенството, което може да се счита за най-просто и мотивирайте отговора си.

Ученици:Неравенство грях(х+ ) ≤ 0 може да се счита за най-простият, ако разгледаме сложния аргумент ( х+ ) като просто, например T.

Учител:И така, основната идея за решаване на неравенство № 7 е да се сведе до най-простото тригонометрично неравенство. Да повторим какви техники са използвани?

Ученици: 1) еквивалентни трансформации (прехвърляне на термини; умножение и деление на всеки термин с едно и също число; въвеждане на спомагателен ъгъл);

(Учителят помага на учениците, като им посочва един или друг ред от решението.)

Учител:Вижте решението на неравенство #8.

№ 8 грях 2х+ https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" width="21" height="22">/2 cos 2х) ≥ 1;

2 грях (2х+ π/3) ≥ 1;

грях (2х+ π/3) ≥ 1/2;

2х+ π/3 О [π/6 + 2π н, 5π/6 + 2π н], нО Z;

хО [-π/12 + π н, π/4 + π н], n О Z;

Отговор: хО [-π/12 + π н, π/4 + π н], нО Z.

Какви въпроси имате относно някоя от стъпките на решение? (пауза) Какви техники са използвани за решаване на това неравенство?

Ученици: 1) еквивалентни трансформации (прехвърляне на термини; умножение и деление на всеки термин с едно и също число; въвеждане на спомагателен ъгъл, деление на двете страни на неравенството с положително число);

2) прилагане на тригонометричната формула,

3) третира сложен аргумент като прост.

Учител:Помислете за решението на неравенство #10:

№10 cos 2 х – 2cosх >0;

Позволявам cos x= T;

T 2 – 2T >0;

https://pandia.ru/text/80/202/images/image003_118.gif" width="22" height="21">;

2. cos(3π/2 + х) < -/2;

3. cos(π + 2 х) – 1 ≥ 0;

4. грях х > 2/3;

5. 5cos(х– π/6) – 1 ≥ 0;

6. 4грях 2 3х < 3.

Учител:Подчертайте неравенствата, които изискват използването на еквивалентни трансформации при редуциране на тригонометрично неравенство до най-простата му форма?

Ученици: 1, 3, 5.

Учител:Кои са неравенствата, при които трябва да разглеждате сложен аргумент като прост?

Ученици: 1, 2, 3, 5, 6.

Учител:Кои са неравенствата, при които могат да се прилагат тригонометрични формули?

Ученици: 2, 3, 6.

Учител:Посочете неравенствата, при които може да се приложи методът за въвеждане на нова променлива?

Ученици: 6.

Учител:Сега ще започнем да решаваме неравенствата от най-простите и ще научим как да напишем отговора, ако не се използват таблични стойности. Но първо отговорете дали е вярно, че най-простите тригонометрични неравенства могат да бъдат решени с помощта на алгоритъма, написан на дъската:

Алгоритъм за решаване на прости тригонометрични неравенства

1. Заменете устно неравенството с уравнение. Начертайте единична окръжност и отбележете върху нея точките, които съответстват на уравнението.

2. Маркирайте точките от окръжността, съответстващи на неравенството, т.е. изберете съответната дъга.

3. Посочете посоката на броене.

4. Намерете началото на дъгата и съответстващия й ъгъл.

5. Намерете ъгъла, съответстващ на края на дъгата.

6. Записваме отговора под формата на интервал, като отчитаме периодичността на функцията.

Учител:Това ли е редът, в който решавате най-простите неравенства?

Ученици:да

Коментар. Задачата за анализиране на списък от неравенства от гледна точка на методите за решаването им ви позволява да практикувате тяхното разпознаване. При развиването на умения е важно да се идентифицират етапите на неговото изпълнение и да се формулират в обща форма, която е представена в алгоритъма за решаване на най-простите тригонометрични неравенства.

б) Работа с най-простото неравенство, където табличните стойности не се използват за записване на отговора.

Учител:Да започнем решаването с неравенство No4.

Организация на по-нататъшната работа:

https://pandia.ru/text/80/202/images/image010_58.gif" width="204" height="130">Един ученик решава неравенството на дъската, като произнася всяка стъпка от алгоритъма на глас

5cos(х– π/6) – 1 ≥ 0;

cos(х– π/6) ≥ 1/5;

х– π/6 О [- arccos 1/5 + 2π н, arccos 1/5 + 2π н], нО Z;

хО [π/6 – arccos 1/5 + 2π н, π/6 + arccos 1/5 + 2π н], нО Z.

След приключване на решението учителят задава на ученика, решил неравенството на дъската, следните въпроси:

Учител:Как би се променил отговорът, ако беше дадено строго неравенство?

Студент:Тогава квадратните скоби ще бъдат заменени с кръгли скоби.

Учител:Как бихте записали отговора, ако е дадено неравенство? cos (х– π/6) ≤ 1/5?

Студент: хО [π/6 + arccos 1/5 + 2π н, 13π/6 – arccos 1/5 + 2π н], нО Z.

Учител:Какви методи за свеждане до най-простото тригонометрично неравенство са използвани?

Студент:Използвани са еквивалентни трансформации (прехвърляне на членове от една част на уравнението в друга, разделяне на двете страни на неравенството с положително число); третира сложния аргумент като прост.

Учител:(обръща се към класа); Имате ли въпроси или коментари към респондента? (ученикът отговаря на въпросите на учениците и се съгласява или не с коментарите, след което сяда).

Учител:На какво неравенство е сходно неравенство № 1 и по какъв начин?

Ученици:Към неравенство No 5 като го сведем до най-простото; към неравенство № 4 по местоположението на дъгата.

Учител:Решете устно неравенство № 1: 2 грях (х– π/4) ≥ .

Ученици:Отговор: хО [ π/2 + 2π н, π + 2π н], нО Z.

Коментар. Подобряването на способността за решаване на тригонометрични неравенства се улеснява от следните въпроси: „Как ще решим група неравенства?“; „По какво едно неравенство се различава от друго?“; „По какво едно неравенство е подобно на друго?“; Как би се променил отговорът, ако беше дадено строго неравенство?"; Как би се променил отговорът, ако вместо знака ">" имаше "<»?»; «Какие способы сведения к простейшему тригонометрическому неравенству использовались при решении данного неравенства?»; «Есть ли вопросы или замечания к отвечающему?». Оправдана такая организация работы, когда один ученик у доски решает неравенство, проговаривая каждый шаг алгоритма вслух, поскольку предложенное неравенство № 5 содержит косинус, а не синус, как это было на предыдущем этапе. Совершенствованию умения решать тригонометрические неравенства способствует и устное решение с предварительным обсуждением некоторых опор: «На какое неравенство похоже данное и чем?».

г) Подобряване на способността за решаване на неравенства, които могат да бъдат сведени до най-простите тригонометрични с помощта на редукционни формули.

Учител:Разгледайте неравенство № 2 cos(3π/2 + х)< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image011_55.gif" width="217" height="126 src=">Желаещ ученик решава неравенството на дъската, без да казва решението:

cos(3π/2 + х)< -https://pandia.ru/text/80/202/images/image007_69.gif" width="21" height="22 src=">/2;

Отговор: хО (- 2π/3 + 2π н,-π/3 + 2π н), нО Z.

След завършване на решението учениците проверяват форматирането и правят коментари, ако е необходимо. След това учителят задава на респондента следните въпроси:

Учител:С какво това неравенство се различава от решените по-рано?

Студент:Това неравенство е сведено до най-простата си форма с помощта на формулата за редукция.

Учител:Има ли други неравенства, които могат да бъдат решени по този начин?

Студент: № 3.

Учител:Ще решаваме неравенството устно, като коментираме хода на решаването.

Ученици:(те коментират напредъка на решението по ред, учителят прави промени в неравенството)

№ 3 cos(π + 2 х) – 1 ≥ 0;

cos(π + 2 х) ≥ 1;

- cos 2х ≥ 1;

cos 2х ≤ -1

2х= -π + 2π н , нО Z;

х= -π/2 + π н , нО Z.

Учител:И така, каква е особеността на решаването на това неравенство?

Ученици:Решението му се свеждаше до решаването на уравнение.

Учител:И така, какво правите след това, когато видите, че аргументът на тригонометрична функция е сложен?

Ученици:Ще видим дали можем да използваме формули за редукция, за да опростим аргумента.

Учебна дисциплина: Математика.

Предмет: „Решаване на прости тригонометрични неравенства“

Тип урок: урок за усвояване на нов материал с елементи на първична консолидация.

Цели на урока:

1) образователни:

показват алгоритъм за решаване на тригонометрични неравенства с помощта на единичната окръжност.

научете се да решавате прости тригонометрични неравенства.

2) разработване:

развитие на способността за обобщаване на придобитите знания;

развитие на логическо мислене;

развитие на вниманието;

развитие на компетентната устна и писмена математическа реч на учениците.

3) образователни:

научете се да изразявате своите идеи и мнения;

развиват способността да помагат и подкрепят приятели;

развийте способността да определяте как възгледите на другарите се различават от техните собствени.

Методическа цел: покажете технологията за овладяване на знания в урок за усвояване на нови знания.

Методи на обучение:

визуално – илюстративни;

Дидактическа цел на урока: Създаване на условия:

свързване на нова информация с вече изучен материал;

да развият способността за анализ и подбор на необходимата информация;

да развиете способността да споделяте своите идеи и мнения.

за развитие на логиката и уменията за размисъл.

Форма на организация на учебните дейности: колективен, индивидуален.

Оборудване:

учебник от А. Н. Колмогоров “Алгебра и началото на анализа”, 10-11 клас;

проектор, дъска;

MS PowerPoint презентация.

План на урока:

Организиране на времето (1 минута);

Проверка на домашните (7 минути);

Учене на нов материал (31 минути);

Домашна работа (3 минути);

Обобщаване (3 минути)

Тема на урока: Решаване на прости тригонометрични неравенства.

Изпълнено от: учител по математика на KGBOU NPO “PU № 44” Moser O. S.

Етапи на дейност