Как да определим посоката на вектор от координати. §3

Най-накрая се сдобих с тази обширна и дългоочаквана тема. аналитична геометрия. Първо, малко за този раздел на висшата математика... Със сигурност вече си спомняте курса училищна геометрияс множество теореми, техните доказателства, чертежи и др. Какво да крия, нелюбим и често неясен предмет за значителна част от учениците. Колкото и да е странно, аналитичната геометрия може да изглежда по-интересна и достъпна. Какво означава прилагателното „аналитичен“? Две клиширани математически фрази веднага идват на ум: „метод на графично решение“ и „метод на аналитично решение“. Графичен метод, разбира се, е свързано с изграждането на графики и чертежи. Аналитиченили методвключва решаване на проблеми главночрез алгебрични операции. В това отношение алгоритъмът за решаване на почти всички проблеми на аналитичната геометрия е прост и прозрачен; често е достатъчно внимателно да приложите необходимите формули - и отговорът е готов! Не, разбира се, няма да можем да направим това без чертежи изобщо, а освен това, за по-добро разбиране на материала, ще се опитам да ги цитирам извън необходимостта.

Новооткритият курс от уроци по геометрия не претендира да бъде теоретично завършен, той е фокусиран върху решаването на практически проблеми. В моите лекции ще включвам само това, което от моя гледна точка е важно от практическа гледна точка. Ако имате нужда от по-пълна помощ за някой подраздел, препоръчвам следната доста достъпна литература:

1) Нещо, с което, без шега, са запознати няколко поколения: Училищен учебник по геометрия, автори - Л.С. Атанасян и компания. Тази закачалка за училищна съблекалня вече е преминала през 20 (!) Препечатки, което, разбира се, не е ограничението.

2) Геометрия в 2 тома. автори Л.С. Атанасян, Базилев В.Т.. Това е литература за гимназия, ще имаш нужда първи том. Рядко срещаните задачи могат да изпаднат от погледа ми и урокще окаже безценна помощ.

И двете книги могат да бъдат изтеглени безплатно онлайн. Освен това можете да използвате моя архив с готови решения, които можете да намерите на страницата Изтегляне на примери по висша математика.

Сред инструментите отново предлагам собствена разработка - софтуерен пакетв аналитичната геометрия, което значително ще опрости живота и ще спести много време.

Предполага се, че читателят е запознат с основните геометрични понятия и фигури: точка, права, равнина, триъгълник, паралелограм, паралелепипед, куб и др. Препоръчително е да запомните някои теореми, поне теоремата на Питагор, здравейте на повторителите)

И сега ще разгледаме последователно: понятието вектор, действия с вектори, векторни координати. Препоръчвам да прочетете допълнително най-важната статия Точково произведение на вектори, и също Вектор и смесено произведение на вектори. Локална задача - Разделяне на сегмент в това отношение - също няма да бъде излишна. Въз основа на горната информация можете да овладеете уравнение на права в равнинас най-прости примери за решения, което ще позволи научете се да решавате геометрични задачи. Следните статии също са полезни: Уравнение на равнина в пространството, Уравнения на права в пространството, Основни задачи за права и равнина, други раздели на аналитичната геометрия. Естествено, стандартните задачи ще бъдат разгледани по пътя.

Векторна концепция. Безплатен вектор

Първо, нека повторим училищната дефиниция на вектор. векторНаречен насоченисегмент, за който са посочени неговото начало и край:

IN в такъв случайначалото на отсечката е точката, краят на отсечката е точката. Самият вектор се означава с . Посокае от съществено значение, ако преместите стрелката в другия край на сегмента, получавате вектор и това вече е напълно различен вектор. Удобно е да се идентифицира концепцията за вектор с движението на физическо тяло: трябва да се съгласите, влизането през вратите на институт или излизането от вратите на института са напълно различни неща.

Удобно е отделни точки от една равнина или пространство да се разглеждат като т.нар нулев вектор. За такъв вектор краят и началото съвпадат.

!!! Забележка: Тук и по-нататък можете да приемете, че векторите лежат в една равнина или можете да приемете, че са разположени в пространството - същността на изложения материал е валидна както за равнината, така и за пространството.

Обозначения:Мнозина веднага забелязаха пръчката без стрелка в обозначението и казаха, че има и стрелка в горната част! Вярно, че можете да го напишете със стрелка: , но и това е възможно записът, който ще използвам в бъдеще. Защо? Очевидно този навик се е развил по практически причини, стрелците ми в училище и университета се оказаха твърде различни по размер и рошави. IN учебна литературапонякога те изобщо не се занимават с клинописно писане, а подчертават буквите с удебелен шрифт: , като по този начин намекват, че това е вектор.

Това беше стилистика, а сега относно начините за писане на вектори:

1) Векторите могат да бъдат написани с две главни латински букви:
и така нататък. В този случай първата буква Задължителнообозначава началната точка на вектора, а втората буква обозначава крайната точка на вектора.

2) Векторите също се изписват с малки латински букви:
По-специално, нашият вектор може да бъде преназначен за краткост с малка латинска буква.

Дължинаили модулненулев вектор се нарича дължина на сегмента. Дължината на нулевия вектор е нула. Логично.

Дължината на вектора се обозначава със знака за модул: ,

Ще научим как да намираме дължината на вектор (или ще го повторим, зависи кой) малко по-късно.

Това беше основна информация за векторите, позната на всички ученици. В аналитичната геометрия т.нар безплатен вектор.

Казано по-просто - векторът може да се начертае от всяка точка:

Ние сме свикнали да наричаме такива вектори равни (дефиницията на равни вектори ще бъде дадена по-долу), но от чисто математическа гледна точка те са ЕДИН И СЪЩ ВЕКТОР или безплатен вектор. Защо безплатно? Защото в хода на решаване на проблеми можете да „прикрепите“ този или онзи „училищен“ вектор към ВСЯКА точка от равнината или пространството, от което се нуждаете. Това е много готина функция! Представете си насочен сегмент с произволна дължина и посока - той може да бъде „клониран“ безкраен бройпъти и във всяка точка на пространството, всъщност съществува НАВСЯКЪДЕ. Има една студентска поговорка: На всеки преподавател му пука за вектора. В крайна сметка това не е просто остроумна рима, всичко е почти правилно - там може да се добави и насочен сегмент. Но не бързайте да се радвате, често страдат самите ученици =)

Така, безплатен вектор- Това няколко еднакви насочени сегменти. Училищната дефиниция на вектор, дадена в началото на параграфа: „Насочена отсечка се нарича вектор...“ предполага специфиченнасочен сегмент, взет от дадено множество, който е прикрепен към определена точкаравнина или пространство.

Трябва да се отбележи, че от гледна точка на физиката концепцията за свободен вектор като цяло е неправилна и има значение точката на приложение. Наистина, един директен удар с еднаква сила по носа или челото, колкото да развия глупавия си пример, води до различни последствия. Въпреки това, несвободенвектори се намират и в хода на vyshmat (не отивайте там :)).

Действия с вектори. Колинеарност на вектори

IN училищен курсгеометрия се разглеждат редица действия и правила с вектори: събиране по правилото на триъгълника, събиране по правилото на успоредника, правило за векторна разлика, умножение на вектор с число, скаларно произведение на вектори и др.Като отправна точка нека повторим две правила, които са особено подходящи за решаване на задачи от аналитичната геометрия.

Правилото за добавяне на вектори с помощта на правилото на триъгълника

Помислете за два произволни ненулеви вектора и:

Трябва да намерите сумата от тези вектори. Поради факта, че всички вектори се считат за свободни, ще отделим вектора от крайвектор:

Сумата от вектори е векторът. За по-добро разбиране на правилото е препоръчително да включите физически смисъл: нека някакво тяло пътува по вектор, а след това по вектор. Тогава сумата от вектори е векторът на резултантния път с начало в началната точка и край в точката на пристигане. Подобно правило е формулирано за сумата от произволен брой вектори. Както се казва, тялото може да върви по своя път много постно по зигзаг или може би на автопилот - по резултантния вектор на сумата.

Между другото, ако векторът е отложен от започнавектор, тогава получаваме еквивалента правило на успоредникдобавяне на вектори.

Първо, относно колинеарността на векторите. Двата вектора се наричат колинеарен, ако лежат на една права или на успоредни прави. Грубо казано, говорим за паралелни вектори. Но по отношение на тях винаги се използва прилагателното „колинеарни“.

Представете си два колинеарни вектора. Ако стрелките на тези вектори са насочени в една и съща посока, тогава такива вектори се наричат съвместно режисиран. Ако стрелките сочат в различни посоки, тогава векторите ще бъдат противоположни посоки.

Обозначения:колинеарността на векторите се записва с обичайния символ за паралелизъм: , докато детайлизирането е възможно: (векторите са сънасочени) или (векторите са противоположно насочени).

Работатаненулев вектор върху число е вектор, чиято дължина е равна на , а векторите и са сънасочени към и противоположно насочени към .

Правилото за умножаване на вектор по число е по-лесно за разбиране с помощта на картина:

Нека го разгледаме по-подробно:

1) Посока. Ако множителят е отрицателен, тогава векторът променя посокатакъм обратното.

2) Дължина. Ако множителят се съдържа в или , тогава дължината на вектора намалява. И така, дължината на вектора е половината от дължината на вектора. Ако модулът на множителя е по-голям от едно, тогава дължината на вектора се увеличавана време.

3) Моля, имайте предвид, че всички вектори са колинеарни, докато един вектор се изразява чрез друг, например, . Обратното също е вярно: ако един вектор може да бъде изразен чрез друг, тогава такива вектори задължително са колинеарни. По този начин: ако умножим вектор по число, получаваме колинеарни(спрямо оригинала) вектор.

4) Векторите са ко-насочени. Вектори и също са съвместно насочени. Всеки вектор от първата група е противоположно насочен по отношение на всеки вектор от втората група.

Кои вектори са равни?

Два вектора са равни, ако са в една и съща посока и имат еднаква дължина. Обърнете внимание, че една насоченост предполага колинеарност на векторите. Определението би било неточно (излишно), ако кажем: „Два вектора са равни, ако са колинеарни, еднакви по посока и имат еднаква дължина.“

От гледна точка на концепцията за свободен вектор, равните вектори са един и същ вектор, както беше обсъдено в предишния параграф.

Векторни координати в равнината и пространството

Първата точка е да разгледаме векторите в равнината. Нека да изобразим декартова правоъгълна координатна система и да я начертаем от началото на координатите единиченвектори и:

Вектори и ортогонален. Ортогонално = Перпендикулярно. Препоръчвам ви бавно да свикнете с термините: вместо успоредност и перпендикулярност използваме думите съответно колинеарностИ ортогоналност.

Обозначаване:Ортогоналността на векторите се записва с обичайния символ за перпендикулярност, например: .

Разглежданите вектори се наричат координатни векториили orts. Тези вектори образуват базана повърхността. Какво е основа, мисля, че е интуитивно ясно за мнозина, по-подробна информация можете да намерите в статията Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторитеС прости думи, основата и произходът на координатите определят цялата система - това е един вид основа, върху която кипи пълен и богат геометричен живот.

Понякога изградената основа се нарича ортонормалнаоснова на равнината: “орто” - тъй като координатните вектори са ортогонални, прилагателното “нормализиран” означава единица, т.е. дължините на базисните вектори са равни на единица.

Обозначаване:основата обикновено се изписва в скоби, вътре в които в строга последователностбазисните вектори са изброени, например: . Координатни вектори забранено епренареждам.

Всякаквиравнинен вектор единствения начинизразено като:
, Където - числакоито се наричат векторни координатив тази основа. И самият израз Наречен векторно разлаганепо основа .

Сервирана вечеря:

Да започнем с първата буква от азбуката: . Чертежът ясно показва, че при разлагането на вектор в базис се използват току-що обсъдените:
1) правилото за умножаване на вектор с число: и ;
2) събиране на вектори по правилото на триъгълника: .

Сега мислено начертайте вектора от всяка друга точка на равнината. Съвсем очевидно е, че неговото упадък ще го „следва безмилостно“. Ето я свободата на вектора - векторът „носи всичко със себе си“. Това свойство, разбира се, е вярно за всеки вектор. Странно е, че самите базисни (свободни) вектори не трябва да се начертават от началото, единият може да се начертае например долу вляво, а другият горе вдясно и нищо няма да се промени! Вярно е, че не е нужно да правите това, тъй като учителят също ще покаже оригиналност и ще ви изтегли „кредит“ на неочаквано място.

Векторите илюстрират точно правилото за умножение на вектор по число, векторът е съпосочен с основния вектор, векторът е насочен срещуположно на основния вектор. За тези вектори една от координатите е равна на нула; можете педантично да го напишете така:


А базисните вектори, между другото, са така: (всъщност те се изразяват чрез себе си).

И накрая: , . Между другото, какво е векторно изваждане и защо не говорих за правилото за изваждане? Някъде в линейната алгебра, не помня къде, отбелязах, че изваждането е специален случай на събиране. По този начин разширенията на векторите "de" и "e" лесно се записват като сума: , . Следвайте чертежа, за да видите колко ясно работи доброто старо добавяне на вектори според правилото на триъгълника в тези ситуации.

Разгледаното разлагане на формата понякога се нарича векторно разлагане в орт системата(т.е. в система от единични вектори). Но това не е единственият начин да напишете вектор; следната опция е често срещана:

Или със знак за равенство:

Самите базисни вектори се записват по следния начин: и

Тоест координатите на вектора са посочени в скоби. В практически задачи се използват и трите варианта на нотация.

Съмнявах се дали да говоря, но все пак ще го кажа: векторните координати не могат да бъдат пренареждани. Строго на първо мястозаписваме координатата, която съответства на единичния вектор, строго на второ мястозаписваме координатата, която съответства на единичния вектор. Наистина и са два различни вектора.

Намерихме координатите на самолета. Сега нека да разгледаме векторите в триизмерното пространство, тук почти всичко е същото! Просто ще добави още една координата. Трудно е да се правят триизмерни рисунки, така че ще се огранича до един вектор, който за простота ще отделя от началото:

Всякакви 3D космически вектор единствения начин разширяване върху ортонормална основа:
, където са координатите на вектора (числото) в тази основа.

Пример от снимката: . Нека видим как работят векторните правила тук. Първо, умножете вектора по число: (червена стрелка), (зелена стрелка) и (малинова стрелка). Второ, ето пример за добавяне на няколко, в този случай три вектора: . Векторът на сумата започва от началната точка на изход (началото на вектора) и завършва в крайната точка на пристигане (края на вектора).

Всички вектори на триизмерното пространство, естествено, също са свободни; опитайте се психически да отделите вектора от всяка друга точка и ще разберете, че неговото разлагане „ще остане с него“.

Подобно на плоския случай, в допълнение към писането широко се използват варианти със скоби: или .

Ако един (или два) координатни вектора липсват в разширението, тогава на тяхно място се поставят нули. Примери:
вектор (щателно ) – да пишем ;
вектор (щателно ) – да пишем ;
вектор (щателно ) – да пишем.

Базисните вектори се записват, както следва:

Това може би са всички минимални теоретични познания, необходими за решаване на проблемите на аналитичната геометрия. Може да има много термини и определения, така че препоръчвам на чайниците да препрочетат и разберат тази информация отново. И ще бъде полезно за всеки читател да се обръща от време на време към основния урок, за да усвои по-добре материала. Колинеарност, ортогоналност, ортонормална основа, векторно разлагане - тези и други понятия ще бъдат често използвани в бъдеще. Отбелязвам, че материалите на сайта не са достатъчни за преминаване на теоретичния тест или колоквиума по геометрия, тъй като аз внимателно криптирам всички теореми (и без доказателства) - в ущърб на научния стил на представяне, но плюс за вашето разбиране на предметът. За да получите подробна теоретична информация, моля да се поклоните на проф. Атанасян.

И преминаваме към практическата част:

Най-простите задачи на аналитичната геометрия.
Действия с вектори в координати

Силно препоръчително е да научите как да решавате задачите, които ще се разглеждат напълно автоматично, и формулите запаметявам, дори не помнете конкретно, те сами ще си спомнят =) Това е много важно, защото в най-простия елементарни примеридруги проблеми с аналитична геометрия са базирани и би било жалко да прекарвате допълнително време в ядене на пешки. Няма нужда да закопчавате горните копчета на ризата си, много неща са ви познати от училище.

Поднасянето на материала ще следва паралелен ход – както за самолета, така и за космоса. Поради причината, че всички формули... ще видите сами.

Как да намерим вектор от две точки?

Ако са дадени две точки от равнината и , тогава векторът има следните координати:

Ако са дадени две точки в пространството и , тогава векторът има следните координати:

Това е, от координатите на края на векторатрябва да извадите съответните координати началото на вектора.

Упражнение:За същите точки запишете формулите за намиране на координатите на вектора. Формули в края на урока.

Пример 1

Дадени са две точки от равнината и . Намерете векторни координати

Решение:по съответната формула:

Като алтернатива може да се използва следният запис:

Естетите ще решат това:

Лично аз съм свикнал с първия вариант на записа.

Отговор:

Според условието не беше необходимо да се изгражда чертеж (което е типично за проблемите на аналитичната геометрия), но за да изясня някои точки за манекени, няма да бъда мързелив:

Определено трябва да разберете разлика между координатите на точката и векторните координати:

Координати на точки– това са обикновени координати в правоъгълна координатна система. Поставете точки координатна равнинаМисля, че всеки може от 5-6 клас. Всяка точка има строго определено място в равнината и не може да бъде преместена никъде.

Координатите на вектора– това е разширяването му според основата, в случая. Всеки вектор е свободен, така че при желание или необходимост можем лесно да го отдалечим от някоя друга точка на равнината. Интересно е, че за векторите изобщо не е нужно да изграждате оси или правоъгълна координатна система; имате нужда само от основа, в този случай ортонормална основа на равнината.

Записите на координати на точки и координати на вектори изглеждат подобни: , и значение на координатитеабсолютно различен, и трябва да сте добре запознати с тази разлика. Тази разлика, разбира се, важи и за пространството.

Дами и господа, нека напълним ръцете си:

Пример 2

а) Дадени са точки и . Намерете вектори и .
б) Дават се точки И . Намерете вектори и .
в) Дадени са точки и . Намерете вектори и .
г) Дават се точки. Намерете вектори .

Може би това е достатъчно. Това са примери за независимо решение, опитайте се да не ги пренебрегвате, ще ви се отплати ;-). Няма нужда да правите чертежи. Решения и отговори в края на урока.

Какво е важно при решаването на задачи по аналитична геометрия?Важно е да бъдете ИЗКЛЮЧИТЕЛНО ВНИМАТЕЛНИ, за да избегнете майсторската грешка „две плюс две е равно на нула“. Веднага се извинявам, ако съм сбъркал някъде =)

Как да намерим дължината на сегмент?

Дължината, както вече беше отбелязано, се обозначава със знака за модул.

Ако са дадени две точки от равнината и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли с помощта на формулата

Ако са дадени две точки в пространството и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли с помощта на формулата

Забележка: Формулите ще останат правилни, ако съответните координати се разменят: и , но първата опция е по-стандартна

Пример 3

Решение:по съответната формула:

Отговор:

За по-голяма яснота ще направя чертеж

Линеен сегмент - това не е вектор, и, разбира се, не можете да го преместите никъде. Освен това, ако рисувате в мащаб: 1 единица. = 1 см (две клетки от тетрадка), тогава полученият отговор може да се провери с обикновена линийка чрез директно измерване на дължината на отсечката.

Да, решението е кратко, но в него има още няколко важни точки, които бих искал да изясня:

Първо, в отговора поставяме измерението: „единици“. В условието не пише КАКВО е, милиметри, сантиметри, метри или километри. Следователно, математически правилното решение би било общата формулировка: „единици“ - съкратено като „единици“.

Второ, нека повторим учебния материал, който е полезен не само за разглежданата задача:

обръщам внимание на важна техника – премахване на множителя изпод корена. В резултат на изчисленията имаме резултат и добрият математически стил включва премахване на фактора под корена (ако е възможно). По-подробно процесът изглежда така: . Разбира се, да оставим отговора такъв, какъвто е, няма да е грешка - но със сигурност би било недостатък и сериозен аргумент за заяждане от страна на учителя.

Ето и други често срещани случаи:

Често има достатъчно в основата голямо число, Например . Какво да правим в такива случаи? С помощта на калкулатора проверяваме дали числото се дели на 4: . Да, беше напълно разделено, така че: . Или може би числото отново може да се раздели на 4? . По този начин: . Последната цифра на числото е нечетна, така че разделянето на 4 за трети път очевидно няма да работи. Нека се опитаме да разделим на девет: . Като резултат:
Готов.

Заключение:ако под корена получим число, което не може да бъде извлечено като цяло, тогава се опитваме да премахнем фактора от под корена - с помощта на калкулатор проверяваме дали числото се дели на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и др.

Когато решавате различни задачи, често се срещат корени; винаги се опитвайте да извлечете фактори под корена, за да избегнете по-ниска оценка и ненужни проблеми с финализирането на вашите решения въз основа на коментарите на учителя.

Нека също повторим корени на квадрат и други степени:

Правила за действия със степени в общ изгледможе да се намери в училищен учебник по алгебра, но мисля, че от дадените примери всичко или почти всичко вече е ясно.

Задача за самостоятелно решение с отсечка в пространството:

Пример 4

Дават се точки и . Намерете дължината на отсечката.

Решението и отговорът са в края на урока.

Как да намерим дължината на вектор?

Ако е даден плосък вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата.

Ако е даден пространствен вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата .

Досега се смяташе, че векторите се разглеждат в космоса. От този момент нататък приемаме, че всички вектори се разглеждат в равнината. Ще приемем също, че на равнината е зададена декартова координатна система (дори и това да не е посочено), представляваща две взаимно перпендикулярни числови оси - хоризонталната ос и вертикалната ос . След това всяка точка
в самолета се задава двойка номера
, които са неговите координати. Обратно, всяка двойка числа
съответства на точка от равнината, така че двойка числа
са нейните координати.

От елементарната геометрия е известно, че ако на една равнина има две точки
И
, след това разстоянието
между тези точки се изразява чрез техните координати по формулата

Нека на равнината е зададена декартова координатна система. Ортова ос ще обозначим със символа , и единичният вектор на оста символ . Проекция на произволен вектор на ос ще обозначим със символа
, и проекцията върху оста символ
.

Позволявам - произволен вектор на равнината. Важи следната теорема.

Теорема 22.

За всеки вектор в самолета има чифт числа

.

При което
,
.

Доказателство.

Нека е даден вектор . Нека оставим настрана вектора от произхода. Нека означим с вектор-проекционен вектор на ос , и през вектор-проекционен вектор на ос . Тогава, както се вижда от фигура 21, равенството е в сила

.

Съгласно теорема 9,

,

.

Нека обозначим
,
. Тогава получаваме

.

И така, доказано е, че за всеки вектор има двойка числа
така че равенството да е вярно

,

,

.

С различно векторно местоположение Доказателството е подобно по отношение на осите.

Определение.

Двойка числа И такова, че
, се наричат ​​векторни координати . Номер се нарича х-координата, а числото игрови координати.

Определение.

Двойка единични вектори на координатни оси
се нарича ортонормална основа на равнината. Представяне на всеки вектор като
наречена векторна декомпозиция по основа
.

Пряко от дефиницията на векторните координати следва, че ако координатите на векторите са равни, то и самите вектори са равни. Обратното също е вярно.

Теорема.

Еднаквите вектори имат равни координати.

Доказателство.

,

И
. Нека докажем това
,
.

От равенството на векторите следва, че

.

Да приемем, че
, А
.

Тогава
а това означава
, което не е вярно. По същия начин, ако
, Но
, Че
. Оттук
, което не е вярно. И накрая, ако приемем, че
И
, тогава получаваме това

.

Това означава, че векторите И колинеари. Но това не е вярно, тъй като те са перпендикулярни. Следователно това си остава
,
, което трябваше да се докаже.

По този начин координатите на вектора напълно определят самия вектор. Знаейки координатите И вектор можете да изградите самия вектор , чрез конструиране на векторите
И
и ги сгъвате. Следователно, често самият вектор обозначена като двойка нейни координати и написана
. Този запис означава това
.

Следващата теорема следва пряко от определението за векторни координати.

Теорема.

При добавяне на вектори се добавят техните координати, а при умножаване на вектор по число неговите координати се умножават по това число. Тези изявления са написани във формуляра

.

Доказателство.

,

Теорема.

Позволявам
, а началото на вектора е точка има координати
, а краят на вектора е точка
. Тогава координатите на вектора са свързани с координатите на краищата му чрез следните отношения

,

.

Доказателство.

Позволявам
и нека векторът е проекцията на вектора на ос подравнен с оста (виж Фиг. 22). Тогава

T като дължината на сегмент от числовата ос равно на координатата на десния край минус координатата на левия край. Ако векторът

срещуположно на оста (както на фиг. 23), тогава

Ориз. 23.

Ако
, тогава в този случай
и тогава получаваме

.

Така за всяко местоположение на вектора
спрямо координатните оси неговата координата равна на

.

По същия начин е доказано, че

.

Пример.

Дадени са координатите на краищата на вектора
:
. Намерете векторни координати
.

Решение.

Следващата теорема предоставя израз за дължината на вектор по отношение на неговите координати.

Теорема 15.

Позволявам
.Тогава

.

Доказателство.

Позволявам И - векторна проекция вектор по оста И , съответно. Тогава, както е показано в доказателството на теорема 9, равенството е в сила

.

В същото време векторите И взаимно перпендикулярни. Когато съберем тези вектори според правилото на триъгълника, получаваме правоъгълен триъгълник (виж фиг. 24).

По Питагоровата теорема имаме

.

,

.

Следователно

,

.

.

.

Пример.

.Намирам .

Нека въведем концепцията за насочващи косинуси на вектор.

Определение.

Нека векторът
е с оста ъгъл , и с оста ъгъл (Вижте фиг. 25).

,

.

следователно

Тъй като за всеки вектор има равенство

,

Където - единичен вектор , тоест вектор с единична дължина, съпосочен с вектора , Че

вектор определя посоката на вектора . Координатите му
И
се наричат ​​насочващи косинуси на вектора . Насочващите косинуси на вектор могат да бъдат изразени чрез неговите координати с помощта на формулите

,

.

Има връзка

.

Досега в този раздел се приемаше, че всички вектори са разположени в една и съща равнина. Сега нека обобщим за векторите в пространството.

Ще приемем, че в пространството е дадена декартова координатна система с оси ,И .

Единични вектори на осите ,И ще обозначим със символи ,И , съответно (фиг. 26).

Може да се покаже, че всички понятия и формули, получени за вектори в равнината, са обобщени за

Ориз. 26.

вектори в пространството. Тройка вектори
се нарича ортонормална база в пространството.

Позволявам ,И - векторна проекция вектор по оста ,И , съответно. Тогава

.

На свой ред

,

,

.

Ако обозначим

,

,

,

Тогава получаваме равенството

.

Коефициенти преди базисни вектори ,И се наричат ​​векторни координати . По този начин, за всеки вектор в пространството има тройка числа ,,, наречени векторни координати така че за този вектор е валидно следното представяне:

.

вектор в този случай също се обозначава във формата
. В този случай координатите на вектора са равни на проекциите на този вектор върху координатните оси

,

,

,

Където - ъгъл между вектор и ос ,- ъгъл между вектор и ос ,- ъгъл между вектор и ос .

Дължина на вектора изразено чрез своите координати с помощта на формулата

.

Верни са твърденията, че равните вектори имат равни координати; при добавяне на вектори се добавят техните координати, а при умножаване на вектор по число неговите координати се умножават по това число.
,
И
се наричат ​​насочващи косинуси на вектора . Те са свързани с векторните координати чрез формулите

,
,
.

Това предполага отношението

Ако краищата на вектора
имат координати
,
, след това координатите на вектора
са свързани с координатите на краищата на вектора чрез отношенията

,

,

.

Пример.

Дават се точки
И
. Намерете векторни координати
.

Първо, нека дефинираме координатите на вектор в дадена координатна система. За да въведем тази концепция, нека дефинираме това, което наричаме правоъгълна или декартова координатна система.

Определение 1

Правоъгълна координатна система е праволинейна координатна система с взаимно перпендикулярни оси в равнина или в пространството.

Чрез въвеждане на правоъгълна координатна система на равнина или в триизмерно пространство става възможно да се опише геометрични формизаедно с техните свойства с помощта на уравнения и неравенства, тоест използвайте алгебрични методипри решаване на геометрични задачи.

Така можем да свържем вектори към дадена координатна система. Това значително ще разшири нашите възможности за решаване на определени проблеми.

Правоъгълна координатна система в равнина обикновено се обозначава с O x y, където O x и O y са координатните оси. Оста O x се нарича абсцисна ос, а оста O y се нарича ординатна ос (друга ос O z се появява в пространството, която е перпендикулярна както на O x, така и на O y).

Пример 1

И така, на равнината ни е дадена правоъгълна декартова координатна система O x y, ако оставим настрана векторите i → и j → от началото, чиято посока съответно ще съвпада с положителните посоки на осите O x и O y , и тяхната дължина ще бъде равна на конвенционална единица, ще получим координатни вектори. Тоест в този случай i → и j → са координатни вектори.

Координатни вектори

Вектори i → и j → се наричат ​​координатни вектори за дадена координатна система.

Пример 2

Отделяме произволен вектор a → от началото. Разчитайки на геометрична дефиницияоперации върху вектори, векторът a → може да бъде представен като a → = a x · i → + a y · j → , където коефициентите a x И a y - са единствени по рода си, тяхната уникалност е доста проста за доказване чрез противно.

Векторно разлагане

Векторно разлагане а → чрез координатни вектори i → и j → на повърхността се нарича представяне на формата a → = a x · i → + a y · j → .

Определение 4

Коефициенти a x и a y се наричат ​​координатите на вектора в дадена координатна система на равнината.

Координатите на вектор в дадена координатна система обикновено се записват в скоби, разделени със запетаи, като посочените координати се отделят от обозначението на вектора със знак за равенство. Например записването на a → = (2 ; - 3) означава, че векторът a → има координати (2 ; - 3) в дадена координатна система и може да бъде представен като разширение в координатни вектори i → и j → като a → = 2 · i → - 3 · j → .

Коментирайте

Моля, обърнете внимание, че редът, в който са записани координатите, е важен; ако напишете векторните координати в различен ред, ще получите напълно различен вектор.

Въз основа на дефинициите на векторните координати и техните декомпозиции става очевидно, че единичните вектори i → и j → имат съответно координати (1 ; 0) и (0 ; 1) и могат да бъдат представени като следните декомпозиции i → = 1 · i → + 0 · j → ; j → = 0 · i → + 1 · j → .

Има и нулев вектор 0 → с координати (0 ; 0) и разширение 0 → = 0 · i → + 0 · j → .

Равни и противоположни вектори

Векторите a → и b → са равни когато съответните им координати са равни.

Определение 6

Противоположен вектор Противоположният на дадения вектор се нарича.

От това следва, че координатите на такъв вектор ще бъдат противоположни на координатите на този вектор, т.е. - a → = (- a x ; - a y) .

Всичко по-горе може да се дефинира по подобен начин за правоъгълна координатна система, дефинирана в триизмерно пространство. В такава координатна система има тройка координатни вектори i → , j → , k → , а произволен вектор a → се разлага не на две, а на три координати и по уникален начин има формата a → = a x · i → + a y · j → + a z · k → , а коефициентите на това разширение (a x ; a y ; a z) се наричат векторни координати в дадена (триизмерна) координатна система.

Следователно, координатните вектори в тримерното пространство също приемат стойността 1 и имат координати i → = (1; 0; 0), j → = (0; 1; 0), k → = (0; 0; 1), координатите на нулевия вектор също са равни на нула 0 → = (0; 0; 0), и в този случай два вектора ще се считат за равни, ако и трите съответни координати на векторите са равни една на друга a → = b → ⇔ a x = b x , a y = b y , a z = b z и координатите на противоположния вектор a → са противоположни на съответните координати на вектора a → , т.е. - a → = (- a x ; - a y ; - a z ) .

За да се въведе това определение, е необходимо да се покаже в дадена координатна система връзката между координатите на точка и координатите на вектор.

Нека ни е дадена определена правоъгълна декартова координатна система O x y и произволна точка M с дадени в нея координати M (x M ; y M).

Определение 7

вектор O M → Наречен радиус вектор на точката М .

Нека определим какви координати има радиус векторът на точката в тази координатна система

вектор O M → има формата на сума O M → = O M x → + O M y → = x M · i → + y M · j → , където точките M x и M y са проекции на точка M върху координатните прави Ox и Oy, съответно (тези аргументи следват от дефиниционната проекция на точка върху права линия), а i → и j → са координатни вектори, следователно векторът O M → има координати (x M ; y M) в дадена координатна система.

С други думи, координатите на радиус вектора на точка M са равни на съответните координати на точка M в правоъгълна декартова координатна система.

По подобен начин в триизмерното пространство радиус векторът на точка M (x M; y M; z M) се разширява в координатни вектори като O M → = O M x → + O M y → + O M z → = x M i → + y M j → + z M · k → , следователно O M → = (x M ; y M ; z M) .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Правоъгълна координатна система

За да дефинираме понятието координати на точки, трябва да въведем координатна система, в която ще определим нейните координати. Една и съща точка в различни координатни системи може да има различни координати. Тук ще разгледаме правоъгълна координатна система в пространството.

Нека вземем точка $O$ в пространството и въведем координати $(0,0,0)$ за нея. Нека го наречем начало на координатната система. Нека начертаем през нея три взаимно перпендикулярни оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$, както е на фигура 1. Тези оси ще се наричат ​​съответно абсцисна, ординатна и апликативна ос. Остава само да въведете мащаба на осите (единичен сегмент) - правоъгълната координатна система в пространството е готова (фиг. 1)

Фигура 1. Правоъгълна координатна система в пространството. Author24 - онлайн обмен на студентски работи

Координати на точки

Сега нека да разгледаме как се определят координатите на всяка точка в такава система. Да вземем произволна точка $M$ (фиг. 2).

Нека построим правоъгълен паралелепипед върху координатните оси, така че точките $O$ и $M$ да са противоположните му върхове (фиг. 3).

Фигура 3. Конструкция правоъгълен паралелепипед. Author24 - онлайн обмен на студентски работи

Тогава точка $M$ ще има координати $(X,Y,Z)$, където $X$ е стойността на числовата ос $Ox$, $Y$ е стойността на числовата ос $Oy$ и $Z $ е стойността на числовата ос $Oz$.

Пример 1

Необходимо е да се намери решение на следната задача: напишете координатите на върховете на паралелепипеда, показан на фигура 4.

Решение.

Точка $O$ е началото на координатите, следователно $O=(0,0,0)$.

Точките $Q$, $N$ и $R$ лежат съответно на осите $Ox$, $Oz$ и $Oy$, което означава

$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1.5)$, $R=(0,2.5,0)$

Точките $S$, $L$ и $M$ лежат съответно в равнините $Oxz$, $Oxy$ и $Oyz$, което означава

$S=(2,0,1.5)$, $L=(2,2.5,0)$, $R=(0,2.5,1.5)$

Точка $P$ има координати $P=(2,2.5,1.5)$

Векторни координати по две точки и формула за намиране

За да разберете как да намерите вектор от координатите на две точки, трябва да разгледате координатната система, която въведохме по-рано. В него от точката $O$ по ​​посока на оста $Ox$ начертаваме единичния вектор $\overline(i)$, по посока на оста $Oy$ - единичния вектор $\overline(j) $, а единичният вектор $\overline(k) $ трябва да бъде насочен по оста $Oz$.

За да въведем концепцията за векторни координати, въвеждаме следната теорема (няма да разглеждаме нейното доказателство тук).

Теорема 1

Произволен вектор в пространството може да бъде разширен във всеки три вектора, които не лежат в една и съща равнина, и коефициентите в такова разширение ще бъдат еднозначно определени.

Математически изглежда така:

$\overline(δ)=m\overline(α)+n\overline(β)+l\overline(γ)$

Тъй като векторите $\overline(i)$, $\overline(j)$ и $\overline(k)$ са построени върху координатните оси на правоъгълна координатна система, те очевидно няма да принадлежат на една и съща равнина. Това означава, че всеки вектор $\overline(δ)$ в тази координатна система, съгласно Теорема 1, може да приеме следната форма

$\overline(δ)=m\overline(i)+n\overline(j)+l\overline(k)$ (1)

където $n,m,l∈R$.

Определение 1

Трите вектора $\overline(i)$, $\overline(j)$ и $\overline(k)$ ще се наричат ​​координатни вектори.

Определение 2

Коефициентите пред векторите $\overline(i)$, $\overline(j)$ и $\overline(k)$ в разширението (1) ще наричаме координатите на този вектор в дадената от нас координатна система , това е

$\overline(δ)=(m,n,l)$

Линейни операции върху вектори

Теорема 2

Теорема за сумата: Координатите на сумата от произволен брой вектори се определят от сумата на съответните им координати.

Доказателство.

Ще докажем тази теорема за 2 вектора. За 3 или повече вектора доказателството се конструира по подобен начин. Нека $\overline(α)=(α_1,α_2,α_3)$, $\overline(β)=(β_1,β_2 ,β_3)$.

Тези вектори могат да бъдат записани по следния начин

$\overline(α)=α_1\overline(i)+ α_2\overline(j)+α_3\overline(k)$, $\overline(β)=β_1\overline(i)+ β_2\overline(j)+ β_3\overline(k)$

Необходимо е да се определи векторът в равнина или в пространството, тоест да се предостави информация за неговата посока и дължина.

Векторни координати

Нека са дадени правоъгълна декартова координатна система (RCCS) $x O y$ и произволен вектор $\overline(a)$, чието начало съвпада с началото на координатната система (фиг. 1).

Определение

Векторни координати$\overline(a)$ са проекциите $a_(x)$ и $a_(y)$ на даден вектор съответно върху осите $O x$ и $O y$:

Извиква се количеството $a_(x)$ абсцисата на вектора$\overline(a)$ и числото $a_(y)$ е неговото ордината. Фактът, че векторът $\overline(a)$ има координати $a_(x)$ и $a_(y)$, се записва по следния начин: $\overline(a)=\left(a_(x) ; a_(y) ) \right)$.

Пример

Означението $\overline(a)=(5 ;-2)$ означава, че векторът $\overline(a)$ има следните координати: абсцисата е 5, ординатата е -2.

Сума от два вектора, дадени с координати

Нека са дадени $\overline(a)=\left(a_(x) ; a_(y)\right)$ и $\overline(b)=\left(b_(x) ; b_(y)\right)$ , тогава векторът $\overline(c)=\overline(a)+\overline(b)$ има координати $\left(a_(x)+b_(x) ; a_(y)+b_(y)\right )$ (фиг. 2).

Определение

Да се намерете сумата от два вектора, дадени от техните координати, трябва да добавите съответните им координати.

Пример

Упражнение.Дадено е $\overline(a)=(-3 ; 5)$ и $\overline(b)=(0 ;-1)$. Намерете координатите на вектора $\overline(c)=\overline(a)+\overline(b)$

Решение.$\overline(c)=\overline(a)+\overline(b)=(-3 ; 5)+(0 ;-1)=(-3+0 ; 5+(-1))=(-3 ; 4)$

Умножение на вектор по число

Ако е дадено $\overline(a)=\left(a_(x) ; a_(y)\right)$, тогава векторът $m \overline(a)$ има координати $m \overline(a)=\left ( m a_(x) ; m a_(y)\right)$, тук $m$ е определено число (фиг. 3).

Пример

Упражнение.Вектор $\overline(a)=(3 ;-2)$. Намерете координатите на вектор 2$\overline(a)$

Решение.$2 \overline(a)=2 \cdot(3 ;-2)=(2 \cdot 3 ; 2 \cdot(-2))=(6 ;-4)$

Нека по-нататък разгледаме случая, когато началото на вектора не съвпада с началото на координатната система. Нека приемем, че две точки $A\left(a_(x) ; a_(y)\right)$ и $B\left(b_(x) ; b_(y)\right)$ са дадени в PDCS. Тогава координатите на вектора $\overline(A B)=\left(x_(1) ; y_(1)\right)$ се намират по формулите (фиг. 4):

$x_(1)=b_(x)-a_(x), y_(1)=b_(y)-a_(y)$

Определение

Да се намиране на векторни координати, зададени от координатите на началото и края, е необходимо да се извадят съответните координати на началото от крайните координати.

Пример

Упражнение.Намерете координатите на вектора $\overline(A B)$, ако $A(-4 ; 2), B(1 ;-3)$

Решение.$\overline(A B)=(1-(-4) ;-3-2)=(5 ;-5)$

Насочващи косинуси

Определение

Насочващи косинуси на векторсе наричат ​​косинусите на ъглите, образувани от вектор с положителните посоки на координатните оси.

Посоката на вектора е уникално определена от насочващите косинуси. За единичен вектор насочващите косинуси са равни на неговите координати.

Ако вектор $\overline(a)=\left(a_(x) ; a_(y) ; a_(z)\right)$ е даден в пространството, тогава неговите насочващи косинуси се изчисляват с помощта на формулите:

$\cos \alpha=\frac(a_(x))(\sqrt(a_(x)^(2)+a_(y)^(2)+a_(z)^(2))), \cos \ бета=\frac(a_(y))(\sqrt(a_(x)^(2)+a_(y)^(2)+a_(z)^(2))), \cos \gamma=\frac (a_(z))(\sqrt(a_(x)^(2)+a_(y)^(2)+a_(z)^(2)))$

Тук $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ са ъглите, образувани от вектора с положителните посоки на осите $O x$, $O y$ и $O z$, съответно.