Формула на Виета за уравнението. Как да докажем теоремата на Виета

Теоремата на Vieta е концепция, позната на почти всеки от ученическите дни. Но наистина ли е „познато“? Малко хора го срещат Ежедневието. Но не всички, които се занимават с математика, понякога напълно разбират дълбокия смисъл и огромното значение на тази теорема.

Теоремата на Vieta значително улеснява процеса на решаване на огромен брой математически задачи, които в крайна сметка се свеждат до решението:

След като сте разбрали значението на такъв прост и ефективен математически инструмент, не можете да не помислите за човека, който пръв го е открил.

Известният френски учен, който започва своята трудова дейносткато адвокат. Но очевидно математиката е неговото призвание. Докато беше на кралска служба като съветник, той стана известен с това, че успя да прочете прихванато криптирано съобщение от краля на Испания до Холандия. Това дава възможност на френския крал Хенри III да разбере за всички намерения на своите противници.

Постепенно запознавайки се с математическите знания, Франсоа Виете стига до извода, че трябва да има тясна връзка между най-новите изследвания на „алгебристите“ по онова време и дълбокото геометрично наследство на древните. В хода на научните изследвания той разработва и формулира почти цялата елементарна алгебра. Той пръв представи използването буквени количествав математическия апарат, като ясно разграничава понятията: число, величина и техните взаимоотношения. Виет доказа, че чрез извършване на операции в символна форма е възможно да се реши задачата за общия случай, за почти всяка стойност на дадени количества.

Неговото изследване за решаване на уравнения с по-високи степени от втората доведе до теорема, която сега е известна като обобщената теорема на Виета. Има голямо практическо значение и използването му дава възможност за бързо решаване на уравнения от по-висок ред.

Едно от свойствата на тази теорема е следното: произведението на всички n-та степене равен на своя свободен член. Това свойство често се използва при решаване на уравнения от трета или четвърта степен, за да се намали редът на полинома. Ако n-ти полиномстепени имат цели корени, те могат лесно да бъдат определени чрез проста селекция. И след това, като разделим полинома на израза (x-x1), получаваме полином от (n-1) степен.

Накрая бих искал да отбележа, че теоремата на Виета е една от най-известните теореми училищен курсалгебра. И името му заема достойно място сред имената на велики математици.

Между корените и коефициентите на квадратно уравнение, в допълнение към коренните формули, има други полезни връзки, които са дадени Теорема на Виета. В тази статия ще дадем формулировка и доказателство на теоремата на Виета за квадратно уравнение. След това разглеждаме теоремата, обратна на теоремата на Виета. След това ще анализираме решенията на най-типичните примери. Накрая записваме формулите на Vieta, които определят връзката между реалните корени алгебрично уравнение степен n и нейните коефициенти.

Навигация в страницата.

Теорема на Виета, формулировка, доказателство

От формулите на корените на квадратното уравнение a·x 2 +b·x+c=0 от вида, където D=b 2 −4·a·c следват следните съотношения: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a. Тези резултати се потвърждават Теорема на Виета:

Теорема.

Ако x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0, тогава сумата от корените е равна на отношението на коефициентите b и a, взети с обратен знак, и произведението на корените е равно на отношението на коефициентите c и a, т.е.

Доказателство.

Ще извършим доказателството на теоремата на Виета по следната схема: ще съставим сумата и произведението на корените на квадратното уравнение, използвайки известни формуликорени, след което трансформираме получените изрази и се уверяваме, че те са равни съответно на −b/a и c/a.

Да започнем със сбора на корените и да го съставим. Сега намаляваме дробите до общ знаменател, ние имаме . В числителя на получената дроб, след което:. Накрая, след 2, получаваме . Това доказва първата връзка от теоремата на Виета за сумата от корените на квадратно уравнение. Да преминем към второто.

Съставяме произведението на корените на квадратното уравнение: . Съгласно правилото за умножаване на дроби последният продукт може да бъде записан като . Сега умножаваме скоба по скоба в числителя, но е по-бързо да свием този продукт с формула за квадратна разлика, Така . След това, спомняйки си, извършваме следващия преход. И тъй като дискриминантът на квадратното уравнение съответства на формулата D=b 2 −4·a·c, тогава вместо D в последната дроб можем да заместим b 2 −4·a·c, получаваме. След отваряне на скобите и привеждане на подобни членове, стигаме до дробта , а намаляването й с 4·a дава . Това доказва второто отношение на теоремата на Виета за произведението на корените.

Ако пропуснем обясненията, доказателството на теоремата на Виета ще приеме лаконична форма:
,
.

Остава само да се отбележи, че ако дискриминантът е равен на нула, квадратното уравнение има един корен. Ако обаче приемем, че уравнението в този случай има две еднакви корени, то равенствата от теоремата на Виета също са в сила. Наистина, когато D=0 коренът на квадратното уравнение е равен на , тогава и , и тъй като D=0, т.е. b 2 −4·a·c=0, откъдето b 2 =4·a·c, тогава .

На практика теоремата на Vieta най-често се използва във връзка с редуцираното квадратно уравнение (с водещ коефициент a равен на 1) от вида x 2 +p·x+q=0. Понякога се формулира само за квадратни уравнения от този тип, което не ограничава общото, тъй като всяко квадратно уравнение може да бъде заменено с еквивалентно уравнение чрез разделяне на двете страни на различно от нула число a. Нека дадем съответната формулировка на теоремата на Виета:

Теорема.

Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0 е равна на коефициента на x, взет с противоположния знак, а произведението на корените е равно на свободния член, т.е. x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Теорема, обратна на теоремата на Виета

Втората формулировка на теоремата на Виета, дадена в предишния параграф, показва, че ако x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0, тогава отношенията x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. От друга страна, от записаните отношения x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q следва, че x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение x 2 +p x+q=0. С други думи, обратното на теоремата на Виета е вярно. Нека го формулираме под формата на теорема и го докажем.

Теорема.

Ако числата x 1 и x 2 са такива, че x 1 +x 2 =−p и x 1 · x 2 =q, тогава x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p · x+q =0.

Доказателство.

След замяна на коефициентите p и q в уравнението x 2 +p x+q=0 с техните изрази чрез x 1 и x 2 , то се трансформира в еквивалентно уравнение.

Нека заместим числото x 1 вместо x в полученото уравнение и имаме равенството x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, което за всяко x 1 и x 2 представлява правилното числено равенство 0=0, тъй като x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Следователно x 1 е коренът на уравнението x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, което означава, че x 1 е коренът на еквивалентното уравнение x 2 +p·x+q=0.

Ако в уравнението x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0заместваме числото x 2 вместо x, получаваме равенството x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Това истинско равенство, защото x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Следователно x 2 също е корен на уравнението x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, и следователно уравненията x 2 +p·x+q=0.

Това завършва доказателството на теоремата, обратна на теорематаВиета.

Примери за използване на теоремата на Vieta

Време е да поговорим за практическото приложение на теоремата на Виета и обратната й теорема. В този раздел ще анализираме решения на няколко от най-типичните примери.

Нека започнем с прилагането на теоремата, обратна на теоремата на Виета. Удобно е да се използва за проверка дали дадени две числа са корени на дадено квадратно уравнение. В този случай се изчислява тяхната сума и разлика, след което се проверява валидността на отношенията. Ако и двете от тези отношения са изпълнени, тогава по силата на теоремата, обратна на теоремата на Виета, се заключава, че тези числа са корените на уравнението. Ако поне едно от отношенията не е изпълнено, тогава тези числа не са корените на квадратното уравнение. Този подход може да се използва при решаване на квадратни уравнения за проверка на намерените корени.

Пример.

Коя от двойките числа 1) x 1 =−5, x 2 =3 или 2) или 3) е двойка корени на квадратното уравнение 4 x 2 −16 x+9=0?

Решение.

Коефициентите на даденото квадратно уравнение 4 x 2 −16 x+9=0 са a=4, b=−16, c=9. Според теоремата на Виета сумата от корените на квадратно уравнение трябва да е равна на −b/a, т.е. 16/4=4, а произведението на корените трябва да е равно на c/a, т.е. 9 /4.

Сега нека изчислим сумата и произведението на числата във всяка от трите дадени двойки и да ги сравним със стойностите, които току-що получихме.

В първия случай имаме x 1 +x 2 =−5+3=−2. Получената стойност е различна от 4, така че не може да се извърши допълнителна проверка, но използвайки теоремата, обратна на теоремата на Виета, може веднага да се заключи, че първата двойка числа не е двойка корени на даденото квадратно уравнение.

Да преминем към втория случай. Ето, че първото условие е изпълнено. Проверяваме второто условие: получената стойност е различна от 9/4. Следователно втората двойка числа не е двойка корени на квадратното уравнение.

Остава един последен случай. Тук и . И двете условия са изпълнени, така че тези числа x 1 и x 2 са корените на даденото квадратно уравнение.

Отговор:

Обратното на теоремата на Виета може да се използва на практика за намиране на корените на квадратно уравнение. Обикновено се избират цели корени на дадените квадратни уравнения с цели коефициенти, тъй като в други случаи това е доста трудно да се направи. В този случай те използват факта, че ако сумата от две числа е равна на втория коефициент на квадратно уравнение, взето със знак минус, и произведението на тези числа е равно на свободния член, тогава тези числа са корени на това квадратно уравнение. Нека разберем това с пример.

Нека вземем квадратното уравнение x 2 −5 x+6=0. За да бъдат числата x 1 и x 2 корени на това уравнение, трябва да са изпълнени две равенства: x 1 + x 2 =5 и x 1 · x 2 =6. Остава само да изберете такива числа. IN в такъв случайтова е доста лесно да се направи: такива числа са 2 и 3, тъй като 2+3=5 и 2·3=6. Така 2 и 3 са корените на това квадратно уравнение.

Теоремата, обратна на теоремата на Виета, е особено удобна за използване за намиране на втория корен на дадено квадратно уравнение, когато един от корените вече е известен или очевиден. В този случай вторият корен може да бъде намерен от всяка една от релациите.

Например, нека вземем квадратното уравнение 512 x 2 −509 x −3=0. Тук е лесно да се види, че единството е коренът на уравнението, тъй като сумата от коефициентите на това квадратно уравнение е равна на нула. Така че x 1 =1. Вторият корен x 2 може да се намери например от връзката x 1 ·x 2 =c/a. Имаме 1 x 2 =−3/512, от което x 2 =−3/512. Ето как определихме двата корена на квадратното уравнение: 1 и −3/512.

Ясно е, че изборът на корени е препоръчителен само в най-простите случаи. В други случаи, за да намерите корени, можете да използвате формули за корените на квадратно уравнение чрез дискриминант.

Друг практическа употребаТеоремата, обратна на теоремата на Виета, се състои в съставяне на квадратни уравнения с дадени корени x 1 и x 2. За да направите това, достатъчно е да изчислите сумата от корените, която дава коефициента на x с противоположен знак на даденото квадратно уравнение, и произведението на корените, което дава свободния член.

Пример.

Напишете квадратно уравнение, чиито корени са −11 и 23.

Решение.

Нека означим x 1 =−11 и x 2 =23. Изчисляваме сумата и произведението на тези числа: x 1 +x 2 =12 и x 1 ·x 2 =−253. Следователно посочените числа са корените на редуцираното квадратно уравнение с втори коефициент −12 и свободен член −253. Тоест x 2 −12·x−253=0 е търсеното уравнение.

Отговор:

x 2 −12·x−253=0 .

Теоремата на Vieta се използва много често при решаване на задачи, свързани със знаците на корените на квадратни уравнения. Как теоремата на Виета е свързана със знаците на корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p·x+q=0? Ето две уместни твърдения:

Ако пресечната точка q е положително число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава или и двете са положителни, или и двете отрицателни.
Ако свободният член q е отрицателно число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава техните знаци са различни, с други думи, единият корен е положителен, а другият е отрицателен.

Тези твърдения следват от формулата x 1 · x 2 =q, както и правилата за положително умножение, отрицателни числаи числа с различни знаци. Нека да разгледаме примери за тяхното приложение.

Пример.

R е положителен. Използвайки дискриминантната формула намираме D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, стойността на израза r 2 +8 е положителен за всяко реално r, следователно D>0 за всяко реално r. Следователно, оригиналното квадратно уравнение има два корена за всякакви реални стойности на параметъра r.

Сега нека разберем кога имат корените различни знаци. Ако знаците на корените са различни, тогава техният продукт е отрицателен и според теоремата на Vieta продуктът на корените на редуцираното квадратно уравнение е равен на свободния член. Следователно, ние се интересуваме от тези стойности на r, за които свободният член r−1 е отрицателен. По този начин, за да намерим стойностите на r, които ни интересуват, имаме нужда реши линейно неравенство r−1<0 , откуда находим r<1 .

Отговор:

при r<1 .

Виета формули

По-горе говорихме за теоремата на Виета за квадратно уравнение и анализирахме връзките, които тя твърди. Но има формули, които свързват реалните корени и коефициенти не само на квадратни уравнения, но и на кубични уравнения, уравнения от четвърта степен и като цяло, алгебрични уравнениястепен n. Те се наричат Формулите на Виета.

Нека напишем формулата на Vieta за алгебрично уравнение от степен n на формата и ще приемем, че то има n реални корена x 1, x 2, ..., x n (сред тях може да има съвпадащи):

Могат да се получат формулите на Vieta теорема за разлагането на полином на линейни множители, както и дефинирането на равни полиноми чрез равенството на всичките им съответни коефициенти. Така че полиномът и неговото разлагане на линейни множители на формата са равни. Отваряйки скобите в последния продукт и приравнявайки съответните коефициенти, получаваме формулите на Vieta.

По-специално, за n=2 имаме вече познатите формули на Vieta за квадратно уравнение.

За кубично уравнение формулите на Виета имат формата

Остава само да се отбележи, че от лявата страна на формулите на Виета има така наречените елементарни симетрични полиноми.

Библиография.

Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
Алгебраи началото на математическия анализ. 10. клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; редактиран от А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М .: Образование, 2010.- 368 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Има редица връзки в квадратните уравнения. Основните са връзките между корени и коефициенти. Също така в квадратните уравнения има редица отношения, които са дадени от теоремата на Виета.

В тази тема ще представим самата теорема на Виета и нейното доказателство за квадратно уравнение, теоремата, обратна на теоремата на Виета, и ще анализираме редица примери за решаване на задачи. В материала ще обърнем специално внимание на разглеждането на формулите на Виета, които определят връзката между реалните корени на алгебрично уравнение на степен ни неговите коефициенти.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Формулиране и доказателство на теоремата на Виета

Формула за корените на квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0от формата x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, където D = b 2 − 4 a c, установява отношения x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. Това се потвърждава от теоремата на Виета.

Теорема 1

В квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0, Където х 1И х 2– корени, сумата от корените ще бъде равна на отношението на коефициентите bИ а, което е взето с обратен знак, а произведението на корените ще бъде равно на съотношението на коефициентите ° СИ а, т.е. x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.

Доказателство 1

Предлагаме ви следната схема за извършване на доказателството: вземете формулата на корените, съставете сбора и произведението на корените на квадратното уравнение и след това преобразувайте получените изрази, за да се уверите, че са равни -б аИ в асъответно.

Нека направим сбора на корените x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Нека приведем дробите към общ знаменател - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Нека отворим скобите в числителя на получената дроб и представим подобни членове: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Нека намалим дробта с: 2 - b a = - b a.

Ето как доказахме първото отношение на теоремата на Виета, което се отнася до сбора от корените на квадратно уравнение.

Сега да преминем към втората връзка.

За да направим това, трябва да съставим произведението на корените на квадратното уравнение: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.

Нека си припомним правилото за умножение на дроби и запишем последния продукт по следния начин: - b + D · - b - D 4 · a 2.

Нека умножим скоба по скоба в числителя на дробта или използваме формулата за разликата на квадратите, за да трансформираме този продукт по-бързо: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Нека използваме определението за квадратен корен, за да направим следния преход: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Формула D = b 2 − 4 a cсъответства на дискриминанта на квадратно уравнение, следователно, в дроб вместо дмогат да бъдат заменени b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Нека отворим скобите, добавим подобни членове и получим: 4 · a · c 4 · a 2 . Ако го съкратим до 4 а, тогава това, което остава, е c a . Така доказахме второто отношение на теоремата на Виета за произведението на корените.

Доказателството на теоремата на Виета може да бъде написано в много лаконична форма, ако пропуснем обясненията:

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

Когато дискриминантът на квадратно уравнение е равен на нула, уравнението ще има само един корен. За да можем да приложим теоремата на Виета към такова уравнение, можем да приемем, че уравнението с дискриминант, равен на нула, има два еднакви корена. Наистина кога D=0коренът на квадратното уравнение е: - b 2 · a, тогава x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a и x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , и тъй като D = 0, т.е. b 2 - 4 · a · c = 0, откъдето b 2 = 4 · a · c, тогава b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.

Най-често в практиката теоремата на Виета се прилага към редуцираното квадратно уравнение на формата x 2 + p x + q = 0, където водещият коефициент a е равен на 1. В тази връзка теоремата на Vieta е формулирана специално за уравнения от този тип. Това не ограничава общото уравнение поради факта, че всяко квадратно уравнение може да бъде заменено с еквивалентно уравнение. За да направите това, трябва да разделите двете му части на число, различно от нула.

Нека дадем друга формулировка на теоремата на Виета.

Теорема 2

Сбор от корените в даденото квадратно уравнение x 2 + p x + q = 0ще бъде равен на коефициента на х, който се взема с обратен знак, произведението на корените ще бъде равно на свободния член, т.е. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.

Теорема, обратна на теоремата на Виета

Ако погледнете внимателно втората формулировка на теоремата на Виета, можете да видите това за корените х 1И х 2редуцирано квадратно уравнение x 2 + p x + q = 0ще бъдат валидни следните отношения: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. От тези отношения x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q следва, че х 1И х 2са корените на квадратното уравнение x 2 + p x + q = 0. Така стигаме до твърдение, което е обратното на теоремата на Виета.

Сега предлагаме да формализираме това твърдение като теорема и да извършим доказателството му.

Теорема 3

Ако числата х 1И х 2са такива, че x 1 + x 2 = − pИ x 1 x 2 = q, Че х 1И х 2са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + p x + q = 0.

Доказателство 2

Замяна на коефициенти стрИ ркъм изразяването им чрез х 1И х 2ви позволява да трансформирате уравнението x 2 + p x + q = 0в еквивалент .

Ако заместим числото в полученото уравнение х 1вместо х, тогава получаваме равенството x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Това е равенство за всички х 1И х 2се превръща в истинско числово равенство 0 = 0 , защото x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Означава, че х 1- корен на уравнението x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, какво от това х 1е и коренът на еквивалентното уравнение x 2 + p x + q = 0.

Заместване в уравнение x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0числа х 2вместо x ни позволява да получим равенство x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Това равенство може да се счита за вярно, тъй като x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Оказва се, че х 2е коренът на уравнението x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, а оттам и уравненията x 2 + p x + q = 0.

Обратното на теоремата на Виета е доказано.

Примери за използване на теоремата на Vieta

Нека сега започнем да анализираме най-типичните примери по темата. Нека започнем с анализиране на проблеми, които изискват прилагането на теоремата, обратна на теоремата на Виета. Може да се използва за проверка на числа, получени чрез изчисления, за да се види дали те са корените на дадено квадратно уравнение. За да направите това, трябва да изчислите тяхната сума и разлика и след това да проверите валидността на отношенията x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.

Изпълнението на двете отношения показва, че получените по време на изчисленията числа са корените на уравнението. Ако видим, че поне едно от условията не е изпълнено, тогава тези числа не могат да бъдат корените на квадратното уравнение, дадено в постановката на проблема.

Пример 1

Коя от двойките числа 1) x 1 = − 5, x 2 = 3 или 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 или 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 е двойка корени на квадратно уравнение 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Решение

Нека намерим коефициентите на квадратното уравнение 4 x 2 − 16 x + 9 = 0.Това е a = 4, b = − 16, c = 9. Според теоремата на Виета сборът от корените на квадратно уравнение трябва да бъде равен на -б а, това е, 16 4 = 4 , а произведението на корените трябва да е равно в а, това е, 9 4 .

Нека проверим получените числа, като изчислим сбора и произведението на числа от три дадени двойки и ги сравним с получените стойности.

В първия случай x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Тази стойност е различна от 4, следователно проверката не трябва да продължава. Съгласно теоремата, обратна на теоремата на Виета, можем веднага да заключим, че първата двойка числа не са корените на това квадратно уравнение.

Във втория случай x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Виждаме, че първото условие е изпълнено. Но второто условие не е: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Стойността, която получихме, е различна от 9 4 . Това означава, че втората двойка числа не са корените на квадратното уравнение.

Нека да преминем към разглеждането на третата двойка. Тук x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 и x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. И двете условия са изпълнени, което означава, че х 1И х 2са корените на дадено квадратно уравнение.

Отговор: x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2

Можем също да използваме обратното на теоремата на Виета, за да намерим корените на квадратно уравнение. Най-простият начин е да се изберат цели корени на дадените квадратни уравнения с цели коефициенти. Могат да се обмислят и други варианти. Но това може значително да усложни изчисленията.

За да изберем корени, използваме факта, че ако сумата от две числа е равна на втория коефициент на квадратно уравнение, взето със знак минус, и произведението на тези числа е равно на свободния член, тогава тези числа са корени на това квадратно уравнение.

Пример 2

Като пример използваме квадратното уравнение x 2 − 5 x + 6 = 0. Числа х 1И х 2могат да бъдат корените на това уравнение, ако са изпълнени две равенства x 1 + x 2 = 5И x 1 x 2 = 6. Нека изберем тези числа. Това са номера 2 и 3, тъй като 2 + 3 = 5 И 2 3 = 6. Оказва се, че 2 и 3 са корените на това квадратно уравнение.

Обратното на теоремата на Виета може да се използва за намиране на втория корен, когато първият е известен или очевиден. За да направим това, можем да използваме отношенията x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.

Пример 3

Разгледайте квадратното уравнение 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Необходимо е да се намерят корените на това уравнение.

Решение

Първият корен на уравнението е 1, тъй като сумата от коефициентите на това квадратно уравнение е нула. Оказва се, че х 1 = 1.

Сега нека намерим втория корен. За това можете да използвате релацията x 1 x 2 = c a. Оказва се, че 1 x 2 = − 3 512, където x 2 = - 3,512.

Отговор:корени на квадратното уравнение, посочено в постановката на задачата 1 И - 3 512 .

Възможно е да се избират корени с помощта на теоремата, обратна на теоремата на Виета, само в прости случаи. В други случаи е по-добре да търсите с помощта на формулата за корените на квадратно уравнение чрез дискриминант.

Благодарение на обратното на теоремата на Виета, можем също да конструираме квадратни уравнения, използвайки съществуващите корени х 1И х 2. За да направим това, трябва да изчислим сумата от корените, която дава коефициента за хс обратен знак на даденото квадратно уравнение и произведението на корените, което дава свободния член.

Пример 4

Напишете квадратно уравнение, чиито корени са числа − 11 И 23 .

Решение

Да приемем, че x 1 = − 11И х 2 = 23. Сумата и произведението на тези числа ще бъдат равни: x 1 + x 2 = 12И x 1 x 2 = − 253. Това означава, че вторият коефициент е 12, свободният термин − 253.

Нека съставим уравнение: x 2 − 12 x − 253 = 0.

Отговор: x 2 − 12 x − 253 = 0 .

Можем да използваме теоремата на Виета за решаване на задачи, които включват знаците на корените на квадратни уравнения. Връзката между теоремата на Виета е свързана със знаците на корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + p x + q = 0по следния начин:

ако квадратното уравнение има реални корени и ако прихващащият член ре положително число, тогава тези корени ще имат същия знак „+“ или „-“;
ако квадратното уравнение има корени и ако пресеченият член ре отрицателно число, тогава единият корен ще бъде „+“, а вторият „-“.

И двете твърдения са следствие от формулата x 1 x 2 = qи правила за умножение на положителни и отрицателни числа, както и на числа с различни знаци.

Пример 5

Са корените на квадратно уравнение x 2 − 64 x − 21 = 0положителен?

Решение

Според теоремата на Виета, корените на това уравнение не могат едновременно да бъдат положителни, тъй като те трябва да удовлетворяват равенството x 1 x 2 = − 21. Това е невъзможно с положително х 1И х 2.

Отговор:Не

Пример 6

При какви стойности на параметрите rквадратно уравнение x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0ще има два реални корена с различни знаци.

Решение

Нека започнем с намирането на стойностите на които r, за което уравнението ще има два корена. Нека намерим дискриминанта и да видим на какво rще приема положителни стойности. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Стойност на израза r 2 + 8положителен за всеки реален r, следователно, дискриминантът ще бъде по-голям от нула за всяко реално число r. Това означава, че оригиналното квадратно уравнение ще има два корена за всякакви реални стойности на параметъра r.

Сега да видим кога корените имат различни знаци. Това е възможно, ако продуктът им е отрицателен. Според теоремата на Виета произведението на корените на редуцираното квадратно уравнение е равно на свободния член. Това означава, че правилното решение ще бъдат тези стойности r, за които свободният член r − 1 е отрицателен. Нека решим линейното неравенство r − 1< 0 , получаем r < 1 .

Отговор:при r< 1 .

Виета формули

Има редица формули, които са приложими за извършване на операции с корените и коефициентите не само на квадратни, но и на кубични и други видове уравнения. Наричат се формули на Виета.

За алгебрично уравнение на степен нот формата a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 се счита, че уравнението има нистински корени x 1 , x 2 , … , x n, сред които могат да бъдат същите:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

Определение 1

Формулите на Vieta ни помагат да получим:

теорема за разлагането на полином на линейни множители;
определяне на равни полиноми чрез равенството на всичките им съответни коефициенти.

Така полиномът a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n и неговото разлагане на линейни множители от вида a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) са равни.

Ако отворим скобите в последното произведение и приравним съответните коефициенти, получаваме формулите на Vieta. Приемайки n = 2, можем да получим формулата на Vieta за квадратното уравнение: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.

Определение 2

Формулата на Vieta за кубичното уравнение:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Лявата страна на формулата на Vieta съдържа така наречените елементарни симетрични полиноми.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Същността на тази техника е да се намерят корени без помощта на дискриминант. За уравнение от формата x2 + bx + c = 0, където има два различни реални корена, две твърдения са верни.

Първото твърдение гласи, че сумата от корените на това уравнение е равна на стойността на коефициента на променливата x (в този случай е b), но с обратен знак. Визуално изглежда така: x1 + x2 = −b.

Второто твърдение вече не е свързано със сбора, а с произведението на същите тези два корена. Този продукт се приравнява към свободния коефициент, т.е. ° С. Или x1 * x2 = c. И двата примера са решени в системата.

Теоремата на Виета значително опростява решението, но има едно ограничение. Квадратно уравнение, чиито корени могат да бъдат намерени с помощта на тази техника, трябва да бъде намалено. В горното уравнение коефициентът a, този пред x2, е равен на едно. Всяко уравнение може да се доведе до подобна форма чрез разделяне на израза на първия коефициент, но тази операция не винаги е рационална.

Доказателство на теоремата

Като начало трябва да си спомним колко традиционно е обичайно да се търсят корените на квадратно уравнение. Намерени са първият и вторият корен, а именно: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. По принцип то се дели на 2a, но, както вече беше споменато, теоремата може да се приложи само когато a=1.

От теоремата на Виета е известно, че сумата от корените е равна на втория коефициент със знак минус. Това означава, че x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

Същото важи и за произведението на неизвестни корени: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. На свой ред D = b2-4c (отново с a=1). Оказва се, че резултатът е: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

От даденото просто доказателство може да се направи само едно заключение: теоремата на Виета е напълно потвърдена.

Втора формулировка и доказателство

Теоремата на Виета има друго тълкуване. По-точно не е интерпретация, а формулировка. Факт е, че ако са изпълнени същите условия като в първия случай: има два различни реални корена, тогава теоремата може да бъде написана с друга формула.

Това равенство изглежда така: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Ако функцията P(x) се пресича в две точки x1 и x2, тогава тя може да бъде записана като P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). В случай, че P има втора степен и точно така изглежда оригиналният израз, тогава R е просто число, а именно 1. Това твърдение е вярно поради причината, че в противен случай равенството няма да се запази. Коефициентът x2 при отваряне на скобите не трябва да бъде по-голям от единица, а изразът трябва да остане квадратен.

Един от методите за решаване на квадратно уравнение е използването VIET формули, който е кръстен на ФРАНСОА ВИЕТ.

Той е известен адвокат, служил на френския крал през 16 век. В свободното си време изучава астрономия и математика. Той установява връзка между корените и коефициентите на квадратно уравнение.

Предимства на формулата:

1 . Прилагайки формулата, можете бързо да намерите решение. Тъй като няма нужда да въвеждате втория коефициент в квадрата, след това да изваждате 4ac от него, да намирате дискриминанта и да замествате стойността му във формулата, за да намерите корените.

2 . Без решение можете да определите знаците на корените и да изберете стойностите на корените.

3 . След като решите система от два записа, не е трудно да намерите самите корени. В горното квадратно уравнение сборът от корените е равен на стойността на втория коефициент със знак минус. Произведението на корените в горното квадратно уравнение е равно на стойността на третия коефициент.

4 . Използвайки тези корени, напишете квадратно уравнение, тоест решете обратната задача. Например, този метод се използва при решаване на проблеми в теоретичната механика.

5 . Удобно е формулата да се използва, когато водещият коефициент е равен на единица.

недостатъци:

1 . Формулата не е универсална.